(完整版)大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解(双曲方程书稿)
偏微分方程数值解习题解答案,DOC
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《偏微分方程数值解》课件
未来发展方向
展望偏微分方程数值解领域的未来发展，如高性能 计算、机器学习等的应用。
结束语
感谢各位的聆听！偏微分方程数值解是一个充满挑战和发展机遇的领域。如果有任何问题，请随时提问交流。
将二维泊松方程转化为离散的网格形式，
通过迭代计算得到数值解。
3
对流-扩散方程的数值解
结合对流和扩散项，通过数值方法求解 对流-扩散方程。
有限元法
一维泊松方程的数值解
将一维泊松方程离散化为一系列局部子区域，并通过插值方法来求解。
二维泊松方程的数值解
将二维泊松方程转化为离散的网格形式，利用变分法求解。
对流-扩散方程的数值解
通过离散化和插值方法，求解对流-扩散方程的数值解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
迭代法
1
雅可比迭代法的实现
利用矩阵分块对称的性质，通过迭代更
高斯-赛德尔迭代法的实现
2
新猜测值来求解偏微分方程。
进一步改进雅可比迭代法，通过利用最 新的更新结果来加速迭代收敛。
总结与展望
各种数值方法的比较
总结离散化方法、迭代法在不同情况下的优缺点， 帮助选择合适的数值方法。
《偏微分方程数值解》 PPT课件
本课程将介绍偏微分方程数值解的基本概念和常见的数值解方法，包括离散 化方法、迭代法等，以及这些方法在泊松方程和对流-扩散方程中的应用。欢 迎加入我们的学习旅程！
课件大纲
1 简介
介绍偏微分方程及数值解的重要性和应用领 域。
2 常见的数值解方法
探索离散化方法和迭代法，并介绍有限差分 法、有限元法、雅可比迭代法和高斯-赛德尔 迭代法。
常见的数值解方法
离散化方法
通过将连续的偏微分方程转化为离散形式，如有限 差分法和有限元法，从而进行数值计算和求解。
(完整word版)偏微分方程数值解法答案
1. 课本2p 有证明2. 课本812,p p 有说明3. 课本1520,p p 有说明4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ϕϕϕ是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可表为1nn i i i u c ϕ==∑，则,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ϕϕϕϕ=，令()0n jJ u c ∂=∂，从而得到12,...n c c c 满足1(,)(,),1,2...niji j i a c f j n ϕϕϕ===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1nn i i i u c ϕ==∑，从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1nn i ii u c ϕ==∑，利用,1111()(,)(,)(,)(,)22j nnn n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ϕϕϕ===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程Galerkin 法：为求得1nn i ii u c ϕ==∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,)n a u V f V =，对任意nV u ∈或（取,1j V j nϕ=≤≤）1(,)(,),1,2...nijij i a cf j n ϕϕϕ===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1nn i i i u c ϕ==∑的过程称Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程：1(,)(,)nijij i a cf ϕϕϕ==∑5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。
偏微分方程的数值解法和应用
偏微分方程的数值解法和应用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中的一个重要研究领域，它是数学建模和物理学、工程学中的重要工具之一。
通常情况下，我们可以通过一些解析方法求得偏微分方程的解析解，但是这种方法并不适用于所有情况，因此，数值解法的研究具有重要意义。
一、偏微分方程的求解偏微分方程的求解可以分为两类：解析解和数值解。
解析解是指通过一些解析方法求得的该方程的精确解，而数值解是指通过一些数值计算方法求得的该方程的近似解。
1. 解析解对于简单的偏微分方程，我们可以通过分离变量、变换变量、特征线等方法求得其解析解。
例如，对于泊松方程：$$\nabla^2 u=f(x,y)$$我们可以通过分离变量的方法得到：$$u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty a_{nm} \sin\frac{n\pi x}{L} \sin\frac{m\pi y}{W}$$其中：$$a_{nm}=\frac{4}{nm\pi^2}\int_0^W\int_0^L f(x,y)\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi y}{W} dx dy$$这是一个完整的解析解，可以用于解决实际问题。
然而，大多数情况下，偏微分方程并没有解析解，因此我们需要寻求数值解法。
2. 数值解在实际工程问题中，偏微分方程往往具有复杂的形式，不可能通过解析方法求得其解析解。
这时，我们需要使用计算机数值方法求得其数值解。
数值解法中的常见方法包括：差分方法、有限元法、有限体积法、谱方法、边界元法等。
其中，有限元法和有限体积法是比较常用的数值解法。
有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种将求解区域离散为许多小单元的方法，把偏微分方程转化为一个线性方程组。
在有限元法中，通常采用三角形或四边形做为单元。
具体的，有限元法的步骤如下：（1）离散化：将求解区域划分成若干个小单元，对单元内的未知函数用多项式进行逼近。
偏微分方程数值解
02
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法、 谱方法等。
03
数值解法的精度和稳定性是衡量其好坏的重要 指标。
非线性偏微分方程的有限差分法
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过在离散点上逼近偏导数，得到离散化的 数值解。
