2020届湖南省长沙市明达中学高复部高考数学第三次模拟试题
高三第三次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题：1.已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则AB = ▲ ．2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．4.平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ▲ ．5.如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ▲ ．6.一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程 为 ▲ ．8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．10.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ． 11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则 数列{b n }的公比为 ▲ ．14.在△ABC 中，BC =2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点 在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ．二、解答题：15.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=． （1）求22a c +的值；13 xy O（第11题）·1-1（2）求函数2()3sin cos cos f B B B B =+的值域．17.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆 弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．19.已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值． （1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值； 若不存在，说明理由．20.各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++，且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ． （1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21.A 选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，//EF CB ，EF 交AD 的 延长线于点F ．求证：△DEF ∽△EAF ．21.B 选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值．21.C 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P （0，1），曲线C 的方程为2220x y x +-=，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．21.D 选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b yx y x y++++≤．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证：1202k k k +=．23.各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<．。
学校2020届高三数学三诊模拟考试试题理(含解析)
学校2020届高三数学三诊模拟考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，集合，所以，故选D．考点：集合的运算．2. 下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,由于模长为2，不成立，对于B,由于模长为5，不成立，对于C，由于满足模长为1，成立，对于D，模长为，故选C．考点：复数的几何意义点评：解决的关键是根据复数的几何意义来得到点的坐标，进而判定模长是否为1即可，属于基础题．3.命题“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：，为全称命题，故其否定为，故选：【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.已知等差数列的前项和为，，若，则（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】,所以,选B.5.猜商品的价格游戏，观众甲：主持人：高了! 观众甲：主持人：低了! 观众甲：主持人：高了! 观众甲：主持人：低了! 观众甲：主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，低了；低了；高了；高了，依据零点存在定理可以判断出，此商品的价格应在与之间，故选C.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及零点存在定理的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“高了”，“低了”的理解和应用.6.“直线与互相垂直”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与互相垂直，则，解得或即“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件．故答案选7.设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数与指数式互化，对，变形即可判断．【详解】令，，则，，即因为a>b>c>1，所以，所以logbc<logac不正确．故选D【点睛】本题主要考查了对数与指数式互化，还考查了指数运算，属于基础题．8.对于平面、、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线线和线面与面面的平行与垂直的判定和性质判断即可.【详解】A. 根据线面垂直的垂直的判定定理可知,,必须是相交直线,所以A错误.B. 根据直线和平面平行的判定定理可知,必须在平面外,所以B错误.C. 根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所以C正确.D. 根据面面垂直的性质可知, 必须垂直于的交线才有.所以D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定与性质,需要根据题意找到满足的条件,属于基础题型.9.已知函数，则下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】对于函数，它的最小正周期为=π，故排除A；令x=，求得f（x）=，故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除B；把函数图象向右平移个单位长度，可以得到函数y=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故C满足条件；在区间上，∈（，），函数f（x）单调递减，故排除D，故选C．10.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】首先1、5、9颜色确定，有三种可能，于是2、6就只有两种可能．如果2、6颜色相同的两种情况下，3就有4种可能．若2、6颜色不同，则只有一种可能，加之2、6排列不同，2种．于是右上角6种．以此类推．有3*6*6种可能．11.函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数，则，则，则，则，，，，即，则，得，，即，则，则，则，则，即是等腰钝角三角形，故选D．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键．12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的周期和对称性得出不等式在上的整数解的个数为3,计算的值得出的范围.【详解】因为偶函数满足,所以,所以的周期为且的图象关于直线对称,由于上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,所以关于的不等式在上有3个整数解,当时,,由,得,由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,因为,,所以当时,,所以当时,在上有4个整数解,不符合题意,所以,由可得或,显然在上无整数解,故而在上有3个整数解,分别为,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______.