例谈二次函数综合题的解题策略
□ 孙朝仁 朱松林
二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高 ．解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题 ．下面略举几例，谈谈二次函数综合题的常见的解题策略 ．
一、得意知“形”，由“形”想“数”
例1 已知函数y ＝x 2＋bx ＋2的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的关系式；
（2）画出它的图象；
（3）根据图象指出：当x 取何值时，y ≥2？
分析 首先，利用待定系数法，可以求出b 的值，
从而获得函数表达式；其次，根据函数关系式不难知“形”——
用描特殊点法画出函数图象；第三，借助函数图象，由“形”想
“数”，要“确定y ≥2时，x 的取值范围”就是要求位于“直线
y=2上方”图象的自变量取值范围．
解 （1）根据题意，得 2＝9＋3b ＋2，
解得 b ＝－3．
∴函数关系式为y ＝x 2－3x ＋2．
（2）易求该抛物线与x 轴的两个交点坐标为（1，0）、（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，2），对称轴为2
3 x ．函数y ＝x 2－3x ＋2的图象如图1所示． 图1
（3）根据图象可得，当y ＝2时，对应的x 的值为0和3 ．因此，当x ≤0或x ≥3时，y ≥2．
评析 充分利用函数图象的直观性，分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面．本题还可以直接指出“当x 取何值时，y ≤2？”以及根据图象写出“不等式x 2
－3x ＋2≤0的解集”，这两个问题，请同学们自行写出. 二、函数与方程“攀亲”，由方程求函数
例2 如图2，一元二次方程0322
=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标；
(3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．
分析 （1）求出方程的两个根，就相当于知道了B ，C 两
点的坐标，进而由A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法，很
让容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点Q 的坐标，只要
函数与方程“攀亲”，将该抛物线的“对称轴方程”与“直线
AC 的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；（3）要
求“MQ+MA ”的最小值，只需作点A 关于x 轴的对称点即可，用
对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决.
解 (1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1. ∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）.
将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-===.23,1,21c b a
∴抛物线解析式为2
3212-+=x x y . x
） ) 图2
(2)由2)1(2
1232122-+=-+=
x x x y ，得抛物线顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1. 设直线AC 的函数关系式为y=kx+b,将A （3，6），C （-3，0）代入,得
⎩⎨⎧=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ⎩
⎨⎧==.1,3k b ∴直线AC 的函数关系式为y=x+3.
由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，
故解方程组⎩⎨⎧+=-=.3,1x y x 得⎩⎨⎧=-=.
2,1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）.
(3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/-A ，连接Q A /，Q A /
与x 轴交点M 即为所求的点. 设直线Q A /
的函数关系式为y=kx+b. ∴⎩⎨⎧=+--=+.2,63b k b k 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.
2,0k b ∴直线Q A /的函数关系式为y=-2x. 令x=0，则y=0.∴点M 的坐标为（0，0）.
评析 求两个函数图象的交点问题，其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图象的关系是，若点的坐标满足函数关系式,则点在函数图象上,反之也成立.本题中的第（3）问改为“若在y 轴上有一动点N ，当NQ+NA 取得最小值时，求N 点的坐标”，请同学们做做看.
三、函数与几何“联姻”，由图形性质建立函数关系式
例3 如图3，在锐角ABC △中，9BC =，AH BC ⊥于点H ，且6AH =，点D 为AB 边上的任意一点，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设
ADE △的高AF 为(06)x x <<，以DE 为折线将ADE △翻折，
所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y （点A 关于DE 的对称点A '落在AH 所在的直线上）．
（1）分别求出当03x <≤与36x <<时，y 与x 的函数关系
图3
式；
（2）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
分析 本题所求的“y 与x 之间的函数关系式”分两种情况：一是点A 关于DE 的对称点A '在ABC △内，一是点A 关于DE 的对称点A '在ABC △外.对于第一种情况，其重叠部分就是A DE '△的面积（也即ADE △的面积），此时只要依据相似三角形的性质把高AF ，底边DE 用含x 的关系式表示出来即可；而第二种情况，其重叠部分是一个梯形，求梯形EDPQ 的面积即可.最后，要求出重叠部分面积的最大值，同样也需要分两种情况，把每种情况下的最大面积都求出来，然后进行比较.
解 （1）①当03x <≤时，由折叠得到的A ED '△落在ABC △内部，如图4（1），重叠部分为A ED '△.
DE BC Q ∥,
ADE B AED C ∴∠=∠∠=∠，.
ADE ABC ∴△∽△.
DE AF BC AH ∴=.96
DE x ∴=. 即32
DE x =.又FA FA x '==, ∴2/43232121x x x F A DE y =⨯⨯=⨯=. ②当36x <<时，由折叠得到的A ED '△有一部分落在ABC △外部，如图4(2)，重叠部分为梯形EDPQ .
66FH AF x =-=-Q ,
∴(6)26A H A F FH x x x ''=-=--=-.
