2019届江西省赣州市信丰中学高三年级上学期第四次月考检测数学(理)试题及答案
江西省信丰中学2019届高三数学上学期强化练1理[含答案]
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江西省信丰中学2019届高三数学上学期强化练1 理一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）1．1. 设集合，，则（）A. B. C. D.2．设复数满足，则（）A. B. C. D.3．已知是所在平面内一点，且，，则（）A. 2B. 1C.D.4．把不超过实数的最大整数记作，则函数称作取整函数，又叫高斯函数.在上任取，则的概率为（）A. B. C. D.5．执行如图所示的程序框图，则的值变动时，输出的值不可能是（）A. B. 9 C. 11 D. 136．已知点是双曲线：的左，右焦点，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若的面积为4，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 288．已知定义域为的函数满足，且时，，若且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.9．已知实数满足约束条件，若，的取值范围为集合，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10．已知数列满足，且数列是以8为公差的等差数列，设的前项和为，则满足的的最小值为（）A. 60B. 61C. 121D. 12211．已知，若直线与的图象有3个交点，且交点横坐标的最大值为，则（）A. B.C. D.12．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（每题4分，满分20分。
）13．已知，若，则实数的值为_______.14．已知的展开式中所有偶数项系数之和为496，则展开式中第3项的系数为_______.15．已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是______.16．已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.三、解答题（本大题共6题，共70分．）17. 已知数列满足，，设.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18. 每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某餐饮店从外卖数据中抽取的5天的日平均气温与外卖订单数.（1）经过数据分析，一天内平均气温与该店外卖订单数（份）成线性相关关系，试建立关于的回归方程，并预测气温为时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）；（2）天气预报预测未来一周内（七天），有3天日平均气温不高于，若把这7天的预测数据当成真实数据，则从这7天任意选取3天，预测外卖订单数不低于160份的天数为，求的分布列与期望.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.19. 如图，在几何体中，底面是平行四边形，，，平面，与交于点.（1）求证：平面；（2）若平面与平面所成的锐二面角余弦值为，求线段的长度.20. 已知动圆与直线相切，且与圆外切.（1）求动圆圆心轨迹的方程；（2）若直线：与曲线交于两点，且曲线上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围及的取值范围.21. 已知.（1）若的图象在处的切线与的图象也相切，求实数的值；（2）若有两个不同的极值点，求证：.22. 坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线过点，求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求的最大值.高三理科数学强化练答案1-5 DBCDC 6-10 CABAB 11-12 BC 13。
江西省信丰中学2019届高三上学期数学(理)周考(七)含答案
命题人：
审题人：
2018 年 9 月 24 日
一．选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 M＝{1，a2}，P＝{－1，－a}，若 M∪P 有三个元素，则 M∩P＝(
)
A．{0，1}
B．{0，－1}
C．{0}
D．{－1}
2．若命题 p 的否命题是命题 q 的逆否命题，则命题 p 是命题 q 的( )
-1-
g(x)＝f′x，则(
)
x
A．g(x)在(1，＋∞)上有最大值
B．g(x)在(1，＋∞)上有最小值
C．g(x)在(1，＋∞)上为减函数
D．g(x)在(1，＋∞)上为增函数
11．某城市出租车起步价为 10 元，最长可租乘 3 km(含 3 km)，以后每 1 km 为 1.6 元(不足 1 km，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当 x＝1 时，函数 f(x)取得极大值1，无 k
极小值．当 k＜0 时，若 0＜x＜1，则 f′(x)＜0；若 x＞1，则 f′(x)＞0，
∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当 x＝1 时，函数 f(x)取得极小值1，无 k
1－2ax＋3a，x＜1，
16．已知 f(x)＝ ln x，x≥1
的值域为 R，那么 a 的取值范围是_______
三．解答题（每小题 12 分，共 36 分） 17．已知函数 f(x)＝1＋ln x(k≠0)．求函数 f(x)的极值．
kx
18．已知函数 f(x)＝ax－2－3ln x，其中 a 为常数． x
极大值．
2
18．解：(1)因为
江西省信丰中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题含答案
)
A.10
B.5
C.2
D.－2
3
3
3
π －x
9 函数 f(x)＝cos 2x＋6cos 2 的最大值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
10 若函数 f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图像关于直线 x＝π对称，则φ的最大值为( ) 24
A.－5π 3
B.－2π 3
C.－π 6
D.－5π 6
11 已知 a 是常数，函数 f(x)＝1x3＋1(1－a)x2－ax＋2 的导函数 y＝f′(x)的图像如图 32
-4-
2018-2019 学年信丰中学高三数学理科第四次月考试答案
一、选择题： BBBAC CBABB DA
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
84
2
A.－ 3 2
B. 3 2
C.－3
D.3
4
4
3 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，
则△ABC 的形状为( )
A.锐角三角形
C.钝角三角形
B.直角三角形
D.不确定
4.已知向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(－k，10)，且 A，B，C 三点共线，
（1）求 的对称轴和单调区间；
（2）在 △ABC
中，角
A,
B,C
的对边为
a, b,
c
，若
f
A
2
，c
5
，cos
B
1 7
，求 △ABC
中线 AD 的长．
19．在直角坐标系
江西省信丰中学2019届高三上学期数学(理)周考(十)含答案
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 B
A
C
C
D
B
A
C
B
C
B
C
二、填空题： 13. 4 3
14. [6, 2]
15. 3
16. 3
三、解答题：
17. 【解析】（1） a b ＝ (cos cos ,sin sin ) ，
45
4
14. 当 x [2,1] 时，不等式 ax3 x2 4x 3 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
15. 如图 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD AC， sin BAC 2 2 ， AB 3 2 ， AD 3 ，则 BD 的长为______．
3
16. 在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
8. 已知函数 f (x) sin(2x ) ，其中 为实数，若 f (x)
f
() 6
对
xR
恒成立，且
f
(
)
f
( ) ，则
f
(x) 的单调递增区间是（
）
2
A．
k
3
, k
6
(k
Z)
B．
k
,
k
2
(k
Z
)
C．
k
6
,
k