【答案】【解析】【分析】根据二项分布方差计算公式计算出结果.【详解】由于满足二项分布，故.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查二项分布方差计算公式，属于基础题.14.已知实数，满足条件，则最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先画出可行域，然后把z＝x+2y变形为直线，通过平移直线发现当这直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决．【详解】画出可行域又z＝x+2y可变形为y x，所以当该直线经过点A时z取得最大值，联立得点A的坐标为（2，3），所以zmax＝2+2×3＝8．故答案为8【点评】本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，考查数形结合，确定最优解是关键，是中档题15.化简： ________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16.已知四面体中，，，为等边三角形，且平面平面，则四面体外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，，取的三等分点为，可证得为四面体外接球的球心，再结合长度关系可求得r,利用球的表面积公式即得解.【详解】取的中点，连接，，取的三等分点为，使得，则为等边的中心.由于平面平面，且交线为，，平面.而，所以为等腰直角三角形，且为的外心，所以，又，所以为四面体外接球的球心，其半径.故四面体外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了四面体的外接球的表面积，考查了学生空间想象，综合分析，数学运算能力，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式．（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列公差为，由题意得，解得（2）由（1）得18.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量14①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由. 【答案】（1）（2）①分布列见解析；（元）；②应加工17个，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分别讨论和两种情况，即可得出结果；（2）①先由（1）计算出的可能取值，结合题中条件，即可得出分布列，进而可求出期望与方差；②根据题意求出的可能取值，得出期望，与①比较大小，即可得出结论.【详解】（1）由题意，当时，利润；当时，利润；综上，当天的利润关于当天需求量的函数解析式为；（2）①由（1）可得，当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以的分布列为：所以（元）；；②由题意，加工个蛋糕时，当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；的分布列如下：6600.1则从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.【点睛】本题主要考查函数模型，以及离散型随机变量的分布列，期望与方差等，熟记离散型随机变量分布列的概念，期望与方差的计算公式即可，属于常考题型.19.如图，在三棱台中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，得到平面，得到答案.（2）分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，H为的中点.同理G为的中点，所以，因为，所以，又且，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以.又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面（2），，，，，所以.分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.设平面的一个法向量为，因为，则，取，得.设平面的一个法向量为，因为，则，取，得.所以，则二面角的大小为【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可；（2）由（1）知的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为，.当，即时，，函数在上单调递增. 当时，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当函数有最大值时，，且最大值，此时，即.令.故在上单调递增，且∴等价于，∴，故a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数对含参函数的单调性进行讨论，以及利用导数求解不等式.属导数综合题.21.已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．（1）试求抛物线的方程；（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点直角三角形．①求证：直线恒过定点；②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，是以为直径的圆（除去点.【解析】【分析】（1）设A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|＝|OB|，可得2pxA2pxB，化简可得：点A，B关于x轴对称．因此AB⊥x轴，且∠AOx＝30°．可得yA＝2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出；（2）①由题意可设直线PQ的方程为：x＝my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2﹣my﹣a＝0，利用∠PMQ＝90°，可得0利用根与系数的关系可得m，或（m），进而得出结论；②设N（x，y），根据MN⊥NH，可得0，即可得出．【详解】（1）解依题意，设，，则由，得，即，因为，，所以，故，，则，关于轴对称，所以轴，且，所以.因为，所以，所以，故，，故抛物线的方程为.（2）①证明由题意可设直线的方程为，，，由，消去，得，故，，.因为，所以.即.整理得，，即，得，所以或.当，即时，直线的方程为，过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.②解设，则，即，得，即，即轨迹是以为直径的圆（除去点）.【点睛】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【选修4-4：极坐标与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】分析：（1）把曲线的极坐标方程化成，利用可得其直角坐标方程.（2）把直线的参数方程改写为，利用的几何意义求出的长度，再把直线的参数方程化为普通方程，计算到直线的距离后可计算的面积.详解：（1）因为，所以曲线的直角坐标方程为；（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，得，设两点对应的参数分别为，则，于是，直线的普通方程为，则原点到直线的距离，所以.点睛：极坐标方程转为直角坐标方程的关键是利用公式，必要时需要对极坐标方程变形使得方程中尽量出现.另外在计算弦长时注意利用直线的参数方程（为直线的倾斜角，为参数）来简化计算，因为的几何意义是、之间的距离.23.已知为正数,且,证明:(1)；(2).【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）将a+b+c＝2平方，然后将基本不等式三式相加，进行证明；（2）由，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a+b+c＝2平方得:，由基本不等式知:，三式相加得:，则所以，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立(2)由，同理则，即当且仅当时等号成立【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.学校2020届高三数学三诊模拟考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，集合，所以，故选D．