2015年长宁区一模理科数学试卷(含答案)
长宁区2015年初三数学教学质量检测试卷参考答案
长宁区2015年初三数学教学质量检测试卷参考答案一、单项选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. A ；2. D ；3. B ；4. A ；5. B ；6. D .二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.31； 8. 26n m ； 9. -1； 10. 6或-2； 11. 125； 12. 40； 13. ±3； 14. 内切；15. 310；16. 555-； 17. 2正根，1负根； 18. 1或611.二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 19．（本题满分（10分）解: ⎪⎩⎪⎨⎧<≥+323532m m （3分）（2分）化简得 ⎩⎨⎧<≥21m m（3分）∴不等式组的解集是21<≤m .（2分） 20．（本题满分10分） 解:原式=()()()aaa a a a a -÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+11112--122（2分） =a aa a a a -⨯⎪⎭⎫⎝⎛--+1122--1222（2分） =a aa a -⨯1-132（2分）=a+13（2分） =33=3（2分）21．（本题满分10分） 解:（1）0.5；（2分）（2）设)0(≠+=k b kx y （1分） 把（2.5，120）和（5，0）分别代入得⎩⎨⎧+=+=bk bk 505.2120，h ）解得⎩⎨⎧=-=24048b k （3分）∴解析式为()55.224048≤≤+-=x x y .（1分） （3）当 x = 4时，48240448=+⨯-=y （2分）∴这辆汽车从甲地出发4 h 时与甲地的距离48 km. （1分） 22．（本题满分10分）解: 作EF ⊥AD 于点F . （1分） ∵AD ⊥BC ∴∠ADB =90° 在Rt △ABD 中，AD =4， 54sin ==AB AD B∴AB =5 ∴3-22==AD AB BD∵等腰△ABC ∴AB =AC ∴AC =5∵AD ⊥BC ∴DB =DC ∴DC =3 （4分） ∵EF ⊥AD AD ⊥BC ∴EF //BC∴AD AFDC EF AC AE == ∵32EC AE = AC =5 DC =3 ∴EF =56 AF =58 DF =512（4分）∴在Rt △EFD 中，2cot ==∠EF DFADE .（1分）23．（本题满分12分） 证：（1）∵正方形ABCD ∴AB =AD ∠B =∠D =90°在Rt △ABD 和Rt △ACD 中⎩⎨⎧==AFAE ADAB ∴△ABE ≌△ADF ∴BE =DF . （5分）（2）∵正方形ABCD ∴BC =CD∵ BE =DF ∴CE =CF ∴△ECF 是等腰三角形∵正方形ABCD ∴AC 平分∠BCD ∴AC ⊥EF 且EO =OFFABCD E第22题图∵AO =OG∴四边形AEGF 是平行四边形（5分） ∵AC ⊥EF∴四边形AEGF 是菱形. （2分） 24．（本题满分12分）解：（1）()2--22222t x t tx x y =-+-= ∴A （t ，-2）（2分）∵点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点 ∴t =2 （1分） ∴()2-2-x 2=y∴P （1，-1）.（1分）（2）据题意，设C （x ，-2）（0< x < t ），P （x ，(-t x AC = t -x ，PC =2)(t x - （1分） ∵AC =PC ∴t-x =2)(t x - ∵x < t ∴ t - x =1 即x = t - 1 ∴AC =PC =1 （2分） ∵DC //y 轴 ∴ABACEB PC = ∴EB = t ∴OE =2-t∴23221)1)(3(21)(212-+-=--=⨯+=t t t t OD DP OE S （1< t <2）. （2分） （3）t t AB DP S ADE 2112121=⨯⨯=⨯=∆（1分）∵ S S ADE 2=∆ ∴)23221(2212-+-=t t t解得231=t ，22=t （不合题意）∴ 23=t .（2分）25．（本题满分14分）（1）证:作OH ⊥DC 于点H ，设⊙O 与BC 边切于点G ，联结OG . （1分）∴∠OHC=90° ∵⊙O 与BC 边切于点G ∴OG =6，OG ⊥BC∴∠OGC=90°∵矩形ABCD ∴∠C =90°∴四边形OGCH 是矩形 ∴CH =OG∵OG =6 ∴CH =6 （1分）∵矩形ABCD ∴AB =CD 第25题图(1)∵AB =12 ∴CD =12∴DH =C D ﹣CH =6 ∴DH = CH∴O 是圆心且OH ⊥DC ∴EH =FH （2分） ∴DE =CF . （1分）（2）据题意，设DP =t ，P A =10-t ，AQ =3t ，QB =12-3t ，BR =1.5t （0 < t < 4）. （1分）∵矩形ABCD ∴∠A =∠B =90° 若△P AQ 与△QBR 相似，则有 ①BR AQ QB AP =tt t t 5.133-12-10= 514=t （2分） ②QB AQ BR AP =t tt t 31235.1-10-= 146921-=t 或14692-2-=t （舍）（2分） （3）设⊙O 与AD 、AB 都相切点M 、N ，联结OM 、ON 、OA . ∴OM ⊥AD ON ⊥AB 且OM =ON =6 又∵矩形ABCD ∴∠A =90° ∴四边形OMAN 是矩形又∵ OM =ON ∴四边形OMAN 是正方形 （1分） ∴MN 垂直平分OA∵△P AQ 与△P A'Q 关于直线PQ 对称 ∴PQ 垂直平分OA∴MN 与PQ 重合 （1分）∴ MA = P A = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1分） ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x =23（1分） ∴当t = 4 和x =23时点A'与圆心O 恰好重合.第25题图(2)(P )。
2015年长宁高三数学一模卷(文)
2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷（文）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是___________________.2．若集合2{|||2},{|30}M x x N x x x =≤=-≤，则M ∩N =_______________. 3．复数221ii+-=______________.（i 是虚数单位） 4．已知数列{}n a 的前n 项和542n n S -=-⨯，则其通项公式为5. 已知()214732lim 6752n a n n n →∞++++-⎡⎤⎣⎦=--，则a = 6. 已知{}3,2,1,1,2,3,---∈b a 且b a ≠，则复数bi a z +=对应点在第二象限的概率为._______（用最简分数表示）7．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为._________ 8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 . 9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 . 10．已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列 {}n a 的首项1a 的取值范围是 .11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好 有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .12. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2226ta n 5bc a acB -+=， 则sin B 的值是 。
上海市长宁区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
上海市长宁区中考数学一模试卷一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项的代号填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，∠C=90°，则cosA等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．解答：解：如图，cosA=．故选D．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，是基础题，作出图形更形象直观．2．（4分）（•长宁区一模）如图，在平行四边形ABCD中，如果，，那么等于（）A．B．C．D．考点：*平面向量．专题：压轴题．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，则可得，然后由三角形法则，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵，∴，∵，∴=+=．故选B．点此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形评：法则的应用，注意数形结合思想的应用．3．（4分）（•长宁区一模）如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB一定是（）A．正方形B．长方形C．菱形D．梯形考点：垂径定理；菱形的判定．专题：探究型．分析：先根据垂径定理得出AD=BD，AC=BC，再根据全等三角形的判定定理得出△AOD≌△BCD，故可得出OA=BC，即OA=OB=BC=AC，由此即可得出结论．解答：解：∵弦AB垂直平分半径OC，∴AD=BD，AC=BC，OD=CD，∵在△AOD与△BCD中，，∴△AOD≌△BCD，∴OA=BC，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形．故选C．点评：本题考查的是垂径定理及菱形的判定定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．4．（4分）（•长宁区一模）对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）考点：二次函数的性质．分析：二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．抛物线的开口方向有a的符号确定，当a ＞0时开口向上，当a＜0时开口向下．解答：解：∵抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．故选A．点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标，开口方向的考查，是中考中经常出现的问题．5．（4分）（•茂名）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．解答：解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴，∴S△AFG：S△ABC=4：9S△AEH：S△ABC=1：9∴S阴影部分的面积=S△ABC﹣S△ABC=S△ABC 故选C．点评：本题的关键是利用三等分点求得各相似三角形的相似比．从而求出面积比计算阴影部分的面积．6．（4分）（•长宁区一模）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的析：确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．解答：解：当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，对称轴x=＜0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选D．点评：主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（•长宁区一模）已知实数x、y满足，则=2．考点：比例的性质．分析：先用y表示出x，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：姐：∵ =，∴x=y，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查了比例的性质，根据两內项之积等于两外项之积用y表示出x是解题的关键．8．（4分）（•长宁区一模）已知，两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，若△ABC的周长是27，则△DEF的周长为9．考点：相似三角形的性质．分析：由两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，得出相似比为3：1，即可得其周长为3：1，又由△ABC的周长为27，即可求得△DEF的周长．解答：解：∵两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，∴周长比为3：1，∵△ABC的周长为27，∴=3，∴△DEF的周长为9．故答案为：9．点评：此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形周长的比等于相似比．9．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则=．考点：三角形的重心．分析：设△ABC边AB上的高为h，根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得△ABG边AB上的高线为h，再根据三角形的面积公式计算即可得解．解答：解：设△ABC边AB上的高为h，∵G是△ABC的重心，∴△ABG边AB上的高为h，∴==．故答案为：．点评：本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．10．（4分）（•长宁区一模）在直角坐标平面内，抛物线y=﹣x2+2x+2沿y轴方向向下平移3个单位后，得到新的抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣1．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据“上加下减”的原则进行解答即可．解答：解：根据“上加下减”的原则可知，把抛物线y=﹣x2+2x+2沿y轴方向向下平移3个单位后所得到的抛物线解析式y=﹣x2+2x+2﹣3=﹣x2+2x﹣1．故答案为：y=﹣x2+2x﹣1．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．11．（4分）（•长宁区一模）在直角坐标平面内，抛物线y=﹣x2+c在y轴左侧图象上升（填“左”或“右”）．考点：二次函数的性质．分析：由于a=﹣1＜0，且抛物线的对称轴为y轴，根据二次函数的性质得到抛物线y=﹣x2+c的开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大．解答：解：∵a=﹣1＜0，∴抛物线y=﹣x2+c的开口向下，且抛物线的对称轴为y轴，∴抛物线y=﹣x2+c在对称轴轴左侧图象上升，y随x的增大而增大．故答案为左．点评：本题考查了二次函数的图象的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴有侧，y 随x的增大而增大；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．