2 3
(k
Z
)
D．
k
2
, k
A． ex2 ex1 ln x2 ln x1
【精品】江西省南康中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(含答案)
南康中学2019届高三上学期第四次月考数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知函数122+--=x x y 的定义域为集合A ，集合{}Z n n x x B ∈-==,12，则A B ⋂为（ ） A.{}3,1B. {}3,1,1,3--C. {}3,1,1-D.{}1,1,3--2、x R ∈，当复数Z=(1)x x i +-的模长最小时，z 的虚部为( )A. 21-B.21 C. 1D. 21-i 3、已知cos2π4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭1tan tan αα+等于（ ） A. 8-B. 8C.18D. 18-4、小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a ，有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递推公式()*11,n n a a n n N +=++∈其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①③④C. ①②D. ①④5、已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象( ) A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度6、已知,x y 满足不等式组⎧⎪⎨⎪⎩240,{20, 30,x y x y y +-≥--≤-≤则1z x y =+-的最小值为（ ）0.A 1.B2.C3.D7、已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+*x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.A.4()22xf x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+ 8、如果函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=36sin 2ππx x f ()102<<-x 的图像与x 轴交与点A ，过点A 的直线交)(x f 的图像于C B ,两点，则()=∙+OA OC OB （ ）32.-A16.-B 16.C 32.D9、如图，ABC ∆与ACD ∆都是等腰直角三角形，且BC AC DC AD ===,2.平面⊥ACD ABC 平面，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥ABC D -的三视图的面积和为（ ）A ．4+23B ．4+2 3C ．4+2 2 D.4+3310、若0,,>c b a 且()324-=+++bc c b a a ,则c b a ++2的最小值为( )A ．3-1B ．3+1C ．23+2D ．23-211、若数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2018)1(，nb n n 2019)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1B. [)1,1-C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2D. [)1,2-12、把函数())1(log 2+=x x f 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()x g 的图象关于直线x y =对称；已知偶函数()x h 满足()()11--=-x h x h ，当[]1,0∈x 时，()()1-=x g x h ；若函数()()x h x kf y -=有五个零点，则k 的取值范围是（ ）A. ()1,2log 3B. [)1,2log 3C. 61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,2log 6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷上) 13、由曲线x y 1=及直线0,1,21===y x x 围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得几何体体积为.14、已知命题“x R ∃∈，使012≤++ax ax ”是假命题，则实数a 的取值范围是．15、长方形ABCD 中，3,4==BC AB ,将ACD ∆沿AC 折起，使二面角B AC D --大小为θ，则四面体ABC D -的外接球的表面积为________16、已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,且6,4sin 5sin a B C ==，有以下四个命题：①ABC ∆的面积的最大值为40；②满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形； ③当C A 2=时，ABC ∆的周长为15；④当C A 2=时，若O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆的面积为7. 其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的序号）．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()1121++=+n n nn a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n . （1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆ABC ∆周长的取值范围.19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ，BC =12AB BB ==，14BCC π∠=，点E 在棱1BB 上.（Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）试确定点E 的位置，使得二面角1A C E C --的余弦值为5．20、（本小题满分12分）已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图像与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围； （3）若函数()1()2421f x xx h x m +=+-，[]3log ,02∈x ，是否存在实数m ，使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分）已知B A ,是椭圆C ：93222=+y x 上两点，点M 的坐标为()0,1. ⑴当B A ,两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； ⑵当B A ,两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.22、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()()()11F x f x f x =+--．（Ⅰ）当*n ∈N 时，比较()132ni F i =∑与()3112133n +-的大小（注：121ni n i a a a a ==+++∑）； （Ⅱ）设()()()121e e -⎛⎫+=-≤-⎪⎝⎭ax f x g x x a a ，若函数()g x 在()0,+∞上的最小值为21e a -，求a 的值．南康中学2018～2019学年度第一学期高三第四次大考 数学（理科）答案一、选择题13,π; 14,[)4,0;15,π25;16,③④16、③④ 【解析】①由题，，由余弦定理得：当且仅当即取等号，此时．的面积的最大值为24；不正确②由题，假设是直角三角形，则解得故可能是直角三角形；②不正确 ③当时，有正弦定理，结合由余弦定理可得，的周长为15；正确；④当时，若为的内心，则设的内接圆半径为 由可得故则即的面积为.正确故答案为③④. 三、解答题 17、（1）当时，，得当时，有，所以即，满足时，， 所以是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式为． （2），．18、解：（1）由//m n ，得(2)cos cos 0b c A a B -+=.由正弦定理，得2sin sin cos 0sinBcosA CcosA A B -+=， 即()2sin CcosA sin A B sinC =+=.