考点：集合的运算．2. 下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,由于模长为2，不成立，对于B,由于模长为5，不成立，对于C，由于满足模长为1，成立，对于D，模长为，故选C．考点：复数的几何意义点评：解决的关键是根据复数的几何意义来得到点的坐标，进而判定模长是否为1即可，属于基础题．3.命题“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：，为全称命题，故其否定为，故选：【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.已知等差数列的前项和为，，若，则（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】,所以,选B.5.猜商品的价格游戏，观众甲：主持人：高了! 观众甲：主持人：低了! 观众甲：主持人：高了! 观众甲：主持人：低了! 观众甲：主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，低了；低了；高了；高了，依据零点存在定理可以判断出，此商品的价格应在与之间，故选C.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及零点存在定理的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“高了”，“低了”的理解和应用.6.“直线与互相垂直”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与互相垂直，则，解得或即“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件．故答案选7.设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数与指数式互化，对，变形即可判断．【详解】令，，则，，即因为a>b>c>1，所以，所以logbc<logac不正确．故选D【点睛】本题主要考查了对数与指数式互化，还考查了指数运算，属于基础题．8.对于平面、、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线线和线面与面面的平行与垂直的判定和性质判断即可.【详解】A. 根据线面垂直的垂直的判定定理可知,,必须是相交直线,所以A错误.B. 根据直线和平面平行的判定定理可知,必须在平面外,所以B错误.C. 根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所以C正确.D. 根据面面垂直的性质可知, 必须垂直于的交线才有.所以D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定与性质,需要根据题意找到满足的条件,属于基础题型.9.已知函数，则下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】对于函数，它的最小正周期为=π，故排除A；令x=，求得f（x）=，故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除B；把函数图象向右平移个单位长度，可以得到函数y=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故C满足条件；在区间上，∈（，），函数f（x）单调递减，故排除D，故选C．10.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】首先1、5、9颜色确定，有三种可能，于是2、6就只有两种可能．如果2、6颜色相同的两种情况下，3就有4种可能．若2、6颜色不同，则只有一种可能，加之2、6排列不同，2种．于是右上角6种．以此类推．有3*6*6种可能．11.函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数，则，则，则，则，，，，即，则，得，，即，则，则，则，则，即是等腰钝角三角形，故选D．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键．12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的周期和对称性得出不等式在上的整数解的个数为3,计算的值得出的范围.【详解】因为偶函数满足,所以,所以的周期为且的图象关于直线对称,由于上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,所以关于的不等式在上有3个整数解,当时,,由,得,由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,因为,,所以当时,,所以当时,在上有4个整数解,不符合题意,所以,由可得或,显然在上无整数解,故而在上有3个整数解,分别为,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______.【答案】【解析】【分析】根据二项分布方差计算公式计算出结果.【详解】由于满足二项分布，故.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查二项分布方差计算公式，属于基础题.14.已知实数，满足条件，则最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先画出可行域，然后把z＝x+2y变形为直线，通过平移直线发现当这直线过点A 时其在y轴上的截距最大，则问题解决．【详解】画出可行域又z＝x+2y可变形为y x，所以当该直线经过点A时z取得最大值，联立得点A的坐标为（2，3），所以zmax＝2+2×3＝8．故答案为8【点评】本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，考查数形结合，确定最优解是关键，是中档题15.化简： ________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16.已知四面体中，，，为等边三角形，且平面平面，则四面体外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，，取的三等分点为，可证得为四面体外接球的球心，再结合长度关系可求得r,利用球的表面积公式即得解.【详解】取的中点，连接，，取的三等分点为，使得，则为等边的中心.由于平面平面，且交线为，，平面.而，所以为等腰直角三角形，且为的外心，所以，又，所以为四面体外接球的球心，其半径.故四面体外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了四面体的外接球的表面积，考查了学生空间想象，综合分析，数学运算能力，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式．（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列公差为，由题意得，解得（2）由（1）得18.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量14①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.【答案】（1）（2）①分布列见解析；（元）；②应加工17个，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分别讨论和两种情况，即可得出结果；（2）①先由（1）计算出的可能取值，结合题中条件，即可得出分布列，进而可求出期望与方差；②根据题意求出的可能取值，得出期望，与①比较大小，即可得出结论.【详解】（1）由题意，当时，利润；当时，利润；综上，当天的利润关于当天需求量的函数解析式为；（2）①由（1）可得，当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以的分布列为：所以（元）；；②由题意，加工个蛋糕时，当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；的分布列如下：6600.1则从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.【点睛】本题主要考查函数模型，以及离散型随机变量的分布列，期望与方差等，熟记离散型随机变量分布列的概念，期望与方差的计算公式即可，属于常考题型.19.如图，在三棱台中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】。
长沙市明达中学高复部 2020 届高考备考第三次模拟考试理科数学试题(学生版)
14.函数
f
(x)
=
cos(2x
+ )(0
) 在区间 −
6
, 6
上单调递减，在区间
−
6
,0
上
有零点，则 的取值范围是________.
