空间几何体的表面积和体积练习题
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】C.【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此.【考点】球的表面积公式.2. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．【答案】S 表面＝(60＋4)π．V ＝π．【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥， 则S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 ， 设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,则 S 表面=π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CDV ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πr 2DE ，将数据代入计算即可。
试题解析：如图，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD, CD=2得∠EDC ＝45°，r 1=" CE=" 2,则CF=4，BF=3，CF ⊥AB ，得BC=5，r 2=" AB=" 5, ∴S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 =π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝(60＋4)π． V ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πDE =π(＋2×5＋)4－π×2＝π．【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：ED⊥平面EBC；(2)求三棱锥E－DBC的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB（这个证明很关键），然后根据公式.试题解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．又∴平面DEB⊥平面EBC．（2）取CD中点M，连接EM，E为D1C1的中点，∥，且,又DCB.【考点】线面垂直，三棱锥的体积.4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积6.棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为_____________.【答案】48【解析】正方体的外接球的球心为正方体的中心，球的直径为正方体的对角线，所以球的表面积为【考点】正方体的外接球7.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；②；③与所成的角是；④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）.【答案】①④【解析】①∵在正视图的等腰直角中，在图中的度数和它表示的角的真实度数都是，故①正确；②补全正方体如图所示：连接．∵，∴是正三角形，故．而＝＝，故②错；③连接、，∵，∴是正三角形，所以与所成的角是，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥的体积．又＝＝＝，故④正确，故填①④．【考点】1、正方体的性质；2、异面直线所成角；3、三棱锥的体积．8.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算4.已知球的直径SC=4，A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为_________【答案】【解析】设ＡB的中点为D，球心为O，连结SD，CD，OD，由SC=4为球的直径知，∠SBC=∠SAC=90o,因为∠ASC=∠BSC=45°，所以SA=BC=SB=AC=，所以SD⊥AB，DC⊥AB，所以AB⊥面SDC，因为AB=2，所以SD=DC==，所以DO= =，所以= ===.考点:球的性质，线面垂直判定，三棱锥的体积公式，转化思想5.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.6.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
空间几何体的综合计算测试题
空间几何体的综合计算测试题1. 综合计算题求以下空间几何体的表面积和体积：1.1 直方体已知直方体的长、宽、高分别为10 cm、6 cm、8 cm，求其表面积和体积。
解答：该直方体的表面积可通过公式2*(长×宽 + 长×高 + 宽×高)计算，代入数值计算得：表面积 = 2*(10 × 6 + 10 × 8 + 6 × 8) = 2*(60 + 80 + 48) = 376 cm²。
该直方体的体积可通过公式长×宽×高计算，代入数值计算得：体积 = 10 × 6 × 8 = 480 cm³。
1.2 正方体已知正方体的边长为5 cm，求其表面积和体积。
解答：该正方体的表面积可通过公式6×边长²计算，代入数值计算得：表面积 = 6×5² = 6×25 = 150 cm²。
该正方体的体积可通过公式边长³计算，代入数值计算得：体积 = 5³ = 125 cm³。
1.3 圆柱体已知圆柱体的底面半径为4 cm，高为10 cm，求其表面积和体积（π取3.14）。
解答：该圆柱体的表面积可分为两部分计算：侧面积和底面积。
侧面积可通过公式2×π×半径×高计算，代入数值计算得：侧面积 = 2×3.14×4×10 = 251.2 cm²。
底面积为圆的面积，可通过公式π×半径²计算，代入数值计算得：底面积 = 3.14×4² = 50.24 cm²。
因此，该圆柱体的表面积为251.2 + 50.24 = 301.44 cm²。
该圆柱体的体积可通过公式π×半径²×高计算，代入数值计算得：体积 = 3.14×4²×10 = 502.4 cm³。
必修二_1.3_空间几何体的表面积和体积同步练习和详细答案
1.3空间几何体的表面积和体积【知识总结】1. 多面体的面积和体积公式名称 侧面积（S 侧） 全面积（S 全）体积（V ）棱 棱柱 直截面周长x IS 侧+2S 底S底• h=S 直截面• h柱直棱柱 chS 底• h「棱锥棱锥 各侧面积之和1S 底• h3 正棱锥 1『 —ch 2S 侧+S 底棱台各侧面面积之和1—h(S 上底+S 下底+3棱 台正棱台1一 (c+c ' )h '2S 侧+S 上底+S 下底S 下底’S 下底）表中表示面积，'、分别表示上、下底面周长，表斜咼，'表示斜咼，表示侧棱长。
2 .旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S 侧 2 n rl n rl n (r 1+「2)lS 全 2 n r(l+r) n r(l+r) 2 2n (r 1+r 2)l+ n (r 1+r24 n RVn r 2h(即 n r 2l)1r 2h —n r h312 2—n h(r 1+r 1「2+r 2)3 43—n R3 表中I 、h 分别表示母线、咼，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r i 、「2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。
