2020-2021学年福建省福州一中九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：23．（4分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 4．（4分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF6．（4分）《我和我的家乡》一上映就获得追捧，目前票房已突破27亿．第一天票房约2.66亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达6.66亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．2.66（1+x）＝6.66B．2.66（1+x）2＝6.66C．2.66+2.66（1+x）2＝6.66D．2.66+2.66（1+x）+2.66 （1+x）2＝6.667．（4分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对8．（4分）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR 9．（4分）我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（）A．12尺B．56尺5寸C．57尺5寸D．62尺5寸10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜﹣．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则k＝．12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）绕原点逆时针旋转90°，得到的点A′的坐标是．13．（4分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，DE＝4，则EF的长是．14．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是．15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB'，则旋转角的度数为．16．（4分）点A、B、C都在半径为6的⊙O上，且∠AOC＝120°，点M是弦AB的中点，则CM的长度的最大值为．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）解方程：2x2＝x．（2）将二次函数的一般式y＝x2﹣4x+5化为顶点式y＝（x﹣h）2+k，并写出它的对称轴及顶点坐标．18．（8分）如图，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径．19．（8分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．20．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A1B1C1；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB2C2．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．22．（10分）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件降价多少元时，每星期的销售利润w最大，最大利润是多少？（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？23．（10分）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．24．（12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2＝AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，若＝＝1，求和的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B，C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F，若＝＝n，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）．25．（14分）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），点P是抛物线上任意一点．（1）我们称F（0，）为抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点，直线l：y＝﹣为抛物线的准线，连接线段PF，作PH⊥l于点H．求证：PF＝PH；（2）已知抛物线y＝ax2过点M（﹣4，4）．①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；②将M（﹣4，4）绕焦点F顺时针旋转90°，得到点N，求△PNF周长的最小值；③直线l：y＝kx+m与抛物线交于A、B两点，点O是坐标原点，OA⊥OB．求证：直线AB过定点．2020-2021学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、既是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是4：2，∴两个相似三角形的周长比是1：5，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3．（4分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+4的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移8个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．（4分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，推算出金字塔的高度，就是我们所学的图形的相似，故选：D．【点评】考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成正比，难度不大．5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，故A选项错误，BC＝EC，故B选项错误，∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，∠A＝∠D，又∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠D+∠B＝90°，∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故选：D．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．6．（4分）《我和我的家乡》一上映就获得追捧，目前票房已突破27亿．第一天票房约2.66亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达6.66亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．2.66（1+x）＝6.66B．2.66（1+x）2＝6.66C．2.66+2.66（1+x）2＝6.66D．2.66+2.66（1+x）+2.66 （1+x）2＝6.66【解答】解：设增长率为x，由题意得：2.66+2.66（5+x）+2.66 （1+x）7＝6.66，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．7．（4分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为5，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有6个，∴丙的说法不正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．8．（4分）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR【解答】解：∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC＝＝，OM＝，OD＝＝，OA＝＝＝，OQ＝2＝2＝3＝2，∵＝＝2，∴点D对应点Q，点B对应点P，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．【点评】本题考查了位似变换、勾股定理等知识；熟练掌握位似中心，找出点C对应点M是解题的关键．9．（4分）我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（）A．12尺B．56尺5寸C．57尺5寸D．62尺5寸【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：DE，即5：AD＝0.2：5，解得AD＝62.5，BD＝AD﹣AB＝62.2﹣5＝57.5尺．故选：C．【点评】考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC∽△ADE．10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜﹣．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，而点（2，0）关于直线x＝，0），∵c＞1，∵抛物线开口向下，∴a＜6，∵抛物线对称轴为直线x＝，∴ab＜8，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，∴顶点在x轴的上方，∵a＜0，∴抛物线与直线y＝a有两个交点，∴关于x的方程ax4+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，6），∴4a+2b+c＝3，∵b＝﹣a，∴4a﹣2a+c＝3，即2a+c＝0，∴﹣3a＝c，∵c＞1，∴﹣2a＞3，∴a＜﹣，故③正确，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则k＝﹣1．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣kx﹣5＝0得1﹣k﹣7＝0，解得k＝﹣1．故答案为﹣5．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）绕原点逆时针旋转90°，得到的点A′的坐标是（﹣1，﹣3）．【解答】解：如图，A′（﹣1．故答案为（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．13．（4分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，DE＝4，则EF的长是6．【解答】解：∵l1∥l2∥l2，∴，∴，∴EF＝3，故答案为：6．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．14．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣2，x2＝1．【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，7），1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝1．所以方程ax2＝bx+c的解是x8＝﹣2，x2＝4故答案为x1＝﹣2，x2＝1．【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB'，则旋转角的度数为84°．【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴6∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠CAB'＝∠C＝24°，∴旋转角的度数＝∠BAB'＝∠BAC﹣∠CAB'＝84°，故答案为84°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．16．（4分）点A、B、C都在半径为6的⊙O上，且∠AOC＝120°，点M是弦AB的中点，则CM的长度的最大值为3+3．【解答】解：如图，取AO的中点J，JC，交CO的延长线于H．∵∠AOC＝120°，∴∠JOH＝60°，∵JH⊥OH，∴∠JHO＝90°，∵AJ＝JO＝OA＝8，∴OH＝OJ•cos60°＝，JH＝OJ•sin60°＝，∴CH＝OH+OC＝+6＝，∴CJ＝＝＝3，∵AM＝MB，AJ＝JO，∴MJ＝OB＝3，∵CM≤MJ+JC，∴CM≤3+8，∴CM的最大值为3+6．【点评】本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）解方程：2x2＝x．（2）将二次函数的一般式y＝x2﹣4x+5化为顶点式y＝（x﹣h）2+k，并写出它的对称轴及顶点坐标．【解答】解：（1）∵2x2＝x，∴5x2﹣x＝0，∴x（6x﹣1）＝0，∴x＝2或2x﹣1＝5，解得x1＝0，x6＝0.5；（2）y＝x3﹣4x+5＝（x﹣7）2+1，则该函数的对称轴是直线x＝8，顶点坐标为（2．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．（8分）如图，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】解：连接OA，如图所示：∵半径OC⊥AB，AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，由勾股定理得：72+（r﹣2）7＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为2．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．19．（8分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA＝BD．∴∠A＝∠ADB．∵∠A＝∠BDE，∴∠ADB＝∠BDE．∴DB平分∠ADE．【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．20．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A1B1C1；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB2C2．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C6即为所求．（2）如图所示，△AB2C2即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此作出变换后的对应点．