江苏省盐城市第一中学2020届高考数学6月第二次调研试题(含答案)

江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试数学试题 2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．） 1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________.3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______.8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r______．11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P 在直线30x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数222211()(cos )sin cos (sin )22f ααααα=+++-{}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．16．（本小题满分14分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，3c =. （1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v，求BE 的长.17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率33e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程．18．（本小题满分16分）如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆的面积的3倍，试确定AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？19．（本小题满分16分）设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，(1)当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.20．（本小题满分16分）对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由.江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试数学试题 2020．6第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -.B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆:22C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设2012()n r n r n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:01nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.23.（本小题满分10分）一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n ≥份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若8n ≥，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X ， ①求X 的概率分布； ②求()E X .江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试数学试题参考答案第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．） 1．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 【答案】{}0,1【解析】因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =,所以{}0,1A B =I , 2．若i 是虚数单位，复数()()12z a i i =++是纯虚数，则实数a 的值为________. 【答案】2【解析】复数()()12z a i i =++222a i ai i =+++()()221a a i =-++因为z 为纯虚数，所以20a -=,210a +≠ ，所以2a =.3．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________. 【答案】38【解析】5Q 位学生的成绩如下：78、85、a 、82、69，他们的平均成绩为80，78858269580a ∴++++=⨯，解得：86a =，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s ∴=-+-+-+-+-=，则他们成绩的方差等于38.4．若{1,0,1,2}a ∈-，则方程220x x a ++=有实根的概率为________. 【答案】34【解析】Q 方程220x x a ++=有实根， 2240a ∴∆=-≥，解得1a ≤1,0,1a ∴=-时满足要求，则方程220x x a ++=有实根的概率为34. 5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______． 【答案】10【解析】第一步：1i =，011S =+=； 第一步：2i =，123S =+=； 第一步：3i =，336S =+=；第一步：4i =，6410S =+=；故输出的结果为10．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45o ，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________. 【答案】8【解析】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=，所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a -=，得22a b ==，因此，双曲线的焦距为222248a b +=⨯=.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈.若1a 与5a 的等差中项为8，则p q +=______. 【答案】2【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和为()2*2,,n S pn n q p q R n N=-+∈∈，由等差数列的性质可得0q =，又1a 与5a 的等差中项为8，即1516a a +=， 即155()5402a a S +⨯==，即251040p -=，即2p =，即202p q +=+=，8．如果命题0p x ∀>：，4957x m x+≥+为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】{|1}m m ≤【解析】命题p 为真命题，即当0x >时，不等式4957x m x+≥+恒成立， 又当0x >时，4492912x x x x+≥⋅=，当且仅当49x x =，即23x =时，49x x +取得最小值12，故5712m +≤，解得 1.m ≤ 9．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[2,)+∞【解析】因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2cos f x x a '=-， 因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减， 所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g ===所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN EG ⋅=u u u r u u u r______．【答案】72-【解析】由已知得1222AN AB CN AB AH =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，3EG DE DG AB CH AB AH AC AB AH =-+=-+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以221112(3)6||||222AN EG AB AH AB AH AB AB AH AH ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为等边三角形的边长为2，所以221117611222222AN EG ⋅=-⨯+⨯⨯⨯+⨯=-u u u r u u u r ．11．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________. 【答案】383r π 【解析】设圆锥的高为h ，底面半径为R ，在截面图中，SC h =，OC OD r ==，BC R =， 根据圆锥与球相切可知，D 、C 均为球O 与外切圆锥的切点，则2SCB SDO π∠=∠=又OSD BSC ∠=∠，SOD SBC ∴~V V ， BC SC OD SD∴=，即22()R r h r r =--， 222()2R h r r h hr ∴==---， ∴圆锥体积为2221()33(2)r h V h R h h r ππ==-，22(4)()3(2)r h h r V h h r π-'∴=-，令()0V h '=可得4h r =，则04h r <<时，()0V h '<；4h r >时，()0V h '>， ()V h ∴在(0,4)r 单调递减，在(4,)r +∞单调递增，则3min 8()(4)3V h V r r π==.12．