【知能训练】A:多面体的表面积和体积 一•选择题1.如图，在直三棱柱 ABC-ABC i 中，AA=AB=2 BC=1, / ABC=90，若规 定主（正）视方向垂直平面 ACCA ,则此三棱柱的左视图的面积为 （ ）A.—— B . 2 - C . 4 D . 22•某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底 边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、 高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）3.—个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1: 2，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是（）A . 1 : 4B . 1 : 2C . 1 : （ "- 1 ）D . 1: （ 一+1 ） 4.正六棱台的两底边长分别为1cm, 2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A . 80B . 24 一+88C. 24 一+40 D . 118A .9 ~ 2cm2B . 9 cmC. - cm 22D. 3 cm5. 要制作一个容积为 4卅，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是（ ）A . 80 元B . 120 元C . 160 元D. 240 元6. （文） 四棱锥S-ABCD 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱 锥及其三视图如图（AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥 A . 24 B . 18 C . - - D . 87. 某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ A . 48B . 56C . 64D. 72&各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）A. 4 _a 2B . 3 "a 2C .2 _a 2D9.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）10. 如图，在三棱柱 ABC-ABC 中，D, E , F 分别是AB, AC, AA 的中点，设三棱锥 F-ADE的体积为V 1,三棱柱 ABG-ABC 的体积为V 2,则V 1： V ___________________________________ .11. _______ 将边长为2的正方形沿对角线 AC 折起，以A, B, C, D 为顶点的三棱锥的体积最大值等 于 ____ .12.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8.若AAB 1B 水平放置时，液面恰好过AC BC, AC , BC 的中点，则当底面 ABC 水平放置时，液面的高为 _________________ . 13. 四棱锥P-ABCD 的底面ABCE 为正方形，且PD 垂直于底面 ABCD N 为PB 中点，则三棱锥 P-ANC 与四棱锥P-ABCD 的体积比为 ________________ .14.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧视图为S-ABCD 的体积=( )A .B . 6C. -D . 2直角三角形，则它的体积为_________________15.如图所示，在三棱柱ABC-ABQ 中，AB=AC=AA=2, BC=2 ；且/ AAB=/ A i AC=60，则该三棱柱的体积是_________________________ .B：旋转体的表面积和体积1•如果圆锥的底面半径为，高为2,那么它的侧面积是（）A. 4 n B . 2 n C . 2 n D . 4 n2.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A. 5 nB. 4 nC. 3 nD. 2 n3•如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是（）A. 1 : 2 B. 2: 3 C. 1 : 一 D. 2: _4•圆锥侧面积为全面积的，则圆锥的侧面展开图圆心角等于（）A. - nB. nC. 2 nD.以上都不对5.圆台的上、下底面半径和高的比为 1 : 4: 4，母线长为10,则圆台的侧面积为（)A. 81 nB. 100 nC. 14 nD. 169 n6.已知球的直径SC=8 A, B是该球球面上的两点，AB=2 ，/ SCAN SCB=60，则三棱锥S-ABC 的体积为（）A. 2 ~B. 4 ~C. 6 ~D. 8 ~7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S、S,则S:Sa=（）A. 1 : 1B. 2: 1C. 3: 2D. 4: 1&若两个球的表面积之比为1: 4,则这两个球的体积之比为（）A. 1 : 2B. 1 : 4C. 1 : 8D. 1 : 169.体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S , S, S3,那么它们的大小关系为（）A. S1 v S2 v S3B. S1 v S3V S2C. S2V S3 v S1D. S2 v S1 v S3二.填空题（共5小题）10.圆锥和圆柱的底面半径和高都是R,则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为________________n和n的矩形, 11 .已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为则该圆柱的体积是____________________12.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm,母线长最短50cm,最长80cm,则斜截圆柱的侧面面积S= cm 2.13.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于14•已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为15.已知A, B, C是球面上三点，且AB=AC=4cm/ BAC=90，若球心O到平面ABC的距离为2 ，则该球的表面积为cm3.11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD7卜接球表面积为三.解答题(共3小题)16•如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成•已知球的直径是6cm,圆柱筒长2cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm (结果精确到0.1 ) ?(2 )要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？17.(文)如图，球O的半径长为10(1)求球O的表面积；(2)求球O的体积；(3)若球O的小圆直径AB=3Q求A、B两点的球面距离.18.设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O.(1)求球O的体积和表面积；(2)与底面距离为1的平面和球的截面圆为M AB是圆M内的一条弦，其长为2 ，求AB 两点间的球面距离.参考答案: A:I、A 2、B 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D10、解:因芮D，E，分S］是Ab肌的中自所以血虫DE；S AA BC=1:仆又F是宜納的中点，所以A T aS面的范离H为F到虧面距离h的2倍• 即三複栓盘卩1门-2匚的壽是三棱穩F-ME高的7倍-斷以如；畑空兰空=4T=1：西.