初三数学方程和方程组的解法
九年级方程求解的技巧分享
九年级方程求解的技巧分享方程是数学中一种重要的表达式，用来表示未知数与已知数之间的关系。
在九年级的学习中，学生们经常会遇到各种各样的方程，如一元一次方程、一元二次方程等。
本文将分享一些九年级方程求解的技巧，希望能够帮助大家更好地理解和解答方程题。
一、一元一次方程的求解一元一次方程是最基本、最简单的方程形式，它可以用来表示线性关系。
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
1. 利用逆运算求解方程在求解一元一次方程时，我们可以利用逆运算的概念，将方程中的未知数x与已知数b分开。
例如，如果方程为2x - 5 = 7，我们可以先将-5移到等号右边，得到2x = 12，然后再将系数2移到等号左边，得到x = 6，即为方程的解。
2. 消元法求解方程消元法是另一种解一元一次方程的常用方法。
它的基本思想是，利用方程的等效变形，通过消去方程中的某个元素来简化方程，从而求得未知数的值。
例如，对于方程3x + 4 = 10，我们可以先将方程两边减去4，得到3x = 6，然后再将方程两边除以3，得到x = 2，即为方程的解。
二、一元二次方程的求解一元二次方程是九年级数学中较为复杂的方程形式，它可以用来表示抛物线的形状。
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
1. 利用因式分解法求解方程对于一元二次方程，如果方程可以进行因式分解，那么可以利用因式分解法来求解方程。
以方程x² + 5x + 6 = 0为例，我们可以将方程进行因式分解，得到(x + 2)(x + 3) = 0。
根据乘法法则，我们知道当两个数的乘积等于0时，其中至少一个数为0。
因此，我们可以得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而求得方程的解为x = -2或x = -3。
2. 利用求根公式求解方程对于一元二次方程，我们还可以利用求根公式来求解方程。
人教版初三数学知识点
人教版初三数学知识点初三数学上册知识点归纳二元一次方程组1、定义：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的解法(1)代入法由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。
(2)因式分解法在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。
(3)配方法将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
(4)韦达定理法通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
(5)消常数项法当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。
解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
(1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)(2)系数化1：将二次项系数化为1(3)移项：将常数项移到等号右侧(4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方(5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式(6)开方：左右同时开平方(7)求解：整理即可得到原方程的根九年级下册数学知识点归纳一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
解方程(组)的方法和技巧01
热点2 解方程（组）的方法和技巧段，此，定义法、拆项法、利用韦达(组)的方.加减消元法 在方程组中，常将一个未知数的系数化成相等或互为相反数，然后将方程两边同加（减），以达消元的目的.例1 (2001年天津试题)已知4=+y x且x －y=10,则2xy = .[解析] 将两个方程左右两边分别相加得2x=14, 即x=7,分别相加减得2y=－6, 即y=－3,所以2xy=－42.代入消元法 在一些方程和方程组中，往往用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，将方程组变成关于某一个未知数的一元方程，达到消元的目的，从而求解.例2 (2001年江苏无锡试题)若x=2是关于x 的方程2x+3k －1=0的解，则k 的值是 .[解析]把x=2直接代入2x+3k －1=0中，得3k+3=0，解得k=－1. 例3 (2001年湖南怀化试题)方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-xy y x 20222的解是 . [解析]把y 2=2x 代入方程x 2－y 2=0中，得x 2－2x=0，解得:⎩⎨⎧==0011y x⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==22,223322y x y x因式分解法 因式分解法常用在一元二次方程、高次方程、二元二次方程组中，适当运用因式分解法，将高次方程分解为几个一次因式之积，从而达到降次的目的.