2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案

高二数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导结果正确的是（） A ．()
2112x x '-=- B ．'=C ．()sin 60cos60︒
︒
'=- D ．(
)33ln x x '= 2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )
A ．－4
B ．－45
C ．4 D.4
5
3．曲线y ＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝3x －4
B ．y ＝－3x ＋2
C ．y =−4x +3
D ．y =4x −5 4．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )
A ．42
B ．35
C ．28
D ．21
5．三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法种数为( )
A ．72
B ．144
C ．36
D ．12 6. 抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则(4)P ξ≤等于（）
A ．19
B ．5
36
C ．16
D ．14
7. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个白球的概率为（）
A ．46801010100C C C ⋅
B ．64208001010
C C C ⋅ C ．46208001010C C C ⋅
D ．648010
10100
C C C ⋅
8．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B 层2班化学A 层3班地理A 层1班化学A 层4班生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班生物B 层1班物理B 层1班物理A 层4班
政治1班物理A层3班政治2班政治3班
A．8种B．10种C．12种D．14种
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下面是关于复数z＝2
－1＋i(i为虚数单位)的四个命题：其中的真命题为( )
A．|z|＝2 B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1
10．关于(x2+1
x
−2)3的展开式，下列结论正确的是（）
A.所有项的二项式系数和为32
B.所有项的系数和为0
C.常数项为-20
D.二项式系数最大的项为第3项
11. 有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是（）．
A.C135﹣C71C64；
B.C72C63+C73C62+C74C61+C75；
C.C135﹣C71C64﹣C65；
D.C72C113； 12．关于函数2()ln f x x x
=+，下列判断正确的是（） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知10
10221010)1()1()1()1(x a x a x a a x -++-+-+=+ ，则8a =．
14. 4位学生和1位老师站成一排照相，若老师站正中间，男生甲不站最左
端，男生乙不站最右端，则不同排法的种数是______ ．
15. 设函数32
()f x x ax =+，若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为
0x y +=，则实数a =_______．
16. 若函数()2
2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调
函数，则实数 k 的取值范围______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）已知复数1z mi =+（ i 是虚数单位， m ∈R ），且
()3z i ⋅+为纯虚数（z 是 z 的共轭复数）．
（1）设复数121m i
z i
+=
-，求1z ；（2）设复数2017
2a i z z
-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数 a 的取
值范围．
18.（本小题满分12分）已知
n （其中15n <）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列. （1）求n 的值；
（2）写出它展开式中的所有有理项.
19.（本小题满分12分）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
①能组成多少个没有重复数字的七位数？
②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
④在①中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？
20.（本小题满分12分）现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答)
（1）若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法?
（2）若男女相间，则共有多少种不同的排法?
（3）若男生甲不站两端,女生乙不站最中间,则共有多少种不同的排法?
21. （本小题满分12分）把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ，容积为()V x .
（1）写出函数()V x 的解析式，并求出函数的定义域；（2）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出
最大容积。

22.（本小题满分12分）已知函数()()2
1ln 1,.2
f x a x x a x a R =+
-+∈
（1）当a=1时，求函数()f x 的图像在x=1处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）若对任意的(),x e ∈+∞都有()0f x >成立，求 a 的取值范围.
高二数学试题答案
一、单选 DDBDB 二、多选
BD BC BC BD 三、填空 13、180 14、14 15、－2 16、1≪k <3
2 四、解答题
17、
18、
20、
21、解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为
-----1分.
(6)
则
2
V x x
--------------------------4分())
函数的定义域为
------------------------- 5分
（Ⅱ）实际问题归结为求函数
V x在区间上的最大值点.
()
先求()
V x的极值点.
在开区间(0,3)内，2()933693V x x x '=-+ --------------------7分
令()0V x '=，即令29336930x x -+=，解得123
,3(3
x x =
= 舍去). 因为13
x =在区间(0,3)内，1x 可能是极值点. 当10x x <<时，'()0V x >；当
13
x x <<时，
'()0
V x <.
---------------------9分
因此1x 是极大值点，且在区间(0,3)内，1x 是唯一的极值点，所以
13x x ==
是()V x 的最大值点，并且最大值
3
(
)4f = 即当正三棱柱形容器高为3时，容器的容积最大为
4.-------------------12分 22、。

合集下载

2021-2022学年山东省滨州市邹平市高二年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省滨州市邹平市第一中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．命题：“，”的否定为（）(),0x ∀∈-∞π4x x≥A ．，B ．，[)00,x ∃∈+∞00π4x x <[)00,x ∃∈+∞00π4x x ≤C ．，D ．，()0,0x ∃∈-∞00π4x x <()0,0x ∃∈-∞00π4x x ≤【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法即可作出判断.【详解】含有一个量词的命题的否定，即先否定量词，后否定结论；命题：“，”的否定为“，”，(),0x ∀∈-∞π4x x ≥()0,0x ∃∈-∞00π4x x <故选：C.2．袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）A ．至少取到1个白球B ．取到白球的个数C ．至多取到1个白球D ．取到的球的个数【答案】B【分析】由离散型随机变量的定义即可得出结论.【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B 选项，其中A 、C 选项是事件，D 选项取到球的个数是个，ACD 错误；2故选：B.3．已知集合，，则中元素的个数是{}2,3,4M ={}28120N x Z x x =∈-+<M N ⋃（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】首先求出集合中的元素，再利用集合并集进行运算{}28120N x Z x x =∈-+<即可求得元素个数.【详解】对于集合，{}28120N x Z x x =∈-+<，解得：28120x x -+<26x <<又，， x Z ∈ 3,4,5x ∴={}3,4,5N ∴=，共个元素，{}2,3,4,5M N = 4故选：C.4．在的展开式中，含的项的系数为（）()()()()45671111x x x x -+-+-+-4x A ．56B ．52C ．﹣56D ．﹣52【答案】A【分析】根据二项展开式通项，分别求出各个因式的含的项的系数，再进行运算即4x 可.【详解】二项式展开式的通项为：()1nx -()1C 1rr rr n T x +=-含的项的系数为：∴4x 44444567C C C C 15153556+++=+++=故选：A.5．一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）A ．X 表示取出的最小号码B ．若有放回的取球时，X 表示取出的最大号码C ． X 表示取出的红球个数D ．若有放回的取球时，X 表示取出的黄球个数【答案】C【分析】利用超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此判断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A ，B ，D 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A ，B ，D 错误；对于C ，将红球个数视作正品数，黄球个数视作次品数，则可以用超几何分布的数学模型计算概率.故选：C.6．某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（）A ．B ．C ．D ．31012625925【答案】B【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记“第一次抽到作图题”为事件，记“第二次抽到作图题”为事件，A B ，()113425A A 123A 205P A ===()2325A 63A 2010P AB ===所以.()()()3110325P AB P B A P A ===故选：B.7．已如两个离散型随机变量，，满足，的分布列如下：ξη31ηξ=+ξξ012Pab16当时，（）A ．B ．C ．D ．5()23E ξ=()D η=1253209【答案】D【分析】运用分布列的性质以及期望公式求出与的值，再根据方差公式求方差，进a b 而求出.()D η【详解】由题意，，116a b ++= ()1201263E a b ξ=⨯+⨯+⨯=11,23a b ∴==则()22221212150123233369D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由31ηξ=+()()253959D D ηξ=⨯∴==故选：D.8．用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（）（用数字填写答案）A ．24B ．48C ．72D ．120【答案】D【分析】根据图形的位置关系，由分类加法原理计算即可得答案.【详解】对图形进行编号如图所示：第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有方法，涂区域①有种方法，43涂区域④有种方法，涂区域③有种方法，涂区域②有种方法，221则不同的涂色方案的种数为：种；4322148⨯⨯⨯⨯=第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有方法，4涂区域①有种方法，涂区域④有种方法，涂区域⑥有种方法，321再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有种方法；2若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有种方法，1则不同的涂色方案的种数为：种；()43212172⨯⨯⨯⨯+=根据分类加法计数原理，共有种；4872120+=故选：D.二、多选题9．在二项式的展开式中，系数为有理数的项有( )5(2x A ．第一项B ．第三项C ．第四项D ．第五项【答案】ABD【分析】求出二项式的展开式通项，判断系数为有理数时r 的取值即可5(2x 1r T +判断有理项．【详解】二项式的展开式的通项为，5(2x 515C ((2)r r r r T x -+=⋅⋅则当r =0，2，4时，系数为有理数，故系数为有理数的项有第一项、第三项、第五项．故选：ABD ．10．若正实数，满足，则（）a b 4a b +=A ．B111a b +≤≤C ．D ．228a b+≥22log log 2a b +≥【答案】BC【分析】对于A ：根据题意得，再利用基本不1111244a b a b b a a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等式求解即可；对于B：根据题意得，再求解即可；22a b +=+≥对于C ：根据题意得D ：由22a b+≥=，再根据题意得，代入求解即可.a b +≥4ab ≤222log log log a b ab +=【详解】对于A ：，11111221444a b a b b a a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当时等号成立，故A 不正确；2ab ==对于B ：，22a b +=+≥4≤，当且仅当时等号成立，故B 正确；≤2a b ==对于C ：，当且仅当时等号成立，故C228a b +≥===2a b ==正确；对于D ：因为，即，即，当且仅当4a b +=a b +≥4≤4ab ≤时等号成立，2a b ==，当且仅当时等号成立，故D 不正确.2222log log log log 42a b ab +=≤=2a b ==故选：BC.11．下列说法正确的是（）A ．个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有35种35A B ．个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，不同的放法有种3553C ．个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有35种35C D ．个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有种53132C 【答案】ACD【分析】根据排列与分步计数原理可判断AB 选项；利用组合计数原理可判断C 选项；利用隔板法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个35球，即5个不同盒子中有三个盒子各放一个球，不同的放法有种，A 对；35A 对于B 选项，个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，即每个球35有5种不同放法，不同的放法有种，B 错；35对于C 选项，个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，即只需35确定5个盒子中哪三个盒子有球，有不同的放法有种，C 对；35C 对于D 选项，个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，有两种放法，一53是有个盒子放三个其余各放一个，二是有个盒子放一个其余各放两个，共有种，D 对.111333C +C 2C 故选：ACD.12．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗打子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去．直到滚到底版的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则（）A ．小球从起点到第③个格子一共跳6次B ．小球从起点到第③个格子一共跳7次C ．小球落在第③个格子的概率为21128D ．小球落在第③个格子的概率为37128【答案】BC【分析】落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右，由752此能求出其落在第③个格子的概率.【详解】从入口放进一个白球，则落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右752而向左或向右的概率均为，12则向右的次数服从二项分布，小球落在第③个格子的概率∴P =25271121C 22128⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC.三、填空题13．设，“”成立的一个充分不必要条件是______．（写出一个即可）R x ∈1122x -<【答案】112x <<【分析】求出绝对值不等式解，再利用充分条件的定义求解作答.【详解】，，1122x -<01x ∴<<所以一个充分不必要条件的范围只需要比求出的范围小，可以是：.112x <<故答案为：112x <<14．一天有6节课，安排6门学科，其中数学课必须在第二或三节，则一天的课程表有______种排法.【答案】240【分析】利用特殊元素优先排的原则进行讨论，再利用分类加法计数原理求解即可.【详解】当数学课在第二节时，一天的课程表有种排法；55A 当数学课在第三节时，一天的课程表有种排法；55A 所以，一共有种排法.552A 240=故答案为：.24015．已知某批零件的长度误差X 服从正态分布，其密度函数()2,Nμσ的曲线如图所示，从中随机取一件，其长度误差落在内()()222,x x e μσμσϕ-=()6,3--的概率为______．（附：若随机变量服从正态分布，则，ξ()2,N μσ()0.6826P μσξμσ-<≤+=，）()220.9544P μσξμσ-<≤+=()330.9974P μσξμσ-<≤+=【答案】0.1359【分析】根据正态分布图特点，可以得到和的值，进而利用“”原则求解即可.μσ3σ【详解】由正态分布图特点，观察得：，，0μ=3σ=()()66220.9544P P ∴-<≤=-<≤+=ξμσξμσ()()330.6826P P -<≤=-<≤+=ξμσξμσ()0.95440.6826630.13592P -∴-<<-==ξ故答案为：.0.135916．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，1A 和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，2A 3A 以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是______．①事件，相互独立；②；③；④；⑤1A 2A ()315P A =()922P B =()2911P B A =．()159P A B =【答案】③⑤【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是1A 2A 3A ()12P A A ()()12P A P A ⋅否相等，可确定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断()3P A ④⑤.【详解】依题意，，和是两两互斥事件，1A 2A 3A ，，()1515232P A ==++()2215235P A ==++()33352310P A ==++又，①②错误；()()()12120P A A P A P A =≠⋅ ∴又，，()()()11115525331112P BA P B A P A ⨯++=== ()()()22214454431115P BA P B A P A ⨯++===()()()3333441043431110P BA P B A P A ⨯++===()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅，③正确，④错误；5141439112115111022=⨯+⨯+⨯=，⑤正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===故答案为：③⑤.四、解答题17．已知集合．{}123A x m x m =-≤≤+(1)当时，求，；2m =A B ()R A B⋂ (2)若，求实数的取值范围．A B A = m 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答.①函数．②不等式的解集为．y =B 811x <-B 注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或 (2)()(),110,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据题意分别求出集合和的解集，求解计算即可；（2）根据题意得A B ，再分和两种情况讨论求解即可.A B ⊆A =∅A ≠∅【详解】(1)选条件①：根据题意，当时，，，2m ={}17A x x =≤≤{}R|17A x x x =或因为函数的定义城为集合，题即，解得或，y =B 21090x x -+>1x <9x >所以，{}|19B x x x =<>或所以，；{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或选条件②：根据题意，当时，，，2m ={}17A x x =≤≤{}R |17A x x x =或因为不等式的解集为，所以，即，解得或811x <-B 901x x -<-()()190x x --<1x <，所以，9x >{}|19B x x x =<>或所以，{}|79A B x x x 或=≤> (){}R |19A B x x x ⋂=或 (2)根据题意，不论选条件①和②，，若，则，分{}|19B x x x =<>或A B A = A B ⊆两种情况讨论：当时，有，解可得；A =∅123m m ->+4m <-当时，若有，则或，A ≠∅AB ⊆123231m m m -≤+⎧⎨+<⎩12319m m m -≤+⎧⎨->⎩解得或，41m -≤<-10m >综上可得，的取值范围是．m ()(),110,-∞-⋃+∞18．甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过35测试的概率是．45(1)甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；(2)在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．【答案】(1)54125(2)710【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）利用条件概率以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．【详解】(1)解：设“甲恰有两轮通过测试”为事件，则；A ()2233354C 155125P A ⋅⎛⎫⎛⎫⎪=⋅-=⎪⎝⎭⎝⎭(2)解：设“选中甲”为事件，“选中乙”为事件，“通过测试”为事件，B C D 根据题意得，，，，()()12P B P C ==()35|P D B =()45|P D C =则，()()()()()|1314725|2510P D P B P D B P C P D C =+=⨯⨯=⋅⋅+所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．71019．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性y x r y x相关；（2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置22⨯90%新能源乘用车与性别有关；参考公式：，，其中r =22()()()()()n ad bc k a b c da cb d -=++++，若，则可判断与线性相关.n a b c d =+++25≈0.9r >y x 附表：20()P K k ≥0．100.050.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】（1），与线性相关（2）填表见解析，有90%的把握认为购车车0.94r ≈y x 主是否购置新能源乘用车与性别有关【解析】（1）计算出，，，，再代入相关x y 51()()iii x x y y =--∑521()ii x x =-∑521()ii y y =-∑系数公式计算可得；（2）依题意，完善表格计算出与参数数据比较可得.2K 【详解】解：（1）依题意，，2014201520162017201820165x ++++==810132524165y ++++==故51()((2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，，521(411410ii x x =-=+++=∑521()643698164254ii y y =-=++++=∑则0.940.9r ===≈>故与线性相关.y x （2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18624女性车主246总计2010302230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.【点睛】本题考查利用相关系数判断两个变量的相关程度，以及独立性检验，考查计算能力，属于基础题.20．（1）若展开式中的系数是30，求m 的值；()1021⎛⎫++ ⎪⎝⎭x m x x 6x （2）求展开式中的有理项．61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）2m =-33660164,240,,x x x【分析】（1）求出的展开式的通项，再令和，结合题意可101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1024r -=1026r -=得出答案；（2）求出的展开式的通项，再令的指数为整数，从而可得出答案.61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 【详解】解：（1）的展开式的通项为，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，[]0,10,Zr r ∈∈令，则，1024r -=3r =令，则，1026r -=2r =故展开式中的系数是，()1021⎛⎫++ ⎪⎝⎭x m x x 6x 321010C C 30m +=即，1204530m +=所以；2m =-（2）的展开式的通项为，61x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(()636621661C 12C kkkk kk kk T x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，[]0,6,Zk k ∈∈当时，为整数，0,2,4,6k =632k-所以展开式中的有理项为.61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭33660164,240,,x x x 21．某超市“五一”劳动节举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于400元，均可抽奖一次，她奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折，若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．(1)若甲、乙两顾客均消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．(2)若顾客丙消费恰好满800元，试比较说明该顾客选择哪种方案更划算．【答案】(1)；825(2)丙选择方案一更划算.【分析】（1）先求出每人享受折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解；6（2）若丙选择方案一，设其所需付的钱为，求出相应的概率，分布列以及数学期望X ，若丙选择方案二，设其所需付的钱为，求出数学期望，比较和()E X Z ()E Z ()E X 的大小即可做出选择.()E Z 【详解】(1)由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A ，则()2326C 1C 5P A ==∴甲、乙两人其中有一人享受6折优惠的概率为．()()12118C 1215525P P A P A ⎛⎫=⋅⋅-=⨯⨯-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(2)若丙选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为480，640，800．则，，．()2326C 1480C 5P X ===()113326C C 3640C 5P X ===()2326C 1800C 5P X ===故X 的分布列为X 480640800P153515∴（元）．()131480640800640555E X =⨯+⨯+⨯=若丙选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则．800100Z Y =-由已知，可得，故，12,2Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1212E Y =⨯=∴（元）．()()()800100800100800100700E Z E Y E Y =-=-=-=由上知：，()()E X E Z <故丙选择方案一更划算．22．垃圾分类，是指按一定标准将垃级分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个()01p p <<时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.(1)当时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；13p =(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由.【答案】(1)；4181(2)不会超过预算，理由见解析.【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和次独立重复试验的概率计算公式n 进行求解即可；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的所有可能取值为60，100，利用次独立重复试验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求n 出数学期望表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可.【详解】(1)设某个时间段在开启3套系统时就被确定需要检查污染源处理系统的事件为A ，则，()()2322332333331217C 1C C C 33327P A p p p ⎛⎫⎛⎫=-+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设某个时间段需要开启另外2套环境监测系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为B ，则．()()()12222113312120C 111C 1133381P B p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=---=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为．72041278181+=(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的所有可能取值为60，100．且，．()()213100C 1P X p p ==-()()213601C 1P X p p ==--．()()()()2221133601C 1100C 1601201E X p p p p p p ⎡⎤=--+-=+-⎣⎦令，，()()21g p p p =-()0,1p ∈则，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--当时，，单调递增，10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g p '>()g p 当时，，单调递减，1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g p '<()g p 所以的最大值为．()g p 14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案的最高费用为（万元）．446900060120107627-⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎝⎭因为，所以不会超过预算．7680<【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件的概率加法公式、次独立重复试验的概率n 计算公式、离散型随机变量的数学期望公式和利用导数判断函数的单调性求最值；通过构造函数，利用导数求最值是求解本题的关键.。