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区域。
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较低。
波动问题
谱方法在求解波动问题中也有广泛应用，如 Helmholtz方程、Wave equation等。
固体力学问题
谱方法在求解固体力学问题中也有应用，如 Elasticity equations等。
05
非线性偏微分方程的数值解 法
非线性偏微分方程的解析解法难度
01
非线性偏微分方程的解析解法通常非常复杂，需要深
02
有限差分法的基本思想是将连 续的偏微分方程转化为离散的 差分方程，通过求解差分方程 得到偏微分方程的近似解。
03
有限差分法的精度取决于离散 点之间的间距，间距越小，精 度越高。
一阶偏微分方程的有限差分法
一阶偏微分方程的有限差分法有 多种形式，如向前差分法、向后 差分法和中心差分法等。
中心差分法是向前差分法和向后 差分法的平均值，具有二阶精度 。
通过将微分转化为差分，将原方程转化为离散的差分方程，然后求解差分方程得到近似解。
有限元法
将连续问题离散化，将微分方程转化为线性方程组，通过求解线性方程组得到近似解。
谱方法
利用函数的谱展开来求解偏微分方程，具有高精度和低数值弥散性的优点。
02
有限差分法
有限差分法的原理
01
有限差分法是一种将偏微分方 程转化为差分方程的方法，通 过在离散点上逼近偏微分方程 的解，得到数值解。
偏微分方程数值解法的计算方法
偏微分方程数值解法的计算方法偏微分方程(Partial Differential Equations, PDEs)是描述物理现象的一个有力工具，它可以描述复杂系统中物质、能量和动量的行为。
由于解析解十分困难或者甚至不存在，数值模拟是解决PDE问题的重要方法之一。
现今，许多物理和生物学领域的实际应用中，PDE的数值解法已经发挥了重要作用。
本文将介绍PDE的数值解法计算方法。
1.有限差分法(Finite Difference Method)有限差分法是PDE数值解法中最广泛应用的一种方法，其基本思想是用离散网格来逼近连续的PDE问题。
用有限差分法求解PDE问题可以分为以下几步：首先，将求解区域离散化，建立一个离散网格；然后，在网格上构造符合原始问题条件的差分方程；最后，将差分方程解出来，得到离散的数值解。
有限差分法的优点是简单易行，对于解决一些简单问题非常有效。
但由于精度受限，难以处理复杂问题，例如边界条件比较复杂、域的形状不规则等问题，效果不是很理想。
此外，如果PDE包含时间变量，用有限差分法求解的效果也不是很好，容易产生数值震荡现象。
2.有限体积法(Finite Volume Method)有限体积法是一种在控制体上积分求解PDE的方法。
所谓的控制体是指PDE求解区域的一个子集。
有限体积法与有限差分法的思想是相似的，它们都是将求解域分成若干个小的控制体，然后在每个控制体上构造差分方程来近似PDE。
和有限差分法相比，有限体积法的主要优势在于能够更好的处理不规则域和复杂边界条件，并且数值解更为准确。
3.有限元法(Finite Element Method)有限元法是PDE数值解法中的一种重要方法，其基本思想是通过将求解域分成若干个小三角形、四边形等有限元来逼近实际域。
有限元法与有限差分法和有限体积法的不同之处在于，它使用基函数来逼近原始问题中的未知函数。
在求解过程中，有限元法需要对基函数进行插值，从而方便地求出未知函数在任意点的近似值。
第5章偏微分方程数值解
5.1
5.2
5.3
5.4
总目录
5.2 基本离散化公式
在偏微分方程中，自变量都在两个或两个以上，应变量随两个或两 个以上的自变量变化而变化。在化工或化学动态模拟方程中，常常有一个 自变量是时间，其它的自变量为空间位置。如果只考虑一维空间，则只有 两个自变量；如果考虑两维空间，则有3个自变量。一般我们将自变量在 时间和空间以一定的间隔进行离散化，则应变量就变成了这些离散变量的 函数，以3维空间为例，我们将离散化的应变量表示成，它所表示的真正 n 含义如下 : u i , j , k = u ( t , x , y , z ) t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k ∆ z 有了以上的定义，对于一阶偏 u in, +1k − u in, j ,k ∂u j, = 导我们可以利用第四章的欧拉 ∂ t t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k∆ z ∆t 公式直接得出向前欧拉公式： u in+1, j , k − u in, j ,k ∂u 对于时间偏导而言，有时我们 = ∂ x t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k∆ z ∆x 常常采用向后欧拉公式，时间的 u in, j +1, k − u in, j ,k ∂u 向后欧拉公式如下： = ∂ y t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k∆ z ∆y u in, +,1k − u in, j ,k ∂u j = u in, j ,k +1 − u in, j ,k ∂u ∂t t =( n +1) ∆t , x =i∆x , y = j∆y , z = k∆z ∆t = ∂ z t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k∆ z ∆x
偏微分方程数值解的计算方法
偏微分方程数值解的计算方法偏微分方程是研究自然和社会现象的重要工具。
然而，大多数偏微分方程很难用解析方法求解，需要用数值方法求解。
本文将介绍偏微分方程数值解的计算方法，其中包括有限差分方法、有限体积法、谱方法和有限元方法。
一、有限差分方法有限差分法是偏微分方程数值解的常用方法，它将偏微分方程中的空间变量转换为网格点上的差分近似。
例如，对于一个二阶偏微分方程：$$\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=f(x,y,u)$$可以使用中心差分方法进行近似：$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}}$$$$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}}$$其中，$u_{i,j}$表示在第$i$行第$j$列的网格点上的函数值，$\Delta x$和$\Delta y$表示网格步长。
将差分近似代入原方程中，得到如下的差分方程：$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Deltax)^{2}}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Deltay)^{2}}=f_{i,j,u_{i,j}}$$该方程可以用迭代法求解。