例4 (《代数》第三册第61页B 组习题)解方程组)2()1(941292522222⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++y xy x y xy x[解析]由方程(1)得(x+y)2=25即x+y=±5由方程(2)得(3x －2y)2=9 即 3x －2y=±3因此原方程组可化为四个方程组:⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧=-=+3235,3235y x y x y x y x⎩⎨⎧-=--=+⎩⎨⎧=--=+3235,3235y x y x y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==518575125132221y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=518575125134433y x y x 定义法 依据定义本身满足的条件解一些无理方程，往往比常规方法简便.例 5 (湖北荆州试题)解方程022222=-+-x x x x[解析]将方程变形为:x x x x 22222+-=-,利用二次根式的定义满足的条件解题.原方程可变形为x x x x 22222+-=- 依二次根式成立的条件知：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-020222x x x xx 2－2x=0, 解之得x 1=0, x 2=2拆项法 利用因式分解将代数式拆项，使方程左右两边部分能够抵消，从而将繁琐的方程化得简单、易解.例6 （2001年陕西试题）解方程141212-=+--x x x x[解析]把142-x 化成1212+--x x ，则方程变为012=--x x ，从而x=2获得简解.换元法 换元法常用在分式方程、高次方程、无理方程及方程组中，换元的目的是将高次降次、变无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，在解题的过程中如能恰当的使用换元法，将起到事半功倍的效果.例7 （《代数》）第三册第52页例2）解方程x 4－6x 2+5=0[解析]此题为一个高次方程，可以利用换元法解，即用辅助未知数代替方程里的x 2，使这个双二次方程变为关于y 的一元二次方程，求出y 以后，就可以进一步求出原方程的根.设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程变为y 2－6y+5=0 解之得y 1=1, y 2=5 当y 1=1时,x 2=1,x=±1; 当y 2=5时,x 2=5,x=5±所以原方程有四个根： x 1=1, x 2=－1, x 3=5, x 45-=例8 （2001年北京东城）若0515285222=-+-+-x x x x ，则2x 2－5x －1的值是 .[解析] 设y=2x 2－5x+1，则原方程可变为068=-+y y ，解得y=2或y=4即2x 2－5x －1=0或2x 2－5x －1=2例9 （2002年河北试题）已知方程25522=---x x x x ，用换元法解方程时，如果设x x y 52-=， 那么得到关于y 的方程是 (用一元二次方程的标准形式表示)[解析] x x y 52-=时，225y x x =-原方程可变形为y 2－y －2=0例10 已知形如cc x x 11+=+（C 为常数）的方程两根是c x c x 1,21==则方程1111-+=-+a a x x 的根是[解析]利用换元法.令y=x －1，则原方程可变形为：11)1(1-+-=+a a y y此方程和已知方程类似, 即有11,121-=-=a y a y所以1111,21-=+-==a a a x a x利用韦达定理解方程 韦达定理在一元二次方程中有广泛的应用，其中不解方程，已知方程的一根，求方程另一根便是很典型的应用.下面予以介绍：例11（《代数》第三册第29页例1）已知方程5x 2+kx －6=0的一根是2，求它的另一个根及k 的值.[解析]设方程的另一个为x 1，那么5621-=x 531-=x又(53-)+2=5k -7]2)53[(5-=+--=k所以方程的另一根是53-，的值是-7.以上我们介绍了几种常用的解方程的方法，当然对于一元一次方程，一元二次方程，可以按照解方程的一般步骤去做，但对于一些特殊的方程和方程组，则需要通过“消元”、“降次”变为简单的方程（组），方能求解.上面这些方法既有联系，又有区别，有时一个题中可能要糅合几种方法的应用，因此，我们在掌握解一般方程的解法的同时，必须学会分析方程的结构特点，灵活运用解方程组的方法与技巧.一.二.三⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+3)(2)(5)(4)(22yxyxyxyx方程组⎩⎨⎧-==-+-24)12(2xyykx:不论k为何值时,此方程组;ABC∆的三边长分别为c其中c=4且⎩⎨⎧-==-22bybxaa,是该方程,求ABC∆的周长.。
苏教版初三数学解方程的技巧与策略
苏教版初三数学解方程的技巧与策略解方程是初中数学中的重要内容之一，也是初三数学的知识点之一。
学习解方程的技巧与策略对于初三学生提升数学成绩、提高解题速度具有重要意义。
