第二节 欧拉图
离散数学课件15.1欧拉图
推论的证明(充分性):Fleury算法
构造性证明 1.任取一个顶点 2.寻找没有走过的并且不是余图的 桥的关联边(除非别无选择),到达下 一个顶点. 3.重复2,直至无边可走.
例
1.是欧拉图； 2.不是欧拉图，但存在欧拉通路； 3.既不是欧拉图，也不存在欧拉通路。
只具欧拉通路,无欧拉回路的图不是 欧拉图.
(1)既无欧拉回路,也无欧拉通路. (2)中存在欧拉通路,但无欧拉回路. (3)中存在欧拉回路.
例
图a)存在一条欧拉通路：v3v1v2v3v4v1； 图 (b) 中 存 在 欧 拉 回 路 v1v2v3v4v1v3v1 ， 因 而 (b) 是欧拉图； 图(c)中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1因 而(c)是欧拉图。
P326: 3., 4
课堂练习
课后作业: P323: 2 ,5
有向图的Euler图
定理: 一个有向图D具有欧拉通 路,当且仅当D是连通的,且除了 两个顶点外,其余顶点的入度均 等于出度.这两个特殊的顶点中, 一个顶点的入度比出度大⒈另 一个顶点的入度比出度小1.
推论: 一个有向图D是欧拉图(具有欧 拉回路),当且仅当D是连通的,且所有 顶点的入度等于出度.
例(蚂蚁比赛问题)
甲、乙两只蚂蚁分别位 于如下图中的结点a，b 处，并设图中的边长度 是相等的。甲、乙进行 比赛：从它们所在的结 点出发，走过图中的所 有边最后到达结点c处。 如果它们的速度相同， 问谁先到达目的地？
2.一笔画问题
有向图的Euler图
给定G是一个无孤立结点的有 向图，若存在一条单向通路 (回路)，经过图中每边一次且 仅仅一次，则称此单向通路 (回路)为该图的一条单向欧拉 通路(回路)。具有单向欧拉回 路的图称为欧拉图。
欧拉图--欧拉通路
欧拉图--欧拉通路离散学过欧拉图的⼀些知识今天遇到⼀个题，挺有趣的。
⾸先，欧拉图，是指能从任意⼀点，不重复经过所有边能回到起点的图便是欧拉图。
这个路也叫欧拉回路。
次之，欧拉通路，任意⼀点，不重复经过所有边，不回到起点。
这个路叫欧拉通路。
记得书上的分析是从出⼊度来分析的，对于⽆向图，⼀点的度即是该点连接的边数。
对于有向图，就分为出度和⼊度。
欧拉回路：⽆向图中，所有点都是偶度点，存在欧拉回路。
有向图中，所有点的出度等于⼊度，存在欧拉回路。
欧拉通路：⽆向图中，满⾜有且仅有0或1对奇度点，即存在欧拉通路（奇度点分别为起点和终点）。
有向图中，满⾜有且仅有0或1对点的出⼊度差值为1，即存在欧拉通路（⾃然，出度多的那个是起点，⼊度多的那个是终点）。
那么，对代码来说，这也很容易实现，但是但是但是！我wa了很多次错误点：1.⼤写字母的ascll码⽐⼩写字母ascll码⼤。
2.这题是欧拉通路，没注意奇度点的先后性，也就是，如果有奇度点，得从奇度点开始遍历，⽽不是直接从⼩到⼤找第⼀个有度的字母，也就是得遍历两次找起点。
3.有重复边的存在，不能简单矩阵存图。
4.这题有重复字母，a->a这种也有，遇到⼀组数据如下6aabbccabbccaaabbcca这组数据顺序遍历输出会编程aabbca，少⼀个c，这是bfs遍历的问题，也即存在最后连不起来的情况。
另外，对于dfs也要注意⼀个地⽅，就是需要结束时去存答案，⽽不是开始遍历前存答案。
但是为什么：这样逆序输出从⼩到⼤dfs搜索的答案能保证最后的答案还是字典序最⼩的？这个问题还不是很明⽩，暂留⼀问吧。
5.连通性问题（虽然这题没出到这种数据，但是也确实是⼀个wa点）最后就贴上上述题的代码吧。