又DE PQ Q ∥, A PQ A DE ''∴△∽△. PQ A H DE A F '∴='. 263(3)32
PQ x PQ x x x -∴==-，. 1()2y DE PQ FH ∴=+⨯133(3)(6)22x x x ⎡⎤=+-⨯-⎢⎥⎣⎦=2718492-+-x x . 图4
F
（2）当03x <≤时，y 的最大值22133273444
y x =
=⨯=； 当36x <<时，由22991827(4)944y x x x =-+-=--+可知，当4x =时，y 的最大值29y =.
12y y <Q ，∴当4x =时，y 有最大值9y =最大．
评析 二次函数与几何图形相结合的问题，其解题模式是，先根据几何图形本身的性质，表示出线段之间的关系，进而恰当设出变量，得出函数关系式，再根据题目要求得出最终的结论. 同时，在几何图形中求函数关系问题具有一定的实际意义,因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑,一般有约束条件.
综上所述，二次函数综合题，是一类对同学们能力要求高，知识覆盖面广，解题难度大的问题，要求在解题过程中冷静分析，缜密思考，耐心梳理，正确把握解题策略才有可能顺利解决.下面给出两题，请同学们一试身手!
练习：
1．已知：抛物线y=-x 2
+4x-3与x 轴相交于A ，B 两点(A 点在B 点的左侧)，顶点为P ．
(1)求A ，B ，P 三点坐标；
(2) 在直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x 取何值时，函数值y 大于零；
(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.
2．已知：m ，n 是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点A(m ，0)，B(0，n ). (1)求这个抛物线的解析式；
(2) 设（1）中抛物线与轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积；
（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标.
参考答案：
1．(1)A(1，0)，B (3，0)， P (2，1)； (2)画图象略， 当1＜x ＜3时，y>0；（3）抛物线
与直线有唯一的公共点.
2．（1）542+--=x x y ；（2）C 点的坐标为（-5，0），D 点坐标为（-2，9），15=∆BCD S ；
（3）P 点的坐标为)0,23(-或)0,32(-.。
二次函数知识点总结和题型总结(1)
二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函 数,叫做二次函数。
这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题:例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数,求m 的值。
练习、若函数y=（m 2+2m －7）x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 . 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4。
()2y a x h k =-+的性质:(技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k;如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b24a ）1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1,3），则b ＝ ,c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D 。
第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（ ) A5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ） A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴 6．已知二次函数y=mx 2+（m －1）x+m －1有最小值为0,则m ＝ 。
考点08 二次函数实际应用问题的7大类型-原卷版 2023-2024学年九年级数学考点归纳与解题策略
考点08 二次函数实际应用问题的7大类型1 围栏篱笆图形类问题的解决方法几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围.一般涉及到矩形等四边形问题，把图形的面积公式掌握，把需要用到的边和高等用未知数表示，即可表示出面积问题的二次函数的关系式，通过最值问题的解决方法，即可求出最值等问题，注意自变量的取值范围问题。
2 图形运动问题的解决思路此类问题一般具体分析动点所在位置，位置不同，所求的结果也不一样，一般把每一段的解析式求出来，根据解析式判断函数类型，从而判断图像形状。
3 拱桥问题的解决方法◆1、建立二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；（2）把已知条件转化为点的坐标；（3）合理设出函数解析式；（4）利用待定系数法求出函数解析式；（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.4 销售问题◆1、销售问题中的数量关系：销售利润=销售收入﹣成本；销售总利润=销售量×单价利润◆2、求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量”或“总利润 = 总售价 - 总成本”；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.◆3、在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．5 投球问题的解决方法此类问题一般需要建立平面直角坐标系，设定好每个点的坐标，分析好题目中的每句话的含义是解决这类问题的关键，有排球、足球、高尔夫球、篮球等，首先根据已知条件确定设定的解析式形式，求出解析式，再根据题意了解问题所求的实质是什么求出即可。
