氢原子中电子的势能函数 定态薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数 定态薛定谔方程
说明角动量只能取由l决定的一系列分立值，
即角动量也是量子化的。
处于能级 的E原n 子,其角动量共有n种可能值，
即 l 0，1,，用2，s, p，,nd,…1表示角动量状态。
6
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氢原子内电子的状态
l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s 2p n =3 3s 3p 3d n =4 4s 4p 4d 4f
根据
En
13.6 eV n2
得
E2
13.6eV 3.40eV 22
角动量的大小为 L l(l1) 2
当l=1时，ml的可能值是-1, 0, +1，
π 4
arccos ml π2
l(l1) 3π 4
11
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三、氢原子中电子的概率分布
要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道定 态波函数：
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数 l，ml
可以取 2(l 1)个值。
8
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B(z)
2
角动量的空间量子化 o
2
L 6
l2
9
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10
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例题13-18 设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动 量大小 及角动量的空间取向。
解 ： 2p态表示 n=2, l=1。
§13-9 量子力学中的氢原子问题
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数 U e2
定态薛定谔方程
4π0r
2 2m(E e2 ) 0
氢原子 薛定谔方程
氢原子薛定谔方程引言薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了微观粒子的行为。
而氢原子是最简单的原子系统，因此研究其薛定谔方程有助于我们理解量子力学的基本原理。
本文将深入探讨氢原子薛定谔方程，从基本概念到具体计算，全面分析该方程的背景、推导和解析。
薛定谔方程简介薛定谔方程是描述量子系统的一维时间无关定态的方程。
对于一个粒子的波函数ψ(x)、能量E和势能V(x)，薛定谔方程可以写作：Ĥψ(x)=Eψ(x)其中，Ĥ是哈密顿算符，定义为Ĥ=−ℏ22md2dx2+V(x)，ℏ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，x是粒子的位置。
对于氢原子，势能V(x)由于原子核和电子之间的相互作用而产生。
氢原子的薛定谔方程氢原子是由一个质子和一个电子构成的，因此氢原子的薛定谔方程是描述电子在氢原子中的运动。
使用球坐标系，薛定谔方程可以重写为：[−ℏ22m(1r2ddr(r2ddr)−L̂22mr2)+V(r)]ψ(r,θ,ϕ)=Eψ(r,θ,ϕ)其中，L̂2是角动量算符的平方，定义为L̂2=−ℏ2(1sinθddθ(sinθddθ)+1sin2θd2dϕ2)。
氢原子的径向方程为了简化氢原子的薛定谔方程，我们考虑分离变量，假设波函数可以表示为一个径向部分和一个角向部分的乘积：ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)。
代入薛定谔方程并分离变量，可以得到径向方程和角向方程。
径向方程的推导通过分离变量，我们将薛定谔方程转化为径向方程和角向方程。
径向方程可以通过将薛定谔方程乘以r2并对角度积分得到。
经过一系列数学推导，可以得到氢原子的径向方程为：[−ℏ22md2dr2+ℏ22ml(l+1)r2+V(r)−E]R(r)=0其中，l是角量子数，通过求解该方程可以得到径向波函数R(r)和能量E。
解析解与数值解氢原子的薛定谔方程可以通过解析方法求解，得到精确的解析解。
然而，尽管存在解析解，推导和计算过程非常复杂，通常需要使用数值方法来近似求解。
物理 量子力学处理
定态薛定谔方程表示为： 定态薛定谔方程表示为：
1 2 ψ 1 ψ (r )+ 2 (sinθ ) 2 r θ r r r sinθ θ
1 e2 2ψ 2m )ψ = 0(1) + 2 2 + 2 (E + 2 4πε0r r sin θ
设方程的解
ψ = ψ (r,θ , ) = R(r)Θ(θ )Φ( )
量子力学习题课
一、选择题 1、金属的光电效应的红限依赖于： 、金属的光电效应的红限依赖于： （A）入射光的频率 ） （C）金属的逸出功 ） （B）入射光的强度 ） （D）入射光的频率和金属的逸出功 ） 与金属性质有关。 A= eU0 与金属性质有关。 =
A 解： ∵ν 0 = h
C
2、光电效应和康普顿效应都含有电子与光子的相互作用过程， 、光电效应和康普顿效应都含有电子与光子的相互作用过程， 在下列几种理解中，正确的是： 在下列几种理解中，正确的是： （A）两种效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守恒 ） 和能量守恒定律； 和能量守恒定律； （B）两种效应都相当电子与光子的弹性碰撞过程； ）两种效应都相当电子与光子的弹性碰撞过程； （C）两种效应都属于电子吸收光子的过程； ）两种效应都属于电子吸收光子的过程； （D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于 ）光电效应是吸收光子的过程， 光子与电子的弹性碰撞过程。 光子与电子的弹性碰撞过程。 光电效应过程： 解：光电效应过程： 电子吸收光子，过程能量守恒。 电子吸收光子，过程能量守恒。 康普顿效应： 为光子与电子弹性碰撞过程。过 康普顿效应： 为光子与电子弹性碰撞过程。 程满足能量守恒和动量守恒。 程满足能量守恒和动量守恒。
= ∑2(2l + 1) = 2n2
量子力学对氢原子的处理
(2)若 E<0, 即E=Ek+U<0 则 Ek＜U 根据其波函数必须满足的标准条件,解得
En
mee4
4
2 0
(2)2
1 n2
me4
8 02 h
2
