集合的概念及运算
第一讲 集合的概念和运算
。
解析：对于新定义题，关键是读懂题目， 弄清概念的含义，准确运用。 ∵n=4, ∴ Sn {1, 2,3, 4}, ，则X可取 ,{1}, {2}, {3},
{4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {2,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}.不是偶子集有{1}，
A B 0,1,2,4,16
则a的值为（ A. 0 答案：D. B. 1
） C. 2 D. 4
a4 解析：抓住并集中的元素，由此知 a 2 16 2
a 4 或 ，∴选D。 a 16
变式题：含有三个实数的集合可表示为{a,b,lg(ab)},也可 表示为{|a|,b,0},则 a 2015 b2015 的值等于 。
7.特别提醒的几点：
①．注意区分几种常见集合
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然 后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注 意弄清其元素表示的意义是什么.
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)＞0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
集合的意义 方程f(x)＝0的解源自 不等式f(x)＞0的解集 函数y＝f(x)的定义域 函数y＝f(x)的值域 函数y＝f(x)图象上的点集
⑶
无序性
。
5.集合中元素和集合、集合与集合的关系： ⑴元素和集合的关系：若元素a 是集合A的元素， A”。 记作：a A ，否则“a
⑵集合与集合的关系：包含和不包含关系。包含关系又 分为真包含和相等关系。符号为“ ”，“＝”， ”，“ “ ”，“ ” .
特别提醒：规定空集是 空集是
集合的概念和运算
集合的概念和运算集合是数学中重要的基本概念，它可以理解为元素的组合。
在数学中，元素可以是数字、字母、单词等等。
本文将介绍集合的概念、集合的表示方法以及集合的运算。
一、集合的概念集合是由元素构成的，通常用大写字母表示。
假设A是一个集合，x是A的元素，我们可以表示为x∈A，表示x属于A。
相反地，如果x不属于A，我们可以表示为x∉A。
集合可以有有限个或者无限个元素。
如果集合A中的元素个数有限，并且可以一一列举出来，我们称之为有限集。
如果集合A中的元素个数是无穷的，我们称之为无限集。
二、集合的表示方法1. 列举法：我们可以直接将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A = {1, 2, 3}表示A是一个包含元素1、2、3的集合。
2. 描述法：我们可以使用一个条件来描述集合中的元素。
例如，集合B = {x | x是自然数，且x < 5}表示B是一个包含小于5的自然数的集合。
三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是包含同时属于A和B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。
2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含属于A或者属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。
3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是包含属于A但不属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。
4. 互斥集：给定两个集合A和B，如果它们的交集为空集，则称它们为互斥集。
例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则A∩B = ∅。
5. 补集：给定一个普通集合U和它的一个子集合A，A相对于U的补集（记作A'或者A^c）是包含U中所有不属于A的元素的集合。
第一章 集合的概念及运算(集合论讲义)
(5) 德·摩根律 A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) ， A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
4
|
A1
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
=
125
，|
A2
|=
⎢ 250 ⎢⎣ 3
⎥ ⎥⎦
=
83
，|
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
=
50
，|
A4
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 7 ⎥⎦
=
35
，
|
A1
∩
A2
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 2× 3⎥⎦
=
41
，|
A1
∩
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣2× 5⎥⎦
=
(6) 吸收律 A ∪ ( A ∩ B) = A ， A ∩ ( A ∪ B) = A (7) 零律 A ∪ E = E ， A ∩ ∅ = ∅ (8) 同一律 A ∪ ∅ = A ， A ∩ E = A (9) 排中律 A ∪ A = E
5
(10) 矛盾律 A ∩ A = ∅ (11) 全补律 ∅ = E ， E = ∅ (12) 双重否定律 A = A (13) 补交转换律 A − B = A ∩ B
3
还可以将交，并运算推广到集族上。
∪ 定义 2.3 设 A 为一个集族，称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集，记作 A ， ∪ 称 ∪ 为广义并运算符， A 可描述为
集合的概念及其运算
