2006年江苏高考数学试题(理科)及答案
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷二)及答案
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选D3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选B7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选A．8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选D．9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选D11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选A．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为319．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）24．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．25．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．27．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入上式得S nS n﹣2S n+1=0．①﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
2006年高考江苏卷数学试题及参考答案
2006 年高考江苏卷数学试题及参考答案参考公式:一组数据x 1, x 2, ⋯, x n 的方差S2 =1n[ ( x 1 - x- ) 2 + ( x 2 - x- ) 2 + ⋯+ ( x n -x-) 2] ,其中x- 为这组数据的平均数.一、选择题: 本大题共10 小题, 每小题5 分, 共50 分.在每小题给出的四个选项中,·恰·有·一·项是符合题目要求的.( 1) 已知a ∈R, 函数f ( x ) = sinx - ûaû, x ∈R 为奇函数, 则a = ( )( A) 0 ( B) 1 ( C) - 1 ( D) ±1( 2) 圆( x - 1) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1 的切线方程中有一个是( )( A) x - y = 0 ( B) x + y = 0( C) x = 0 ( D) y = 0( 3) 某人5 次上班途中所花的时间( 单位: 分钟) 分别为x , y , 10, 11, 9. 已知这组数据的平均数为10,方差为2, 则ûx - y û的值为( )( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4( 4) 为了得到函数y = 2sin(x3+P6) , x ∈R 的图象, 只需把函数y = 2sin x , x ∈R 的图象上所有的点( )( A) 向左平移P6个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍( 纵坐标不变)( B) 向右平移P6个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍( 纵坐标不变)( C) 向左平移P6个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍( 纵坐标不变)( D) 向右平移P6个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍( 纵坐标不变)( 5) ( x -13x) 10 的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )( A) 0 ( B) 2 ( C) 4 ( D) 6( 6) 已知两点M( - 2, 0) , N ( 2, 0) , 点P 为坐标平面内的动点, 满足ûMN ûõûMP û+ MN õN P =0, 则动点P( x , y ) 的轨迹方程为( )( A) y 2 = 8x ( B) y 2 = - 8x( C) y 2 = 4x ( D) y 2 = - 4x( 7) 若A , B , C 为三个集合, A ∪B = B ∩C, 则一定有( )( A) A A C ( B) C A A( C) A ≠C ( D) A = Á( 8) 设a, b, c 是互不相等的正数, 则下列不等式中²不²恒²成²立的是( )( A) ûa - bû≤ûa - cû+ ûb - cû( B) a2 +1a2 ≥a +1a( C) ûa - bû+1a - b≥2( D) a + 3 - a + 1 ≤a + 2 - a图1 图2( 9) 两个相同的正四棱锥组成如图1 所示的几何体,可放入棱长为1 的正方体内, 使正四棱锥的底面A BCD 与正方体的某一个面平行, 且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )( A) 1 个( B) 2 个( C) 3 个( D) 无穷多个图3( 10) 右图中有一个信号源和五个接收器. 接收器与信号源在同一个串联线路中时, 就能接收到信号, 否则就不能接收到信号. 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组, 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组, 再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接, 则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )( A)445( B)136( C)415( D)815二、填空题: 本大题共6 小题, 每小题5 分, 共30 分.( 11) 在△A BC 中, 已知B C = 12, A = 60°,B = 45°,则A C = .( 12) 设变量x , y 满足约束条件²46 ²中学数学月刊2006 年第7 期2x - y ≤ 2,x - y ≥- 1,x + y ≥ 1,则z = 2x + 3y 的最大值为.( 13) 今有2 个红球、3 个黄球、4 个白球, 同色球不加以区分, 将这9 个球排成一列有种不同的方法( 用数字作答) .( 14) cot 20°cos 10°+ 3 sin 10°t an 70°- 2co s 40°= .( 15) 对正整数n, 设曲线y = x n( 1 - x ) 在x = 2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n, 则数列a nn + 1的前n 项和的公式是.