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DF A；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝3，∴AE＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DF A，∴，∴．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．22．（10分）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件降价多少元时，每星期的销售利润w最大，最大利润是多少？（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）根据题意得，y＝100+10x．（2）设每星期利润为W元，W＝（30﹣x）（100+10x）＝﹣10（x﹣10）2+4000．∴x＝10时，W最大值＝4000．∴每件降价为10元时，每星期的销售利润最大．（3）由题意：﹣10（x﹣10）2+4000≥3910，解得：7≤x≤13，∵y＝100+10x．∵170≤y≤230，∴每星期至少要销售该款童装170件．【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题．23．（10分）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．【解答】解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y3＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜5时，y1随x的增大而减小，且y1＞7；对于函数y2＝x2﹣x+7，当﹣2≤x＜0时，y3随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，对于函数y，y随x的增大而减小．故答案为：减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+7）（x≥﹣2）的图象有两个交点，观察图象可知，x＝﹣2时，最大值m＝，故答案为【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2＝AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，若＝＝1，求和的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B，C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F，若＝＝n，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）．【解答】（1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴AB2＝AD•AC．（2）解：方法一：如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF．∴＝1，∴AB＝BC＝3BD＝2DC，BD＝DC，又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴ED＝GD＝EG．由（1）可得：AB2＝AD•AE，BD2＝DE•AD，∴＝4，∴AE＝2DE，∴＝5．∵CG∥BF，∴＝2．方法二：如图③，过点D作DG∥BF，∴＝1，∴BD＝DC＝BC．∵DG∥BF，∴＝，FC＝2FG．由（1）可得：AB2＝AC•AD，BD4＝DE•AD，∴＝7，∵DG∥BF，∴＝4，∴＝5．（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合）（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：过点D作DG∥BF，交AC边于点G．∵＝n，∴BD＝nDC，BC＝（n+1）DC．∵DG∥BF，∴＝n，∴FG＝nGC，FG＝．由（1）可得：AB6＝AE•AD，BD2＝DE•AD，∴＝（n+1）2；∵DG∥BF，∴＝（n+8）2，即＝（n+7）2，化简得：＝n2+n；（II）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G．同理可求得：＝n7﹣n；（III）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G．同理可求得：＝n﹣n2．即满足条件的的所有可能的值为n2+n或n4﹣n或n﹣n2．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，画出图形是解本题的关键．25．（14分）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），点P是抛物线上任意一点．（1）我们称F（0，）为抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点，直线l：y＝﹣为抛物线的准线，连接线段PF，作PH⊥l于点H．求证：PF＝PH；（2）已知抛物线y＝ax2过点M（﹣4，4）．①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；②将M（﹣4，4）绕焦点F顺时针旋转90°，得到点N，求△PNF周长的最小值；③直线l：y＝kx+m与抛物线交于A、B两点，点O是坐标原点，OA⊥OB．求证：直线AB过定点．【解答】解：（1）如图1，设点P（m2），则PF5＝m2+（am2﹣）2＝（am4+）5，则PH＝am2+，而PH＝am2+＝PH，（2）①将点M的坐标代入抛物线表达式得：4＝a（﹣4）4，解得a＝，故抛物线的表达式为y＝x2，则点F（5，1）；②如图2，将图形MFN向下平移7个单位，3），4），再将该图形向上平移2个单位，则此时点N的坐标为（3，即为题干要求点N的位置，5），由（1）知，PF＝PH，故当N、P，PF+NP＝NH为最小，此时△PNF周长最小值＝FN+PF+NP＝NH+FN＝（4+1）+＝10；③如图3，联立y＝kx+m与y＝x2并整理得：x2﹣2kx﹣4m＝0，则x A x B＝﹣6m，过点A、B分别作x轴的垂线、N，∵∠AOM+∠BON＝90°，∠BON+∠OBN＝90°，∴∠AOM＝∠OBN，∴tan∠AOM＝tan∠OBN，即，则，即，整理得：x A x B＝﹣16＝﹣4m，解得m＝4，故直线l的表达式为y＝kx+8，当x＝0时，y＝kx+4＝7，故直线l过定点（0，4）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、图形的平移和旋转、新定义等，有一定的综合性，难度较大．。
2020-2021学年福建省福州某校九年级上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省某校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题1．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝02．（3分）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 5．（3分）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（）A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能6．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2 7．（3分）已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA 绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）8．（3分）如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（）A．B．0＜x＜1 C．D．﹣1＜x＜2 9．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（3分）如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k 为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍二.填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．（4分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是．13．（4分）如图，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝75t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是秒．15．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．16．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O 是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是．三、解答（本题共9小题，86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x＝1．18．（8分）如图，△ABC的项点坐标分别为A（0，1），B （3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）写出A2，B2，C2的坐标．19．（8分）福州国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195公里）”，“半程马拉松（21.0975公里）”，“迷你马拉松（5公里）”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为．（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．20．（8分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．22．（10分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．23．（10分）（1）已如：如图，正方形ABCD中，∠EDF＝45°，DE、DF分别交边AB、BC平点E、F，求证：EF＝AE+CF．（2）在平面直角坐标系中、正方形OABC的两顶点A、C 分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，将正方形OABC 绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上停止，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论．24．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB 分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．25．（13分）已知抛物线的对称轴是直线m，顶点为点M，若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x﹣10123y1030（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线m′，A为直线m′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线m′于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2），①用含t与x的代数式示y2．②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．参考答案一、选择题（共10小，每题3分，满分30分）1．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．解：移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，则x1＝2，x2＝﹣2，故选：A．2．（3分）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合；轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；据此判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的是哪个即可．解：∵选项A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，∴选项A不正确；∵选项B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形，∴选项B正确；∵选项C中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，∴选项C不正确；∵选项D中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形，∴选项D不正确．故选：B．3．（3分）一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（）A．B．C．D．【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．解：因为一共有6个球，白球有4个，所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：．故选：D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 【分析】由△ABC∽△DEF与它们的面积比为4：1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC 与△DEF的相似比．解：∵△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，∴△ABC与△DEF的相似比为2：1．故选：A．5．（3分）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（）A．圆内B．圆上C．圆外D．都有可能【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．解：∵点到圆心的距离5，大于圆的半径3，∴点在圆外．故选C．6．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，故选：A．7．（3分）已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据题意画出图形利用旋转的性质即可解答．