专题二基本初等函数、导数及其应用Word
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第 9 次课 2 学时第二章 导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1 导数的概念 一、 引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即00)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，00)()(lim 0t t t s t s v t t --=→二、 导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
《导数与微分》word版
第二章 导数与微分教学要求:正确理解导数概念及其几何意义.知道导数值与导数的联系与区别.熟练掌握求导方法,记住求导的基本公式及求导法那么(四那么运算法那么,反函数、复合函数、隐函数、参数式函数的求导法那么，对数求导法).知道利用定义求导数的方法,会求分段函数分界点处的导数.会计算较简单的导数应用题.会求曲线在某点的切线和法线方程;会求一些物理量的变化率;会计算一些简单的相关变化率问题.理解高阶导数的定义,熟练掌握求二阶导数的方法.会求一些简单的初等函数(如1,,sin ,ln ,ln(1)x e x x x x). 正确理解微分的定义及其与导数的关系.理解微分与函数增量的关系,会用微分近似计算函数改变量和函数值的近似值.理解一阶微分形式不变性.明确可微(可导)与连续之间的关系.教学重点:导数与微分的概念;导数的几何意义和作为变化率的各种实际意义及其应用;函数连续、可导、 可微相互之间的关系；各类函数的求导法那么与求导方法;基本初等函数的导数与微分公式. 教学难点:复合函数求导法那么与高阶导数求导方法的应用.数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.内容分布图示★ 引言★ 变速直线运动的瞬时速度★ 平面曲线的切线★ 导数的定义 ★ 关于导数的几点说明★利用定义求导数与求极限 ★例1★例2★ 例3★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 左右导数★ 例8 ★ 例9★ 导数的几何意义 ★ 例10 ★ 例11★ 导数的物理意义★ 可导与连续的关系★ 例12 ★ 例13 ★ 例14★ 内容小结★ 课堂练习★返回内容要点：一、引例： 引例1: 变速直线运动的瞬时速度； 引例2: 平面曲线的切线二、导数的定义：xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值x y ∆∆是函数y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='那么是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤：1． 求函数的增量： );()(x f x x f y -∆+=∆2． 求两增量的比值：x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; 3． 求极限 .lim0xy y x ∆∆='→∆ 三、左右导数定理1 函数)(x f y =在点0x 处可导的充要条件是：函数)(x f y =在点0x 处的左、右导数均存在且相等.四、用定义计算导数五、导数的几何意义六、函数的可导性与连续性的关系定理2 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么它在0x 处连续.注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，那么它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例题选讲：导数概念的应用例1 求函数3x y =在1=x 处的导数)1(f '.例2试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在).(1);)2()2(lim ax a f x f a x --→ (2) ,)(lim 0xx f x → 其中.0)0(=f 用定义计算导数例3 求函数C x f =)((C 为常数)的导数.例4设函数,sin )(x x f = 求)(sin 'x 及4|)(sin π='x x . 例5 求函数n x y =(n 为正整数)的导数.例6 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.例7 求函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数.左右导数例8 求函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x 在0=x 处的导数. 例9 设)(x f 为偶函数，且)0(f '存在. 证明.0)0(='f例10求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 例11 求曲线x y =在点)2,4(处的切线方程.例12 讨论函数||)(x x f =在0=x 处的连续性与可导性.例13 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性. 例14设函数⎩⎨⎧<≤+<=,10,10,)(2x x x a x f 问a 取何值时，)(x f 为可导函数. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，那么它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子(如第十一章第一节的Koch 雪花曲线描述的函数)，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.课堂练习1. 函数)(x f 在某点0x 处的导数)(0x f '与导函数)(x f '有什么区别与联系?2. 设)(x ϕ在a x =处连续, )()()(22x a x x f ϕ-=, 求)(a f '.3. 求曲线32x x y -=上与x 轴平行的切线方程.莱布尼茨 （Friedrich , Leibniz ，1597~1652）-----博学多才的数学符号大师出生于书香门第的莱布尼兹是德国一们博学多才的学者。
2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
表 示 成 x 的 函 数 , 那 么 称 这 个 函 数 为 函 数 y ＝ f(u) 和 u ＝ g(x) 的 __复__合__函__数___,记作y＝f(g(x)).
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u), u＝g(x)的导数间的
关 系 为 yx′ ＝ yu′·ux′, 即 y 对 x 的 导 数 等 于 __y_对__u_的__导__数__ 与 _u_对__x_的__导__数__的乘积.
