质量检测(二)数学试题及答案

绝密★启用前鼎城一中高二质量检测（二)数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．（5分）设43z i =+，则在复平面内1z对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合{}2|450A x x x =-+>，203x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ．(2,3)-B ．[2,3]-C ．[2,3)-D ．∅3．（5分）已知函数12()log 1f x =，则()f x （ ）A ．是奇函数，在(0,)+∞上单调递减B ．是非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减4．（5分）设0.10.353,log 0.5,log 0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<5．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱 C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两400，300，若用分层抽样方法抽取n 名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n 的值为（ ） A ．20B ．22C ．23D ．267．（5分）“(1)(1)0b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．（5分）已知抛物线24y x =-的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，直线4x =与MO ，NO 的延长线交于P ，Q 两点，则:MON POQ S S ∆∆=（ ） A ．18B ．19C ．112D ．1169．（5分）将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.A ．①④B ．②③C ．①③D ．②（④10．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为103，则棱长为a 的正方体的外接球的表面积为（ ）………○…………线…………__________………○…………线…………A ．12πB ．14πC ．D ．16π11．（5分）已知函数3213()132f x x x bx =-++在1x =处有极值，设函数23()()2F x f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，且()F x 在区间(2,3)内不单调，则a 的取值范围为（ ）A ．311,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．311,26⎛⎫⎪⎝⎭C ．311,43⎛⎫⎪⎝⎭D ．38,23⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷（非选择题)二、填空题12．（5分）已知(3,1)a =v ，()24,23b t =-+v ，若9a b ⋅=-v v，则cos ,a b =v v _________.13．（5分）函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.14．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________.15．（5分）已知数列{}n a 满足11,log (2)n n b n a a c n ==…，当2n ≥时，n b n =，且点(),n n b c 是直线1y x =+上的点，则数列{}n a 的通项公式为_________；令…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………三、解答题16．（15分）如图，在ABC ∆中，33sin 14BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，D 在BC 边上，连接AD .（1）求角B 的大小；（7分） （2）求ACD ∆的面积.（8分）17．（15分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，ADC ∠为直角，AP ⊥平面ABCD ，::5:4:2BC AD CD =，且1CD =. （1）求证：BP AC ⊥；（7分）（2）若AP CD =，求二面角D PC B --的余弦值.（8分）18．（15分）甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液300ml ，从甲容器中取出100ml 溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出100ml 溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：120%a =，12%b =，第n 次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：n a 、n b .（1）请用n a 、n b 分别表示1n a +和1n b +；（7分）（2）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于0.1%.（8分）19．（15分）已知函数()ln f x x =，211()22g x x =-. （1）证明：当1x >时，()()f x g x <；（7分）（2）存在01x >，使得当()01,x x ∈时恒有()()(1)(1)f x g x k x ->--成立，试确定k 的取值范围.（8分）20．（15分）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，O 为坐标原点，A 为椭团的上顶点，0)B 为其右焦点，D 是线段AB 的中点，且⊥OD AB . （1）求椭圆C 的方程；（4分）（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，分别作PE x ⊥轴，QF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，连接QE ，PF 并延长交椭圆C 于点M ，N 两点.（ⅰ）判断PQM ∆的形状；（5分） （ⅱ）求四边形PMQN 面积的最大值.