圆的一般方程练习题
圆方程测试题及答案
圆方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中 \( g \)、\( f \) 和 \( c \) 是常数。
若圆心坐标为 \( (-g, -f) \)，那么 \( c \) 的值应该是：A. \( g^2 + f^2 \)B. \( -g^2 - f^2 \)C. \( 1 \)D. \( 0 \)答案：A2. 圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \) 的半径是多少？A. 3B. 5C. 10D. 20答案：B二、填空题1. 圆的标准方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( (a,b) \) 是圆心坐标，\( r \) 是半径。
如果圆心坐标为 \( (3, 4) \)，半径为 5，则该圆的方程为________________。
答案：\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)2. 圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 与直线 \( y = x \) 相切，求切点坐标。
答案：切点坐标为 \( (±\sqrt{2}, ±\sqrt{2}) \)。
三、解答题1. 已知圆 \( C \) 的圆心在 \( (1, 1) \)，半径为 2，求圆 \( C \) 的方程。
解答：根据圆的标准方程，圆 \( C \) 的方程为 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 \)。
2. 已知圆 \( x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 \) 与直线 \( 2x + y- 3 = 0 \) 相切，求圆心到直线的距离。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式，得到 \( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \)。
圆心坐标为 \( (-1, 2) \)。
利用点到直线距离公式\( \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，将圆心坐标代入直线方程，得到距离 \( d = \frac{|2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \)。
高二数学圆的一般方程练习题
高二数学圆的一般方程练习题一、填空题1. 圆C的半径为5，圆心坐标为(2, -3)，求圆C的一般方程。
2. 已知圆的一般方程为x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0，求圆的圆心坐标和半径。
3. 圆心在原点O，通过点A(3,4)，则圆的一般方程为________。
4. 圆C的圆心为(-2, 3)，与直线y = 2x + 1相切，求圆C的一般方程。
5. 给定两个圆的一般方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。
二、解答题1. 已知圆C的一般方程为x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0，求圆C的圆心坐标和半径。
解答:将方程转化为标准方程:(x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 = 0(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20圆的圆心坐标为(-4, 2)，半径为√20。
2. 设点A(1, 2)，点B(4, 5)为直径所在直线上的两个点，求过点A且与直线Bx + 4y - 17 = 0相切的圆的一般方程。
解答:由于圆与直线相切，所以圆心到直线距离等于半径。
圆心到直线的距离公式为d = |Ax + By + C|/√(A^2 + B^2)，其中A、B、C为直线的系数。
将直线的方程Bx + 4y - 17 = 0转化为一般方程：4y = -Bx + 174y + Bx - 17 = 0因此，直线的A、B、C分别为0、4、-17。
点A(1, 2)到直线的距离为d1 = |0*1 + 4*2 - 17|/√(0^2 + 4^2) = 13/2过点A的圆的一般方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (13/2)^2。
3. 已知两个圆的方程分别为x^2 + y^2 + 6x - 2y + 10 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 8y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
圆的一般方程练习
圆的一般方程1、若方程224250x y kx y k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是( ) A,14< k <1 B . k <14或k >1 C. k =14或k =1 D. k 任意实数 2、圆的方程是()()(1)2()40x x y y -++-+=2，则圆心的坐标是( )A.(1,－1)B.(12,－1) C.(－1,2) D.(－12,－1). 3、22460x y x y +-+=和2260x y x +-=的连心线方程是（ ）A 、30x y ++=B 、250x y --=C 、390x y --=D 、4370x y -+=4、如果方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有（ ）A 、D E =B 、D F =C 、E F =D 、DEF ==5、方程y =表示的曲线是( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆6、已知圆22220x y kx y k ++++=,当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是（ ）A 、(0,－1)B 、(1,－1)C 、(－1,0)D 、(－1,1)7、圆2224260x y x y k ++++=与某坐标相切，那么k 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和18、已知方程224250x y kx y k ++-+=，当k ∈ 时，它表示圆；当k ∈ 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。
9、若方程220x y Dx Ey F ++++=，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F =_____10、224250x y x y +-+-=，与直线250x y +-=相交于1P ,2P 两点，则12PP=____。
11、三角形ABC 的三个顶点A (1,4)，B (-2，3)，C (4，-5)，则ABC ∆的外接圆方程是 。
圆的一般方程练习题
课时作业23 圆的一般方程(限时：10分钟)1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离|1－2＋a |12＋－12＝22，解得a ＝0或2. 答案：C2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－b a>0，故直线不经过第四象限．答案：D3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．1解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)，∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4.答案：C4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4,1)，k CM＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x ＋y－3＝0.答案：x－y－3＝0 x＋y－3＝05．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D2，－E2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧42＋72＋4D＋7E＋F＝0，－32＋62－3D＋6E＋F＝0，2·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－D2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－E2－5＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧4D＋7E＋F＝－65，3D－6E－F＝45，2D＋E＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝－6，F＝－15.