#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<vector>#include<queue>#include<cmath>#include<map>#include<algorithm>using namespace std;#define N 202#define mt(x) memset(x,0,sizeof x) typedef long long ll;void cn(ll x){cout<<x<<endl;}void cs(string x){cout<<x<<endl;} vector<int>vc[N];int n;int vis[N][N],c;char ans[N];int edge[N];void add(int x,int y){vc[x].push_back(y);vc[y].push_back(x);vis[x][y]++;vis[y][x]++;edge[x]++;edge[y]++;}void find(int x){for(int i='A';i<='z';++i){if(vis[x][i]){vis[x][i]--;vis[i][x]--;find(i);}}ans[c++]=x;}bool pd(){int cnt=0,t=0;for(int i='A';i<='z';++i)if(edge[i]%2){cnt++;if(!t)t=i;}if(!t){for(int i='A';i<='z';++i)if(edge[i]){t=i;break;}}if(cnt&&cnt!=2)return false;find(t);return true;}void PR(){while(c)cout<<ans[--c];cout<<endl;}void solve(){cin>>n;mt(edge);for(int i=0;i<n;++i){string s;cin>>s;add(s[0],s[1]);}if(!pd()||c!=n+1)cs("No Solution"); else PR();}int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);solve();return0;}。
欧拉图
欧拉图
例：(七桥问题)18世纪东普鲁士有一个城市称为个普 尼斯堡，它位于普雷格尔河畔，河中有两个小岛， 通过七座桥彼此相联（如图）。 当时有人提出：能否从某个地点出发经过每个桥一 次且仅一次然后返回出发点？
A B D
C
欧拉图 Euler的解：
A
D B
C
欧拉图 例: 中国邮路问题
1962年中国数学家管梅谷提出：一个邮递 员从邮局出发递送邮件，要求对他所负责 的辖区的每条街至少走一次，问如何选取 路程最短 的路线？（加的重复的边的权值最少）这个问 题称为中国邮路问题。 该问题可用专门的算 “一笔画”
G 连通且 G 中度数为奇数的点的个数不超过2
定理3
• 定理: G 是非平凡（至少有两个点）的欧拉图当且 仅当G是连通的,且为若干个边不重的圈的 并.
• 证明：对于非平凡的G，则d(v)>=2，所以一定存在圈C，令G1=G-E（C）只减去边， 不减去点。则成为多个连通分支，之后每个分支存在圈，重复上述过程，则最终只剩 下孤立点，此时倒推，两两连通分支的边必然不相交，则定理1 定理3 反过来，可以将圈地交点进行分裂，成为一个大圈，重复这种变化，可以构造成一个 欧拉回路（至多n次）。则定理3 定理1
欧拉图 例
（a ）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
欧拉图
定理:G是欧拉图当且仅当G是连通图且不含度为奇数 的点（定理1）；图G有欧拉通路但无欧拉回路，当且 仅当G是连通有两个度为奇的点。（定理2）（可以用 结论1证明结论2：奇次点连边成为欧拉图，然后回路 减去该边，则成为半欧拉图）
例如，对完全图 Kn，因 d(Kn) = n-1，故当n为奇数时是欧拉 图，当n为偶时不是欧拉图。
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件
网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边
七年级上册数学第六单元知识点
七年级上册数学第六单元知识点七年级上册数学第六单元学习的内容是关于欧拉图的知识。
欧拉图起源于18世纪，是图论中的一种基本概念。
在这一单元中，我们将学习欧拉图的基础概念、性质及其应用，并掌握欧拉图的构造方法。
