九年级数学下册第24章圆24.5三角形的内切圆课件(新版)沪科版
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沪科版数学九年级下册《第24章 圆 24.5 三角形的内切圆 24.5 三角形的内切圆》教学课件
半径的圆与BC相切，求∠BAC的度数.
解：过点A作AD⊥BC交BC与点D
A
∴AD=2cm，∵AB=4cm
∴sin∠ABD= AD = 2 = 1 ∴∠ABD=30°AB 4 2
B
Байду номын сангаас
D
C
∵AB=AC，∴∠ACD=∠ABD=30°
∴∠BAC=180°-（∠ABD+∠ACD）
=180°-（30°+30°）=120°
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢 大家
郑重申明
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24.5 三角形的内切圆
沪科版 九年级下册
新课导入
如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一 块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
作圆,使它和已知三角形的各边都相切.
已知:△ABC(如图). 求作:和△ABC的各边都相切的圆.
作法:
A
1.作∠ABC,∠ACB的平分线 BM和CN,交点为I.
∴AB+BC+AC=12cm
A
∵S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB
O
=1
2
r·BC+
1 2
r·AC+ 12
r·AB
1
=2
r（BC+AC+AB）=6
B
C
∴1 r×12=6 ，∴r=1cm
2
课后小结
1.与三角形三边都相切的圆叫做三 角形的内切圆； 2.三角形的内心到三角形的三边距 离相等.
沪科版九年级下24.5三角形的内切圆课件(共31张PPT)
解：（1）OA⊥PA，
A
OB⊥PB，PE⊥AB
（2）设半径为r,则
PA2=PDXPE =PD（PD+2r)
E O CD
P
解得，OA=r=3 B
课堂练习
3、试一试：如图△ABC中，∠C＝90，AC＝
6，BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分
别是D、E、F，求⊙O的半径。
A
AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=10
4.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为 1cm,则此三角形的周长是_2_2_cm____.
回顾反思
1.切线长定理
·A
O·
·P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
A
D
E
O
B
F
C
课堂练习：
三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。
B
A
D
O
F
E
C
P43习题25、6 第 5题
Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
A
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内
切圆,∠C是直角,三边长分别是
a,b,c.求⊙O的半径r.
B
∠ BIC=1800-（ ∠ IBC-∠ICB）
=1800-（ ∠ ABC+ ∠ACB）/2
I
=1800-（430+610）/2=1280
因而， ∠ BIC为1280
∠ BIC= 90°+ 1∠ A
沪科版九年级下册数学：24.5 三角形的内切圆 (共16张PPT)
∠BAC=α，求∠BIC的度数。
2 1 B
A
I 4 3 C
例2、如图：点I是△ABC的内心，AI交边 BC于点D，交△ABC外接圆于点E.
求证：BE＝IE
提示：欲证BE＝IE
A
12
需证∠ BIE＝ ∠ IBE 把∠ BIE转化为两圆周角之和
3
I
4
B5
D
C
E
ห้องสมุดไป่ตู้
课堂小结：
1.谈谈本节课你学到了什么？
认识了三角形的内切圆，内心，圆的外切三角形； 掌握了作一个三角形的内切圆的方法； 理解并掌握了内心的性质
2.请类比三角形的外心性质归纳 三角形的内 心性质.
A
O
B
图2
C
A
1.OA=OB=OC
三角形三边 2.外心不一定
O
中垂线的交 在三角形的内
部．
B
C点
A
1.到三边的距离
三角形三条 相等；
O
角平分线的
2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、
交点
∠ABC、∠ACB
B
C
3.内心在三角形内 部．
判断对错：
BI是∠ABC的角平分线 CI是∠ACB的角平分线
A
1 1ABC 3 1ACB
2
2
∠1 + ∠3= ?
2
I 4
1
3
∠BI C= ? B
C
变式1：如图，在△ABC中，∠BAC=500 ， 点I是外心，求∠BIC的度数。
变式2：在△ABC中，点I是内心， ∠BIC=120°，求∠BAC的度数。
变式3：在△ABC中，点I是内心，
Dr
OF
2 1 B
A
I 4 3 C
例2、如图：点I是△ABC的内心，AI交边 BC于点D，交△ABC外接圆于点E.
求证：BE＝IE
提示：欲证BE＝IE
A
12
需证∠ BIE＝ ∠ IBE 把∠ BIE转化为两圆周角之和
3
I
4
B5
D
C
E
ห้องสมุดไป่ตู้
课堂小结：
1.谈谈本节课你学到了什么？
认识了三角形的内切圆，内心，圆的外切三角形； 掌握了作一个三角形的内切圆的方法； 理解并掌握了内心的性质
2.请类比三角形的外心性质归纳 三角形的内 心性质.
