概率论与数理统计条件概率
概率论与数理统计课件-条件概率
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
《概率统计》
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结束
例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
概率论与数理统计第一章第四节：条件概率
1. 条件概率的定义
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件A已经发生” 的条件下，事件B发生的概率。
通常记事件A发生的条件下, 事件B发生的 概率为 P(B|A)。
一般情况下， P(B|A) ≠P(B) 。
Ch1-2
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
P(A, P(B, P(AB),P(B|A)
解
甲车间产品数
乙车间产品数
总
数
合格品数 54 32 86
次品数 6 8 14
总数 60 40 100
P(A) 86 0.86 P(B) 60 0.6 P(AB) 54 0.54
100
100
100
而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生 的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间 产品有60件，而其中合格品有54件,所以
8 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就
得到在概率计算中常用的全概率公式。
全概率公式
设A1, A2,…, An是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, …, An 之一同时发生，则
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
P(Ai | B)
P(Ai )P(B｜Ai )
n
,
P(Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1, 2,, n .
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率。
B AB AB
P(AB) P(A) P(B | A) P( AB) P( A) P(B | A)
概率论与数理统计条件概率
• 全概公式
设 A1, A2, An 为一ห้องสมุดไป่ตู้备事件组，且P( 则对任何一事件B，恒有
Ai
)
0(i
1,
2,
n)，
P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(An)P(B | An)
此式称为全概率公式，简称全概公式。
例6 有100张票，其中有戏票30张，甲乙两人先 后在其中各抽一张，试证明抽得戏票的概率与 抽票先后次序无关 。
乘法公式
P(AB) P(A)P(B / A) (P(A) 0) P(AB) P(B)P(A / B) (P(B) 0)
定理2 两事件之积的概率等于其中一事件的 概率与另一事件在前一事件已发生的条 件下的条件概率的乘积。
推论
P(ABC) P(AB)P(C / AB) P(A)P(B | A)P(C | AB)
逆概公式，又称贝叶斯公式
定理4 设 A1, A2, An 是一个完备事件组，对任何 事件B，当 P(B) >0时，恒有公式
P( Ai
|
B)
P( A1 ) P( B
|
A1)
P(Ai )P(B | Ai ) P(A2)P(B | A2)
P(An)P(B | An)
• 例8 市场上供应的日光灯管，甲厂产 品占70%，乙厂产品占30%，而甲厂产 品的合格率为95%，乙厂产品的合格率 为80%，在市场上买一个灯管是合格品， 求：是甲厂生产的概率是多少？是乙 厂生产的概率是多少？
• 例2 某企业的产品合格率为90%，而合 格品中一级品占50%，求该企业的一级 品率.
• 例3 设100件产品中有5件次品，从中 任取两件，求两件都是合格品的概率。
《概率论与数理统计》1.4条件概率
P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
二. 乘法原理
由条件概率的定义：P( A
|
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：
定理1：设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36Βιβλιοθήκη 样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率. 解: 设 事件A: {非典病人}，事件B: {疑似病人}
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2, ,10000}
显然：P( A) 10 0.1% （千分之一） 10000
这是没有附加条件的概率 （无条件概率）
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)
概率论与数理统计-第二章 条件概率与独立性
P( B) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A 31) 9 1 9 8 1 3 .
10 10 9 10 9 8 10
P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
P( AB) P(B A)P( A)
(1.4)
如果P(B) > 0，则
P( AB) P( A B)P(B)
(1.5)
上面均称为事件概率的乘法公式．
定理2.1容易推广到求多个事件积事件概率的情 况．
2.1.2 乘法公式
推广1 : 设 A1, A2 , A3为事件,且 P( A1 A2 ) 0, 则有
2.1.2 乘法公式
推广2 : 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件, n 2,
且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A A1 A2 ) ... P( An1 A1 A2 An2 )P( An A1 A2 An1 ).
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式 2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是
在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率．
由于A1，A2，…，An两两互i不1 相容，i1
由有限可加性
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
概率论与数理统计—条件概率
一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
分析 设 HS 为 {正H面H, HTT为, T反H面, T.T }. A {HH, HT,TH}, B {HH ,TT}, P(B) 2 1 .
则 B1, B2, B3 是样本空间 S 的一个划分, 且 P(B1 ) 0.15, P(B2 ) 0.80, P(B3 ) 0.05, P( A B1) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P( A B3 ) 0.03. (1) 由全概率公式得
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ) 0.0125.
B2
B1
B3
Bn1 Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为S, A 为 E 的事件, B1, B2 ,, Bn为 S 的一个划分,且 P(Bi ) 0(i 1, 2,, n), 则
P( A) P( A B1 )P(B1 ) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn )
称此为贝叶斯公式.
证明
P ( Bi
A)
P(Bi A) P( A)
P( A Bi )P(Bi )
n
,
i 1,2,,n.