一、欧拉图的基础概念欧拉图是指一种特殊的图，这种图包含了所有节点都能够连通（即是连通图）且每个节点的度数都是偶数的图。
欧拉图有两种形式：欧拉回路和欧拉通路。
欧拉回路：在一张图中，如果从一个节点出发，恰好经过所有的边，且最后回到原始节点，那么这张图就包含欧拉回路。
欧拉通路：在一张图中，如果存在一条路径可以经过所有边，但是不需要回到原始节点，那么这张图就包含欧拉通路。
二、欧拉图的性质欧拉图的性质有如下几点：1、欧拉回路存在的判断条件：该图所有节点的度数都是偶数。
2、欧拉通路存在的判断条件：该图有且仅有两个奇度数节点（度数为奇数的节点）（或者无奇度数节点）。
3、若一张无向图中存在欧拉回路或欧拉通路，则一定是连通图。
三、欧拉图的构造方法1、欧拉回路的构造方法：每次从一个节点出发遍历该节点所连边中没有被遍历过的边。
一直遍历下去，直到回到起点。
2、欧拉通路的构造方法：选择一个奇度数节点作为起点，从该节点开始遍历该节点所连边中没有被遍历过的边。
当无法再走下去的时候，进入另一个未遍历到的奇数度节点继续遍历。
一直遍历下去，直到所有边都被遍历过为止。
四、欧拉图在实际应用中的意义欧拉图的2个重要性质：所有节点的度数都是偶数或者只有2个奇度数节点，意味着欧拉图是很有规律的。
因此，在我们的现实世界中很多事物都可以用欧拉图来表示。
例如，在城市规划中，欧拉回路可以表示为一个完美的环路，有可能在一个城市中形成一个中心广场。
在网络优化方面，欧拉图可以用来控制数据的流动，以实现更好的性能。
在实际应用中，学习欧拉图可以使我们更好地理解和分析问题，从而提高解决问题的能力。
五、总结欧拉图是图论中的基本概念，主要包括欧拉回路和欧拉通路。
欧拉图（离散数学）
欧拉图（离散数学）
定义
欧拉回路：通过图中每条边⼀次且仅⼀次，并且过每⼀顶点的回路。
欧拉图：具有欧拉回路的图。
欧拉通路：通过图中每条边⼀次且仅⼀次，并且过每⼀顶点的通路。
半欧拉图：具有欧拉通路⽽⽆欧拉回路的图。
连通：图中从⼀个顶点到达另⼀顶点，若存在⾄少⼀条路径，则称这两个顶点是连通着的。
连通图：⽆向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此⽆向图为连通图。
判断
⽆向图 G 有欧拉通路：图连通，G 中奇度顶点的数⽬为2（分别为欧拉通路的两个端点）。
⽆向图 G 是欧拉回路：图连通，G 中每个顶点都是偶度顶点。
有向图 G 有欧拉通路：图连通，G 中除两个顶点外（起点与终点），其余顶点的⼊度都等于出度。
其中起点的⼊度⽐出度⼩1，终点的⼊度⽐出度⼤1。
有向图 G 有欧拉回路：图连通，G 中所有顶点的⼊度等于出度。
第十五章欧拉图与哈密顿图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是 连通的且为若干个边不重的圈的并.
本定理的证明可用归纳法. 例15.1 设G是非平凡的且非环的欧拉图，证明：
（1）λ(G)≥2. （2）对于G中任意两个不同顶点u, v，都存在 简单回路C含 u 和 v.
证 （1）由定理15.5可知，e E(G), 存在圈C， e 在C中，因而 p(G - e) p(G), 故 e 不是桥。 由 e 的任意性λ(G)≥2，即G是2边-连通图。
在这里做个规定: 平凡图是欧拉图.
例1 下列各图中 是否有欧拉回路、欧位通路？ 图15.1
解：e1 e2 e3 e4 e5 为(1)中的欧拉回路，所以(1)图为欧拉图. e1 e2 e3 e4 e5 为(2)中的一条欧拉通路，但图中不存在 欧拉回路（为什么？），所以(2)为半欧拉图。
（3）中既没有欧拉回路也没有欧拉通路(为什么？)， 所以(3)不是欧拉图，也不是半欧拉图。
设(2)中图为G2，则 G2 V1,V2 , E , 其中 V1 {a, g,h,i,c},V2 {b,e, f , j,k,d }, 易知， p(G2 -V1) |V2 | 6 |V1 | 5,由定理15.6可知， G2不是哈密顿图，但G2是半哈密顿图，其实， baegjckhfid 为G2中一条哈密顿通路.
