北师大版七年级数学下册_第1章_整式的乘除_1.5_平方差公式1
判断下面计算是否正确
1 1 1 2 （1） ( x 1)( x 1) x 1 2 2 2
（
× ）
（2）( 3x – y )( -3x + y ) = 9x2 - y2 （
（3）( m + n )(-m – n ) = m2 - n2 （
× ）
×
)
（ 1） ( 5 + 6 a ) ( 5 - 6a) （ 2） ( a - 2b ) ( a + 2b ) （ 3 ） ( -a + b ) ( -a - b ) （4）( -2x + 3 ) ( 3 + 2x ) （ 5） ( 3b + 2a ) ( 2 a - 3 b ) （6）( -4a - 1 ) (-4a + 1 )
25 – 36a2 a2 – 4b2 a2 – b2 9 – 4x2 4a 2 – 9b2 16a2 – 1
1. 必做题：课本P21习题1.9 2. 选做题： 你能用图形来验证平方差公式吗？
多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，就是先用一个多 项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加。
计算下列各题：
（ 1） ( x + 2 ) ( x - 2 )
（ 2） ( 1 + 3a ) ( 1 -ห้องสมุดไป่ตู้3a )
（ 3） ( x + 5y ) ( x - 5 y )
（ 4） ( y + 3z ) ( y - 3z ) 观察以上算式及其运算结果， 平方差公式： 你有什么发现？ ( a + b ) ( a − b ) ＝ a2 − b2 再举两例验证你的发现。
平方差公式： 两数和与这两数差的积， (a+b)(a−b) = a2−b2 等于它们的平方差。
特殊之处： (1)公式左边两个二项式必须是相同数的和与差相乘， 且左边两括号内的第一项相同，第二项符号相反。
(2)公式右边是这两个数的平方差， 即括号内第一项2减去第二项2。 (3)公式中的a和b可以代表数，也可以是代数式。
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》说课稿1
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》说课稿1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容。
这一节主要介绍平方差公式的概念、推导过程及其应用。
平方差公式是初等数学中的一个重要公式，它不仅在代数学习中占有重要地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
本节课的内容为后续学习完全平方公式、二次方程等知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法运算，对因式分解有一定的了解。
但是，对于平方差公式的推导过程和应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们通过观察、分析、归纳等方法，自主探索并掌握平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的概念和推导过程，能够运用平方差公式进行简单的计算和问题求解。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于挑战、积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何运用平方差公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索平方差公式。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合几何画板等软件，直观展示平方差公式的推导过程。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发他们的学习兴趣。
2.自主探索：引导学生观察、分析实际问题，鼓励他们尝试用自己的方法解决。
3.小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法和思路，互相学习，共同进步。
4.讲解与示范：教师对学生的方法进行点评，并进行平方差公式的讲解和示范。
5.练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
6.拓展与应用：引导学生运用平方差公式解决实际问题，提高他们的应用能力。
北师大版七年级(下册)数学知识点总结
北师大版数学七年级下册知识点总结第一章 整式的乘除1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+•+5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷8、零指数和负指数；10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。
p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
9、科学记数法：如：0.00000721=6-1021.7⨯（第一个非零数字前零的个数）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
北师大版七年级数学下册知识点汇总
北师大版七年级数学下册知识点汇总第一章：整式的乘除。
1. 同底数幂的乘法。
- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m· a^n=a^m + n（m，n 都是正整数）。
- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
2. 幂的乘方与积的乘方。
- 幂的乘方：(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。
例如(3^2)^3=3^2×3=3^6。
- 积的乘方：(ab)^n=a^nb^n（n是正整数）。
例如(2×3)^2=2^2×3^2=4×9 = 36。
3. 同底数幂的除法。
- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）。
例如3^5÷3^2=3^5 - 2=3^3。
- 零指数幂：a^0=1(a≠0)。
例如5^0=1。
- 负整数指数幂：a^-p=(1)/(a^p)(a≠0,p是正整数)。
例如2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。
4. 整式的乘法。
- 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如3x^2y·(- 2xy^3)=-6x^3y^4。
- 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即m(a + b + c)=ma+mb+mc。
- 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如(x + 2)(x - 3)=x^2-3x+2x - 6=x^2-x - 6。
5. 平方差公式。
- 公式：(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
例如(3 + 2)(3 - 2)=3^2-2^2=9 - 4 = 5。
6. 完全平方公式。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2，(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
1.5节平方差公式1教案北师大版七年级数学下册
课题：1.5平方差公式（1）课标与教材分析：课标要求：1.内容标准会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算2.能力目标：（1）经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.（2）通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.教材分析：本节课是七下教材第一章《整式的乘法》第5节内容。
本节课所学主要知识是平方差公示的推导及利用平方差公式进行简单计算，学生只要理解转化的方法和依据，本节课知识就迎刃而解了。
所以，通过前面的学习，学生具备了学习本课的知识基础。
从前一节课的学习中，力求通过变式练习及巩固检测，帮助学生加深对于多项式乘以多项式应用，学生的计算能力得到进一步提高，也为本课学习奠定了基础。
教学重点：运用平方差公式进行简单的计算教学难点：探索平方差公式的过程。
思想方法分析：提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，公式中的a和b分别是什么，注意负号和括号等细节.本节课从复习旧知识入手，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材的在内容安排上螺旋上升的特点.采用合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣.学情分析：学生已经知道的：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.学生能解决的：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力需要教师指导解决的：但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.教学目标：1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.创新支点：平方差公式的推导实质上就是多项式乘以多项式中的一种特殊情况，在解决问题中要注意观察算式的特点和结果的特点，通过对等式两边代数式结构进行对比，并让学生进一步举例，最后概括出一般性的结论。
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是初中学历阶段非常重要的一个公式，它不仅在数学计算中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解、有理数运算等概念有一定的了解。