绝密★启用前鼎城一中高二质量检测（二)数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．（5分）设43z i =+，则在复平面内1z对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数z ，对1z进行化简计算，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案. 【详解】 因为43z i =+， 所以1143434343(43)(43)252525i i i z i i i --====-++-， 因此1z 在复平面内对应的点43,2525⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算和复平面对应的点，属于简单题. 2．（5分）已知集合{}2|450A x x x =-+>，203x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ．(2,3)- B ．[2,3]- C ．[2,3)-D ．∅【答案】C 【解析】 【分析】对集合A ，B 进行化简，再通过集合的交集运算，得到A B I . 【详解】因为集合A 中的不等式2245(2)10x x x -+=-+>，所以集合A =R . 因为集合B 中的不等式203x x +≤-， 解得23x -≤<所以集合{|23}B x x =-≤<， 所以[2,3)A B ⋂=-， 故选：C. 【点睛】本题考查二次不等式和分式不等式，集合的交集运算，属于简单题.3．（5分）已知函数12()log 1f x =，则()f x （ ） A ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 B ．是非奇非偶函数，在区间(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增D ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减【答案】C 【解析】 【分析】通过()f x 解析式，得到()()f x f x -=，得到()f x 为偶函数，研究0x >时，()f x 单调性，根据对称性，得到0x <时，()f x 的单调性，从而得到答案. 【详解】 因为1122()log 1log 1f x x ==+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞()1122log 1log 1f x x x -=-+=+所以()()f x f x =- 所以()f x 为偶函数，当0x >时，()12log 1f x x =+，单调递减，故()f x 在(,0)-∞上单调递增，本题考查判断函数的奇偶性，根据解析式得到函数的单调性，属于简单题.4．（5分）设0.10.353,log 0.5,log 0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求出,,a b c 与特殊值0和1之间的大小关系，从而做出判断. 【详解】因为3xy =是单调递增函数，所以0.10331a =>=，即1a >； 因为0.3log y x =是单调递减函数，所以0.30.30.3log 1log 0.5log 0.31b <=<=，即01b <<； 而55log 0.3log 10c =<=，即0c <， 所以a b c >>， 故选：B. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的性质，比较指数式、对数式的大小，属于简单题. 5．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两 【答案】C 【解析】 【分析】得到d ，从而得到234,,a a a ，得到答案. 【详解】由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{}n a ， 则110.4a =，5 5.6a =，设公差为d ，所以514 5.6a a d =+=， 即10.44 5.6d +=，解得 1.2d =-， 可得2110.4 1.29.2a a d =+=-=；31210.4 1.228a a d =+=-⨯=； 41310.4 1.23 6.8a a d =+=-⨯=，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项中基本量的计算，求等差数列中的某一项，属于简单题.. 6．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n 名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n 的值为（ ） A ．20 B ．22C ．23D ．26【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点，先得到武术小组占总人数的比值，然后根据比例，得到所抽取的人数，得到答案. 【详解】因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300， 所以得到武术小组占总人数的比值为300360040030013=++因为武术小组中抽取了6名学生，根据分层抽样的特点可得6313n =，解得26n =， 故选：D.本题考查根据分层抽样的特点求抽取的人数，属于简单题.7．（5分）“(1)(1)0b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】通过1a -和1b -同号可得前者等价于11a b >⎧⎨>⎩或11a b <⎧⎨<⎩，通过对数的性质可得后者等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，结合充分条件，必要条件的概念可得结果. 【详解】()()11101a b a b >⎧-⋅->⇔⎨>⎩或11a b <⎧⎨<⎩，1log 01a a b b >⎧>⇔⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩， 即“(1)(1)0b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的必要不充分条件， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及充分条件，必要条件的判定，属于中档题.8．（5分）已知抛物线24y x =-的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，直线4x =与MO ，NO 的延长线交于P ，Q 两点，则:MON POQ S S ∆∆=（ ）A ．