有限差分方法的优点是易于实现，但在均匀网格下准确性不高。
二、有限体积法有限体积法是将偏微分方程中的积分形式转换为求解网格单元中心值的方法。
例如，对于如下的扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partialx}\left(D(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$可以使用有限体积法进行近似。
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双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程()0=∂∂+∂∂xux a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组0=∂∂+∂∂xt uA u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。
（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()022=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂x u x a x t u()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程0222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂y u x u t u 022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u xu t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222xu a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。
（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂xu a t u ，进一步有0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t x a t由于xat ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dtdu dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂x ua t u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3） adx dt 1±=解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。
比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。
（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。
由复合函数的微分法则212211C uC u x C C u x C C u x u ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ x C C u C u C x C C u C u C x u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂2212121122 222122212212C u C C u C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= 2222122122C uC C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理可得a t t a t C -=∂∂-=∂∂1，a tC=∂∂2 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212211C u C u a t C C u t C C u t utC C u C u a C u t C C u C u a C t u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂2122112122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂-=21222222221222C C u C u a C u C C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=22221221222C u C C u C u a 将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂22221221222C u C C u C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=22221221222C u C C u C u a 即有0212=∂∂∂C C u求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。
再求其对1C 的积分得：（1.5） ()()11,dC C f t x u ⎰= ()()()()at x f at x f C f C f ++-=+=212211 其中()•1f 和()•2f 均为任意的二次连续可微函数。
（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。
为了确定函数()at x f -1和()at x f -2的具体形式，给定u 在x 轴的初值（1.5） ()()+∞<<∞-⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂===x x tu x u t t 1000ϕϕ 将（1.5）式代入上式，则有 （ⅰ）()()()x x f x f 021ϕ=+注意()=t x u t ,()()()a at x f a at x f ⋅+'+--'21；()=0,x u t ()()()()x a x f x f 112ϕ='-'，有（ⅱ）()()()x ax f x f 1121ϕ='-' 并对x 积分一次，得()()()C d ax f x f x+=-⎰ξξϕ10121 与（ⅰ）式联立求解，得()()()221211002Cd a x x f x ++=⎰ξξϕϕ ()()()221211001Cd a x x f x --=⎰ξξϕϕ 将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：（1.6） ()t x u , ()()[]at x at x ++-=0021ϕϕ()ξξϕd aatx at x 121⎰+-即为法国数学家Jean Le Rond d ’Alembert (1717-1783)提出的著名的D ’Alembert 公式。