但学生在学习新知识时，往往还依赖于死记硬背，对于公式的推导和证明过程缺乏理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生主动探索，理解平方差公式的推导过程，提高学生的逻辑思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，理解并熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和运用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及理解公式背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、探究学习法等，引导学生主动探索，提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：笔记本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
例如，一块正方形的土地，如果每边减少3米，新的土地面积是多少？让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）引导学生列出正方形土地面积的计算公式，然后展示平方差公式的推导过程。
通过示例，让学生理解平方差公式的含义，并学会如何运用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方差公式的练习题，巩固所学知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生掌握平方差公式的运用。
北师大版《数学》(七年级下册)概念总结
北师大版《数学》（七年级下册）概念总结第一章整式的乘除1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘方等于积中每一个因式分别乘方。
4.同底数幂相除，底数不变，指数相加。
5.除0外的任何数的零次方都是一6.单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
7.单项式与多项式相乘，就是根据分配侓用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
8.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
9.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于与他们的平方差。
10.完全平方公式：11.单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只含在被除式里含有的字母，则连同他的指数作为商的一个因式。
12.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
第二章相交线与平行线1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
2.在同一平面内，若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
3.在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
4.对顶角相等。
5.如果两个角的和是180°，称这两个角互为补角。
6.如果两个角的和是90°，称这两个角互为余角。
7.同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
8.两条直线相交成四个角，如果有一个是直角，那么称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
9，平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
10.垂线线段最短。
11、在同一平面内：同位角相等内错角相等两直线平行同旁内角互补.12．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行于同一条直线的两只线平行。
13.平行线的定义：同位角相等两直线平行内错角相等同旁内角互补第三章三角形1三角形的内角和是180°。
2直角三角形的两个锐角互余。
北师大版七年级下册数学各章知识点总结复习整理
北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算 同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m ）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a ≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。
七、整式的乘除法：1(0)p p a a a -=≠法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
1平方差公式
例2 利用平方差公式计算：
( x + y+z)( x + y – z).
平方差公式中的a，b
可以是单项式也可以为多 项式。
解： 原式=[(x + y)+z][( x + y)–z]
= (x + y)2–z2
例3 先化简，再求值 ：
北师大版七年级下册第一章『整式的乘除』
1.5 平方差公式
第1课时
-.
学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简
单的运算.（难点）
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a米的正方 形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5米，宽度是 正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换一下值日的区域吧， 反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对吗？为什么？
练一练：口答下列各题：
(l)(－a+b)(a+b)=__b_2_－__a_2__.
(2)(a－b)(b+a)= __a__2_－__b_2__. (3)(－a－b)(－a+b)= __a_2_－__b_2_. (4)(a－b)(－a－b)= __b__2_－__a_2_.
例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝=m2－n2.
a
(a+5)
2024年北师大版七下数学1.5平方差公式第1课时平方差公式的认识教学设计
2024年北师大版七下数学1.5平方差公式第1课时平方差公式的认识教学设计一. 教材分析平方差公式是初中数学中的重要内容，对于学生来说，掌握平方差公式对于理解和掌握后续的代数知识有着重要的意义。
本节课的内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方的知识基础上进行讲解的，通过平方差公式的学习，使学生能够掌握两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积的两倍，并能够运用平方差公式解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、平方的知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但部分学生在理解上可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式，能够运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究的学习方式，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：理解平方差公式的推导过程和背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、小组合作学习法、引导发现法等，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备平方差公式的推导过程的动画或视频。
3.准备一些实际问题，用于引导学生运用平方差公式解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用问题驱动法，引导学生回顾有理数的乘法和平方的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现平方差公式，引导学生观察和思考，引导学生发现平方差公式的规律。
3.操练（10分钟）利用平方差公式的推导过程的动画或视频，引导学生直观地理解平方差公式的推导过程，使学生能够理解和掌握平方差公式。
4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。
北师大版七年级数学下册_第1章_整式的乘除_1.6_完全平方公式1
计算并观察下列算式及其运算结 果，你有什么发现？ (1) ( a + 5 )2 ＝a2 +10a+25 (2) ( 3 + 2a )2 ＝9+12a+a2
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
两数和的平方，等于这两数的平方和加上 这两数乘积的2倍。
特殊之处：
左边是
二项式（两数）的和的平方
什么是平方差公式？
1、平方差公式：( a + b ) ( a－b ) = a2－b2
具备什么特点的两个多项式相乘，才能应 用平方差公式？
2、公式的结构特点：左边是两个二项式 的乘积，即两数和与这两数差的积；右边 是两数的平方差。
应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式 3）注意计算过程中的符号和括号
1. 习题1.11 . 2. 拓展练习： ( a + b )2与( a － b )2有怎样的联系？能否用 一个等式来表示两者之间的关系，并尝试 用图形来验证你的结论？
利用完全平方公式进行计算：
(1) ( 2x − 3 ) 2
(2) ( 4x + 5y ) 2 (3) ( mn – a ) 2 (4) ( -a + b) 2 (5) ( -a – b) 2
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) ( 7ab + 2 ) 2 ＝ 49ab2 + 28ab + 4 (2) ( 2a + 1) 2 ＝ 4a2 + 1
a-b a-b
b
完全平方公式： ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a – b ) 2 = a2 - 2ab + b2