故答案为1； 24.II、铅：妇也肪示，评正方也就口叭対術钱M * 3DSt + iO>甲n折更启的位豈为F・连揺即‘ *苛一TAZJLBC，AC l-BD* - BaflD- QrO--ACX 耶®IT g匡b> =楼帕的作祗対V D -kBC"v^EOC' -^Vc-BCC~ ；BCD' k AO*j52kBOD' x J S^ISOD_卞航:王方世的迪丢为2・可J?■■- BOD ft AH - To LABC谜劉昴尢值■*：S/\ 二 0D* =? x j^x忑小血乂目□力'二w in上aoii *’，丄i ?rv「.q-TTY-M' l「=丄工」•王5V.怡巧「此t」导.乂RJ农虻-土故告案为；半12、解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形.设△ ABC的面积为S，贝U S梯形ABFE= S，V水=S? AA1=6S .当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，••• 6S=Sh，.•• h=6 .故当底面ABC水平放置时，液面高为6 .故答案为：613、1:4 14、15、2解:團柱的側面展开囹星长利员务别为和TT的矩用，当毋线为戈氏时，區1桂的庙面半襌是扌此时囿桂体粮是（l）1 2Ttx3it=^;当母线为H时，圆柱酌展面半轻是学此时圆柱的体釈是（芥II"二竺匕£-t 4综上所求圈柱的体稅杲：—16、解：（1 ）T该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm ,•••半球的直径也是6cm,可得半径R=3cm,•两个半球的体积之和为V球=-冗R = - n ? 27 = 6 n cm3 * S 6…（2分）斗412、解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积 S=[ （ 50+80） X 20 n x 2]/2=2600 n cm2. 故答案为：2600 n13、 3 14、8 n 15、64 n学习参考而V 圆柱=n R ? h= n X 9X = n cm3…（2 分）•该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36 n +18 n =54 n" 169.6cm 3…（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是S 球表= n R = Xn X 9= 6 n cm?…（6 分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2 n Rh=2 Xn X 3 X 2=12 n cm2…（8分）6 n n n• 1个“浮球”的表面积为S = —0一= —m因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500 S = 00 X —= n m2…（10分）•/每平方米需要涂胶100克，•总共需要胶的质量为：100 X 12 n =1200 n （克）…（12分）答：这种浮球的体积约为169.6cm 3;供需胶1200 n克.…（13分）17、解：（1）球的表面积为4 n r 2=1200 n ; …（4分）（2）球的体积V=-n r3= 4000 _n ; …（8 分）（3）设球心为O,在△ AOB中，球O的小圆直径AB=30，球O的半径长为10解得Z AOB="，所以A、B两点的球面距离为0 n n . …（15分）18、解：（1）•••底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O,•球O的半径为2cm,.•.球O的体积为-n ? 2=,表面积4 n ? 22=16 n ;（2）•/ AB是圆M内的一条弦，其长为2 ,• Z AOB= n , • AB两点间的球面距离为".。
几何体的体积与表面积试题
几何体的体积与表面积试题一、选择题1. 下面关于体积和表面积的说法，正确的是：A. 体积是指几何体的外部空间，表面积是指几何体的内部空间。
B. 箱子的体积和表面积一定是相等的。
C. 体积和表面积都是用立方单位来计量的。
D. 几何体的体积是几何体的表面积的两倍。
2. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，它的体积是：A. 60cm³B. 48cm³C. 40cm³D. 20cm³3. 一个正方体的表面积是96平方厘米，它的边长是：A. 8厘米B. 12厘米C. 16厘米D. 24厘米4. 一个圆柱体的底面半径为2cm，高为6cm，它的表面积是：A. 24π平方厘米B. 28π平方厘米C. 32π平方厘米D. 36π平方厘米5. 一个球体的表面积是100π平方厘米，它的半径是：A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米二、解答题1. 计算一个直方体的体积和表面积，并给出结果的单位。
解答：设直方体的长、宽、高分别为a、b、c，则直方体的体积V为 V = a * b * c，表面积S为 S = 2(a * b + a * c + b * c)。
根据具体的数值，计算出V和S，并注明单位。
2. 已知一个圆柱体的表面积为48π平方厘米，底面半径为3厘米，求圆柱体的高。
解答：设圆柱体的底面半径为r，高为h。
根据题意，可列出方程：2πr^2 + 2πrh = 48π化简得 r^2 + rh = 24代入r=3，解方程得 h = 6厘米。
3. 一个球体的表面积是200π平方厘米，求它的体积。
解答：设球体的半径为r。
根据题意，可列出方程：4πr^2 = 200π化简得 r^2 = 50代入r=√50，计算得体积V = (4/3)πr^3。
三、应用题1. 小明家的水缸是一个圆柱体，底面半径为50厘米，高为120厘米。
他要知道这个水缸最多可以盛多少升水。
解答：水缸的体积为圆柱体的体积V = πr^2h。
空间几何体的表面积与体积
第2节空间几何体的表面积与体积课时训练练题感提知能【选题明细表】一、选择题1.(2013湖北黄冈4月调研)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( B )(A)20 (B)(C)56 (D)60解析:空间几何体是底面为直角三角形的三棱锥,底面直角三角形的直角边边长分别为4,5,三棱锥的高为4,故其体积为××4×5×4=.故选B.2.(2013山东枣庄一模)一个几何体的三视图如图所示,其中长度单位为cm,则该几何体的体积为( D )(A)18 cm3(B)48 cm3(C)45 cm3(D)54 cm3解析:由题中三视图可知,该几何体是四棱柱,底面为直角梯形其上底为4,下底为5,高为3.棱柱的高为4,所以四棱柱的体积为×3×4=54(cm3),故选D.3.(2013河南省十所名校三联)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( B )(A)π (B)2π(C)(2+1)π(D)(2+2)π解析:由题中三视图可知该几何体是两个底面半径为1,高为1的圆锥的组合体,圆锥的母线长度为,故其表面积是2×π×1×=2π.故选B.4.(2013成都市模拟)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( B )(A)(B)(C)(D)(4+π)解析:此几何体是由半圆锥和一个四棱锥构成,则几何体体积V=××π×12×+×22×=.故选B.5.(2014山东烟台高三期末)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( C )(A)6+8 (B)12+7(C)12+8(D)18+2解析:该空间几何体是一个三棱柱.底面等腰三角形的高是1,两腰长为2,所以其底边长是2,两个底面三角形的面积之和是2,侧面积是(2+2+2)×3=12+6,故其表面积是12+8.故选C.6.(2013河南开封二检)已知三棱锥O ABC,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O ABC的体积为,则球O 的表面积是( A )(A)64π(B)16π(C)π(D)544π解析:△ABC的面积是,设球心O到平面ABC的距离为h,则××h=,所以h=.