集合的概念及其运算1、集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性2、有n个元素的集合的子集的个数是2n，真子集的个数是2n-13、自然数集N 正整数集N* 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数C4、交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}补集：一般地设S是一个集合，A是S的一个子集(即A S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集S中的补集(或余集)．5、真子集关系对于集合A、B，如果A ⊆ B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集 显然，空集是任何非空集合的真子集1.设集合A={1，2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.82.若集合A={x|x2-4x＜0}，则集合A∩Z中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.23.已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a= .4、已知集合A={1，3，5}，B={2，4，6}.定义集合A+B={a+b|a∈A,b∈B},则A+B中元素的个数是( )A.9B.6C.5D.45、满足Φ A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A.7B.8C.6D.42＞0},N={x|x＞a}.若M⊆N,求实数a的取值范围6、 已知集合M={x|3+2x-x7、已知集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0}，且M∩N=N,求实数a的值.8、集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.49、若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有A. A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A＝∅10、已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝（1/2）x，x＞1}，则A∩B等于A. ∅B.{y|0＜y＜1}C.{y|1/2＜y＜1}D.{y|0＜y＜1/211、.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，则下图中阴影部分所表示的集合是A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}12、.设集合A＝{5，log2（a2－3a＋6）}，集合B＝{1，a，b}，若A∩B ＝{2}，则集合A∪B的真子集的个数是A.3个B.7个C.12个D.15个13、.设全集U＝R，A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|－1＜x＜5}，则集合{x|－1＜x＜2}是A. （UA）∪（UB）B. U（A∪B）C. （UA）∩BD.A∩B14、定义集合A*B＝{x|x∈A，且xB}，若A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则A*B的子集个数为10、A.1 B.2 C.3 D.415、.设集合M＝{x|x≤m}，N＝{y|y＝2-x，x∈R}，若M∩N≠，则实数m 的取值范围是A.m≥0B.m＞0C.m≤0D.m＜016、.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；命题及其关系充要条件1、2. 用命题的等价性判断：判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真还是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件．3. 原命题为“若P则q，则它的逆命题为若q则p;否命题为若非p则非q,逆否命题为若非q则非p 原命题与它的逆否命题等价，逆命题与它的否命题等价1、写出“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题、否命题、逆否命题2、写出“若a>b且c>d，则a+c>b+d”的逆命题、否命题、逆否命题3、设原命题”若p则q”假，而逆命题真，则p是q的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件3、0<x<5是不等式lx-2l<4成立的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件4、1命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥12．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件。
第1讲集合的概念和运算
第1讲 集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集： ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集： 则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若 ，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝ ． (2)交集：A ∩B ＝ ．(3)补集：∁U A ＝ ，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝ ．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲 指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫 ，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算集合是数学中一个基本的概念，简单地说，集合是由元素构成的一种集合结构。
在数学中，集合和集合运算能够被应用到各种各样的领域，比如计算机科学、物理学、经济学等。
本文将深入探讨集合的基本概念和运算。
一、基本概念在集合的讨论中，我们需要先了解一些基本概念。
首先，元素是指集合中的一个个体。
例如，{1, 2, 3}中的1、2、3就是元素。
其次，集合可以用花括号{}来表示，例如{1, 2, 3}就是一个集合。
注意，集合中的元素是无序的，也就是说{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是等价的。
另外，集合中的元素必须是不同的，例如{1, 1, 2}就不是一个合法的集合，因为其中有重复的元素。
集合的大小可以用“|S|”来表示，其中S是集合的名字。
比如{1, 2, 3}的大小是3。
二、集合运算在集合的讨论中，我们需要介绍一些集合运算。
这些集合运算包括并集、交集、补集等。
并集对于两个集合A、B，它们的并集是指由它们中的所有元素组成的集合，用“∪”表示。
例如，如果A={1, 2}，B={2, 3}，则它们的并集是{1, 2, 3}，即A∪B={1, 2, 3}。
需要注意的是，如果两个集合的元素有重复，重复的元素只会出现一次。
交集对于两个集合A、B，它们的交集是指它们中共同包含的元素所组成的集合，用“∩”表示。
例如，如果A={1, 2}，B={2, 3}，则它们的交集是{2}，即A∩B={2}。
补集对于一个集合A和它的一个父集合U，A的补集是指U中不包含A中所有元素的集合，用“A'”表示。
例如，如果U={1, 2, 3}，A={1, 2}，则A的补集是{3}，即A'={3}。
三、常用集合运算规则对于集合的运算，还有一些常用的规则。