12．（4分）（•长宁区一模）正八边形绕其中心至少要旋转45度能与原图形重合．考点：旋转对称图形．专题：常规题型．分析：根据正八边形的性质，求出每一条边所对的中心角，就是所要旋转的度数．解答：解：360°÷8=45°．故答案为：45．点评：本题考查了旋转变换图形，求出每一条边所对的中心角即可，比较简单．13．（4分）（•长宁区一模）已知圆⊙O的直径为10，弦AB的长度为8，M是弦AB上一动点，设线段OM=d，则d的取值范围是3≤d≤5．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：首先过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理的即可求得AC的长，又由⊙O的直径为10，求得⊙O的半径OA的长，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理即可求得OC的长，继而求得线段OM长度的取值范围．解答：解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，∴AC=AB=×8=4，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，在Rt△OAC中，OC===3，∴当M与A或B重合时，OM最长为5，当M与C重合时，OM最短为3，∴线段OP长度的取值范围是：3≤d≤5．故答案为：3≤d≤5．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．14．（4分）（•长宁区一模）如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是5：12．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：首先根据勾股定理求得滑行的水平距离，然后根据坡比的定义即可求解．解答：解：滑行的水平距离是：=120（米），故坡道的坡比是：50：120=5：12．故答案是：5：12．点评：本题考查了勾股定理，以及坡比的定义，正确求得滑行的水平距离是关键．15．（4分）（•长宁区一模）两圆相切，圆心距为2cm，一圆半径为6cm，则另一圆的半径为4或8cm．考点：圆与圆的位置关系．分析：分两圆外切和两圆内切情况讨论，很明显根据圆心距为2cm与一圆的半径为6cm不可能外切；而内切时，要分6cm为较长半径和较短半径两种情况考虑．解答：解：设另一圆的半径为r，∵两圆相切，∴两圆可能外切，也有可能内切，∴当两圆外切时，2=6+r，则r=﹣4（舍去）；当两圆内切时，2=6﹣r或2=r﹣6，则r=4cm或8cm，∴两圆内切，另一圆的半径为4cm或8cm．点评：本题用到的知识点为：两圆外切，圆心距=两圆半径之和．两圆内切，圆心距=两圆半径之差．16．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，AB=6，AC=9，D、E分别是直线AC和AB 上的点，若且AD=3，则BE=4或8．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先将AB=6，AC=9，AD=3代入，求出AE=2．由于D、E分别是直线AC和AB上的点，则∠DAE=∠BAC，所以若，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到△ADE∽△ABC，所以分两种情况进行讨论：①D、E分别在线段AC和AB上；②D、E分别在线段AC和AB的反向延长线上．解答：解：将AB=6，AC=9，AD=3代入，得=，解得AE=2．①D、E分别在线段AC和AB上时，∵AE=2，AB=6，∴BE=AB﹣AE=6﹣2=4；②D、E分别在线段AC和AB的反向延长线上时，∵AE=2，AB=6，∴BE=AB+AE=6+2=8．综上可知BE的长为4或8．故答案为4或8．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，直线的性质，进行分类讨论是解题的关键．17．（4分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB边上一点，△ACD沿CD翻折，A点恰好落在BC边上的E点处，则cot∠EDB=．考点：翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值．分析：先根据三角形内角和定理得出∠A=60°，再由轴对称的性质证明出△CED≌△CAD，则∠CED=60°，根据三角形外角的性质求出∠EDB=30°，然后根据特殊角的三角函数值求解．解答：解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=60°．∵△ACD沿CD翻折，A点恰好落在BC边上的E点处，∴△CED≌△CAD，∴∠CED=∠A=60°，∴∠EDB=∠CED﹣∠B=30°，∴cot∠EDB=cot30°=．故答案为．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形外角的性质，特殊角的三角函数值，根据轴对称的性质证明出△CED≌△CAD是解题的关键．18．（4分）（•长宁区一模）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f （﹣3）=12．x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x=﹣3时的函数值与x=5时的函数值相同．解答：解：由图可知，f（﹣3）=f（5）=12．故答案为：12．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，第19--22题，每题10分；第23、24题，每题12分；25题14分；满分78分）19．（10分）（•长宁区一模）计算：．考点：特殊角的三角函数值．分析：将tan45°=1，sin45°=，tan30°=分别代入即可得出答案．解答：解：原式=+﹣×==．点评：本题考查了特殊角的三角函数值的知识，属于基础题，记忆一些特殊角的三角函数值是关键．20．（10分）（•长宁区一模）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点．请完成下列问题：（1）设；．判断向量是否平行，说明理由；（2）在正方形网格中画出向量：4﹣，并写出4﹣的模．（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）．考点：*平面向量．分析：（1）先将向量化简，然后根据向量平行的定义即可作出判断；（2）分别画出4及﹣，然后可得出4﹣，继而在格点三角形中可求出4﹣的模．解答：解：（1），，则，故可得向量平行．（2）所画图形如下：则．点评：本题考查了向量的知识，注意掌握向量平行的判断方法及向量摸的定义．21．（10分）（•长宁区一模）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=7，∠B=45°，P在BC边上，E在CD边上，∠B=∠APE．（1）求等腰梯形的高；（2）求证：△ABP∽△PCE．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定．分析：（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，首先证明△ABF≌△DCG，得到BF=CG，再证明AFGD是平行四边形，根据平行四边形的性质求出等腰梯形的高即可；（2）利用等腰梯形的性质和相似三角形的判定方法证明：△ABP∽△PCE即可．解答：解：（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，∴∠AFB=∠DGC=90°且 AF∥DG，在△ABF和△DCG中，∴△ABF≌△DCG，∴BF=CG，∵AD∥BC且 AF∥DG，∴AFGD是平行四边形，∴AD=FG，∵AD=3，BC=7，∴BF=2在Rt△ABF中，∠B=45°，∴∠BAF=45°，∴AF=BF=2，∴等腰梯形的高为2；（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，又∵∠B=∠APE∴∠BAP=∠EPC，在△ABP和△PCE中，∴△ABP∽△PCE．点评：本题题主要考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相似三角形的性质与判定，相似三角形的判定是初中阶段考查的重点同学们应重点掌握．22．（10分）（•长宁区一模）由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段．如图所示，已知这辆卡车的车轮外直径（包含轮胎厚度）为120cm，车轮入水部分的弧长约为其周长的，试计算该路段积水深度（假设路面水平）．考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：探究型．分析：设车轮与地面相切于点E，连接OE与CD交于点F，连接OC．设∠COD=n°，过点O作OE垂直路面于点E，交CD于点F，根据弧CD等于⊙O周长的，故可得出n 的值，再根据OE⊥CD 且OE=OC=OD=AB可得出OE的长，故OF是∠COD的平分线，所以∠FOD=∠COD=n，再根据∠FOD+∠ODF=90°，可得出∠ODF的度数，在Rt△OFD中由直角三角形的性质可得出OF的长，再根据FE=OE﹣OF即可得出结论．解答：解：设车轮与地面相切于点E，连接OE与CD交于点F，连接OC．设∠COD=n°，过点O作OE垂直路面于点E，交CD于点F，∵弧CD等于⊙O周长的，即=πd，∴n=120°，∵OE⊥CD 且OE=OC=OD=AB=60cm，∴OF是∠COD的平分线，∴∠FOD=∠COD=n=60°，∵∠FOD+∠ODF=90°，∴∠ODF=30°∴在Rt△OFD中，OF=OD=30cm，∴FE=OE﹣OF=30cm，∴积水深度30cm．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．23．（12分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．考点：三角形的内切圆与内心．分析：首先根据切线长的性质以及切线的性质得出BD的长，进而得出BC的长以及AB的长，即可得出AE的长．解答：解：连接OD、OE．则OD=OE=1，∵O是△ABC的内切圆圆心∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，即且又∵∠ACB=90°，∴，∵OD、OE是过切点的半径，∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB﹣∠COD=60°，在Rt△OBD中，，∴，∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，∵，∴∠ABC=60°，∴BC=BD+CD=1+在Rt△ABC中，AB=2+2，在Rt△OBE中，∵OE=1，∠OBE=30°，∴BE==，∴AE=2+．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数的应用，正确得出∠ABC的度数以及BC的长是解题关键．24．（12分）（•长宁区一模）在直角坐标平面中，已知点A（10，0）和点D（8，0）．点C、B在以OA为直径的⊙M上，且四边形OCBD为平行四边形．（1）求C点坐标；（2）求过O、C、B三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）判断：（2）中抛物线的顶点与⊙M的位置关系，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）作MN⊥BC于点N，连接MC，利用垂径定理求得线段MN后即可确定点C 的坐标；（2）用同样的方法确定点D的坐标后利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后配方后即可确定抛物线的顶点坐标及对称轴；（3）根据抛物线的顶点坐标和点M的坐标确定两点之间的距离，然后根据半径与两点之间的线段的大小关系即可确定顶点与圆的位置关系．解答：解：（1）如图，作MN⊥BC于点N，连接MC，∵A（10，0）和点D（8，0）．∴点M（5，0），∵点C、B在以OA为直径的⊙M上，且四边形OCBD为平行四边形，∴⊙M的半径为5，BC=OD=8，∴在Rt△MNC中，MC=5，NC=BC=4，∴MN=3，∴点C的坐标为（1，3）；（2）∵点C的坐标为（1，3），∴点B的坐标为（9，3），设过O、C、B三点的抛物线解析式为y=ax2+bx，∴解得：∴解析式为：y=﹣x2+x，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣5）2+，∴对称轴为x=5，顶点坐标为（5，）；（3）∵顶点坐标为（5，），点M的坐标为（5，0），∴顶点到点M的距离为，∵＞5∴抛物线的顶点在⊙M外．点评：本题考查了二次函数的综合知识，还考查了点与圆的位置关系，本题难度不大，但综合性比较强．25．（14分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC，⊥，AB=8cm，BC=6cm，点P从A 点出发，以1cm/秒的速度沿AB向B点匀速运动，点Q从A点出发，以x cm/秒的速度沿AC向C点匀速运动，且P、Q两点同时从A点出发，设运动时间为t 秒（），连接PQ．解答下列问题：（1）当P点运动到AB的中点时，若恰好PQ∥BC，求此时x的值；（2）求当x为何值时，△ABC∽△APQ；（3）当△ABC∽△APQ时，将△APQ沿PQ翻折，A点落在A′，设△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，写出S关于t的函数解析式及定义域．考点：相似形综合题．分析：（1）PQ∥BC，P是AB的中点，则Q一定是AC的中点，求得AQ的长，则速度x 即可求得；（2）△ABC∽△APQ，则一定有PQ∥BC，即与（1）相同，即可求得x的值；（3）分0＜t≤4和4＜t＜8两种情况进行讨论，当0＜t≤4时重合部分就是△A′PQ；当4＜t＜8时，重合部分是直角梯形，根据梯形的面积公式即可求解．解答：解：（1）设AP=t AQ=xt （0≤t≤8）∵AB=8 AP=AB=4 即t=4∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm∴AC=10 cm∵PQ∥BC∴即解得：（2）①若∠APQ=∠ABC，则BC∥PQ，此时与（1）相同，x=；若∠APQ=∠C，则=，即=，解得；x=．综上可得当x=或时，△ABC∽△APQ．（3）∵BC∥PQ，∴=，∴PQ===t，则当0＜t≤4时，重叠部分的面积为S=S△A′PQ=S△APQ=AP•PQ=t•t=t2；当4＜t≤8时，如图1所示，则A′P=AP=t，PQ=t，∴BP=AB﹣AP=8﹣t，则A′P=t﹣（8﹣t）=2t﹣8，∵BD∥PQ，∴=∴BD==（t﹣4），∴S=S四边形BDQP=（BD+PQ）•BP= [（t﹣4）+t]•（8﹣t）=（t﹣4）2．则函数解析式是：．点本题考查了相似三角形的判定与性质，正确分情况讨论，因求得x的值是关键．评：。
长宁区2015学年第二学期初二数学期末卷答案