A
O
B
图2
C
A
1.OA=OB=OC
三角形三边 2.外心不一定
O
中垂线的交 在三角形的内
部．
B
C点
A
1.到三边的距离
三角形三条 相等；
O
角平分线的
2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、
交点
∠ABC、∠ACB
B
C
3.内心在三角形内 部．
判断对错：
BI是∠ABC的角平分线 CI是∠ACB的角平分线
A
1 1ABC 3 1ACB
2
2
∠1 + ∠3= ?
2
I 4
1
3
∠BI C= ? B
C
变式1：如图，在△ABC中，∠BAC=500 ， 点I是外心，求∠BIC的度数。
变式2：在△ABC中，点I是内心， ∠BIC=120°，求∠BAC的度数。
变式3：在△ABC中，点I是内心，
Dr
OF
沪科版数学九年级下册沪科版九年级数学下册24.5《三角形的内切圆(2)》ppt课件
a+b-c r=
2
r = ab a+b+c
A
b
rF
O•
a
B
cE
灿若寒星
四、合作探究：
探讨3： 设△ABC的内切圆的半径为r，
△ABC的各边长之和为L，△ABC的面积S,
A
我们会有什么结论?
D
三角形面积
F O•
S = 1 rL
B
r
2
E
（L为三角形周长，r为内切圆半径）
C
灿若寒星
五、理解应用：
1.求边长为６ｃｍ的等边三角形的内切圆半径r与外 接圆半径R.
2
2
同理 ∠3= ∠4= 1 ∠ACB= 1 70° =35°
O
2
2
2
4
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)
)1
B
3( C
= 180 °－(25°＋ 35 °)
=120 °
（2）若∠A=80 °，则∠BOC = . 130°
（3）若∠BOC=100 °，则∠A = . 20°
（4）若∠A＝n ° ，则∠B灿O若寒C星= . 90 °+
（提示：由等腰三角形底边上
A
的中垂线与顶角平分线重合的
性质知，等边三角形的内切圆 与外接圆是两个同心圆. ）
O R
r
B
C
D
灿若寒星
五、理解应用：
2.如图,朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地 处建造了一座镇标雕塑,以树立起文明古镇的形 象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距 离相等,AC⊥BC，BC=30米,AC=40米.请你帮助计 算一下,镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远?
九年级数学下册第24章三角形的内切圆授课课件新版沪科版ppt
24.5 三角形的内切圆
第24章 圆
1 课堂讲解 三角形内切圆及相关概念
三角形内切圆的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的 圆形铁皮。 分析： ①讨论这个圆有什么特点？ （实际上是作一个圆，使它
和已知三角形铁皮的各边都相切） ②讨论如何确定这个圆的圆心及半径？
知2－讲
(3)如图，已知△ABC，①作△ABC的内切圆⊙O，并判 断O到△ABC三边的距离有什么关系？②连接AO， 你能发现什么结论？③若△ABC的周长为30，O到BC 边的距离为2，求△ABC的面积．
知2－讲
导引：(1)作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B与直线l的交点就是 要求的点P.
知识点 2 三角形内切圆的性质
知2－讲
三角形的内心的性质：
三角形的内心到三角形的三边距离相等．
拓展：
(1)若三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，
则S＝ 1 lr.
2
(2)直角三角形内切圆的半径r＝
1
(直角边长a＋直角
2
边长b－斜边长c)．
知2－讲
例2 如图,在 △ABC 中，∠B=43°，∠C =61°，点I是
∴7－2r＝5 ，即r＝1 .
总结
知2－讲
(1)求三角形内切圆的半径问题，一般的作辅助线的方法
为：一是连顶点、内心产生角平分线；二是连切点、
内心产生半径及垂直条件．
(2)三角形的内切圆的半径与三角形的关系：①若△ABC
中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，内切圆的
半径为r，则r＝
2S a
bABCc.
导引：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝ S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解．还可以发现四边形OECD 为正方形，则可利用切线长定理，用含r的代数式表示 AB的长，再求解．
第24章 圆
1 课堂讲解 三角形内切圆及相关概念
三角形内切圆的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的 圆形铁皮。 分析： ①讨论这个圆有什么特点？ （实际上是作一个圆，使它
和已知三角形铁皮的各边都相切） ②讨论如何确定这个圆的圆心及半径？
知2－讲
(3)如图，已知△ABC，①作△ABC的内切圆⊙O，并判 断O到△ABC三边的距离有什么关系？②连接AO， 你能发现什么结论？③若△ABC的周长为30，O到BC 边的距离为2，求△ABC的面积．
知2－讲
导引：(1)作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B与直线l的交点就是 要求的点P.
知识点 2 三角形内切圆的性质
知2－讲
三角形的内心的性质：
三角形的内心到三角形的三边距离相等．
拓展：
(1)若三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，
则S＝ 1 lr.