解：如图，根据旋转的性质可知，OB1＝OB＝1，A1B1＝AB＝2，可知点A1的坐标是（﹣2，1），故选：A．8．（3分）如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（）A．B．0＜x＜1 C．D．﹣1＜x＜2 【分析】先根据抛物线与x轴的交点求出其对称轴方程，再根据抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称性即可进行解答．解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（2，0），∴其对称轴方程为：x＝＝，∵抛物线与y轴的交点为（0，2），∴此点关于对称轴的对称点横坐标为：2×＝1，∵0＜x＜1时函数的图象的纵坐标大于2，∴当y＞2时，自变量x的取值范围是0＜x＜1．故选：B．9．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF ＝AB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF 可得答案．解：∵AF⊥BF，∴∠AFB＝90°，∵AB＝10，D为AB中点，∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，∴∠ABF＝∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即，解得：DE＝8，∴EF＝DE﹣DF＝3，故选：B．10．（3分）如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k 为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍【分析】先证出点B、C、D在以A为圆心的圆上再根据圆周角定理解答即可．解：∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，∵∠DAC＝k∠CAB，∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，故选：A．二.填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（4分）关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣．【分析】由方程根的情况可得方程根的判别式△＞0，得到关于k的不等式，解不等式即可求得k的范围．解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣3）2+4k＞0，解得k＞﹣，故答案为：﹣．12．（4分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞镖落在白色区域的概率是．【分析】根据一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的，再根据概率公式即可得出答案．解：∵一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白4个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的，∴飞镖落在白色区域的概率是；故答案为：．13．（4分）如图，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD＝80°．【分析】由∠P＝50°，根据三角形内角和定理，可求得∠B+∠C的度数，又由OA＝OB＝OC＝OD，即可求得∠OAB+∠ODC的度数，继而求得∠AOB+∠COD，则可求得答案．解：∵∠P＝50°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠P＝130°，∵OA＝OB，OC＝OD，∴∠OAB＝∠B，∠ODC＝∠C，∴∠OAB+∠ODC＝∠B+∠C＝130°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣（∠B+∠OAB+∠C+∠ODC）＝100°，∴∠AOD＝180°﹣（∠AOB+∠COD）＝80°．故答案为：80°．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝75t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是25 秒．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．解：由题意得，s＝75t﹣1.5t2＝﹣1.5（t2﹣50t+625﹣625）＝﹣1.5（t﹣25）2+937.5，即当t＝25秒时，飞机才能停下来．故答案是：25．15．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或者（1，0）时，使得△BOC∽△AOB．【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．解：∵点A为（4，0），∴AO＝4；∵点B为（0，2），∴OB＝2．若△BOC∽△AOB．则：＝．即：＝，∴OC＝1．故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．16．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，点O 是△ABC内一点，则点O到△ABC三个顶点的距离和的最小值是 5 ．【分析】分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，证明△AED≌△AOB可得DE＝OB，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，再根据勾股定理即可求得结论．解：如图，分别以OA和AB边向外作等边三角形ABD和AOE，连接OC，OB，ED，CD，∵△ABD和△AOE都是等边三角形，∴AE＝AO，AD＝AB，∠OAE＝∠BAD＝60°，∴∠DAE＝∠BAO，在△AED和△AOB中，，∴△AED≌△AOB（SAS），∴DE＝OB，∴OA+OB+OC＝OE+DE+OC，当点C，O，E，D四点共线时，OE+DE+OC的值最小，此时OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，∵∠BAC＝30°，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝90°，又AB＝4，AC＝3，在Rt△ADC中，CD＝＝＝5．故答案为：5．三、解答（本题共9小题，86分）17．（8分）解方程：x2﹣2x＝1．【分析】方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝1+1，∴（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝±，∴x＝1±∴x 1＝1+，x2＝1﹣．18．（8分）如图，△ABC的项点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）写出A2，B2，C2的坐标．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；（3）利用（2）中所画图形写出点A2、B2、C2的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）A2（1，0），B2（3，﹣3），C2（3，﹣1）．19．（8分）福州国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195公里）”，“半程马拉松（21.0975公里）”，“迷你马拉松（5公里）”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为．（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．解：（1）小智被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为，故答案为：；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小智和小慧被分配到同一个项目组的结果数为3，所以小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为＝．20．（8分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．【分析】（1）△PBA与△ABC相似，利用勾股定理计算出AB的长，利用由两边的比值和一个夹角相等的两个三角形相似可证明结论成立；（2）由（1）可知：∠BAC＝∠BPA，因为∠BPA易求，问题得解．解：（1）△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝＝，BC＝5，BP＝1，∴，∵∠PBA＝∠ABC，∴△PBA∽△ABC；（2）∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA，∵∠BPA＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．【分析】连接BO并延长交圆O与点D，连接AD，根据BD 是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D＝∠C＝30°．则BD＝2AB＝8．解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝30°，∴∠BOA＝60°．又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形．∴OB＝AB＝4，∴BD＝8．∴⊙O的直径为8．22．（10分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解；（2）利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：（50﹣x）（40+2x）＝2400，解得：x1＝10，x2＝20，因为尽量减少库存，x1＝10舍去．答：每件衬衫应降价20元．（2）设每天盈利为W元，则W＝（50﹣x）（40+2x）＝﹣2（x﹣15）2+2450，当x＝15时，W最大为2450．答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．23．（10分）（1）已如：如图，正方形ABCD中，∠EDF＝45°，DE、DF分别交边AB、BC平点E、F，求证：EF＝AE+CF．（2）在平面直角坐标系中、正方形OABC的两顶点A、C 分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，将正方形OABC 绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上停止，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论．【分析】（1）把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG，如图1，根据旋转的性质得∠EDG＝90°，DE＝DG，AE＝CG，∠DCG＝∠A＝90°，再证明△DFE≌△DFG得到EF＝FG，则EF＝FC+CG＝FC+AE；（2）如图2，利用直线y＝x为第一、三象限的角平分线得到∠MON＝45°，根据（1）的结论得MN＝AM+CN，然后利用等线段代换得到P＝2AB，从而可判断P的值为定值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠ACB＝90°，把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG，如图1，∴∠EDG＝90°，DE＝DG，AE＝CG，∠DCG＝∠A＝90°，∵∠DCB+∠DCG＝180°，∴B、C、G三点共线，∵∠EDF＝45°，∴∠GDF＝∠EDG﹣45°＝45°，∴∠EDF＝∠GDF，在△DFE和△DFG中，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝FC+CG＝FC+AE；（2）解：在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．理由如下：∵直线y＝x为第一、三象限的角平分线，∴∠MON＝45°，由（1）的结论得MN＝AM+CN，∴P＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝BA+BC＝2AB，而AB为正方形的边长，∴P的值为定值．24．（11分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB 分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，再由角平分线的意义和圆周角定理可求出∠AOE＝90°，得出OE⊥AB，最后由MN∥AB，得出OE⊥MN，进而得出结论；（2）根据等腰直角三角形的边角关系可求出AE＝BE＝5，再由相似三角形求出BN，CE，进而求出CD．【解答】证明：（1）补全图形如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，又∵MN∥AB，∴OE⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）过点C作CQ⊥MN，垂足为Q，交AB于点P，则CQ⊥AB，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10∴OE＝PQ＝OA＝OB＝5，由三角形的面积公式得，AC•BC＝AB•CP，∴6×8＝10CP，∴CP＝4.8，∴CQ＝4.8+5＝9.8，∵AB∥MN，∴△CAB∽△CMN，∴＝，即＝，∴MN＝，连接BE，则BE＝AE，在Rt△ABE中，AE＝BE＝×AB＝5，∵EN是⊙O的切线，∴∠BEN＝∠BCE＝∠ACE，∵ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠EBN＝∠CAB，∴△AEC∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝，∵∠ACE＝∠ECN，∠CAE＝∠CEN，∴△CAE∽△CEN，∴＝，即＝，解得，CE＝7，又∵∠ACD＝∠ECB，∠CAD＝∠CEB，∴△ACD∽△ECB，∴＝，即＝，解得，CD＝，∴MN＝，CD＝．25．（13分）已知抛物线的对称轴是直线m，顶点为点M，若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x﹣10123y1030（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线m′，A为直线m′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线m′于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2），①用含t与x的代数式示y2．