( 16) 不等式log 2( x +1x+ 6) ≤ 3 的解集为.三、解答题: 本大题共5小题, 共70 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.( 17) ( 本小题满分12 分, 第一小问满分5 分, 第二小问满分7 分)已知三点P ( 5, 2) , F1( - 6, 0) , F2( 6, 0) .( Ⅰ) 求以F1, F2 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;( Ⅱ) 设点P, F1, F2 关于直线y = x 的对称点分别为P′,F′1, F′2, 求以F′1, F′2 为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程.图4( 18) ( 本小题满分14 分)请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥( 如右图所示) . 试问当帐篷的顶点O 到底面中心O1 的距离为多少时, 帐篷的体积最大?( 19) ( 本小题满分14 分, 第一小问满分4 分, 第二小问满分5 分, 第三小问满分5 分)在正三角形A BC 中, E, F, P 分别是AB , A C,BC 边上的点, 满足A E∶EB = CF∶FA =CP∶P B = 1∶2( 如图5) . 将△A EF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置, 使二面角A1 - EF - B成直二面角, 连结A 1B , A 1P( 如图6) .( Ⅰ) 求证: A1E ⊥平面BE P;( Ⅱ) 求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小;( Ⅲ) 求二面角B - A1P - F 的大小( 用反三角函数值表示) .图5 图6( 20) ( 本小题满分16 分, 第一小问满分4 分, 第二小问满分6 分, 第三小问满分6 分)设a 为实数, 记函数f ( x ) = a 1 - x 2 +1 + x + 1 - x 的最大值为g ( a) .( Ⅰ) 设t = 1 + x + 1 - x , 求t 的取值范围, 并把f ( x ) 表示为t 的函数m( t) ;( Ⅱ) 求g( a) ;( Ⅲ) 试求满足g( a) = g(1a) 的所有实数a.( 21) ( 本小题满分14 分)设数列{ a n} , { b n} , { c n} 满足:b n = a n - a n+ 2,c n = a n + 2a n+ 1 + 3a n+ 2( n = 1,2, 3, ⋯) ,证明{ a n} 为等差数列的充分必要条件是{ c n} 为等差数列且b n ≤ __________b n+ 1 ( n = 1, 2, 3, ⋯) . 参考答案一、( 1) A ( 2) C ( 3) D ( 4) C ( 5) B( 6) B ( 7) A ( 8) C ( 9) D ( 10) D二、( 11) 4 6 ( 12) 18 ( 13) 1 260 ( 14) 2 ( 15) 2n+ 1 - 2 ( 16) ( - 3 - 2 2 , - 3 +2 2 ) ∪{ 1}三、( 17) 解( Ⅰ) 由题意, 可设所求椭圆的标准方程为x 2a2 +y 2b2 = 1( a >b > 0) ,其半焦距c = 6.2a = ûPF1û+ ûP F2û= 112 + 22 +12 + 22 = 6 5 .故a = 3 5 , b2 = a2 - c2 = 45 - 36 = 9.所以所求椭圆的标准方程为x 245+y 29= 1.( Ⅱ) 点P( 5, 2) , F1( - 6, 0) , F2( 6, 0) 关于直线y= x 的对称点分别为P′(2, 5) , F′1( 0, - 6) ,F′2( 0, 6) .设所求双曲线的标准方程为y 2a21-x 2b21= 1( a1 >2006 年第7期中学数学月刊²4 7 ²0, b1 > 0) .由题意知, 半焦距c1 = 6,2a1 = ûP′F′1û- ûP′F′2û=112 + 22 - 12 + 22 = 4 5 .所以a1 = 2 5 , b21= c21- a21= 36 - 20 = 16.所以所求双曲线的标准方程为y 220-x 216= 1.( 18) 解设OO1 为x m, 则1 <x < 4.由题设可得正六棱锥底面边长为( 单位: m )32 - ( x - 1) 2 = 8 + 2x - x 2 .于是底面正六边形的面积为( 单位: m2 )6 õ34õ( 8 + 2x - x 2) 2 =3 32( 8 +2x - x 2) .帐篷的体积为( 单位: m3)V( x ) =3 32( 8 + 2x - x 2) [13( x - 1) +1] =32( 16 + 12x - x 3 ) .求导数, 得V′(x ) =32( 12 - 3x 2 ) .令V′(x ) = 0, 解得x = - 2( 不合题意, 舍去) ,x = 2.当1 <x < 2 时, V′(x ) > 0, V( x ) 为增函数;当2 <x < 4 时, V′(x ) < 0, V( x ) 为减函数.所以当x = 2 时, V ( x ) 最大.答: 当OO1 为2 m 时, 帐篷的体积最大.( 19) 解不妨设正三角形A BC 的边长为3.图6 图7( Ⅰ) 在图6 中, 取BE 的中点D, 连结DF.因A E∶EB = CF∶FA = 1∶2, 故AF = AD= 2, 而∠A = 60°,所以△A DF 是正三角形. 又AE = DE = 1, 所以EF ⊥A D.在图7 中, A 1E ⊥EF, BE ⊥E F,故∠A 1EB 为二面角A1 - EF - B 的平面角.由题设条件知此二面角为直二面角, 所以A 1E⊥BE .又BE ∩E F = E, 所以A1E ⊥平面BEF, 即A 1E ⊥平面BEP .( Ⅱ) 在图7 中, 因A 1E 不垂直于A1B , 故A 1E 是平面A 1BP 的斜线.又A 1E ⊥平面BEP , 所以A 1E ⊥BP ,从而BP 垂直于A 1E 在平面A1BP 内的射影( 三垂线定理的逆定理) .设A 1E 在平面A 1B P 内的射影为A 1Q, 且A 1Q交B P 于点Q, 则∠EA 1Q 就是A1E 与平面A 1BP 所成的角,且B P ⊥A 1Q.在△EB P 中, 因BE = BP = 2, ∠EBP = 60°,故△E BP 是等边三角形, 所以B E = EP .又A 1E ⊥平面B EP, 故A 1B = A1P , 所以Q 为BP 的中点, 且EQ = 3 .又A1E = 1, 在Rt△A 1EQ 中, tan∠EA 1Q =EQA 1E= 3 . 所以∠EA 1Q = 60°.所以直线A 1E 与平面A1B P 所成的角为60°.图8( Ⅲ) 在图8 中, 过F 作FM ⊥A1P 于M, 连结QM , QF .