2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3712a a +=，89a =，则12S =（） A ．60 B ．90 C ．120 D ．180【答案】B【分析】结合等差数列的性质求得5815a a +=，再根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为3712a a +=，由等差数列的性质得35762a a a +==，则5815a a +=，所以()()1121258126902a a S a a ⨯+==⨯+=．故选：B.2．等比数列{an }中，若a 5＝9，则log 3a 4+log 3a 6＝（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9【答案】C【分析】利用等比中项得到4681a a ＝，直接求得.【详解】等比数列{an }中，若a 5＝9，所以54681a a a 2＝＝，所以()23436353log log log log 814a a a +==＝. 故选：C3．下列导数计算正确的是（） A ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2311x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()ln e e '+=+x x x xD ．()cos cos sin x x x x x '=-【答案】D【分析】利用求导公式计算. 【详解】对于A ：()222ln 1111ln 1ln ln ln ln '''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⋅=⋅+⋅=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x x x x x x x xx x 故A 错误；对于B ：()2323122--'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭x x x x 故B 错误﹔ 对于C ：()()()1ln ln e e e '''+=+=+xxxx x x故C 错误；对于D ：()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''=+=-故D 正确. 故选：D4．已知函数()2e x f x ax =-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．(,1]-∞ B ．(,2]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，根据导数在给定区间上恒大于等于0即可求解.【详解】'()2e x f x a =- ，因为函数()2e x f x ax =-在[0,)+∞上单调递增，所以'()2e 0x f x a =- 在[0,)+∞上恒成立，解得2a ；故选：B.5．若数列{}n a 满足：11a =，且13,21,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.则7a =（）A ．19B ．22C ．43D ．46【答案】C【分析】直接由递推关系式求解即可.【详解】由11a =得2134a a =+=，32217a a =-=，43310a a =+=， 542119a a =-=，56322a a =+=，672143a a =-=.故选：C.6．设2tan 92,,a b c e ππ===，则a ，b ，c 大小关系是（） A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【答案】B【分析】根据正切函数，指数函数，幂函数的单调性比较a b c ，，的大小，由此确定它们的大小关系.【详解】解：∵92︒是第二象限角，∴tan920a =︒<，又∵34π<<，函数2yx 在()0+∞，上单调递增，函数x y e =在R 上单调递增，所以2234e e ππ<<<，所以c b a >>，故选：B.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（）A ．66B ．91C ．107D ．120【答案】D【分析】根据数列的规律得到第n 个叠放图形中共有n 层，构成等差数列求解. 【详解】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，归纳可得：第n 个叠放图形中共有n 层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列，所以第n 个叠放的图形中小正方体木块的总数是()21422n n n S n n n -=+=-，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是28288120S =⨯-=，故选：D8．已知函数f (x )＝x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中错误的是（） A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】C【分析】由已知结合函数的值域，对称性，极值即可求解．【详解】由三次函数值域为R 知f (x )=0有解，故A 正确；∵23a f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭f （x ）32222()()333a a a x a x b x c ⎛⎫=--+--+--++ ⎪⎝⎭x 3+ax 2+bx +c 342273ab a =-+2c ，3232()()3333273a a a a ab f a b c a c ⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵23a f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭f （x ）23a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴点P 33a a f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为对称中心，故B 正确；若f (x )有极小值点，则f ′(x )=0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)，f ′(x )=3x 2+2ax +b =3(x －x 1)(x －x 2)，则f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增，即x 0=x 2，故C 错误；若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)=0正确，故D 正确. 故选：C. 二、多选题9．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >= ，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC10．下列不等式正确的是（） A ．当x ∈R 时，1x e x ≥+ B ．当0x >时，ln 1≤-x x C ．当x ∈R 时，x e ex ≥ D ．当x ∈R 时，sin x x ≥【答案】ABC【解析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A ：设()1x f x e x =--，则()1x f x e =-'，令()0f x '=，解得0x =，当(,0)x ∈-∞时函数单调递减，当(0,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数在0x =时，函数取得最小值()(0)0min f x f ==，故当x ∈R 时，1x e x +，故A 正确；对于B ：设()ln 1f x x x =-+，所以1(1)()1'--=-=x f x x x，令()0f x '=，解得1x =，当(0,1)x ∈时，函数单调递增，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递减，所以在1x =时，max ()f x f =（1）0=，故当0x >时，1lnx x -恒成立，故B 正确；对于C ：设()x f x e ex =-，所以()x f x e e '=-，令()0f x '=，解得1x =，当(,1)x ∈-∞时，函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以当1x =时，min ()f x f =（1）0=，所以当x ∈R 时，x e ex ，故C 正确；对于D ：设函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-，所以()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，所以0x >时，sin x x 成立，0x <时，()0f x <，故D 错误．故选：ABC11．已知数列{}n a 中的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有1n n a S +≤，则称{}n a 为“和谐数列”，下列结论，正确的有（） A ．常数数列为“和谐数列” B ．12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“和谐数列”C ．{}21n +为“和谐数列”D ．若公差为d 的等差数列{}n a 满足：{}n a n +为“和谐数列”，则1a d +的最小值为-2 【答案】BD【分析】根据给定“和谐数列”的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答. 【详解】对于A ，数列{}n a 中，令n a c =(c 为常数)，n S nc =，当c <0时，322a c c S =>=，此时的常数数列不为“和谐数列”，A 不正确；对于B ，数列{}n a 中，令12n n a =，则112n n S ，111113110222n n n n n S a +++-=--=->，即1n n a S +≤成立，B 正确；对于C ，数列{}n a 中，令21n a n =+，3(21)(2)2n n n S n n ++=⋅=+，2153a S =>=，{}21n +不是“和谐数列”，C 不正确；对于D ，令n n b a n =+，则11(1)()1n n n n b b a n a n d ++-=++-+=+，数列{}n b 是首项为11a +，公差为1d +的等差数列，其前n 项和为n T ，则1(1)(1)(1)n b a n d =++-+，因{}n b 是“和谐数列”，于是有n *∈N ，1n n b T +≤，即有21b T ≤，1121a d a ++≤+，从而得1d ≤-，又111(1)1(1)(1)(1)2n n n n b a n d T n a d +-=+++≤=+++，即211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥对n *∈N 恒成立，若1d =-，则有1(1)(1)0a n +-≥对n *∈N 恒成立，必有110a +≥，即11a ≥-，12a d +≥-，因此，1min ()2a d +=-，若1d <-，则211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+对应的是开口向下的抛物线211(1)(213)(22)y d x a d x a =++---+在x 取正整数时的函数值，由二次函数性质知，当正整数n 足够大时，211(1)(213)(22)d n a d n a ++---+的值是负数，211(1)(213)(22)0d n a d n a ++---+≥不成立，从而只有1d =-，且11a ≥-，1a d +的最小值为-2，D 正确. 故选：BD12．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（）A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++【答案】CD【解析】构造函数()()21f x xg x x -=+，然后求导，可得到函数()g x 的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误.【详解】构造函数()()21f x xg x x -=+，则()()()()()()()()()2222211211f x x x f x x x f x f x x x g x x x '⎡⎤⎡⎤-+--'+---⎣⎦⎣⎦'==++ 因为()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立，所以()()()()()221201x f x f x x x g x x '+---'=<+在()0,x ∈+∞上恒成立，即()g x 在()0,∞+上递减，所以()()21g g <，即()()241132f f --<，整理得：()()22315f f -<，故A 错；所以()()31g g <，即()()391142f f --<，整理得：()()3217f f -<，故C 正确；对于B 选项，若()12f =，1x >，则()()1g x g <在()1,+∞恒成立，所以()()2111122f x x f x --<=+整理得：()21122f x x x <++，所以B 错；对于D 选项，当01x <<时，()()1g x g >，则可得()21122f x x x >++，故D 正确.故选：CD.【点睛】本题考查利用构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否成立的问题，难度一般. 三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则数列{}n a 的第6项是________．【答案】9【分析】依据数列的前n 项和与通项的关系即可求得第6项的值.【详解】22665(6261)(5251)25169a S S =-=-⨯+--⨯+=-=．故答案为：914．若数列{}n a 的通项公式为n a n =-__________．【答案】12-【详解】t =，则27y t t =-，对称轴72t =，由复合函数的单调性性质可知，n a 在490,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，49,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，又n 为整数，则当12n =时，12n a =-13n =时，13n a =-因为1213-<-12-点睛：数列是特殊的函数，本题将数列通项式看做函数，观察函数的性质，得到数列的相关性质．本题中利用复合函数的单调性性质，得到数列n a 在490,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，49,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，再根据n 为整数，计算1213,a a ，比较大小即可． 15．已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线e x b y -=相切，则14a b+的最小值是________．【答案】9【分析】根据题意设直线y x a =+与曲线e x b y -=的切点为()00,x y ，进而根据导数的几何意义得00,1,1x b y a b ==+=，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：根据题意，设直线y x a =+与曲线e x b y -=的切点为()00,x y ，因为()'e e x b x b y --'==，直线y x a =+的斜率为1k =，所以0e 1x b k -==，00y x a =+，00e x by -=所以00,1,1x b y a b ==+=，因为0,0a b >>所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当223b a ==时等号成立.所以14a b+的最小值是9.故答案为：916．设函数222e 1e (),()e +==x x x xf xg x ，对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k 恒成立，则正数k 的取值范围是_____．【答案】1k > 【分析】将不等式12()()1>+f x g x k k恒成立转化为min max ()()1f x g x k k >+，接下来求(),()f x g x的最小值与最大值，列出关于k 的不等式，解k 即可【详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k恒成立 min max()()1f x g x k k ⇒>+由2e (1)()0e xx g x -'== ，得1x = ，(0,1)x ∴∈ 时，()0g x '> ，()g x 在(0,1) 上递增(1,)x ∈+∞ 时，()0g x '< ，()g x 在(1,)+∞ 上递减 max ()(1)eg x g k k k== 由222e 1()0x f x x -'== ，得1e x = 1(0,)e x ∴∈ 时，()0f x '<，()f x 在1(0,)e上递减1(,)ex ∈+∞ 时，()0f x '>，()f x 在1(,)e +∞ 上递增min1()()2e e 111f f x k k k ==+++ 由min max ()()1f x g x k k >+即2e e1k k>+ ，又因为k 为正实数解得1k > 故答案为：1k > 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，111a =-，29a =-，且 11222n n n S S S n +-+-=≥（）(1)求数列{an }的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，数列{bn }的前n 项和为Tn ，求使得Tn ＞0的n 的最大值．【答案】(1)an ＝2n ﹣13 (2)5【分析】（1）消去Sn 得到an +1﹣an ＝2，即可判断出{an }是公差为2的等差数列，求出通项公式；（2）利用裂项相消法求出111211211n T n ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，列不等式即可求解.【详解】(1)由题意知（Sn +1﹣Sn ）﹣（Sn ﹣Sn ﹣1）＝2，解得an +1﹣an ＝2（n ≥2），又a 2﹣a 1＝2，所以{an }是公差为2的等差数列，则an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣13； (2)由题知1111()(213)(211)2213211n b n n n n ==-----，则121111111211997213211111211211111211211n nT b b b n n n n =+++⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭⎛⎫=- ⎪--⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭由0n T >得11201121111(211)n n n +=<--，解得1102n <<，所以n 的最大值为5．18．设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)212n n a -=(2)21(31)229n n n S +-⨯+=【分析】（1）由递推公式结合累加法可得答案；．（2）利用错位相减求和可得答案．【详解】(1)因为数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()23252132222n n ---=⋅++++()()112124132242,241n n n n ----=⨯+=⨯=≥-；经验证，12a =满足上式，所以212n n a -=；(2)212n n n n b na -=⨯=，所以352112222322n n n S b b b n -=+++=+⨯+⨯++⨯，()5212142422122-+=⨯+⨯++-⨯+⨯n n n S n n ，所以()35212121241322222241-++--=++++-⨯=-⨯-n n n n n S n n ，可得21(31)229n n n S +-⨯+=．19．已知函数e ()(ln )=--+xf x a x x a x（a 为实数）．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞ (2)(e,)+∞【分析】（1）求导2(1)(e )()--'=x x ax f x x ，易知1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，然后由()0f x '<和()0f x '>求解；（2）由（1）知，0a 时，不符合题意， 0a >时，根据函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，得到()0f x '=在（0，1）内存在唯一变号零点，转化为ex a x=在（0，1）内存在唯一根求解.【详解】(1)解：函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，22e (1)1(1)(e )()1---⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭x x x x ax f x a x x x ．当1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 的单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞． (2)由（1）知，当0a 时，()f x 在（0，1）内单调递减，所以()f x 在（0，1）内不存在极值点；当0a >时，要使函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，则2(1)(e )()0--'==x x ax f x x 在（0，1）内存在唯一变号零点，即方程e 0x ax -=在（0，1）内存在唯一根，所以e xa x=在（0，1）内存在唯一根，即y a =与()e xg x x =的图象在（0，1）内存在唯一交点，因为2(1)e ()0-'=<xx g x x ，所以()g x 在（0，1）内单调递减．又(1)e g =，当0x →时，()g x ∞→+，所以e a >，即a 的取值范围为(e,)+∞．20．在数列{}n a 中，a 1＝1，an ＝2an ﹣1+n ﹣2（n ≥2）．(1)证明：数列{}n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{an }的前n 项和Sn ．【答案】(1)证明见解析，2nn a n =-(2)21*42()2+++=-∈n n n n S n N【分析】（1）根据定义法证明{}n a n +是等比数列，然后求出数列{}n a n +的通项公式即可得到{}n a 的通项公式（2）根据{}n a 数列通项的特点先分组，再采用公式法求和即可【详解】(1)明：因为111(22)(1)1---++-+=+-+-n n n n a n a n n a n a n ＝1122221--+-=+-n n a n a n ，数列 {an +n } 是首项为 a 1+1＝2，公比为2的等比数列，那么1222n n n a n -+=⋅=，即 2n n a n =-．(2)由（1）知2nn a n =-，123(2222)(123)=+++-++++n n S n＝2(12)(1)122⨯-⨯+--n n n ＝21*42()2+++-∈n n n n N21．已知点()0-2A ，，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 23O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点()0-2A ，的动直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点.当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程.【答案】(1) 2214x y +=.（2）72y - 或72y =-. 【详解】试题分析：（1）由条件知a=2b ， c 3=又3c a =可得a,b ，故得到E 的方程；（2）设出直线l 的方程和点P 的坐标，联立直线l 与椭圆方程，当判别式大于0时，根据韦达定理得根与系数的关系得到PQ 的长．根据点到直线距离公式代入OPQ ∆面积中，得到其关于k 的表达式，根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k 的值，即求得l 的方程.试题解析：(1) 设F(c,0)，由条件知a=2b ，得c 3又3c a =所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=.（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：y=kx-2，设()()1122,,,P x y Q x y将y=kx-2代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，即234k >时，1,2x =,从而12PQ x =-=, 又点O 到直线PQ 的距离d =∆OPQ 的面积12OPQS d PQ ∆==，t ，则t>0，244144OPQ t S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y =- 或2y =-. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22．已知函数()ln 2()f x x x a =+∈R ． (1)当2a =-时，求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 有两个不同零点1x ，212()x x x <， ①求实数a 的取值范围； ②求证：22124a x x ⋅>．【答案】(1)单调递增区间是1(0,)4，单调递减区间是1(,)4+∞(2)①2a >；②证明见解析【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）①函数()f x 有两个不同零点1212,()x x x x <，等价于方程a =有两个不同的实根1212,()x x x x <．设t =ln 2a t t t=-有两个不同的实根()1212,t t t t <．设ln ()(0)tg t t t t=->，由导数确定()g t 的单调性、极值、函数值的变化趋势后可得；②由①1t =，2t 22124a x x ⋅>，只需证2122a t t ⋅>．由①知，1201t t <<<，故有2222ln 2t a t t t =-<，即22a t >．下面证明：121t t ⋅>即可．引入函数()()2221()h t g t g t =-，由导数证明()221()0g t g t ->，利用单调性即可得结论．【详解】(1)对函数()f x求导，得1'()22a f x x =+=当2a =-时，'()f x ==因为函数()f x 的定义域(0,)+∞，由'()0f x >，得104x <<，由'()0f x <，得14x >，所以函数()f x 的单调递增区间是1(0,)4，单调递减区间是1(,)4+∞．(2)由()0f x =，得ln 20x x +=， ①函数()f x 有两个不同零点1212,()x x x x <，等价于方程a =1212,()x x x x <．设t =ln 2a t t t=-有两个不同的实根()1212,t t t t <．设ln ()(0)tg t t t t=->， 2221ln ln 1'()1t t t g t t t -+-=-=，再设2()ln 1u t t t =+-，1'()20u t t t =+>所以函数()u t 在(0,)t ∈+∞上单调递增，注意到2(1)1ln110u =+-=，所以当01t <<时，()0u t <，当1t >时，()0u t >．所以()g t 在（0，1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．当0t +→时，()g t →+∞，当t →+∞时，()g t →+∞，当1t =时，()1g t =，只需12a>，即所求2a >．②注意到1t =2t 22124a x x ⋅>，只需证2122a t t ⋅>．由①知，1201t t <<<，故有2222ln 2t at t t =-<，即22a t >．下面证明：121t t ⋅>．设()()222222222222221lnln 1111()()()()ln 1t t h t g t g t t t t t t t t t t =-=---=--+，有()22222222222211111'1(1)ln ()(1)ln 0h t t t t t t t t t =+---+⋅=--<，所以函数()2h t 在(1,)+∞上单调递增，所以()2(1)0h t h >=，所以()221()0g t g t ->，故有()()2121()g g t g t t <=．又2101t <<，101t <<，且()g t 在(0,1)t ∈上单调递减，所以121t t >，即得121t t ⋅>．因此2122at t ⋅>，结论得证．【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，研究函数的零点问题，解题关键是对两个变量的处理，换元t =121t t >，双变量的处理，先分离，121t t >，利用函数()g x 的单调性，表面上复杂化，证明121()()g t g t >，实质上利用两个变量的关系，此时可以进行消元：12()()g t g t =，因此只要证221()()g t g t >，为此引入新函数，利用导数加以证明．本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，转化与化归能力，属于困难题．。