二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体,因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.一、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y ＝ａｘ2+b ｘ＋c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a >0向上，a ＜0向下；常数项ｃ描述抛物线与y 轴的交点（0，ｃ)，c >0时交点处x 轴上方，c <0时交点处x 轴的下方,c =0时时处原点;由对称轴公式x =－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b ２-4a ｃ大于0,等于0或小于0，决定抛物线和ｘ轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x =±１时ｙ的值的情况,来确定a ±b +c 等的符号问题．例１ 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(４,－11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的( )A 、只有a ﻩﻩB 、只有bC 、只有c ﻩＤ、有ａ和ｂ解：由顶点为（４,-11），抛物线交ｘ轴于两点,知ａ>0.设抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｘ1,x 2，即x １、x 2为方程ax 2+b ｘ＋c =0的两个根，由题设ｘ1x ２＜0知a c <0,所以c <0，又对称轴为ｘ=4知－ab2>０，故ｂ＜0.故选（A)． 二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数ａ、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2 已知二次函数f (x )=a ｘ2+b ｘ+ｃ的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=ｆ（99)=1999,|c |<1000，则c = .解：由已知f (ｘ)＝ax ２+bx+c ，且ｆ(19)=f (９9)=１99９，因此可设ｆ(ｘ)=a (x －１9)（ｘ－9９）+19９９,所以a ｘ2+bx+c =a （x -19)(x -99)+1999=ａx 2－(19+99)x +1９×99a ＋1999,故c ＝1999+1881ａ.因为｜ｃ|<1000,a 是整数，a ≠０,经检验,只有a =-1满足，此时c =１999-18８1=1１8．例３ 已知a,ｂ，c 是正整数,且抛物线y ＝ａx ２+bx+c 与x 轴有两个不同的交点Ａ，B,若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值.解:设A 、B 的坐标分别为A(x １，0),Ｂ(x ２，０)，且ｘ1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx+ｃ＝0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x ２<０ 又由题设可知△=b 2-4ac >０，∴b >2ac ① ∵|OA|=|x 1|＜1,|OB|=｜x ２|<1,即－1<x 1,x 2<0, ∴ac=x １x 2<1,∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当ｘ=－１时y >0， ∴a （－１)2+b (-1）＋c >０,即a ＋ｃ>ｂ． ∵b ,a +ｃ都是整数,∴a+c ≥b +1 ③ 由①,③得a+ｃ>2ac +1,∴(c a -)2>1，又由②知,c a -＞1,c a >＋1，即ａ＞(c +１)2≥（1+1)2＝4∴ａ≥５，又b ＞２ac ≥215⨯＞4,∴ｂ≥5 取a =5，b =5,c =1时，抛物线y ＝5x 2+5x ＋1满足题意. 故a+b ＋c 的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a 、b 、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a 、b 、c 建立联系．例4 如果y =ｘ2-(ｋ－1)x -k －1与ｘ轴的交点为A,Ｂ,顶点为C ，那么△ＡB Ｃ的面积的最小值是( )Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４解：由于△=(k －1)2＋４(k ＋1）=（k +1）2+4＞０,所以对于任意实数k ,抛物线与x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x 1,x 2，则：｜AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k ）, 因此Ｓ△ＡB Ｃ=52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k 因为k ２＋2ｋ+5＝（k +1)2＋4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △AＢC ≥14813=,故选A. 四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例5 已知二次函数y=x ２-x -2及实数ａ>－２.（1)函数在－２<x ≤a 的最小值; (2)函数在a ≤x ≤a ＋2的最小值. 解：函数y ＝x ２-x -2的图象如图1所示.(1）若－2＜a <21,当x ＝a 时,ｙ最小值=a 2-a －2若a ≥21，当x ＝21时,y 最小值=－49.(2)若－2<ａ且ａ+2<21，即-2<a <－23,当x ＝a +２时，ｙ最小值=（a +２）2-(a +2)－2=a ２+3a ，若a <21≤a +２,即-23≤ａ＜21，当ｘ=21时,y 最小值=-49．若a ≥21，当x =a 时,ｙ最小值=a 2－a -2．例6 当|ｘ+１｜≤６时,函数y ＝x |x |-2x +１的最大值是 . 解：由|x +1|≤６,得－７≤x ≤５,当0≤x ≤5时，y ＝x 2－2x ＋１=(x －1)2，此时y 最大值=（5－1）２=1６．当－7≤x <0，y =－x ２－2x ＋1=2-(x +1)2,此时y 最大值=2. 因此,当－7≤ｘ≤５时，y 的最大值是-1６．说明：对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程.例7 当a 取遍０到5的所有实数时，满足3ｂ=a (3ａ－8)的整数b 有几个？解：由３b =a （3ａ-８）有b ＝a 2-38a ,即b =(a －916)342-,因为,当ａ=0时，b =0时;当ａ=5时,b =1132利用二次函数图象可知－916≤b ≤1132所以ｂ可取到的整数值为－1,0,1,…,１１,共有1３个． 例8 已知a <0,b ≤0,c >0,且ac b 42-=b -2a ｃ,求b 2-4a ｃ的最小值. 