图示：
(a)
“周游世界” 智力题
(b)
哈密顿图
一、哈密顿通路、哈密顿回路、 哈密顿图、 半哈密顿图的定义
定义15.2 经过图（有向图或无向图）中所有 顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路；
经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密 顿回路；
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图； 具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈 密顿图.
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小结
一、
二、
欧拉图的定义
欧拉图的判别法
三、
Fleury算法
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二、欧拉图的判别法 1、无向欧拉图的判别法 定理1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且 无奇度数顶点. 证 若G为平凡图无问题. 下设G为n阶m条 边的无向图. 必要性 设C为G中一条欧拉回路. （1）G连通显然. （2）viV(G)，vi在C上每出现一次获2度， 所以vi为偶度顶点. 由vi的任意性，结论为真.
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例1 设G是欧拉图，但G不是平凡图，也不是 一个环，则(G)2. 证 只需证明G中不可能有桥（如何证明？）
（ 1） （ 2） 图中，（1），（2）两图都是欧拉图，均 从A点出发，如何一次成功地走出一条欧拉 回路来？ 目 录 前一页 后一页 退
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三、Fleury算法
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充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. （1）m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. （2）设mk（k1）时结论为真，m=k+1时 如下证明：
（a）制造满足归纳假设的若干个小欧拉图. 由连通及无奇度数顶点可知，(G)2，用扩 大路径法可得G中长度3的圈C1. 删除C1上所 有的边（不破坏G中顶点度数的奇偶性）得 G，则G无奇度顶点，设它有s（s1）个连 通分支G1, G2, …, Gs,它们的边数均k，
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设u,v为G中的两个奇度顶点，令G=G(u,v) 则G连通且无奇度顶点，由定理15.1知G为 欧拉图，因而存在欧拉回路C，令=C(u,v) 则为G中欧拉通路. 2、有向欧拉图的判别法 定理3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连 通的且每个顶点的入度都等于出度. 本定理的证明类似于定理1.
Fleury算法： (1) 任取v0V(G)，令P0=v0. (2) 设Pi = v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法 来从E(G){e1,e2,…,ei}中选取ei+1： (a) ei+1与vi相关联； (b) 除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为 Gi = G{e1,e2,…,ei}中的桥.
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定理4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单 向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中 一个的入度比出度大1，另一个的出度比入
度大1，而其余顶点的入度都等于出度.
本定理的证明类似于定理1. 定理5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连
通的且为若干个边不重的圈之并.
可用归纳法证定理5.
几点说明：
＊ 规定平凡图为欧拉图.
＊ 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路
是生成的简单回路.
＊ 环不影响图的欧拉性.
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（1）
（2）
（3）
（4） （5 ） （6） 易知，图2中，（1）、（4）为欧拉图，（2）、（5） 为半欧拉图，（3）、（6）既不是欧拉图， 也不是半欧拉图. 在（3），（6）中各至少加几 条边才能成为欧拉图？ 目 录 前一页 后一页 退 出
第二节 欧拉图
本节的内容 ＊ 欧拉图的定义 ＊ 欧拉图的判别法 ＊ Fleury算法
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历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
（1）
（2）
图1 其实，欧拉图是一笔画出的边不重复的回路.
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一、欧拉图的定义 1、欧拉图的定义 定义1 （1）欧拉通路——经过图中每条边一次且 仅一次行遍所有顶点的通路. （2）欧拉回路——经过图中每条边一次且 仅一次行遍所有顶点的回路. （3）欧拉图——具有欧拉回路的图. （4）半欧拉图——具有欧拉通路而无欧拉 回路的图. 目 录 前一页 后一页 退 出
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(3) 当 (2)不能再进行时，算法停止. 可以证明，当算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2…emvm（vm=v0）为G中一条欧 拉回路. 用Fleury算法走出例1中(1)，(2)从A出发 （其实从任何一点出发都可以）的欧拉回 路各一条.
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因而它们都是小欧拉图. 设C1, C2, …, Cs 是G1, G2, …, Gs的欧拉回路. （b）将C1上被删除的边还原，从C1上某一 顶点出发走出G的一条欧拉回路C. 定理2 无向图G是半欧拉图当且仅当G连 通且恰有两个奇度顶点. 证 必要性简单. 充分性（利用定理1）