2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()000lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．1-B ．1C ．12D ．2-【答案】A【分析】根据题意，由导数的定义可得0lim x ∆→000()()()f x x f x f x x+∆-'=∆，即可得答案．【详解】根据题意，函数()y f x =在0x x =处的导数为0()1f x '=-，而0000()()lim ()1x f x x f x f x x∆→+∆-'==-∆，故选：A2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（） A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算，即每人有5种选法，分三步完成，可求得答案.【详解】窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，即每人都有5种选法，分3步完成，故不同的选法有35555⨯⨯= 种，故选：B3．记()02012101101x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12310a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．1024B ．1023C ．1-D ．0【答案】B【分析】利用赋值法求二次项系数和，令0x =求出0a ，再令1x =即可求解. 【详解】由题意可知，令0x =，得()100101a =+=，令1x =，得()1010100121024112a a a a +++⋅⋅⋅++===，所以1231001024102411023a a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-=. 故选：B.4．已知函数()sin f x x mx =-在(),-∞+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-D ．()1,1-【答案】C【分析】求得导数()cos f x x m '=-，根据题意转化为不等式cos x x ≤在R 上恒成立，结合余弦函数的值域，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x mx =-，可得()cos f x x m '=-，因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，可得()0f x '≥在R 上恒成立，即不等式cos 0x m -≥在R 上恒成立，即不等式cos m x ≤在R 上恒成立，因为1cos 1x -≤≤，所以1m ≤-，所以实数m 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C.5．将5名临床医学检验专家（3男2女）分配到2家医院进行核酸检测指导，要求每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有（） A ．6种 B ．9种 C ．12种 D ．16种【答案】C【分析】根据题意，先从3名男专家取2名，再分别安排男专家和女专家，即可求解. 【详解】由题意，每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有22223222C C A A 312212=⨯⨯⨯=种.故选：C.6．()712x +的展开式的第4项的系数为（） A ．335x B ．35 C ．3280x D ．280【答案】D【分析】根据二项式的展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意二项式()712x +的展开式的第4项为33347C (2)280T x x ==，所以展开式中4项的系数为280. 故选：D.7．某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【答案】C【分析】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法；从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法，由分步计数原理，可得共有339⨯=种不同的走法. 故选：C.8．过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（）A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线，设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--，将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+即3200230x x a b -+-=（）由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u = 当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =，故选：A. 二、多选题9．下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x'⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()22ln 2x x '=⋅C ．222e e x xx x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．()22cos 2cos sin x x x x x x '⋅=⋅+⋅【答案】BC【分析】根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可. 【详解】A 选项，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误； B 选项，()22ln 2x x '=⋅，故B 选项正确；C 选项，22222?·2()x x x x xx x e x e x x e e e '⎛⎫--== ⎪⎝⎭，故C 选项正确； D 选项，()222cos 2cos (sin )2cos sin x x x x x x x x x x '⋅=⋅+⋅-=⋅-⋅，故D 选项错误；故选：BC.10．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行. 甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（）A ．若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案B ．安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法C ．若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案D ．已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】ACD【分析】根据分组分配法即可判断AC ，根据捆绑法可以判断B ，根据特殊位置优先安排可判断D ．【详解】解：对于A ：若每个比赛区至少安排1人，则有2454C A 240=种不同的方案，故A 正确；对于B ：把甲乙捆绑在一起，看作一个复合元素，再和另外的三人全排，则有2424A A 48=种，故B 错误；对于C ：短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有2353C A 60=种不同的方案，故C 正确；对于D ：先排前排，由25A 20=种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有22A 2=种，则有20240⨯=种，故D 正确．故选：ACD11．若()()()()22*012121212nn n x x x a a x a x a x n ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+∈N ，06a =，则下列结论中正确的是（） A ．12n = B ．142a = C ．064ni i a ==∑D ．()116nii i ia =-=∑【答案】BD【分析】对于A ，根据已知条件及赋值法令0x =即可求解；对于B ，利用二项式展开式的通项公式求指定项系数即可；对于C ，利用赋值法求二项式系数令1x =即可求解；对于D ，根据已知等式两边同时求导数再利用赋值法令1x =-即可求解.【详解】对于A ，由题意可知，令0x =时 ()()()201201201206na +⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯==，解得6n =，故A 不正确；对于B ，由()12n x +展开式的通项公式为()1C 122C rr n r r r rr n n T x x -+=⋅⋅=⋅⋅，由6n =，得()()()26121212x x x ++++⋅⋅⋅++展开式中含x 的项的系数和为111111111123461522C 2C 2C 2C 2C 2468101242a =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=，故B 正确；对于C ，令1x =，得660122603309231i i a a a a a ==+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+==++∑，故C 不正确；对于D ，对()()()22012121212nn n x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，两边同时求导，得()()()6255122121231261226x x x a a x a x ⎡⎤+++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+⎣⎦，令1x =-，得12345623456a a a a a a -+-+-()()()()()2345212123124125126126⎡⎤=+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-⎣⎦. 所以()1234561234566a a a a a a -+-+-+=()()612345611234566iii ia a aa a a a =-=-+-+-+=∑，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()ln x f x x=，e是自然对数的底数，则（） A ．()f x 的最大值为1eB ．π2π2ln 33ln π3ln 2>>C ．若1221ln ln =x x x x ，则212e x x +=D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则212e x x > 【答案】ABD【分析】对于A ，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B ，根据函数()ln xf x x=的单调性，即可判断；对于C ，构造函数()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈，判断其单调性，结合1221ln ln =x x x x 即()()12f x f x =即可判断；对于D ，将()()12f x f x =展开整理得12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，然后采用分析法的思想，推出1121222(1)ln1x x x x x x ->+，构造函数2(1)(1)ln u t t t t --=+，求其最小值即可判断. 【详解】由题意得()ln x f x x =，则21ln ()xf x x -'=，当0e x << 时，()0f x '>，()f x 递增，当e x > 时，()0f x '<，()f x 递减，故max 1()(e)ef x f ==，故A 正确；由于3π<，由于当e x > 时，()f x 递减，故(3)(π)f f > ，即ln 3ln π,2πln3>23ln π3π>⨯ ，即π22ln33ln π>，因为ln 2ln 4(2)(4)(π)24f f f ===< ，故ln 2ln π,3πln2<32ln π2π<⨯，即2π3ln π3ln 2>，故π2π2ln 33ln π3ln 2>>，故B 正确；因为1221ln ln =x x x x ，即121122ln ln ,()()x x f x f x x x ==，设()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈ ，由于当0e x << 时，()f x 递增，当e x > 时， ()f x 递减，故()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈单调减函数，故()(0)0g t g <=，即(e+)<(e )f t f t -，由于12()()f x f x =，不妨设20e x <<，则122e x x <- ，即212e x x +<，故C 错误；对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，不妨设210x x << ，即1212ln ln x x x x =，设1212ln ln x x m x x ==，则1122ln ,ln x mx x mx ==，则12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，1212ln ln x x m x x -=-，而212121212121222()ln ln e ln ln 2x x x x x x x x x x x m x -+>⇔+>⇔>-+>⇔112112112222l 2(1n )2()ln 1ln x x x xx x x x x x x x --->⇔>++⇔ ，设211,x x t => 令2(1)(1)ln u t t t t --=+ ，则2222(1)2(1)(1)0(1)(11)()t t t t t u t t t '+----=>++=，即2((1)ln ,(11))t u t t t t -->+=为单调增函数，故()(1)0u t u >=，即1121222(1)ln1x x x x x x ->+成立，故212e x x >，故D 正确，故选：ABD 三、填空题13．若()1nx +的展开式中，2x 的系数为15，则n =___________. 【答案】6【分析】先求得()1nx +的展开式的通项公式，再根据2x 的系数为15求解. 【详解】因为()1nx +的展开式的通项公式为1rn r r n T x C -+=，且2x 的系数为15，所以2215n nn C C -==，即()1152n n -=，解得5n =-(舍)或6n =. 故答案为：614．若()()3log 0f x x x =>，则()1f '=________. 【答案】1ln 3【分析】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，所以()11ln 3f '=. 故答案为：1ln 3. 15．在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所示的前n 个数字之和为________.【答案】32n C +【分析】根据组合数的运算性质，即可容易求得. 【详解】由表格可知，所求数列的前n 项和为：2222322223413341n n C C C C C C C C ++++++=++++322323441512n n n C C C C C C ++++++=++=.故答案为：32n C +.【点睛】本题考查组合数的运算性质，属中档题. 四、双空题16．若函数()()()()()()32112f x x x x x x x =---++，则()1f '=________；曲线()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-在点()1,8ln 2处的切线方程为________.【答案】 12 338ln 20x y +--=【分析】根据题意求得()f x '，得出()1f '的值，再结合导数的几何意义，求得切线的方程，得到答案. 【详解】由题意，函数()()()()()()()()()()32112(1)[3212]f x x x x x x x x x x x x x =---++=---++，可得()()()()()()()()()()1[(3)212]1[3212]f x x x x x x x x x x x x x '''=---+++---++()()()()()()()()[(3)212]1[3212]x x x x x x x x x x x '=--+++---++ 所以()12(1)12312f '=-⨯-⨯⨯⨯=；又由()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-，可得1|4ln 48ln 21030x y ==+=+-，且()()()()()2222ln 3ln 34331ln 3x x x x y x xx f x f x +-+-'=+⨯++--'' ()()()()2221ln 324331ln 3x x x f x f x x x x x ⎛⎫'- ⎪⎝+-+⎭=+⨯++-，所以()()12103034|333110132x y -+-⨯'=++-⨯=-+-，即切线的斜率为3k =-，所以曲线在点()1,8ln 2处的切线方程为8ln 23(1)y x -=--，即338ln 20x y +--=. 故答案为：12；338ln 20x y +--=. 五、解答题17．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.(1)一共能组成多少个不同的三位数？(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？【答案】(1)120 (2)40【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数．（2）大于500的三位数，则百位应该从5或6中选一个，其他的从剩下的五个里面选2个进行排列，再根据分步计算原理即可得到结果．【详解】(1)解：（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为36A 654120=⨯⨯=.(2)解：百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，则有1225C A 40⨯=个大于500的三位数.18．已知函数()2ln x f x x x-=-． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,e 上的最值．【答案】(1)单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞ (2)()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1【分析】（1）对函数()f x 求导，通过导函数的正负判断()f x 的增加区间；（2）根据（1）中的单调性可得()f x 的极值，与区间端点值比较可得最值. 【详解】(1)由题意知：()()220x f x x x -'=>．令()0f x '=，解得2x =．2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示.所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞． (2)结合（1）的结论，列表如下：所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．19．在二项式12nx ⎛+ ⎝的展开式中.(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若n 为满足812n <<的整数，且展开式中有常数项，试求n 的值和常数项.【答案】(1)展开式中二项式系数最大的项为3563T x -=，362252x T -=(2)9n =，常数项为7672T =【分析】（1）根据已知条件可得出关于n 的等式，结合N n *∈可求得n 的值，利用二项式系数的单调性可结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项；（2）设第1r +项为常数项，则r 为整数，写出二项展开式通项，令x 的指数为零，可得出32rn =，根据812n <<可求得整数r 的值，进而可求得n 的值，再利用二项式定理可求得展开式中的常数项.【详解】(1)解：由已知()212101C C C C C C 1462n n n n n n n n n n n n ---++=++=++=，整理得2900n n +-=，即()()9100n n -+=，N n *∈，解得9n =. 则展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，即(5443591C 632T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，(43552691C 2522T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)解：设第1r +项为常数项，则r 为整数，(322211C C 22n rr n rr r r nr nnT xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，即32rn =，所以81322r <<，可得1683r <<，解得6r =或7r =. 当6r =时，9n =；当7r =时，212n =（不合题意舍去），所以9n =. 常数项为6379C 2672T =⋅=.20．已知函数()()()2f x x x c c =-∈R . (1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，求c 的取值范围．【答案】(1)6c = (2)2(,)3+∞【分析】（1）求导因式分解后可得当3c x =时，()f x 有极大值，故此时23c=，所以6c =.（2）即()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，所以23c >.【详解】(1)因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()()()22343f x x cx c x c x c '=-+=--.当0fx，即3cx =，或x c =时，函数()f x 可能有极值.由题意，当2x =时，函数()f x 有极大值，所以0c >.当x 变化时，f x ，()f x 的变化情况如下表所示：x,3c ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 3c,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭c(),c +∞f x+-+()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当3c x =时，()f x 有极大值，此时23c=，所以6c =.(2)由（1）可知：()()()3f x x c x c '=--，当0fx时，3cx =，或x c =.由题意，()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，所以()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，由（1）知，()f x 在[,]3c c 上单调递减，所以23c >，解得23c >，或2c ≥，即23c >.综上所述，c 的取值范围是2(,)3+∞.21．如图，实线部分的公园是由圆P 和圆Q 围成，圆P 和圆Q 的半径都是2千米，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地ABCD ．若要建的活动场地ABCD 为等腰梯形，且AD 必须切圆Q 于P ，APB θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)记活动场地ABCD 的面积为()S θ，求()S θ的表达式；(2)当θ为何值时，活动场地ABCD 的面积最大，并求最大面积．【答案】(1)()π()4sin sin cos 02S θθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米）【分析】（1）通过对等腰梯形进行分割，结合三角形面积公式即可得结果；（2）通过导数判断函数的单调性，进而可得最值.【详解】(1)由题意：()()1122sin 222sin π222S θθθ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-()π4sin sin cos 02θθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.(2)令()sin sin cos f θθθθ=+，则()()2cos cos cos sin sin 2cos cos 1f θθθθθθθθ'=++-=+-．令()0f θ'=，得1cos 23πθθ==，.又03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>；,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'<，所以()sin sin cos f θθθθ=+在3πθ=处取到极大值也是最大值，故3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米）． 22．已知函数()22ln e x xf x a x=-+． (1)当1ea =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)0x y -= (2)20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据函数零点的存在性定理及利用导数法求函数的单调性及函数的最值，再结合分类讨论即可求解. 【详解】(1)因为()()221ln e x x f x a x-'=-，所以当1ea =时，()11f '=.又因为()11f =，所以()f x 在1x =处的切线方程11y x -=-，所以()f x 在1x =处的切线方程为0x y -=.(2)因为()()2ln e xx x ax f x x+-=，其中0x >，设()()2ln e xg x x x ax =+-，则()()()12e x x ax g x x+-'=，当0a ≤时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞单调递增，()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，即()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，设()2e x h x ax =-，()()1e xh x a x '=-+，所以()0h x '<， ()h x 在()0,+∞上单调递减. 又()020h =>，2222e 0a h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以020,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h x =，即00e 2xax =，当()00,x x ∈时，()0h x >，此时0g x ，所以()g x 在()00,x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞单调递减. 所以()g x 在()0,+∞有极大值()0g x ，即()()()()00000000max 2ln e 2ln 22ln 1x g x x x ax x x x x =+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦若00ln 10x x +-≤，则()0g x ≤，所以()0≤f x ，()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意.… 若00ln 10x x +->，设()ln p x x x =+，()110p x x'=+>，所以()p x 在()0,+∞单调递增. 又()11p =，所以01x >.因为()()e 1e 0x x x x '=+>，所以e x y x =在()0,+∞单调递增，所以002e e x x a=>，即20e a <<，此时()00g x >，()00f x >因为111e e11122(1)e 2e 0e e e e g a a -⎛⎫=-+-=-+-< ⎪⎝⎭， ()g x 在()00,x 单调递增，()00g x >，所以101,e x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =.又因为e 11ln x x x x ≥+>-≥，e 1x x x ≥+>，所以444444442ln 4e 2ln e e 0aa a g a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 因为()g x 在()0,x +∞单调递减，()00g x >，且因为020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以04x a >，所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =．综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】解决此类题型的关键第一问直接利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问利用零点的存在性定理及导数法求函数的单调性和最值但要注意对参数进行分类讨论.。