解:令y ＝ax ２+bx+ｃ，由于ａ<0，b≤0，c >0，则△=b 2-4ａc >0,所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，Ｂ（x 2,0)．因为ｘ1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2,则ｘ１<0＜x 2,对称轴x ＝-ab 2≤0，于是｜x １|=c a acb b a ac b b =--=-+-242422, 故ab ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2-4ａc ≥4，当a =-1，b =0，c =1时，等号成立． 因此,b ２-4ａｃ的最小值为4． 练习题:１、已知二次函数y=a ｘ２＋bx+c 图像如图３所示,并设Ｍ=｜a+b+c |－｜a －b +ｃ|+|２ａ+b |-|２a -b ｜，则( ） Ａ、M >0 B 、M ＝０C 、M <0D 、不能确定M 为正、为负或为0 (答案:C)2、已知二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c （其中ａ是正整数)的图象经过点A(-1，４）与点B(2,１），且与x 轴有两个不同的示点,则b+c 的最大值为 ．(答案:-４)3、如图4,已知直线y =－2ｘ+3与抛物线y=x ２相交于Ａ、Ｂ两点,O 为坐标原点,那么△OＡＢ的面积等于 .(答案:6)4、设ｍ为整数,且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于-59而小于73,则ｍ＝ ．图3 图4(提示：设y =３ｘ2+m ｘ-2，由题设可知x =－59时ｙ>0，且x ＝73时y >0．答案：４)5、已知函数y =(a +2）ｘ2-2(a 2－1)ｘ＋1，其中自变量x 为正整数,a 也是正整数，求x 为何值时,函数值最小．(答案：x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<-=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当a a a a a a (其中a 为正整数),函数值最小.６、已知关于x 的方程x 2-（２m -3)x ＋m －４=０的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-２，α2>0，求m 的取值范围．(答案:5674<<m ) ７、已知关于正整数ｎ的二次式y ＝n 2+an （ａ为实数),若当且仅当n =5时,y 有最小值，则实数a 的取值范围是 .(答案:－11＜ａ<-9)。
二次函数中“含参恒成立”问题求解策略
二次函数中“含参恒成立”问题求解策略二次函数是一个具有形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a\neq 0$。
在解题过程中，当给定一定的条件，要求找到使得二次函数“含参恒成立”的参数值，需要采取以下步骤。
第一步：理解含参恒成立的概念含参恒成立是指对于二次函数中的参数值，存在一个或一组满足特定条件的解使得方程恒成立。
通常来说，这些参数值可以是实数、整数或者满足特定要求的整数。
第二步：分析题目条件仔细阅读题目，分析所给条件以及问题的要求。
通常来说，问题中会涉及到函数图像的性质、方程的解的个数、方程的根的取值范围等。
第三步：确定参数的取值范围根据题目中给出的条件，确定参数的取值范围。
这方面通常包括参数的正负性质以及其他限制条件。
第四步：构建二次方程根据题目要求以及参数的取值范围，构建二次方程。
一般来说，可以通过给定条件构建出包含参数的二次方程。
第五步：解二次方程解二次方程的方法有多种，可以通过求根公式或者配方法解方程。
第六步：验证解的合法性将求得的解代入构建的二次方程中，验证是否满足题目给定的条件。
如果满足条件，则该参数取值使得二次函数“含参恒成立”。
第七步：总结答案将满足条件的参数值以及求得的二次方程的解进行总结，得出最终答案。
如果存在多个满足条件的参数值，需要将所有解都列出。
在实际解题过程中，每一步都要仔细思考、分析，并得出合理的解答。
需要注意的是，由于题目条件的不同，求解的策略也会有所差异。
因此，根据具体情况灵活运用解题策略是非常重要的。
二次函数背景下存在性问题题型分析与解题策略(专题研究)
二次函数背景下存在性问题题型分析与解题策略初2019级数学组 苏 琴一．背景分析二次函数是初中阶段学习的重要函数模型，同时也是高中阶段学习的基础。
2015-2018年重庆中考试题中存在性问题均作为压轴题的第（3）问出现，突出考察了二次函数的综合应用，对学生的数学素养要求很高。
二．题型结构重庆中考试题在2015-2018的解答题中，均考察二次函数的综合应用，在26题第（3）问中，常常以平移、旋转、翻折等全等变换为背景，探究由动点与某些定点构成特殊三角形或特殊四边形的存在性问题。
三. 基本模型及解题策略1. 三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，分类讨论、画分类简图及建等式计算． 重点研究动点构成特殊（等腰、直角）三角形：（1）代数解法：找出动点所在函数表达式；设出动点坐标，用一个未知数表示；用所设参数表示出相关线段（利用两点间的距离公式）；分3种情况得出方程求解；（等腰：线段相等；直角：勾股定理或两直线垂直121k k =- ）。
注意检验所求结果是否符合题意！！附：两点间的距离公式：AB 2121y y k x x -=-直线斜率公式：（2）几何解法：直角三角形：构造相似三角形得出等式； 等腰三角形：画圆的方法找出所有点；难点拆解：①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k 值乘积为-1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．2.动点构成特殊四边形：一般情况下是三个定点与另一个在函数图像上或者坐标平面内的动点；复杂一些的是两定点两动点，然后求动点坐标。
一般解决方法：数形结合！将对应的集合图形的性质，转化成数量（点或线段）上的关系根据题目写出定点坐标；找到动点所在直线或者曲线；用一个参数表示动点坐标；结合特殊四边形的性质，得出四点坐标的等量关系并求出参数；检验。
浅谈二次函数的教学中如何突破重难点
浅谈二次函数的教学二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后,学生要学习的最后一类重要的代数函数,它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质,用二次函数的观点审视一元二次方程,用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。