②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先根据（1）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M 的坐标．①记直线m与直线m′交于点C（1，t），当点A′与点C 不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥m，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM＝PA＝|y2﹣t|，过点P作PQ⊥m于点Q，则点Q（1，y2），故QM＝|y2﹣3|，PQ＝AC ＝|x﹣1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x 之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，求出y1﹣y2的值，进而求解．解：（1）∵抛物线经过点（0，），∴c＝．∴y1＝ax2+bx+，∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1＝ax2+bx+上，∴，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝﹣x2+x+；（2）∵y1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，∴直线m为x＝1，顶点M（1，3）．①由题意得，t≠3，如图，记直线m与直线m′交于点C（1，t），当点A与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ABMP为菱形，∴PA∥m，又∵点P（x，y2），∴点A（x，t）（x≠1），∴PM＝PA＝|y2﹣t|，过点P作PQ⊥m于点Q，则点Q（1，y2），∴QM＝|y2﹣3|，PQ＝AC＝|x﹣1|，在Rt△PQM中，∵PM2＝QM2+PQ2，即（y2﹣t）2＝（y2﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y2＝（x﹣2）2+，即y2＝x2﹣x+；∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P（1，），∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2＝x2﹣x+（t ≠3）；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），∵3＞，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，y1﹣y2＝﹣（x﹣1）2+3﹣[（x﹣1）2+]＝（x ﹣1）2+，若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y＝（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞，符合题意；若3t﹣11＝0，y1﹣y2＝﹣＜0，即t＝也符合题意．综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥．。
省级重点 福建省福州第一中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷(无答案)
福州一中2024-2025学年度第一学期期中考试初三数学试卷（完卷120分钟，满分150分）一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上）1．若两个相似图形的相似比是，则它们的面积比是（ ）A ．B ．C ．D ．2．把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若关于x 的方程有一个根为，则a 的值为（ ）A ．6B ．C ．4D ．4．如图，将绕点A 顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，C ，D 是上直径两侧的两点．设，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态，为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程3:73:79:407:39:4922y x =22(1)y x =-22(1)y x =+221y x =-221y x =+250x x a ++=1-6-4-ABC △60︒AED △5AB =4AC =2BC =BE O e AB 25ABC ∠=︒BDC ∠=85︒75︒70︒65︒432(12)507x +=2432(12)507x +=2432(1)507x +=2432432(1)432(1)507x x ++++=2(0)y ax bx c a =++≠的一个近似解x 的范围是（ ）x…01…y…11…A ．B ．C ．D ．8．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）A ．B ．C ．D ．9．把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（ ）A．B ．C ．D ．10．点，在抛物线上，且满足，，，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．或C ．D ．或二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上）11．在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为____________．12．点A 坐标为，点A 与点B 关于原点中心对称，点B 坐标为____________．13．已知抛物线与x 轴只有一个交点，则____________．14．如图，在中，是的弦，的半径为，C 为上一点，，则20(0)ax bx c a ++=≠3-2-1-11-5-1-10x -<<01x <<23x <<34x <<5m 4m 26m 27m 28m 29m 1613151411(,)A x y 22(,)B x y 221y mx mx =--12x x >122x x m +=-12y y <302m <<32m >0m <01m <<1m >0m <(1,2)22y x x c =-+c =O e AB O e O e 3cm O e 60ACB ∠=︒AB的长为____________．15．当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为____________．16．中，，，D 在线段上运动，以为斜边作，使，点E 和点A 位于的两侧，连接，则的最小值为____________．三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上）17．（本题8分）解方程：（1）；（2）．18．（本题8分）如图，在中，，，于E ．求证：．19．（本题8分）如图，每个小正方形的边长均为1，方格纸中画有，、、均在小正方形的顶点上．（1）将绕点逆时针旋转得到，画出；（2）在（1）的旋转过程中，求点运动的路径的长度．cm x a =()x b a b =≠223x x --x a b =+223x x --ABC △90ACB ∠=︒AC BC ==AB CD Rt CDE △30DCE ∠=︒CD BE BE 2280x -=213502x x --=ABC △AB AC =BD CD =CE AB ⊥ABD CBE △∽△111A B C △1A 1B 1C 111A B C △1C 90︒221A B C △221A B C △1A20．（本题8分）如图，以线段为直径作，交射线于点C ，平分交于点D ，过点D 作直线于点E ，交的延长线于点F ．连接并延长交于点M ．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：．21．（本题8分）已知抛物线经过点，，且有最大值4．（1）求抛物线的表达式；（2）若，求函数值y 的取值范围．22．（本题10分）一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．（1）若从袋中随机摸出一球，则该球是红球的概率为____________；（2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由．23．（本题10分）正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形．如图，圆O 的半径1，和是相互垂直的直径，直线l 是过点C 的圆的切线．（1）尺规作图：①作的中点E ，②以C 为圆心，的长为半径交切线于点F ，③以F 为圆心，的长半径交切线于点G ，且F 、G 在直线的两侧，连接、．（2）结合材料，在线段、、中，判断哪条线段的长度等于圆O 的内接正五边形的边长，并说明理由．24．（本题12分）根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃：素材1：有一堵长m 米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y ，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃．AB O e AC AD CAB ∠O e DE AC ⊥AB BD AC DE O e AB AM =(1,0)(3,0)13x -<<AC BD OC OE OF AC OF OG OF OG EF 020m <<60m素材2：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图1），求解决过程如下：设平行于墙面的篱笆长为n米，则垂直于墙面的篱笆长为依题意得：∵函数开口向下，对称轴为直线∴当时，y 随n 的增大而增大∴时，y 的最大值为素材3：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图2）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图3）设墙左端篱笆长为x 米，解决下列问题：任务1：当时，对于乙的方案，则可知____________（用含x 的代数式表示），花圃面积____________（用含x 的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务2：对于丙的方案，设所用墙的长度为a 米（），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务3：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由．25．（本题14分）如图是一张矩形纸片，点M 是对角线的中点，点E 在边上．（1）如图1，将沿直线折叠，使点C 落在对角线上的点F 处，连接，．①若，，求对角线的长；②若，求的度数及此时的值．（2）如图2，若，，连接、，将沿折叠，点C 的对应点为点G ，当线段与线段交于点H 且为直角三角形时，求此时的长．602n -2(60)130(020)22n n y n n n m -==-+<≤<30n =0n m <≤n m =21302m m-+AM 12m =BC AD ==y =MD a m <ABCD AC BC DCE △DE AC DF EF 30EDC ∠=︒1DE =AC MF CD =DAF ∠CD AC3CB =2CD =BM ME MEC △ME GE BM BHE △BE。
福州市2021年九年级上学期数学期中考试试卷(I)卷
福州市2021年九年级上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）若反比例函数的图象经过点（m ， 3m），其中m≠0，则此反比例函数图象经过（）A . 第一、三象限B . 第一、二象限C . 第二、四象限D . 第三、四象限2. （2分）如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E。
若OD＝2，则△OCE的面积为（）A . 2B . 4C .D .3. （2分） (2017九上·河东开学考) 用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A . （x+5）2=16B . （x+5）2=1C . （x+10）2=91D . （x+10）2=1094. （2分） (2019九上·桂林期末) 若反比例函数y= 的图象经过点(2，-1)，则该函数的图象位于（）A . 第一、三象限B . 第三、四象限C . 第一、二象限D . 第二、四象限5. （2分）已知一元二次方程x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（）A . 该方程有两个相等的实数根B . 该方程有两个不相等的实数根C . 该方程无实数根D . 该方程根的情况不确定6. （2分）(2017·港南模拟) 已知，则的值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020·龙海模拟) 如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则AE的长度为（）A .B .C .D . 48. （2分） (2019九上·揭阳月考) 某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（）A . 8B . 20C . 36D . 18二、填空题 (共6题；共10分)9. （1分）(2019·朝阳模拟) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、（k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________.10. （1分） (2019九上·台州期中) 已知是一元二次方程，则k=________.11. （1分） (2019八上·徐汇月考) 已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x²-3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=________.12. （1分） (2016九上·滁州期中) 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y 轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1 ，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为________．13. （5分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是________厘米．