《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPTX
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT
答案:(1)A
(2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最
大值.
解:∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即
此时 ab 取得最大值 1.
1
a=1,b=2时等号成立.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> + + .
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
1
-1
1
-1
1
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
=
≥
,
1
2 1
2
同理可得 -1≥
,
-1≥
.
∴-1=
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
1
-1
1
-1
1
2 2 2
得
-1 ≥
·
·
=8.
1
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
3
1
1
1
故 -1
-1
-1 ≥8.
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
一元二次函数、方程和不等式——基本不等式
一元二次函数、方程和不等式一、教材分析：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题.《一元二次函数、方程和不等式》这一章内容是安排在“集合”之后，“函数”之前.本章有“等式性质与不等式性质”、“基本不等式”、“二次函数与一元二次方程、不等式”三节内容。
通过学生易于接受的“等式性质与不等式性质”进入本章节的学习，继而借助前面不等式的性质的学习，引出“基本不等式”，再以二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”（一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.同时，此部分内容又培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想.二、学情分析：学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题.但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.三、章节学习目标：学习目标核心素养1.通过具体实例体会不等式在现实生活中的应用.数学建模2.掌握比较法的解题步骤.数学运算3.理解不等式的性质及证明.逻辑推理4.从数与形的角度体会基本不等式的证明方法.直观想象5.注重基本不等式的变形，求最值的关键是“拼”“凑”“拆”数学运算6.熟练掌握用基本不等式证明不等式.逻辑推理7.体会从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.数学抽象8.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.直观形象9.会解一元二次不等式，能够利用一元二次不等式解决一些实际问题.数学运算、数学建模2.2基本不等式（2课时）教学目标：1.理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.2.能够整理并建立不等式的知识链.3.通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识.教学重难点：重点：基本不等式的内容及其证明；应用基本不等式求解最值.难点：基本不等式的理解与证明；运用基本不等式解答实际问题；不等式知识链的建立.教学过程：一导入（温故而知新）：回顾旧知：重要不等式： 2+ 2≥2 （a,b∈R）当且仅当 = 时，等号成立.问题1:当 、 都是正数时，如果对重要不等式中的 、 进行开方运算，那么你会得到什么结论呢？利用旧知探索新知，便于提高学生的学习自信，利于培养学生知识迁移、探索的能力.公式辨析：1.已知 , ∈ ，且 >0，则下列结论恒成立的是（）A. 2+ 2>2B.2 ≤ +B.1 +1 >2 D. + ≥22.已知x>−1,求 2+7 +10 +1的最小值.不等式的“一正，二定，三相等”.四数学生活化：例3.（1）用篱笆围一个面积为100 2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）有一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池使总造价最低？最低总造价是多少？解决实际生活中的问题，把数学生活化，增强学生学习数学的兴趣.培养阅读理解能力，知识的灵活应用能力.五课堂小结：给出小结框架，让学生自己总结.（主要从两个方面进行总结：知识+能力）培养学生总结的能力.将知识进行内化，形成知识链.六课后作业：以书后练习和习题册为主.回归教材，吃透书本.七板书设计：标题知识点例题演算八教学反思：主要从以下几点进行反思：1.学生对新知的接受情况；2.课堂的实施情况；及时进行反思，不断反思，不断进步.3.教师的教学方法，学生的学习方法；4.教学内容的设置.。
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
模块复习课02 一元二次函数、方程和不等式(课件)
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模块复习课(二) 一元二次函数、方程和不等式
二．不等式的性质及应用
应用时容易出错的不等式的性质 (1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减； 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d， 若a＞b，c＜d则a－c＞b－d， 但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．
数学 必修 第一册 A
答案
8 9
数学 必修 第一册 A
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模块复习课(二) 一元二次函数、方程和不等式
[训练 7] 设 x，y 都是正数，且1x＋2y＝3，求 2x＋y 的最小值． 解 ∵1x＋2y＝3，∴131x＋2y＝1. ∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×131x＋2y ＝134＋yx＋4yx≥134＋2 yx·4yx＝83. 当且仅当yx＝4yx，即 y＝2x 时，取等号． 又∵1x＋2y＝3，∴x＝23，y＝43. ∴2x＋y 的最小值为83.
(2)l＝5，F＝v2＋76180v0＋0v100＝v＋71680＋0010v0，由基本不等式 v＋10v0≥2 100＝20， 当且仅当 v＝10v0时，即 v＝10 时，等号成立．得 F≤2706＋00108＝2 000(辆/小时)，增加 2 000－1 900＝100修 第一册 A
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模块复习课(二) 一元二次函数、方程和不等式
[训练3] 若a＞b, x＞y，下列不等式正确的是( )
A．a＋x＜b＋y
B．ax＞by
C．|a|x≥|a|y
D．(a－b)x＜(a－b)y
答案 C
解析 因为当a≠0时， |a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向
数学 必修 第一册 A
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模块复习课(二) 一元二次函数、方程和不等式
高中数学必修一 《2 2 基本不等式》多媒体精品课件
跟踪训练
1
2
.
函
数
f
(
x
) x2
能
否
用
基
本
不
等
式
求
最
小
值
？
2
x2
2
2
由基本不等式知
x
2
解：
当且仅当
x 2
2
1
1
x2 2
2
x2 2
1
x2 2
2
即x2 21时取等，而这是不可
x2 2
能的，故此函数不能用
基本不等式求最小值。
利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
达标检测
1．下列不等式中，正确的是(
)
4
A．a＋a≥4
B．a2＋b2≥4ab
a＋b
C. ab≥
2
3
D．x ＋ 2≥2 3
x
2
4
解析：选 D.a＜0，则 a＋ ≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a
a＋b
a ＋b ＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜
，故 C
2
2
2
错；由基本不等式可知 D 项正确．
ab
b20
a b 2
ab
(当且仅当
ab
时取等）。
2
2
此不等式称为重要不等式
基本不等式
1、基本不等式
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b,
可得到什么结论？
替换后得到：
(a
)
(b
)≥
2a
b
2
即： ab≥2 ab
《等式性质与不等式性质》课件
第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)①中，c 的正、负或是否为 0 未知，因而判断 ac 与
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式的基本性质 (1)对于实数 a，b，c，有下列说法： ①若 a>b，则 ac<bc； ②若 ac2>bc2，则 a>b； ③若 a<b<0，则 a2>ab>b2； 其中正确的是________(填序号)． (2)若 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b.
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________． 解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(4)性质 5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号 方向不变，不能相减”． (5)性质 6 和性质 7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正 数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( × ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( √ ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( √ ) (4)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( × )
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册
6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析 逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不 满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案 解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式 图文
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是(
)
4
A.若 x≠0,则 x+≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则 + ≥2
C. 2 + 2 +
4
1
的最小值为 2
)
A.6 B.5
C.4 D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为
9
解析:(1)∵x>0,∴+x≥2
9
·=6,当且仅当
9
x=,即
.
x=3 时等号成
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4=4,当且仅当 a=4b,
即
1
a=2,b= 时取等号.
A.最小值12
C.最小值144
4
9
解析: + ≥2
答案:C
)
B.最大值12
D.最大值144
36
,即
≤12,∴xy≤144.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
1
时,4x+ (x>0)取得最小值.
3.当且仅当 x=
1
1
解析:由于 x>0,由基本不等式可得 4x+≥2 4·=4,当且仅当
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
栏目导航
10
合作探究 提素养
栏目导航
11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
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38
13
栏目导航
14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．