初二数学答案 第1页 共4页长宁区2015学年第二学期初二数学教学质量检测试卷参考答案一、选择题：（本大题共６题,每题３分,满分18分）1. B ；2. B ；3. A ；4. D ；5. C ；6. A.二、填空题：（本大题共12题,每题3分,满分36分） 7.20±， ； 8.3-1x x （）； 9. 25； 10. y ＝x -3； 11. 5； 12. 9； 13. 9； 14．120; 15. (3,3)； 16. 8； 17.43；18.12. 三、解答题：（本大题共５题,满分28分）19.解： 0≠a ax 32=∴..............................................................................................2分 当0>a 时,x a=± ；当0<a 时,方程无实根. ...............................................2分 ∴原方程的解是当0>a时，x =；当0<a 时，方程无实数解............. 1分 20.解：由（1）得 ()()022-=+y x y x （3）由（2）（3）得 ⎩⎨⎧==82-02-2xy x y x （4） ⎩⎨⎧==+82-022xy x y x （5）....................................2分 解（4）得方程组无解 ；解（5）得 22-11x x -y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， ......................................... 2分 ∴原方程的解是22-11x x -y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， ....................................................................................1分 21. 解：设 x x y 32+= 原方程化为 820-=yy . 整理得 020-8-2=y y解得 -21021==y y ， .......................................................................................2分 当101=y 时 1032=+x x 解得 2-521==x x ， .............................................1分初二数学答案 第2页 共4页当-22=y 时 -232=+x x 解得 -2-143==x x ， .............................................1分 经检验：2-521==x x ，,-2-143==x x ，是原方程的解..................................1分 ∴原方程的解是2-521==x x ，,-2-143==x x ，. ......................................................1分 22. 解：据题意得 80×35% = 28(颗）................................................................................2分 80×25% = 20(颗）.................................................................................2分 80-28-20=32(颗）..................................................................................1分 答：罐子里有红色弹珠20颗，蓝色弹珠28颗，黄色弹珠32颗. .................................1分23. 证： □ABCD∴AB //CD 且AB =CDOE 是△ABC 的中位线∴E 是BC 的中点∴BE =EC ................................................................................................................ 2分 AB //CD∴FCE ABE ∠=∠在△ABE 和△CFE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CEF BEA CEBE FCE ABE ∴△ABE ≅△CFE ...................................................................................................2分 ∴AB =CFAB //CD 即AB //CF∴四边形ABFC 是平行四边形．...........................................................................2分四、综合题（本大题共2题,满分18分）24.解：（1）P (1,m )代入5y=x得 m =5，∴P (1,5)..............................................................1分 Q (n ,1)代入5y=x 得 n =5，∴Q (5,1)...............................................................1分 P (1,5)、Q (5,1)代入y =kx +b 得 ⎩⎨⎧=+=+155b k b k 解得⎩⎨⎧==6-1b k ..................2分 ∴k = -1，b =6（2）由（1）知 y = -x +6 A （6,0）B （0,6）设C （x ,-x +6）由AB =AC 得 22226-6-66）（）（++=+x x初二数学答案 第3页 共4页图（1） 图（2）解得01221==x x ，（不合题意,舍）∴C （12,-6）.....................................................................................................................2分 直线OD //BC 且过原点∴直线OD ：y = -x设D （a ,-a ）由OB =CD 得()()226-12-6++=a a 解得62121==a a ，∴满足条件的点D 坐标是（12,-12）或（6,-6）.............................................................2分25. 解：（1） 4-x ；...................................................................................................................2分（2）延长MP 交BC 于Q 点.正方形ABCD∴=90D B C D ∠∠=︒,AB =BC =CD =4MP ⊥AD ∴=90PMD ∠︒∴四边形MQCD 是矩形∴=90P Q C∠︒ MQ =CD ∴PQ ⊥NCCD =4 ∴MQ =4由（1）知MP =4-x ∴PQ =x据题意得 BN =x ∴CN =4-x .......................................................................................2分 ∴2111==4-=2-222S N C P Q x x x x ⋅（）()04x << ......................................................2分（3）当CN =PN 时 如图(1)∴=N P C N C P∠∠ 正方形ABCD ∴45NCP ∠=︒ ∴90PNC ∠=︒ CN =4-x ，PN =x ∴x =2............................................................................................. 1分 当CN =CP 时如图(2) CN =4-x CQ =MD =x等腰直角三角形 PQC 中CP初二数学答案 第4页 共4页 图（3） ∴x=..................................................................................................................... 1分 当PN =CP 时 如图(3)∴==45P N C P C N ∠∠︒∴=90NPC ∠︒ PQ ⊥NC ∴Q 是NC 的中点∴NC =2PQ 4x=3......................................................................................................... 1分 (本题解答过程1分)。
2015年上海市各区中考一模数学试题(全含答案)
2015年上海市六区联考初三一模数学试卷（满分150分，时间100分钟） 2015.1一. 选择题（本大题满分4×6＝24分）1. 如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ） A. 都扩大到原来的2倍； B. 都缩小到原来的12； C. 都没有变化； D. 都不能确定；2. 将抛物线2(1)y x =-向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. 2(1)y x =+； B. 2(3)y x =-； C. 2(1)2y x =-+； D. 2(1)2y x =--；3. 一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）A. 1米；B. 3米；C. 5米；D. 6米；4. 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，:3:5AD AF =，12BE =，那么CE 的长等于（ ） A. 2； B. 4； C.245； D. 365；5. 已知在△ABC 中，AB AC m ==，B α∠=，那么边BC 的长等于（ ） A. 2sin m α⋅； B. 2cos m α⋅； C. 2tan m α⋅； D. 2cot m α⋅；6. 如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD =，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S ，那么下列结论中，不正确的是（ ）A. 13S S =；B. 242S S =；C. 212S S =；D. 1324S S S S ⋅=⋅；二. 填空题（本大题满分4×12＝48分） 7. 已知34x y =，那么22x yx y-=+ ；8. 计算：33()22a ab -+-= ； 9. 已知线段4a cm =，9b cm =，那么线段a 、b 的比例中项等于 cm 10. 二次函数2253y x x =--+的图像与y 轴的交点坐标为 ； 11. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2cos 3A =，那么AC = ； 12. 如图，已知,D E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，2AE =，3CE =，要使DE ∥AB ，那么:BC CD 应等于 ；13. 如果抛物线2(3)5y a x =+-不经过第一象限，那么a 的取值范围是 ； 14. 已知点G 是面积为227cm 的△ABC 的重心，那么△AGC 的面积等于 ；15. 如图，当小杰沿着坡度1:5i =的坡面由B 到A 直行走了26米时，小杰实际上升的高度AC = 米（结论可保留根号）16. 已知二次函数的图像经过点(1,3)，对称轴为直线1x =-，由此可知这个二次函数的图像一定经过除点(1,3)外的另一点，这点的坐标是 ；17. 已知不等臂跷跷板AB 长为3米，当AB 的一端点A 碰到地面时（如图1），AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时（如图2），AB 与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH = 米18. 把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已知△ABC 在直角坐标平面内，点(0,1)A -，(3,2)B -，(0,2)C ，将△ABC 进行T-变换，T-变换中心为点A ，T-变换角为60°，T-变换比为23，那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为 ；三. 解答题（本大题满分10＋10＋10＋10＋12＋12＋14＝78分）19. 已知在直角坐标平面内，抛物线26y x bx =++经过x 轴上两点,A B ，点B 的坐标为(3,0)，与y 轴相交于点C ；（1）求抛物线的表达式； （2）求△ABC 的面积；20. 如图，已知在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，设BA a =，BC b =； （1）求AD （用向量,a b 的式子表示）（2）如果点E 在中线AD 上，求作BE 在,BA BC 方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21. 如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ，小明在离旗杆下方大楼底部E 点24米的点A 处放置一台测角仪，测角仪的高度AB 为1.5米，并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°，上端D 的仰角为45°，求旗杆CD 的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）22. 用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12可表示为1sin 30cos60tan 45sin 302=︒=︒=︒⋅︒=…；仿照上述材料，完成下列问题： （1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示32，即填空：32= = = =…； （2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1=23. 已知如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，联结BF ，交边AC 于点G ，联结CF （1）求证：AE EGAC CG=； （2）如果2CF FG FB =⋅，求证：CG CE BC DE ⋅=⋅24. 已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx =+的图像经过点(1,3)-和点(1,5)-； （1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，请用m 的代数式表示平移后函数图象顶点M 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P 的坐标为(2,3)，CM 平分PCO ∠，求m 的值；25. 已知在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP ∠=∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =；（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当4AP =时，求EBP ∠的正切值；（3）如果△EBC 是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长；2015年上海市六区联考初三一模数学试卷参考答案一. 选择题1. C2. A3. D4. C5. B6. B 二. 填空题7.15 8. 