定义符号函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()()xf xg x e =⋅，则满足不等式()()233f a a f a +<+的实数a 的取值范围是__________．【答案】()3,1-【解析】由函数()()()()1,00,01,0x g x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，得()()()(),00,0,0x x e x f x x e x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩， 根据指数的性质可得函数()f x 在R 上是增函数，又由()()233f a a f a +<+，则233a a a +<+，解得31a -<<．点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式233a a a +<+是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P 在直线30x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________． 【答案】20(,4)3-. 【解析】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2P A ，()22224421x y x y -+-=+-∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+81633x -=0，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83， ∵动点P 在直线x 3−b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+81633x -=0相交， ∴圆心到直线的距离483313b d --=<+，∴4164163333b --<<-+，即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫- ⎪⎝⎭. 14．已知函数222211()2(cos )sin cos (sin )22f ααααα=++-+-，若集合{}()a R f m α∈≥≠∅，则实数m 的取值范围为___________.【答案】172m ≤【解析】()222212(cos )sin 54cos cos 2sin 2ααααα++=+=++，设()cos ,sin P αα，()2,0Q -，10,2S ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()22221()cos 2sin cos (sin )2f PQ PB =++-+-=-ααααα，如图，PQ PB QB -≤，当且仅当,,P Q B 三点共线且B 在,P Q 之间时等号成立，又11744QB =+=，故()f α的最大值为17. 因为集合{}()a R f m α∈≥≠∅，故()max17m f α≤=，故17m ≤. 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．【解析】（1）证明:∵在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PC ⊥，∵CD AC ⊥，PC AC C =I ，∴CD ⊥平面PAC . （2）∵//AB CD ，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ，故平面CDEF I 平面PAB EF =又CD ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，∴//CD 平面PAB ，而CD ⊂平面CDEF ， ∴//CD EF ∴//AB EF 16．（本小题满分14分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，3c =. （1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v，求BE 的长.【解析】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于3sin 0B =≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a cab bc+-+-=+，化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+，结合射影定理cos cos b a C c A =+，化简可得2sin b C b =.因为0b >.所以1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知23sin sin b c B C==3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，3AB =2AE =由余弦定理得2232cos34232162BE AB AE AB AE π=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以1BE =.【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，3a c ==由余弦定理得()()22233233cos 33b π=+-⨯⨯⨯=.因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以113EC AC ==. 在BCE ∆中，6C π=，3BC =，1CE =由余弦定理得2232cos31231162BE BC EC BC EC π=+-⋅=+-⨯⨯⨯=所以1BE =.【解法3】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，3a c ==因为2AE EC =u u u v u u u v，所以1233BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v .则()()22221111||2|44|34334319992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v所以1BE =.17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率33e =2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程． 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则323c a b a =⇒==， 22:132x y C ∴+=；（2）当直线l 为0y =时，31,31AF a c BF a c =+==-=，不满足2AF FB =；所以设直线l ：1x ty =+，联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122244,2323t y y y y t t --+=⋅=++， 又()2221211222112245123242223t y y y y y t y y y y y t -⎛⎫⎪++⎝⎭=-⇒+=-⇒==--+,2122t t ∴=⇒=±，故直线l ：12x y =±+，即220x y ±-=． 18．（本小题满分16分）如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=o .当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=o ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆的面积的3倍，试确定AOM ∠的大小；（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？【解析】（1）Q 在OAB ∆中，4OA =，43OB =，90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒ 在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得23OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，3OMN OAM S S ∆∆=Q ，11sin303sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⨯⋅，即83sin ON θ=， 在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得23cos ON θ=，从而2383sin θ=1sin22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒. （3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知3cos ON θ=， 又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得23OM =，()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒133sin2cos2θθ=++()3sin 260θ=+︒+ ∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为243-2km .19．（本小题满分16分）设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，(1)当0a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；（3）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.