专题08%C2%A0排列组合二项式定理-2020年新高考数学二轮专项习题练
【精品】2019-2020年度最新数学高考通用版二轮专题复习专题检测：(八)排列与组合、二项式定理-含解析
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新数学高考通用版二轮专题复习专题检测：（八）排列与组合、二项式定理-含解析撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________1．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0,1,2,3}，Q＝{1,2,3,4,5}，则P⊗Q中元素的个数是( ) A．4 B．9C．20 D．24解析：选C 依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素．2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A．224 B．112C．56 D．28解析：选B 根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有CC＝112种．3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A．－15x4 B．15x4C．－20ix4 D．20ix4解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cx6－rir，由6－r＝4，得r＝2.故T3＝Cx4i2＝－15x4.4．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有( )A．12种 B．24种C．36种 D．72种解析：选C 由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C＝6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A＝6(种)情况，所以共有6×6＝36(种)不同的报名方法．5．在二项式n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( )A．－56 B．－35C．35 D．56解析：选 A 因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以n＝8，所以二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r(－x－1)r＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2得r＝3，所以展开式中含x2项的系数是(－1)3C＝－56.6．若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )A. B．12C．1 D．2解析：选D 依题意，注意到10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.7．已知(x＋2)15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，则a13的值为( )A．945 B．－945。
【高考冲刺】2020年高考数学(理数)排列组合与二项式定理小题练(含答案解析)
4. 答案为： C； 解析： 将 4 人分成三组， 有 C24=6 种方法， 再将三组同学分配到三个班级有
依据分步乘法计数原理可得不同分配方法有
6×6=36(种 ) ，故选 C.
A33=6 种分配方法，
5. 答案为： B； 由已知，令 x=0，得 a0=1，令 x=3，得 a0＋ a1·3＋ a2·３2＋…＋ a2 018 ·３2 018=(1 － 9) 2 018 =82 ， 018 所以 a1·3＋ a2·３2 ＋…＋ a2 018·３2 018=82 018 － a0=82 018 － 1，故选 B.
4=
x
是常数项，
8. 答案为： B； 解析： [(x ＋ 2y) ＋z] 6 的展开式中含 z 2 的项为 C26(x ＋2y) 4z 2，(x ＋ 2y) 4 的展开式中 xy 3 项的系
数为 C34×２3，x2y 2项的系数为 C24×２2，∴ (x － y)(x ＋ 2y＋z) 6 的展开式中 x 2y 3z 2 的系数为 C26C34×２3 － C26 C24×２2 =480－ 360=120，故选 B.
A． 18 种
B
．24 种
C ． 36 种
D
． 48 种
4. 将甲、乙、丙、丁
为( )
A． 18
B
4 名学生分配到三个不同的班，每个班至少
1 名，则不同分配方法的种数
． 24
C
． 36
D
． 72
5. 若 (1 － 3x) 2 018=a0＋a1x ＋…＋
a2
x2
018
， 018
x∈ R，则
a1·3＋ a2·３2＋…＋
20. 在多项式 (1 ＋ 2x) 6(1 ＋ y) 5 的展开式中， xy3 的系数为 ________ ．
2020高考数学课标二轮：专题能力训练排列、组合与二项式定理含解析
答案:
解析:由题意知k= =12,所以Tr+1= xr.
因为r=2,所以含x2项的系数为 =66× .
27.已知二项式 的展开式中x2的系数为A,常数项为B,且B=4A,求a的值.
解:展开式的通项为Tr+1= x6-r· =(-a)r x6-2r.令6-2r=2,得r=2,A=a2 =15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3 =-20a3.将其代入B=4A,得a=-3.
A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5
B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5
C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)
D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)
答案:A
解析:本题可分三步:第一步,分别取0,1,2,3,4,5个红球,共有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0个或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.
A.72种B.144种C.288种D.360种
答案:B
解析:第一步,排语文、英语、化学、生物4种,且化学排在生物前面,有 =12种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空当中的2个,有 =12种排法,所以不同的排法共有12×12=144种.