18B ．19C ．112D ．116【答案】D 【解析】 【分析】当直线l 垂直于x 轴，根据相似，得到116MON POQ S S ∆∆=，当直线l 不垂直于x 轴，联立2(1),4y k x y x =+⎧⎨=-⎩，得到121=x x ，利用三角形面积公式，得到1214416POQ MON x x S S ∆∆=⋅=，当直线l 垂直于x 轴时，MON ∆与POQ ∆相似， 所以2||1416MON POQ S OF S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭； 当直线l 不垂直于x 轴时， 设直线l 的方程为(1)y k x =+，设()()()()1122,,,,4,,4,P Q M x y N x y P y Q y .联立2(1),4y k x y x=+⎧⎨=-⎩得()2222240k x k x k +++=，()2242440k k ∆=+->，所以121=x x ，所以1||||sin 21||||sin 2MO P N OQMO NO MON S S PO QO POQ ∆∆⋅⋅∠=⋅⋅∠ 12||||1||||4416x x MO NO PO QO =⋅=⋅=. 综上，116MON POQ S S ∆∆=， 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的交点，抛物线中三角形面积问题，属于中档题.9．（5分）将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.A ．①④B ．②③C ．①③D ．②（④【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的平移，得到()f x 的解析式，从而得到其对称轴，对称中心，单调增区间，单调减区间，再进行判断，得到答案. 【详解】由题意将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度， 得55()sin 2sin 2126f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos 2323x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23x k ππ+=，k ∈Z得到,26k x k ππ=-∈Z 所以对称轴为直线,26k x k ππ=-∈Z ； 令232x k πππ+=+，k ∈Z得到212k x ππ=+，k ∈Z 所以对称中心为点,0212k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z ； 2223k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z得63k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z所以函数()f x 在,()63k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减；22223k k x πππππ≤≤+++，k ∈Z得236k x k ππ-+π≤≤-+π，k ∈Z…………○…………订…………○…：___________班级：___________考号：___________…………○…………订…………○…所以函数()f x 在2,()36k k k ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增，所以①③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换、正弦型函数图象的性质，属于简单题. 10．（5分）某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为103，则棱长为a 的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．14πC ．D ．16π【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，则该几何体的体积等于一个三棱锥和一个四棱锥的体积和，从而得到a 的值，然后得到棱长为a 的正方体的外接球的半径，从而得到答案. 【详解】由题意可知该几何体的直观图如图所示， 则该几何体的体积11113510123B ABC B ACC A V V V a --=+==， 解得2a =，则正方体的棱长为2，…………○…………线…考号：___________…………○…………线…则其外接球的直径2r ==， 所以棱长为2的正方体外接球的表面积224412S r πππ==⨯=，故选：A.【点睛】本题考查三视图还原几何体，正方体外接球表面积的计算，属于中档题. 11．（5分）已知函数3213()132f x x x bx =-++在1x =处有极值，设函数23()()2F x f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，且()F x 在区间(2,3)内不单调，则a 的取值范围为（ ）A ．311,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．311,26⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．311,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．38,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 在1x =处有极值，得到()10f '=，从而得到b 的值，从而得到()F x ，求导得到()F x '，根据()F x 在区间(2,3)内不单调，按2a ≤，23a <<，3a ≥分类讨论，得到关于a 的不等式组，解得a 范围 【详解】∵2()3f x x x b '=-+，且在1x =处()f x 有极值， ∴()01f '=，即130b -+=，解得2b =， ∴3213()2132f x x x x =-++，23231()()2123=F x f x a x x ax x ⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭，∴2()22F x x ax '=-+. ∵()F x 在(2,3)内不单调，所以①2(2)0(3)0a F F ≤⎧'<>'⎪⎨⎪⎩，即244209620a a a ≤⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩，所以31126a <<，②3(2)0(3)0a F F ≥⎧'><'⎪⎨⎪⎩，即344209620a a a >⎧⎪-+>⎨⎪-+<⎩，所以无解集，③230(2)0(3)0a F F <<⎧⎪∆>⎨⎪>>''⎩或，即22348044209620a a a a <<⎧⎪->⎨⎪-+>-+>⎩或，所以无解集， ∴a 的取值范围为311,26⎛⎫⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的极值点求参数的值，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题12．