本文将介绍苏教版初三数学解方程的技巧与策略，帮助学生能够更好地掌握解方程的方法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是初中数学中最基础的方程类型，其解法也是学习解方程的起点。
解一元一次方程的核心在于消元和求解未知数。
下面将介绍两种常用的解法。
1. 全等变法法全等变法法是解一元一次方程最常用的方法之一。
该方法的基本思想是通过等式的两边进行相同的操作，使方程等价变形，找到未知数的值。
例如：2x - 3 = 7全等变法法的步骤如下：1) 2x - 3 = 7 --原方程2) 2x - 3 + 3 = 7 + 3 --等式两边加上33) 2x = 10 --合并同类项4) x = 5 --除以2得到x的值通过这种方法，我们可以得到方程的解x=5。
2. 倒数相消法倒数相消法是解一元一次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过等式的两边进行相同的操作，使得方程中一个或多个系数相消，然后求解未知数。
例如：3x + 4 = 7x - 2倒数相消法的步骤如下：1) 3x + 4 = 7x - 2 --原方程2) 3x - 7x = -2 - 4 --将未知数的项移到一边，常数项移到另一边3) -4x = -6 --合并同类项4) x = 3/2 --除以-4得到x的值倒数相消法也是一元一次方程解法中常用且简便的方法。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中较为复杂的方程类型，其解法相对来说也更加繁琐。
下面将介绍两种一元二次方程的解法。
1. 因式分解法因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。
基本思想是将一元二次方程进行因式分解，找到造成方程为0的因式，进而求解未知数的值。
例如：x^2 - 5x + 6 = 0因式分解法的步骤如下：1) (x - 2)(x - 3) = 0 --将方程进行因式分解2) x - 2 = 0 或 x - 3 = 0 --令因式等于03) x = 2 或 x = 3 --求解未知数的值通过因式分解法，我们可以得到方程的两个解x=2和x=3。
数学初三代数与方程式解题技巧与方法总结
数学初三代数与方程式解题技巧与方法总结数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，而代数与方程式作为数学的一部分，也是初三学生常常面临的难题之一。
因此，掌握一些解题的技巧和方法对于学生来说是非常重要的。
本文将总结一些数学初三代数与方程式解题的技巧与方法，帮助学生更好地应对考试和日常学习中的数学难题。
一、基本概念与基本技巧1. 熟悉数学符号和表达方式在代数与方程式的解题中，学生需要对数学符号和表达方式有一定的掌握。
比如，了解代数表达式中常见的加减乘除符号，掌握数学中的等于号以及大于、小于等符号的含义，以及掌握指数、幂等运算等。
2. 理解变量与常量的概念在解题中，学生需要理解变量与常量的区别，通过代入不同的数值来求解变量的值。
同时，学生也需要理解方程式中的未知数与已知数的概念。
3. 掌握代数表达式的展开与因式分解在解题中，学生可能需要对代数表达式进行展开或因式分解。
展开是将一个代数式拆分成多个项进行计算，而因式分解则是将一个代数式合并成一个因式的乘积。
4. 式子的等式变形与方程的等式变形在解题中，学生需要掌握等式变形的方法。
对于代数表达式的等式变形，要灵活运用加减乘除法则进行推导和运算。
而对于方程的等式变形，学生需要借助于方程的性质和等式变形的规则进行推导和求解。
二、方程的解题方法1. 一元一次方程的解题方法一元一次方程是初三代数与方程式解题中比较基础的问题。
解一元一次方程的关键是通过逆运算将未知数求解出来。
常用的解题方法包括横式法、揭秘法和代入法等。
2. 一元二次方程的解题方法一元二次方程是初三代数与方程式解题中较为复杂的问题。
解一元二次方程的方法有因式分解法、配方法、公式法等。
这些方法需要学生对一元二次方程的性质和解题法则有一定的了解，灵活运用不同的方法来求解问题。
3. 组合方程的解题方法组合方程是由多个方程组成的方程组。
解组合方程的方法主要是通过变量的代入、消元等方法将方程组简化为一个或几个方程，然后进行求解。
初中数学解方程的方法与技巧
初中数学解方程的方法与技巧大家好！今天我们来聊聊初中数学中的一个重要话题——解方程。
别担心，我会用简单易懂的语言把这些方法和技巧一一讲解清楚，让你也能像吃糖一样轻松搞定方程题。
1. 方程的基本概念1.1 什么是方程？方程其实就像是数学中的“等式游戏”。
简单来说，就是在等号两边放上两个数学表达式，让它们的值相等。
比如，2x + 3 = 7就是一个方程。
我们要做的，就是找出那个能让等式成立的“x”值。
1.2 方程的类型方程有很多种类，咱们主要关注两种：一次方程：形如ax + b = c的方程，其中x的最高次数是1。
这类方程比较简单，解起来也轻松。
二次方程：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中x的最高次数是2。
解法稍微复杂一点，但也不难掌握。
2. 解一次方程的技巧2.1 移项法这个方法的关键是把未知数“x”移到方程的一边，常数移到另一边。
比如，我们有方程2x + 3 = 7。
第一步，将3从方程的左边移到右边，变成2x = 7 3，也就是2x = 4。