15.如图，在棱长为 2 的正四面体 S − ABC 中，动点 P 在侧面 SAB 内， PQ ⊥ 底面
ABC ，垂足为 Q ，若 PS = 3 2 PQ ，则 PC 长度的最小值为______ 4
长沙市明达中学高复部 2020 届高考备考第三次模拟考试
理科数学试题
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1.设集合， A = x y = log2 (2 − x) 若全集U = A ， B = x 1 x 2 ，则 CU B = （ ）
A. 100π
B. 54π
C. 77π
D. 300π
11.设函数
f
(x)
=
2 sin
2
x
与函数
y
=
1
1 − 2x
的图像在区间
−
3 2
,
5 2
上交点的横坐标依次
n
为 x1, x2 , , xn ，则 xi = （ ） i =1
A. 4
B. 2
C. 0
D. 6
12．已知点 P 是曲线 y = sin x +ln x 上任意一点，记直线 OP（ O 为坐标系原点）的斜率为 k ，Leabharlann P(B | A) = （ ）
A. 3 3 4
B. 3 2
6.求值：4cos 50°－tan 40°＝( )
2020届高三第三次模拟考试卷 理科数学(二) 解析版
2020届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集R ，集合2{|280}A x x x =+->，2{|log 1}B x x =<，则()A B =R I ð（ ）A ．[4,2]-B ．[4,2)-C ．(4,2)-D ．(0,2)答案：D解：依题意，[4,2]A =-R ð，(0,2)B =，则()(0,2)A B =R I ð． 2．已知,a b ∈R ，若i a +与3i b -互为共轭复数，则2(i)a b -=（ ） A ．86i + B ．86i - C ．86i --D ．86i -+答案：B解：因为3a =，1b =，所以2(3i)86i -=-．3．若双曲线22221(0)2x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．13C ．2D ．3答案：A解：由题意，得2222m m m++=，解得1m =（1m =-舍去）．4．若π1cos()36α+=-，且π2π63α<<，则7πsin()12α+=（ ） A ．70212+B ．70212-C ．27012-D ．70212+-答案：B 解：因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以πsin()03α+>， 所以2π135sin()1()366α+=--=， 所以7πππππππsin()sin()sin()cos cos()sin 12343434αααα+=++=+++ 35212702626212-=⨯-⨯=． 5．在ABC Rt △中，90A =︒，AB AC a ==，在边BC 上随机取一点D ，则事件“104AD a >”发生的概率为（ ） A ．34B ．23C ．12D ．13答案：C解：设事件事件“104AD a >”为M ， 设BC 的中点为P ，则2222210()24AD AP DP a DP a=+=+>，解得24DP a >， 所以222()124()22a a P M a-==． 6．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π6+，则x 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：A解：由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥组成， 所以体积为：21111π3333π64332V x x =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，解得4x =． 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ y ⊥轴于点Q ，则PQ PF ⋅u u u r u u u r的此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号最小值为（ ） A ．14-B ．12-C ．1-D ．1答案：A解：因为(1,0)F ，设点2(,2)P m m ，则(0,2)Q m ，则2(,0)PQ m =-u u u r ，2(1,2)PF m m =--u u u r ，则2422111()244PQ PF m m m ⋅=-+=--≥-u u u r u u u r ．8．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．12答案：B解：第一类：含有两个数字0、两个数字2的四位数的个数为23C 3=， 第二类：含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为24C 6=， 由分类加法计数原理，得满足题意的个数为369+=． 9．已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为π2，将函数()f x 的 图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数()g x 的最小正周期为π；②函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称； ③函数()g x 的图象关于直线2π3x =对称；④函数()g x 在π[,π]3上单调递增． A ．①②③④ B ．①②C ．②③④D ．①③答案：B解：由题意知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的最小正周期为π，则2π2πω==， 所以π()sin(2)6f x x =+． 将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数ππ5πsin[2()]sin(2)366y x x =++=+的图象，即5π()sin(2)6g x x =+， 则()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，故①正确； 令5π2π()6x k k +=∈Z ，解得π5π()212k x k =-∈Z ， 令2k =，得函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称，故②正确； 令5ππ2π()62x k k +=+∈Z ，解得ππ()26k x k =-∈Z ． 令1,2k =，得函数()g x 的图象关于直线π3x =，5π6x =对称，故③错误； 令π5ππ2π22π()262k x k k -≤+≤+∈Z ，得2ππππ()36k x k k -≤≤-∈Z ， 所以函数()g x 在π5π[,]36上单调递增，故④错误． 