二次函数和一次函数、反比例函数一样,都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。
二次函数的图像因为是曲线,关系式变化形式多,应用比较复杂。
我在二次函数的教学中,整体把握,重点突破,收到了较好的教学效果。
一、抓住重点组织教学(一) 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式,并体会二次函数的意义这里体现了数学与生活的关系。
教学中,应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手,引导学生列出函数关系式。
然后,让学生观察、思考:所列的函数关系式有什么共同点?它们与一次函数、反比例函数有什么不同?从而引导出二次函数的概念,让学生认识二次函数的各部分名称。
如此,学生能够体会到二次函数来自生活,感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型,激发学习的积极性。
(二) 采用“描点法”画出二次函数的图像,从图像上认识二次函数的性质这是二次函数的教学重点。
一方面,学生要学会画出二次函数的图像;另一方面,要能从图像上认识二次函数的性质。
教学中,教师要扎实地让学生画出二次函数的图像(不能一带而过,就让学生去解决与图像有关的复杂题),即运用探索函数图像的方法——“描点法”,一步一步地列表、描点、连线,加深对二次函数图像形状的认识。
然后,引导学生从二次函数图像的形状、开口方向、对称性、顶点坐标、增减性等方面去理解二次函数的性质(学生一边看图像,一边说性质,很直观)。
要提醒的是,不仅要让学生画出二次函数的准确图像,还要会画二次函数的示意图像。
(三) 利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴,解决简单的实际问题这里包括两点:一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质,这是学生对二次函数性质的进一步认识;二是列二次函数的关系式解决问题,这是学生学习二次函数的落脚点所在。
二次函数综合题之解题策略
二次函数综合题之解题策略摘要：二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识，较强的分析、演算、理解能力，因此是近年来各地中考命题的重点和热点，引起人们的广泛关注.它主要以压轴题的形式出现，本文列举几例，探究二次函数综合题的解题策略.关键词：二次函数综合题解题策略二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识，较强的分析、演算、理解能力，因此是近年来各地中考命题的重点和热点，引起人们的关注.它主要以压轴题的形式出现.那么如何正确求解呢？下面从三个方面阐述其解题策略.一、利用数形结合思想求解策略利用二次函数图像求极值问题，是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型，此类题综合性比较强，涉及的知识较广，可以结合几何图形来解题，实际上二次函数图像本身就是一个图形即抛物线，图像上点的坐标就表示相关线段的长度，点点相连成了几何图形，实现从“数或式”到“形”的转化，这一转化为解题创造了有利条件，而能否熟练地解答，则取决于是否把二者有机结合起来，在解题中充分运用函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.教师要适当引导学生，使他们消除学习定势对解题思路的阻碍，培养他们利用数形结合解题的技巧和能力.例1：已知函数y=x+bx+2的图像经过点（3，2）.（l）求这个函数的关系式；（2）画出它的图像；（3）根据图像指出：当x取何值时，y≥2？分析：（1）利用待定系数法，可以求出b的值，从而获得函数表达式；（2）根据函数关系式画出函数图像；（3）借助函数图像，由“形”想“数”，要“确定y=2时，x的取值范围“就是要求位于“直线y=2上方”图像的自变量取值范围.解：（1）根据题意，得2=9+3b+2，解得b=-3.所以函数关系式为y=x-3x+2.（2）易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），与y轴的交点坐标为（0，2），对称轴为x=.函数y=x-3x+2的图像如图1所示.图1（3）根据图像可得，当y=2时，对应的x值为0和3.因此，当x≤0或x≥3时，y≥2.二、利用方程思想求解策略二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是：△>0，△=0和△例3：某商店经销甲、乙两种商品.甲、乙两种商品的进货单价之和是5元，甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元.按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元.问：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件.为了每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：（l）据题意设出未知数，列方程组求解；（2）根据利润=甲、乙两种商品每件的利润×销售数量，转化为二次函数并配方，根据图像性质求得最大利润.解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y 元.根据题意知x+y=5和3（x+1）+2（2y-1）=19x，两方程组成方程组求得x=2，y=3.答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元.（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w元，则w=（1-m）（500+100×）+（5-3-m）（300+100×），即w=-2000m +2200m+1100=-2000（m-0.55）+1705.当m=0.55时，w有最大值，最大值为1705.答：当m值为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.综上所述，解答二次函数综合题，总的来讲要冷静分析，缜密思考，耐心梳理，吃透题意，运用二次函数有关性质，同时要善于据题意采取有关数学思想：如方程的思想、数形结合思想、建模思想等，确定解题策略，并正确求解.参考文献：[1]王赛英.新课程理念下中考“压轴题”的解题思路「j].数学通报，2005（02）.[2]董玉成.我国当代中学函数教育特征研究[d].华东师范大学，2007.[3]李如锦.中考数学压轴题解法指导（一）[j].中学生理科月刊，2000（z1）.。
策略与技巧初中数学解题技巧解析二次函数与一次函数题
策略与技巧初中数学解题技巧解析二次函数与一次函数题策略与技巧：初中数学解题技巧解析解析二次函数与一次函数题初中数学对于很多学生来说是一个具有挑战性的科目。