△ABC外接圆的直径2r==2,所以r=1.球的半径R==4,故所求的球的表面积是4π×42=64π.故选A.7.(2013江西南昌一模)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是( C )(A)π(B)2π(C)π(D)3π解析:所作的截面与OE垂直时,截面圆的面积最小.设正三角形ABC的高为3a,则4a2+1=4,即a=,此时OE2=12+=,截面圆半径r2=22-=,故截面面积为.故选C.8.(2014绵阳南山中学高三月考)有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)12π cm2(B)15π cm2(C)24π cm2(D)36π cm2解析:由三视图可知,该几何体为底面半径为3 cm的圆锥,∴S表=π×32+π×3×5=24π cm2.故选C.二、填空题9.有一根长为3π cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为cm.解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC=3π cm,AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC==5π(cm),故铁丝的最短长度为5π cm.答案:5π10.(2013年高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2= .解析:==··=×××=.答案:1∶2411.(2013吉林省吉林市二模)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥外接球的表面积等于cm2.解析:由题中三视图知该几何体为三棱锥C1ABC,可补成长方体如图所示,其外接球的直径AC1=,其中AB=3,BC=1,CC故其外接球的表面积为14π cm2.答案:14π12.(2013成都外国语学校高三月考)已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等且为1,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O,则三棱柱ABC A1B1C1体积等于.解析:∵△ABC为正三角形,且边长为1,∴AO=×=,∴A1O===,∴=×12×=.答案:13.如图在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,则圆柱的表面积为.解析:由圆锥的底面半径为2,母线长为4,得圆锥的高h==2,由圆柱高为,则圆柱的底面半径r=1.S 表面=2S底面+S侧面=2π+2π×=(2+2)π.答案:(2+2)π三、解答题14.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件解得r=,l=4,S=πrl+πr2=10π,h==,V=πr2h=.15.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1×=.(2)由题中三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,S=2×(1×1+1×+1×2)=6+2.16.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EF⊥A′C;(2)求三棱锥F A′BC的体积.(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,∴EF⊥AC,在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,又A′C⊂平面A′EC,∴EF⊥A′C.(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,∴S△FBC=BC·EC=4,∵A′O⊥平面BCEF,∴A′O⊥EC,又∵O为EC的中点,∴△A′EC为正三角形,边长为2,∴A′O=,A′O=×4×=.∴==S。
2023年新高考数学一轮复习8-2 空间几何体的表面积和体积(真题测试)解析版
专题8.2 空间几何体的表面积和体积（真题测试）一、单选题1．（2020·天津·高考真题）若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R =，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.2．（2020·北京·高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）． A ．63+ B ．623+ C ．123+ D ．1223+【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．22πB ．8πC ．22π3D ．16π3【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1cm ，圆台的下底面半径为2cm ，所以该几何体的体积(322214122ππ1π122π2π12333V =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=3cm ．故选：C ．4．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面上，则该球的表面积为（ ）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =121d d -=或121d d +=，即1=1，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．5．（2021·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．3C ．2D ．【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，1=故1111131222ABCD A B C D V -=⨯⨯=， 故选：A. 6．（2021·全国·高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A B C D A 【解析】【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 1， 设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d =所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯= 故选：A.7．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12CD 【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α， 则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅= （当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又22r h 1+=则2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选：C8．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27]【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =- 所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭， 所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l ≤0V '<，所以当l =V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.