10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡(16231662～)在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，⋯，则在该数列中，第37项是（ ）A ．153B ．171C ．190D ．210答案：C解：考查从第3行起每行的第三个数：1，312=+，6123=++，101234=+++， 归纳推理可知第k （3k ≥）行的第3个数为12(2)k +++-L ， 在该数列中，第37项为第21行第3个数， 所以该数列的第37项为19(191)12191902++++==L ． 11．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 5C ．2D 31答案：B解：设双曲线左焦点为F '，因为OA OF OF c '===，所以90FAF '∠=︒，设点4(,)3A m m ，则2163()()95m c m c m m c =+-⇒=，所以点34(,)55A c c ， 所以222291612525c ca b -=， 所以224222216925991625251ee e e e e e -=⇒--=--42222950250(95)(5)05e e e e e e ⇒-+=⇒--=⇒=⇒=12．设函数()f x 的定义域为R ，()f x '是其导函数，若3()()0(0)1f x f x f +'>=，，则不等式3()x f x e >－的解集是（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,1)答案：A解：令3()()xg x e f x =，则333()()()xxe f x e f x g x '=+'，因为3()()0f x f x '+>，所以333()()0xxe f x e f x '+>，所以()0g x '>， 所以函数3()()xg x e f x =在R 上单调递增， 而3()xf x e>－可化为3()1xe f x >等价于()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式3()xf x e >－的解集是(0,)+∞．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则20()20f =－________． 答案：1-解：3()()(1)(2)log (21)2120202017f f f f ===-==+-=-L －－．14．已知7270127(21)x a a x a x a x -=++++L ，则2a =________．答案：84-解：52527C 2(1)84a =⨯⨯-=-．15．已知抛物线29y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，N为抛物线上的一点，且满足|2||NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为___________．解：由抛物线29y x =，可得9||2MF =， 设点N 到准线的距离为d ，由抛物线定义可得||d NF =，|2||NF MN =，由题意得||cos ||||d NF NMF MN MN ∠===，所以sin NMF ∠==，所以点F 到直线MN的距离为9||sin 2MF NMF ∠== 16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2()2cos cos sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC △的面积的最大值是________．解：由2()2cos cos sin sin A C b c B C -=及正弦定理，得222cos cos sin sin si (n )A C B B C -=．显然sin 0B ≠，所以222cos cos sin A C C -=．所以222cos sin cos 1A C C =+=，所以1cos 2A =． 又(0,π)A ∈，所以sin A =，所以2222b c bc +-=，则2242bc b c bc +=+≥， 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 所以ABC △的面积：11sin 2224S bc A bc ==⨯=≤ 故ABC △三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在等差数列{}n a 中，46a =-，且235a a a ，，成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，设3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）见解析；（2）129988nn n n T -=-+-．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为235a a a ，，成等比数列，所以2325a a a =，又46a =-，所以2(6)(62)(6)d d d --=---+，即3(2)0d d +=，解得0d =或2d =-． 当0d =时，6n a =-；当2d =-时，4(4)6(4)(2)22n a a n d n n -=-+--=-=+． （2）若数列{}n a 的公差不为0，由（1）知，22n a n =-，则22223nn b n -=-+，所以1211[1()](022)999128819n n n n n n T n -⨯-+-=+=-+--．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是菱形，2AC BC ==，1π3CBB ∠=，点A 在平面11BCC B 上的投影为棱1BB 的中点E ．（1）求证：四边形11ACC A 为矩形；（2）求二面角11E B C A --的平面角的余弦值． 答案：（1）证明见解析；（2）217-． 解：（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥， 又因为1112BE BB ==，2BC =，π3EBC ∠=，所以3CE =， 因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥， 从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形．（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以(0,0,1)A ，1(0,2,1)A ，1(0,1,0)B ，(3,0,0)C ．