1 n2
n=1,2,3,…
n 称为主量子数 n=1,2,3 ，…其决定着氢原子能量的取值。
5
n=1 ，称之为基态，代入有关数据,算得
E1 13.6eV
+
计算表明：
Lz ml ml 0,1,2...... l
Ml 称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。 对于一个给定的 l ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
9
例：当 l=2 时， L 与轴的夹角可有如图的几种形式。 ml=0，± 1,± 2 ml=0 ，表示 L与 Z轴垂直 ,"±"表示 L 对 Z 轴正负向的投影,
l 0
2
对应于每一个能级有 n2 个简并态，
对应于每一个电子状态,需要三个量子数 n, l, ml 来描述。
11
3, … (n-1) 电子的状态 , 现仍沿用这些称号。 例如， n=2,l=0,1 就分别称之为 2 s态和 2 p 态，其对应关 系详见下节教材。 (3)简并现象，简并态,简并度
上面计算表明，对应于一个主量子数 n,可有 n 个不同的 l 值，也就是说，在同一能级，电子可取 n 个不同的角动量，电 子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作 "简并" 现象。
d 2
d 2
ml
2
0
(1)
1
sin
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
氢原子的量子理论
1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2
氢原子薛定谔方程
氢原子薛定谔方程氢原子薛定谔方程是研究氢原子的基本理论模型，可以用于解析和预测氢原子的行为。
在氢原子中，只存在一个质子和一个电子，因此，它是理论物理学研究的首要模型之一。
氢原子薛定谔方程是基于量子力学原理推导而来的，它描述了氢原子在电磁场中的一系列行为，包括电子的能量、波函数及其演化规律等。
其数学表达式如下：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial^2 (r\psi)}{\partialr^2}+\frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2mr^2}\psi+V(r)\psi=E\psi$该式是解析薛定谔方程的基本形式。
其中，$\psi$是波函数，$m$是电子的质量，$\hbar$是普朗克常数，$r$是离子核与电子之间的距离，$\ell$是角动量量子数，$V(r)$是电子在离子核中的势能，$E$是氢原子的能量。
氢原子薛定谔方程的求解并非易事，这主要是因为它是一个偏微分方程。
在解析方面，有许多数学工具可以帮助我们进行计算，如分离变量法、拉普拉斯变换、傅里叶变换等等。
但对于比较复杂的氢原子体系，解析解可能并不是最好的选择。
通常，科学家和工程师使用不同数值技术，如有限元方法、有限差分方法等，来求解氢原子薛定谔方程。
在量子力学的研究中，最常用的氢原子薛定谔方程所表示的氢原子中，没有其他电子和离子核之间的相互作用。
如果涉及多个原子的分子时，我们就需要使用其他方程来解析它们的行为。
因此，氢原子薛定谔方程是在物理学研究中至关重要的方程之一。
总之，在理论物理学研究的发展中，氢原子薛定谔方程发挥了无比重要的作用。
它为科学家们提供了一个完整的模型来预测、解析氢原子在电磁场中的运动和行为，为人类探索宇宙和理解自然规律提供了更深刻的理论基础。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程是一个著名的电子结构理论，可以用来描述一个原子的电子状态。
它是一个带有四个变量的复合实现方程，被称为薛定谔方程。
它由20世纪伟大的物理学家Ernst Schrdinger发明，他是量子力学的创始人。
当谈到氢原子时，薛定谔方程还可以用来解释它的电子状态。
氢原子只有一个电子，因此为了解释它的电子状态，只需要一个薛定谔方程。
薛定谔方程可以如下表达：
iψ/t = ^2/2m·^2ψ + Vψ
其中，ψ表示波函数；i是虚数单位；表示普朗克常数，ψ/t表示时间导数；m是电子的质量；^2表示laplace算符；V表示电子的势能。
薛定谔方程简写为：
Hψ = εψ
其中，H表示哈密顿量，ε表示电子的能量。
对氢原子的薛定谔方程可以写为：
[^2/2m·^2+ V(r)E]ψ(r) = 0
其中，V(r)表示电子势能，E表示电子能量，r表示电子的位置半径。
解决氢原子的薛定谔方程需要一些技巧——定义一个适应性正交基函数组，利用拉普拉斯算符变换到正交空间，然后使用矩阵方法解决。
有时，哈密顿量可以被简化为一个对角矩阵，这一点取决于电
子势能的类型。
任何时候，电子能量的计算都是从在某个特定的位置的电子的能量开始的。
氢原子可以通过薛定谔方程来解释，并且可以计算出它的电子能量，解释的结果可以用来解释它的原子结构。
薛定谔方程对氢原子的电子状态起着至关重要的作用。
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1 n2
me4
8
2 0
h2
1 n2
13.6
1 n2
n 称为主量子数
同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认 为的假设。
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n =1 基态能量 E1 13.6eV
E
5
n =2,3,… 对应的能量称为激发态能量 E4
4
E2 3.40eV E3 1.51eV
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例题13-18 设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角 动量大小 及角动量的空间取向。
解 ： 2p态表示 n=2, l=1。
根据 En
13.6 eV n2
得
E2
13.6eV 3.40eV 22
角动量的大小为 L l(l1)h 2h
当l=1时，ml的可能值是-1, 0, +1，
0.4
0.3
n= 2 ,
0.2
l= 1
n= 2 ,
0.1
l= 0
r
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
r1
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电子的角分布概率由 Yl,ml ( ,) 2决定。