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列选项中，与36C 相等的是（） A ．35C B ．35AC ．25AD ．4!【答案】C【分析】先求出36C 的值，然后逐个求解判断即可【详解】36C 20=，对于A ，3512C 00=≠，所以A 错误，对于B ， 35A 5436020=⨯⨯=≠，所以B 错误，对于C ，25A 5420=⨯=，所以C 正确，对于D ， 4!43212420=⨯⨯⨯=≠，所以D 错误，故选：C2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【分析】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为1,2,3,4），掷出点数的数学期望为（） A ．2 B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】B【分析】由题意得到掷出点数的可能取值及各个取值的概率，由期望公式求解即可. 【详解】掷一枚质地均匀的正四面体骰子，掷出点数的可能取值为1,2,3,4，且掷出每种点数的概率均为14，则掷出点数的数学期望为()11234 2.54+++⨯=，故选：B4．5(2)x y -的展开式中，含32x y 的系数为（） A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-【答案】A【分析】在二项展开式的通项公式中,令y 的幂指数等于2,求出r 的值，即可求得展开式中含32x y 的系数．【详解】依题意可知,555155(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=⋅⋅⋅-,故含32x y 系数为352280C ⋅=.故选:A .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.5．在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点， ∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+，∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+．故选：B ．6．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（） A ．36 B ．72 C ．600 D ．480【答案】D【解析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．直三棱柱111ABC A B C -中，11111π,,,2BCA AC BC CC A M MB A N NC ∠=====，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（） A ．3010B ．22C ．110 D ．25【答案】A【分析】根据几何体特点建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式即可得出异面直线所成角.【详解】如图所示，以C 为原点，以1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设12AC BC CC ===，可得()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,2M ， ()1,0,2N .()1,0,2AN ∴=- ，()1,1,2BM =-130cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅-∴===⋅ 故BM 与AN 30故选：A.8．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B 两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（） A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】C【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A 队伍检测，②2人到A 队伍检测，③1人到A 队伍检测，④0人到A 队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.【详解】先进行分类：①3人到A 队伍检测，考虑三人在A 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；②2人到A 队伍检测，同样要考虑两人在A 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；③1人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有23A 6=种方案；④0人到A 队伍检测，要考虑两人在B 队的排队顺序，此时有33A 6=种方案；所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种. 故选：C 二、多选题9．下列结论正确的是（） A ．乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项B ．一个含有5个元素的集合有32个子集C ．正十二边形对角线共有54条D ．4名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是43 【答案】BC【分析】对于A ，利用多项式的乘法分析判断，对于B ，利用求子集个数的公式计算，对于C ，利用多边形对角线条数的公式计算，对于D ，由每名工人有3种休息方法进行判断【详解】对于A ，乘积()()1212n n a a a b b b ++++++展开后共有2n 项，所以A 错误，对于B ，一个含有5个元素的集合有5232=个子集，所以B 正确，对于C ，正十二边形对角线共有12(123)542⨯-=条，所以C 正确，对于D ，由题意可得每名工人有3种休息方法，所以4名工人共有43种休息方法，所以D 错误，故选：BC10．下列命题是真命题的有（）A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN 共面，可得A ，B ，M ，N 共面，A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a b ⊥，可得l 与m 垂直，B 正确；对于C ，0110a n ⋅=-+=，故a n ⊥，可得l 在α内或//l α，C 错误；对于D ，(1,1,1)AB =-，易知n AB ⊥，故10u t -++=，故1u t +=，D 正确. 故选：ABD.11．下列命题中，正确的是（）A ．若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 独立 B ．已知随机变量X 的方差为()V x ，则()23V X -=()4V XC ．已知随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则E （X ）=2D ．已知随机变量X 服从正态分布()21,B σ，若()30.8P X <=，则()110.3P X -<<=【答案】BCD【分析】对A ：由互斥事件与独立事件的定义即可判断；对B ：由方差的性质即可判断；对C ：由二项分布的期望公式即可判断；对D ：利用正态分布的对称性即可判断. 【详解】解：对A ：由互斥事件与独立事件的定义，设事件A 、B 都是概率不为0的事件，若事件A 与事件B 是互斥事件，则()0P AB =，而若事件A 与事件B 是相互独立事件，则()()()0P AB P A P B =≠，故选项A 错误；对B ：由方差的性质可知，随机变量X 的方差为()V X ，则()23V X -=()()224V X V X =，故选项B 正确；对C ：由随机变量X 服从二项分布16,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故选项C 正确；对D ：由随机变量X 服从正态分布()21,B σ，()30.8P X <=，则()()()()1113310.80.50.3P X P X P X P X -<<=<<=<-<=-=，故选项D 正确. 故选：BCD.12．如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连接PC ，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，它们共面的概率为0.2B ．存在某个位置，使得PC 与BD 所成角为60°C ．PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大 D ．当二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离最大【答案】AC【分析】对于A ：利用古典概型的概率公式直接求概率，即可判断；对于B ：连结AC 交BD 于E .证明出BD ⊥面PCE ，得到BD ⊥PC .即可判断；对于C ：证明出ECP ∠=45°时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大，从而三棱锥P -BCD 的体积最大；对于D ：求出二面角P -BD -C 大小为90°时，点D 到面PBC 的距离12155d =. 求出特殊位置当2PC =时，点D 到面PBC 的距离所以2263d =.判断出12d d <.即可否定结论.【详解】对于A ：任取三棱锥P -BCD 中的三条棱，有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种，其中共面一共有4种，故概率为40.220=.故A 正确；对于B ：连结AC 交BD 于E .因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥,即CE BD ⊥,PE BD ⊥. 又CE PE E ⋂=,所以BD ⊥面PCE ，所以BD ⊥PC . 故B 错误；对于C ：因为BD ⊥面PCE ，所以点P 在底面的射影落在直线AC 上，即ECP ∠为PC 与平面BCD 所成角，即ECP ∠=45°.因为CE PE =，所以45ECP EPC ∠=∠=︒，所以90CEP ∠=︒，即EP EC ⊥. 又EP BD ⊥，BD EC E ⋂=,所以EP ⊥面BCD .此时三棱锥P -BCD 的高为EP 最大.所以1133P BCD BCDBCDSh SEP V -=≤.所以PC 与平面BCD 所成角为45°时，三棱锥P -BCD 的体积最大. 故C 正确；对于D ：因为BD ⊥面PCE ，所以CEP ∠即为二面角P -BD -C 的平面角，即90CEP ∠=︒. 此时设点D 到面PBC 的距离为1d .因为90CEP ∠=︒，2sin 603CE PE ==︒=，所以22336PC CE PE =+=+=. 所以222116615422222PBCSPC CB PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由等体积法可得：P BCD D PBC V V --=，即1111152333232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得：12155d =. 当2PC =时，三棱锥P -BCD 的各边长均为2，为一个正四面体.此时记点D 到面PBC 的距离为2d ，则2d 为正四面体的高. 如图示：过C 作CF PB ⊥于F ,则3sin 6023CF BC =︒==过D 作DG ⊥面PBC 于G ,则G 为△PBC 的中心，所以2233CG CF ==.所以2d DG ==因为(122201515d d -==<，所以12d d <.故D 错误. 故选：AC.【点睛】（1）立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量；（2）①立体几何中的几何关系的证明，用判定定理；②立体几何中的计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．三、填空题13．6x⎛+ ⎝的展开式中常数项是___________（用数字作答）.【答案】240【分析】根据二项式定理，可知6x⎛ ⎝的展开式通项为163622r rr r T x C +-=，令3602r -=，求出4r =，带入通项公式，即可求出结果.【详解】因为6x⎛+ ⎝的展开式通项为36621662rr r r r r r x xT C C -+-==，令3602r -=，则4r =，所以6x ⎛ ⎝的展开式中常数项是446622240r r C C ==. 故答案为：240.14．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，112AM MC =，点N 为B 1B 的中点，则||MN =___________.【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，即可求解.【详解】如图所示，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()113,0,0,0,3,3,3,3,0,3,3,3A C B B ，因为112AM MC =，点N 为1B B 的中点，所以()111,1,13AM AC ==-，所以(2,1,1)M ，3(3,3,)2N ，11,2,2MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭故2221211222MN ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭21. 15．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约80%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过40分钟，这些人的近视率约为90%，现从玩手机不超过40分钟的学生中任意周查一名学生，则他近视的概率为___________. 【答案】31400.775 【分析】利用条件求出每天玩手机不超过40分钟的学生的人数及其中近视的人数，再进行概率估计．【详解】解：设该校共有a 名同学，则约有80%0.8a a ⨯=名学生近视，20%0.2a a ⨯=名学生每天玩手机超过40分钟且玩手机超过40分钟的学生中有0.290%0.18a a ⨯=名学生近视．所以有0.8a 名学生每天玩手机不超过40分钟且其中有0.80.180.62a a a -=名学生近视．所以从每天玩手机不超过40分钟的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为0.62310.840a a =．故答案为：3140． 16．某部件由三个电子元件按如图方式连接而成，该部件要正常工作，需满足：①元件D 正常工作；②元件C 正常工作或部件A ，B 同时正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，那么该部件的使用寿命超过100小时的概率为___________．【答案】516【分析】由三个电子元件的使用寿命均服从正太分布N (100，225)可知每个元件使用寿命超过100小时的概率均为12，根据独立事件概率计算方法即可计算该部件的使用寿命超过100小时的概率.【详解】因为三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (100，225)，且各个元件相互独立，故每一个元件能用100小时以上的概率均为12，设A 元件能用100小时以上为事件A ，B 元件能用100小时以上为事件B ，C 元件能用100小时以上为事件C ，D 元件能用100小时以上为事件D ，则该部件的使用寿命超过100小时的概率为：()()()()()()()()()()()P D P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A B P C P A P B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111155522222816⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：516．四、解答题17．已知n 为偶数，2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++.(1)当10n =时，求8a 的值； (2)证明：10242n n a a a a -++++=.【答案】(1)845a = (2)证明见解析【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，（2）利用赋值法，分别令1x =-和1x =，然后将得到的式子相加可得答案【详解】(1)当10n =时，8222291010()45T C x C x x =-=⋅=，故845a =(2)当1x =-时，012(11)nn a a a a +=-+-+即0122n n a a a a -+-+=①当1x =时，012(11)n n a a a a -=++++ 即0120n a a a a ++++=②.由①②相加得：()02422n n a a a a ++++=即有10242n n a a a a -++++=. 18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =3，2BM MC =，且PB ⊥AM ．(1)求AD 的长；(2)求二面角P -AM -D 的正弦值.【答案】(1)33 213 【分析】(1)以{},,DA DC DP 为一组基底，建立空间直角坐标系，设3BC a =，求出各点坐标，根据0PB AM ⋅=求出a 的值，从而确定AD 的长度；(2)求出平面P AM 和平面DAM 的法向量，利用向量方法即可求二面角的余弦值和正弦值．【详解】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，∴不妨以{},,DA DC DP 为一组基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设3BC a =，则()()()()3,3,0,0,0,3,2,3,0,3,0,0,B a P M a A a则()()3,3,3,,3,0PB a AM a =-=-， PB AM ⊥，则2390PB AM a ⋅=-+=，解得3a = 故333AD a ==(2)()()3,3,0,33,0,3AM AP =-=-，设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则11113303330m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取13x =，可得()3,1,3m =， ∵PD ⊥平面AMD ，∴可设平面AMD 的法向量为()0,0,1n =，3313cos ,,13131m n m n m n ⋅===⋅⨯ 因此，二面角P AM D --的正弦值为231321311313⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．19．高二某班级举办知识竞赛，从A ，B 两种题库中抽取3道题目（从A 题库中抽取2道，从B 题库中抽取1道）回答.小明同学对抽取的A 题库中的每道题目回答正确的概率均为12，对抽取的B 题库中的题目回答正确的概率为23.设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X .(1)求X =2时的概率；(2)求X 的分布列及数学期望E （X ）.【答案】(1)512(2)分布列见解析，53【分析】（1）由题意分析：X =2表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，直接求概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3.分别求概率，计算数学期望.【详解】(1)X =2不表示可能答得对A 题库2题，也可能A 题库1题，B 题库1题，所以()11211152222322312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.所以()1111022312P X ==⨯⨯=；()1111121122232233P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；()112132236P X ==⨯⨯=. X 的分布列为：X 01 2 3 P 112 13 51216所以数学期望为：()1151501231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20．如图，底面为正方形的平行六面体1111ABCD A B C D -的各个棱的长度均为12,60CDD ∠=，平面11DCC D ⊥平面,,ABCD M N 分别是11,BC A D 的中点.(1)证明：AN ∥平面1C DM ；(2)求点C 到面1C DM 的距离.【答案】(1)证明见解析2 【分析】（1）利用向量的线性运算判断出1//AN MC ，利用线面平行的判定定理证明//AN 平面1C DM ；（2）以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，用向量法求点C 到面1C DM 的距离. 【详解】(1)由题1111112AN AA A N CC BC CC MC MC =+=+=+= 则1//AN MC 又AN ⊄平面1C DM ，所以//AN 平面1C DM .(2)在平面11CDD C 内，过点D 作DP DC ⊥，由平面11DCC D ⊥平面ABCD 可知：DP ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形.现以{},,DA DC DP 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则 ()()()10,0,0,1,2,0,0,3,3D M C设(),,m x y z =为平面1C DM 的法向量，则100m DM m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20,330.x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1y =-,则()2,1,3m =-.又()0,2,0C ，所以()0,2,0DC =则0202m DC ⋅=-+=-则点C 到面1C DM 的距离为：22.28m DCh m ⋅===21．某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测.当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测4次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为100元，合格零件的售价为180元/件.现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以20元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为30元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8. ①记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列和数学期望.②小明说，对于不合格零件，直接按照废品处理更划算，从利润的角度出发，你同意小明的看法吗？试说明理由.【答案】(1)0.0243(2)①分布列见解析，73.8（元）；②不同意小明的看法，因为修复不合格雪件获得利润的数学期望更大【分析】（1）根据题意，由第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格求解；（2）①易得X 可取80，50，110-，求得相应的概率，列出分布列，再求期望；②由两个期望比较下结论.【详解】(1)解：若此批零件检测末通过，恰好检测4次，则第四次检验不合格，前三次有一次检验不合格，故恰好检测4次的概率1230.1(10.1)0.10.0243P C =⨯⨯-⨯=.(2)①由题意可得，合格产品利润为80元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为110-元，则X 可取80，50，110-，故()800.9P X ==，()500.10.80.08,P X ==⨯=()1100.10.20.02,P X =-=⨯= 故X 的分布列为：故()800.9500.081100.0273.8E X =⨯+⨯-⨯=（元）.②对于不合格零件，直接按照废品处理，则每个零件获得利润的数学期望为： 800.9800.164⨯-⨯=（元）又6473.8<故不同意小明的看法，因为修复不合格零件获得利润的数学期望更大22．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =.(1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标；②若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .【答案】(1)[0,3,5](2)①32,2,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②2 【分析】（1）根据所给定义可得23a i j k =++，2b i j k =-++，再根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===，①根据空间向量线性运算法则得到1112ED AB AD AA =-++，即可得解； ②依题意1223AC i j k =++、2AM i tj =+且10AM AC ⋅=根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出t ，再根据2(22)AM i j =-及向量数量积的运算律计算可得；【详解】(1)解：由[]1,2,3a =，[]1,1,2b =-，知23a i j k =++，2b i j k =-++，所以(23)(2)a b i j k i j k +=+++-++35j k =+，所以[0,3,5]a b +=；(2)解：设,,i j k 分别为与1,,AB AD AA 同方向的单位向量，则12,2,3AB i AD j AA k ===， ①11ED AD AE =-()1112AD AA AB AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 112AB AD AA =-++ 3222i j k =-++ 32,2,2⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ②由题11223AC AB AD AA i j k =++=++，因为[]2,,0AM t =，所以2AM i tj =+，由1AM AC ⊥知()()122320AM AC i j k i tj ⋅=++⋅+= ()224242630i tj t i j k i tk j ⇒+++⋅+⋅+⋅=()1342423022t t t ⇒+++⋅++= 2t ⇒=-则()22222AM i j i j =-=-22448i j i j +-⋅2=⋅。