专题 排列组合二项式定理-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题 排列组合二项式定理排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法．这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力．§10－1 排列组合【知识要点】1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合．3．组合数的性质：(1)；(2)．【复习要求】理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性．熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证．正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】例1 有3封信，4个信筒．(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法?⋅=-=-=m n mn mn m nA A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!mn n m n C C -=11-++=m n m n m n C C C(2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法?【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．(2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法．例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法．【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2．在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题．例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下： 第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，4，6位共有种排法．34A 22A 37A由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种．【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位．例4 7个同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)甲站在中间； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲在乙的左边(但不一定相邻)； (4)甲、乙、丙相邻； (5)甲、乙、丙两两不相邻；解：(1)甲站在中间，其余6名同学任意排列，故不同排法有＝720．(2)第一步：先把甲、乙捆绑，视为一个元素，连同其余5个人全排列，共有种排法；第二步：给甲、乙松绑，有种排法，此题共有＝1440种不同排法． (3)在7名同学站成一排的种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的站法是一一对应的，各占一半，因此甲站在乙的左边(不要求相邻)的不同排法共有÷2＝2520种．(4)先把甲、乙、丙视为一个元素，连同其余4名同学共5个元素的全部排列数有种，再结合甲、乙、丙3个人之间的不同排列有种，此题的解为：＝720．(5)先让除甲、乙、丙外的4个人站好，共有种站法，让甲、乙、丙3人插空，由于4个人形成5个空位，所以甲、乙、丙共有种站法，此题答案．【评述】当要求某几个元素排在一起时，我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元素与其他元素进行排列如例4(2)，(4)．当要求某几个元素不相邻时，我们常常先排其他元素，然后再将这几个元素排在已排好的其他元素的空中如例4(5)．例5 4个不同的球，4个不同的大盒子，把球全部放入盒内，恰有一个盒不放球，共37A 66A 66A 22A 66A 22A 77A 77A 55A 33A 55A 33A 44A 35A 14403544 A A几种放法?【分析】先将4个球分成3组，共有种分组方法；再将3组球放在4个盒子里，是排列问题，有24种方法，所以，共有种不同的放球方法．【评述】类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好．例6某班组有10名工人，其中4名是女工．从这10个人中选3名代表，其中至少有一名女工的选法有多少种?解法1：至少有一名女工的情形有三类：1名女工和2名男工；2名女工和1名男工；3名女工，把这3类选法加在一起，共有种不同的选法．解法2：与“至少有一名女工”选法相对立的是“没有女工”的选法，从所有的选法中除去“没有女工”的选法，剩下的即为所求，共有．【评述】当涉及“至少”或“至多”的问题时，从大的方向看我们常常是对其分类讨论，运用分类计数原理解决问题，当然，也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算．例7 如图，用六种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有多少种?【分析】如果按从左至右的顺序去涂色，当涂到第4个格子时会发现，第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第4个格子有几种涂色方法，即如果第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的，则第四个格子的涂色情况不定．于是，我们要按照1、3两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题．解：1、3两个格子颜色相同时，按分步计数原理，有6×5×1×5＝150种方法； 1、3两个格子颜色不相同时，按分步计数原理，有6×5×4×4＝480种方法． 所以，共有不同的涂色方法630种．例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点，取4个不共面的点，不同取法有多少种?624=C =34A 1443424=A C 1003416242614=++C C C C C 10036310=-CC【分析】没有限制地从10个点中选出4个点，共有种不同选法，除去4点共面的选法即可．4点共面的选法有3类．(1)4个点在四面体A －BCD 的某一个面 上，共有种共面的情况．(2)过四面体的一条棱上的3个点及对棱的中点，如图中点A ，E ，B ，G 平面，共计有6种共面的情况．(3)过四面体的四条棱的中点，而且与一组对棱平行的平面，如图E ，F ，G ，H 平面，此类选法共有3种．综上，符合要求的选法共有种．例9 在给出的下图中，用水平或垂直的线段连结相邻的字母，按这些线段行走时，正好拼出“竞赛”即“CONTEST ”的路线共有多少条?【分析】“CONTEST ”的路线的条数与“TSETNOC ”路线的条数相同，如下右图，从左下角的T 走到边上的C 共有6步，每一步都有2种选择，由分步计数原理，所以下图中，“TSETNOC ”路线共有26＝64条．所以本题的答案为64×2－1＝127．410C 464C 141)364(46410=++⨯-CC【评述】例9的这种计数的方法常称之为对应法计数，它的理论基础为：如果两个集合之间可以建立一对一的对应关系，那么这两个集合的元素的个数相同．借助这个原理，如果一个集合元素的个数不好计算时，我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好的方法．例10 (1)计算的值； (2)计算的值；(3)证明：．(1)解：． (2)解：注意到中的隐含条件：n ≥m ，m ∈N ，n ∈N *，有解得，所以n ＝10． 所以，．(3)证明：．【评述】对于含排列组合式的恒等式证明及计算问题常用的方法有两种，一种是运用排列组合数的计算公式转化为代数恒等式的证明及代数式求值问题，另一种是运用组合数的一些性质进行计算及证明．常用的组合数的性质有：(1)； (2)；59694858A A A A -+nn nnC C 321383+-+mn m n m n A mA A 11+-=+275!93!85!9!94!8!84!4!9!3!9!4!8!3!859694858=⨯⨯=-⨯+⨯=-+=-+A A A A mn C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥->-≥,321,038,03,383n n n n n n 221219≤≤n 46613123030312830=+=+C C C C )!1(!)