2
Yl,ml ( ,)与
无关，表示角向概率密度对于
z
轴
具有旋转对称性。
由坐标原点引向曲线的长度表示 方向的概率大小
E3
3
当n很大时，能级间隔消失而变为连续。 E2
2
当 n ，E 0
n 对应于电子被电离，氢原子
的电子电离能为
E E1 13.6 eV
E1
1
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2.轨道角动量量子化和角量子数
在求解角量 为,变量的函数所满足的方程时，进
一步得到角动量量子化的结果。
L l(l 1) h, l 1, 2,3,L , (n 1)
2 1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
r2 r r r2 sin
r 2 sin2 2
设波函数为 (r,,) R(r)( ) ()
代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常 微分方程。
在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准 条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。
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π 4
arccos ml π2
l(l1) 3π 4
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三、氢原子中电子的概率分布
要知道电子在氢原子中的分布，必须要知 道定态波函数：
n，l，ml Rn，l (r)l，ml ( ) ml ( )
Rnl (r) 称为径向函数；
Yl，ml l，ml ( )ml ( ) 称为角分布函数。
以下给出前几个函数：
R1,0
(r)
(
1 a0
)
3 2
2e
r
a0
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R2,0
(r)Biblioteka (1 2a03
)2
(2
r a0
)e
r
2 a0
R2,1 (r )
(
1
3
)2
2a0
r a0
3
e r 2a0
角分布函数：
a0为玻尔半径
Y0,0
1 4π
Y1,1 8π3 sin ei
Y1,0 43πcos Y2,0 165π(3cos2 1)
l 称为角量子数，或副量子数。
说明角动量只能取由l决定的一系列分立值， 即角动量也是量子化的。
处于能级 的E原n 子,其角动量共有n种可能值
，即 l 0，1，2,，用L ，s,np, d1,…表示角动量状态。
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3.轨道角动量空间量子化和磁量子数
氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分离
§13-9 量子力学中的氢原子问题
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数 U e2
定态薛定谔方程
4π0r
2 2m (E e2 ) 0
h2
4π0r
z
r x2 y2 z2
电子
为使求解的问题变得简便,
原核子 θ r
y
通常采用球坐标(r, ,。)
xφ
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拉普拉斯算符变为
值，其方向也有一定限制。若取外磁场B的方向为
轴，z角动量在 轴上z的投影 只能取Lz
Lz ml h ml 0, 1, 2,..., l
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数 l，ml
可以取 2(l 1)个值。
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B(z)
2
角动量的空间量子化 o
2
L 6
l2
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Y2 0,0
Y2 1,1
Y2 2,0
氢原子中电子的角分布
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n = 1, l = 0
ml = 0
n = 2, l = 1
ml = 0
ml =±1
n = 3, l = 2
ml = 0
ml =±1
ml =±2
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选择进入下一节 §13-0 教学基本要求 §13-1 热辐射 普朗克的能量子假设 §13-2 光电效应 爱因斯坦的光子理论 §13-3 康普顿效应 §13-4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论 §13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 §13-6 不确定关系 §13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 §13-8 一维定态薛定谔方程的应用 §13-9 量子力学中的氢原子问题 §13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
三个函数分别满足关系
d 2 d 2
ml2
0
1
sin
d
d
sin
d d
ml2
sin2
0
1 r2
d dr
r
2
dR dr
2m
h2
E
e2
4π 0 r
r2
R
0
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二、量子化条件和量子数
1.能量量子化和量子数
在求解 R(r) 得到氢原子能量必须满足量子化条件为
En
me4
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电子出现在原子核的周围概率为
(r,,) 2 R(r)( ) () 2
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氢原子中电子径向概率分布
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空间体积元内电子出现的概率
2 dV R 2 2 2 r2 sindrdd
r2 R 2 径向概率密度
0.6
n= 1 ,
0.5
l= 0