(2)y′＝sin2x＋π3 ′＝cos2x＋π3 ·2x＋π3 ′
＝2cos2x＋π3 .
栏目
导引
第一章 导数及其应用
【点评】利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤: (1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; (2)求每一层基本初等函数的导数; (3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【名师点评】 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤:
(2)求曲线的切线方程时,一定要注意已知点是否为切点.若切点
没有给出,一般是先把切点设出来,然后根据其他条件列方程,求
出切点,再求切线方程.
(2)y′＝(cosx·lnx)′
＝ex·sinxsi－n2exx·cosx
＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′ ＝－sinx·lnx＋coxsx.
＝ex（sinБайду номын сангаасxin－2xcosx）.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数:
(1)y＝ln(3x＋1);
∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6), 即 y＝13x－32.
(2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1, ∴直线 l 的方程为 y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16,
数学(文)一轮复习：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
基本初等函数的导数和求导法则的应用
一、导数一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导。
此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)。
于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数，记作f′(x)，即f′(x)=y′=y′x=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx导函数通常简称为导数。
除了特别声明指的是求某一点的导数之外，“求导数”均指的是“求导函数”。
二、常用函数的导数公式表(x是变量)1.常数函数：C′=0，C为常数;2.幂函数：(xα)′=αxα−1;3.指数函数：(a x)′=a x ln a，特别地，(e x)′=e x;4.对数函数：(log a x)′=1x ln a ，特别地，(ln x)′=1x;5.三角函数：(sin x)′=cos x，(cos x)′=−sin x.三、求导法则及其应用1.函数和与差的求导法则一般地，如果f(x),g(x)都可导，则[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和。
一般地，如果f(x),g(x)都可导，则[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差。
2.函数积的求导法则一般地，如果f(x),g(x)都可导，则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
特别地，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数。
3.函数商的求导法则一般地，如果f(x),g(x)都可导，且g(x)≠0，g′(x)≠0，则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)特别地，当f(x)=1时，因为1′=0，所以[1g(x)]′=−g′(x)g2(x)4.简单复合函数的求导法则复合函数：一般地，已知函数y=f(u),u=g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成是x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y=ℎ(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量。
(完整word版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。
在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。
六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。
4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。
2、再观察有哪些运算法则。
3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。
2018年高考数学文一轮复习文档：第二章 基本初等函数
第5讲 指数与指数函数, )1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编 化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B2.教材习题改编 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3B 因为x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝7. 3．函数f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编 若a >1且a3x ＋1>a－2x，则x 的取值范围为________．因为a >1，所以y ＝a x为增函数， 又a3x ＋1>a－2x，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b－3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________． 【解析】 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点， 所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.⎝⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________． 【解析】 (1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}． 【答案】 (1)A (2)12(3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC 因为指数函数y ＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C.角度二 解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________．因为2x 2－x<4，所以2x 2－x<22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质3．(2017·太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数．角度四 求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.－32, )——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1， 令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1， 当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上， 对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)必有一个根为正， 所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, )1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 2．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．B ．C ．D ． 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是()D 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.4．(2017·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <aD 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，所以b <c ，又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，所以a >c ， 所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)． 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在，则实数a ＝________． 当a >1时，f (x )＝a x－1在上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在上为减函数， 又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3.38．已知函数f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．因为f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.129．(2017·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．(0，1)∪(2，＋∞)10．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. e11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B 函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． (1)当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当t ∈时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0， 所以m ≥－(22t＋1)， 因为t ∈，所以－(22t＋1)∈， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
(完整word版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。
在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。
六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。
4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。
2、再观察有哪些运算法则。