因CF = CP = 1, ∠C =60°,所以△FCP 是正三角形, 所以PF = 1.又P Q =12BP = 1, 所以P F = P Q. ¹因A 1E ⊥平面BEP , EQ = EF = 3 ,所以A 1F = A1Q, 所以△A 1FP ≌△A 1QP,从而∠A 1PF = ∠A 1PQ. º由¹, º及MP 为公共边知△FMP ≌△QM P,所以∠QMP = ∠FMP = 90°,且MF = MQ,从而∠FMQ 为二面角B - A1P - F 的平面角.在Rt△A 1QP 中, A 1Q = A 1F = 2, P Q = 1, 所以A 1P = 5 .因MQ ⊥A 1P, 所以MQ =A1Q õPQA 1P=2 55, 所以MF =2 55.在△FCQ中, FC = 1, QC = 2, ∠C = 60°,由余弦定理得QF = 3 .在△FMQ 中, cos∠FMQ =²48 ²中学数学月刊2006 年第7 期M F2 + MQ2 - QF 22MF õMQ= -78.所以二面角B - A 1P - F 的大小为P- arccos78.本题( Ⅱ) , ( Ⅲ) 也可建立空间直角坐标系后利用向量求解.( 20) 解( Ⅰ) 因t = 1 + x + 1 - x ,故要使t 有意义, 必须1 + x ≥ 0 且1 - x ≥ 0,即- 1 ≤x ≤ 1.因t2 = 2 + 2 1 - x 2 ∈ [ 2, 4] , t ≥ 0, ¹所以t 的取值范围是[ 2 , 2] .由¹得1 - x 2 =12t2 - 1,所以m( t) = a(12t2 - 1) + t =12at2 + t - a,t ∈ [ 2 , 2] .( Ⅱ) 由题意知g( a) 即为函数m( t) =12at2 +t - a, t ∈ [ 2 , 2] 的最大值.注意到直线t = -1a是抛物线m( t) =12at2+ t - a 的对称轴, 分以下几种情况讨论.( 1) 当a > 0 时, 函数y = m( t) , t ∈ [ 2 , 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t =-1a< 0 知m( t) 在[ 2 , 2] 上单调递增,所以g ( a) = m( 2) = a + 2.( 2) 当a = 0 时, m( t) = t, t ∈ [ 2 , 2] ,所以g ( a) = 2.( 3) 当a < 0 时, 函数y = m( t) , t ∈[ 2 , 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段.若t = -1a∈ ( 0, 2 ] , 即a ≤-22, 则g( a) = m( 2 ) = 2 .若t = -1a∈ ( 2 , 2] , 即a ∈ ( -22,-12] , 则g( a) = m( -1a) = - a -12a.若t = -1a∈ ( 2, + ∞) , 即a ∈ ( -12, 0) , 则g( a) = m( 2) = a + 2.综上有g ( a) =a + 2, a > -12 ,- a -12a, -22<a ≤-12,2 , a ≤-22.( Ⅲ) 情形1: 当a < - 2 时,1a> -12, 此时g ( a) = 2 , g(1a) =1a+ 2.由2 +1a= 2 解得a = - 1 -22, 与a< - 2 矛盾.情形2: 当- 2 ≤a < - 2 时, - 22<1a≤-12, 此时g ( a) = 2 ,g (1a) = -1a-a2, 由2 = -1a-a2解得a = - 2 , 与a < - 2 矛盾. 情形3: 当- 2 ≤a ≤-22时, - 2≤ 1a≤ -22, 此时g ( a) = 2 = g(1a) ,所以- 2 ≤a ≤-22.情形4: 当-22<a ≤-12时, - 2 ≤ 1a< - 2 , 此时g ( a) = - a -12a,g (1a) = 2 , 由- a -12a= 2 解得a= -22, 与a > -22矛盾.情形5: 当-12<a < 0 时,1a< - 2, 此时g ( a) = a + 2, g(1a) = 2 ,由a + 2 = 2 解得a = 2 - 2, 与a > -12矛盾.情形6: 当a > 0 时,1a> 0, 此时g( a) = a +2, g(1a) =1a+ 2,由a + 2 =1a+ 2 解得a = ± 1, 由a > 0 知a= 1.综上知, 满足g( a) = g(1a) 的所有实数a 为:- 2 ≤a ≤-22或a = 1.2006 年第7期中学数学月刊²4 9 ²( 21) 证明必要性. 设{ a n } 是公差为d1 的等差数列, 则b n+ 1 - b n = ( a n+ 1 - a n+ 3) - ( a n - a n+ 2) =( a n+ 1 - a n) - ( a n+ 3 - a n+ 2 ) = d 1 - d1 = 0,所以b n ≤b n+ 1( n = 1, 2, 3, ⋯) 成立.又c n+ 1 - c n = ( a n+ 1 - a n ) + 2( a n+ 2 - a n+ 1) +3( a n+ 3 - a n+ 2) = d1 + 2d 1 + 3d1 = 6d1 ( 常数) ( n = 1, 2, 3, ⋯) ,所以数列{ c n} 为等差数列.充分性. 设数列{ c n} 是公差为d2 的等差数列,且b n ≤b n+ 1( n = 1, 2, 3, ⋯) .因c n = a n + 2a n+ 1 + 3a n+ 2, ¹故c n+ 2 = a n+ 2 + 2a n+ 3 + 3a n+ 4. º¹- º得c n - c n+ 2 = ( a n - a n+ 2) + 2( a n+ 1 -a n+ 3) + 3( a n+ 2 - a n+ 4 ) =b n + 2b n+ 1 + 3b n+ 2.因c n - c n+ 2 = ( c n - c n+ 1) + ( c n+ 1 - c n+ 2 ) =- 2d 2,故b n + 2b n+ 1 + 3b n+ 2 = - 2d2, »从而有b n+ 1 + 2b n+ 2 + 3b n+ 3 = - 2d 2. ¼¼- »得( b n+ 1 - b n) + 2( b n+ 2 - b n+ 1) + 3( b n+ 3 - b n+ 2)= 0. ½因b n+ 1 - b n ≥ 0, b n+ 2 - b n+ 1 ≥ 0, b n+ 3 - b n+ 2 ≥0,故由½得b n+ 1 - b n = 0( n = 1, 2, 3, ⋯) .由此不妨设b n = d3( n = 1, 2, 3, ⋯) , 则a n -a n+ 2 = d 3( 常数) .由此c n = a n + 2a n+ 1 + 3a n+ 2 = 4a n + 2a n+ 1 -3d3,从而c n+ 1 = 4a n+ 1 + 2a n+ 2 - 3d 3 = 4a n+ 1 + 2a n- 5d 3.