所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0.(限时：30分钟)1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )A．(2，－3)；16 B．(－2,3)；4C．(4，－6)；16 D．(2，－3)；4解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4.答案：B则原点( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即0＋a 2＋0＋12>2a ，所以原点在圆外．答案：B5．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设M (x ，y )，则M 满足x －82＋y 2＝2x －22＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.答案：B6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－27．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是________．解析：关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点，x 2＋y 2＝x －02＋y －02，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．|CO |＝－22＋12＝5，|MO |＝5＋3.答案：5＋38．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中心M 的轨迹方程是________．解析：设M 的坐标为(x ，y )，由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上，故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝09．设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程． 解析：(1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知，CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1.∴k CP ＝1－03－2＝1， ∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.10．已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|PA |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2，整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0. ∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3λ－12＋y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3λλ－12， 即方程表示的曲线是以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3λ－1，0为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．。
圆的一般方程----典型题(好)
1.2. 若直线3x+y+a=0过圆x^2+y^2+2X-4y=0的圆心，则a的值为什么?由圆的方程可知圆心的坐标(-1，2)把(-1，2)代入直线方程，得3x(-1)+2+a=0解得a=13. 若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是x2+y2-4x+2y+5k=0(x-2)2+(y+1)2=-5k+5方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆-5k+5>0k<14. 当点P在x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3,0）的联结线段PQ的中点的轨迹方程是？. 设M坐标为（x，y），则P点坐标为：X=2x-3，Y=2y 点P在圆X*X+Y*Y=1上，故有：（2x-3）^2+(2y)^2=1 即：（x-1.5）^2+(y)^2=0.25 以（1.5，0）为圆心，0.5为半径的圆5. 已知点A（1，2）在圆X^2＋Y^2 ＋2X＋3Y＋m＝0内，则m 的取值范围由公式：圆的一般方程x²+y²+D x+Ey+F=0 转化为圆的标准方程为：(x+D/2)².+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4则，已知圆的标准方程为：(x+2/2)².+(y+3/2)²=(2²+3²-4m)/4整理得：(x+1)².+(y+3/2)²=(13-4m)/4点P（X,Y) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：当(x－a)^2+(y－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
将A（1，2）代入上面的不等式：：(1+1)².+(2+3/2)²<(13-4m)/4解的：m<-136. 由方程Ｘ２+Ｙ２+Ｘ+（M-１）Y+1/2M2=0确定的圆中最大面积是？对x,y进行配方。
(x+1/2)2-[y+(m-1)/2)]2=-(m2-2m-2)/4-(m2-2m-2)/4=-(m-1)2/4+3/4当m=1时，圆取得最大半径根号3/2面积为3π/4先化成圆的标准方程，半径为√（-m的平方-2m+2）/2，半径的最大值为√3/2，最大面积是3/4π7. 若圆X^2+Y^2+DX+EY+F=0过点(0,0),(1-1),且圆心在直线X+Y-3=0上,求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径。
人教A版高一圆的一般方程精选试卷练习(含答案)4
第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页人教A 版高一圆的一般方程精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．圆()2215x y ++=上的点到直线240x y -+=的最大距离为（ ）A ．25B ．52+C ．52-D ．352．已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP 面积的最小值是 A ．112B ．6C ．8D ．2123．点(3,4)M 到圆221x y +=上的点的距离的最小值是（ ） A ．1B ．4C ．5D ．64．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A ．114m <<B ．114mm 或 C ．14m <D ．1m >5．已知点P (2,2)，点M 是圆()2211:14O x y +-=上的动点，点N 是圆()222124O x y -+=：上的动点，则PN PM -的最大值是() A ．51-B ．52-C ．25-D ．35-6．圆22:630C x y x y ++-+=上有两点A ,B 关于直线40kx y -+=对称，则k =( )A ．2B ．32- C ．32±D ．不存在7．圆22(1)(2)1x y ++-=上的动点P 到直线3490x y --=的最短距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22x a y b -+-可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得()22420210f x x x x x =+++++的最小值为( )A ．25B ．52C ．4D ．89．如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点M ，N 在边长为3的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成轨迹的长度为（）A ．82π+B ．8π+C ．122π+D ．12π+10．已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．35B ．65C ．415D ．215 11．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．012．点P 为圆22:9C x y +=上的一个动点，点()1,1M 为线段PQ 的中点，则点Q 的轨迹方程为（ ） A ．221x y +=B ．2225x y +=C ．()()22229x y -+-=D ．()()22221x y -+-=13．已知圆()22:216M x y +-=，过点()2,5P 作圆M 的最长弦AB 和最短弦CD ，则直线AB ，CD 的斜率之和为A ．