14. （1分）(2012·宿迁) 在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=﹣和y=于A，B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于________三、解答题 (共8题；共62分)15. （5分） (2016九上·长春月考) 解方程：x（x﹣2）=2x+1．16. （10分）(2020·济宁) 我们把方程(x- m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0, 4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．（1）求圆C的标准方程；（2）试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．17. （2分）在△ABC中,AB=4cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒后,点P、B、Q构成的三角形△PBQ 与△ABC相似?18. （10分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，-4），B（3，-2），C（6，-3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2 ，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．19. （5分） (2019九上·宜昌期中) 空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米.已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图，求所利用旧墙AD的长；20. （15分） (2019九上·天心开学考) 某旅客携带xkg的行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行李，托运费y1(元)与行李重量xkg的对应关系由如图所示的一次函数图象确定，下表列出了快递费y2(元)与行李重量xkg的对应关系．行李的重量xkg快递费不超过1kg10元超过1kg但不超过5kg的部分3元/kg超过5kg但不超过15kg的部分5元/kg（1）如果旅客选择单托运，求可携带的免费行李的最大重量为多少kg？（2）如果旅客选择快递，当1＜x≤15时，直接写出快递费y2(元)与行李的重量xkg之间的函数关系式；（3）某旅客携带25kg的行李，设托运mkg行李(10≤m＜24，m为正整数)，剩下的行李选择快递，当m为何值时，总费用y的值最小？并求出其最小值是多少元？21. （5分）钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来众多钟楼中保存最完整的一座．为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到F点时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜小亮到H点时正好在平面镜中看到顶尖A（点B、C、F、D、H共线）．小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度，（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）22. （10分）(2017·昌平模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F．（1）求证：DF=2BF；（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD= 时，若CD= ，求AD长．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共8题；共62分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
福建省福州鼓楼区2020-2021学年第一学期九年级上册期中考试数学试卷
2020－2021学年福州鼓楼区九年级第一学期期中考试数学试卷(范围：九上全册满分：150分完卷时间：120分钟)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2．已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在()A．⊙O内B．⊙O外C．⊙O上D．不确定3．一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的解是()A．x＝－1B．x＝2 C．x1＝－1，x2＝2 D．没有实数根4．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－3)2－4，则b的值为() A．0B．5 C．6D．－65．抛物线y＝2(x－2)2＋5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是()A ．x ＝2B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0 6．以x ＝3±9－4c2为根的一元二次方程可能是( )A ．x 2－3x －c ＝0B ．x 2＋3x －c ＝0C ．x 2－3x ＋c ＝0D ．x 2＋3x ＋c ＝07．如图，C 在⌒AB 上，点D 在半径OA 上，则下列结论正确的是( )A ．⊙DCB ＋12⊙O ＝180° B ．⊙ACB ＋12⊙O ＝180°C ．⊙ACB ＋⊙O ＝180°D ．⊙CAO ＋⊙CBO ＝180° 第7题8．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△AB 1C 1，连接BC 1，则BC 1的长为( )A ．3B ．2 3C ．2 2D ．49．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与直线y ＝x 交于(1，1)和(3，3)两点，以下结论：①b 2－4c ＞0；②3b ＋c ＋6＝0；③2b ＋c ＋4＞2；④当1＜x ＜3时，x 2＋(b －1)x ＋c ＜0，其中正确的序号是 ( )A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④ 10．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数,则把点M 叫做“整点”.例如：P (1,0)、Q (2,−2)都是“整点”.抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m －1(m ＞0)与x 轴交于A 、B 两点,若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域(包括边界)恰有6个整点,则m 的取值范围是( )A ．18≤m ≤14B ．19＜m ≤14C ．19≤m ＜12D ．19＜m ＜14(第8题图) (第9题图) (第14题图) (第16题图)二、填空题(每题4分，共24分)11.已知二次函数y＝x2－2的顶点坐标为_________；12.在－3，－2，1，2，3五个数字中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2＋4x－2中a的值，则该二次函数图像开口向上的概率是_________；13．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为__________________；14．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C, F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为__________；15．汽车刹车后行驶的距离s(米)与行驶的时间t(秒)函数关系式是s＝15t－6t2，汽车刹车后停下来前进了_________米；16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC上的一动点，(不与B，C重合)，连结AE,过点D作DF⊥AE,垂足为F，则线段BF长的最小值为__________.三、解答题(本大题共9小题，共86分)17.(8分)解方程：x2＋4x－4＝018.(8分)关于x的一元二次方程mx2＋(3m－2)x－6＝0，当m为何值时，方程总有两个不相等的实数根.19.(8分)下表给出了代数式－x2＋bx＋c与x的一些对应值：(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值；(2)设y＝－x2＋bx＋c，直接写出当0≤x≤2时，y的最大值.20．(8分)在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，仅用无刻度的直尺(不能使用圆规)分别按下列要求划圆(保留画图痕迹).(1)请在图中画出BA边上的高CD.(2)请在图中画出弦DE，使得DE∥BC.21．(8分)肖红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作，根据社区的安排,志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀).(1)肖红的爸爸被分到B组的概率是________(2)我校林老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求林老师和肖红爸爸被分到同一组的概率是多少？22．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCB＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，与BC交点于F平分BC，若AB＝10，∠B＝30°，求CD的长.23．(10分)我市高新区某企业接到批产产品的生产任务，按要求必须在14天内完成，已知每件产品的售价为60元，工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系:y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ，0≤x ≤4，5x ＋10，4＜x ≤14. (1)工人甲第几天生产的产品数量为60件?(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数关系图象如图，工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求第几天的利润最大，最大利润是多少?24.(12分)如图，在边长为8的等边△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是平面上一点，且线段DE ＝2,将线段EB .绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，连接AF .(1)如图1，当BE ＝2时，求线段AF 的长(2)如图2，求证:AF ＝CE25.(14分)在平面直角坐标系中点A(1，0)，已知抛物线y＝x2＋mx－2m(m是常数)，顶点为P.(1)当抛物线经过点A时，①求项点P的坐标.②设直线l：y＝3x+1与抛物线交于B，C两点，抛物线上的点M的横坐标为n(－1≤n≤3)，过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q，若MQ＝d，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围.(2)无论用取何值，该能物线都经过定点H，当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式.2020－2021学年鼓山格致第一学期期中考试九年级数学试卷参考答案1.D2.B3.C4.D5.B6.A7.B8.A9.C10.B11. (0,－2) 12.3513.x(x－12)＝864 14. 6 15.75816. 213－418.19.20.21. (1)13(2)设林老师用甲表示，肖红爸爸用乙表示，体温监测记录组用A 表示，便民代购组用B 表示，环境消毒组C 用表示，画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中林老师和肖红爸爸被分到同一组的有种3结果，即所以林老师和肖红爸爸被分到同一组的概率为.22.(1)略(2)53223.24．解：(1)作AG⊥BC于G点，延长FE交AG于H点∵AB＝AC，∴∠BAG＝30º，……………………1分∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴∠BEF＝60º，∴∠BEF ＝∠B ，∴EF ∥BC ， …………………………2分∵AG ⊥BC ，∴AG ⊥FH ， …………………………3分在Rt △AEH 中,∵AE ＝6,∠EAH ＝30º，∴132EH AE ==,AH ==在Rt △AFH 中，AF ===.……………………4分方法二：(1)连接FB ,作FP ⊥AB 于P 点，∵EB 绕点E 顺时针旋转60º得到线段EF ，∴△EBF 是等边三角形，…………………………1分又∵FP ⊥AB ，∴∠EFP ＝30º，∴112EP EF == ，……………………………2分 ∴AP ＝7，在Rt △EFP 中, PF =………3分在Rt △APF 中, AF === …………………4分(2)①连接FB，∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴△EBF是等边三角形，∴FB＝EB, ∴∠FBE＝∠ABC＝60º…………………………………………………………6分∴∠FBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA即∠FBA＝∠EBC，…………………………………………………………………………7分又∵AB＝BC，∴△FBA≌△EBC，………………………………………………………………………8分∴AF＝CE，…………………………………………………………………………………9分25.。
福建省福州一中2020-2021学年第一学期九年级上册期中考试数学试题