第二步，求出x的值，只需将4除以2，得到x = 2。
这样，方程就解出来啦！2.2 合并同类项有时候方程里会出现类似的项，咱们可以把它们合并在一起。
比如方程3x + 4x 7= 10。
我们先把3x和4x合并成7x，方程就变成了7x 7 = 10。
接着，再通过移项法解这个方程就行啦！3. 解二次方程的技巧3.1 因式分解法这种方法就像是在玩拼图，把方程拆解成两个简单的因式，然后找出x的值。
例如，方程x^2 5x + 6 = 0。
我们可以把它分解成(x 2)(x 3) = 0。
然后通过零积法则，知道x 2 = 0或者x 3 = 0，解出x = 2或者x = 3。
这种方法简单高效，就像把难题拆解成几个小问题一样。
3.2 求根公式如果方程的因式分解有点难，咱们还可以用求根公式来解。
公式是：x = [b ±√(b^2 4ac)] / 2a。
这听起来有点复杂，但只要按照步骤来，绝对能找到答案。
中考数学解方程的快速方法
中考数学解方程的快速方法解方程是中考数学中的重要考点之一，掌握解方程的快速方法可以帮助学生在考试中迅速解题。
本文将介绍几种常见的解方程的快速方法，帮助学生在中考数学中取得好成绩。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是最基本的方程形式，常常出现在中考数学试题中。
求解一元一次方程的方法主要有平衡法和代入法。
1. 平衡法：平衡法是一种简单实用的解方程方法。
首先将等式两边按照顺序排列，使得变量项在等式的一边，常数项在等式的另一边。
然后通过逆向运算，将变量项的系数化为1，得到解。
例如，对于方程2x + 3 = 5，我们可以将等式改写为2x = 5 - 3，即2x = 2，最后得到x = 1。
2. 代入法：代入法是通过用其他已知量代入方程，帮助求解未知量。
这种方法常常适用于含有系数较大的方程。
例如，对于方程4x - 3 = 5，我们可以将4x替换为已知量y，即令y = 4x。
则原方程可以改写为y - 3 = 5。
通过简化后得到y = 8，再将y = 4x带回原方程，解出x的值为2。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是中考数学中较为复杂的方程形式，求解一元二次方程常采用因式分解法、配方法和求根公式等方法。
1. 因式分解法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以将其因式分解成两个一次因式的乘积，则可快速求解方程。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，将其因式分解为(x - 2)(x + 2) = 0，可得到x = 2和x = -2两个解。
2. 配方法：配方法主要适用于一元二次方程中无法直接因式分解的情况。
通过对方程进行配方，将其转化为完全平方形式，帮助求解方程。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以将其配方为(x + 3)^2 = 0，解得x = -3。
3. 求根公式：求根公式适用于所有一元二次方程的求解。
根据求根公式可以直接求得方程的根。
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
方程解法公式
方程解法公式方程解法公式是数学中常用的一种解题方法，通过运用特定的公式和方法，可以快速求解各种类型的方程。
下面将介绍几种常见的方程解法公式。
一、一元一次方程的解法公式一元一次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程的方法有很多种，其中最常用的是使用一元一次方程的解法公式。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的公式是x = -b / a。
根据这个公式，我们可以很方便地求得方程的解。
例如，对于方程2x + 3 = 0，根据解一元一次方程的公式，我们可以得到x = -3 / 2，即解为x = -1.5。
二、二元一次方程组的解法公式二元一次方程组是指含有两个未知数，并且每个未知数的最高次数都为1的方程组。
解二元一次方程组的方法有很多种，其中最常用的是使用二元一次方程组的解法公式。
二元一次方程组的一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中a1、b1、c1、a2、b2、c2为已知数，x和y为未知数。
解二元一次方程组的公式为：x = (c1b2 - c2b1) / (a1b2 - a2b1)y = (a1c2 - a2c1) / (a1b2 - a2b1)根据这个公式，我们可以很方便地求得方程组的解。
例如，对于方程组2x + 3y = 7，4x - 5y = 1，根据解二元一次方程组的公式，我们可以得到x = 2，y = 1，即解为x = 2，y = 1。
三、一元二次方程的解法公式一元二次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为2的方程。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的是使用一元二次方程的解法公式。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a根据这个公式，我们可以很方便地求得方程的解。