尤其是在解决涉及二次函数和一次函数的问题时，很多学生常常感到困惑。
然而，只要我们掌握了一些解题的策略与技巧，就能更加轻松地应对这些题目。
在本文中，我们将探讨解析二次函数和一次函数题的一些实用技巧，帮助我们更好地理解和解决这类数学问题。
一、二次函数问题解析1. 确定函数的类型：先观察题目中给出的函数形式，判断是否为二次函数。
例如，当函数形式为y=ax^2+bx+c时，就可以判断为二次函数。
2. 求函数的导数：为了研究二次函数的凹凸性和最值等性质，我们需要求出函数的导数。
由于二次函数的导数仍然是一个一次函数，因此其求导的过程相对简单。
3. 找到顶点和对称轴：一般情况下，二次函数的顶点坐标对应着函数的最值。
通过求导可得到二次函数的对称轴，从而快速找到顶点的横坐标。
4. 求解方程：当涉及到求二次函数的零点时，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方式。
这些方法皆可根据具体情况选择使用，以达到最简解。
二、一次函数问题解析1. 确定函数的类型：先观察题目中给出的函数形式，判断是否为一次函数。
例如，当函数形式为y=kx+b时，就可以判断为一次函数。
2. 画出函数图像：通过给定的斜率k和截距b，我们可以确定一次函数的直线方向和位置。
将该直线绘制在坐标系上可以帮助我们更好地理解问题并得出解答。
3. 运用函数性质：一次函数在凸性、最值等方面没有二次函数那么复杂，因此可以直接考虑函数性质。
例如，当x的系数为正数时，函数图像将上升；当x的系数为负数时，函数图像将下降。
4. 运用直线性质：根据直线性质，我们可以利用两点的坐标或一点的坐标与直线的斜率来解题。
通过求解方程组或利用一元一次方程可以计算出未知数的值。
综上所述，解析二次函数和一次函数题需要掌握一些基本的策略与技巧。
二次函数新定义型综合问题 中考数学
抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 新定义型二次函数之共生或伴随抛物线【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西九江·一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线20.5y x =与22y x =-是共生抛物线，已知抛物线()212:213C y x =-++的顶点是点P ，它的共生抛物线2C 的顶点是Q ；(1)点P 的坐标是 ，点Q 的坐标是_________，抛物线2C 的函数关系式是 ．(2)直线y m =与抛物线1C 、2C 均有两个交点，这些交点从左到右分别是A 、B 、C 、D ．①求m 的取值范围 ；②若AB CD =，求m 的值；【例2】（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，对于函数21y ax bx c =++，其中a 、b 、c 为常数，a c ≠，定义：函数22y cx bx a =++是21y ax bx c =++的衍生函数，点(),M a c 是函数21y ax bx c =++的衍生点，设函数21y ax bx c =++与其衍生函数的图象交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)若函数21y ax bx c =++的图象过点()13C -，、 ()15D -，，其衍生点()1M c ，，求函数21y ax bx c =++的解析式；(2)①若函数21y ax bx c =++的衍生函数为221y x =-，求A 、B 两点的坐标；②函数21y ax bx c =++的图象如图所示，请在图中标出点A 、B 两点的位置；(3)是否存在常数b ，使得无论a 为何值，函数21y ax bx c =++的衍生点M 始终在直线AB 上，若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．1．新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++（其中0ab ≠与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”，例如，抛物线2231y x x =++的“关联抛物线”为2321y x x =++已知抛物线1C ：2443(0)y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，1C 与y 轴交于点E．本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键．(1)若点E 的坐标为()0,1-，求1C 的解析式；(2)设2C 的顶点为F ，若△OEF 是以OF 为底的等腰三角形，求点E 的坐标；(3)过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C ，于点M ，N ．①当MN =6时，求点P 的坐标；②当42a x a -≤≤-时，2C 的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．2．（2023·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线()y a x h k =-+称为抛物线()2y a x h k =-+的伴随直线，如直线()12y x =-+-为抛物线()212y x =-+-的伴随直线．(1)求抛物线2245y x x =-+的伴随直线；(2)无论a 取何值，抛物线1G ：()2212y ax a x a =--+-总会经过某定点，抛物线2G ：()()13y m x x m =---的伴随直线经过该定点，求m 的值；(3)顶点在第一象限的抛物线()214y a x a =--+与它的伴随直线交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ，当90BAC ∠=︒时，y 轴上存在点P ，使得APB ∠取得最大值，求此时点P 的坐标．题型二 新定义型二次函数之特殊形状问题【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．【概念理解】（1）抛物线()()1212y x x =--与抛物线2232y x x =-+是否围成“月牙线”？说明理由．【尝试应用】（2）抛物线211(1)22y x =--与抛物线2212y ax bx c a ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭组成一个如图所示的“月牙线”，与x 轴有相同的交点M ，N （点M 在点N 的左侧），与y 轴的交点分别为,A B ．①求::a b c 的值．