两式相减得c n+ 1 - c n = 2( a n+ 1 - a n) - 2d3 ,因此a n+ 1 - a n =12( c n+ 1 - c n) + d3 =12d2+ d3( 常数) ( n = 1, 2, 3, ⋯) ,所以数列{ a n} 是等差数列.图4( 上接第29 页) 若AM= 2, 则OA õ( OB +OC) 的最小值为.解由向量加法几何意义知: OB + OC= 2 OM, OM 与OA 的夹角为180°,所以OA õ( OB + OC) = 2 OA õOM = 2ûOA ûõûOMûõcos 180°=- 2ûOA ûõûOMû.设ûOA û= x , 因ûA Mû= 2, 故ûOMû= 2 - x ( 0 ≤x ≤ 2) ,所以OA õ( OB + OC) = - 2x ( 2 - x ) = 2( x - 1) 2 - 2 ≥- 2.所以当x = 1 时, OA õ( OB + OC) 的最小值为- 2.通过以上诸问题的研究, 我们可以看出:平面向量的数量积既是高考的重点, 也是热点, 而且以三角形为背景的题目年年出现. 所以我们在复习中应该立足于课本, 要善于回顾联想, 大胆探索, 类比猜想, 只有这样才能激发出内在的潜能和创造性, 才能真正地释放生命的灵性.1978 年7 月创刊2006 年第7 期( 总第278 期)2006 年7 月15 日出版主办单位苏州大学江苏省数学学会主管单位江苏省教育厅出版单位中学数学月刊编辑部( 邮编: 215006)印刷单位苏州大学印刷厂主编唐忠明常务副主编卢钦和发行苏州市邮电局责任编辑杨建明订阅全国各地邮局发行范围公开刊号ISSN 1004—1176 CN 32—1444/ O1报刊代号28—75定价 3. 00 元__。
2006年江苏省高考试题(数学)含详解汇总
2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考公式： 一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
（1）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 （2）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（5）10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6（6）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= （7）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A （8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 （9）两相同的正四棱锥组成如图1为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 某一个平面平行，且各顶点．．．的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个（10）右图中有一个信号源和五个接收器。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：ξ0123P∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M 的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：x （1，+∞）f′+﹣++（x）↑↓↑↑f（x）f（x）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f（x）在（，）为减函数．（Ⅱ）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．（ⅱ）当a＞2时，取x0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f（x0）＜f（0）=1（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax≥1，得f（x）=e ﹣ax ≥＞1．综上当且仅当a∈（﹣∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n}的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n}的前n项的和求首项a1与通项a n，可先求出S n，然后有a n=S n﹣S n﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；﹣1对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，再由①有S n﹣1将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006年高考.江苏卷.数学试题及详细解答
2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考公式：一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= 其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
（1）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1（2）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （5）10)31(x x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6（6）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-=（7）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A（8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a a a a 1122+≥+（C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 （9）两相同的正四棱锥组成如图1为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 某一个平面平行，且各顶点．．．的几何体体积的可能值有（A）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）无穷多个（10）右图中有一个信号源和五个接收器。
2006年江苏省高考数学试卷