1-B ．56-C ．1D ．5614．圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ）第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页A ．36B ．18C ．D ．15．圆224210x y x y +--+=的圆心在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．圆222210x y x y +--+=上的点到直线3480x y ++=的最大距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．417．若直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，则a = A ．9B ．-9C ．1D ．-118．圆1C ：22(1)(3)9x y -+-=和2C ：22(2)1x y +-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的点，P 是直线1y =-上的点，则PM PN +的最小值是( ) A ．524?B 171C ．622-D 1719．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q 相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是()A ．22(3)1x y -+=B ．22(23)41x y -+=C ．22(3)4x y ++=D ．22(23)44x y ++=20．一束光线从点()1,1A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路程是 A ．321B ．6C ．4D ．521．圆22:20C x y x +-=的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1,0)，2 B ．(1,0)，1 C ．(1,0)-，2D ．(1,0)-，1评卷人 得分二、填空题22．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.23．当直线():12I y k x =-+被圆()()22:215C x y -+-=截得的弦长最短时，k 的值为 .24．已知圆22:(2)4C x y -+=，点P 在圆C 上运动，则OP 的中点M 的轨迹方程_____．（O 为坐标原点）25．点A B 、分别为圆22:(3)1M x y +-=与圆22:(3)(8)4N x y -+-=上的动点，点C 在直线0x y +=上运动，则AC BC +的最小值为__________．26．已知a R ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．27．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．28．已知圆C 过定点(7,2)，且和圆22:(3)2C x y '+-=相切于点(1,2)，则圆C 的一般方程是_____．29．已知圆C 关于y 轴对称，经过点()1,0A ，且被x 轴分成两段弧,弧长之比为1:2，则圆C 的方程为：____．30．一束光线从点A(-1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上点的最短距离是 .31．已知平面向量a r ，m u r ，n r ，满足4a =r ，且221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与nv 的夹角最大．32．设圆221:(5)(2)4C x y -++=圆222:(7)(1)25C x y -++=.点,A B 分别是圆12,C C 上的动点，P 为直线y x =上的动点，则||||PA PB +的最小值为_________.33．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中(2,0),(2,0)A B -，则满足||2||PA PB =的点P 的轨迹的圆心为____________，面积为____________.34．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值_____．第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页35．圆22:2220C x y x y +++-=，:20l x y -+=，求圆心到直线l 的距离________． 36．方程y =( ) A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆37．圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是______.三、解答题38．求满足下列条件的圆C 的方程：（1）圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6； （2）圆心在直线x －2y －3=0上，且过A (2，－3)，B (－2，－5)两点．39．二次函数2(0)y x bx b =+≠图像与x 轴交于O ，A 两点，交直线:l y x =于O ，B 两点，经过三点O ，A ，B 作圆C ．（1）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； （2）求证：圆C 经过除原点外的一个定点．40．如果实数x ，y 满足()()22336x y -+-=，求：（1）yx的最大值与最小值； （2）x y +的最大值与最小值；（3）22xy +的最大值和最小值．41．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，，求圆的一般方程．42．已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．43．在直角坐标系xOy 中，直线4y x =-与30x y +-=相交于点A ，圆C 的圆心在直线30x y +-=上，且与直线4y x =-相切于点O . （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）求tan OAC ∠，并求点A 到圆C 的距离.（注：点P 到曲线C 的距离即点P 到曲线C 上各点距离的最小值）44．设定点()3,4M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．45．已知圆心为C 的圆过点)，且与直线2y =相切于点()0,2。
基础练习-圆的一般方程
2.3.2 圆的一般方程一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1C ．(－1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <233．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在5．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]6．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．D ＋E ＝0B ．D ＝EC ．D ＝F D ．E ＝F7．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 8．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(－1,1)二、填空题9．点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________10．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.11．若x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，则点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的12．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．三、解答题13．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．14．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．15．求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的标准方程．1. [答案] D[解析] 圆的方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 2. [答案] D[解析] 由题知a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即(3a －2)(a ＋2)<0，因此－2<a <23.3. [答案] C[解析] 圆的方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴圆的半径r ＝2，故周长l ＝2πr ＝22π.4. [答案] A[解析] 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．