!1(!)1()!1(!)!(!1+-++-+-=+-+-=+⋅⋅-m n n m m n n m n m n n m m n n mA A m nm n m n A m n n m n n m n n m m n n m n 1]!)1[()!1()!1()!1()!1(!)!1(!)1(+=-++=+-+=+-++-+-=⋅⋅m n n m n C C -=11-++=m n m n m n C C C(3)；(4)．练习10－1一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) (A)10种(B)20种(C)25种(D)32种2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) (A)42(B)30(C)20(D)123．四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有( ) (A)30种(B)33种(C)36种(D)39种4．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有( ) (A)5种(B)6种(C)7种(D)8种5．下列等式中正确的是( )(1)；(2)； (3)； (4)． (A)(1)(2) (B)(1)(2)(3) (C)(1)(3)(D)(2)(3)(4)6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不．能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( ) (A)234种 (B)346种 (C)350种 (D)363种二、填空题nn n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C 11--=k n k n nC kC 111111+++=+k n k n C n C k kn k nC k k n C 11+-=+kn k n C n k C 1111++=++7．从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有______条．(结果用数值表示)8．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有______． 9．马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种．10．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．(以数字作答)11．从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)，每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是______．(用数字作答)12．8个相同的球放进编号为1、2、3的盒子里，则放法种数为______．(以数值作答)§10－2 二项式定理【知识要点】1．二项式定理：．2．通项公式：，3．，，，…，，…，称为二项式系数，4．二项展开式的系数的性质：；．【复习要求】会求二项展开式中适合某种特殊条件的项；了解利用二项式定理进行近似计算，证明与组合数有关的等式或整数(整式)的整除性的方法． 【例题分析】例1 在二项式的展开式中，含x 4的项的系数是______．nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)(rr n r n r b a C T -+=10n C 1n C 2n C r n C nn C n n n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C 52)1(xx -解：， 令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4项的系数是．例2 (1)若(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 系数的7倍，求n 的值； (2)在(2＋lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．解：(1)由已知，即，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8或n ＝－5(舍)．所以n ＝8．(2)(2＋lg x )8的展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项．由已知，，整理得(lg x )4＝1，所以lg x ＝±1，解得x ＝10或 例3 求的展开式中x 的系数为有理数的项的个数．解：，若系数为有理数，则都必须是整数，即r 应为6的倍数． 又0≤r ≤100，所以r 的不同值有17个． 所以x 的系数为有理数的项共有17项．例4 已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．解： 由已知，所以n ＝7．所以第4项系数最小， r r r r rr r x C xx C T 31055251)1()1()(--+-=-=10)1(225=-C 137n n C C =n n n n 76)2)(1(=--1120)(lg 244485=⋅=⋅x C T ⋅=101x 1003)23(+x r r r rrr r r x C x C T ---+==1003210010031001001·2·3·)2()3(3,2100rr -nnx )1(-,)1(,)1(1055556422223-----=-==-=n n n n n n n n x C xx C T x C x xC T 25n n C C =.35)1(37337374x x C xxC T -=-=-=-【评述】通项公式是二项式定理中常用的一个公式，要熟练掌握，同时注意系数、上标、下标之间的关系；注意系数、二项式系数的区别，如例2； 注意运用通项公式求第3项时，r ＝2．如例4．例5 已知(a 2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式中的系数最大项等于54，求a 的值，解：的展开式的第r ＋1项令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，r ＝4，所以常数项 又(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于2n ，由题意得2n＝16，所以n ＝4．由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n的展开式中的系数最大的项即为二项式系数最大的项，是中间项T 3，所以，解得．例6 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7．求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜．解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1． ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37． ②(1)易知a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7－a 0＝－2；(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝＝－1094；rr n r n r b a C T -+=152)1516(xx +52)1516(xx +.)516()1()516(2520555251rr r r r r r xC xx C T ---+==.16516455=⨯=C T 54424=a C 3±=a 2317--(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6=＝1093；(4)方法1：因为(1－2x )7的展开式中a 1，a 3，a 5，a 7是负数，a 0，a 2，a 4，a 6是正数， 所以｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝2187． 方法2：因为｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜表示(1＋2x )7的展开式中各项系数的和，令x ＝1，可得｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜＝37＝2187．【评述】通过给二项式定理中的字母赋值(根据式子的特点，常令字母为1或－1)的方式可以解决二项展开式系数整体求值的问题．