2006年江苏省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．(★★★★)已知a∈R，函数f（x）=sinx-|a|，x∈R为奇函数，则a=（）A．0B．1C．-1D．±12．(★★★★)圆的切线方程中有一个是（）A．x-y=0B．x+y=0C．x=0D．y=03．(★★★★)某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟、分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为（）A．1B．2C．3D．44．(★★★★)为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5．(★★★★) 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）A．0B．2C．4D．66．(★★★★)已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）A．y2=8x B．y2=-8x C．y2=4xD．y2=-4x7．(★★★★)若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有（）A．A⊆C B．C⊆AC．A≠CD．A=∅8．(★★★)设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．9．(★★)两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个10．(★★)图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．(★★★★)在△ABC中，已知BC=12，A=60o，B=45o，则AC= ．12．(★★★★)设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18 ．13．(★★★★)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 1260 种不同的方法（用数字作答）．14．(★★★★) = 2 ．15．(★★)对正整数n，设曲线y=x n（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是 2 n+1-2 ．n+116．(★★)不等式的解集为．三、解答题（共5小题，满分70）17．(★★★)已知三点P（5，2）、F 1（-6，0）、F 2（6，0）．（Ⅰ）求以F 1、F 2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F 1、F 2关于直线y=x的对称点分别为P′、F 1′、F 2′，求以F 1′、F 2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．18．(★★★)请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？19．(★★★)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A 1EF的位置，使二面角A 1-EF-B成直二面角，连接A 1B、A 1P（如图2）（Ⅰ）求证：A 1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A 1E与平面A 1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B-A 1P-F的大小（用反三角函数表示）．20．(★★)设a为实数，设函数的最大值为g（a）．（Ⅰ）设t= ，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（Ⅱ）求g（a）；（Ⅲ）试求满足的所有实数a．21．(★★)设数列{a n}、{b n}、{c n}满足：b n=a n-a n+2，c n=a n+2a n+1+3a n+2（n=1，2，3，…），证明：{a n}为等差数列的充分必要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n=1，2，3，…）。
2006江苏数学高考真题
2006江苏数学高考真题2006年江苏省高考数学试题是考生备考的重要资料之一，通过分析这套试题，可以帮助考生更好地了解高考数学考试的题型和命题风格，帮助考生提高解题能力，为高考备考提供有益帮助。
一、填空题1. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，那么f(1) + f(2) + f(3)的值为多少？解析：将f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1代入计算得f(1) = 0，f(2) = 1，f(3) = 10，所以f(1) + f(2) + f(3) = 0 + 1 + 10 = 11。
2. 某银行推出月存息的储蓄存款，每月存款100元，存12年，月利率为0.1%，则本息为多少？解析：本题可以用终值和现值的方法来求解，根据利息的计算公式：本息 = 本金×(1 + 利率)^存款月数= 100×(1 + 0.001)^12×12 ≈ 1615.04元。
二、选择题1. 函数y = x^3 + 3x^2 - 15x + 1的图象关于直线y = 2x + 3对称，则x的取值范围是（ ）A. x ≥ 3;B. -3 ≤ x ≤ 0;C. -5 ≤ x ≤ 3;D. -3 ≤ x < 0.解析：当函数的图象关于直线y = ax + b对称时，函数也对称于直线y = ax + b，即对称轴为x = -a/2，所以应该求解2x + 3 = -x/2，解得x = -6，故x的取值范围为-5 ≤ x ≤ 3。
2. 射线OB在第一象限出发，穿过一下几条线段后，它的位置与如图（如图略）所示相同的是（ ）A. EF；B. GH；C. IJ；D. KL.解析：通过对射线OB穿过每条线段的位置进行分析，可以得出答案为EF。
三、计算题1. 解方程组2cosx - 5cos^3x = 1,3sinx + 4sin^3x = 1.解析：将两个方程相加可得cosx + sinx = 1，从而x = π/4或x = 5π/4。
2006年高考理科数学试题及答案(全国卷2)
