高考试题分类解析排列组合二项式定理
高考数学 11 排列组合二项式定理试题解析 教师 文 试题
三、解答题:
7．〔2021年高考卷23〕〔本小题满分是10分〕
设集合 ， ．记 为同时满足以下条件的集合A的个数：
① ；②假设 ，那么 ；③假设 ，那么 ．
〔1〕求 ；
〔2〕求 的解析式〔用n表示〕．
【解析】〔1〕当 时，符合条件的集合 为： ，
四季寄语情感寄语
在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.
落红不是无情物,化作春泥更护花.
愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.
请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.
此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.
一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季
雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!
又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!
∴ =4.
( 2〕任取偶数 ，将 除以2，假设商仍为偶数．再除以2，···经过 次以后．商必为奇数．此时记商为 。于是 ，其中 为奇数 ,
由条件知．假设 那么 为偶数；假设 ，那么 为奇数,
于是 是否属于 ，由 是否属于 确定,
设 是 中所有奇数的集合．因此 等于 的子集个数,
当 为偶数〔或者奇数〕时， 中奇数的个数是 〔 〕,
2021年高考试题解析数学〔文科〕分项版之专题11排列组合二项式定理--老师版
一、选择题:
1.(2021年高考卷文科4) 的展开式中 的系数为
高考数学试题解析专题11 排列组合、二项式定理(教师版) 理
2012年高考试题分项版解析数学（理科）专题11 排列组合、二项式定理（教师版）一、选择题:1.(2012年高考新课标全国卷理科2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A12种()B10种()C9种()D8种【答案】A【解析】甲地由1名教师和2名学生：122412C C=种.2. (2012年高考北京卷理科6)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 63．(2012年高考浙江卷理科6)若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种 B．63种 C．65种 D．66种4.(2012年高考山东卷理科11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）（A ）232 (B)252 (C)472 (D)4845. (2012年高考辽宁卷理科5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）(A)3×3！ (B) 3×(3！)3(C)(3！)4(D) 9！ 【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。
因此不同的坐法种数为4(3!)，答案为C【考点定位】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。
6.(2012年高考天津卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（ ） （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-407.(2012年高考安徽卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3 【答案】D【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=.8.(2012年高考安徽卷理科10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 ()D 2或4 【答案】D【解析】261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人. 9. (2012年高考湖北卷理科5)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a=( )A.0B.1C.11D.1210. (2012年高考陕西卷理科8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） （A ） 10种 （B ）15种 （C ） 20种 （D ） 30种11.(2012年高考四川卷理科1)7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D【解析】二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7，令k=2，则2273x C T 、=21C x 272=∴的系数为.【考点定位】高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.12. (2012年高考四川卷理科11)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条13.(2012年高考全国卷理科11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） （A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种14. (2012年高考重庆卷理科4)82x x 的展开式中常数项为（ ）A.1635 B.835 C.435 D.105 【答案】B 【解析】1,2x x取得次数为1:1(4:4)，展开式中常数项为448135()28C ⨯=. 二、填空题:1. (2012年高考广东卷理科10)261()x x+的展开式中3x 的系数为______.（用数字作答）2. (2012年高考福建卷理科11)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________.【答案】2【解析】4)(x a +中含3x 的一项为r rrr x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a .【考点定位】本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可.3．(2012年高考上海卷理科5)在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .4. (2012年高考湖南卷理科13) ( x x6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】-160 【解析】( 2x x6的展开式项公式是663166C (2(C 2(1)r r r r rr r r T x x x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【考点定位】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.5. (2012年高考陕西卷理科12)5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 ．6.(2012年高考全国卷理科15)若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 .。
专题13 排列组合与二项式定理-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)
专题13 排列组合与二项式定理【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C【分析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C【分析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+. 故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【分析】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615r rr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【分析】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【详解】：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C. 5．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80【答案】C【详解】：：由题可得()5210315522rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C ⋅⋅==故选C.6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C. 7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：36363A ⨯=种．故选D.8．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 A ．10 B ．20 C ．30 D ．60【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【详解】：由题意可知221,m m m m C a C b +==,137a b =,221137m m m m C C +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+,211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确．10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））已知(1＋ax )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝ A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1【答案】D 【详解】由题意知：21555C aC +=，解得1a =-，故选D.11．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种【答案】A【详解】：第一步，为甲地选一名老师，有122C =种选法；第二步，为甲地选两个学生，有246C =种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有26112⨯⨯=种，故选A ．