②已知点()0,P x m 和点()0,Q x n 在“月牙线”上，m n >，且m n -的值始终不大于2，求线段AB 长的取值范围．【例2】二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D ¢，如下表：…()1,3B -()0,0O ()1,1C -A （___，___）()3,3D ……()5,3B '-()4,0O '()3,1C '()2,0A '()1,3D '-…①补全表格；本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0abc ≠）；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．1．（2023·江西赣州·一模）定义：若直线1y =-与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”1L ：2y x =-与直线1y =-相交于P ，Q ．(1)抛物线1L 的“反碟长”PQ =________．(2)抛物线随其顶点沿直线12y x =向上平移，得到抛物线2L ．①当抛物线1L 的顶点平移到点()6,3，抛物线2L 的解析式是________．抛物线2L 的“反碟长”是________．②若抛物线2L 的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）A ．15B ．16C ．24D ．25③当抛物线2L 的顶点A 和抛物线2L 与直线1y =-的两个交点B ，C 构成一个等边三角形时（点B 在点C 左右），求点A 的坐标．题型三 新定义型二次函数与其他函数的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x 与函数值y 满足：当()()0x m x n --≤时，()()0y m y n --≤（,m n 为实数，且)m n <，我们称这个函数在m n →上是“民主函数”．比如：函数1y x =-+在12-→上是“民主函数”．理由： 由[(1)](2)0x x ---≤，得12x -≤≤． 1x y =-，112y ∴-≤-≤，解得12y -≤≤，[(1)](2)0y y ∴---≤，∴是“民主函数”．(1)反比例函数6y x=是23→上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：(2)若一次函数y kx b =+在m n →上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含,m n 的代数式表示）；(3)若抛物线2(0,0)y ax bx c a a b =++>+>在13→上是“民主函数”，且在13x ≤≤上的最小值为4a ，设抛物线与直线3y =交于,A B 点，与y 轴相交于C 点．若ABC 的内心为G ，外心为M ，试求MG 的长．【例2】（2023·江苏南通·一模）定义：若函数图象上存在点()1M m n ，，()21M m n '＋，，且满足21n n t -=，则称t 为该函数的“域差值”．例如：函数23y x =+，当x m =时，123n m =+；当1x m =+时，221252n m n n =+-=，则函数23y x =+的“域差值”为2(1)点12'1M m n M m n +（，），（，）在4y x =的图象上，“域差值”4t =-，求m的值；本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．ABC(2)已知函数220y x x =-（＞），求证该函数的“域差值”2t <-；(3)点A a b （，）为函数22y x =-图象上的一点，将函数22y x x a =-≥（）的图象记为W 1，将函数22y x x a =-≤（）的图象沿直线y b =翻折后的图象记为2W 当12W W ，两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”1t ≤时，求a 的取值范围．1．（2023·江苏南通·一模）定义：若函数1G 的图象上至少存在一个点，该点关于x 轴的对称点落在函数2G 的图象上，则称函数1G ，2G 为关联函数，这两个点称为函数1G ，2G 的一对关联点．例如，函数2y x =与函数3y x =-为关联函数，点()1,2和点()1,2-是这两个函数的一对关联点．(1)判断函数2y x =+与函数y =-3x是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；(2)若对于任意实数k ，函数2y x b =+与5y kx k =++始终为关联函数，求b 的值；(3)若函数21y x mx =-+与函数224n y x =-(m ，n 为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求2226m n m -+的取值范围．2．（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y 关于x 的函数，函数在 ()1212x x x x x ≤≤<范围内的最大值，记作 []12,M x x 如函数2y x =，在13x -≤≤范围内，该函数的最大值是6， 即，[]1,36M -=．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数 ()22141y a x x a =--+-（a 为常数）(1)若2a =．①直接写出该函数的表达式，并求 []1,4M 的值；②已知 5,32M p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求p 的值．(2)若该函数的图象经过点()0,0， 且[]3,M k k -=， 求k 的值．题型四 新定义型二次函数与几何图形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江苏南通·二模）定义：在平面直角坐标系中，点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线:(0)l y kx b k =+≠满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+（或满足11y kx b ≥+且22y kx b ≤+），则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“界线”．例如：直线4y x =-+是函数4(0)y x x=>的图象与抛物线2y x =-的一条“界线”．已知点(,2),(,2),(4,2),(4,2)A m B m C m D m -+-+．