第1页（共9页）2020-2021年福州一中初三上期中考试卷一．选择题（共11小题）1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）A ．1：16B ．1：4C ．1：6D ．1：23．把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A ．y ＝x 2+2B ．y ＝（x ﹣1）2+1C ．y ＝（x ﹣2）2+2D ．y ＝（x ﹣1）2+34．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）A ．图形的平移B ．图形的旋转C ．图形的轴对称D ．图形的相似5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF6．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝107．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）第2页（共9页）第3页（共9页）A ．乙错，丙对B ．甲和乙都错C ．乙对，丙错D ．甲错，丙对8．在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR9．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD 的长为（ ）A ．12尺B ．56尺5寸C ．57尺5寸D ．62尺5寸10．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0，c ＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x=12．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜−12．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共4小题）11．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根是x＝1，则另一个根是．12．在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点称为一次变换．已知点A的坐标为（﹣1，0），把点A经过连续2013次这样的变换得到的点A2013的坐标是．13．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB ＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为第4页（共9页）15．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为．16.点A、B、C都在半径为6的圆O上，且∠AOC=120°，点M是弦AB的中点，则CM的长度的最大值为。
2020年福州市初三数学上期中试题(附答案)
2020年福州市初三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是()A．①③B．②③C．②④D．②③④4．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．5．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A ．AB ．BC ．CD ．D6．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m 2，道路的宽为xm ，则可列方程为（ ）A ．32×20﹣2x 2＝570 B ．32×20﹣3x 2＝570 C ．（32﹣x ）（20﹣2x ）＝570 D ．（32﹣2x ）（20﹣x ）＝5707．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠3 8．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >且k ≠1B ．12k >C ．12k ≥且k ≠1D ．12k < 9．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．810．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．任意数的绝对值都是正数B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋aD ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上 11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 12．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，将Rt ABC V 绕直角顶点C 顺时针旋转90o ，得到DEC V ，连接AD ，若25BAC ∠=o ，则BAD ∠=______．14．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠D ＝20°，则∠CBA 的度数是__．17．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；18．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________．19．如图，O e 的半径为2，切线AB 的长为23，点P 是O e 上的动点，则AP 的长的取值范围是_________．20．已知关于x 的二次函数y=ax 2+(a 2-1)x-a 的图象与轴的一个交点的坐标为(m ，0)，若2<m<3，则a 的取值范围是_________．三、解答题21．如图，AB 是O e 的直径，点C D 、在O e 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作O e 的切线，分别交OA 的延长线与OC 的延长线于点E F 、，连接BF 。
福建省福州一中2021-2022学年第一学期期中考九年级数学试卷
福州一中2021-2022学年第一学期期中考试初三数学试卷（完卷120分钟满分150分）一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A .B .C .D .2.下列事件中，是随机事件的是（ ）A 三角形的内角和是180°B .掷两次骰子，点数和为15C .掷一次骰子，向上一面的点数是5D .两个负数的和大于03.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =6，DB =3，AE =4，则CE 的长为（ ）A .1B .2C .3D .44.如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线P A 、PB ，切点分别是A 、B ，如果∠APB =60°，P A =6，那么弦AB 的长是（ ） A .3B .6C .6√3D .10√35.已知圆锥的底面半径为5 cm ，母线长为10 cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A .60π cm 2B .75π cm 2C .100π cm 2D .125π cm 26.如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，已知AB =m ，∠BAC =α，则下列结论错误的是（ ） A .∠BDC =αB .tan α=BCmC .sin α=m ACD .cosa =m AC7.如图，在△ABC 所在平面上任意取一点O （与A 、B 、C 不重合），连接OA 、OB 、OC ，分别取OA 、OB 、OC 的中点A 1、B 1、C 1，连接A 1B 1、A 1C 1，B 1、C 1得到△A 1B 1C 1，则下列说法错误的是（ ）A .△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形B .△ABC 与△A 1B 1C 1是相似图形C .△AABC 与△A 1B 1C 1的周长比为2:1D .△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为2:1第3题CB AED P第4题m α第6题CBA ODC 1B 1A 1第7题CBAO8.如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB ∥CD ，若∠BAC =32°，则∠AOD 等于（ ） A .64°B .48°C .32°D .76°9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙P 的半径为2，点P 的坐标为（－3，0），若将⊙P 沿x 轴向右平移，使得点（0，1）落在⊙P 上，则⊙P 向右平移的距离为（ ） A .1B .5C .3−√3或3+√3D .1或510.抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x =−1，其图象如图所示.下列结论:①abc >0；②若(x 1,y 1)和(x 2,y 2)是抛物线上的两点，则当│x 1+1│>│x 2+1│时，y 1<y 2；③若抛物线的顶点坐标为（－1，m ），则关于x 的方程ax 2+bx +c =m −1无实数根.其中正确结论的个数是（ ） A .3B .2C .1D .0二、填空题:本题共6小题，每小题4分，共24分.11.一个扇形的半径为3 cm ，面积为 cm 2，则此扇形的圆心角为_________度. 12.已知某正多边形的半径等于边长，则该多边形的边数为_________.13.一个口袋中装有红球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，随机从中摸出一球后放回，进行100次该实验后共摸到81次红球，则估计口袋里红球个数为_________. 14.已知二次函数y =ax 2+bx +c 过点（2，0），则−2b −c 的值为15.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =8，点O 为BC 的中点，以O 为圆心OB 为半径作半圆；交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是_________.16.如图，点C 为线段AB 的中点，E 为直线AB 上方的一动点，且满足CE =CB ，连接AE ，以A 为直角顶点，AE 为腰，在直线AB 上方作等腰直角三角形ADE ，连接CD ，当CD 最大时，下列结论:①D 、A 、C 、E 四点共圆；②3∠AEC =∠DEA ；③DC 平分∠ADE ；④2AD 2=DC 2+AC 2.其中正确的是_________.三、解答题:本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分8分）计算:sin60°−tan30°+2sin 245°.O第8题CBAD第10题第15题CE第16题C BAD18.（本小题满分8分）如图，点B 、C 分别在△ADE 的边AD 、AE 上，且AC =3，AB =2.5，EC =2，DB =3.5.求证:△ABC ∽△AED .19.（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (-1,1)、B (-3,1)、C (-1,4).（1）将△ABC 绕着点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ，则A 1坐标为_________，并在图中画出△A 1B 1C ；（2）求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）20.（本小趣满分8分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可新生事物”进行调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图. （1）根据图中信息求出m =_________，n =_________； （2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）已知A 、B两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”，D 同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物一样的概率.21.（本小题满分8分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD⊥AB ，垂足为E ，已知CD =6，AE =1，求⊙O 的半径.ECBADB22.（本小题满分10分）如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（1，0），（3，0），（2，2），根据图象解答下列问题: （1）直接写出方程ax 2+bx +c =0的两个根； （2）直接写出不等式ax 2+bx +c ≤0的解集；（3）若方程a(x −1)2+b(x −1)+c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.23.（本小题满分10分）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中x ≥10，且x 为整数），且每天洗手液的销售量至少为70瓶.当每瓶售价是14元时，每天销售量为80瓶；当每瓶售价是13元时，每天销售量为85瓶.（1）求y 与x 之间的函数关系式，以及x 的取值范围；（2）为了回馈社会，超市决定每卖出一瓶洗手液就捐赠n 元（n >0），已知该超市每天在该洗手液销售上可获得的最大利润为350元，则n 的值是多少?24.（本小题满分13分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，过点C 作直线CP 与AB 的延长线相交于点P ，且PC =PF ，连接BE . （1）求证:△BCE ∽△FBE ； （2）求证:PC 为⊙O 的切线；（3）若tan∠ABC =2，BE =2√10，求线段PC 的长.25.（本小题满分13分）已知:关于x 的二次函数y =ax 2−2ax +(a −1)(m 2−6m +8)图象开口向下.（1）若图象经过原点与（1，4），求该函数的解析式以及m 的值； （2）当2<m <3时，求证:该二次函数与x 轴必有两个交点；（3）设该二次函数与x 轴存在一个交点(x 1,0)且x 1≥2，以原点O 为圆心，m 为半径作圆，求证: ⊙O 与该函数对称轴一定相交，并求出相交弦长的取值范围.P A。
【5套打包】福州市初三九年级数学上期中考试检测试卷(含答案解析)