1322a b -- 9. 6 10. (0,3) 11. 4 12. 5313. 3a <- 14. 9 15.26 16. (3,3)- 17.3518. (3,0)- 三. 解答题19.（1）256y x x =-+； （2）(2,0)A ，(3,0)B ，(0,6)C ，3ABC S ∆=；20.（1）12b a -； （2）略； 21. 3.84CD m ≈22.（1）sin 60︒，cos30︒，tan 45sin60︒⋅︒； （2）(sin 30cos60)tan 45cot 45︒+︒⋅︒÷︒； 23. 略；24.（1）24y x x =-； （2）(2,4)M m -； （3）92m =； 25.（1）4y x x =-（25x <≤）； （2）3tan 4EBP ∠=； （3）5373+；崇明县2014学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（测试时间： 100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、已知52a b =，那么下列等式中，不一定正确的是………………………………（ ） (A)25a b = (B)52a b = (C)7a b += (D)72a b b += 2、在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中不一定成立的是 ……………………………………………………………………（ ）(A)tan b a B = (B)cos a c B = (C)sin ac A= (D)cos a b A =3、如果二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么下列判断中，不正确的是………（ ） (A)0a >(B)0b >(C)0c <(D)240b ac ->4、将二次函数2x y =的图像向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图像的函数表达式为…………………………………………………………………………（ ） (A)2(1)1y x =++ (B)2(1)1y x =+-(C)2(1)1y x =-+(D)2(1)1y x =--5、下列说法正确的是……………………………………………………（ ）(A) 相切两圆的连心线经过切点 (B) 长度相等的两条弧是等弧(C) 平分弦的直径垂直于弦(D) 相等的圆心角所对的弦相等6、如图，点D 、E 、F 、G 为ABC ∆两边上的点，且DE FG BC ∥∥，若DE 、FG 将ABC ∆的面积三等分，那么下列结论正确的是 ………………………………………（ ） (A)14DE FG = (B)1DF EGFB GC==(C)ADFB(D)AD DB =（第3题图） （第6题图）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >，如果2AB =cm ，那么线段AP = cm ． 8、如果两个相似三角形的面积比为1:4，那么它们的周长比为 ． 9、如果二次函数22(1)51y m x x m =-++-的图像经过原点，那么m = ．ABCDE F G10、抛物线221y x =-在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）．11、如果将抛物线23y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(2,2)，那么平移后的抛物线的表达式为 ．12、已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,5)A 、(4,5)B ，那么此抛物线的对称轴是 ． 13、某飞机的飞行高度为1500m ，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与这地面控制点的距离为 m ．14、已知正六边形的半径为2cm ，那么这个正六边形的边心距为 cm ．15、如图，已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，点G 为重心，GH BC ⊥，垂足为点H ，那么GH = ．16、半径分别为8cm 与6cm 的1O 与2O 相交于A 、B 两点，圆心距O 1O 2的长为10cm ，那么公共弦AB 的长为 cm ．17、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD 宽5米，坝高10米，斜坡CD 的坡角为45︒，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，那么坝底BC 的长度为 米．18、如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，那么EBG ∆的周长是 cm ．（第15题图） （第17题图） （第18题图）三、解答题（本大题共7题，满分78分）19、（本题满分10分）计算：2014cos301(cot 45)sin 60︒-+-︒+︒20、（本题满分10分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分）已知：如图，□ABCD 中，E 是AD 中点，BE 交AC 于点F ，设BA a =、BC b =． （1）用,a b 的线性组合表示FA ；（2）先化简，再直接在图中求作该向量：1151()()()2424a b a b a b -+-+++．CFEDABC ABCDFGH QE21、（本题满分10分，其中第(1)小题6分，第(2)小题4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，6CD =，3cos 5ADC ∠=，2tan 3B =．（1）求AC 和AB 的长； （2）求sin BAD ∠的值．22、（本题满分10分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，轮船从港口A 出发，沿着南偏西15︒的方向航行了100海里到达B 处，再从B 处沿着北偏东75︒的方向航行200海里到达了C 处． （1）求证：AC AB ⊥；（2）轮船沿着BC 方向继续航行去往港口D 处，已知港口D 位于港口A 的正东方向，求轮 船还需航行多少海里．23、（本题满分12分，其中第(1)小题6分，第(2)小题6分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，2ABC C ∠=∠，E 与F 分别为边AD 与DC 上的两点，且有EBF C ∠=∠． （1）求证：::BE BF BD BC =；（2）当F 为DC 中点时，求:AE ED 的比值． DDABCEF北AB C东24、（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知抛物线258y x bx c =++经过直线112y x =-+与坐标轴的两个交点A 、B ，点C 为抛物线上的一点，且90ABC ∠=︒． （1）求抛物线的解析式；（2）求点C 坐标；（3）直线112y x =-+上是否存在点P ，使得BCP ∆与OAB ∆相似，若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．25、（本题满分14分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题4分）已知在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，O 为边AB 上一动点（不与A 、B 重合），以O 为圆心OB 为半径的圆交BC 于点D ，设OB x =，DC y =． （1）如图１，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）当⊙O 与线段AC 有且只有一个交点时，求x 的取值范围；（3）如图２，若⊙O 与边AC 交于点E （有两个交点时取靠近C 的交点），联结DE ，当DEC ∆与ABC ∆相似时，求x 的值.CADOB · · · （图1）BCA （备用图1）E CA D OB· ·· ·（图2） BCA（备用图2）2014学年徐汇区数学一模一. 选择题1. 将抛物线22y x =-向右平移一个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的表达式为（ ） A. 22(1)2y x =--+； B. 22(1)2y x =---； C. 22(1)2y x =-++； D. 22(1)2y x =-+-；2. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果:BE BC =2:3，那么下列各式错误的是（ ）A.2BE EC =； B. 13EC AD =； C.23EF AE =； D. 23BF DF =；3. 已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ） A. 7sin α； B. 7cos α； C. 7tan α； D. 7cot α；4. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A. BAC ADC ∠=∠；B. B ACD ∠=∠；C. 2AC AD BC =⋅； D.DC ABAC BC=； 5. 已知二次函数222y ax x =-+（0a >），那么它的图像一定不经过（ ） A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限； 6. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，如果:1:4AE EC =， 那么:ADE BEC S S ∆∆=（ ）A. 1:24；B. 1:20；C. 1:18；D. 1:16；二. 填空题 7. 如果53a b =，那么a b a b -+的值等于 ；8. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 ；9. 二次函数245y x x =--的图像的对称轴是直线 ； 10. 计算：cot30sin60︒-︒= ；11. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ；12. 若点1(3,)A y -、2(0,)B y 是二次函数22(1)1y x =--图像上的两点，那么1y 与2y 的 大小关系是 （填12y y >，12y y =或12y y <）；13. 如图，若1l ∥2l ∥3l ，如果6DE =，2EF =， 1.5BC =，那么AC = ；14. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的高度为6米，斜面的坡比为1:2，则斜坡AB 的长为 米（保留根号）；15. 如图，正方形ABCD 被分割成9个全等的小正方形，P 、Q 是其中两个小正方形的顶 点，设AB a =，AD b =，则向量PQ = （用向量a 、b 来表示）； 16. 如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，G 点是△ABC 的重心，如果4AG =，那么BC 的长为 ；17. 如图，已知4tan 3O =，点P 在边OA 上，5OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =， 如果2MN =，那么PM = ；18. 如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点M 、N 分别在边AB 、BC上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且4AP =，那么BN = ；三. 解答题19. 已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）经过A 、B 、C 、D 四个点，其中横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：A B C Dx1-0 13 y1-353（1（2）求△ABD 的面积；20. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB DC =，AC 与BD 交于点O ，:1:2AD BC =； （1）设BA a =，BC b =，试用a ，b 表示BO ； （2）先化简，再求作：3(2)2()2a b a b +-+（直接作在原图中）21. 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为23°，已知测角仪AB 的高为1.5米，求拉线CE 的长； 【已知5sin 2313︒≈，12cos 2313︒≈，5tan 2312︒≈，结果保留根号】22. 如图，MN 经过△ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM AN =，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ；（1）求证：DE ∥BC ；（2）联结DE ，如果1DE =，3BC =，求MN 的长；23. 已知菱形ABCD 中，8AB =，点G 是对角线BD 上一点，CG 交BA 的延长线于点F ； （1）求证：2AG GE GF =⋅； （2）如果12DG GB =，且AG BF ⊥，求cos F ；24. 已知如图，抛物线21:4C y ax ax c =++的图像开口向上，与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P ，2AB =，且OA OC =； （1）求抛物线1C 的对称轴和函数解析式；（2）把抛物线1C 的图像先向右平移3个单位，再向下平移m 个单位得到抛物线2C ，记顶点为M ，并与y 轴交于点(0,1)F -，求抛物线2C 的函数解析式；（3）在（2）的基础上，点G 是y 轴上一点，当△APF 与△FMG 相似时，求点G 的坐标；25. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC BC ⊥，9AD =，12AC =，16BC =，点E 是边BC 上的一个动点，EAF BAC ∠=∠，AF 交CD 于点F ，交BC 延长线于点G ，设BE x =； （1）试用x 的代数式表示FC ； （2）设FGy EF=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△AEG 是等腰三角形时，直接写出BE 的长；参考答案1、A2、C3、C4、D5、C6、B7、148、（1,2）9、x＝210、3211、1512、12y y13、614、6515、16、1217、17 18、19、20、21、22、23、24、25、所以，BE＝72014学年上海市宝山区初三一模数学试卷一. 选择题（24分）1. 如图，在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，AC =，下列判断正确的是（ ）A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. cot 2A =； D. tan 2A =； 2. 如图，△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，下列判断错误的是（ ） A.AD AE DB EC =； B. AD DE DB BC =； C. AD AE AB AC =； D. AD DEAB BC=；3. 如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（ ）A. 这两条弦所对的圆心角相等；B. 