2006高考理科数学试题全国II 卷一．选择题(1)已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（A ）∅ （B ）{}|03x x << （C ）{}|13x x << （D ）{}|23x x <<（2）函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（A ）2π （B ）4π （C ）4π （D)2π （3）23(1)i =- (A ）32i （B ）32i - （C)i （D ）i - （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(A ）316 （B ）916 （C ）38 （D ）932（5）已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（A）（B)6 （C)（D ）12（6）函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为（A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y e x +=> （D)1(1)x y e x -=>（7)如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为4π和6π.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、',B 则:''AB A B =（A)2:1 (B ）3:1 （C ）3:2 （D ）4:3（8）函数()y f x =的图像与函数2()log (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为（A ）21()(0)log f x x x =>（B ）21()(0)log ()f x x x =<-(C ）2()log (0)f x x x =-> (D ）2()log ()(0)f x x x =--<(9）已知双曲线22221x y -=的一条渐近线方程为4y x =，则双曲线的离心率为A'B'A B βα（A ）53 （B ）43 (C ）54 （D ）32（10）若(sin )3cos 2,f x x =-则(cos )f x =（A ）3cos2x - （B ）3sin 2x - （C ）3cos2x + （D ）3sin 2x +（11）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612SS =（A ）310 (B ）13 (C)18 （D)19（12）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为（A ）190 （B)171 （C ）90 （D ）45二．填空题：本大题共４小题，每小题４分,共１６分,把答案填在横线上.（13）在4101()x x+的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。
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2006年江苏高考数学试题（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1． 已知a R ∈，函数()sin ||,f x x a x R =-∈为奇函数，则a = （A ）0（B ）1（C ）1-（D ）1±2．圆22(1)(1x y -++=的切线方程中有一个是 （A ）0x y -=（B ）0x y +=（C ）0x =（D ）0y =3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）44．为了得到函数2sin(36x y x R π=+∈的图象，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点 （A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）（B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5．101)3x的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（A ）0（B ）2 （C ）4 （D ）66．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点，满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为（A ）28y x =（B ）28y x =-（C ）24y x =（D ）24y x =- 7．若A 、B 、C 为三个集合，A B B C = ，则一定有 （A ）A C ⊆ (B)C A ⊆ (C)A C ≠ (D)A =∅8．设,,a b c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||a b a c b c -≤-+- （B ）2211a a a a+≥+ （C ）1||2a b a b-+≥-（D ≤9．两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放入棱长为的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）无穷多个10．右图中有一信号源和五个接收器。
接收器与信号源在一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每级的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 （A ）445（B ）136（C ）415（D ）815O 1O二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．。
11．在ABC ∆中，已知12,60,45BC A B ==︒=︒，则AC=12．设变量,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则23z x y =+的最大值为13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
14．cot 20cos10tan 702cos 40︒︒︒︒-︒=15．对正整数n ，设曲线(1)ny x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列{}1na n +的前n 和的公式是 16．不等式21log (6)3x x++≤的解集为 三．解答题：本大题共5小题，共70分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或深处步骤。
17．（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分） 已知三点12(5,2),(6,0),(6,0)P F F -⑴求以12,F F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；⑵设点12,,P F F 关于直线y x =的对称点分别为''12',,P F F 求以''12,F F 为焦点且过点'P 的双曲线的标准方程。