（5分）已知(3,1)a =v ，()24,23b t =-+v ，若9a b ⋅=-v v ，则cos ,a b =v v _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算，得到关于t 的方程，解出t 的值，在根据向量夹角的余弦公式，得到答案. 【详解】因为(3,1)a =r ，()24,23b t =-+r ，且9a b ⋅=-r r所以212239t -++=-， 解得0t =，所5a b ====r r ，所以cos ,a b a b a b ⋅===⋅r rr r r r .故答案为：50-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，向量的夹角公式，属于简单题. 13．（5分）函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.【答案】6-或2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求出()f x 在1x =处的切线，根据圆的弦长，得到圆心距，根据圆心到切线的距离公式，得到关于a 的方程，从而得到a 的值. 【详解】 因为()f x x a =+ 所以()f x x '=代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率(1)1k f '==. 又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ， 所以函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-. 又因为圆22:2440C x y x y +-+-= 圆心坐标为(1,2)-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则22213+=， 解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2 【点睛】本题考查导数的几何意义求在一点的切线方程，根据圆的弦长求参数，属于中档题.14．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】联立8y x =-和2140x y --=，得到线段AB 的中点C 的坐标为()2,6-，由点差法得到2212122121y y y y b x x x x a -+⋅=-+，根据AB 斜率和C 的坐标为()2,6-，得到,a b 之间的关系，从而得到离心率. 【详解】点A ，B 关于直线8y x =-对称， 线段AB 的中点在直线2140x y --=上所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+.∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+， ∴22124AB k ab -⨯=.∵点A ，B 关于直线8y x =-对称 ∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：2 【点睛】本题考查点关于直线对称，双曲线的方程与几何性质，双曲线弦中点问题，求双曲线的离心率，属于中档题.15．（5分）已知数列{}n a 满足11,log (2)n n b n a a c n ==…，当2n ≥时，n b n =，且点(),n n b c 是直线1y x =+上的点，则数列{}n a 的通项公式为_________；令123k y a a a a =⋅⋅L ，则当k 在区间[1,2019]内时，使y 的值为正整数的所有k 值之和为__________. 【答案】1,1,log (1),2n nn a n n =⎧=⎨+⎩ (2036)【解析】 【分析】当2n ≥时，得到n c 的通项，从而得到n a ，结合11a =，得到n a 的通项公式，表示出y ，利用对数的换底公式，得到y 的解析式，2log (1)k n +=，得到21n k =-，根据[1,2019]k ∈，得到n 的范围，从而得到满足要求的k 值之和，得到答案.【详解】因为当2n ≥时，n b n =，且点(),n n b c 是直线1y x =+上的点，所以当2n ≥时，有log (1)(2)n n a n n =+…，………外…………○学………内…………○所以1,1,log (1),2,n n n a n n =⎧=⎨+⎩…所以231log 3log 4log (1)k y k =⨯⨯⨯⨯+L2lg 3lg 4log(1)lg(1)1log (1)lg 2lg 3lg lg 2k k k k ++=⨯⨯⨯⨯==+L ， 令2log (1)k n +=得12n k +=， 所以21n k =-，所以当k 在[1,2019]内时，即2201911n ≤≤-，得*10,1n n ≤≤∈N 所以使y 的值为正整数的所有k 值之和为()()()12102121 21-+-++-L()121022210=+++-L()1021210203612-=-=-.故答案为: 1,1,log (1),2n nn a n n =⎧=⎨+⎩…;2036【点睛】本题考查求数列的通项，分组求和，求等比数列前n 项和，属于中档题三、解答题16．（15分）如图，在ABC ∆中，sin 14BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，D 在BC 边上，连接AD .（1）求角B 的大小； （2）求ACD ∆的面积.【答案】（1）3B π=（2）【解析】 【分析】（1）由ABD ADC BAD ∠=∠-∠及两角差的正弦公式，结合正余弦值求得ABD ∠的正弦值，即可得角B 的大小；（2）先在ACD ∆中，由余弦定理求出CD 的长度，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1cos 7ADC ∠=， 所以0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭∵sin BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，∴13cos 14BAD ∠==， sin 7ADC ∠==∴sin sin()ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠⨯∠-∠⨯∠ 1317147142=⨯-⨯=. 