二、多选题9．（2022·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h 降雨量的等级划分如下：在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm ，瓶口高度为3cm ）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（ ）A ．20cmB ．22cmC ．25cmD ．29cm【答案】CD【解析】【分析】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x 之间的关系49h x =，结合题意可得4200400[,)999x ∈，由此判断出答案. 【详解】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据体积相等关系可得：22π100π150x h ⨯=⨯，解得49h x = ， 由于[50,100)x ∈ ，故4200400[,)999x ∈， 故20040020040020,22[,),25,29[,)9999∉∈故选：CD ．10．（2023·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为42B ．体积为5023π C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，求出1,3r R ==，即可判断选项A 正确；利用公式计算即可判断选项BCD 的真假得解.【详解】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==，则选项A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误； 圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误．故选：AC ．11．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12O O ，为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（ ）A ．球与圆柱的表面积之比为12：B ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π C ．四面体CDEF 的体积的取值范围为3203⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣【答案】BCD【解析】【分析】利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A ，由题可得O 到平面DEF 的距离为1d 平面DEF 截得球的截面面积最小值可判断B ，由题可得四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -可判断C ，设P 在底面的射影为P '，设2t P E '=，PE PF +PE PF +的取值范围可判断D.【详解】由球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，则球表面积为24r π，圆柱的表面积222226r r r r πππ+⋅=， 所以球与圆柱的表面积之比为23，故A 错误；过O 作1OG DO ⊥于G ，则由题可得12OG == 设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，则1d OG ≤，22221114164455r r d d =-=-≥-=， 所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π，故B 正确； 由题可知四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -，点E 到平面1DCO 的距离(0,4]d ∈， 又114482DCO S =⨯⨯=，所以123228(0,]33E DCO V d -=⨯∈，故C 正确； 由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '， 则2222222,2,2,16PP PE P E PF P F P E P F '''''==+=++=，设2t P E '=，则20,4t ⎡⎤∈⎣⎦，PE PF +所以()2224PE PF +==+2424⎡⎤=++⎣⎦，所以2PE PF ⎡+∈+⎣，故D 正确.故选：BCD.12．（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥， 又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ==，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ===，3EF a =，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM SEM FM =⋅=，AC =， 则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.三、填空题 13．（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.【答案】39π【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303V h ππ=⋅=∴52h =∴132l =∴136392S rl πππ==⨯⨯=侧. 故答案为：39π.14．（2020·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3. 【答案】1232π-【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为262⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π15．（2019·天津·高考真题（文）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．【详解】借助勾股定理，2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭． 16．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在三棱锥P ABC -中，点P 在底面的射影是ABC 的外心，2,3BAC BC PA π∠===___________. 【答案】12548π 【解析】【分析】先由正弦定理得，ABC 外接圆的半径，再由勾股定理，即可求出半径,从而可得外接球体积.【详解】解：设ABC 的外心为1O ,连接1PO ,则球心O 在1PO 上，连接1O A ,则1O A 为ABC 外接圆的半径r ,连接OA ,设外接球的半径为R ,则OA OP R ==,在ABC 中，由正弦定理得2,BC r sin BAC ==∠解得1r =,即11O A =, 在1Rt PAO 中，12,PO =在1Rt AOO ,中22211OO AO AO +=,即()22221R R -+=,解得：54R =, 所以外接球的体积为：3344125334854R V πππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭===， 故答案为：12548π 四、解答题17．