在ABC ∆中，由0sinC >，得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=. （2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理， 得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤， 所以46a b c <++≤.所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6. 19、（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC 1B 1，故AB⊥BC 1，又CB∩AB=B，所以C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，），B 1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣）， 设1BE BB λ=，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ） 设平面AC 1E 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），由110m C A m C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得，令z=，取m =（，1，），又平面C 1EC 的一个法向量为=（0，1，0） 所以cos ＜，＞=m n m n⋅⋅==，解得λ=．所以当λ=时，二面角A ﹣C 1E ﹣C 的余弦值为．20、解：（1）∵()()f x f x -=，即()()44log 41log 41x xkx kx -+-=++对于任意x R ∈恒成立.∴()()444412log 41log 41log 41x xxx kx --+=+-+=+∴2kx x =-∴12k =-（2）由题意知方程()411log 4122xx x a +-=+即方程()4log 41x a x =+-无解. 令()()4log 41xg x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点.∵()()444411log 41log log 144x xx x g x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭任取12x x R ∈、，且12x x <，则12044x x<<，∴121144x x > ∴()()12124411log 1log 1044x x g x g x ⎛⎫⎛⎫-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数. ∵1114x +>，∴()41log 104x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭∴a 的取值范围是(],0-∞ （3）由题意()[]24?21,0,log 3xxh x m x =+-∈，)[]24?21,0,log 3x x h x m x =+-∈令[]21,3x t =∈， ()2t t mt ϕ=+[]1,3t ∈∵开口向上，对称轴2mt =-， 当12m-≤，即2m ≥-，()()min 110,1t m m ϕϕ==+==- 当132m <-<，即62m -<<-，()2min 0,024m m t m ϕϕ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭（舍去）当32m-≥，即6m <-，()()min 3930,3t m m ϕϕ==+==-（舍去） ∴存在1m =-得()h x 最小值为0. 21．解：⑴设A （x 0，y 0），B （x 0，-y 0），因为△MAB 为等边三角形，所以|y 0|=33|x 0-1|，又点A （x 0， y 0）在椭圆上， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=932|1|33||202000y x x y ，消去y 0，得3x 20-2x 0-8=0，解得x 0=2或x 0=-34， 当x 0=2时，|AB|=332；当x 0=-34时，|AB|=9314.⑵根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB ：y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为N （x 0，y 0），联立⎩⎨⎧+==+mkx y y x 93222，消去y 得（2+3k 2）x 2+6kmx+3m 2-9=0，由△＞0得2m 2-9k 2-6＜0，① 所以x 1+x 2=-2326k km +,y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=2324k m +, 所以N （-2323k km+，2322k m+），又M （1， 0），假设△MAB 为等边三角形，则有MN⊥AB，所以k MN ×k=-1，即132332222-+-+kkm k m×k=-1， 化简得3k 2+2+km=0，② 由②得m=-k k 232+，代入①得2222)23(kk +-3（3k 2+2）＜0， 化简得3k 2+4＜0，矛盾，所以原假设不成立， 故△MAB 不可能为等边三角形.22、解：（1）()()()()()122462ni F i F F F F n ==++++∑L ()35721ln ln 2113521n n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪-⎝⎭L ，构造函数()()()313ln 133h x x x x =--≥，()3233x h x x x x-'=-=，当3x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[)3,+∞上单调递减． ∴()()133ln 3903h x h ≤=-+<， 故当()*21x n n =+∈N 时，()()313ln 2121103n n ⎡⎤+-+-<⎣⎦， 即()()313ln 212113n n ⎡⎤+<+-⎣⎦，即()132ni F i =<∑()3112133n +-． （2）由题可得()1e ln ax g x x ax x -=--，则()111ee ax ax g x ax a x --'=+--=()111e ax ax x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 由11e 0ax x --=得到1ln x a x -=，设()1ln x p x x -=，()2ln 2x p x x -'=． 当2e x >时，()0p x '>；当20e x <<时，()0p x '<．从而()p x 在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增．∴()()22min 1e e p x p ==-．当21e a ≤-时，1ln x a x -≤，即11e 0ax x--≤ （或111e 1eax ax x x x----=，设()1e 1ax p x x -=-，证明()0p x ≤亦可得到11e 0ax x --≤）． 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上，10ax +>，()0g x '≤，()g x 递减；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，10ax +<，()0g x '≥，()g x 递增． ∴()2min 11e g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2111ln e a a ⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭， ∴1ln 1a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1e a =-．欢迎访问“高中试卷网”——。
江西省信丰中学2020届高三上学期第四次月考数学(理)试题