新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．6 B ．－6 C ．5 D ．－5 5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 3第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图10．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是 ．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 ．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t－1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是 度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为 ．第10题图第16题图第15题图三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程x2－3x＋1＝018．（本题8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝2的根；（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.19．(本题8分) 关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两根为x1、x2且x12＋x22＝7，求m的值.20．(本题8分) 如图，△ABC是等边三角形.（1）作△ABC的外接圆；（2）在劣弧BC上取点D，分别连接BD，CD，并将△ABD绕A点逆时针旋转60°；（3）若AD＝4，直接写出四边形ABDC的面积.21．(本题8分) 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点E，AE＝6，，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G.（1）求CD的长；（2）求EG的长.第18题图第20题图AB C第21题图A B22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D .（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD ≤MN ，设AD ＝x 米.①若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； ②求矩形菜园ABCD 面积的最大值；（2）如图2，若a ＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD 面积的最大值是 米2.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是△ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，且PA，设∠APB ＝α，∠CPB ＝β.（1）如图1，若∠ACP ＝45°，将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC ，连结新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.B.C.D.2. 观察下列汽车标志，其中是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.3. x =2不是下列哪一个方程的解（ ）A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程3x 2-2x +a =0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A BCDMN NM DC BA第22题图2第22题图1A. B. C. D.5.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（）A. 正数B. 非负数C. 一切实数D. 零6.函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（）A. B. 0 C. 或1 D. 17.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A. B.C. D.8.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴是C. 当时，y的最大值为4D. 抛物线与x轴的交点为，9.若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A. 13B. 16C. 12或13D. 11或1610.如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（）A. 点B和点E关于点O对称B.C. △ ≌△D. △与△关于点B中心对称11.如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下列结论成立的有（）①AE=AC；②∠EAC=∠BAD；⑧BC∥AD；④若连接BD，则△ABD为等腰三角形A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.二次函数y=ax2+bx+c中，b=4a，它的图象如图所示，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③b2-4ac＜0；④abc＜0；⑤4a＞c．其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知一元二次方程2x2+x+m=0的一个根是1，则m的值是______．14.在直角坐标系中，点（-3，6）关于原点的对称点是______．15.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．16.若抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，则c的取值是______．17.把二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象对应的解析式为______．18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B=______度．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．20.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）21.用适当的方法解下列方程（1）（y+3）2-81=0（2）2x（3-x）=4（x-3）（3）x2+10x+16=0（4）x2-x-=022.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？23.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．24.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．为了赚得8000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、2x-y=1，是二元一次方程，故此选项错误；B、x+3xy+y2=2，是二元二次方程，故此选项错误；C、=，是一元二次方程，正确；D、x2+=3，含有分式，故此选项错误．故选：C．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握方程定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．结合中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：A，当x=2时，方程的左边=3×（2-2）=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是A中方程的解；B，当x=2时，方程的左边=2×22-3×2=2，右边=2，则左边=右边，故x=2是B中方程的解；C，当x=2时，方程的左边=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是C中方程的解；D，当x=2时，方程的左边=22-2+2=4，右边=0，则左边≠右边，故x=2不是D中方程的解；故选：D．把x=2分别代入各个方程的两边，根据方程的解的定义判断即可．本题考查的是一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，∴△≥0，即22-4×3×a≥0，解得a≤．故选：A．根据△的意义得到△≥0，即22-4×3×a≥0，解不等式即可得a的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5.【答案】B【解析】解：当m≥0时，一元二次方程x2=m有解．故选：B．利用平方根的定义可确定m的范围．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．6.【答案】D【解析】解：∵函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，∴m2+m=2，m+2≠0，解得：m=1．故选：D．直接利用二次函数的定义分析得出答案．此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．7.【答案】B【解析】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C错误，故选：B．根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：把（0，-3）代入y=x2-2x+c中得c=-3，抛物线为y=x2-2x-3=（x-1）2-4=（x+1）（x-3），所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x=1时，y的最小值为-4，与x轴的交点为（-1，0），（3，0）；C错误．故选：C．把（0，-3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．9.【答案】A【解析】解：∵x2-5x+6=0，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x1=3，x2=2，∵三角形的两边长分别是4和6，当x=3时，3+4＞6，能组成三角形；当x=2时，2+4=6，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是3，∴这个三角形的周长为：4+6+3=13故选：A．首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．10.【答案】D【解析】解：A、点B和点E关于点O对称，说法正确；B、CE=BF，说法正确；C、△ABC≌△DEF，说法正确；D、△ABC与△DEF关于点B中心对称，说法错误；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可知△ABC≌△DEF，再根据全等的性质可得EC=BF，进而可得答案．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．11.【答案】C【解析】解：∵△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，∴△ABC≌△ADE，∴AE=AC，故正确；∠CAB=∠EAD，AB=AD，∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，∴∠EAC=∠BAD，故正确；连接BD，则△ABD为等腰三角形，故正确，故选：C．根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：由图象可得，c＞0，a＞0，b＞0，故正确，当x=1，y=a+b+c＞0，故正确，函数图象与x轴两个不同的交点，故b2-4ac＞0，故错误，∵b=4a，＜0，a＞0，解得，4a＞c，故正确，∵c＞0，a＞0，b＞0，∴abc＞0，故错误，故选：C．根据函数图象可以判断a、b、c的正负，根据b=4a可以得到该函数的对称轴，从而可以判断各个小题是否正确，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．13.【答案】-3【解析】解：∵一元二次方程2x2+x+m=0的一个根为1，∴2×12+1+m=0，解得m=-3．故答案是：-3．把x=1代入已知方程列出关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m 的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14.【答案】（3，-6）【解析】解：点（-3，6）关于原点的对称点为（3，-6）．故答案为：（3，-6）．根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．15.【答案】50（1-x）2=32【解析】解：由题意可得，50（1-x）2=32，故答案为：50（1-x）2=32．根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．16.【答案】-16【解析】解：∵抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，∴=0，解得，c=-16，故答案为：-16．根据题意，可知抛物线顶点的纵坐标等于0，从而可以求得c的值．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】y=（x-2）2-3【解析】解；将二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x-2）2+2-5，即y=（x-2）2-3，故答案为：y=（x-2）2-3．根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．18.【答案】65【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，∴∠ACA′=90°，CA=CA′，∠B=∠CB′A′，∴△CAA′为等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∵∠CB′A′=∠B′AC+∠1=45°+20°=65°，∴∠B=65°．故答案为65．先根据旋转的性质得到∠ACA′=90°，CA=CA′，∠B=∠CB′A′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′=45°，然后利用三角形外角性质计算出∠CB′A′，从而得到∠B的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．19.【答案】解：由题意得，，解得，，则抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1．【解析】利用待定系数法求出抛物线的解析式．本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质，待定系数法求解析式的一般步骤是解题的关键．20.【答案】解：（1）把A（-1，0）代入y=-x+m得1+m=0，解得m=-1，∴一次函数解析式为y=-x-1；把A（-1，0）、B（2，-3）代入y=ax2+bx-3得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；（2）当-1＜x＜2时，y2＞y1．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数和抛物线解析式；（2）利用函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．21.