例7 若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝______．【分析】方法1：由于a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10＝x 2＋x 10[－1＋(x ＋1)2]＋[－1＋(x ＋1)10]＝，则．方法2：由于等式左边x 10的系数为1，所以a 10＝1，又，等式左边x 9的系数为0，所以，所以a 9＝－10．例8 除以100的余数为______．解：前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，，所以9192除以100的余数为81．例9求(0.998)5精确到0.001的近似值． 解：． 2317+-10101091910)1()1()1(+++-+x C x C Λ10)1(9109-=-=C a 0109109=+a C a 9291190909090)190(9191922909291192920929292+++++=+=⋅⋅⋅⋅C C C C Λ81820082811909192+==+⋅C =-=55)002.01((0.998)990.0)002.0()002.0(2251505÷+-+-+ΛC C C【评述】利用二项式定理求余数、求近似值是二项式定理的应用之一． 例10 设a ＞1，n ∈N *且n ≥2，求证． 证明：设，则(x ＋1)n＝a ．欲证原不等式，即证nx ＜(x ＋1)n－1，其中x ＞0．，即有(x ＋1)n＞nx ＋1，得证．例11 的展开式中常数项为______．(用数字作答)解：求的常数项，即求展开式中的常数项及含x －2的项．对于，． 令8－2r ＝0，即有r ＝4，．令8－2r ＝－2，即有r ＝5，．所以常数项为70＋2×(－56)＝－42．练习10－2一、选择题1．若的展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 (A)－84(B)84(C)－36(D)362．已知的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为( )(A)1 (B)2(C)4 (D)83．在(1＋x )5(1－x )4的展开式中，x 3的系数是( ) (A)4(B)－4(C)8 (D)－8na a n 11-<-x a n =-1)2(111)1(11110≥+=+>++++=+---n nx x C x C x C x C x n n n n n n n n n Λ82)1)(21(xx x -+82)1)(21(xx x -+8)1(xx -8)1(xx -r r r r rr r x C xxC T 288881)1()1(--+-=-=70)1(4845=-=C T 22585656)1(---=-=x x C T nxx )1(2-9)2(x x a -494．若与同时有最大值，则m 的值是( )(A)5 (B)4或5 (C)5或6 (D)6或7二、填空题 5．(x 2＋)6的展开式中常数项是______．(用数字作答) 6．若(x ＋1)n＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1，(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝______． 7．(n ＋1)n ＋1除以n 2(n ＞1)的余数为______．8．观察下列等式：，，，，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于___________．三、解答题9．在(3x ＋1)n的展开式中，如果各项系数的和比各项二项式系数的和大992，求n 的值． 10．若f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为( )11．当n ∈N *时，求证：nC 21mn C x12235515-=+C C 3799591922+=++C C C 511131391351311322-=+++C C C C 7151717131791751711722+=++++C C C C C =++++∈+++++1414914514114*,n n n n n C C C C n ΛN .3)11(2<+≤nn习题10一、选择题1．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有( ) (A)35种(B)25种(C)20种(D)16种2．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( ) (A)18(B)24(C)30(D)363．从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”(其中“qu ”相连且顺序不变)的不同排列共有( ) (A)120种(B)480种(C)720种(D)840种4．若＝，则(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值为( )(A)－1 (B)1 (C)0 (D)25．若的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) (A)10 (B)6(C)5(D)36．若，则的值为( )(A)2 (B)0(C)－1(D)－2二、填空题7．在(3－x )7的展开式中，x 5的系数是______．(用数字作答)8．从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少有一名女生，则不同的选法有______种．9．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有______种．3)32(+x 332210x a x a x a a +++nxx )23(32-)()21(20092009102009R ∈+++=-x xa x a a x Λ200920092122aa a a +++Λ10．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于______．11．数列a 1，a 2，…，a 7，其中恰好有5个2和2个4，调换a 1至a 7各数的位置，一共可以组成不同的数列(含原数列)______个．12．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种． 三、解答题13．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝509－n ，求n ．14．已知n 是等差数列4，7，10，13，…中的一项．求证的展开式中不含常数项．nxx )1(专题10 排列组合二项式定理参考答案练习10－1一、选择题1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 二、填空题7．30； 8．240； 9．56； 10．240； 11．8424； 12．45．练习10－2一、选择题1．B 2．C 3．B 4．C 二、填空题5．15； 6．11； 7．n ＋1； 8．24n －1＋(－1)n 22n －1．三、解答题9．解：令x ＝1，得各项系数和为4n ，又各项二项式系数和为2n， 所以4n －2n ＝992.22n －2n－992＝0，解得n ＝5．10．解：f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 展开式中含x 的项，由2m ＋3n ＝13，m ，n 为正整数，得m ＝2，n ＝3或m ＝5，n ＝1，当m ＝2，n ＝3时，求得x 2的系数为31；当m ＝5，n ＝1时求得x 2的系数为40， 故x 2的系数为31或40．11．证明：， 因为， x n m x C x C n m )32(3211+=+2111111)11(1221=+≥++++=+⋅⋅⋅⋅nC n C n C n C n n n n n n n nΛ121!1)11()21)(11(!1)!(!!1-≤≤----==-=⋅k k k knk n k n n k n k n k n n C ΛΛ所以 所以习题10一、选择题1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 二、填空题7．－189； 8．100； 9．72； 10．－240； 11．21； 12．36． 三、解答题13．解：令x ＝1，得2＋22＋23＋ (2)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ．令x ＝0，则a 0＝n ． 又由已知可得a n ＝1．∴，化简得2n ＝256，∴n ＝8． 14．解：用反证法，假设第r ＋1项为常数，即为常数项．又等差数列4，7，10，13，…的第k 项为a k ＝4＋(k －1)×3＝3k ＋1(k ∈N *)． 令n ＝3k ＋1，T r ＋1为常数项，则 即，∵k ∈N *，这与，且r ∈N 矛盾，所以它没有常数项．nn n n n n n n n n n C n C n C n C n C n 1·121111)11(22221+++≤++++=+⋅⋅⋅⋅ΛΛ.32132121212112<-=++++≤--n n Λ.3)11(2<+≤nn1)509(12)12(2+-+=--n n n 2321r n r nr rn r nr xC xxC T ---+==⋅.02313,023=-+=-r k r n 322+=k r。