12．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】A【解析】:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.二、填空题13．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36【分析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C = 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36.14．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240【分析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.15．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【分析】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）5(2x 的展开式中，x 3的系数是_________.（用数字填写答案） 【答案】10【详解】：5(2x 的展开式的通项为555255(2)2rr r r r r C x C x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.17．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷））有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.18．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =________． 【答案】3【解析】：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 【答案】20-【详解】：由题意，8()x y +展开式通项为818k k k k T C x y -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278()2820x xy y x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-．20．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 【答案】12【详解】因为10110r r rr T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =.。
高考数学试题分类详解排列组合二项式定理
高考数学试题分类详解 排列组合二项式定理1、（全国1理10）21()nx x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6解．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n nn C x x-=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。
2、（全国1文5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种 解．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有23344496C C C ⋅⋅=种，选C 。
3、（全国2理10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种解．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有225360C A =种，选B 。
4、（全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种解．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D 。
5、（北京文5）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C 个Ｄ．242610A 个解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()2142610C A 个，选A 。
高考数学理真题分类汇编专题11排列组合二项式定理
专题十一 排列组合、二项式定理1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k kk n ab -+T =． 2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指knC ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2015高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr r r x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r nr b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解. 【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
新高考数学试题分项版解析专题25排列组合二项式定理理
新高考数学试题分项版解析专题25排列组合二项式定理理1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为621(1)(1)x x++2xA ．15B ．20C ．30D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+6(1)x +2x 2226115C x x ⋅=621(1)x x⋅+2x 44262115C x x x⋅=2x 151530+= 【考点】二项式定理2.【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为()()52x y x y +-yA ．B ．C ．40D ．8080-40-【答案】C 【解析】试题分析：， ()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-由 展开式的通项公式： 可得：()52x y -()()5152r r r r T C x y -+=-当 时， 展开式中 的系数为 ，3r =()52x x y -33x y ()33252140C ⨯⨯-=- 当 时， 展开式中 的系数为 ，2r =()52y x y -33x y ()22352180C ⨯⨯-=则 的系数为 .33x y 804040-=【考点】 二项式展开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.3.【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。
高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析
高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A．B．C．D．【答案】【解析】从中随机抽取2听进行检测，总的方法数为，检测出至少有一听不合格饮料的方法数为，所以，检测出至少有一听不合格饮料的概率是，故选.【考点】组合问题，古典概型.2.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为【答案】【解析】根据题意，由于的展开式中各项系数的和为2，则可知令x=1,得到1+a=2,a=1，则可知表达式为展开式，当r=2,r=3对应的项的系数与，x陪凑相乘可知得到常数项为40，故答案为40.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式的运用，属于基础题。
3.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素，有种方法；与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有种方法；考虑与戊机的排法有种方法．由乘法原理可知共有种不同的着舰方法．故应选C.【考点】排列、组合。
点评：我们在排序过程中，常用到相邻“捆绑”和不相邻“插空”的方法进行排序，在捆绑时，我们要注意其内部的顺序。
4.设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2 个杯盖与茶杯编号相同的盖法有A．24种B．135种C．9种D．360种【答案】B2种结果，剩下的四个小球和四个盒【解析】首先从6个号中选两个放到同号的盒子里，共有C6子，要求球的号码与盒子的号码不同，首先第一个球有3种结果，与被放上球的盒子同号的球有三种方法，余下的只有一种方法，根据分步计数原理的结果解：由题意知本题是一个分步计数问2=15种结果，剩下的四个小球和四个盒题，首先从6个号中选两个放到同号的盒子里，共有C6子，要求球的号码与盒子的号码不同，首先第一个球有3种结果，与被放上球的盒子同号的球有三种方法，余下的只有一种方法共有3×3=9种结果，根据分步计数原理得到共有15×9=135种结果．故选B．【考点】分步计数问题点评：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是选出球号和盒子号一致的以后4个小球和四个盒子的方法，本题是一个基础题5.设，则二项式展开式中的项的系数为（）A．B．20C．D．160【答案】C【解析】根据题意，由于，那么可知a=-2，同时由于二项式，令12-3r=3,r=3，则可知展开式中的项的系数为，故答案为C【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式通项公式的运用，属于基础题。
高考数学试题分项解析专题26排列组合二项式定理理含解析试题
专题26 排列组合、二项式定理考纲解读明方向分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的一共同点是把一个原始事件分解成假设干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最根本也是最重要的原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的根底.2.理解排列、组合及排列数与组合数公式,排列与组合的综合是高频考点.本节在高考中单独考察时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中档题;本节内容还经常与概率、分布列问题相结合,出如今解答题的第一问中,难度中等或者中等偏上.考点内容解读要求高考例如常考题型预测热度二项式定理的应用能用计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题掌握2021课标全国Ⅰ,6;2021课标全国Ⅰ,14;2021课标Ⅰ,10选择题填空题★★★分析解读 1.掌握二项式定理和二项展开式的性质.2.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项、整除、近似值、最大值等相关问题.3.二项展开式的通项公式是高考热点.本节在高考中一般以选择题或者填空题形式出现,分值约为5分,属容易题.2021年高考全景展示1．【2021年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C点睛：此题主要考察二项式定理，属于根底题。