2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案

数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，复数21iz =-，则复数z 的模为 A B ．1 C ．2 D ．122．一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21s at =+，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝ A ．12B ．13C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为 A ．2 B 1C 1D ．34．3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A ．34B ．43C ．34C D ．34A5．函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为 A ．10x y +-=B ．10x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-= 6．若函数32()f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数a ﹣b 的值为A ．21B ．﹣21C ．27D ．﹣277．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为A ．349B ．198C ．197D ．3508．设随机变量Y 满足Y~B(4，12)，则函数2()44Y f x x x =-+无零点的概率是 A ．1116B ．516C ．3132D ．12 9．从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A ．140种B ．84种C ．35种D ．70种10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是A B C D 第10题11．设5540145(1)(1)(1)x a x a x a x a =+++++++，则024a a a ++＝A ．﹣32B ．0C ．16D ．﹣1612．对于定义在(1，+∞)上的可导函数()f x ，当x ∈(1，+∞)时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，已知(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．61)3x的展开式中常数项是． 14．若随机变量X~N(μ，2σ)，且P(X ＞6)＝P(X ＜﹣2)＝0.3，则P(2＜X ≤6)＝．15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．16．函数1, 0()ln , 0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知复数22(43)()i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位．（1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()ln=-(a∈R)．f x x ax（1）当a＝2时，求函数()f x的极值；（2）讨论函数()f x的单调性；（3）若对x∀∈(0，+∞)，()0f x<恒成立，求a的取值范围．19．（本小题满分10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．20．（本小题满分12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．附公式及表如下：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，记01122123(, )(1)(1)(1n n n n n F x n a C x a C x x a C x -=-+-+-21111)(1)n n n n nn n n n x a C x x a C x ---+++-+．（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求(1, 2020)F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(, 2020)F x 是关于x 的一次多项式．22．（本小题满分14分）已知函数2()2x a f x e x ax =--，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式2()4f x e >-在(0，+∞)上的解；（2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线x ＝lna 对称的函数为()y h x =，求证：当x ＜lna 时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<．参考答案1．A2．D3．B4．B5．B 6．A7．A8．A9．D10．D11．C12．D13．5314．0.2 15．150 16．(1e，1){0} 17．解：（1）∵复数z 是纯虚数，∴224300m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解得130, 1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故m ＝3，（2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限∴224300m m m m ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得1301m m m m <>⎧⎨<>⎩或或，故m ＞3或m ＜0，∴实数m 的取值范围为(-∞，0)(3，+∞)．18．解：（1）。

山东省聊城市聊城第一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)