3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题二 基本初等函数、导数及其应用1.(2012·高考北京卷) 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11 2.(2012·高考天津卷)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a3.(2012·高考山东卷)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )4.(2012·高考福建卷)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (3)＞0；④f (0)f (3)＜0.其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5.(2012·高考湖南卷)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π] 时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π) 且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．86.(2012·高考江西卷) 如右图，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图像大致是( )7.(2012·高考湖北卷)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )8.(2012·高考课标全国卷)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．9.(2012·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 10.(2012·高考上海卷)已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1、C (1，0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．11.(2012·高考广东卷)设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B .(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．12.(2012·高考安徽卷)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(Ⅰ)求f (x )的最小值；(Ⅱ)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．13.(2012·高考辽宁卷)设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(Ⅰ)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(Ⅱ)当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5.14.(2012·高考上海卷)已知f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1，2])的反函数．专题二 基本初等函数、导数及其应用1.C 前m 年的年平均产量最高，而S m m最大，由图可知，前9年(含第9年)直线递增，当m ＞9(m ∈N ＋)时，总产量S n 递增放慢，故m ＝9.2.A ∵b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，且b >1，又c ＝2log 52＝log 54<1， ∴c <b <a .3.D y ＝cos6x2x －2－x 为奇函数，排除A 项．y ＝cos6x 有无穷多个零点，排除C 项．当x →0＋时，2x －2－x＞0，cos6x →1，∴y ＞0，故选D.4.C ∵f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，∴f (x )在(－∞，1)，(3＋∞)上单调递增， f (x ) 在(1，3)上单调递减． 又f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴f (x )的草图如下．由图象可知f (1)>0，f (3)<0且a <1<b <3<c ， 即⎩⎪⎨⎪⎧4－abc >0abc >0， 故0<abc <4.∴a >0.即0<a <1<b <3<c .∴f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0. 故选C.5.B 由已知可得f (x )的图象(如图)， 由图可得零点个数为4.6.A 当0<t <1时，S (t )＝12×t ×2t ×sin π6＝12t 2；当t ≥1时，S (t )＝S △OAB ＋S 扇形 ＝12×1×2×12＋12·3(t －1)·AB ＝12－3·AB 2＋32AB ·t . 而AB 2＝1＋4－2×2×cos π6＝5－2 3.∴32AB >1，即直线的倾斜角大于45°. ∴选A.7.B 由f (x )――→关于y 轴对称f (－x )――→右移2个单位f [－(x －2)]――→沿x 轴翻折－f (2－x )． 8.2 f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数，其最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，∴f (x )max ＋f (x )min ＝M ＋m ＝2.9.－10 ∵f (32)＝f (－12)，∴f (12)＝f (－12)，∴12b ＋232＝－12a ＋1，易求得3a ＋2b ＝－2， 又f (1)＝f (－1)，∴－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0， ∴a ＝2，b ＝－4， ∴a ＋3b ＝－10.10.14由题意易得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤12）－2x ＋2（12<x ≤1），∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（0≤x ≤12）－2x 2＋2x （12<x ≤1），∴所围成的图形的面积为S ＝∫1202x 2d x ＋∫112(－2x 2＋2x )d x＝23x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪120＋（－23x 3＋x 2）112＝23×(12)3＋(－23)×1＋1＋23×(12)3－(12)2 ＝112－23＋1＋112－14 ＝14. 11.解：令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3)．(1)①当0＜a ≤13时，Δ≥0.方程g (x )＝0的两个根分别为x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94，x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94.所以g (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞.因为x 1，x 2＞0，所以D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞.②当13＜a ＜1时，Δ＜0，则g (x )＞0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)．综上所述，当0＜a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13＜a ＜1时，D ＝(0，＋∞)． (2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝1.①当0＜a ≤13时，由(1)知D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．因为g (a )＝2a 2－3(1＋a )a ＋6a ＝a (3－a )＞0， g (1)＝2－3(1＋a )＋6a ＝3a －1≤0， 所以0＜a ＜x 1＜1≤x 2，所以↗ ↘ ↗所以②当13＜a ＜1时，由(1)知D ＝(0，＋∞)，↗ ↘ ↗ 综上所述，当0＜a ≤13时，f (x )有一个极大值点x ＝a ，没有极小值点；当13＜a ＜1时，f (x )有一个极大值点x ＝a ，一个极小值点x ＝1. 12.解：(Ⅰ)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在(1a，＋∞)上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，1a)上递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(Ⅱ)f ′(x )＝a －1ax 2，由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)，将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.13.证明：(Ⅰ)法一：记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．法二：由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.① 令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0， 即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(Ⅱ)法一：记h (x )＝f (x )－9（x －1）x ＋5，由(Ⅰ)得h ′(x )＝1x ＋12x －54（x ＋5）2＝2＋x 2x －54（x ＋5）2<x ＋54x －54（x ＋5）2 ＝（x ＋5）3－216x 4x （x ＋5）2. 令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时， g ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0.因此g (x )在(1，3)内是递减函数．又由g (1)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1，3)内是递减函数， 又h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5.法二：记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(Ⅰ)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x （x －1）＋（x ＋5）⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x ＝14x(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1，3)内单调递减， 又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9（x －1）x ＋5.14.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10， －23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1，2]时，2－x ∈[0，1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x，x ∈[0，lg 2]．。