这两条线弦所对的弧相等；C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分；D. 这两条弦所对的弦心距相等； 4. 已知非零向量a 、b 、c ，下列命题中是假命题的是（ ）A. 如果2a b =，那么a ∥b ；B. 如果2a b =-，那么a ∥b ；C. 如果||||a b =，那么a ∥b ；D. 如果2a b =，2b c =，那么a ∥c ； 5. 已知O 半径为3，M 为直线AB 上一点，若3MO =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A. 相切；B. 相交；C. 相切或相离；D. 相切或相交； 6. 如图边长为3的等边△ABC 中，D 为AB 的三等分点（12AD BD =），三角形边上的 动点E 从点A 出发，沿A C B →→的方向运动，到达点B 时停止，设点E 运动的路程为x ，2DE y =，则y 关于x 的函数图像大致为（ ）A. B. C. D.二. 填空题（48分）7. 线段b 是线段a 和c 的比例中项，若1a =，2b =，则c = ； 8. 两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为 ；9. 已知两圆半径分别为3和7，圆心距为d ，若两圆相离，则d 的取值范围是 ； 10. 已知△ABC 的三边之比为2:3:4，若△DEF 与△ABC 相似，且△DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为 ；11. 在△ABC 中，cot 3A =，cos 2B =，那么C ∠= ； 12. B 在A 北偏东30°方向（距A ）2千米处，C 在B 的正东方向（距B ）2千米处，则C 和A 之间的距离为 千米；13. 抛物线2(3)4y x =--+的对称轴是 ；14. 不经过第二象限的抛物线2y ax bx c =++的开口方向向 ；15. 已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 为函数22(1)3y x =--+的图像上的两点，若121x x >>，则1y2y ；16. 如图，D 为等边△ABC 边BC 上一点，60ADE ∠=︒，交AC 于E ，若2BD =，3CD =，则CE = ；17. 如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，CD =AB 的长为 ；18. 如图直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2CD =，AB BC =，1AD =，动点M 、N 分别在AB边和BC 的延长线运动，而且AM CN =，联结AC 交MN 于E ，MH ⊥AC 于H ，则EH = ；三. 解答题（78分） 19. 计算：2sin 602cot 30cos 602cos 45tan 60︒+︒-︒︒+︒；20. 如图，已知M 、N 分别是平行四边形ABCD 边DC 、BC 的中点，射线AM 和射线BC 相交于E ，设AB a =，AD b =，试用a 、b 表示AN ，AE ；（直接写出结果）21. 已知一个二次函数的图像经过点(1,0)A 和点(0,6)B ，(4,6)C ，求这个抛物线的表达式 以及该抛物线的顶点坐标；22. 如图，D 为等边△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，若:2:1BD CD =，DE =AE ；23. 如图，P 为O 的直径MN 上一点，过P 作弦AC 、BD 使APM BPM ∠=∠，求证：PA PB =；24. 如图，正方形ABCD 中，（1）E 为边BC 的中点，AE 的垂直平分线分别交AB 、AE 、CD 于G 、F 、H ，求GFFH； （2）E 的位置改动为边BC 上一点，且BE k EC =，其他条件不变，求GFFH的值；25. （1）数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线2y ax bx c =++，系数a 、b 、c 一旦 确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a 、b 、c 为抛物线2y ax bx c =++ 的特征数，记作{,,}a b c ；请求出与y 轴交于点(0,3)C -的抛物线22y x x k =-+在单同学 眼中的特征数；（2）同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成2()y a x m k =++的顶点式，因此坚持称a 、m 、k 为抛物线的特征数，记作{,,}a m k ；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同 组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为{,,}u v w 的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位 后的图像，即此时的特征数{,,}u v w 无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果 是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；（4）在直角坐标系XOY 中，上述（1）中的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左 边），请直接写出△ABC 的重心坐标；26. 如图在△ABC 中，10AB BC ==，AC =D 为边AB 上一动点（D 和A 、B 不重合），过D 作DE ∥BC 交AC 于E ，并以DE 为边向BC 一侧作正方形DEFG ，设AD =x ，（1）请用x 的代数式表示正方形DEFG 的面积，并求出当边FG 落在BC 边上时的x 的值； （2）设正方形DEFG 与△ABC 重合部分的面积为y ，求y 关于x 的函数及其定义域； （3）点D 在运动过程中，是否存在D 、G 、B 三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上 的情况？若存在，请直接写出此时AD 的值，若不存在，则请说明理由；2014学年第一学期长宁区学习能力诊断卷初三数学 试卷（时间100分钟 满分150分）一. 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.如果两个相似三角形的面积比是1:6，那么它们的相似比是（ ） A ．1:36 B.1:6 C . 1:3 D . 1:62. 在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，AC =3，BC =4，那么∠A 的余弦值等于（ ）A ．35 B . 45 C . 34 D . 433. 如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DE M ∽△ABC （点D 和点A 对应，点B 和E 对应），则点M 对应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）A . FB . GC . KD . H第3题图 4. 已知两圆半径分别是3和4，若两圆内切，则两圆的圆心距为（ ） A . 1或7 B . 1 C . 7 D . 2 5. 抛物线22212,2,2y x y x y x ==-=共有的性质是（ ） A . 开口向下; B . 对称轴是y 轴C . 都有最低点D . y 的值随x 的增大而减小 6. 如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动的过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段B P 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为图中的( )A .B .C .D .二. 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知线段a =2c m ，c =8c m ，则线段a 、c 的比例中项是_________c m. 8. 计算：3()3a b a --=_________.9. 已知⊙P 在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P （-3,4），则坐标原点O 与⊙P 的位置位置关系是_________.10. 如果圆心O 到直线l 的距离等于⊙O 的半径，那么直线l 和⊙O 的公共点有________个. 11. 抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是________.12.抛物线223y x =-向左移动3个单位后所得抛物线解析式是________.13. 已知二次函数227y x x =+-的一个函数值是8，那么对应自变量x 的值是_________. 14. 已知二次函数2(1)2y ax a x =-+-，当x >1时，y 的值随x 的增大而增大，当x <1时，y 的值随x 的增大而减小，则实数a 的值为_________.15. 某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年第三月新品研发资金y （元）关于x 的函数关系式为 y =_________.16. 如图所示，铁路的路基横断面都是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1:3，斜坡AB 的水平宽度BE =33m ，则斜坡AB =_________m.17. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点E ，联结DE ，则S △ABC ：S △GED 的值为_________.18. 如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到正方形'''AB C D .当两个正方形重叠部分的面积是原正方形面积的14时，1sin '2B AD ∠ _________.GED CBAD 'C 'B 'D CBA第16题图 第17题图 第18题图三. (本大题共7题，满分78分)19.（本题满分10分）计算：201(sin30)(2015tan45).sin60cos60o oo o--+--20. （本题满分10分）如图，已知O为△ABC内的一点，点D、E分别在边AB、AC上，且11,.34AD AEDB AC==设,,OB m OC n==试用m、n表示DE.OEDCBA21. （本题满分10分）如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD.求证：△OCD是等腰三角形.22. （本题满分10分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，点G在AD上，过点G作BC的平行线分别与AB、AC交于P、Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥BC于点F. 设AD=80，BC=120，当四边形PEFQ为正方形时，试求正方形的边长.QPFGE D23. （本题满分12分）如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A -C -B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶. 已知AC =120千米，∠A =30°，∠B =135°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）CBA24. （本题满分12分）如图，已知平面直角坐标平面上的△ABC ，AC =CB ，∠ACB =90°，且A （-1,0），B （m ，n ） C （3,0），若抛物线23y ax bx =+-经过A 、C 两点. （1） 求a 、b 的值（2） 将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B ，求新抛物线的解析式.（3） 设（2）中的新抛物线的顶点为P 点，Q 为新抛物线上P 点至B 点之间一点，以点Q 为圆心画圆，当⊙Q 与x 轴和直线BC 都相切时，联结PQ 、BQ ，求四边形ABQP 的面积.25. （本题满分14分）如图，已知△ABC 是等边三角形，AB =4，D 是AC 边上一动点（不与A 、C 重合），EF 垂 直平分BD ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，设CD =x ，AE =y . （1） 求证：△AED ∽△CDF ；（2） 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3） 过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，当EH =1时，求线段CD 的长.备用图ABCFEDCBA2014学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．对于抛物线2)2(-=x y ，下列说法正确的是（▲）（A ）顶点坐标是)0,2(； （B ）顶点坐标是)2,0(； （C ）顶点坐标是)0,2(-； （D ）顶点坐标是)2,0(-． 2．已知二次函数bx ax y +=2的图像如图1所示， 那么a 、b 的符号为（▲）（A ）0>a ，0>b ； （B ）0<a ，0>b ； （C ）0>a ，0<b ； （D ）0<a ，0<b ． 3．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边， 下列等式中正确的是（▲） （A ）c a A =cos ； （B ）b c B =sin ； （C ）b a B =tan ； （D ）abA =cot ． 4．如图2，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，2:1:=DO AO ，那么下列式子正确的是（▲）（A ）2:1:=BC BO ； （B ）1:2:=AB CD ； （C ）2:1:=BC CO ； （D ）1:3:=DO AD ．5．已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a ∥b的是（▲）（A ）a=b 2-； （B ）=，3=； （C ）=+2，-=-； （D=．6．在△ABC 中，︒=∠90C ，cm AC 3=，cm BC 4=．以点A 为圆心，图1ABCDO图2半径为cm 3的圆记作圆A ，以点B 为圆心，半径为cm 4的圆记作圆B ， 则圆A 与圆B 的位置关系是（▲）（A ）外离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）内切. 二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） 7．如果函数2)1(x a y -=是二次函数，那么a 的取值范围是 ▲ ．8．在平面直角坐标系中，如果把抛物线22+=x y 向上平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为 ▲ ．9．已知抛物线122-+=x x y 的对称轴为l ，如果点)0,3(-M 与点N 关于这条对称轴l 对称，那么点N 的坐标是 ▲ ．10．请写出一个经过点)1,0(，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是 ▲ ．11．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且1=a ，4=c ，那么=b ▲ ． 