山东省聊城市聊城第一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则000()()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．()012f x -'B ．()02f x '-C ．()0f x 'D ．()02f x '2．已知()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（）A ．8-B ．8x-C ．228x -D ．228x 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，则π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f 的值为（）A ．π2B ．π12-C ．1-D ．π-4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（）种．A ．34B ．816C ．216D ．2105．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中一次，则甲命中目标的概率为（）A ．0.6B ．0.625C ．0.5D ．0.36．已知2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是（）A ．4m ≥-B ．4m >-C ．3m >-D ．3m ≥-7．在()()()()2391111x x x x ++++++++ 的展开式中，3x 的系数为（）A ．120B ．84C ．210D ．1268．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,346a f b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a b c>>二、多选题9．随机变量ξ的分布列为：ξ012Pa2b 2b 其中0ab ≠，下列说法正确的是（）A ．1a b +=B ．3()2b E ξ=C ．()D ξ随b 的增大而减小D ．()D ξ有最大值10．已知102(0)ax a⎛> ⎝展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在含6x 的项D ．展开式中含15x 项的系数为4511．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为24125B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C ．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为96625D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为4512．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列选项正确的有（）A ．10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,e)上单调递减C ．126x x +>D ．若221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<三、填空题13．全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________．14．同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则4次试验中至少有2次成功的概率是______________．15．若77017(21)x a a x a x +=++⋯+，则7+11(1)i i i ia =-=∑______________．16．若函数()g x 在区间D 上有定义，且,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈均可作为一个三角形的三边长，则称()g x 在区间D 上为“M 函数”．已知函数()1ln x f x x k x-=-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？18．已知2mx⎛+ ⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12．(1)求m 的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．19．已知函数()2()e 61x f x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值；(2)求函数()f x 在区间[0,6]上的最值．20．将10株某种果树的幼苗分种在5个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需20元，用X 表示补种费用．(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求5个坑中恰有2个坑需要补种的概率；(3)求X 的数学期望．21．为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：容易题中等题难题答对概率0.70.50.3答对得分345(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X ，求随机变量X 的数学期望．22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件，(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a ．23．已知函数()e 3xf x ax =+-在0x =处的切线为=2y -．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．参考答案：1．A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为()f x 在0x x =处可导,所以，由导数的定义可得：()0000000()()()()11limlim 222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-⎡-∆-⎤⎛⎫⎛⎫'=-⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥∆-∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A 2．D【分析】利用二项式定理求得()1nx -的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解之即可求得展开式中的第3项.【详解】因为()1nx -的展开通项为()()1C 11C kkk n kk k k n n T x x -+=-=-，所以()1nx -的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，因为()1nx -的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以26C C n n =，由性质22C C n n n-=得26n -=，故8n =，所以()1nx -展开式中的第3项为()2222381C 28T x x =-=.故选：D.3．B【分析】先对()f x 求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】因为()cos sin f x x x x =-，所以()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，所以ππππsin 66612f ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4．B【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果．【详解】从7人中任选3人，不同的选法有37C 种，而不选男教师的选法有33C 种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有3373C C 34-=种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有44A 24=种．则这7名教师不同的安排方法有3424816⨯=种．故选：B ．5．B【分析】先由题意求得目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次且甲命中目标的概率，再由条件概率公式即可求得结果．【详解】记事件A 为“甲命中目标”，事件B 为“目标至少被命中1次”，则()1(10.5)(10.6)0.8P B =--⨯-=，()0.5(10.6)0.50.60.5P AB =⨯-+⨯=，()0.5()0.625()0.8P AB P A B P B ===．故选：B.6．D【分析】求出导函数，推出12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数m 的取值范围．【详解】2()ln 1f x x x mx =++-在区间(1,2)上为单调递增函数则1()20f x x m x '=++≥在区间(1,2)上恒成立即12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在区间(1,2)上恒成立设1()2h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1,2)x ∈22221))()2012(1(1x h x x x x '=-+=-=<函数()h x 在(1,2)上是减函数，则()(1)3h x h <=-所以3m ≥-．故选：D ．7．C【分析】先通过求出各项二项式中3x 的系数，再利用组合数的性质即可得解.【详解】因为()1nx +的展开通项为1C 1C k n kk k kk n n T x x -+==，所以()1x +的展开式中没有3x 这一项，()21x +的展开式中没有3x 这一项，()31x +的展开式中3x 的系数为33C ，()41x +的展开式中3x 的系数为34C ，……()91x +的展开式中3x 的系数为39C ，所以所求3x 的系数为333434910C C C C 210+++== .故选：C.8．B【分析】由条件可得cos ()sin ()0x f x x f x '⋅+⋅<，考虑构造函数()()cos f x g x x=，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以()tan ()f x x f x '<-⋅可化为sin ()()0cos xf x f x x'+⋅<，即cos ()sin ()0x f x x f x '⋅+⋅<，设()()cos f x g x x=，则()()()()2cos sin cos cos f x f x x f x xg x x x ''+⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递减，因为πππ643<<，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以πππ643πππcos cos cos 643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，即πππ23643f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b a >>，故选：B.9．ABD【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案．【详解】根据分布列的性质得122b ba ++=，即1a b +=，故A 正确；根据期望公式得3()012222b b bE a ξ=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；根据方差公式得222333()(0)(1)(2)22222b b b b bD a ξ=-⨯+-⨯+-⨯222333(0)(1)(1)(2)22222b b b b b b =-⨯-+-⨯+-⨯22959525(424936b b b =-+=--+，因为01b <<，当509b <≤时，()D ξ随b 的增大而增大；当519b <<时，()D ξ随b 的增大而减小，故C 错误；当59b =时，()D ξ取得最大值2536，故D 正确，故选：ABD ．10．BD【分析】由1x =结合展开式的各项系数和得出1a =，再由二项展开式的通项及二项式定理的性质逐一判断即可．【详解】∵展开式的各项系数之和为1024，∴令1x =，得10(1)1024a +=，∵a ＞0，∴a ＝1则二项式为102x⎛ ⎝，其展开式的通项为：()520102211010C C rr rr r r T xx --+==展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024＝512，故A 错误；由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B 正确；令52062r -=，可得285r =不是自然数，则展开式中不存在含6x 的项，故C 错误；令520152r -=，解得2r =，所以展开式中含15x 项的系数为210C 45=，故D 正确，故选：BD ．11．ACD【分析】对于ABC ，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于D ，根据题意得到第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得X 的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有45选择方法，对于A ，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为454A 54322455555125⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，四人去了同一餐厅就餐的概率为154A 5155555125==⨯⨯⨯，故B 错误；对于C ，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为2244C 46449655555625⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ，每个同学选择去第一餐厅的概率为15，所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以14()455E X =⨯=，故D 正确.故选：ACD.12．AD【分析】根据参变分离构造函数()ln xg x x=，根据()g x 的性质，即可判断A ；求导得()f x '，结合10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可判断B ；构造函数()()()()2e ,e,2e F x f x f x x =--∈，利用导数求解12x x +的范围，即可判断C ，根据()21,f f a ⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小关系结合()f x 的单调性即可判断D ．【详解】对于A ，由()0f x =等价于ln xa x=，令()()2ln 1ln ,x x g x g x x x -'==，令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在()0,e 单调递增；在()e,+∞单调递减，当e x =时，()g x 取极大值()1e =eg ，当()1,0x g x <<；当1x >时，()0g x >，()10g =，则121e,e,x x <<>10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确．对于B ，()11axf x a x x-'=-=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1e a <，所以()f x 在(0,e)单调递增，故B 错误；对于C ，由A 可知120e x x <<<，当22e x ≥时，122e x x +>，当()2e,2e x ∈时，令()()()()()()e ln ln 2e 2e 2e ,e,2F x f x x x ax f x a x x =--=-+-∈--，11112e()222e 2e (2e )F x a a a a x x x x x x =-+-=-=----'，()()22e,2e ,2e 2e e x x x x x ∈∴-=-+< ，()()2e 22202e eF x a a x x =->--'∴>，()F x ∴在()e,2e 上单调递增，()()e 0F x F ∴>=，()()2e f x f x ∴>-，则()()222e f x f x >-，又()()21f x f x = ，()()122e f x f x ∴>-，又()f x 在()0,e 上单调递增，12e 2e 0x x >>->，122e x x ∴>-，122e x x ∴+>，综上122e x x +>，故C 错误；对于D ，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12110,,x x a a ⎛⎫⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()110f a f x =-<= ，11x ∴>，()2222ln 2lne 20f f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，22x a ∴<，21221ax x a a-∴-<-=，故D 正确，故选：AD ．13．625【分析】利用分步乘法有理求不同的报名方法种数即可.【详解】由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是5555⨯⨯⨯种，即625种，故答案为：625.14．67256【分析】由题意可知4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得出答案．【详解】同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率为111224⨯=，∴在4次试验中成功次数X ～14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4次试验中至少有2次成功的概率是2234234444131315412167C +C C 44444256256256256⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：67256．15．14【分析】由二项式定理可求0127,,,,a a a a ⋅⋅⋅，利用组合数性质化简+1(1)i i ia -，结合二项式定理求值.【详解】因为()()()()0127071625707777772(1C 12C 122))C 21C 12(1x x x x x x +==+++⋅⋅+⋅+，化简可得0122277777777C 2C 22(1C C 2)x x x x =++++⋅⋅⋅+，又77017(21)x a a x a x +=++⋯+，所以72C ,0,1,2,3,4,5,6,7,i ii a i ==当1,2,3,4,5,6,7i =时，()()()1767!6!C 77C !7!1!61!i i i i i i i i -=⋅=⋅=---+，所以()1+1+1+111766(1)(1)2C (1)7C 214C 2i i i i i i i i i i i a i ---⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅=-⋅=⋅-，所以()()77711+11166111(1)14C214C 2i i i i i i i i i ia ----===-=-=-∑∑∑，所以()()()()()7126+10615246066661(1)14C 12C 12C 12C 12i i i ia =-=-+-+-+⋅⋅⋅+-∑，所以()76+11(1)141214i i i ia =⎡⎤-=+-=⎣⎦∑，故答案为：14.16．()2e 4,-+∞【分析】先由题意得到()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，再利用导数求得()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，从而求得k 的取值范围.【详解】根据题意可知()g x 在区间D 上为“M 函数”，则有()()min max 2g x g x >且()min 0g x >，因为()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为“M 函数”，所以()()min max 2f x f x >且()min 0f x >，因为()11ln 1ln e 1e x f x x k x k x x x -⎛⎫=-+=--+≤≤ ⎪⎝⎭，所以()22111x f x x x x -'=-=，令()0f x '<，得1e x <≤；令()0f x ¢>，得11ex ≤<；所以()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]1,e 上单调递减，则()()max 1f x f k ==，又111e ln 2e e e f k k ⎛⎫=--+=+- ⎪⎝⎭，()11e 1ln e e e f k k =--+=-，则()111e 2e 2e 0e e 2f f ⎛⎫-=-+<-+< ⎪⎝⎭，即()1e e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()min 12e e f x f k ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，所以()22e 2e 0k k k ⎧+->⎨+->⎩，解得2e 4k >-，所以实数k 的取值范围为()2e 4,-+∞.故答案为：()2e 4,-+∞.17．(1)75种；(2)65种【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种数，即可的到答案.【详解】(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，所以共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.答：共有75种不同的建组方案．(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，其中只有医生的情况数有455C =，不可能存在只有护士的情况．故共有70565-=种不同的建组方案.答：共有65种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解.18．(1)7；(2)114﹒【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12列出关于m 的方程，解方程即可求得m ；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】（1）展开式的通项为()152222122rr m m rrr r r mm T C xx C x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，∴展开式中第4项的系数为332m C ⋅，倒数第4项的系数为332m m mC --⋅，33332122m m m m C C --⋅∴=⋅，即611,722m m -=∴=．（2）展开式共有8项，由(1)可得当522rm -为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 114A A A =．19．(1)单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-，极大值是18e -，极小值是54e -(2)最大值为6e ，最小值为54e -．【分析】（1）对()f x 求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）()2()e 45e (5)(1)x xf x x x x x =--'=-+．令()0f x '>，得1x <-或5x >；令()0f x '<，得15x -<<，所以()f x 的单调递增区间是(,1),(5,)-∞-+∞，单调递减区间是(1,5)-．所以()f x 的极大值是1(1)8e f --=，()f x 的极小值是5(5)4e f =-．（2）因为6(0)1,(6)e f f ==，由（1）知，在区间[0,6]上，()f x 有极小值5(5)4e f =-，所以函数()f x 在区间[0,6]上的最大值为6e ，最小值为54e -．20．(1)34(2)135512(3)25元【分析】（1）利用间接法及独立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重复独立实验的概率公式即可得解；（3）根据题意得需要补种的坑数Y 服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的公式求得()E Y ，再由数学期望的性质求得()E X ，由此得解.【详解】（1）依题意，一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，所以其概率2212131C 24P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）得每坑要补种的概率1114P -=，所以5个坑中恰有2个坑需要补种的概率2322513135C 44512P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）设5个坑中需要补种的坑数为Y ，则Y 服从二项分布，即15,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以15()544E Y =⨯=而20X Y =，故()20()25E X E Y ==（元），所以X 的数学期望为25元.21．(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析(2)172【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）根据题意得到X 的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X 的每一个取值的概率求出，从而得到X 的的分布列，从而求得X 的数学期望．【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为4分，要进入决赛，还需要得6分，所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为10.70.70.49P =⨯=；方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为20.30.30.09P =⨯=；方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：30.70.30.21P =⨯=；因为132P P P >>，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.（2）依题意，X 的可能取值为3、7、8、11、12、16，则11771177(3),(7)2221040221020P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯=，11331177(8),(11)221040221040P X P X ==⨯⨯===⨯⨯=，11331133(12)2,(16)221020221040P X P X ==⨯⨯⨯===⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 378111216P740720340740320340所以77373317()3781112164020404020402E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．(1)2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(2)()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；（2）对L 求导，令0L '=得3823ax +=或18x =，讨论3823a +与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的单调性，即可求得最大值．【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．（2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，令0L '=，解得：3823ax +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤，①当38216173a+≤<，即5 6.5a ≤<时，当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '>，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减，∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -；②当38217183a+≤≤，即6.58a ≤≤时，当()13,17x ∈时，0L '>，L 单调递增，∴当17x =时，L 取最大值7a -，综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩23．(1)1a =-；极小值为2-，无极大值(2)2【分析】（1）利用导数的几何意义得到()00f '=，从而求得1a =-，进而利用导数与函数的极值的关系求得()f x 的极值；（2）将问题转化为e 2e 1x x x t +<-恒成立问题，结合（1）中结论得到()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，从而求得()0min 1g x x +=，由此求得[]t 的最大值．【详解】（1）根据题意，易得函数()f x 的定义域为R ，因为()e x f x a '=+，由已知得()00f k '==，即0e 0a +=，则1a =-，所以()e 3x x f x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢>，得0x >；令()0f x '<，得0x <；所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的极小值为()02f =-，无极大值．（2）因为当0x >时，e 10x->，故不等式()e 2xt x t -<+等价于e 2e 1x x x t +<-，令e 2()e 1x x x g x +=-，则()()2e e 3()e 1x x xx g x --=-'，()min t g x <，由（1）得()e 3xx f x =--在(0,)+∞上单调递增，又因为2(1)e 130,(2)e 230f f =--<=-->，所以()f x 在(0,)+∞有唯一零点0x ，且012x <<，所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点，且012x <<，又当()00,x x ∈时，()0f x <，则()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x >，则()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()g x 的最小值为()()0min g x g x =，由()00g x '=得00e 3x x =+，所以()()00000000321e 22e 1x x x g x x x x x +=+=+=-++，因为012x <<，所以()023g x <<，因为()min t g x <，所以[]t 的最大值为2．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下学期期中考试数学试题一、单选题 1．函数21ln 2y x x =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(0,1)(,1)⋃-∞- C ．