信丰中学2020届高三年级上学期第四次月考理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|31B x x =-<<，则A B =（ ）A. {}|31x x -<<B. {}|33x x -<≤C. {}|11x x -≤<D. {}|11x x -<<C解一元二次不等式可得集合A ，再由集合的交集运算即可得解.因为{}{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}|31B x x =-<<，所以{}11A B x x ⋂=-≤<.故选：C. 2. 复数21z i=-，在复平面内复数z 的共轭复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限D 先对21z i=-进行化简，再求z 的共轭复数及z 的共轭复数在复平面对应的点 21i 1iz ==+-，则1z i =-，1z i =-在复平面内对应的点为()1,1-，为第四象限 答案选D如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π，所以所求的概率2234949rPπ==.故选：B.6. 已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若mα⊥，mβ⊥，则αβ∥.②若m α，n α，则m n.③若mα⊂，mβ⊥，则αβ⊥.④若lαβ=，mα⊂，m l⊥，则mβ⊥.其中真命题有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④B①由线面垂直的性质和面面平行的定义，命题正确②m与n有可能相交，命题错误③由面面垂直的判定定理判断，命题正确④成立的前提是面面垂直，命题错误对命题①，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若mα⊥，mβ⊥，则α平面与β无公共点，可证αβ∥，命题①正确对命题②，若m与n为另一平行平面的两条交线，也满足条件，但推不出结论，命题②错误对命题③，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. ③中mα⊂，mβ⊥，所以αβ⊥．命题③正确对命题④，若二面角的平面角为锐角时，m与β斜交，命题④错误．由程序框图可知,该程序的功能是计算出输出:111111223344556S=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111223344556S=++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111111223344556=-+-+-+-+-15166=-=故选：C.8. 已知函数()f x是定义在[]12,m m-上的偶函数，[]12,0,x x m∀∈，当12x x≠时，()()()1212f x f x x x--<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()12f x f x-≤的解集是（）A. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C先根据偶函数的定义域关于原点对称求出m ，再根据偶函数的对称性和题设给的[]0,x m ∈的增减性解题即可()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，120m m ∴-+=，解得1m =，()f x 的定义域为[]1,1- 又[]12,0,1x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦()f x ∴[]0,1x ∈单调递减，再由偶函数的对称性可知()()[][]11,11221,112x f x f x x x x⎧-∈-⎪-≤⇔∈-⎨⎪->⎩，解得10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 答案选C因为函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，所以2sin 22θ=，即sin 21θ=，所以4πθ=，故2()2sin(2)cos 2sin cos 2cos cos 212f x x x x x x x πθ⎛⎫=+⋅=+⋅==+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为cos 1142f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，故A 错误；对于B ，因为cos 1142f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以直线4x π=不是()y f x =的对称轴，故B 错误；对于C ，函数()y f x =的最小正周期22T ππ==，故C 错误； 对于D ，因为[]cos21,1x ∈-，所以函数()y f x =的值域是[0,2]，故D 正确.故选：D.10. 抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（）A. 512π- B.512π+ C. ()252π-D. ()252π+A根据题意，画出简图，设点Q (),x y ，再根据几何关系进行求解 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=以MQ 为直径的圆的面积等于25142S MQ ππ==答案选A因为方程()0f x ax -=有4个不同的实数根， 所以函数()y f x =的图象与直线y ax =有4个交点，当0x >时，()xe f x x =，()()21x e x f x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；且当0x +→时，()f x →+∞， 则函数()f x 的图象如图，当0x ≤时，()24f x x x =+，()24f x x '=+，所以()f x 在()0,0处的切线1l 的斜率()104k f '==；当0x >时，()xe f x x =，()()21x e x f x x-'=， 设()f x 过原点的切线2l 的切点为000,x e x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2l 的斜率()()000220001x x e e x k x x x f x -'===，解得02x =，224e k =； 若要使函数()y f x =的图象与直线y ax =有4个交点，数形结合可得2,44e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l ，则实数a =__________．-1 若12l l ，则(2)1a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解得1a =-．14. 已知实数x ，y 满足约束条件30330x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是______.6根据线性约束条件画出可行域，再将2x y =-进行平移寻找最值点即可如图，根据线性约束条件画出可行域，画出符合条件的可行域，将2xy =-进行平移，当移到最高点()0,3时，得到2z x y =+的最大值，max 236z =⨯=则2z x y =+的最大值是615. 已知数列{}n a 的各项均为正数，记{}n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()2*112nn n na a n N a a ++=∈-，11a =，则6S =______.63对()2*112nn n na a n N a a ++=∈-进行化简，可得12n n a a +=，再根据等比数列前n 项和公式进行求解即可 由22222211111122n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++=⇒-⋅=⇒-=+⋅- ()()()111112n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a +++++⇒+-=+⇒-=⇒= 数列{}n a 为首项为11a =，公比2q 的等比数列，()()6616111263112a q S q-⨯-===--所以6S =63[]1,3按照点A 是否与原点重合分类；当点A 不与原点重合时，设,0,2OAB πθθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，()11,D x y ，()22,C x y ，由题意可得1x 、1y 、2x 、2y ，再由平面向量数量积的坐标表示可得12sin 2OC OD θ⋅=+，即可得解. 当点A 不与原点重合时，设,0,2OAB πθθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，()11,D x y ，()22,C x y ，则CBy θ∠=，2DAx πθ∠=-，因为2AB =，所以2cos OA θ=，2sin OB θ=，又1BC AD ==，所以12cos cos 2cos sin 2x πθθθθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，1sin cos 2y πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2sin x θ=，22sin cos y θθ=+，所以()()12122cos sin sin cos 2sin cos OC OD x x y y θθθθθθ+⋅+⋅⋅=++=14sin cos 12sin 2θθθ=+=+，由[)20,θπ∈可得[]2sin 20,2θ∈，所以OC OD ⋅的取值范围是[]1,3； 当点A 与原点重合时，()()1,21,01OC OD ⋅=⋅=； 综上，OC OD ⋅的取值范围是[]1,3. 