12．如果两个相似三角形的周长比为2:1，那么它们的对应中线的比为 ▲ ．13．如图3，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，射线AE 交DC 的延长线于点F ，2=AB ，EC BE 3=， 那么DF 的长为 ▲ ．14．在△ABC 中，︒=∠90C ，1312sin =A ，12=BC ，那么=AC ▲ ．15．小杰在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是︒36，那么点B 处的小丽看点A 处的小杰的仰角是 ▲ 度． 16．正九边形的中心角等于 ▲ 度．17．如图4，AB 、AC 都是圆O 的弦，AB OM ⊥，AC ON ⊥，垂足分别为点M 、N ，如果6=BC ，那么=MN ▲ ． 18．在△ABC 中，9=AB ，5=AC ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D （如图5），△ABD 沿直线AD 翻折后，点B 落到点1B 处，如果BAC DC B ∠=∠211，那么=BD ▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）N MOCBA图4DFABCD图519．（本题满分10分）计算： ︒-+︒⋅︒+︒-45cos 21260tan 30cot 2130sin 1．20．（本题满分10分）已知二次函数)0(22≠+-=m n x mx y 的图像经过点)1,2(-和)2,1(-，求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．21．（本题满分10分，每小题各5分）如图6，已知AB 是圆O 的直径，10=AB ，弦CD 与AB 相交于点N ，︒=∠30ANC ，3:2:=AN ON ，CD OM ⊥，垂足为点M ．（1）求OM 的长； （2）求弦CD 的长．22．（本题满分10分，每小题各5分）如图7，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为2:1=i ，斜坡AB 的长为56米，车库的高度为AH （BC AH ⊥），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为︒14（图中的︒=∠14ACB ）．（1）求车库的高度AH ；（2）求点B 与点C 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：24.014sin =︒，97.014cos =︒，25.014tan =︒，01.414cot =︒）23．（本题满分12分，每小题各6分）B图6ABCH图7已知：如图8，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DAG BAC ∠=∠，BAD CDG ∠=∠． （1）求证：ACAGAB AD =； （2）当BC GC ⊥时，求证：︒=∠90BAC ．24．（本题满分12分，每小题各4分）如图9，在平面直角坐标系xoy 中，点A 坐标为)0,8(，点B 在y 轴的正半轴上，且34cot =∠OAB ， 抛物线c bx x y ++-=241经过A 、B 两点． （1）求b 、c 的值；（2）过点B 作OB CB ⊥，交这个抛物线于点C ，以点为圆心，CB 为半径长的圆记作圆C ，以点A 为圆心，r 为半径长的圆记作圆A ．若圆C 与圆A外切，求r 的值； （3）若点D 在这个抛物线上，△AOB 的面积 是△OBD 面积的8倍，求点D 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 图8已知在△ABC 中，8==AC AB ，4=BC ，点P 是边AC 上的一个动点，ABC APD ∠=∠，AD ∥BC ，联结DC ．（1）如图10，如果DC ∥AB ，求AP 的长；（2）如图11，如果直线DC 与边BA 的延长线交于点E ，设x AP =，y AE =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如图12，如果直线DC 与边BA 的反向延长线交于点F ，联结BP ，当△CPD 与 △CBF 相似时，试判断线段BP 与线段CF 的数量关系，并说明你的理由．图10图11。
上海长宁区2015学年第一学期初二数学期末质量抽测试卷
长宁区2015学年第一学期初二数学期末质量抽测试卷一、选择题（每题3分，共18分）1、用配方法解方程09922=--x x 时，原方程变形为（ ）A 、100)1(2=+xB 、100)1(2=-xC 、98)1(2=+xD 、98)1(2=-x 2、下列各式计算正确的是（ ）A 、532=+B 、2222=+C 、22223=-D 、5621012+=+3、已知xy ＞0，化简二次根式2xyx -的正确结果是（ ） A 、y -- B 、y -C 、y -D 、y4、据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开x 分钟后，水龙头滴水y 毫升水，则y 与x 之间的函数关系式（ ）A 、y=0.05xB 、y=5xC 、y=100xD 、y=0.05x+100 5、下列命题中，假命题是（ ）A 、对顶角相等B 、等角的补角相等C 、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行D 、如果一个角的两边分别平行与另一个角的两边，那么这两个角相等6、一个直角三角形的斜边比一条直角边长多2cm ，另一条直角边长6cm ，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）A 、4cmB 、8cmC 、10cmD 、12cm 二、填空题（每题3分，满分36分）7、二次根式3+x 中，实数x 的取值范围是 8、化简：40=9、2） 10、方程x x 32=的解是11、当m= 时，关于x 的方程062=--m x x 有两个相等的实数根12、在实数范围内分解因式：1692-+y x =13、某品牌服装原售价每件580元，连续两次降价x ％后，现售价为每件371元，列出关于x 的方程为14、函数2-=x xy 的定义域是 15、已知A 、B 是反比例函数xy 1=图像上关于原点O 对称的两点，过点A 且平行y 轴的直线与过点B 且平行x 轴的直线交于点C ，则△ABC 的面积为16、如果式子22)2()1(-++b a 表示点P （a ，0）和点Q 的距离，那么Q 点坐标是17、已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，边AB 的垂直平分线交BC 于点E ，则BCBE= 18、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对角线BD 对折，使得点C 落在点F 处，BF 交AB 于E ，如果EF=3，BC=9，那么∠EDF= ° 三、作图或简答题（每题5分，满分20分）19、求作一点P ，使其到A 、B 两点的距离相等，且到∠EDF 两边的距离相等（只要保留作图痕迹，说明所求的点，不必写出作图过程）20、已知x=3，y=2，求yx y y x x+--的值21、计算：)32841)(236215(--B ·A·M O N22、解方程：07632=--x x四、证明或解答题（23、24每题8分，25题10分） 23、如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，已知AE=EF 求证：AC=BF24、已知反比例函数xky =和一次函数y=mx 的图像都经过第一象限的点A ，点B 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点，△ABC 是直角边长为2的等腰直角三角形 （1）实数k 和m 的值（2）设点C （-m,k)，求经过点C 的反比例函数图像的解析式，并说出满足条件的反比例函数图像的共同特征（至少2个）25、如图，在△ABC 中，AB=AC=5，P 是射线BC 上的点 （1）如图（1），设BC=6，BP=x ，AP=y ，求y 与x 的函数解析式，并写出定义域 （2）如图（2），若点P 在BC 上，求证：252=⋅+PC PB AP（3）如图（3），当点P 在BC 延长线上，请直接写出2AP ，PB ，PC ，2AB 满足的数量关系A PC B 如图1A P C B如图2APC B如图3答案一、选择题1、B2、C3、A4、B5、D6、C 二、填空题7、x ≥-3 8、102 9、是 10、0或3 11、-9 12、)321)(321(9+-----y y 13、371)％1(5802=-x 14、x ≠2 15、2 16、（-1,2）、（2a+1,2)、（2a+1,2b-2）、（-1,2b-2） 17、3118、30° 三、作图或简答题 19、作图正确（4分）∴P 点是所求作的点（1分） 图略 20、原式=5=-+yx yx 21、3314217- 22、原方程的解为33032,1±=x 23、证明:延长AD 至G ，使DG=AD ，连接BG ， 在△BDG 和△CDA 中， BD=CD∠BDG=∠CDA DG=DA∴△BDG ≌△CDA ∴BG=AC ，∠CAD=∠G 又∵AE=EF ∴∠CAD=∠AFE 又∠BFG=∠AFE ∴∠CAD=∠BFG ∴∠G=∠BFG ∴BG=BF ， ∴AC=BF.24、解:（1）如图a ，当∠ABO=90°且OB=AB 时， 根据题意OB=AB=2，则A （2,2） 代入xky =得k=4 代入y=mx 得m=1如图b ，当∠OAB=90°且OB=AB 时据题意OA-AB=2，则OB=22 过点A 作OB 的垂线垂足是H 则OH=AH=21OB=2 则A （2，2） 代入xky =得k=2 代入y=mx 得m=1 （2）设反比例函数xn y =当k=4，m=1时，C （-1,4）代入x ny =，得n=-4 ∴过点C 的反比例函数解析式为x y 4-=当k=2，m=1时，C （-1,2）代入x ny =，得n=-2∴过点C 的反比例函数解析式为xy 2-=25、(1)作AH ⊥BC 于H ∵AB=AC ∴BH=HC=21BC=3 在Rt △ABH 中 AB=5 AH=422=-BH AB在Rt △AHP 中 AP=5 AP=22PH AH -∵BP=x ∴HP=3-x ∴22)3(4-+=x y （x ≥0）（2）设BC=2a(a ＞0）222222)()5(a x a HP AH AP -+-=+=PB ·PC=x(2a-x)=2a-x 225225222222=-++-+-=⋅+x ax a ax x a PC PB AP(3)22AB PC PB AP =⋅-。
2015年上海市长宁区高考数学一模试卷(文科)解析
2015年上海市长宁区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•长宁区一模）函数y=sin2xcos2x的最小正周期是．2．（4分）（2015•长宁区一模）若集合M={x||x|≤2}，N={x|x2﹣3x≤0}，则M∩N=．3．（4分）（2015•长宁区一模）复数=．（i是虚数单位）4．（4分）（2015•长宁区一模）已知数列{a n}的前n项和S n=5﹣4×2﹣n，则其通项公式为．5．（4分）（2015•长宁区一模），则a=．6．（4分）（2015•长宁区一模）已知a，b∈{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}且a≠b，则复数z=a+bi对应点在第二象限的概率为．（用最简分数表示）7．（4分）（2015•长宁区一模）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为．8．（4分）（2015•长宁区一模）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是．9．（4分）（2015•长宁区一模）根据如图的框图，打印的最后一个数据是．10．（4分）（2015•长宁区一模）已知数列{a n}是以﹣2为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S7是数列{S n}中的唯一最大项，则数列{a n}的首项a1的取值范围是．11．（4分）（2015•长宁区一模）五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是．12．（4分）（2015•长宁区一模）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则sinB的值是．13．（4分）（2007•江西）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为．14．（4分）（2015•长宁区一模）已知的展开式中的常数项为T ，f （x ）是以T 为周期的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ，若在区间[﹣1，3]内，函数g （x ）=f （x ）﹣kx ﹣k 有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．15．（5分）（2015•长宁区一模）设z 1、z 2∈C ，则“z 12+z 22=0”是“z 1=z 2=0”的（ ）16．（5分）（2015•长宁区一模）若正数a ，b ，c 成公差不为零的等差数列，则（ ）17．（5分）（2015•长宁区一模）函数y=a |x+b|，（0＜a ＜1，﹣1＜b ＜0）的图象为（ ）18．（5分）（2015•长宁区一模）O 是△ABC所在的平面内的一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC 的形状一定为（ ）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．19．（12分）（2015•长宁区一模）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（12分）（2015•长宁区一模）已知（1）求tanα的值；（2）求的值．21．（14分）（2015•长宁区一模）已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，a n≠0，（n∈N*），且a k x2+2a k+1x+a k+2=0（k∈N*）（1）求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；（2）若方程不同的根依次为x1，x2，…，x n，…，求证：数列{}为等差数列．22．（18分）（2015•长宁区一模）已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性．（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求mn关于t的函数关系式．（3）求mn的取值范围．23．（18分）（2015•长宁区一模）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q使得c n+1=pc n+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{c n}是“线性数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，数列{a n}、{b n}是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列{a n}是“线性数列”，则数列{a n+a n+1}也是“线性数列”；（3）若数列{a n}满足a1=2，a n+a n+1=3t•2n（n∈N*），t为常数．求数列{a n}前n项的和．2015年上海市长宁区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•长宁区一模）函数y=sin2xcos2x的最小正周期是．