(,1)-∞ D ．(,)-∞+∞【答案】A【分析】求出导函数，令导函数小于零可得答案. 【详解】设()21ln 2f x x x =-，定义域为()0,∞+，则()1f x x x '=-令()1001f x x x x'=-<⇒<<，故选：A.2．在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，则2022a 的值为（） A ．2- B ．13C ．12D ．32【答案】B【分析】根据递推公式，计算数列的前4项，得出数列的周期，进而求得结果. 【详解】在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，211131122a a =-=-=-，321211133a a =-=-=，4311132a a =-=-=-，所以数列{}n a 的周期为3，20223674=⨯，所以2022313a a ==，故选：B. 3．函数()ln xf x x=的最大值为（） A ．1 B ．eC ．1eD ．2e【答案】C【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；【详解】解：因为()ln x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，令()0f x '>可得0e x <<，令()0f x '<可得e x >，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在()e,+∞上单调递减， ∴函数ln ()xf x x=在e x =处取得极大值，即最大值，所以()()max 1e e f x f ==．故选：C ．4．已知曲线()e xf x =在点()()0,0P f 处的切线也是曲线()()lng x ax =的一条切线，则实数a 的值为（） A ．e 3B ．e 2C ．eD ． 2e【答案】D【分析】求出函数的导函数，即可求出()f x 在点P 处的切线方程，再设1y x =+与()y g x =的切点为(,)m n ，即可得到方程，解得m 、n ，再代入计算可得；【详解】解：因为()e x f x =，所以()01f =，()e xf x '=，所以()01f '=，所以切线的方程为1y x =+，又()ln()g x ax =，所以1()g x x'=，设切线1y x =+与()y g x =的切点为(,)m n ，可得切线的斜率为11m=，即1m =， 1112n m =+=+=，可得切点为(1,2)，所以2ln a =，解得2e a =．故选：D ．5．某人用本金5万元买了某银行的理财产品，该产品按复利计息(把前一期的利息和本金加在一起作为下一期的本金)约定每期利率为5%，已知若存期为m ，本息和为5.5万元，若存期为n ，本息和为5.8万元，则存期为m n +时，本息和为（）(单位：万元) A ．11.3 B ．6.52 C ．6.38 D ．6.3【答案】C【解析】按照复利计算公式，以及指数运算公式，求解. 【详解】由已知得：5 1.05 5.5⨯=m ，5 1.05 5.8⨯=n ，故 5.5 5.85 1.05 6.385+⨯⨯==m n. 故选：C .6．数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈，则12310a a a a 等于（） A ．5513⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10113⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9113⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6613⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据题意得到22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到13n n a =，（2n ≥），再验证113a =满足13n n a =，得到13n n a =()*n N ∈，进而可求出结果.【详解】因为数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈， 22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥）则1113333n n n n a --=-=，则13n n a =，（2n ≥），又113a =满足13n n a =，所以13n n a =()*n N ∈，因此5510(110)123 (110)231201323a a a a +------⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：A7．若2x =-是函数21()(1)x-f x x ax e =+-的极值点，则()f x 的极大值为（） A ．1- B ．35e -C ．32e --D ．1【答案】B【分析】求出导函数，由极值点2-求得参数a ，再确定函数的极大值点，得极大值．【详解】由题意21()[(2)1]x f x x a x a e -'=+++-，∴3(2)(4241)0f a a e -'-=--+-=，解得1a =-，即21()(2)x f x x x e -'=+-1(1)(2)x x x e -=-+，2x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 在(,2)-∞-和(1,)+∞上递增， 21x -<<时，()0f x '<，()f x 递减，∴2x =-时，()f x 取得极大值3(2)5f e --=．故选：B ．【点睛】本题考查用导数求函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键． 8．已知()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数.若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，且()13f =，则不等式()12e x f x -->的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞【答案】B【分析】依题意原等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()1g x g >，从而得解；【详解】解：不等式1()2e x f x -->，等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，则1()(()2)()e x f x f x g x -'--'=，若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，则()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，又()0(1)211e f g -==，故1()21e x f x -->即()()1g x g >，故不等式的解集是(1,)+∞，故选：B ．二、多选题9．已知函数()e e cos2-=--x xf x x ，若()()12f x f x >，则（）A ．12e 1x x ->B ．3312x x >C ．12ln ln x x >D ．1122x x x x >【答案】ABD【分析】先求导，利用基本不等式求出()22sin 20f x x ≥+>'，从而得到()f x 单调递增，得到12x x >，根据函数单调性得到ABD 选项，C 选项可以举出反例. 【详解】()f x 定义域为R ，()e +e 2sin 22sin 222sin 2x x f x x x x -=+'≥=+，当且仅当e e =x x -即0x =时，等号成立，此时()22sin02f x ='+=，所以()22sin 20f x x ≥+>'恒成立，所以()f x 单调递增，因为()()12f x f x >，所以12x x >，因为e x y =单调递增，所以120e e 1x x ->=，A 正确；因为3y x =单调递增，所以3312x x >，B 正确；12x x >，但1x 与2x 大小不确定，例如121,1x x ==-，此时满足12x x >，但1x =2x ，此时12ln ln x x =，C 错误；因为22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，画出函数图像，如下图：可知22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩单调递增，所以1122x x x x >，D 正确.故选：ABD10．已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220231a a a ⋅⋅⋅<，1220241a a a ⋅⋅⋅>，则（）A ．20241a >B ．当2022n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1012n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1012n <，使得12n n n a a a ++=【答案】AC【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断，即可解出.【详解】对A ，∵10a >，1q >，∴0n a >，又12202301a a a <⋅⋅⋅<，1220241a a a ⋅⋅⋅>， ∴202412202311a a a a >>⋅⋅⋅，故A 正确；对B ，C ，由等比数列的性质，21202322022101210121012a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，故202312202310121a a a a ⋅⋅⋅=<，10121a <，22202432023101310131013a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，∴20232342024101311a a a a a a ⋅⋅⋅=>，∵1220231a a a ⋅⋅⋅<，10a >，1q >，∴11a <，111a >， ∴10131a >，故当1012n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小，B 错误，C 正确；对D ，当1012n <时，10121n a a <<，故112n n n n a a a a +++<<，故D 错误. 故选：AC ．11．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，*0(N )n a n ≠∈，*13()1N n n n a a S n +=-∈，则下列结论正确的是（）A ．22a =B ．数列{}n a 为等差数列C ．422n n n a a a +++=D ．20300S =【答案】ACD【分析】根据给定条件探求出数列{}n a 的特性，再逐项分析、计算判断作答. 【详解】*N n ∈，131n n n a a S +=-，当2n ≥时，1131n n n a a S --=-，两式相减得：11()3n n n n a a a a +--=，而0n a ≠，则113n n a a +--=，当1n =时，111231312a a S a =-=-=，则22a =，A 正确；因3134a a =+=，211a a -=，322a a -=，即3221a a a a -≠-，数列{}n a 不是等差数列，B 不正确；因*N n ∈，23n n a a +-=，则423n n a a ++-=，即有422n n n n a a a a +++-=-，422n n n a a a +++=成立，C 正确；由C 选项的判断信息知，数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，3为公差的等差数列，数列{}n a 的偶数项是以22a =为首项，3为公差的等差数列， 131924200122()()(1045303)(10453)0a a a a a a a S a =+++++++=+⨯+⨯=+，D 正确.故选：ACD【点睛】易错点睛：等差数列定义是判断数列是等差数列的重要依据，但易漏掉定义中的“从第2项起”与“同一个常数”的条件.12．已知函数()322f x x ax x =--，下列命题正确的是（）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则12a =B ．若1x =是函数()f x 的极值点，则()f x 在[]0,2x ∈上的最小值为32-C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则52a ≥D ．若()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，则1a ≥-【答案】ABC【分析】对于A ，由()01f '=可求出a 的值，对于B ，由选项A ，可求得()f x ，然后利用导数可求出()f x 在[]0,2x ∈上的最小值，对于C ，由题意可得()0f x '≤，可求出a 的范围，对于D ，将问题转化为2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，构造函数2()ln h x x x x=--，再利用导数求出其最大值即可【详解】对于A ，由()322f x x ax x =--，得()2322f x x ax '=--，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以(1)3220f a '=--=，得12a =，经检验1x =是函数()f x 的极小值点，所以A 正确，对于B ，由选项A ，可知()32122f x x x x =--，则()232f x x x '=--，由()0f x '>，得23x <-或1x >，由()0f x '<，得213x -<<，所以()f x 在2(,)3-∞-和(1,)+∞递增，在2(,1)3-上递减，所以当[]0,2x ∈时，1x =时，()f x 取得最小值()1311222f =--=-，所以B 正确，对于C ，因为()f x 在()1,2上单调递减，所以()0f x '≤，即()23220f x x ax '=--≤，得312a x x ≥-在()1,2上恒成立，令31()((1,2))2g x x x x=-∈，则231()02g x x '=+>，所以()g x 在()1,2单调递增，所以(1)()(2)g g x g <<，即15()22g x <<，所以52a ≥，所以C 正确，对于D ，由()2ln x x f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，得232ln 2x x x ax x ≥-- 在[]1,2x ∈上恒成立，即2ln a x x x ≥--在[]1,2x ∈上恒成立，令2()ln h x x x x=--，[]1,2x ∈，则222122()10x x h x x x x -+'=-+=>，所以()h x []1,2x ∈上单调递增，所以max ()(2)2ln 211ln 2h x h ==--=-，所以1ln 2a ≥-，所以D 错误，故选：ABC 三、填空题13．已知函数()()()0ln 212cos f x f x x x '=+-+，则()0f '=______________. 【答案】2【分析】求出()f x '，令0x =，即可解出．【详解】因为()()()0ln 212cos f x f x x x '=+-+，所以()()202sin 21f x f x x ''=⨯--+，令0x =，()()0022f f ''=⨯-，解得：()02f '=．故答案为：2．14．在数列{}n a 中，若111,12nn naa a a +==+，则n a =________.【答案】121n - 【分析】通过取倒数的方法，证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求得1na ，进而求得n a .【详解】取倒数得:1112n na a +=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 15．若函数()()2*sin2n f n n n N π=∈，且()()1n a f n f n =++，则1232022a a a a +++⋅⋅⋅+=______________. 【答案】4048-【分析】由()()2*sin2n f n n n N π=∈，可得(2)f k 与(21)f k -表达式，又()()1n a f n f n =++，得到212,k k a a -，可得：212(1)8-+=-⋅k k k a a k ，即可解出原式.【详解】2*2()sin(),(1)1,(2)0,(3)3,(4)0,,2π=∈∴===-=⋯n n n n f f f f f N 可得2*(2)4sin 0,,π==∈f k k k k N2(21)(21)(21)sin2π--=-k f k k 21(21)(1)-=--k k . 又()(1),=++n a f n f n ∴2121(21)(2)(21)(1)--=-+=--k k a f k f k k ，22(2)(21)(21)(1)=++=+-k k a f k f k k .∴212212(21)(1)(21)(1)(1)8--+=--++-=-⋅k k kk k a a k k k .则[]123202281234100910101011a a a a ++++=⨯-+-++⋯-+-=4048-故答案为：4048-16．已知函数()||e =-xf x ax x ，()0,x ∈+∞，当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题可知，当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即可解出.【详解】因为当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()2e x g x xf x ax ==-在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()e 20xg x ax =-≥'在()0,x ∈+∞上恒成立，即e2x a x≤在()0,x ∈+∞上恒成立，令e ()2xh x x =，所以()2e 1()2x x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以当1x =时，()h x 取得最小值，最小值为e 2，所以实数a 的取值范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.四、解答题 17．已知函数32113f xx ax 在2x =-处有极值. (1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值.【答案】(1)1a =-，函数()f x 的增区间为(),2-∞-、()0,∞+，减区间为()2,0- (2)最小值1，最大值73【分析】（1）由已知可得出()20f '-=，求出a 的值，然后利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，可求得函数()f x 的最大值和最小值. 【详解】(1)解：因为32113f xx ax ，该函数的定义域为R ，且()22f x x ax '=-，由已知可得()2440f a '-=+=，解得1a =-，则()3211f x x x =++，()22f x x x '=+，由()0f x '=可得2x =-或0x =，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),2-∞-、()0,∞+，减区间为()2,0-.(2)解：当[]1,1x ∈-时，函数()f x 在[]1,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增，因为()513f -=，()713f =，则()()max 713f x f ==，()()min 01f x f ==. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-. (1)证明：数列{}1n a +为等比数列；(2)令()()2211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析 (2)1614499n n n T ++=⋅- 【分析】（1）由题意得()1121n n S a n ++=-+ ，2n n S a n =-，两式相减化简可得()1121n n a a ++=+，即{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，从而可证得结论，（2）由（1）得()214nn b n =+⋅，然后利用错位相减法可求出n T【详解】(1)证明：当1n =时，1121S a =-，得11a =，由题意得()1121n n S a n ++=-+ ，2n n S a n =- 相减得：121n n a a +=+，()1121n n a a ++=+，由11a =，得112a +=所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列所以12nn a +=(2)由（1）得，21n n a =-，所以222141n nn a =-=-所以()214nn b n =+⋅所以()23345474214nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅()()23143454214214n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅相减()()2313122444214n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-+⋅()()211141446112221441433n n n n n -++-+=+⋅-+⋅=--∴1614499n n n T ++=⋅- 19．已知数列{}n a 满足13a =，112n n n a a ---=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n n a b a a +-=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：21153n S ≤<. 【答案】(1)21nn a =+；(2)证明见解析.【分析】（1）利用累加法求数列的通项公式；（2）裂项相消法求和，再由不等式性质及数列的单调性可得结论.【详解】(1)112n n n a a ---=，212a a ∴-=2322a a -=⋯112n n n a a ---=∴12221n n n n a a a -=-⇒=+.(2)()()1121121212121n n n n n n b ++==-++++ 12231111111111212121212121321n n n n S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵11021n +>+，∴13n S <， ∵{}n S 单调递增，1215n S S ∴≥=, 即21153n S ≤<. 20．已知函数()()()221ln f x ax a x a x=-+-∈R . (1)讨论函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()()222ln 10f x a x x+++-=在区间2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)2211l e,2e n 2a --⎛⎤∈- ⎥⎝⎦【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，通分、化简为()()()212ax x f x x --'=，再对a分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解；（2）依题意参变分离可得1ln xa x-=在2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不等实根，即直线y a =与1ln x y x-=有两个交点，令()1ln xh x x -=，2e e ,2x ⎡⎤∈⎣⎦，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，即可得解.【详解】(1)解：()()221ln f x ax a x x=-+-定义域为()0+∞，，所以()()()()222221212212ax a x ax x a f x a x x x x -++--+'=-+== 当0a =时，()22x f x x -+'=，当02x <<时()0f x '>，当2x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；当0a ≠时，()0f x '=有两根分别为12x =，21x a= 当0a >时：令12a >，解得102a <<，当02x <<或1x a>时()0f x '>，当12x a <<时()0f x '<，所以()f x 在()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.令12a <，解得12a >，当10x a<<或2x >时()0f x '>，当12x a <<时()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，当02x <<时()0f x '>，当2x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；当12a =时()()211220x x f x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；综上所述：当0a ≤时：()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减的区间是()2,+∞当102a <<，()f x 的单调递增区间是()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，单调递减的区间是12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当12a >，()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，单调递减的区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭当12a =时：()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无减区间(2)解：()()222ln 1ln 10f x a x ax x x+++-=+-=. 则1ln x a x -=在2e,2e ⎡⎤⎣⎦上有两个不等实根，即直线y a =与1ln xy x -=有两个交点. 令()1ln x h x x -=，2e e ,2x ⎡⎤∈⎣⎦，()2ln 2x h x x -'=，令()0h x '=，解得2e x =，当2e e x <<时()0h x '<，22e 2e x <<时()0h x '>，所以()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在22e 2,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增. 所以()h x 在2e x =处取得极小值即最小值，即()()22min e e 1h x h ==-，又()221ln 2e 2e2h --=，()e 0h =，所以()2,0e1h x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2211l e,2e n 2a --⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 21．已知函数()ln af x x x=+，()R a ∈.(1)若函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为3，求实数a 的值； (2)若不等式()2xf x <在()1,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)2e a = (2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据函数()f x 的导数()2x af x x -'=，分别讨论1,13,3a a a ≤<<≥时，函数()f x 的单调性，即可确定函数()f x 在区间[]1,e 上的最值点，列式即可解出；（2）根据分离参数可知，不等式()2xf x <在()1,x ∈+∞上恒成立，等价于21ln 2a x x x<-在()1,+∞上恒成立，利用导数求出函数()21ln 2g x x x x =-在()1,x ∈+∞上的最小值，即可得到实数a 的取值范围. 【详解】(1)因为()ln a f x x x =+，()0,x ∈+∞，()2x a f x x-'=，所以当1a ≤时，则()f x 在[]1,e 上单调递增，()f x 的最小值为()13f a ==不符合，舍去；当1e a <<时，则()f x 在[]1,a 上单调递减，在[],e a 上单调递增，在()f x 的最小值为()1ln 3f a a =+=，则2e a =不符合，舍去；当e a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减，()f x 的最小值为()e 13eaf =+=，则2e a =． (2)ln 2a x x x +<在()1,+∞上恒成立，即21ln 2a x x x <-在()1,+∞上恒成立，设()21ln 2g x x x x =-，()1,x ∈+∞，()ln 1g x x x =--'，设()()ln 1g x x x h x =-'=-，()11h x x'=-在()1,+∞上恒为正，则()g x '在()1,+∞上单调递增，()()10g x g ''>=，则()g x 在()1,+∞上单调递增，()()112g x g >=.所以12a ≤，即实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22．已知数列{}n a 满足12a =，122n n a a n ++=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1312n n na a nb λ+=+-⋅⋅，若数列{}n b 对*n N ∈是单调递增数列，求实数λ的取值范围.【答案】(1)()()1,,n n n a n n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 (2)90λ-<<【分析】（1）由题意可得22n n a a +-=，则{}n a 奇数项是首项为2，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列，从而可求出其通项公式，（2）由于{}n b 是递增数列，所以1n n b b +>，然后分n 为奇数和n 为偶数，分别代入计算即可【详解】(1)由题意得，122124222n n n n n n a a n a a a a n +++++=+⎧⇒-=⎨+=+⎩， ∵12a =，∴22a ={}n a 奇数项是首项为2，公差为2的等差数列偶数项是首项为2，公差为2的等差数列 n 为奇数时，121212n n a n +⎛⎫=+-⋅=+⎪⎝⎭ n 为偶数时，2122n n a n ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭∴()()1,,n n n a n n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 (2)∵{}n b 是递增数列，∴1n n b b +>n 为奇数时，1132n n n b λ++=-⋅，31132n n n b λ+++=+⋅∴31113232n n n n λλ+++++⋅>-⋅，∴1342n λ+⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∵1342n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递减， ∴1n =时，有最大值9- ∴9λ>-n 为偶数时，232n n n b λ+=+⋅，22132n n n b λ+++=-⋅∴2223232n n n n λλ+++-⋅>+⋅，∴520n λ⋅<，0λ< 综上90λ-<<。