结合律对于任意三个集合A、B、C，它们的并集和交集都满足结合律。
即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
交换律对于任意两个集合A、B，它们的并集和交集都满足交换律。
集合的概念与运算
集合的概念与运算教案●知识梳理 1.集合的有关概念2.元素与集合、集合与集合之间的关系 （1）元素与集合：“∈”或“”.（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系. 3.集合的运算（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记为A ∩B ，即A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记为A ∪B ，即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. （3）补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集（或余集），记为SA ，即S A ={x |x ∈S 且x A }.●点击双基1.（2004年全国Ⅱ，1）已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于A.{x |x ＜－2}B.{x |x ＞3}C.{x |－1＜x ＜2}D.{x |2＜x ＜3}2.（2005年北京西城区抽样测试题）已知集合A ={x ∈R|x ＜5－}，B ={1，2，3，4}，则（R A ）∩B 等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}∉⊆∉23.（2004年天津，1）设集合P ={1，2，3，4，5，6}，Q ={x ∈R|2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是A.P ∩Q =PB.P ∩Q QC.P ∪Q =QD.P ∩Q P4.设U 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q U ，若求含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______________.5.已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛x ｜x ∈A ，x ∈Ｎ*｝，C ＝｛x ｜x A ｝，则A 、B 、C 之间的关系是___________________.●典例剖析【例1】 已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.深化拓展∅⊆（2004年上海，19）记函数f （x ）=的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B . （1）求A ；（2）若B A ，求实数a 的取值范围.【例2】 （2004年湖北）设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P =Q D.P ∩Q =Q132++-x x ⊆【例3】已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.●闯关训练夯实基础1.集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－y=2}，则A∩B是A.（1，－1）B.C.{（1，－1）}D.{1，－1}2.（2004年上海，3）设集合A ={5，log 2（a +3）}，集合B ={a ，b }.若A ∩B ={2}，则A ∪B =______________.3.设A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________.4.已知集合A ={x ∈R|ax 2+2x +1=0，a ∈R}只有一个元素，则a 的值为__________________.5.（2004年全国Ⅰ，理6）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ，则下列各式中错误．．的是 A.（I A ）∪B =I B.（I A ）∪（I B ）=I C.A ∩（I B ）= D.（I A ）∩（I B ）=I B 6.（2005年春季北京，15）记函数f （x ）=log 2（2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）= 的定义域为集合N .求：（1）集合M 、N ； （2）集合M ∩N 、M ∪N .⎩⎨⎧-==11y x ⊆⊆∅)1)(3(--x x培养能力7.已知A ={x ∈R|x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R|x ＞0}=，求实数p 的取值范围.8.已知P ={（x ，y ）|（x +2）2+（y －3）2≤4}，Q ={（x ，y ）|（x +1）2+（y －m ）2＜}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.探究创新9.若B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由.41●思悟小结1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.教学点睛1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.3.强化数形结合、分类讨论的数学思想.拓展题例【例1】设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x N}，则M－（M－N）等于A.NB.M∩NC.M∪ND.M【例2】设集合P={1，a，b}，Q={1，a2，b2}，已知P=Q，求1+a2+b2的值.。
集合的基本概念与运算方法
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。
例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。
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(9)集合P x，1，Q y，1，2 其中x，y 1，2， ，
9 且P Q，把满足上述条件的一对有序整数(x , y)
作为一个点，这样的点的个数是( B )
（A）9
（B）14
（C）15
（D）21
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能力·思维·方法
1.已知全集为R，A＝｛y|y＝x2+2x+2｝，
B＝｛y|y=x2+2x-8｝，求：
{2,4,5},那么 (CsM)∩(CsN)等于( A )
(A)Φ
(B){1,3}
(C){4}
(D){2,5}
(5)若
a，ab
，1
a2 ，a b，0
，则a2002+b2003＝__1__.