，的最小正周期是=故答案为：．2．（4分）（2015•长宁区一模）若集合M={x||x|≤2}，N={x|x2﹣3x≤0}，则M∩N=[0，2]．3．（4分）（2015•长宁区一模）复数=2i．（i是虚数单位）解：复数=4．（4分）（2015•长宁区一模）已知数列{a n}的前n项和S n=5﹣4×2﹣n，则其通项公式为．利用公式时，．故答案为：．5．（4分）（2015•长宁区一模），则a=28．项和公式，把，所以6．（4分）（2015•长宁区一模）已知a，b∈{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}且a≠b，则复数z=a+bi对应点在第二象限的概率为．（用最简分数表示）P==故答案为：7．（4分）（2015•长宁区一模）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4．8．（4分）（2015•长宁区一模）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是60°．=，9．（4分）（2015•长宁区一模）根据如图的框图，打印的最后一个数据是63．10．（4分）（2015•长宁区一模）已知数列{a n}是以﹣2为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S7是数列{S n}中的唯一最大项，则数列{a n}的首项a1的取值范围是（12，14）．11．（4分）（2015•长宁区一模）五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是．=．故答案为．12．（4分）（2015•长宁区一模）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则sinB的值是．，代入已知cosB==故答案为13．（4分）（2007•江西）如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为2．=（+，+=114．（4分）（2015•长宁区一模）已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．的常数项为故答案为：二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．22|x+b18．（5分）（2015•长宁区一模）O是△ABC所在的平面内的一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（）=0三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．19．（12分）（2015•长宁区一模）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．所以底面积可用所成的角为，所以计算可得：，所成的角为20．（12分）（2015•长宁区一模）已知（1）求tanα的值；（2）求的值．）由于或=．21．（14分）（2015•长宁区一模）已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，a n≠0，（n∈N*），且a k x2+2a k+1x+a k+2=0（k∈N*）（1）求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；（2）若方程不同的根依次为x1，x2，…，x n，…，求证：数列{}为等差数列．，继而得﹣=1+，﹣，=﹣﹣﹣（﹣==（常数）{是以﹣22．（18分）（2015•长宁区一模）已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性．（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求mn关于t的函数关系式．（3）求mn的取值范围．）分两种情况，当时，当时，再由基本不等式可得．）当23．（18分）（2015•长宁区一模）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q使得c n+1=pc n+q 对于任意n∈N*都成立，我们称数列{c n}是“线性数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，数列{a n}、{b n}是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列{a n}是“线性数列”，则数列{a n+a n+1}也是“线性数列”；（3）若数列{a n}满足a1=2，a n+a n+1=3t•2n（n∈N*），t为常数．求数列{a n}前n项的和．项的和参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；zlzhan；孙佑中；翔宇老师；sxs123；qiss；w3239003；danbo7801；xize；wdnah；xintrl；maths；1457446928；lily2011；sllwyn；双曲线；wfy814；智者乐水（排名不分先后）菁优网2015年4月16日。
2015数学(理)全国I大联考(一)附参考答案
全国大联考2015届高三第一次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x∈Z|-3<x<2},N={x∈Z|-1≤x≤3},则M∩N等于A.{0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}2.命题p:∀x∈R,x2+1≥1,则p是A.∀x∈R,x2+1<1B.∃x0∈R,+1≤1C.∃x0∈R,+1<1D.∃x0∈R,+1≥13.下列函数中,是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是A.y=cos xB.y=-x2+1C.y=log2|x|D.y=e x-e-x4.一元二次方程ax2+2x+1=0(a∈R且a≠0)有一正根和一负根的充分不必要条件是A.a<0B.a>0C.a<-1D.a>15.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为A.B. C. D.16.已知a=0.-,b=sin ,c=log2.51.7,则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a17.函数f(x)=x+sin x在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A.B. C. D.+18.设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),且x0∈(m,m+1),m∈Z,则m的值为A.1B.2C.3D.49.已知“f(x)=xln x在定义域内单调递增”的否定为p,“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)都是奇函数,则y=f(x)+g(x)是奇函数”的否命题为q,则下列命题为真命题的是A.p∨qB.p∧qC.p∧qD.p10.设函数y=f(x)在全体实数集R内有定义,对于给定的正数k,定义函数f k(x)=取函数f(x)=a-|x|(0<a<1),当k=时,函数f k(x)的值域为A.(0,a)∪(,+∞)B.[a,1]∪(,+∞)C.(0,a)∪[1,)D.(0,a]∪[1,)11.函数f(x)=的图象可能是A.(1)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)12.设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,若x0是方程f(x)-f'(x)=2的一个解,则x0可能存在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知函数f(x)=则f[f(2)]=▲.214.(x+)dx=▲.15.已知函数f(x)=2ax2-ax+c的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,若函数y=f'(x)的零点为m,则-m a+c=▲.16.给出下列命题:①若y=x3+ax在R上单调递增,则a≥0;②若p是q的充分必要条件,则p可能是q的必要不充分条件;③若函数f(x)是奇函数,则函数f(x+1)的图象关于点A(1,0)对称;④已知函数y=f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则当x∈(0,5]时,函数y=f(x)与g(x)=lg x的图象有4个交点.其中真命题的序号为▲.(把所有真命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=-的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.(1)当m=3时,求A∩(R B);(2)若A∩B={x|-1<x<4},求实数m的值.18.(本小题满分12分)已知p:函数f(x)=(x-2)e x(e是自然对数的底数)在(m,2m)上是单调函数;q:“x2-2x≤0”是“x2-2mx-3m2≤0”的充分不必要条件.若p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.319.(本小题满分12分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. (1)已知二次函数f(x)=ax2+2bx-4a(a≠0,b∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”,并说明理由;(2)设f(x)=2x+m是定义在[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(其中e是自然对数的底数,常数a>0).-(1)当a=1时,求曲线在(0,f(0))处的切线方程;(2)若存在实数x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)在2014年南京“青奥会”来临之际,某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场.已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元,且每套礼品的加工费用为6元,若该纪念品投放市场后,每套礼品出厂的价格为x(60≤x≤100)元,根据市场调查可知,这种纪念品的日销售量q与成反比,当每套礼品的出厂价为81元时,日销量为200个.(1)若每天加工产品个数根据销量而定,使得每天加工的产品恰好销售完,求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系;(2)若在某一段时间为了增加销量,计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售,但保证每日的利润不低于9000元,求t的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-bx(a,b∈R,且a≠0).(1)当b=2时,若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)当a>0且2a+b=1时,讨论函数f(x)的零点个数.42015届高三第一次联考·数学试卷参考答案1.D∵M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},∴M∩N={-1,0,1}.2.C全称命题的否定是特称命题,所以p是∃x0∈R,+1<1,故选C.3.C函数y=cos x为偶函数,但是在(0,+∞)上不单调;y=-x2+1为偶函数,在(0,+∞)上为减函数;y=e x-e-x 为奇函数;只有函数y=log2|x|符合题意.4.C设x1,x2是方程两个根,则满足题意的充要条件是x1·x2=<0,则由选项知充分不必要条件是a<-1.5.B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=-,由f'(2)=2可得-=2,解之得a=.6.D由指数函数y=0.6x的图象可知,当x<0时,y>1,∴0.->1;由于函数y=sin x在(0,)上单调递增,又0<<<,∴sin <sin =;函数y=log2.5x在(0,+∞)上单调递增,又<1.7<2.5,∴=log2.5<log2.51.7<1,∴b<c<a.7.A f(x)=x+sin x,则f'(x)=1+cos x,则f'()=1,而f()=+1,故切线方程为y-(+1)=x-.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.故切线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×1=.8.A令f(x)=x3-()x-2,易得函数f(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-()1-2=-1<0,f(2)=8-()2-2=7>0,且函数f(x)在R上单调递增,所以x0∈(1,2),所以m=1.9.C f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x+1,当0<x<时,f'(x)<0,故f(x)在定义域上不是单调递增函数,故p是真命题;命题q为“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)不都是奇函数,则5y=f(x)+g(x)不是奇函数”,这是假命题,例如f(x)=x+x2,g(x)=x-x2都不是奇函数,但y=f(x)+g(x)=2x是奇函数,故正确的命题为p∧q.10.B依题意,当k=时,由a-|x|≤(0<a<1),得|x|≤1,此时f k(x)==a|x|∈[a,1];由a-|x|>(0<a<1),得|x|>1,此时f k(x)=f(x)=a-|x|∈(,+∞).因此,当k=时,函数f k(x)的值域为[a,1]∪(,+∞).11.C取a=0,可知(4)正确;取a<0,可知(3)正确;取a>0,可知(2)正确;无论a取何值都无法作出(1).12.B由题易知f(x)-log2x为常数,令f(x)-log2x=k(常数),则f(x)=log2x+k,由f[f(x)-log2x]=3得f(k)=3.又f(k)=log2k+k=3,所以k=2,所以f(x)=log2x+2.再用零点存在定理验证可知选B.13.2因为2≤2,所以f[f(2)]=f(4)==2.14.(e2+1) (x+)dx=(x2+ln x)=e2+ln e-=(e2+1).15.-由图象可知f(1)=0,即2a-a+c=0,即a+c=0,又f'(x)=4ax-a,由图可知a<0,故y=f'(x)的零点为m=,故-m a+c=(-m0=--1=()-2-1=3-2-1=-.16.①④对于①,由y=x3+ax可得y'=3x2+a,要使函数单调递增,只需y'=3x2+a≥0恒成立,故a≥-3x2,可得a≥0,故①正确;对于②,若p是q的充分必要条件,则p一定是q的充分必要条件,故②错误;对于③,根据图象平移的“左加右减”的规律可知,f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移了一个单位长度,故对称中心为(-1,0);对于④,作出函数图象可知在x∈(0,5]上,f(x)与g(x)有4个交点,则④正确.17.解:(1)由已知可得A={x|-1<x≤5}.当m=3时,B={x|-1<x<3},则R B={x|x≤-1或x≥3},∴A∩(R B)={x|3≤x≤5}. .............................................................. 