5. [答案] D[解析] 可知直线mx ＋2ny －4＝0过圆心(2,1)，有2m ＋2n －4＝0，即n ＝2－m ，则mn ＝m ·(2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1.6. [答案] B[解析] 由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D 2，即D ＝E .7. [答案] A[解析] l 过圆心C (1,3)，且不过第四象限．由数形结合法易知：0≤k ≤3.8. [答案] A[解析] 圆的半径r ＝124－3k 2，要使圆的面积最大，即圆的半径r 取最大值，故当k ＝0时，r 取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1)．9. [答案] 在圆C 外部[解析] 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0，∴点P 在圆C 外部．10. [答案] 4[解析] 由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4. 11. [答案] 外部[解析] ∵x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，∴点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的外部．12. [答案] 30－10 5[解析] 原点到圆心的距离为5，半径r ＝5，则a 2＋b 2最小值为(5－5)2＝30－10 5.13. [解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36，③①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝－4F ＝－8， 或⎩⎨⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.14. [解析] 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵点P (k,0)、Q (2,0)在圆上，∴k 、2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．∴k ＋2＝－D,2k ＝F .即⎩⎨⎧ D ＝－(k ＋2)F ＝2k ，又因圆过点P (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－F －1＝－2k －1，故圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0.∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.又∵圆在点P 的切线斜率为1，∴2k ＋12－0k ＋22－k＝－1，即k ＝－3，从而D ＝1，E ＝5，F ＝－6.即圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.15. [解析] 解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2，由k CB ·k l ＝－1，得6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③由①②③联立可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.解法二：设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由于A (－2，－4)、B (8,6)，则AB 的中点坐标为(3,1)，又k AB ＝6＋48＋2＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0②由①②联立后，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝112y ＝－32.即圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32 ∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋322＝1252. ∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252. 16. [解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，∴⎩⎨⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0 ①2D ＋6E －F －40＝0 ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Dy ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③.由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.。
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课时作业23 圆的一般方程
(限时：10分钟)
1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2
2，则a 的值为( )
A ．－2或2 或32
C ．2或0
D ．－2或0
解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到
直线的距离|1－2＋a |12＋－1
2＝22，解得a ＝0或2. 答案：C
2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－b a >0，故直线不经过第四象限．
答案：D
3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为
( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．1
解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)，
∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4.
答案：C
4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．
解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦．易求出圆心为C (4,1)，
k CM ＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分
别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0.
答案：x－y－3＝0x＋y－3＝0
5．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
D
2，－
E
2，
由题意得
⎩⎪
⎨
⎪⎧42＋72＋4D＋7E＋F＝0，
－32＋62－3D＋6E＋F＝0，
2·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
D
2＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
E
2－5＝0.
即
⎩⎪
⎨
⎪⎧4D＋7E＋F＝－65，
3D－6E－F＝45，
2D＋E＝－10，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧D＝－2，
E＝－6，
F＝－15.
所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0.
(限时：30分钟)
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()
A．(2，－3)；16B．(－2,3)；4
C．(4，－6)；16 D．(2，－3)；4
解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4.
答案：B
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是()
<m<1 B．m>1
C．m<
1
4D．m<1
解析：由42＋(－2)2－4×5m>0解得m<1.
答案：D
3．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别是2和3的圆的方程为()
A．x2＋y2－2x－3y＝0
B．x2＋y2＋2x－3y＝0
C．x2＋y2－2x＋3y＝0。