由D ’Alembert 公式还可以导出解的稳定性，即当初始条件（1.5）仅有微小的误差时，其解也只有微小的改变。
如有两组初始条件：()()()()()()()()()()+∞<<∞-⎩⎨⎧====x x x u x x u x x u x x u t t 12120101~0,,0,~0,,0,ϕϕϕϕ满足 δϕϕ<-00~，δϕϕ<-11~，则 ()()≤-t x u t x u ,,21()()at x at x +++00~21ϕϕ+()()at x at x -+-11~21ϕϕ ()()ξξϕξϕd a at x atx 11~21-+⎰+- 即()()≤-t x u t x u ,,21=⋅++at a2212121δδδ()δt +1显然，当t 有限时，解是稳定的。
此外，由D ’Alembert 公式可以看出，解在()00,t x 点，()00>t 的值仅依赖于x 轴上区间[]0000,at x at x +-内的初始值()x 0ϕ，()x 1ϕ，与其他点上的初始条件无关。
故称区间[]0000,at x at x +-为点()00,t x 的依存域。
它是过点()00,t x 的两条斜率分别为a1±的直线在x 轴上截得的区间。
对于初始轴0=t 上的区间[]21,x x ，过1x 点作斜率为a1的直线at x x +=1；过1x 点作斜率为a1-的直线at x x -=2。
它们和区间[]21,x x 一起构成一个三角区域。
此三角区域中任意点()t x ,的依存区间都落在[]21,x x 内部。
所以解在此三角形区域中的数值完全由区间[]21,x x 上的初始条件确定，而与区间外的初始条件无关。
这个三角形区域称为区间[]21,x x 的决定域。
在[]21,x x 上给定初始条件，就可以在其决定域中确定初值问题的解。
1.2显格式现在构造（1.1）的差分逼近。
取空间步长h 和时间步长τ，用两族平行直线jh x x j ==，Λ,2,1,0±±=j ，τn t t n ==，Λ,2,1,0=n作矩形网络。
于网点()n j t x ,处Taylor 展开成()()()()()2211,,,2,h O t x u ht x u t x u t x u n j xx n j n j n j +=+--+ ()()()()()2211,,,2,ττO t x u t x u t x u t x u n j tt n j n j n j +=+--+代入（1.1）,并略去截断误差，则得差分格式： （1.7）=+--+2112τn jn j n j u u u 21122h u u u anj n j n j -++-Λ,2,1,0±±=j ，Λ,2,1,0=n这里n j u 表示u 于网点()n j t x ,处的近似值。
初值条件（1.5）用下列差分方程近似：（1.8） ()j j x u 00ϕ=（1.9）()j jj x u u 101ϕτ=-注意：（1.7）的截断误差阶是()22h O +τ，而（1.9）的截断误差阶仅是()τO 。
为此需要提高（1.9）的精度，可用中心差商代替t u ，即（1.10）()j jj x u u 1112ϕτ=--为了处理1-j u ，在（1.7）中令0=n ，得=+--21012τjj j u u u 2100122hu u u aj j j -++-进一步，=+--1012j j j u u u ()010012-++-j j j u u u r其中ha r τ=。
并用（1.10）式的()j j j x u u 1112τϕ-=-代入上式得 ()()=-+-j j j j x u x u 110122τϕϕ()()()()1001022-++-j j j x x x r ϕϕϕ即（1.11） =1ju ()()()()()()j j j j x x r x x r 1021010212τϕϕϕϕ+-+--+这样，利用（1.8） (1.11)，可以由初始层()0=n 的已知值，算出第一层()1=n 各网格节点上的值。
然后利用（1.7）或显式三层格式（1.12） =+1n ju ()()1211212--+--++n j n j n j n j u u r u u r 可以逐层求出任意网点值。
以上显式三层格式也可用于求解混合问题：（1.13）()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∂∂=∂∂t t l u t t u x x u x x u xu a t u t βαϕϕ,,00,0,1022222取JL h =，N T=τ。
除（1.7）～（1.9）外。
再补充边值条件（1.14） ()παn u N =0，()πβn u N J =1．3稳定性分析下面我们要讨论（1.7）的稳定性。
为引用Fourier 方法，我们把波动方程（1.1）化成一阶偏微分方程组，相应地把显式三层格式（1.7）化成二层格式。
一种简单的做法是引进变量tuv ∂∂=，于是（1.1）化为 v tu =∂∂，222x u a t v ∂∂=∂∂ 这样会使得初值()0,x u 与()0,x v 不适定（不唯一），更合理的方法是再引进一个变量xua∂∂=ω，将(1.1)化为 （1.15） t u v ∂∂=，x a t v ∂∂=∂∂ω，xva t ∂∂=∂∂ω注意到：x a x u a x a x u a t u t v ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂=∂∂=∂∂ω22222； xva x t u a t x u a x u a t t ∂∂=∂∂∂=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂22ω 若令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ωv U ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00a a A ，则(1.5)可写成 (1.16)0=∂∂-∂∂xt UA U 相应地，将（1.7）写成等价的双层格式：(1.17) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+-+--++h v v a h a v v n j n j n j n j n j n j n j n j 1111121212121τωωωωτ 即()'17.1 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+-+-+--++1111121212121n j n j n j n j n j n j n j n j v v r r v v ωωωω 其中τ1--=n jn j n j u u v ，nj 21-ωhu u a n j n j 111+-+-=。