因为0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3B π=.（2）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯∠，∴216449277CD CD =+-⨯⨯⨯， 解得5CD =， ∴1sin 2ACD S AD CD ADC ∆=⨯⨯⨯∠ 17527=⨯⨯⨯……订…………○………_______考号：___________……订…………○………=【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及利用余弦定理解三角形，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，属于简单题.17．（15分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，ADC ∠为直角，AP ⊥平面ABCD ，::5:4:2BC AD CD =，且1CD =.（1）求证：BP AC ⊥；（2）若AP CD =，求二面角D PC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）5- 【解析】 【分析】（1）根据AP ⊥平面ABCD ，得到AP AC ⊥，根据勾股定理得到AC AB ⊥，从而得到AC ⊥平面ABP ，再得到BP AC ⊥；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，得到平面BPC 的法向量1n u r ，平面DPC 的法向量2n u u r，根据向量夹角公式，从而得到求二面角D PC B --的余弦值. 【详解】解：（1）证明：∵AP ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AP AC ⊥.∵::5:4:2BC AD CD =，且1CD =， ∴52,2AD BC ==， ∴2AC AB ==，又AP AB A =I ，,AP AB ⊂平面ABP ∴AC ⊥平面ABP . 又BP ⊂平面ABP ， ∴BP AC ⊥.（2）如图，过点A 作AF 垂直BC 于点F ，由（1）知，AP AD ⊥. 又,AP AF AF AD ⊥⊥， ∴,,AP AD AF 两两垂直，∴以A 为坐标原点，,,AF AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,1),(0,0,0),1,,0,(1,2,0),(0,2,0)2P A B C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴50,,0,(1,2,1),(1,0,0)2BC CP DC ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r.设平面BPC 的法向量1(,,)n x y z =u r，由110,0BC n CPn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v 得50,220,y x y z ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩ ∴取1(1,0,1)n =u r.设平面DPC 的法向量()2111,,n x y z =u u r，由220,0DC n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u v u u u v u u v 得11110,20,x x y z =⎧⎨--+=⎩ ∴取2(0,1,2)n =u u r.设二面角D PC B --的平面角为θ，则1212cos 5n n n n θ⋅===u r u u r u r u u r ，由图可知二面角D PC B --为钝角， ∴二面角D PC B --的余弦值为5-.外…………………线…………内…………………线…………【点睛】本题考查线面垂直的判定，线面垂直的性质，利用空间想象求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，属于中档题.18．（15分）甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液300ml ，从甲容器中取出100ml 溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出100ml 溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：120%a =，12%b =，第n 次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：n a 、n b .（1）请用n a 、n b 分别表示1n a +和1n b +；（2）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于0.1%. 【答案】（1）11344n n n b a b +=+，13144n n n a a b +=+；（2）9. 【解析】 【详解】（1）由题意可设在第一次调和后的浓度为120%a =，12%b =，()11003001310030044n n n n n a b b a b ++==++；（2）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列{}n n a b -． 由（1）可得：()()1111112221313333442n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a a b a b +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，…线………线……所以，数列{}n n a b -是以1118%a b -=为首项，以12为公比的等比数列． 所以，1118%2n n n a b -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，由题，令，得1112180n -⎛⎫<⎪⎝⎭．所以，2lg1801log 180lg 2n ->=， 由7821802<<得27log 1808<<，所以，8n >. 即第9次调和后两溶液的浓度之差小于0.1%. 