2020年高考数学试题分类汇编 专题排列组合、二项式定
2020年高考试题数学（理科）排列组合、二项式定理一、选择题:1.(2020年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。
511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 3．(2020年高考天津卷理科5)在6x x ⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．38【答案】C【解析】因为1r T +=666((rr x C x-⋅⋅,所以容易得C 正确. 4.(2020年高考陕西卷理科4)6(42)()xx x R --∈的展开式中的常数项是（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项. 【答案】C【解】62(6)1231666(4)(2)222r x r x r r x r xr rx xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．5.(2020年高考重庆卷理科4) ()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)9 答案：B解析： ()13n x +的通项为()13rrr n T C x +=，故5x 与6x 的系数分别为553n C 和663n C ，令他们相等，得：()()56!!335!5!6!6!n n n n =--，解得n =712.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23答案：D解析：基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故51153m n ==. 7．(2020年高考福建卷理科6)（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．10【答案】B 二、填空题:1. (2020年高考山东卷理科14)若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . 【答案】4【解析】因为6162(rrr r a T C xx-+=⋅⋅-,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.2. (2020年高考浙江卷理科13)（13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。
2020年新高考数学二轮习题练 专题08 排列组合二项式定理(含解析)
专题08 排列组合二项式定理一、单选题1．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ） A ．12B ．24C ．36D ．482．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种3．3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．134．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为 A ．48B ．36C ．24D ．125．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ） A ．72B ．144C ．150D ．1806．石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A ．12B ．24C ．36D ．727．若03sin m xdx π=⎰，则二项式12mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．60D ．1208．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-9．今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是（ ）A ．35350C CB ．123555350C C C C ++ C ．3453501C C -D ．1221545545350C C C C C + 10．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对二、多选题11．84112x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项（ ） A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项12．对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.三、填空题13．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba=___________. 14．若多项式()()()91021001910111x x a a x a x a x +=+++⋯++++，则2a =________. 15．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中a (k=2,3,4,5)k 出现0的概率为13 ，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，当程序运行一次时，X 的数学期望()E X =_____．四、解答题16．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表省数学竞赛一等奖自主招生通过高考达重点线高考达该校分数线0.5 0.6 0.9 0.7若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.参考答案1．B【解析】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有22A种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有2323A A种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为223 22324A A A=种．故选B．点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”2．B【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A=种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A=种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有121224+=种；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．3．B【解析】【分析】算出基本事件总数，算出2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数，由此能求出2名女生相邻且不站两端的概率．解：3男2女共5名同学站成一排合影，基本事件总数55120n A==，2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数23223224m A A A==，∴2名女生相邻且不站两端的概率为2411205mpn===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①将歌曲节目排在首尾；②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间；③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，由分步计数原理计算可得结论.【详解】分3步进行：①歌曲节目排在首尾，有222A=种排法.②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有222A=种排法.③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有21236A A=种排法.则这2个节目出场的不同编排种数为22624⨯⨯=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.5．B【解析】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取；千位数字去掉个位数字选用的和0还剩下四个数字中选择，最后再排百、十位数字。