2021-2022年高二下学期期中考试数学试题含答案

2021-2022年高二下学期期中考试数学试题含答案一、填空题（每题4分，共48分）1、抛物线的准线方程为___________.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为___________.3、经过点且与直线平行的直线的方程为___________.4、过点且与圆相切的直线的方程是___________.5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么双曲线的标准方程为___________.6、已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为___________.7、已知椭圆的两个焦点为、，点在此椭圆上，且，则的面积为___________.8、椭圆上点到两焦点距离之积为，则最大时点的坐标为___________.9、已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，为坐标原点，则=___________.10、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若点，的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线的方程为___________.11、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点、，则的值为___________.12、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是___________.二、选择题（每题4分，共16分）13、点在直线上，则到原点距离的最小值是（）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）.14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为（）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）不确定.15、直线的倾斜角的取值范围是（）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）.16、直线与圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系是（）（A ）相交但不过圆心；（B ）相交且肯定过圆心；（C ）相交或相切；（D ）相交或相切或.三、简答题（8+10+12+12+14，共56分）19、从射出一条光线，经过轴反射后过点，求反射点的坐标.18、已知抛物线截直线所得弦长为.（1）求的值；（2）在轴上求一点，使的面积为39.19、已知双曲线.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值.20、已知，，若过点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点. （1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积值，并证明动点的轨迹是一个椭圆；（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为.若是上两个不同的动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由.21、点分别是椭圆长轴的左右端点，是其右焦点.点在椭圆上，位于轴上方，且. （1）求点坐标；（2）点是椭圆长轴上的点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点距离的最小值.上外附属大境中学xx第二学期期中考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：120分）班级______________姓名______________学号________________成绩______________一、填空题（每题4分，共48分）1、抛物线的准线方程为____.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是，则椭圆的标准方程为____.3、经过点且与直线平行的直线的方程为____.4、过点且与圆相切的直线的方程是__或__.5、如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么双曲线的标准方程为____.6、已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为____.7、已知椭圆的两个焦点为、，点在此椭圆上，且，则的面积为__8__.8、椭圆上点到两焦点距离之积为，则最大时点的坐标为____.9、已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，是的中点，为坐标原点，则=__4__.10、设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若点，的重心与抛物线的焦点重合，则边所在直线的方程为____.11、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点、，则的值为____.12、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是__②③__.二、选择题（每题4分，共16分）13、点在直线上，则到原点距离的最小值是（ B ）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）.14、若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数为（ C ）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）不确定.15、直线的倾斜角的取值范围是（ A ）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）.16、直线与圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系是（ A ）（A ）相交但不过圆心；（B ）相交且肯定过圆心；（C ）相交或相切；（D ）相交或相切或.三、简答题（8+10+12+12+14，共56分）19、从射出一条光线，经过轴反射后过点，求反射点的坐标.关于轴的对称点为，则直线方程为，则反射点即为直线与轴交点，.18、已知抛物线截直线所得弦长为.（1）求的值；（2）在轴上求一点，使的面积为39.（1）2242202y x y y b y x b⎧=⇒-+=⎨=+⎩，AB ===，解得.（2）由得，设，则由点到直线距离公式可得：，解得或，即或.19、已知双曲线.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程；（2）直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时，求实数的值.（1）（2）的两条渐近线分别为，则交点分别为和，从而由题意224333m m OA OB m ⋅=-+=⇒=20、已知，，若过点、以为法向量的直线与过点、以为法向量的直线相交于动点.（1）求直线和的方程；（2）求直线和的斜率之积值，并证明动点的轨迹是一个椭圆；（3）在（2）的条件下，设椭圆的两个焦点为.若是上两个不同的动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由.（1）；（2），椭圆方程为（3），设.由得，即，则当且仅当时，取到最小值为，此时(2,EM FN +=+=，与是平行的.21、点分别是椭圆长轴的左右端点，是其右焦点.点在椭圆上，位于轴上方，且. （1）求点坐标；（2）点是椭圆长轴上的点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点距离的最小值.（1）；（2），椭圆上的点到点距离的最小值为，此时椭圆上点的横坐标为40338 9D92 鶒Yt?24795 60DB 惛24880 6130 愰N30153 75C9 痉36851 8FF3 迳39976 9C28 鰨26304 66C0 曀27921 6D11 洑。

山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题(解析版)

山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（）A. 散点图和残差图B. 残差图和列联表C. 散点图和等高堆积条形图D. 等高堆积条形图和列联表【答案】D【解析】【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D2. 若，则（）A. 2B. 4C. 2或4D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质求解．【详解】因为，所以或，即或．故选：C．3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（）A. 10B. 20C. 25D. 32【答案】B【解析】【分析】用分步计数原理计算．【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为．故选：B．4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（）A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C. 独立性检验的方法适用普查数据D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的思想判断．【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：,故选：A.7. 以下说法错误的是（）A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B. 经验回归方程一定经过点C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选：D8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，所以，；故选：C9. 除以8的余数为（）A. B. 1 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（）（附：，，）A. 11B. 79C. 91D. 159【答案】B【解析】【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．【详解】由题意，，人数为．故选：B．11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（）A. 4.5B. 2.5C. 1.5D. 0.45【答案】D【解析】【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，所以，，所以．所以故选：D．12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（）A. 18B. 48C. 50D. 54【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；所以不同的排法共有：种，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13. 已知随机变量，则______．【答案】3【解析】【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．故答案为：3．14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．【答案】0.81 cm【解析】【分析】根据线性回归方程的意义作答．【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．故答案为：0.81 cm．15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，，．故答案为：．16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．【答案】【解析】【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时；故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求的展开式的常数项；（2）求的展开式中的x的系数．【答案】（1）60；（2）－15.【解析】【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；（2）的展开式中的x的系数为.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；（2）的展开式的通项公式为则的展开式中的的系数为18.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；（2）求从乙袋取出白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．【小问1详解】在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；【小问2详解】从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，所求概率为．19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；疗法疗效合计未治愈服用新药服用安慰剂合计（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．附：；0.100.010.0012.706 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效【解析】【分析】（1）依题意完成列联表；（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；【小问1详解】解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈服用新药451055服用安慰剂252045合计7030100【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）选择方案一【解析】【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．【小问1详解】有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，概率为；【小问2详解】无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,显然，所以选择方案一中奖概率大．21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）方案二【解析】【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.【小问1详解】根据题意，每一次摸出红球的概率为：，所以连续摸5次中奖的概率为：；【小问2详解】若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：,因为，所以小明应该选择方案二.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x1234500.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345.518.9的近似值 3.2 5.810参考公式：，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345 y0.51 1.53 5.5.10.9 2.3 3.5 4.7－0按（2）可得：x12345.53 5.5y0.5110.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x12345.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345的近似值 3.2 5.810.518.9参考公式：，，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345y0.51 1.53 5.5－0.1 1.1 2.3 3.5 4.7按（2）可得：x12345y0.51 1.53 5.50.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．。

2021-2022学年高二下学期期中学业质量监测数学试题 (解析版)

一、单项选择题（共8小题）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+53．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．6005．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.05046．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．167．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．1810．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex 11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四【分析】由复数z得到z的坐标得答案．解：∵z＝﹣1+2i，∴在复平面内，复数z＝﹣1+2i对应的点的坐标为（﹣1，2），所在象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+5【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解：设回归直线方程为 1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5＝1.23×4+a∴a＝0.08∴回归直线方程为 1.23x+0.08故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．3．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可．解：∵∴P（X＝2）P（X＝3），∴P（1＜X≤3）故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确利用分布列的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，本题是一个基础题．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有A44＝24种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有A52＝20种情况，则有24×20＝480个符合题意的六位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.0504【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为：p0.2016．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．16【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得1+a能被17整除，从而得出结论．解：设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a＝161010+a＝（17﹣1）1010+a＝171010﹣171009+171008﹣171007+…+（﹣17）+1+a 能被17整除，则1+a能被17整除，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝1﹣P（ξ＜108）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（﹣3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数的单调性情况，进而结合选项得出答案．解：，当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＞0，此时f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选项B，C；当x∈（0，3）时，f′（x）可正可负，此时f（x）有增有减，可排除选项D．故选：A．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．一、选择题9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．18【分析】由，利用组合数的性质即可得出x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解出即可得出．解：∵，∴x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解得：x＝4，或9．故选：AC．【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．解：直线的斜率为k，由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A 不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C 可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x ﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算35 ．【分析】先把化为C33，再根据组合数的性质，∁nm+∁nm﹣1＝Cn+1m，逐个化简，即可求出的值．解：∵∁mn+Cm﹣1n＝∁mn+1，∴原式35．故答案为：35．【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．【分析】直接由排列数公式展开求得；展开排列数公式，得到f（x）的解析式，求出导函数，再由导数小于0求得函数的单调减区间．解：由，得；函数x（x﹣1）（x﹣3+1）＝x3﹣3x2+2x，∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．由f′（x）＜0，得3x2﹣6x+2＜0，解得x．∴函数的单调减区间为（，）．故答案为：；（，）．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 3 ．【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，算出取到白球的概率，由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果．解：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，∴符合二项分布，∴2，∴n＝3故答案为：3【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为43 ．【分析】先求出m的值，令x＝0，可得a0＝﹣2，在所给等式中，两边对x求导数，再令x＝1，可得要求式子的值．解：∵已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，而a1＝﹣1+m1+14m＝27，∴m＝2．∴（x+2）•（2x﹣1）7 ＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8．令x＝0，可得a0＝﹣2．等式两边对x求导数可得，（2x﹣1）7+（x+2）•14（2x﹣1）6 ＝a1+2a2x+3a3x2…+8a8x7，∴再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝43，则ai）＝a1+2a2+…+8a8）＝43，故答案为：43．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．【分析】（1）由题意可得2，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，即2，求得n＝7，或n＝2（舍去）．（2）展开式的通项公式为Tr+1••，令2，求得r＝2，可得展开式中含x2的项为T3••x2•x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先计算出抽取的6人中甲组的人数和乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：甲组乙组合计男生27 3 30女生13 17 30合计40 20 60根据列联表中的数据，可以求得：K214.7；由于14.7＞2.706，所以有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关；（2）因为甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P＝1，答：至少有1人在甲组的概率为．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x ﹣1＝（x+1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或，当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递增，在单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运算求解能力，属于基础题．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，利用组合数求出事件A的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后根据古典概型即可求得概率；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，然后利用组合数与古典概型逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，种，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27＝128种等可能的基本事件，∴P（A）．故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为．（2）每家医院至少1人共有27﹣2＝126种等可能的基本事件，随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，P（ξ＝1）；P（ξ＝3）；P（ξ＝5）．∴ξ的分布列为ξ 1 3 5P数学期望E（ξ）．【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．【分析】（1）利用导数求函数的在x＝1处切线的斜率，进而求出切线方程；（2）利用导数的正负求g（x）的单调区间，当g′（x）＞0时解得为函数的增区间，g′（x）＜0解得为函数的减区间，关键是由于f（x）为分段函数，所以g（x）也要进行分段讨论；（3）利用导数研究函数的单调性，从而证明函数的零点问题，关键是求函数的单调性时，导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围．解：（1）由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，所以f′（1）＝e，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；（2）当x≥1时，g′（x）＝2x+xex ＝x（2+ex）＞0，所以函数g（x）的单调增区间为[1，+∞），当x＜1时g（x）＝x2﹣（x﹣1）ex，所以g′（x）＝2x﹣xex＝x（2﹣ex），令g′（x）＞0得0＜x＜ln2；令g′（x）＜0，得x＜0或ln2＜x ＜1，所以函数的单调增区间为（0，ln2）；单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和[1，+∞）；函数的单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．（3）证明：由题意知，F（x）＝m（x﹣1）ex﹣lnx得，令h（x）＝mx2ex﹣1（x＞0），当时，h′（x）＝（2mx+mx2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝me﹣1＜0，h（ln）1＞0，所以存在唯一的，使得，当x∈（0，x0）时，h′（x0）＜0，所以在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以在（x0，+∞）上单调递增，故x0是h（x）＝mx2ex﹣1（x ＞0）的唯一极值点．令t（x）＝lnx﹣x﹣1，当x∈（1，+∞），，所以在（1，+∞）上单调递减，即当x∈（1，+∞）时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以，又因为F（x0）＜F（1）＝0，所以F（x）在（x0，+∞）上有唯一的零点，所以函数F（x）恰有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2021-2022学年山东省滨州市邹平市高二年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案

山东省聊城市聊城第一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2021-2022年高二下学期期中考试数学试题 含答案

山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题(解析版)

2021-2022学年高二下学期期中学业质量监测数学试题 (解析版)

2021-2022年高二下学期期中考试数学试题含答案