故答案为：[]1,3.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()sin sin cos a c B b C A +-=. （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为6a =，求ABC ∆的周长.（1）60A =（2）6+（1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可（2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出b c +整体即可解：（1）由正弦定理得：()sin sin sin sin sin 3sin cos A C B B C B A +-=， ∵sin 0B ≠，∴tan 3A =，∵A 是ABC ∆的内角，∴60A =.（2）∵ABC ∆的面积为43，∴1sin 432bc A =，由（1）知60A =，∴16bc =，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-()23b c bc =+-， ∴()24836b c +-=，得：221b c +=， ∴ABC ∆的周长为6221+.（1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值. （1）详见解析（2）2211（1）通过作CD 的中点M ，连结EM ，BM ，通过中位线定理分别证明EM PD ，BM AD来证明平面BEM平面PAD ，从而证明//BE 平面PAD（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，再结合题干信息，可作BD 的中点O ，连接PO ，以OC 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴正方向，OP 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法来求解二面角C PD B --的余弦值 解：（1）取CD 的中点M ，连结EM ，BM .∵BCD ∆为等边三角形，∴23BM =. ∴23AD BM ==，又2AB DM ==， ∴四边形ABMD 是平行四边形，∴BMAD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM PD .同理：EM 平面PAD .∵EMBM M =，∴平面BEM平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴//BE 平面PAD .（2）取BD 的中点O ，连结CO ，PO ，则CO BD ⊥，PO BD ⊥. ∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO CO ⊥，22PO =，23CO =. 以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系O xyz -.则()0,2,0D -，()23,0,0C ，(0,0,22P .∴()23,2,0DC =，(0,2,22DP =，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n =.设平面PCD 的法向量为()2,,n x y z =，则2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23202220x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩. 令6y =，得2x =-，3z =-，∴平面PCD 的一个法向量()22,6,3n =--， ∴121212222cos ,11263n n n n n n ⋅-<>===-++⋅.设二面角C PD B --的大小为θ，结合图形可知22cos 11θ=.（1）写出x ，y 的值（不需过程）；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据（视样本频率为概率）.今从这段时期内任取4天，记其中游客数不低于125人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤； （3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于135人的天数为η，求η的分布列和期望. （1）5,4x y ==； （2）328625； （3）分布列见解析，()1E η=. （1）利用景点甲中的数据的中位数是126，景点乙中的数据的平均数是124，列出方程组，即可求得,x y 得值；（2）判断游客数不低于125人的概率，判断是独立重复试验，满足二项分布，然后求解概率，即可；（3）求出η的所有可能的取值为0,1,2，求出概率得到分布列，利用公式求得期望即可. （1）由题意，景点甲中的数据的中位数是126，当04,x x Z ≤≤∈时，可得中位数为127124125.52+=（不合题意，舍去）； 当59,x x Z ≤≤∈时，可得中位数为127(120)1262x ++=，解得5x =， 又由景点乙中的数据的平均数是124，可得1(109110115118124125126133135141)12410y ++++++++++=，解得4y =.（2）由题意知，因为经典甲的每一天的游客数不低于125人的概率为63105=， 任取4天，即进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 故随机变量ξ服从二项分布3(4,)5B ξ，则()432201244433333328211155555625P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-+-+-=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）由茎叶图，可得共有20天的数据中，甲景区游客数不低于115且不高于135人的天数为3天， 乙景区游客数不低于115且不高于135人的天数为7天， 先从20天的数据中任取2天的数据，甲乙两景点中各取1天，其中游客数不低于115且不高于135人的天数为η，则η的可能取值为0,1,2， 则737733(0)0.21,(1)0.58101010101010P P ηη==⨯===⨯+⨯=， 37(2)0.211010P η==⨯=，所以随机变量η的分布列为：所以期望()00.2110.5820.211E η=⨯+⨯+⨯=.20. 已知圆O ：2243x y +=，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点⎝⎭，圆上任意一点P 处的切线交椭圆于M ，N 两点， （1）求椭圆C 的方程；（2）试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.(1) 22142x y +=；(2)定值为43，理由见解析.（1）根据椭圆的离心率和过点33⎛ ⎝⎭建立方程即可求出22,a b ，则得椭圆方程；（2）分两种情况进行讨论，当过点P 的圆的切线斜率为0或不存在时，4||||333PM PN ⋅=⨯=；当斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，采用解析几何方法联立切线与椭圆标准方程，得出关于两点横坐标的韦达定理，再用弦长公式表示出||||PM PN ⋅，最终将表达式进行化简求值即可。