平面1EB C 的法向量(0,0,1)=m ，设平面11A B C 的法向量为(,,)x y z =n ，由1303CB x y y x ⊥⇒-+=⇒=u u u r n ，由110B A y z ⊥⇒+=u u u u rn ， 令13x y =⇒=，3z =-，即(1,3,3)=-n ，所以321cos ,717-<>==-⨯m n ， 所以二面角11E B C A --的余弦值是217-． 19．（12分）“互联网+”是“智慧城市”的重要内士，A 市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ．为了解免费WiFi 在h 市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“偶尔或不用免费WiFi ”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，数学期望()E X 和方差()D x ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）没有90%的把握认为；（2）分布列见解析，6()5E X =，18()25D X =．解：（1）由列联表可知22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为2.198 2.706<，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． （2）由题意可知2(3,)5X B :，X 的所有可能取值为0,1,2,3，033327(0)C ()5125P X ===，1232354(1)C ()()55125P X ==⨯=， 2232336(2)C ()55125P X ==⨯=，33328(3)C ()5125P X ===． 所以X 的分布列为26()355E X =⨯=，2218()3(1)5525D X =⨯⨯-=． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆心为坐标原点的单位圆O 在C 的内部，且与C 有且仅有两个公共点，直线22x +=与C 只有一个公共点．（1）求C 的标准方程；（2）设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，试求ABP △的面积的最大值．答案：（1）2212x y +=；（236．解：（1）依题意，得1b =，将22x y =代入222(2)240a y y a +-+-=，由22324(2)(4)0Δa a =-+-=，22a =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）由（1）可得左焦点(1,0)F -，由题设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠， 代入椭圆方程，得22(2)210m y my +--=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m -=+， 所以121224()22x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222(,)22m Q m m -++， 设点0(,0)P x ，则202(2)PQ m k m m x -==-++，解得0212x m -=+， 故222012121222|1|12(1)1||||()422(2)ABPx m m S PF y y y y y y m +++=⋅-=+-=+△， 令21(1)t m t =+>，则221m t =-，且32232221(1)ABPt S t t t t==+++△， 设321()(1)f x t t t t=++>，则22423(3)(3)(1)()1t t t f t t t -++'=--=，所以236163ABP S ≤=△ABP △36．21．（12分）已知函数2()xf x e x kx =--（其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k 的取值范围；（2）证明：()f x 的极大值不小于1．答案：（1）(22ln 2,)-+∞；（2）证明见解析．解：（1）()2xf x e x k '=--，由()02xf x e x k '=⇒-=，记()2xg x e x =-，()2xg x e '=-，由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞；ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞．（2）解法一：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)xxxf x e x e x x x e x =---=-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则()2(2)t th t te t t e '=-+=-，因为(,ln 2)t ∈-∞，所以20te ->，所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减；0t >时，()0h t '>，()h t 单调递增， 所以()(0)1h t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1．解法二：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)xxxf x e x e x x x e x =---=-+，因为110x ->，111xe x ≥+，所以21111()(1)(1)1f x x x x ≥-++=，即函数()f x 的极大值不小于1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x ty bt=⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线C 的方程为22sin cos 0θρθ-=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且4AB =，求b 的值． 答案：（1）22x y =；（2）b =解：（1）因为22sin cos 0θρθ-=，所以222sin cos 0ρθρθ-=，代入sin cos y xρθρθ=⎧⎨=⎩，得220y x -=，即22x y =．（2）由1x ty bt=⎧⎨=-+⎩，得1y bx =-+，联立212y bxx y=-+⎧⎨=⎩，消去y ，得2220x bx -+=，2(2)420Δb =--⨯>，解得b >b <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x b +=，122x x ⋅=．又||4AB ===，解得b = 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()321||||(0)f x x m x m -=+->． （1）若1m =，解不等式()4f x ≥；（2）若函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积为203，求m 的值． 