（2022·安徽芜湖·高一期末）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液.如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终不离开桌面，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α.要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值. 【答案】4π【解析】【分析】当水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时α最大；在这个临界条件下，结合溶液的体积不变，可以得到关于α的一个不等式，即可求出α的取值范围，得到最大值.【详解】如图所示，在Rt △CDE 中20tan DE α=，()2221020tan 103020tan 10202παπαπ⨯⨯⨯⨯-+≥⨯⨯解得tan 1α≤，即α的最大值4π. 18．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面；(2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得//AB FG ，//AB CD ，即可得到//AB GE ，从而得到//CD EG ，即可得证；（2）依题意可得AE AD ⊥、AE AB ⊥，即可得到AE ⊥平面ABCD 从而得到BG ⊥平面ABCD ，再根据13C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅计算可得；(1)证明：在矩形ABGF 和菱形ABCD 中，//AB FG ，//AB CD ，所以//AB GE ，所以//CD EG ，所以C 、D 、E 、G 四点共面；(2)解：在Rt ADE △中AE AD ⊥，矩形ABGE 中AE AB ⊥，AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥平面ABCD ，又//BG EA ，所以BG ⊥平面ABCD ，又11sin 2222BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯⨯=所以11133C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅=⨯ 19．（2022·山西吕梁·高一期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是2cm ，圆柱筒的高是2cm ．(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆0.5g ，共需多少防水漆？【答案】(1)356(cm)3π (2)1200g π【解析】【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解即可.(1)因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径2cm r =，圆柱筒的高为2cm ，所以两个半球的体积之和为331432(cm)33V r ππ==， 圆柱的体积2328(cm)V r h ππ==，∴该“浮球”的体积是31256(cm)3V V V π=+=； (2)根据题意，上下两个半球的表面积是221416(cm)S r ππ==，而“浮球”的圆柱筒侧面积为2228(cm)S rh ππ==，∴“浮球”的表面积为21224(cm)S S S π=+=；所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要100240.51200g ππ⨯⨯=.20．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，∠BAD =90°，12AB BC AD a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥1A BCDE -．当四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值．【答案】6a =.【解析】【分析】在直角梯形ABCD 中，证明BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，由面面垂直的性质证得1A O ⊥平面BCDE ，再利用锥体体积公式计算作答.【详解】如图，在直角梯形ABCD 中，连接CE ，因E 是AD 的中点，12BC AD a ，有//,AE BC AE BC =，则四边形ABCE 是平行四边形，又,90BAD AB BC ∠==，于是得ABCE 是正方形，BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，1BE AO ⊥，因平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =，1A O ⊂平面1A BE ，因此1A O ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，显然112AO AO CO AC ====，平行四边形BCDE 的面积2S CO BE a =⋅==，因此，四棱锥1A BCDE -的体积为2311133V S AO a =⋅===6a =， 所以a 的值是6.21．（2022·北京·高一期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，已知3AB =，4BC =，5AC =．当阳马111C ABB A -体积等于24时， 求：(1)堑堵111ABC A B C -的侧棱长；(2)鳖臑1C ABC -的体积；(3)阳马111C ABB A -的表面积．【答案】(1)6(2)12 (3)51313【解析】【分析】（1）设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，根据阳马111C ABB A -体积等于24求解即可；（2）根据棱锥的体积计算即可；（3）分别计算111C ABB A -的侧面积与底面积即可(1)因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=．所以△ABC 为直角三角形．设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，则113A ABB S x 矩形，则111143243AA BB V x C ， 所以6x =，所以堑堵111ABC A B C -的侧棱长为6．(2)因为13462ABC S =⨯⨯=△， 所以1111661233ABC ABC V S CC C ． 所以鳖臑1C ABC -的体积为12．(3) 因为11113462A B C S，11164122BB C S ， 11165152AA C S ，1132133132ABC S ， 113618A ABB S 矩形，所以阳马111C ABB A -的表面积的表面积为612151831351313． 22．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD △的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【答案】(1)75π2(2)15π【解析】【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可(1)由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==， 可得圆柱的底面圆的半径为52R =， 则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯= 所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=． (2) 由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．。