P(ABj)P(Bj)
j 1
例5 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
概率论与数理统计随机事件与概率条件概率与乘法公式
概率论与数理统计第1章随机事件与概率第4讲条件概率与乘法公式01 条件概率02 乘法公式本 讲 内容在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件下世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也不例?条件概率外.通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要大得定程度的相互影响．多．在同一个试验中的不同事件之间，通常会存在着一例如，在天气状况恶劣的情况下交求事件的概率.概率，将此概率记作P(B|A).如在事件A 发生的条件下求事件B 发生的在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”. 求P(B),P(B|A).Ὅ例1解由前例可知无论有放回抽样和无放回抽样都有（1）有放回抽样（2）无放回抽样独立性如何定义？.设A 、B 为两事件, P ( A ) > 0 , 则称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.称为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率.同理Ὅ 定义Ὅ性质条件概率也是概率, 故概率的重要性质都适用于条件概率.例如：在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A 表示“第一件为一等品”，B 表示“第二件为一等品”. Ὅ例2 2) 可用缩减样本空间法1) 用定义计算:P (A )>0A 发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B 所含样本点个数无放回抽样Ὅ 计算.在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品. 现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.Ὅ例3解设A=依题意，P(A)=所求概率为P(B|A) .{任取一件为合格品}，B={任取一件为一等品}0.96,0.72.P(B)=利用事件的关系及概率性质公式求条件概率Ὅ例4设A，B，C 是随机事件，A与C互不相容，则.由条件概率的定义：若已知P(A), P(B|A)时, 可以反过来求P(AB).注乘法公式.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，Ὅ例5男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职工，计算（1）该职工技术优秀的概率；（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率.解设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男性”，则:(1)利用古典概率有.(2)通过缩减样本空间，有.Ὅ例6某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件A）、“图书”（记为事件B）、“电影”（记为事件C），调查读者的阅读习惯有如下结果:试求解01 条件概率02 乘法公式本 讲 内容乘法公式推广ab -1ab O F (x )xb a 1xf (x )O盒中装有100个产品, 其中3个次品，从中不放回Ὅ例7地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.解令A i为第 i 次取到正品（波利亚罐子--传染病模型）一个罐子中包含b 个白球和r 个红球. b 个白球, r 个红球Ὅ 乘法公式应用举例8随机地抽取一个球，观看颜色后放进行四次，试求第一、二次取到白 球且第三、四次取到红球的概率.回罐中，并且再加进c 个与所抽出 的球具有相同颜色的球.这种手续于是W 1W 2R 3R 4表示事件“连续取四个球，第一、二个是白球，第三、四个是红球. ”设W i =R j ==P (W 1)P (W 2|W 1)P (R 3|W 1W 2)P (R 4|W 1W 2R 3)P (W 1W 2R 3R 4)解1,2,3,4{第i 次取出是白球}，i =j ={第j 次取出是红球}，1,2,3,4记A=为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率.Ὅ例9解报警系统至少一个有效”可表示为A ∪B ，由于“两个“系统(Ⅰ) 有效”，B=“系统(Ⅱ)有效”，且A 和 互斥，因此:学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
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• 全概公式
设 A1, A2, An 为一完备事件组，且 则对任何一事件B，恒有
P(
Ai
)
0(i
1,
2,
n)，
此式P(称B) 为P(全A1)概P(B率| A1公) 式P(A，2)P简(B |称A2)全 概公P(A式n)P。(B | An)
例6 有100张票，其中有戏票30张，甲乙两人先后 在其中各抽一张，试证明抽得戏票的概率与抽 票先后次序无关 。
逆概公式，又称贝叶斯公式
定理4 设 A1, A2, An是一个完备事件组，对任何 事件B，当 P(B)>0时，恒有公式
P( Ai
|
B)
P( A1 )P(B
|
A1)
P(Ai )P(B | Ai ) P(A2)P(B | A2)
P(An)P(B | An)
• 例8 市场上供应的日光灯管，甲厂产 品占70%，乙厂产品占30%，而甲厂产 品的合格率为95%，乙厂产品的合格率 为80%，在市场上买一个灯管是合格品， 求：是甲厂生产的概率是多少？是乙 厂生产的概率是多少？
• 例7 有两个口袋，甲袋中有两个 白球，一个黑球；乙袋中有一个白 球，两个黑球。现先从甲袋中取一 球放入乙袋，再从乙袋中取出一球， 求从乙袋中取得白球的概率。
逆概公式
P(
Ai
|
B)
P(
A1)P(B
|2
Ai ) )
P(An)P(B | An)
乘法公式
P(AB) P(A)P(B / A) (P(A) 0) P(AB) P(B)P(A / B) (P(B) 0)
定理2 两事件之积的概率等于其中一事件的 概率与另一事件在前一事件已发生的条 件下的条件概率的乘积。
推论
P(ABC) P(AB)P(C / AB) P(A)P(B | A)P(C | AB)
条件概率与概率的基本公式：
条件概率 乘法公式 全概公式 逆概公式
条件概率
定义：在事件A已发生的条件下（P(A)>0） 事件B发生的概率，称为事件B在事件A已 发生的条件下的条件概率，记作P(B|A)
条件概率公式
P(B | A) P( AB) (P( A) 0) P( A)
• 例1 设某班有100名同学，其中45名男 生，55名女生，而在男生中有18名南 京人，有25名上英语A班，在女生中有 22名南京人，有35名上英语A班。现从 全班中任抽一名同学，A={抽到男生}， B={抽到南京人}，C={抽到上英语A班}， 求P(A/B),P(B/A),P(C/A),P(A/C)
• 例2 某企业的产品合格率为90%，而合 格品中一级品占50%，求该企业的一级 品率.
• 例3 设100件产品中有5件次品，从中 任取两件，求两件都是合格品的概率。
• 例4 在25件产品中，一级品有10件， 二级品有15件，问每次抽一件，抽 三件全是一级品的概率。
• 例5 一口袋中有8个红球，2个白球， 从中不放回地任取两次，每次取一 个，求两次中恰有一次取得红球的 概率。
• 例9 设一箱产品由三家工厂生产，已知其中 有1/2是第一家工厂生产的，其他两个厂各 生产1/4，又知第一、第二两厂生产的产品 有2%的次品，第三家工厂生产的有4%的次 品。
（1）从此箱中任取一件产品，求取得次品的 概率；
（2）问此次品是第一、第二、第三工厂生产 的概率各是多少？