答案：（1）(][),71,-∞-+∞U ；（2）2m =． 解：（1）若1m =，()31||2||2f x x x -=+-，当13x <-时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x -++-≥，解得7x ≤-； 当113x -≤<时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x ++-≥，解得1x ≥，无解； 当1x ≥时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x +--≥，解得1x ≥， 综上，不等式()4f x ≥的解集是(][),71,-∞-+∞U ． （2）因为()3|||2|1f x x m x -=+-，又因为0m >，所以2()3()52(1)32(1)m x m x m f x x m x x m x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤<⎨⎪++≥⎪⎪⎩，因为2()2033m m f -=--<，(1)30f m =+>， 所以()f x 的图象与x 轴围成的ABC △的三个顶点的坐标为(2,0)A m --，2(,0)5mB -，2(,2)33m m C ---， 所以214(3)20||||2153ABCC m S AB y +=⋅==△，解得2m =或8m =-（舍去）．。
湖南省长沙市明达中学2020届高三下学期高考押题试卷(十)理科数学试题
长沙市明达中学2020年高考押题考试试卷（十）理科数学（教师版）本试题卷共4页,23题。
全卷满分150 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数z 满足 ( 1+ i ）z= | -4 i | ,则z=A.2+2iB.1+2iC.2-2 iD.1-2i 2. 若集合{}{}2ln(23),23A y y x x B x x ==--=-<,则AB=A.{x|x ≤-1}B. {x|x >3}C. {}13x x -<<D. {}35x x << 3. 圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（）A.mm+nB.nm+nC.4mm+nD.4nm+n4. 已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A. 2B. 3C. 6D. 95. 2020年湖北抗击新冠肺炎期间,全国各地医护人员主动请缨,支援湖北.某地有3名医生.6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院,每家医院1名医生、2名护士,则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为A.16 B. 12 C. 18 D. 136. 将函数f(x) = cosx 的图象先向右平移56π个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在3(,)22ππ上没有零点,则ω的取值范围是( )A.228(0,][,]939⋃2.(0,]9BC.28(0,][]99,1⋃.(0,1]D7. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：★N >80★N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为A.21B.91C.95D.108. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3,点E 、F 分别在棱C 1C ，D 1C 1上,且C 1E=2EC ，D 1F=2FC 1，下列命题:★异面直线BE ，CF 所成角的余弦值为310; ★过点B,E,F 的平面截正方体,截面为等腰梯形; ★三棱锥B 1 -BEF 的体积为32;★过B 1作平面α,使得AE★α,则平面α. 其中所有真命题的序号为A.★★B.★★★C.★★★D.★★★★9. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点C 关于平面BDC 1的对称点为M ，则AM 与平面ABCD 所成角的正切值为A.√2B.√22C.√3D.210.★ABC 中, sin 2sin cos sin A B C B C +==,则cosC=A.12 B. 2 C. 12- D. 2-11.已知f′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (2)=0，当x ≠0时，f′(x )>2x f (x )，则不等式(x −1)f (x )<0的解集为（）A.(−∞,−2)∪(0,2)B.(−2,0)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪(1,2)D.(−2,0)∪(1,2)12.已知不等式x -3lnx+ 1≥mlnx+n (m,n★R,且m≠-3)对任意实数x> 0恒成立，则33n m -+的最大值为( ) A.-2ln2 B.-ln2 C.ln2- 1 D.ln2-2二、填空题（每题5分，满分20分.）13.已知实数x 、y 满足约束条件01010y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,则 z= 3x+y+1的最大值为_____14.函数()(2)xf x x e =-在点(2,f(2))处的切线方程为________________15.过抛物线C:x 2=y 的焦点F 作两条互相垂直的弦AC ，BD,则四边形ABCD 面积的最小值为_________________16.如图有标号为1,2,3的三根柱子,在1号柱子上套有n 个金属圆片,从 下到上圆片依次减小.按下列规则,把金属圆片从1号柱子全部移到3 号柱子,要求:★每次只能移动一个金属圆片;★较大的金属圆片不能在 较小的金属圆片上面.(1)若n=3时,至少需要移动______次;(2)将n 个金属圆片全部移到3号柱子,至少需要移动_______次.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且(2)tan tan a b B b C -= （1）求角C ；（2）若cos cos 2a B b A +=，求2a b +的最大值。
2020年湖南省重点中学高三仿真模拟考试理科数学试题-含答案
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湖南省长沙市明德中学2020届高三数学上学期第三次阶段检测(9月月考)试题理(扫描版)
此时函数f(x)在区间(0， ]上为减函数,在区间[ ，e]上为增函数，
而当x趋于零时，f(x)趋于正无穷,且最小值为f( ).