江西省赣州市十四县(市)2019届高三上学期期中联考数学(理)试卷(含答案)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120第Ⅰ卷（选择题，共60分）选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)已知集合，集合，则（ ）{}213A x x =-≤{}2B y y x===B A B . C . D .}x ≤1{}x x ≤≤01{}2x x ≤{}x x ≤≤02．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）{}n a n n S 10081009101010112a a a a +++=2018S =1009B ．1010C ．2018D ．2019设函数 则 ( )(){()211log 2,1,2, 1.x x x f x x -+-<=≥((2))f f -=.2 B .4 C .8 D .16下列有关命题的说法正确的是（ ）⎰ B . C .D . 1232-121如右图，正六边形ABCDEF 中，的值为18，则此正六边形的边长为（）AC BD ⋅2B ．C ．3D ．2232是△的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是 ( )B A ,ABC B A >； ②； ③；B A sin >B A cos cos <B A tan tan >； ⑤； ⑥.B A 22sin >B A 22cos cos <B A 22tan tan > B ．C ．D ．今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数）A B C D已知函数在区间为单调函数，则的最大值是（ ()()212sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω B ．C ．D ．352334在中, ,是的内心,若,其中ABC ∆16,7,cos 5AC BC A ===O ABC ∆OP xOA yOB =+ ,动点的轨迹所覆盖的面积为( )1,12y ≤≤≤P B .C .D .106563103203已知函数（x ＞2），若恒成立，则整数k 的最大值为（）1ln(1)()2x f x x +-=-()1kf x x >-B ．C.D ．345第Ⅱ卷（非选择题 共90分）x函数的定义域和值域均为，的导函数为，且满足()f x ()0,+∞()f x ()f x '，则)()()2f x f x '<<()()20182019f f 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知幂函数经过点()f x ()2,4）求的值；12f ⎛⎫-⎪⎝⎭）是否存在实数与，使得在区间上的值域为，若存在，求出m n ()f x [],m n []68,68m n --m 的值，若不存在，说明理由.已知函数2()4sin sin ()2sin (cos 1)42xf x x x x π=⋅++-）求函数的最小正周期与单调增区间；)(x f ）设集合,若,求实数的取值范围(){},2624A xx B x f x m ⎧π17π⎫=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭A B ⊆m （本小题满分12分）设数列是公比大于的等比数列，是其前项和,已知,且构成等差数列{}n a 1n S n 37S =1233,3,4a a a ++）求数列的通项；{}n a ）令求数列的前项和.21lo ,,2,g 1,n n n a b n a +=⋅=⋯{}n b n n T20.（本小题满分12分）7）若为锐角三角形,且,求的取值范围。
2020届江西省信丰中学高三上学期第四次月考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省信丰中学高三上学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|31B x x =-<<，则AB =（ ）A ．{}|31x x -<<B ．{}|33x x -<≤C ．{}|11x x -≤<D ．{}|11x x -<<【答案】C【解析】解一元二次不等式可得集合A ，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为{}{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}|31B x x =-<<，所以{}11A B x x ⋂=-≤<. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．复数21z i=-，在复平面内复数z 的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】先对21z i=-进行化简，再求z 的共轭复数及z 的共轭复数在复平面对应的点 【详解】21i 1iz ==+-，则1z i =-，1z i =-在复平面内对应的点为()1,1-，为第四象限 答案选D 【点睛】本题考查复数除法运算，共轭复数的概念及复数与复平面的点的对应关系，难度不大，综合性强3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a ，则9a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算4．已知向量()2,1a =，()2,sin 1b α=-，()2,cos c α=-，若()a b c +，则tan α的值为（） A ．2 B ．12C ．12-D ．-2【答案】D 【解析】由()a b c +表示出sin α与cos α的基本关系，化简求解即可【详解】()4,sin a b α+=，()4cos 2sin tan 2a bc ααα+⇒=-⇒=-答案选D 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表示法为：1221x y x y =或1122x y x y =5．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B 33πC 23D ．9π 【答案】B【解析】设圆的半径为r，利用几何关系得出正三角形ABC的高为7r，然后利用锐角三角函数计算出AD，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，取AB 边的中线CD，则三个圆心都在线段CD上，设最上面的圆的圆心为O，圆O与BC的切点为E，易知30OCE∠=，所以2OC OE=.设圆的半径OE r=，2OC r∴=，则7CD r=，所以22tan303AB AD CD===.所以217233ABCS r∆⨯==，而阴影部分的面积为23rπ，所以所求的概率2233349493rPππ==.故选：B.【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.6．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若m α⊥，mβ⊥，则αβ∥.②若mα，nα，则m n.③若mα⊂，mβ⊥，则αβ⊥.④若lαβ=，mα⊂，m l⊥，则mβ⊥.其中真命题有（）A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】B【解析】①由线面垂直的性质和面面平行的定义，命题正确②m与n有可能相交，命题错误③由面面垂直的判定定理判断，命题正确 ④成立的前提是面面垂直，命题错误 【详解】对命题①，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若m α⊥，m β⊥，则α平面与β无公共点，可证αβ∥，命题①正确对命题②，若m 与n 为另一平行平面的两条交线，也满足条件，但推不出结论，命题②错误对命题③，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. ③中m α⊂，m β⊥，所以αβ⊥．命题③正确 对命题④，若二面角的平面角为锐角时，m 与β斜交，命题④错误． 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断证明，旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间想象能力7．执行如图所示的框图,若输入5N,则输出的S 等于( )A ．34B ．45 C ．56D ．67【答案】C【解析】由程序框图可知,该程序的功能是计算出输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值,利用裂项相消法,即可求得答案. 【详解】由程序框图可知,该程序的功能是计算出输出: 111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111111223344556=-+-+-+-+-15166=-=故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图输出结果,解题的关键就是利用程序框图,列出循环的每一步,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，[]12,0,x x m ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()12f x f x -≤的解集是（）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出m ，再根据偶函数的对称性和题设给的[]0,x m ∈的增减性解题即可 【详解】()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，120m m ∴-+=，解得1m =，()f x 的定义域为[]1,1- 又[]12,0,1x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦()f x ∴在[]0,1x ∈单调递减，再由偶函数的对称性可知()()[][]11,11221,112x f x f x x x x⎧-∈-⎪-≤⇔∈-⎨⎪->⎩，解得10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦答案选C【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略()f x 所有括号中的取值都必须在定义域内9．