2．【2021年卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，HY任取2个数字，一一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字答题)【答案】1260【解析】分析:按是否取零分类讨论，假设取零，那么先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：假设不取零，那么排列数为假设取零，那么排列数为因此一一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法〞；(2)元素相间的排列问题——“插空法〞；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法〞；(4)带有“含〞与“不含〞“至多〞“至少〞的排列组合问题——间接法.3．【2021年卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.4．【2021年理数卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或者利用分类加法计数原理讨论求解．5．【2021年理新课标I卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，那么不同的选法一共有_____________种．〔用数字填写上答案〕【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总一共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，那么不同的选法一共有种，故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.2021年高考全景展示1.【2021课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项一共有几项，进展加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的详细情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.2.【2021课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】试题分析：()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-， 由()52x y - 展开式的通项公式：()()5152rrrr T C x y -+=- 可得：当3r = 时，()52x x y - 展开式中33x y 的系数为()33252140C ⨯⨯-=- ， 当2r = 时，()52y x y - 展开式中33x y 的系数为()22352180C ⨯⨯-= ，那么33x y 的系数为804040-= . 应选C .【考点】 二项式展开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或者利用分类加法计数原理讨论求解.3.【2021课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式一共有〔 〕A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原那么：一是按元素(或者位置)的性质进展分类；二是按事情发生的过程进展分步。
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高考试题分类解析排列组
合二项式定理
Last revision date: 13 December 2020.
2005年全国高考试题分类解析（排列组合、二项式定理）
选择题
1.
（全国卷Ⅱ）10()x 的展开式中64x y 项的系数是( )
(A) 840 (B) 840- (C) 210 (D) 210-
2.（全国卷Ⅲ）在(x?1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )
（A ）14 （B ）14 （C ）28 （D ）28
3.（北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
（A ）124414128C C C （B ）124414128
C A A （C ）12441412833C C C A （
D ）12443141283C C C A 4.（北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )
（A ）144
4C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 5.（福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游
览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙
两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A ．300种
B ．240种
C ．144种
D ．96种
6．（湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给
4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那
么不同的分法种数是（ ）
A ．168
B ．96
C ．72
D ．144
7.（湖南卷）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
8.（江苏卷）设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中x k 的系数不可能是( ) ( A ) 10 ( B ) 40 ( C ) 50
( D )80
9.（江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )
（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0
10．（江西卷）123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有
（ ）
A ．4项
B ．3项
C ．2项
D ．1项
11.（江西卷）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同
分组方法的种数为（ ）
A ．70
B ．140
C ．280
D ．840
12.（浙江卷）在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3
的项的系数是( )
(A) －5 (B) 5 (C) －10 (D) 10 13.(山东)
如果3n
x ⎛⎫- ⎝
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ）
（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-
14.(重庆卷)8. 若n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5，则n 等于( )
(A) 4； (B) 5； (C) 6；
(D) 10。
15. (重庆卷)在(12x )n 展开式中含x 3的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，
则n 等于( )
(A) 5； (B) 7； (C) 9；
(D) 11。
填空题：
1.（全国卷Ⅰ）9)12(x x -
的展开式中，常数项为 。
（用数字作
答）
2.(全国卷Ⅰ)8)1(x
x -的展开式中，常数项为 。
（用数字作答） 3.(全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。
4.（全国卷Ⅱ）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.
5.
（北京卷）6(x 的展开式中的常数项是 （用数字作答） 6.（上海卷）在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =
__________。
7.（天津卷）二项式（3x －
x 1）10的展开式中常数项为_____________（用数
字作答）。
8.（天津卷）设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C ()
1761-n 9．（福建卷）（6)12x
x -展开式中的常数项是 （用数字作答）. 10（广东卷）已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4
x +的展开式中3x 的系数相等，则cos θ＝_____________．
11．（湖北卷）843)1()2(x
x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .
12．（湖南卷）在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项
的系数是 .（用数字作答）
13．（辽宁卷）n x x )2(2121--的展开式中常数项是 .
14．（辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．
相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
15．（浙江卷）从集合{ P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各
任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多
只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．
16．（浙江卷）从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中
各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O ，Q 和数字0
至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．。