【解析】（1）当0a =时，()()1xf x x e =-，()xf x xe '=，所以()10f =，()1f e '=所以所求切线方程为(1)y e x =-（2）()()xxxf x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =.当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；所以()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞.（3）当()2,x ∈+∞时，()()120xxx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12xxx e a e e->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立.令()()12x xx e g x e e -=-，()2,x ∈+∞， ()()()222x x xe e ex g x ee -'=-，令()2xh x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20xh x e e '=->， 所以()2xh x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又因为()2240h e e =-<，()3360h e e =->，所以()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x eex =，()02,3x ∈，所以()g x 在()02,x .上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()()()()000000min 01122,3222x x x e x ex gx g x x e eex e--====∈--，所以()02,3a x <∈，故整数a 的最大值为2. 20．（本小题满分16分）对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 【解析】（1）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是2.m >（2）假设存在等差数列{}n a 符合要求,设公差为,d 则1,d >由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意,得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立,即()1.n d n -< ①当1n =时,;d R ∈ ②当1n >时,,1n d n <-因为111,11n n n =+>--所以1,d ≤与1d >矛盾, 所以这样的等差数列不存在.（3）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数,且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->>所以在{}1n n a a --中,“21a a -”为最小项.同理,11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中,“211122a a -”为最小项. 由{}n a 为“K 数列”,只需211,a a ->即()111,a q ->又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”,且211122a a -为最小项, 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤, 由数列{}n a 的每一项均为正整数,可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时,13,n n a -=则3,1n n b n =+令()*1,n n n c b b n N +=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n nn n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列,即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅>所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”.②当12,2a q ==时,2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上:当11,3a q ==时,数列{}n b 为“K 数列”,当12,2a q ==时,2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”.第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵1A B -. 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.即1010220101a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 所以11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆:22C ρθ=和直线:()4l πθρ=∈R 相交于,A B 两点，求线段AB 的长. 【答案】2【解析】圆C ：2cos ρθ=直角坐标方程为2220x y x +-=，即(2222x y -+=直线l ：()4R πθρ=∈的直角坐标方程为y x =圆心C 到直线l 的距离2012d -==所以AB =()22212-=,【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设2012()n r n r n q x a a x a x a x a x +=+++⋯++⋯+,其中*,q R n N ∈∈.（1）当1q =时,化简:1nrr a r =+∑; （2）当q n =时,记()010,2nn n r r n a a A B a =+==∑,试比较n A 与n B 的大小.【解析】（1）当1q =时,rr n a C =1!!11!()!(1)!()rn C n n r r r n r r n r =⋅=++-+-Q 111(1)!11(1)!()!1r n n C n r n r n +++=⋅=⋅++-+,其中0,1,2,,r n ⋯＝, ∴原式＝()11231111112111n n n n n n C C C C n n ++++++-++⋯+=++ （2）当q n =时,r n r r n a C n -= 01,n n a n a n ∴==,1n n A n +∴= 令1x =,得(1)nn B n =+当1,2n =时,1(1)n n n n +<+;当3n ≥时,1(1)n n nn +>+,即(1)nnn n n ⋅>+,可得:(1)111+nnn nn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭——(☆)①当3n =时,316431327⎛⎫>+= ⎪⎝⎭, (☆)成立．②假设3n k =≥时,(☆)式成立,即11kk k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭则1n k =+时,(☆)式右边1111111111k kk k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111kk k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++<+⋅=+<+ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当1n k =+时,(☆)式也成立．综上①②知,当3n ≥时,11+nn n ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴当1,2n =时,n n A B <;当3n ≥时,n n A B >.23.（本小题满分10分）一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n ≥份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若8n ≥，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为X ， ①求X 的概率分布； ②求()E X .【解析】（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，331111113131332(2)n n n n n n n C C C C P X C C C C n -----==⋅+⋅=213111111111412121311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P X C C C C C C C C n -----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P X C C C n ----==⋅=⋅ 同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P X k C C C n --------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P X k C C C n-----=-=⋅⋅=X ∴的分布列为：②231112()2345(4)(3)E X n n n n n n n n =⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅23142n n n-+=。