5分(2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},故4是方程-x2+2x+m=0的一个根,∴-42+2×4+m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,因此实数m的值为8. ....................................... 10分18.解:由f(x)=(x-2)e x,可得f'(x)=(x-1)e x.由f'(x)>0,可得x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递增;由f'(x)<0,可得x<1,即f(x)在(-∞,1)上单调递减.若p为真,则或解之得0<m≤或m≥1. .................................. 4分6若q为真,分m大于0与小于0,可得m≥或m≤-2. ........................................ 6分由p∨q为真,p∧q为假,可得p,q一真一假.若p假q真,则m∈(-∞,-2]∪[,+∞)且m∈(-∞,0]∪(,1),即实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[,1);.................................................. 8分若p真q假,则m∈(-2,)且m∈(0,]∪[1,+∞),即实数m的取值范围是(0,]. ................... 10分综上可知,若p∨q为真,p∧q为假,则实数m的取值范围是(-∞,-2]∪(0,]∪[,1). .............. 12分19.解:(1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(-x)+f(x)=0有解,即f(x)+f(-x)=0⇒2a(x2-4)=0,........................................................... 3分解得x=±2,∴f(x)为“局部奇函数”.................................................... 5分(2)当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可转化为2x+2-x+2m=0,∵f(x)的定义域为[-1,1],∴方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解,令t=2x∈[,2],则-2m=t+.∵g(t)=t+在[,1)上递减,在[1,2]上递增,∴g(t)∈[2,],∴-2m∈[2,],即m∈[-,-1]. ........................................................... 12分20.解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}.当a=1时,f(x)=-,f'(x)=--,∴f(0)=-1,f'(0)=-2,∴曲线在(0,f(0))处的切线方程为2x+y+1=0. .............................................. 4分(2)f'(x)=--,令f'(x)=0,得x=a+1,∴f(x)在(-∞,a),(a,a+1)上递减,在(a+1,+∞)上递增. ........................................ 6分若存在实数x∈(a,2],使不等式f(x)≤e2成立,只需在x∈(a,2]上,f(x)min≤e2成立.①当a+1≤2,即0<a≤1时,f(x)min=f(a+1)=e a+1≤e2,∴0<a≤1符合条件.................................................................. 10分②当a+1>2,即1<a<2时,f(x)min=f(2)=-≤e2,解得a≤1,又1<a<2,∴a∈⌀.综上,a的取值范围是(0,1]. ........................................................... 12分721.解:(1)根据条件可设q=,由条件可知,当x=81时,q=200,即200=,k=1800,∴q=,∴生产这套“青奥会”纪念品每日可以获得的利润为y=(x-30-6)·=(60≤x≤100). ........ 4分(2)由(1)可知y=,∴y'=--=.显然,当x>0时,y'>0,∴函数在[60,100]上单调递增,∴当x=100时,每日获得的利润最大,且最大值为y=-=11520(元),........................................................... 8分∴每套纪念品的价格降低t元后,每套纪念品的价格为100-t元,可以获得的利润为y=-,由条件只需-≥9000,令-=m,则可得m2-5m-36≥0,结合m>0可解得m≥9,即-≥9,解之得t≤19,结合条件可知t 的取值范围是(0,19]. ................................................................ 12分22.解:(1)当b=2时,函数f(x)=ln x-ax2-2x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-2=--.∵函数f(x)存在单调递减区间,∴f'(x)=--≤0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.∴关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.①当a>0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上总有无穷多个解.②当a<0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为x=->0.要使关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.必须Δ=4+8a>0,解得a>-,此时-<a<0.综上所述,a的取值范围为(-,0)∪(0,+∞). ............................................... 6分(2)当b=1-2a时,函数f(x)=ln x-ax2-(1-2a)x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-(1-2a)=---,令f'(x)=0,得8--=0,即2ax2+(1-2a)x-1=0,(x-1)(2ax+1)=0,∵x>0,a>0,则2ax+1>0,∴x=1,当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln 1-a-b=-a-1+2a=a-1.①当a=1时,f(1)=0,若x≠1,则f(x)<f(1),即f(x)<0.此时,函数f(x)与x轴只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点;②当a>1时,f(1)>0,又f()=ln-a·()2-(1-2a)×=-a(-1)2-<0,f(e)=ln e-ae2-(1-2a)e=1-ea(e-2)-e<0,函数f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有两个零点;③当0<a<1时,f(1)<0,函数f(x)与x轴没有交点,故函数f(x)没有零点. ....................... 12分9。
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………………18分
23、【解】(1), ………………2分
………………4分
(2)由, ………………5分 由,即; ………………7分 由,即 ………………9分 . ………………10分 (3)由, ………………11分 故, ………………13分 当时,以上各式相加得 ………………15分 当时,
, ………………18分
………………17分
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） 已知函数的图像与轴正半轴的交点为，=1，2，3，…．
(1) 求数列的通项公式； (2) 令为正整数）, 问是否存在非零整数, 使得对任意正整数，都有？
若存在, 求出的值 , 若不存在 , 请说明理由．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分）
有4个零点，则实数的取值范围是
．
二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出
代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正
确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5
分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆
括号内),一律得零分．
15．设z1、z2∈C,则“z+z=0”是“z1=z2=0”的
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 如图：三棱锥中，底面，若底面是边长为2的正三角形，且与底面
所成的角为．若是的中点，求： （1）三棱锥的体积；
（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 已知
（1）求的值； （2）求的值。
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点；
④把函数；
⑤在中，若，则是等腰三角形；
其中真命题的序号是
（） ．（1）（2）（3） ．（2）（3）（4）
（1）（4）（5）
．（3）（4）（5） ．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各 题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．
所以…………………………………………………………………………
4分
（2），若存在，满足恒成立
即：，………………………………6分
恒成立 ……………………………………………………8分
当为奇数时， ………………………………………10分
当为偶数时， …………………………………12分
所以 ………………13分，
故：………………………14分
（2）连接，取的中点，记为，连接，则
所以为异面直线与所成的角
………………7分
计算可得：，， ………………9分
………………11分
异面直线与所成的角为
………………12分
20、【解】（1）由条件得到，………………2分
解得或者 ………………4分
， ………………6分
（2） ………………2分+2分+2分=6分
21、（理）【解】：（1）设， 得 。
已知函数（、），满足，且在时恒成立．
（1）求、的值； （2）若，解不等式； （3）是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
23. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分）
已知数列满足 (1)设是公差为的等差数列.当时,求的值; (2)设求正整数使得一切均有 (3)设当时,求数列的通项公式.
()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不
必要条件
16．函数的图象为
（）
A
B
C
D
17.是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状一定是
（）
A. 正三角形 B. 直角三角形 C.等腰三角形
D.斜三角
形
18.下面有五个命题：
①函数的最小正周期是；
②终边在y轴上的角的集合是；
2014学年第一学期高三数学教学质量检测试卷
参考答案（理）
一、填空题
1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、2 14、
二、选择题
题号
15
16
17
18
答案
三、解答题
19、[解]（1）因为底面，与底面所成的角为
所以 ………2分 因为，所以…………4分
………………6分
假设存在实数，使函数在区间上有最小值．
1 当，即时，函数在区间上是增函数，所以，即，解得或，
因为，所以；
………………13分
②当，即时，函数的最小值为，即
，解得或，均舍去；
………………15分
③当，即时，在区间上是减函数，所以，即，解得或，因，所以．
………………17分
综上，存在实数，或时，函数在区间上有最小值．
信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好
有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .
12. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， 则的值是 。
13. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两
点，若，，则的值为
．
14.已知的展开式中的常数项为，是以为
周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数
2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测 试卷（理）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120 分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿 纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在 答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则 一律得零分．
8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的
母线与底面所成的角的大小是
.
开始
是 否 A＜35 A←1 A←2A+1
结束
打印 9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 . 10．已知数列是以为公差的等差数列，是其前
项和，若是数列中的唯一最大项，则数列
的首项的取值范围是
.
11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白
1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________. 2．若集合，则M∩N_______________. 3．复数=______________.（是虚数单位）
4．已知数列的前项和，则其通项公式为 5. 已知，则
6. 已知且，则复数对应点在第二象限的概率为（用最简分数表示） 7．已知函数，是函数的反函数，若的图象过点，则的值为
22、【解】（1）由，得，………………1分
因为在时恒成立，所以且△，，
………………
2分
即，，，所以．……………4分
（2）由（1）得，由，得
，即，………………7分
所以，当时，原不等式时，原不等式解集为空集 ．
………………10分
（3），
………………11分
的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线．