2
(2)直角三角形内切圆的半径r＝
1
(直角边长a＋直角
2
边长b－斜边长c)．
知2－讲
例2 如图,在 △ABC 中，∠B=43°，∠C =61°，点I是
∴7－2r＝5 ，即r＝1 .
总结
知2－讲
(1)求三角形内切圆的半径问题，一般的作辅助线的方法
为：一是连顶点、内心产生角平分线；二是连切点、
内心产生半径及垂直条件．
(2)三角形的内切圆的半径与三角形的关系：①若△ABC
中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，内切圆的
半径为r，则r＝
2S a
bABCc.
导引：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝ S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解．还可以发现四边形OECD 为正方形，则可利用切线长定理，用含r的代数式表示 AB的长，再求解．
沪科版九年级数学下册 24.5 三角形的内切圆【名校课件】
B
C
2
180 1 (43 61 ) 128 . 2
例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等 边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上 底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边 三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 20 度. （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
BIC 90 1 A.
A
2
I
B
C
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载： “今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其 意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步， 股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直 径是多少步．”该问题的答案是__6__步．
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
拓展提升 直角三角形的两直角边分别是3cm ，4cm，试问： （1）它的外接圆半径是 5 cm；内切圆半径是 1 cm？ （2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相 切，求☉O的半径r的取值范围.
A
F E
O
(13-x)+(9-x)=14，
C
D
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程.
沪科版数学九下24.5三角形的内切圆 精品课件
A
圆心 O 在∠ABC 的平分线上. M
O
B
N
C
问题2 如图，如果⊙O 与△ABC 的三边都相切，那么
圆心 O 应该在什么位置？
圆心 O 在∠ABC 与∠ACB 这两个角的平分线的交点处.
AO，BO ，CO 分别是∠BAC，
A
∠ABC，∠ACB 的平分线
D
F
线段 OD，OE，OF 的长度相等，
都是三角形内切圆的半径
和已知求出 DM = KQ = FN，根据
O
勾股定理求出 OM = ON = OQ，即
点 O 是△ABC 的内心.
4. 如图，△ABC 中，I 是内心，∠BAC 的平分线和 △ABC 的外接圆相交于点 D. 求证：DI＝DB. 证明：连接 BI. ∵ I 是 △ABC 的内心， ∴∠BAD =∠CAD，∠ABI =∠CBI． ∵∠CBD =∠CAD， ∴∠BAD =∠CBD． ∵∠BID =∠BAD +∠ABI，∠IBD =∠CBI +∠CBD， ∴∠BID =∠IBD． ∴ BD = ID．
D
B
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段 转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
类比归纳
名称
外心： 三角形 外接圆 的圆心
内心： 三角形 内切圆 的圆心
确定方法
三角形三边
垂直平分线 的交点
B
三角形三条
角平分线的
交点
B
图形
性质
沪科版数学九下课件
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
导入新课
情境引入 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三
九年级数学下册 第24章 圆 24.5 三角形的内切圆课件沪科沪科级下册数学课件
12/11/2021
试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法：
（1）作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D. A
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.
12/11/2021
NM I
B
D
C
定义
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形.
D
三角形，⊙I是△DEF的__内__切_
．I
圆,点I是△DEF的 内 心，
F
它是三角形 三条角平分线 的 E
图2
交点.
12/11/2021
3. 三角形的内切圆能作__1__个,圆的外切三角 形有_无__数__ 个,三角形的内心在三角形的__内__部___.
D
．
E
F
12/11/2021
4.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_1_2_0_°_. （2）若∠A=80°，则∠BIC = 130°.
圆O是△ABC的外接圆
B
圆心O点叫△ABC的外心
A O
C
12/11/2021
情境引入
小明在一家木料厂上班，工作之余想对 厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆 形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可 能大呢？
12/11/2021
自主预习
下图是他的几种设计方案，请大家帮他确定一下.
A
12/11/2021
3 4
B5
O C
又 ∵∠2=∠5，
D
∴∠BOD=∠OBD.
∴DO=DB.
试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法：
（1）作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D. A
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.
12/11/2021
NM I
B
D
C
定义
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形.
D
三角形，⊙I是△DEF的__内__切_
．I
圆,点I是△DEF的 内 心，
F
它是三角形 三条角平分线 的 E
图2
交点.
12/11/2021
3. 三角形的内切圆能作__1__个,圆的外切三角 形有_无__数__ 个,三角形的内心在三角形的__内__部___.
D
．
E
F
12/11/2021
4.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_1_2_0_°_. （2）若∠A=80°，则∠BIC = 130°.