(6)已知集合M={-1, 1, 2}, 集合N={y|y=x2,x∈M },
则M∩N是( B ) （A） {1, 2, 4}
(即A S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，
叫做集合A在全集S中的补集(或余集)．
三、集合之间的运算性质
1.交集的运算性质 A∩B＝B∩A，A∩B A，A∩B B，A∩A＝A， A∩Φ＝Φ，A BA∩B＝A 2.并集的运算性质 A∪B＝B∪A，A∪B A，A∪B B，A∪A＝A， A∪Φ＝A，A BA∪B＝B 3.补集的运算性质 CS(CSA)=A，CSΦ=S，A∩CSA＝Φ， A∪CSA＝S CS(A∩B)＝(CSA)∪(CSB)， CS(A∪B)＝(CSA)∩(CSB)
课后作业： 课本P42第1——6题，P43第1——3题.
限个)，无限集(元素个数是无限个)，空集(不含任何 元素).
3.集合中元素的性质 对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、
互异性、无序性
4.集合的表示方法 ①列举法； ②描述法； ③图示法； ④字母法
二、元素与集合、集合与集合之间的关系
1. 元素与集合是“∈”或“ ”(或“ ”)的关系
元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在 大小与相等关系.
集合的概念及运算
安吉县昌硕高级中学高一数学组
要点·疑点
一、集合的基本概念及表示方法
1.集合与元素 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个
集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C…表示.
集合中的每一个对象叫做Байду номын сангаас合的一个元素，通常用
小写字母a、b、c…表示
2.集合的分类 集合按元素多少可分为：有限集(元素个数是有
T={x︱x=4k±1,k∈Z},那么 ( C )
(A)S真包含于T (B)T真包含于S
(C)S=T
(D)S≠T
(3)如果X={x︱x2-x=0},Y ={x︱x2+x=0}, 那么X∩Y等于（ B ）
(A)0 (B){0} (C)Φ (D){-1,0,1}
(4)S={1,2,3,4,5},M={1,3,4},N=
(4)运算关系
①交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组 成的集合叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即 A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}
②并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组 成的集合叫做集合A与B的并集，记为A∪B，即 A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}
③补集：一般地设S是一个集合，A是S的一个子集
【解题回顾】(1)注意下面的等价关系①A∪B＝B A B② A∩B＝AA B；(2)用“数形结合思想”解题时，要特别 注意“端点”的取舍问题
3.已知三个集合A＝｛x∣x2-3x+2=0｝, B＝ ｛x∣x2-ax+(a-1)=0｝, C＝｛x∣x2-bx+2=0｝,且
B 不包含于A,C A,求a、b的值
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四、有限集合的子集个数公式 设有限集合A中有n个元素，则A的子集个数有
2n个，其中真子集的个数为2n-1个，非空子集个数 为2n-1个，非空真子集个数为2n-2个
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课前热身
（1）如果X＝｛x︱x>-1},那么（D）
（A）0 X
（B）｛0｝∈X
（C）Φ ∈X
（D）｛0｝ X
（2）如果S={x︱x=2n+1,n∈Z},
(1)A∩B； (2)A∪CRB；
(3)(CRA)∩(CRB)
【解题回顾】本题涉及集合的不同表示方法，准确认识 集合A、B是解答本题的关键；对(3)也可计算CR(A∪B)。
2．已知集合A＝｛x｜x2-x-6＜0}，B＝｛x｜0＜x-m＜9｝ (1) 若A∪B＝B，求实数m的取值范围； (2) 若A∩B≠φ，求实数m的取值范围.
（B） { 1 }
（C） {1，4}
（D） Φ
(7) 已知集合M
12，a，集合P
x
x x
1 2
0，x
Z，
M∩P＝{ 0 }，若M∪P＝S. 则集合S的真子集个数是
（D ）
（A） 8
（B） 7
（C） 16
（D） 15
(8)集合S，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所 表示的集合是( D ) (A) M∩(N∪P) (B) M∩CS(N∩P) (C) M∪CS(N∩P) (D) M∩CS(N∪P)
2.集合与集合之间的关系 (1)包含关系
如果x∈A，则x∈B，则集合A是集合B的子集， 记为A B或B A 显然AA，Φ A
(2)相等关系 对于集合A、B，如果AB，同时B A，那么称
集合A等于集合B，记作A＝B
(3)真子集关系 对于集合A、B，如果A B，并且A≠B，我们
就说集合A是集合B的真子集 显然，空集是任何非空集合的真子集