【答案】解：（1）（y+3）2-81=0y+3=±9，解得：y1=-12，y2=6；（2）2x（3-x）=4（x-3）2x（3-x）-4（x-3）=0，2（3-x）（x+2）=0，解得：x1=3，x2=-2；（3）x2+10x+16=0（x+2）（x+8）=0，解得：x1=-2，x2=-8；（4）x2-x-=0∵△=b2-4ac=3+1=4，∴x=，解得：x1=，x2=．【解析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案；（3）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；（4）利用公因式法解方程得出答案．此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解方程的方法是解题关键．22.【答案】解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x-1=21，即=21，∴x2-x-42=0，∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）．答：应邀请7个球队参加比赛．【解析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解．此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．23.【答案】解：（1）∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，解得k＞-；（2）当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，因式分解得（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2．【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k 的不等式，求出k的取值范围；（2）k取负整数，再解一元二次方程即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．24.【答案】解：设涨价x元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（500-10x）个，…（1分）依题意得：（50-40+x）（500-10x）=8000，…（5分）解得x1=10 x2=30，当x=10时，x+50=60，500-10x=400；当x=30时，x+50=80，500-10x=200 …（8分）答：售价定为每个60元时应进货400个，或售价定为每个80元时应进货200个．…（9分）【解析】总利润=销售量×每个利润．设涨价x 元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．6 B ．－6 C ．5 D ．－5 5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 3第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图10．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是 ．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 ．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t－1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是 度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为 ．第10题图第16题图第15题图三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程x2－3x＋1＝018．（本题8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝2的根；（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.19．(本题8分) 关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两根为x1、x2且x12＋x22＝7，求m的值.20．(本题8分) 如图，△ABC是等边三角形.（1）作△ABC的外接圆；（2）在劣弧BC上取点D，分别连接BD，CD，并将△ABD绕A点逆时针旋转60°；（3）若AD＝4，直接写出四边形ABDC的面积.21．(本题8分) 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点E，AE＝6，，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G.（1）求CD的长；（2）求EG的长.第18题图第20题图AB C第21题图A B22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D.（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD≤MN，设AD＝x米.①若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；②求矩形菜园ABCD面积的最大值；（2）如图2，若a＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD面积的最大值是米2.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，且PA，设∠APB＝α，∠CPB＝β.（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）AB CDM NNMDCBA第22题图2第22题图1A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A ．y ＝3（x ﹣2）2+1 B ．y ＝3（x +2）2﹣1 C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+16．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ） A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） A ．x （x +1）＝1035 B ．x （x ﹣1）＝1035×2 C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ． 14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ． 18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 三.解答题（本大题共8个小题，） 19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0 x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式． 21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值． 22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y 轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0， ∴x ﹣2＝0或x ＝0， 解得，x 1＝2，x 2＝0； 故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ） A ．（x +1）（x ﹣2）＝0 B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断； 根据方程解的定义对B 进行判断； 根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程， 5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A ．y ＝3（x ﹣2）2+1 B ．y ＝3（x +2）2﹣1 C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．。
2020-2021学年度九年级(上)期中数学试卷 (附答案)
2020-2021学年度九年级（上）数学期中试卷（附答案）一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共18分）1．（3分）如下图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，A、B、C三点在圆O上，∠B＝36°，则∠A O C的度数为（）A．36°B．54°C．72°D．90°3．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）4．（3分）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AP上运动，则OP的最小值是（）A．2B．3C．4D．55．（3分）已知函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，（x，2017）、（x，2017）是12该函数图象上的两个点，则当x=122时，函数值y＝（A．﹣2017B．c C．0）D．c﹣20176．（3分）下表中所列x，y的数值是某二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x＜x＜x＜x＜x＜x＜x，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（）①a 1234567＞0；②9＜m＜16；③k≤9；④b2≤4a（c﹣k）x… (x1x2)mx3x4kx5x6mx7……y169916 A．①②B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）函数y=√3−中，自变量x的取值范围是．8．（3分）如图，将正三角形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正三角形重合，那么旋转的角度至少是度．9．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根分别是x，x，那么（1+x）（1+x）的值1212是．10．（3分）如图，将△AB C绕点A逆时针方向旋转到△A DE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠B＝125°，∠E＝30°，则∠α＝°．11．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，有下列结论：．①二次三项式ax2++的最大值为4；②4+2+＜0；③一元二次方程2++＝1的bx c a b c ax bx c 两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．x2﹣2x﹣15＝0．̂̂14．（6分）如图，在⊙O中，=A40D，∠＝°，求∠的度数．15．（6分）如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽1度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池41面积的，求道路的宽．616．（6分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B′落到BC边上，∠B＝50°．求∠CB′C′的度数．17．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的解析式；（2）填空：该抛物线的对称轴是；顶点坐标是；当x＝时，y随x的增大而减小．18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BA D是它的个外角，OP⊥B C交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的角平分线AF；（2）在图2中，画出△ABC的外角∠BA D的角平分线A G．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2＝0．（1）不解方程，判别方程的根的情况；（2）方程有两个不相等的正整数根时，求整数a的值．20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且O D∥B C，O D与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CA D的度数；（2）若AB＝4，A C＝3，求DE的长．21．（8分）如图，△OB D中，O D＝B D，△OB D绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OA C，此时B，D，C三点正好在一条直线上，且点D是B C的中点．（1）求∠C O D度数；（2）求证：四边形O D A C是菱形．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．。
2020-2021学年福建省福州市九年级上学期期中考试数学模拟试卷及答案解析
第 1 页 共 25 页 2020-2021学年福建省福州市九年级上学期期中考试
数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中，中心对称图形有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．（4分）关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定
3．（4分）已知⊙O 的直径为12cm ，圆心到直线L 的距离5cm ，则直线L 与⊙O 的公共点
的个数为（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．不确定
4．（4分）在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球8个，黄球n 个，搅
匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为13，则放入的黄球个数n ＝（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5．（4分）如图，在⊙O 中，弦AB 为8mm ，圆心O 到AB 的距离为3mm ，则⊙O 的半径等
于（ ）
A ．3mm
B ．4mm
C ．5mm
D ．8mm
6．（4分）将抛物线y ＝2（x ﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
得到抛物线的解析式是（ ）
A ．y ＝2（x ﹣6）2
B ．y ＝2（x ﹣6）2+4。