圆O是△ABC的外接圆
B
圆心O点叫△ABC的外心
A O
C
12/11/2021
情境引入
小明在一家木料厂上班，工作之余想对 厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆 形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可 能大呢？
12/11/2021
自主预习
下图是他的几种设计方案，请大家帮他确定一下.
A
12/11/2021
3 4
B5
O C
又 ∵∠2=∠5，
D
∴∠BOD=∠OBD.
∴DO=DB.
2019_2020学年九年级数学下册第24章圆24.5三角形的内切圆教学课件(新版)沪科版
半径的长？ C
作出三个内角的平分线，三条内
角平分线相交于一点，这点就是圆
心，
O
A 过圆心作一边的垂线，垂线段的 长就是半径。
DB
三角形与圆的位置关系 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
这个三角形叫做圆的外切三角形.
A
内切圆的圆心叫做三角形的内心.
三角形的内心是三角形三条角平
分线的交点。
老师提示:
B
I
●
C
三角形的边与圆的位置关系称为切.
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
图形
内心：三 角形内切 垂直平分线 2.外心不一定在三角
的交点 形的外部．
三角形三条 角平分线的
交点
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分∠BAC、∠ABC、 ∠ACB；
教学课件
数学 九年级下册 沪科版
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
A
B
C
学习目标： 1、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外
切三角形的概念。 2、会利用基本作图作三角形的内切圆。 3、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。
1 ． 任 意 作 一 个 ∠ ABC ， 如 果 在 ∠ABC内作圆，使其与两边AB、BC 相切，满足上述条件的圆是否可以作 出？如果可以作出，能作多少个？所 作出的圆的圆心O的位置有什么特征？ 为什么？
A
b-r
b-r+a-r=c
b-r
c
b E
r .O
r
r
C rD
F a-r
a-r B
r=
a+b-c 2
a
3.内心在三角形内部.
沪科版九年级数学下册第二十四章《三角形的内切圆》优质公开课课件
25.6 三角形的内切圆
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下一个圆，做成 一个水桶的底，问怎样裁这个圆面积最大？
A
B
C
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下一个圆，做 成一个水桶的底，问怎样裁这个圆面积最大？
A
B
C
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下 一个圆，做成一个水桶的底，问怎样裁这 个圆面积最大？
猜一猜：你能发现 类似的结果吗？
问题三、
如图，在⊿ABC中，∠C=Rt∠,内切圆I分别和边 BC、CA、AB切于D、E、F 1、 求证：ID=CD;
2、设BC=a，CA=b, 用a、b表示内切圆半径r. B
F
ID
A
EC
问题四、（根据自身情况，任意选做一题）
1、圆的内接四边形具有对角互补（也即对角之和相等： ∠ A+ ∠ C=
∠ B+ ∠ D）的性质，请你猜想一下，圆的外切四边形是否具有类似
的性质？并给予证明。
D G
D
H
C
C
.O
F
A
B
A
E
B
2、求三边长分别为3、4、5 的三角形的外心和内心的距离
。
A
D
E
I.
B
FO
C
问题五、
画一个由1个三角形和1个圆组合成的图形， 其中圆是三角形的内切圆。
A
D
F I.
B
E
C
A
B
C
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下 一个圆，做成一个水桶的底，问怎样裁这 个圆面积最大？
A
B
C
A
I
B
D
C
作法： 1、画两条角平分线，产生圆心； 2、画垂线产生半径； 3、画圆。
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下一个圆，做成 一个水桶的底，问怎样裁这个圆面积最大？
A
B
C
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下一个圆，做 成一个水桶的底，问怎样裁这个圆面积最大？
A
B
C
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下 一个圆，做成一个水桶的底，问怎样裁这 个圆面积最大？
猜一猜：你能发现 类似的结果吗？
问题三、
如图，在⊿ABC中，∠C=Rt∠,内切圆I分别和边 BC、CA、AB切于D、E、F 1、 求证：ID=CD;
2、设BC=a，CA=b, 用a、b表示内切圆半径r. B
F
ID
A
EC
问题四、（根据自身情况，任意选做一题）
1、圆的内接四边形具有对角互补（也即对角之和相等： ∠ A+ ∠ C=
∠ B+ ∠ D）的性质，请你猜想一下，圆的外切四边形是否具有类似
的性质？并给予证明。
D G
D
H
C
C
.O
F
A
B
A
E
B
2、求三边长分别为3、4、5 的三角形的外心和内心的距离
。
A
D
E
I.
B
FO
C
问题五、
画一个由1个三角形和1个圆组合成的图形， 其中圆是三角形的内切圆。
A
D
F I.
B
E
C
A
B
C
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下 一个圆，做成一个水桶的底，问怎样裁这 个圆面积最大？
A
B
C
A
I
B
D
C
作法： 1、画两条角平分线，产生圆心； 2、画垂线产生半径； 3、画圆。