18．（本小题满分14分）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）在正ABC ∆中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE ：EB=CF ：FA=CP ：PB =1：2（如图1），将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）⑴求证：1A E ⊥平面BEP ；⑵求直线A 1E 与平面A 1BP所成角的大小； ⑶求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数值表示）。
20．（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）设a 为实数，记函数()f x =()g a ⑴设t =t 的取值范围，并把()f x 表示成t 的函数()m t ； ⑵求()g a ；B PFBA图1⑶试求满足1()()g a g a=的所有实数a21．（本小题满分14分） 设数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：212,23(1,2,3,)n n n n n n n b a a c a a a n +++=-=++=证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是{}n c 为等差数列且1(1,2,3,)n n b b n +≤=2006年江苏高考数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。
1．已知R a ∈，函数a x x f -=sin )(，R x ∈为奇函数，则=a （A ）A ．0B ．1C ．-1D ．1±2．圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（C ）A ．0=-y xB ．0=+y xC ．0=xD ．0=y3．某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为x 、y 、10、11、9。
已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（D ）A ．1B ．2C ．3D ．44．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图象，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图象上的所有点（C ）A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5．10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（B ）A ．0B ．2C ．4D ．66．已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，0=⋅则动点),(y x P 的轨迹方程为（B ）A ．x y 82=B ．x y 82-=C ．x y 42=D ．x y 42-=7．若A 、B 、C 为三个集合，C B B A =，则一定有（A ） A ．C A ⊆ B ．A C ⊆ C ．C A ≠ D ．φ=A 8．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是（C ） A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．a a a a 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2139．两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体， 可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正 方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（D ）CDA ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个10．右图中有一个信号源和5个接收器，接收器与 信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号， 否则就不能收到信号。
若将图中左端的六个接线点 随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个 接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到 信号的概率是（D ）A ．454 B ．361 C ．154 D ．158 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
11．在△ABC 中，已知BC =12，A=60o ，B=45o ，则AC= 64 。
.12．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 18 。
13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有1260种不同的方法（用数字作答）。
14．︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ 2 。
15．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 221-+n 。
16．不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 }1{)223,223( +--- 。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分） 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。
（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。
[考点分析：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力][解]（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=b y )0(>>b a ，其半焦距6=c 。
||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； （II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为： )5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6） 设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 。