空间几何体的表面积和体积经典例题
空间几何体的表面积和体积一•课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二. 命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托•因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式•同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用"割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三. 要点精讲1.多面体的面积和体积公式棱长。
2 .旋转体的面积和体积公式i2下底面半径，R表示半径。
四. 典例解析题型1 :柱体的体积和表面积例1 •一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长例2 .如图1所示，在平行六面体ABCD —A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA i=3, AB 丄AD，/ A1AB= / A1AD= —。
3(1)求证：顶点A1在底面ABCD上的射影0在/ BAD的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积。
图1 图2题型2:柱体的表面积、体积综合问题例3 •一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ,2, . 3, . 6，这个长方体对角线的长是( ) A • 2 . 3B • 3.2C . 6D •. 6例 6. (2015 北京，19) • (本小题满分12分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD , AB // DC , △ PAD 是等边三 角形，已知 BD 2AD 8，AB 2DC 4「5 •(I)设M 是PC 上的一点，证明：平面 MBD 平面PAD ; (n)求四棱锥 P ABCD 的体积.例4•如图，三棱柱 ABC-ABC 中，若E 、F 分别为 AB AC 的中点，平面 柱分成体积为 V 、V 2的两部分，那么 V : V 2= _______题型3:锥体的体积和表面积 (2015湖北卷3)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球 的体积为 A. 83C. 8,2D.32 3EBC i 将三棱PCPM C题型4:锥体体积、表面积综合问题例7. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC= 2,求点B到平面EFG的距离?E7BC例8 （2015江西理，12）如图，在四面体 ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O, 且与BC, DC 分别截于E 、F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 A- BEFD与三棱锥A - EFC 的表面积分别是 S i , S 2,则必有（）A. S i S 2 B . Si S 2C. S i =$D. S i , S 2的大小关系不能确定题型5:棱台的体积、面积及其综合问题例9. （2015四川理，19） （本小题满分12分）如图，面ABEFL 面ABCD 四边形ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，/ BAD / FAB=90 , BC L 丄AD, BE £-AF , G H 分别是FA 、FD 的中点。
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一、知识回顾（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积= 侧面积+ ______________；（2）圆柱：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆锥：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆台：r’、r分别为上、下底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.（3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）台体体积公式：________________________；（S’、S分别为上、下底面面积，h为高）二、例题讲解题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面积是______________；体积是______________。
8图（1）题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示， 求这个正三棱柱的表面积与体积图（2）题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆，BCF ∆均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32B ．33C ．34D ．23EABDCF左视图俯视图 主视图图（3）1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为2、如图(4)，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为2，E 为11B A 的中点，则 三棱锥11D AB E -的体积是____________.图（4）CBADC 1B 1EA 1D 13、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正 视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S 。
图（5）（选做题）4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm ， 高为6cm ，在其中有一个高为xcm 的内接圆柱。
（1）试用x 表示圆柱的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？一、选择题（每小题5分，共计60分。
请把选择答案填在答题卡上。
）1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的 A.31B.41C.91D.161 2．正六棱锥底面边长为a ，体积为323a ，则侧棱与底面所成的角等于A.6πB.4πC.3πD.125π 3．有棱长为6的正四面体S-ABC ，C B A ''',,分别在棱SA ，SB ，SC 上，且S A '=2，S B '=3，S C '=4，则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为 A.91B.81C.41D.31 4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是A ．32. B. 14 C. 5 D.65.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为α，则角α的取值范围是 A ．(]︒︒90,0 B (]︒︒270,180 C (]︒︒180,90 D Φ6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为 A ．25与2 B.2与23C.5与4D.2与3 7.