若函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，则（ ） A ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]【答案】D【解析】由函数图象过点(0,2)可得4πθ=，由诱导公式、三角恒等变换可得()cos 21f x x =+，由三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.【详解】因为函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，所以2sin 22θ=，即sin 21θ=，所以4πθ=，故2()2sin(2)cos 2sin cos 2cos cos 212f x x x x x x x πθ⎛⎫=+⋅=+⋅==+ ⎪⎝⎭， 对于A ，因为cos 1142f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心， 故A 错误； 对于B ，因为cos 1142f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以直线4x π=不是()y f x =的对称轴， 故B 错误；对于C ，函数()y f x =的最小正周期22T ππ==，故C 错误； 对于D ，因为[]cos21,1x ∈-，所以函数()y f x =的值域是[0,2]，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题.10．抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（）A ．51π- B ．51π+ C ．()252π-D ．()252π+【答案】A【解析】根据题意，画出简图，设点Q (),x y ，再根据几何关系进行求解 【详解】 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=以MQ 为直径的圆的面积等于25142S MQ ππ==答案选A 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直角三角形三角形斜边上的中线为斜边一半性质，其中抛物线方程的代换起了关键作用11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，以EFG ∆为底面作直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱），若此直三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则该直三棱柱的体积为（） A 6 B ．2C ．32D ．34【答案】C【解析】根据题意，作出相对应简图，分别取点1C的三个面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理来进行证明，再通过线段几何关系进行求解即可【详解】如图，连接11A C，1C D，1AC,1BC,分别取11A C、1BC、1C D中点M、N、Q，连接MQ，MN，NQ,FQ,EN,GM由中位线定理可得111111111 //,,//,,//,222GM AC GM AC FQ AC FQ AC EN AC EN AC===又1AC EFG⊥平面，∴三棱柱EFG NQM—是正三棱柱332EFGS∆==1132h GM AC===，∴三棱柱32EFG NQMV=—答案选C【点睛】本题考查几何体中的构图法、直三棱柱体积的求法，整体难度较大，通过中位线定理证明侧棱垂直于底面是关键12．已知函数()24,0,0xx x xf x exx⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，方程()0f x ax-=有4个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A．2,44e⎛⎫⎪⎝⎭B．,44e⎛⎫⎪⎝⎭C．,4e⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．2,4e⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】转化条件得函数()y f x=的图象与直线y ax=有4个交点，结合导数可作出函数()f x的图象，结合导数的几何意义数形结合即可得解.【详解】因为方程()0f x ax-=有4个不同的实数根，所以函数()y f x=的图象与直线y ax=有4个交点，当0x>时，()xef xx=，()()21xe xf xx-'=，当()0,1x∈时，()0f x'<，()f x单调递减；当()1,x∈+∞时，()0f x'>，()f x单调递增；且当0x+→时，()f x→+∞，则函数()f x的图象如图，当0x≤时，()24f x x x=+，()24f x x'=+，所以()f x在()0,0处的切线1l的斜率()104k f'==；当0x>时，()xef xx=，()()21xe xf xx-'=，设()f x过原点的切线2l的切点为0,xexx⎛⎫⎪⎝⎭，则2l的斜率()()0022001xxee xkxxxfx-'===，解得02x=，224ek=；若要使函数()y f x=的图象与直线y ax=有4个交点，数形结合可得2,44ea⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数确定函数的图象及导数几何意义的应用，考查了函数与方程的综合应用及数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l ，则实数a =__________．【答案】-1 【解析】若12l l ，则(2)1a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解得1a =-．14．已知实数x ，y 满足约束条件30330x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是______.【答案】6【解析】根据线性约束条件画出可行域，再将2xy =-进行平移寻找最值点即可 【详解】如图，根据线性约束条件画出可行域，画出符合条件的可行域，将2xy =-进行平移，当移到最高点()0,3时，得到2z x y =+的最大值，max 236z =⨯= 则2z x y =+的最大值是6 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 15．已知数列{}n a 的各项均为正数，记{}n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()2*112nn n na a n N a a ++=∈-，11a =，则6S =______. 【答案】63【解析】对()2*112n n n na a n N a a ++=∈-进行化简，可得12n n a a +=，再根据等比数列前n 项和公式进行求解即可 【详解】由22222211111122n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++=⇒-⋅=⇒-=+⋅- ()()()111112n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a +++++⇒+-=+⇒-=⇒= 数列{}n a 为首项为11a =，公比2q 的等比数列，()()6616111263112a q S q-⨯-===--所以6S =63 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分．但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质16．如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限（含非负坐标轴）内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅的取值范围是__________．【答案】[]1,3【解析】按照点A 是否与原点重合分类；当点A 不与原点重合时，设,0,2OAB πθθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，()11,D x y ，()22,C x y ，由题意可得1x 、1y 、2x 、2y ，再由平面向量数量积的坐标表示可得12sin 2OC OD θ⋅=+，即可得解.