19．（15分）已知函数()ln f x x =，211()22g x x =-. （1）证明：当1x >时，()()f x g x <；（2）存在01x >，使得当()01,x x ∈时恒有()()(1)(1)f x g x k x ->--成立，试确定k 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(,1)-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数211()()()ln (0)22F x f x g x x x x =-=-+>，求导得到()F x '，从而得到()F x 的单调递减，所以有()(1)0F x F <=，从而得到当1x >时，()()f x g x <；（2）当1k ³时，不存在01x >满足题意，当1k <时，令()()()(1)(1)x f x g x k x ϕ=----，利用导数得到()x ϕ单调性，得到()(1)0x ϕϕ>=，从而得到k 的取值范围.【详解】解：（1）证明：由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞，()g x 的定义域为(,)-∞+∞，令211()()()ln (0)22F x f x g x x x x =-=-+>， 所以211()x F x x x x-'=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减， 故当1x >时，()(1)0F x F <=， 即当1x >时，()()f x g x <成立.（2）由（1）知，当1x >时，()()0f x g x -<， 所以当1k ³时，不存在01x >满足题意； 当1k <时，令()()()(1)(1)x f x g x k x ϕ=----211ln 22x x x kx k =-+-+-， 所以211()1x x kxx x k x x ϕ-+-'=-+-=2(1)1x k x x-+-+=， 令()0x ϕ'=得2(1)10x k x -+-+=，所以10=<x （舍去）， 2x =因为1k <，所以21>x ， 所以当()21,x x ∈时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()21,x 上单调递增， 所以当()21,x x ∈时，()(1)0x ϕϕ>=， 即()()(1)(1)f x g x k x ->--成立. 综上，k 的取值范围为(,1)-∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，利用导数证明不等式，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、分类讨论思想，属于中档题.20．（15分）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，O 为坐标原点，A 为椭团的上顶点，B 为其右焦点，D 是线段AB 的中点，且⊥OD AB . （1）求椭圆C 的方程；（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，分别作PE x ⊥轴，QF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，连接QE ，PF 并延长交椭圆C 于点M ，N 两点. （ⅰ）判断PQM ∆的形状；（ⅱ）求四边形PMQN 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）（ⅰ）PQM ∆为直角三角形（ⅱ）329 【解析】 【分析】（1）根据题意得到b c ==在求出a ，得到椭圆标准方程；（2）（ⅰ）先设直线PQ 和EQ 的方程，分别与椭圆方程联立，得到点M 的坐标，从而表示出直线PM 的斜率，得到1PM PQ k k ⋅=-，从而做出判断；（ⅱ）先得到四边形PMQN 面积是PQM ∆面积的2倍，利用弦长公式得到||PQ ，||PM ，从而表示出PQM ∆的面积，再利用基本不等式得到其最大值，从而得到四边形PMQN 面积的最大值. 【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为c .由题意可得⊥OD AB ，D 为AB 的中点， ∴,b c c ==∴222b c ==，∴2224a b c =+=，∴椭圆的方程为22142x y +=.（2）（1）设直线PQ 的方程为(0)y kx k =>，且点P 在第一象限，联立2224,,x y y kx ⎧+=⎨=⎩消去y 得()22214k x +=，显然>0∆，∴P，Q⎛⎝.又∵PE x⊥轴，∴E⎫⎪⎪⎭，∴2EQkk==，∴直线EQ的方程为22k ky x x⎛==⎝，联立22224,ky xx y⎧⎪=⎨⎪+=⎩消去y得222222140221k kx xk⎛⎫++-=⎪+⎝⎭，2222224140221k kk⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯+⨯->⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝，∴()222642112O Mkx xkk--=⎛⎫++⎪⎝⎭.∵Q x=，∴223212Mkxk+=⎫+⎪⎭，2232212Mk kyk+=⋅-⎫+⎪⎭，∴2226162M PPMM Py y k kkx x k k k--===---，∴11PM PQk k kk⎛⎫⋅=⋅-=-⎪⎝⎭，即PQM∆为直角三角形.（ⅱ）根据图形的对称性可知，四边形PMQN面积是PQM∆面积的2倍，∴1||||2PQMS PQ PM∆=.又||P QPQ x=-==|||P MPM x=-22212kk=⎛⎫+⎪⎝⎭，∴()()2222412112POMk kSkk k∆+=⎛⎫++⎪⎝⎭()()()22218212k kk k+=⨯++3428252k kk k+=⨯++218121kkkk+=⨯⎛⎫++⎪⎝⎭.令1k tk+=，∵0k>，∴2t≥，∴1812PQMStt∆=⋅+，而12y tt=+在[)2,+∞上单调递增，所以min9=2y，所以8116992PQMS∆≤⨯=即当2t=时，PQMS∆最大，此时PNQMS四边形的面积也达到最大，由对称性可知PQN PQMS S∆∆=，故当1k=时，PNQMS四边形最大，()max1632299PQN PPN QMQMSS S∆∆=+=⨯=四边形.【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中面积的范围问题，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属于难题.。