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初三数学方程和方程组的解法一. 本周教学内容：方程和方程组的解法方程和方程组的解法是方程知识的核心内容。
同学们要灵活掌握方程解法的多样性。
【典型例题】例1. 写出一个以x ＝3为根的一元一次方程。
分析：这是一道考查学生发散思维能力的试题。
答案不唯一，题目是已知方程的解，来构造方程，可求出x －3＝0或2x －6＝0等。
例2. ()()求关于的一元一次方程的解。
x k x k x k 211180-+--=-分析：由已知可知原方程为一元一次方程，分两种情况：（1）当指数k －1＝1时，即k ＝2时，原方程化为3x ＋x －8＝0，解之得：x ＝2；（2）当k 2－1＝0且k －1≠0时，也就是当k ＝－1时，原方程化为－2x －8＝0，解之得：x ＝－4，所以原方程的解为x ＝2或x ＝－4。
答：x ＝2或x ＝－4例3. 填空： 当，时，方程有唯一解。
当，时，方程无解。
当，时，方程有无穷多解。
ab ax x b a bax x b ab ax x b +=-+=-+=-111 分析：本题实质就是解方程ax x b +=-1()()根据解方程的步骤，原方程可化为a x b -=-+11此方程分三种情况解：（）当，即时，原方程有唯一解。
（）当，，即，时，原方程无解。
（）当，，即，时，原方程有无穷多解。
110121010113101011a a a b a b a b a b -≠≠-=-+≠=≠--=-+===-()()通过此题，总结出一般规律：方程ax ＝b 的解（）当时，方程的解为；（）当，时，方程无解；（）当，时，方程的解为全体实数。
10200300a x b aa b a b ≠==≠==例4. ()已知，求的值。
x y x y x y --+++=+233202分析：两个非负数之和为0，则这两个数须同时为0。
所以解方程组求出、，再计算的值。
x y x y x y x y --=++=⎧⎨⎩+230320解：由已知，得：x y x y --=<>++=<>⎧⎨⎩23013202 由得：，<>-<>+=∴=-215501y y()将代入得：y x =-<>---=112130得：x ＝1∴==-⎧⎨⎩∴+=x y x y 110例5. 如果是方程的一个根，求的值，并求出另一个x x kx k k =---=2502 根。
分析一：本题考查了对方程中的未知数和参数的认识，以及未知数与参数之间的互相转化。
由条件“x ＝2是方程x 2－kx －k －5＝0的一个根”可知x 2－kx －k －5＝0是以x 为未知数，k 为参数的方程，但把x ＝2代入方程后，x 由未知数转化为已知数，方程则转化为以k 为未知数的方程了，实际上将通过解关于k 的方程来求k 的值。
解法一：由于x ＝2是方程x 2－kx －k －5＝0的一个根，所以把x ＝2代入方程，得： 2250132---=∴=-k k k ，∴--⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-=原方程为x x 2131350 即31402x x +-=()()左边因式分解：3720x x +-=∴=-=x x 12732， ∴=-方程另一根为x 73 说明：求出方程3x 2＋x －14＝0后，也可利用“根系关系”来求另一根。
方法二：本题求k 和“另一根”两个未知数，可通过列二元方程组求解。
解：设另一个根为β∴---==--+=⎧⎨⎩22502522k k k k ββ（或）（这是根据根系关系）解得：k =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1373β 说明：本题如果把“求k 的值”一问去掉，直接求“另一个根”，那么“求k 的值”将成为解题者需主动采取的步骤，将能体现对能力的更高要求，值得注意。
例6. 从下列四个选项中选出合适的一项，将题目补充完整后再解答。
如果a 是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根，并且a ≠0，求________的值。
A ab B ba C ab D a b ....+-解析：解答这类“完善试题”的问题应着眼于题设条件，看从中能推出何种结果。
由是方程的根，得：a a ab a 20++=a ab a b ≠∴++=+=-0101，，即应选C 。
例7. ()()解方程：2353x x x -=-分析：本题应该用因式分解方法来解。
注意在方程变形过程不能用含未知数的代数式去除方程两边，这道题不能用（x －3）除方程两边，否则可能导致丢根。
解：()() 2353x x x -=-()()∴---=23530x x x()()即2530x x --=∴==x x 12523，例8. 解方程：123812022x x --+=分析：若按一般解分式方程的方法解，去分母后，将出现关于x 的4次方程，计算较难。
观察－8x 2＋12，有因式2x 2－3，所以可使用换元法解方程。
本题不能很明显地看出使用换元法。
需先进行变形，这是对学生主动使用数学方法能力的考查，也是对能力水平的较高要求。
解：()方程变形为：123423022x x ---= 设，原方程化为：y x yy =--=231402∴-=4102yy =±12经检验：都是的根。