【详解】当点A 不与原点重合时， 设,0,2OAB πθθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，()11,D x y ，()22,C x y ， 则CBy θ∠=，2DAx πθ∠=-，因为2AB =，所以2cos OA θ=，2sin OB θ=， 又1BC AD ==，所以12cos cos 2cos sin 2x πθθθθ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭， 1sin cos 2y πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2sin x θ=，22sin cos y θθ=+，所以()()12122cos sin sin cos 2sin cos OC OD x x y y θθθθθθ+⋅+⋅⋅=++=14sin cos 12sin 2θθθ=+=+，由[)20,θπ∈可得[]2sin 20,2θ∈，所以OC OD ⋅的取值范围是[]1,3； 当点A 与原点重合时，()()1,21,01OC OD ⋅=⋅=； 综上，OC OD ⋅的取值范围是[]1,3. 故答案为：[]1,3. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示、三角函数及二倍角公式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()sin sin cos a c B b C A +-=.（1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为6a =，求ABC ∆的周长.【答案】（1）60A =（2）6+【解析】（1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可 （2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出b c +整体即可 【详解】解：（1）由正弦定理得：()sin sin sin sin sin 3sin cos A C B B C B A +-=， ∵sin 0B ≠，∴tan 3A =，∵A 是ABC ∆的内角，∴60A =. （2）∵ABC ∆的面积为43，∴1sin 432bc A =， 由（1）知60A =，∴16bc =，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-()23b c bc =+-， ∴()24836b c +-=，得：221b c +=， ∴ABC ∆的周长为6221+. 【点睛】本题主要考查解三角形基础知识，一般解题思路为正弦定理边化角，余弦定理结合面积公式解决周长、面积问题18．在四棱锥P ABCD -中，4BC BD DC ===，2AB =，23AD PB PD ===.（1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值. 【答案】（1）详见解析（2）2211【解析】（1）通过作CD 的中点M ，连结EM ，BM ，通过中位线定理分别证明EM PD ，BM AD 来证明平面BEM平面PAD ，从而证明//BE 平面PAD（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，再结合题干信息，可作BD 的中点O ，连接PO ，以OC 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴正方向，OP 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法来求解二面角C PD B --的余弦值 【详解】解：（1）取CD 的中点M ，连结EM ，BM .∵BCD ∆为等边三角形，∴23BM =. ∴23AD BM ==，又2AB DM ==， ∴四边形ABMD 是平行四边形，∴BMAD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM PD .同理：EM 平面PAD .∵EMBM M =，∴平面BEM平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴//BE 平面PAD .（2）取BD 的中点O ，连结CO ，PO ，则CO BD ⊥，PO BD ⊥. ∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO CO ⊥，22PO =，23CO =. 以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系O xyz -.则()0,2,0D -，()23,0,0C ，(2P .∴()23,2,0DC =，(0,2,22DP =，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n =.设平面PCD 的法向量为()2,,n x yz =，则2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23202220x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩. 令6y =，得2x =-，3z =-，∴平面PCD 的一个法向量()22,6,3n =--， ∴121212222cos ,11263n n n n n n ⋅-<>===-++⋅.设二面角C PD B --的大小为θ，结合图形可知22cos 11θ=. 【点睛】本题考查立体几何基本知识，第一问考查了线面平行的证法，证线面平行一般有两种思路：一种通过证直线和平面里的一条直线平行来证线面平行；另一种通过证面面平行，说明直线在其中一个平面，从而证线面平行。
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江西省赣州市信丰中学
2019届高三年级上学期第四次月考检测
数学(理)试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数
5
2
i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i - 2已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π
2，则cos α－sin α的值为( ) A.－32
B.32
C.－34
D.34
3设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
D.不确定
4.已知向量OA →＝(k ,12),OB →＝(4,5),OC →＝(－k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k 的值是( ) A.－23
B.43
C.12
D.13
5已知点M 是△ABC 的边BC 的中点,点E 在边AC 上,且EC →＝2AE →,则向量EM →＝( ) A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋1
6AB → C.16AC →
＋12AB →
D.16AC →
＋32AB →
6. 在ABC ∆中,“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7下面说法正确的有（ ）个
(1)函数y ＝f (1－x )的图像,可由y ＝f (－x )的图像向左平移1个单位得到. (2)函数y ＝f (x )满足0)1()1(=-++x f x f 则函数y ＝f (x )的图像关于(1,0)中心对称.
(3)当x ∈(0,＋∞)时,函数y ＝f (|x |)的图像与y ＝|f (x )|的图像相同.
(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x ),则函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称.
A 1
B 2
C 3
D 4
8若3sin α＋cos α＝0,则1
cos 2α＋2sin αcos α的值为( ) A.103
B.53
C.23
D.－2
9函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－x 的最大值为( ) A.4
B.5
C.6
D.7
10若函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)(φ<0)的图像关于直线x ＝π
24对称,则φ的最大值为( ) A.－5π3
B.－2π3
C.－π6
D.－5π6
11已知a 是常数,函数f (x )＝13x 3
＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示,则函数g (x )＝|a x －2|的图像可能是( )
12 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3
和y ＝ax 2
＋15
4x －9(a ≠0)都相切,则a 的
值为( )。