计数原理排列组合二项式定理二轮复习专题练习(二)含答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习
《计数原理排列组合二项式定理》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．(汇编山东文)已知(x x 1
2-)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为14
3，则展开式中常数项是（ D ）
(A )－1 (B)1 (C)－45 (D)45
2．生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有( )
A.24种
B.36种
C.48种
D.72种(汇编辽宁理)
3．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
（A ）36个 （B ）24个（C ）18个 （D ）6个(汇编北京理)
4．(汇编浙江文)在54(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是( )。
高考数学排列组合二项式定理测试.doc
十、排列、组合、二项式定理考试要求：1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
1、高三年级有文科、理科共9个备课组，每个人备课组的人数不少于4人，现从这9个备课组中抽出12人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宜，则不同的抽调方案共有：A ．129种B ．148种C ．165种D ．585种2、从4名教师与5名学生中任选3人,其中至少要有教师与学生各1人,则不同的选法共有：A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种3、 对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有：A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种4、以长方体的8个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是：A ．0B ．6C ．8D ．245、4个男生2个女生排成一排，若女生不能排在两端，且又不相邻，则不同的排法数有____________种。
6、假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点 伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，从最初位置爬 到6号蜂房共有 种不同的爬法。
7、某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要随机地安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为A.2426C AB. 2426A AC. 262AD. 242621C A 8、中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中的四个区域内坐定.有四种不同颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域的观众服装颜色相同与否，不受限制，那么不同的着装方法有：A.36种B.84种C.48种D.24种9、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有A. 144B. 96C. 72D. 4810、直线x y m x ==,将圆面422≤+y x 分成若干块. 现在用5种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的涂法，则实数m 的取值范围是 .11、用1个1，2个2，3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数: 0654321蜜蜂A ．20B ．60C ．120D ．9012、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 .13、 在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中，含4x 项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的：A ．第13项B ．第18项C ．第11项D ．第20项14、在7)1(+ax 的展开式中，3x 项的系数是2x 的系数与5x 项系数的等比中项，则a 的值是： A. 510 B. 925 C. 35 D. 325 15、若n xx )213(32-的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是: A ．3B ．4C ．5D ．6 16、102)1(x -的展开式中2x 的系数是 ，如果展开式中第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，则r 等于 .17、已知二项式72展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于：A ．1BC ．2D ．4618、若nx )51(+与n x )57(+的展开式中各项系数之和分别为n a ，n b ，则nn n n n b a b a 432lim +-∞→= . 19、二项式(1+x)n 的展开式中, 存在着系数之比为5: 7的相邻两项, 则指数n (n ∈N*)的最小值为：A. 13B. 12C. 11D. 10十、排列、组合、二项式定理参考答案1、C ；2、C ；3、C ；4、C ；5、144；6、21；7、D ；8、B ；9、A ；10、22<<-m ； 11、B ；12、36；13、D ；14、B ；15、C ；16、-10，2；17、C ；18、21-；19、C。
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专题08 排列组合二项式定理一、单选题1．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ） A ．12B ．24C ．36D ．482．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种3．3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．134．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为 A ．48B ．36C ．24D ．125．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ） A ．72B ．144C ．150D ．1806．石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A ．12B ．24C ．36D ．727．若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx ⎛⎝的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．60D ．1208．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-9．今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是（ ）A ．35350C CB ．123555350C C C C ++ C ．3453501C C -D ．1221545545350C C C C C + 10．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对二、多选题11．8展开式中系数最大的项（ ） A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项12．对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.三、填空题13．