y yy =±-=12140 由可得：，y x x =-=∴=±122312722 由可得：，y x x =--=-∴=±122312522 ∴=±=±原方程的根为或x x 7252例9. 用配方法解方程：37402x x -+=分析：配方法作为一种重要的数学方法，同学们要掌握。
解：移项，得：3742x x -=-方程各项都除以，得：373432x x -=- 配方，得：x x 22273764376-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪ x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=761362x -=±7616∴==x x 12431， 例10. 若关于的方程有增根，求的值。
x x x a x a 24130-+--= 分析：分式方程有增根，则分母为0；又因为分式值为0，所以分子必为0。
注意，，不能把x ＝3代入原分式方程求a 的值。
解：由题意得：x x a x 241030-+-=-=⎧⎨⎩解得：a =4例11. 若方程与方程有一个相同的根，求的值。
x x a x ax a 22010--=++= 分析：要求a 的值，须先列方程求出这个相同的根，再代入原方程中求a 。
解：根据题意，得：x x a x ax 221--=++()()∴+=-+a x a 11x x a 20--=有根∴=+≥≥-∆14014a a ， ∴≠-a 1∴=-x 1将代入中x x x a =---=102得：a =2例12. 解关于的方程x m x mnx n m 2011300222+-=≠()解法一：()()原方程可变形为：5430mx n mx n -+=50430mx n mx n -=+=或m x n m x n m≠∴==-053412，， 解法二： a m b mn c n ===-2011322，，()()b ac mn m n m n 2222224114203361-=-⨯⨯-=又 m ≠0 ∴=-±⨯=-±x mn m n m mn mn m113612201119402222 ∴==-x n m x n m12534， 说明：解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于0。
例13. ()()()已知，试解关于的方程m x mx x x x -=-+=+-212211解：由得：m m -=-=±2121∴==m m 1231，原方程整理得：()m x mx --+=12302当时，原方程为m x x =-+=326302解得：，x x 12332332=+=- 当时，原方程为m x =-+=1230解得：x =32∴==+=-当时，，m x x 333233212 当时，m x ==132【模拟试题】一. 填空题。
1. 已知关于x 的方程()()211322k x k x k -+-=-是一元二次方程，则k 的取值范围是_____________。
2. 已知x =3是方程()x a x a 210+-+=的一个根，则a ＝_____________。
3. 完成下面配方：（1）x x 228-+=()() （2）x x 2232++=()() 4. 如果关于x 的方程702x px q ++=的两个根为2和-3，那么二次三项式72x px q++可分解为________________。
5. 一元二次方程x 240-=的根为_______________。
6. 当k ＝_________时，方程x ky ++=10有一组解是x y ==⎧⎨⎩32。
7. 在解方程()x x 2221210---=时，通过换元并整理得方程y y 2230--=，则y ＝____________。
8. 将二次三项式x x 267++进行配方，得_______________。
二. 解方程或方程组。
1. 2502x -=2. ()5221122x x x x +=---⎛⎝ ⎫⎭⎪ 3. ()()23214122x x x -+-=+4. x x 243100-+=5. x x 2630-+=（配方法）6. x x x x 2212+-=+ 7. x xx x 22432+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪ 8. 解方程组x y x y x +=---=⎧⎨⎩03223022 9. 解关于x 的方程：6560022m x mx m +-=≠()10. 解方程：()()()()x x x x ++-=+-+52125215422【试题答案】一. 填空题。
1. k ≠13的实数2. 323-3. （1）16，x -4；（2）91634，x +4. ()()723x x -+5. x x 1222==-，6. -27. y y 1231==-， 8. ()x +-322二. 解方程或方程组。
1. x =±1022. x x 12014==-， 3. x x 123252==， 4. x 1232=+，x 2232=- 5. x x 123636=+=-， 6. x x 1221=-=， 7. x x 122222=+=-，8. x y x y 11223311==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩ 9. x m x m 123223=-=， 10. x x 12636636=+=-，。