(1)若2m =-，在直线①3y x =+，②4y x =-+，③27y x =-+中，是函数6(0)y x x=>的图象与正方形ABCD 的“界线”的有______（填序号）；(2)若点E 的坐标是(0,4),E的半径为E 与正方形ABCD 的“界线”有且只有一条，求“界线”l 的函数关系式；(3)若存在直线2y x b =+是函数223(22)y x x x =++-≤≤的图象与正方形ABCD 的“界线”，求m 的取值范围．【例2】（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q为平面内不重合的两个点，其本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“界线”的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键．中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．1．（2023·江苏扬州·一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠的图象顶点为P （不与坐标原点重合），以OP 为边构造正方形OPMN ，则称正方形OPMN 为二次函数2y ax bx c =++的关联正方形，称二次函数2y ax bx c =++为正方形OPMN 的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．(1)如图，直接写出二次函数2(1)2y x =+-的关联正方形OPMN 顶点N 的坐标___,并验证点N 是否为伴随点___（填“是”或“否”）：(2)当二次函数24y x x c =-++的关联正方形OPMN 的顶点P 与N 位于x 轴的两侧时，请解答下列问题：①若关联正方形OPMN 的顶点M 、N 在x 轴的异侧时，求c 的取值范围：②当关联正方形OPMN 的顶点M 是伴随点时，求关联函数24y x x c =-++的解析式；③关联正方形OPMN 被二次函数24y x x c =-++图象的对称轴分成的两部分的面积分别为1S 与2S ，若1213S S ≤，请直接写出c 的取值范围．2．（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2y ax bx c =++的“衍生直线”．如图1，抛物线2y x bx c =-++与其“衍生直线”交于A ，B 两点（点B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点()3,0C -．(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标；(2)如图2，抛物线2y x bx c =-++的“衍生直线”与y 轴交于点1D ，依次作正方形111DEFO ，正方形2221D E F F ，…，正方形1n n n n D E F F -（为正整数），使得点1D ，2D ，3D ，…，n D 在“衍生直线”上，点1F ，2F ，3F ，…，n F 在x 轴负半轴上．①直接写出下列点的坐标：1E ______，2E ______，3E ______，n E ______；②试判断点1E ，2E ，…，n E 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．3．（2023·江西新余·一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点坐标为()0,c ，那么我们把经过点()0,c 且平行于x 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线221y x x =++的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．【深入探究】(2)经过点()2,0A -和(),0(2)B x x >-的抛物线21142y x mx n =-++与y 轴交于点C ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D ，请用含m 的代数式表示点D 的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当45CDF ∠=︒时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
刍议二次函数存在性问题解题策略
刍议二次函数存在性问题解题策略【摘 要】二次函数一直是中考的热点问题，2013年以二次函数为背景而编拟的存在性中考题，大量地出现在各地的压轴题中．此类题目与动点问题相结合，技巧性和综合性较强，涉及的知识面广，有较强的区分度．解答此类题目对学生综合分析问题和解决问题的能力要求比较高，有利于对优秀人才的选拔，因此受到中考命题者的青睐．【关键词】二次函数、存在性问题、中考、解题策略【正 文】解答二次函数存在性问题的基本思路是先假设结论存在,然后由假设出发,结合已知条件,利用方程、转化、数形结合、分类讨论等思想进行正确的计算、推理,再对得出的结果综合分析、验证,判断是否与题设、公理、定理等有矛盾,若无矛盾,说明结论正确,由此得出符合条件的对象存在;否则,说明不存在。
纵观2013年各地中考题,主要有以下几种形式：是否存在等腰三角形、是否存在直角三角形、是否存在三角形相似，是否存在平行四边形等。
有些题在分类讨论列方程求解后，还要检验，排除干扰。
笔者对我省数学中考试卷二次函数存在性题型的解题策略进行了一些分类探索，谈得不当之处希望各位专家批评指正。
一、存在距离之和最小此类问题主要考查考生通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
【案例】2013年遵义市中考题第27题如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,4，且与y 轴交于点)2,0(C ，于x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）.（1）求抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使CP AP +的值最小？若存在，求CP AP +的最小值；若不存在，请说明理由；【解析】（1）234612+-=x x y ，)0,2(A ,)0,6(B （2）(2)存在，由（1）知，抛物线的对称轴l 为4=x ，因为A 、B 两点关于l 对称，连接CB 交l 于点P ,则BP AP =,所以，BC CP AP =+的值最小.∵)0,6(B ，)2,0(C ，∴6=OB ,2=OC ∴1022622=+=OB ，∴102==+BC CP AP ，∴CP AP +的最小值为102.二、存在三角形（直角三角形、等腰三角形或相似三角形）1、存在直角三角形此类问题往往涉及到需要将三点（一动点）所连线段的长表示出来，假设存在，运用勾股定理建立方程求出满足条件的动点坐标。