要使f(x)=m在区间(0,e]上有两个不同的根,则f( )<m⩽f(e).
又0<m⩽1,且f( )⩽f(1)=0，
故只要f(e)⩾1,得a⩽ ，而 > ，从而有a⩽ .
∵直线l与圆O：x2+y2= 相切，
∴ ，得3b2=8k2+8，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则 =(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2…（*）
由 得：(1+2k2)x2+4kbx+2b2-8=0，
x1+x2＝− ，x1x2＝ ，代入（*）式得
=(1+2k2)×
∴OE⊥OF；
当直线EF垂直x轴时，验证可知也满足OE⊥OF，
=（0，2，0）， ＝(2−λ，4−3λ，2λ)，
由（1）知平面PBD的一个法向量为
=（2，2，0）．
设 =（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则
，即 ，不妨取 ．
则cos ，，
因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为 ，所以
，解得λ＝ ，λ=-2（不合题意舍去）．
故存在M点满足条件，且
20.解答：
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
B
C
C
A
D
D
B
湖南省长沙市明达中学2020届高考模拟考试试卷1理综试卷及答案
姓名：准考证号：长沙市明达中学2020届高考模拟考试试题卷理科综合祝考试顺利！注意事项：1．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，登入精准教学通，录入系统并确认无误后提交，写在本试卷上无效。
2．回答第Ⅰ卷时，先将答案写在答题卡上，再登入精准教学通，逐题正面拍照并确认无误后提交。
写在本试卷上无效。
可能用到的相对原子质量：H -1 Li-7 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cu-64第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、图1支原体细胞的模式图，图2是细菌细胞模式图。
下列有关说法不正确的是A.细菌的DNA不都分布在拟核区域B.二者都能通过细胞分裂完成遗传C.土壤中的腐生型细菌不能产生分泌蛋白D.支原体没有细胞壁，可能会有多种细胞形态2.下图表示通过核孔复合体的几种物质跨膜运输方式，表示中央转运体，丙和丁图中的物质在基因表达时转运比较频繁。
下列说法错误的是A.核孔复合体具有双向转运物质的特性B.若乙方式的物质转运不需要能量，则是一种协助扩散C.若甲方式的物质转运不需要转运体，最可能是一种自由扩散D.丙可以表示RNA聚合酶的运输，丁可以表示DNA的运输3.下图表示结肠癌发生的一般过程，下列说法不正确的是A.正常结肠上皮细胞中不含K-ras原癌基因B.APC抑癌基因突变可使正常结肠细胞过度增殖C.正常结肠上皮细胞凋亡后逐渐被恶性增殖细胞取代D.p53抑癌基因的突变可能是细胞分裂时DNA复制出现了差错4.果蝇的眼睛是复眼，即一个大眼睛有很多小眼睛组成。
控制红（W+）白（w）眼基因所在的X染色体片段易位到4号染色体某位置后，会使眼色基因不能表达。
基因型为XW+Xw雌果蝇常常会表现出“花斑眼”，即部分小眼表现为红眼，部分小眼表现为白眼，如图所示。
下列说法正确的是A.该花斑眼雌果蝇的后代中雄性只可能是白眼果蝇B.眼色基因片段易位的数量对“花斑眼”的表现无影响C.表现为白眼的小眼是因为细胞W+基因所在片段发生易位D.未表现“花斑眼”的雌果蝇一定没有发生颜色基因片段的易位5. 不含叶绿素的白化苗，待种子中储存的养分耗尽就会死去；采取遮光方式可使将长成绿色的韭菜长成黄色的“韭黄”。