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba=___________. 14．若多项式()()()91021001910111x x a a x a x a x +=+++⋯++++，则2a =________. 15．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中a (k=2,3,4,5)k 出现0的概率为13 ，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，当程序运行一次时，X 的数学期望()E X =_____．四、解答题16．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.参考答案1．B【解析】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有22A种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有2323A A种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为223 22324A A A=种．故选B．点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”2．B【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A=种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A=种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有121224+=种；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．3．B【解析】【分析】算出基本事件总数，算出2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数，由此能求出2名女生相邻且不站两端的概率．解：3男2女共5名同学站成一排合影，基本事件总数55120n A==，2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数23223224m A A A==，∴2名女生相邻且不站两端的概率为2411205mpn===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①将歌曲节目排在首尾；②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间；③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，由分步计数原理计算可得结论.【详解】分3步进行：①歌曲节目排在首尾，有222A=种排法.②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有222A=种排法.③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有21236A A=种排法.则这2个节目出场的不同编排种数为22624⨯⨯=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.5．B【解析】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取；千位数字去掉个位数字选用的和0还剩下四个数字中选择，最后再排百、十位数字。
【详解】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步； 第一步，排个位，共有13C 种方法； 第二步，排千位，共有14C 种方法； 第三步，排百、十位，共有24A 种方法；所以，可组成112344144C C A =个四位奇数，故答案选B 。
【点睛】本题主要考查简单排列组合和计数原理的应用。
6．C 【解析】 【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得． 【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ． 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法． 7．C 【解析】 【分析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项． 【详解】3sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622m x x=⎛⎛++ ⎝⎝，其展开式通项公式为36662166(2)2r r r r r r r T C x C x ---+==，令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==． 故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础． 8．B 【解析】 【分析】根据产生3x 项的来源，计算出6(1)x +展开式中32,xx 的系数即可求出．【详解】6(1)x +展开式的通项公式为16r r r T C x +=，分别令2,3x x ==，可求得2x 的系数为2615C =，3x 的系数为3620C =，故6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为1201510a ⨯-=-，解得2a =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数，属于基础题． 9．C 【解析】 【分析】事件“出现二级品”的对立事件为“全是一级品”，计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】由题意知，事件“出现二级品”的对立事件为“全是一级品”，事件“全是一级品”的概率为345350C C ，由对立事件的概率可知，出现二级品的概率是3453501C C -，故选C. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时，事件中出现了至少问题，可以利用对立事件的概率公式来计算，也可以利用分类讨论思想来求解，考查计算能力，属于中等题.【解析】 【分析】根据题意，结合计数原理，先排E ，F ，G ，然后根据A ，B ，C ，D 的情况讨论． 【详解】解：E ，F ，G 分别有4，3，2种方法，①当A 与F 相同时，A 有1种方法，此时B 有2种，()1C 若与F 相同有C 有1种方法，同时D 有3种方法， ()2若C 与F 不同，则此时D 有2种方法，故此时共有：()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；②当A 与G 相同时，A 有1种方法，此时B 有3种方法，()1若C 与F 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法，()2若C 与F 不同，则D 有1种方法，故此时共有：()432131211216⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；③当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种方法，()1若B 与F 相同，则C 必须与A 相同，同时D 有2种方法； ()2若B 不同于F ，则B 有1种方法，(Ⅰ)若C 与F 相同则C 有1种方法同时D 有2种方法；(Ⅱ)若C 与F 不同则必与A 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法；故此时共有：()432111*********⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎣⎦种方法； 综上共有240216144600++=种方法． 故选：C ． 【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题． 11．BC【分析】根据8的展开式的通项公式，求出展开式中各项系数，即得展开式中系数最大的项． 【详解】解：8的展开式的通项公式为 34841881()2r r rr r r r T C C x --+==g g ， 其展开式的各项系数依次为1、4、7、7、358、74、716、116、1256， 所以，展开式中系数最大的项是第3项和第4项． 故选：BC ． 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，属于基础题． 12．AD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。