已知正四面体A-BCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体E-FGH 的表面积为T ，则ST等于A ．91 B.94 C. 41 D.318.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是A ．1，2，3B ．2，4，6C ．1，4，6D ．3，6，99.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是 A ．cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 12 9. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为A.3/2B.33C.34D.2310．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别交于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是21S S 、，则必有 A.S 1<S 2 B. S 1>S 2 C. S 1=S 2D.21S 与S 的大小关系不能确定11.三角形ABC 中，AB=32，BC=4，︒=∠120ABC ，现将三角形ABC 绕BC 旋转一周，所得简单组合体的体积为A ．π4 B.π)34(3+ C.12π D.π)34(+12.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 A ．21 B.31 C.32 D.43 DBAO EF二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.13. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为3π. 14.已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是2)(2πr b a +.15. （江西卷）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6， BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是137+. 16.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的角为450.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共4个大题，共20分）. 17.圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少？ 当r=30/7cm 时，S 的最大值是π736018．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面对角线A 1B 与侧面ACC 1A 1成45°角，AB=4，求棱柱的侧面积. 棱柱的侧面积为242练习11 空间几何体的表面积与体积A 组1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）. （A ）122ππ+ （B ）144ππ+ （C ）12ππ+ （D ）142ππ+ 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）. （A ）32 （B ）43 （C ）54 （D ）65 题号 1 2 3 4 56789 10 11 12 答案CBBCDAABB ACCB3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是。
4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为。
5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，则此棱锥的体积_______________。
6．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为。
7．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的16，经过这三点的小圆周长为4π，则这个球的表面积为。
B 组1．四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是。
2．半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积是。
3．如图，一个棱锥S －BCD 的侧面积是Q ，在高SO 上取一点A ，使SA =31SO ，过点A 作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台的侧面积.4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，边长AB =a ，且PD =a ，PA =PC =2a ，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径.练习七参考答案A 组 1．答案：A解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，2ar π=，底面圆的面积是24a π，于是全面积与侧面积的比是2221222a a a πππ++=，选A . 2．答案：D解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248⨯⨯⨯⨯=，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65，选D .3．答案：148 cm 2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm ，所以底面边长是5cm ，侧面面积是4×5×5=100cm 2，两个底面面积是48cm 2， 所以棱柱的全面积是148cm 2. 4．答案：22：5解：设圆柱的母线长为l ，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是23π和43π， 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2r l πθ=，得13l r =，223lr =，所以它们的高的比是=. 5．答案：1cm 3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm ，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，则它的体积是31×1×3=1cm 3.6．答案：ba解：矩形绕a 边旋转，所得几何体的体积是V 1=πb 2a ，矩形绕b 边旋转，所得几何体的体积是V 2=πa 2b ，所以两个几何体的体积的比是2122V b a bV a b aππ==.7．答案：48π解：小圆周长为4π，所以小圆的半径为2，又这三点A 、B 、C 之间距离相等，所以每两点间的距离是AB =BC =AC =23， 又A 、B 之间的大圆劣弧长等于大圆周长的61，所以A 、B 在大圆中的圆心角是60°，所以大圆的半径R =23，于是球的表面积是4πR 2=48π.B 组 1．答案：1：9解：如图，不难看出四面体EFGH 与四面体ABCD 是相似的。
所以关键是求出它们的相似比，连接AF 、AG 并延长与BC 、CD 相交于M 、N ， 由于F 、G 分别是三角形的重心，所以M 、N 分别是BC 、CD 的中点，且AF ：AM =AG ：AN =2：3，所以FG ：MN =2：3，又MN ：BD =1：2，所以FG ：BD =1：3，即两个四面体的相似比是1：3， 所以两个四面体的表面积的比是1：9. 2．答案：24R解：如图，过正方体的对角面AC 1作正方体和半球的截面。