例谈二次函数综合题的解题策略

□ 孙朝仁 朱松林
二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高 ．解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题 ．下面略举几例，谈谈二次函数综合题的常见的解题策略 ．
一、得意知“形”，由“形”想“数”
例1 已知函数y ＝x 2＋bx ＋2的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的关系式；
（2）画出它的图象；
（3）根据图象指出：当x 取何值时，y ≥2？
分析 首先，利用待定系数法，可以求出b 的值，
从而获得函数表达式；其次，根据函数关系式不难知“形”——
用描特殊点法画出函数图象；第三，借助函数图象，由“形”想
“数”，要“确定y ≥2时，x 的取值范围”就是要求位于“直线
y=2上方”图象的自变量取值范围．
解 （1）根据题意，得 2＝9＋3b ＋2，
解得 b ＝－3．
∴函数关系式为y ＝x 2－3x ＋2．
（2）易求该抛物线与x 轴的两个交点坐标为（1，0）、（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，2），对称轴为2
3 x ．函数y ＝x 2－3x ＋2的图象如图1所示． 图1
（3）根据图象可得，当y ＝2时，对应的x 的值为0和3 ．因此，当x ≤0或x ≥3时，y ≥2．
评析 充分利用函数图象的直观性，分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面．本题还可以直接指出“当x 取何值时，y ≤2？”以及根据图象写出“不等式x 2
－3x ＋2≤0的解集”，这两个问题，请同学们自行写出. 二、函数与方程“攀亲”，由方程求函数
例2 如图2，一元二次方程0322
=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标；
(3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．
分析 （1）求出方程的两个根，就相当于知道了B ，C 两
点的坐标，进而由A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法，很
让容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点Q 的坐标，只要
函数与方程“攀亲”，将该抛物线的“对称轴方程”与“直线
AC 的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；（3）要
求“MQ+MA ”的最小值，只需作点A 关于x 轴的对称点即可，用
对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决.
解 (1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1. ∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）.
将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-===.23,1,21c b a
∴抛物线解析式为2
3212-+=x x y . x
） ) 图2
(2)由2)1(2
1232122-+=-+=
x x x y ，得抛物线顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1. 设直线AC 的函数关系式为y=kx+b,将A （3，6），C （-3，0）代入,得
⎩⎨⎧=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ⎩
⎨⎧==.1,3k b ∴直线AC 的函数关系式为y=x+3.
由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，
故解方程组⎩⎨⎧+=-=.3,1x y x 得⎩⎨⎧=-=.
2,1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）.
(3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/-A ，连接Q A /，Q A /
与x 轴交点M 即为所求的点. 设直线Q A /
的函数关系式为y=kx+b. ∴⎩⎨⎧=+--=+.2,63b k b k 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.
2,0k b ∴直线Q A /的函数关系式为y=-2x. 令x=0，则y=0.∴点M 的坐标为（0，0）.
评析 求两个函数图象的交点问题，其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图象的关系是，若点的坐标满足函数关系式,则点在函数图象上,反之也成立.本题中的第（3）问改为“若在y 轴上有一动点N ，当NQ+NA 取得最小值时，求N 点的坐标”，请同学们做做看.
三、函数与几何“联姻”，由图形性质建立函数关系式
例3 如图3，在锐角ABC △中，9BC =，AH BC ⊥于点H ，且6AH =，点D 为AB 边上的任意一点，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设
ADE △的高AF 为(06)x x <<，以DE 为折线将ADE △翻折，
所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y （点A 关于DE 的对称点A '落在AH 所在的直线上）．
（1）分别求出当03x <≤与36x <<时，y 与x 的函数关系
图3
式；
（2）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
分析 本题所求的“y 与x 之间的函数关系式”分两种情况：一是点A 关于DE 的对称点A '在ABC △内，一是点A 关于DE 的对称点A '在ABC △外.对于第一种情况，其重叠部分就是A DE '△的面积（也即ADE △的面积），此时只要依据相似三角形的性质把高AF ，底边DE 用含x 的关系式表示出来即可；而第二种情况，其重叠部分是一个梯形，求梯形EDPQ 的面积即可.最后，要求出重叠部分面积的最大值，同样也需要分两种情况，把每种情况下的最大面积都求出来，然后进行比较.
解 （1）①当03x <≤时，由折叠得到的A ED '△落在ABC △内部，如图4（1），重叠部分为A ED '△.
DE BC Q ∥,
ADE B AED C ∴∠=∠∠=∠，.
ADE ABC ∴△∽△.
DE AF BC AH ∴=.96
DE x ∴=. 即32
DE x =.又FA FA x '==, ∴2/43232121x x x F A DE y =⨯⨯=⨯=. ②当36x <<时，由折叠得到的A ED '△有一部分落在ABC △外部，如图4(2)，重叠部分为梯形EDPQ .
66FH AF x =-=-Q ,
∴(6)26A H A F FH x x x ''=-=--=-.
又DE PQ Q ∥, A PQ A DE ''∴△∽△. PQ A H DE A F '∴='. 263(3)32
PQ x PQ x x x -∴==-，. 1()2y DE PQ FH ∴=+⨯133(3)(6)22x x x ⎡⎤=+-⨯-⎢⎥⎣⎦=2718492-+-x x . 图4
F
（2）当03x <≤时，y 的最大值22133273444
y x =
=⨯=； 当36x <<时，由22991827(4)944y x x x =-+-=--+可知，当4x =时，y 的最大值29y =.
12y y <Q ，∴当4x =时，y 有最大值9y =最大．
评析 二次函数与几何图形相结合的问题，其解题模式是，先根据几何图形本身的性质，表示出线段之间的关系，进而恰当设出变量，得出函数关系式，再根据题目要求得出最终的结论. 同时，在几何图形中求函数关系问题具有一定的实际意义,因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑,一般有约束条件.
综上所述，二次函数综合题，是一类对同学们能力要求高，知识覆盖面广，解题难度大的问题，要求在解题过程中冷静分析，缜密思考，耐心梳理，正确把握解题策略才有可能顺利解决.下面给出两题，请同学们一试身手!
练习：
1．已知：抛物线y=-x 2
+4x-3与x 轴相交于A ，B 两点(A 点在B 点的左侧)，顶点为P ．
(1)求A ，B ，P 三点坐标；
(2) 在直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x 取何值时，函数值y 大于零；
(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.
2．已知：m ，n 是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点A(m ，0)，B(0，n ). (1)求这个抛物线的解析式；
(2) 设（1）中抛物线与轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积；
（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标.
参考答案：
1．(1)A(1，0)，B (3，0)， P (2，1)； (2)画图象略， 当1＜x ＜3时，y>0；（3）抛物线
与直线有唯一的公共点.
2．（1）542+--=x x y ；（2）C 点的坐标为（-5，0），D 点坐标为（-2，9），15=∆BCD S ；
（3）P 点的坐标为)0,23(-或)0,32(-.。