2019-2020最新中考数学复习 第四讲 一元二次方程式的判别式学案(无答案) 新人教版
中考数学复习教案《一元二次方程根的判别式》
中考复习之一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）43->m 【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是： △＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25- ∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k ∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
第四讲一元二次方程跟的判别式
第四讲、一元二次方程根的判别式第一部分、 教学目标：1、理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；2、通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力． 第二部分、教学重点和难点：1、根的判别式的正确理解与运用。
2、含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用. 第三部分、 教学过程： 例题讲解：例1、已知方程ax 2+4x ﹣1＝0；则①当a 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ ②当a 取什么值时，方程有两个相等的实数根？ ③当a 取什么值时，方程没有实数根？【分析】利用根的判别式：△＝b 2﹣4ac 来求解，把系数代入可得16+4a ，然后根据一元二次方程根与判别式的关系分别把对应的不同情况列成不等式，解关于a 不等式即可求出a 的取值范围．【解答】解：∵△＝b 2﹣4ac ＝16+4a ，且a ≠0①当△＞0时有两个不相等的实数根，∴16+4a ＞0，∴a ＞﹣4且a ≠0； ②当△＝0时有两个相等的实数根，∴16+4a ＝0，∴a ＝﹣4； ③当△＜0时没有实数根，∴16+4a ＜0，∴a ＜﹣4．练1.1、关于x 的方程x 2﹣3x +m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ C ） A ．m ＜49B ．m ＞49 C ．m ＝49 D ．m ＜49-【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△0=，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【解答】解：关于x 的方程230x x m -+=有两个相等的实数根，∴△2(3)410m =--⨯⨯=，解得：94m =，故选：C ．练1.2、定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a +b +c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＝cB ．a ＝bC ．b ＝cD ．a ＝b ＝c【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△240b ac =-=，又0a b c ++=，即b a c =--，代入240b ac -=得2()40a c ac ---=，化简即可得到a与c 的关系．【解答】解：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根，∴△240b ac =-=，又0a b c ++=，即b a c =--， 代入240b ac -=得2()40a c ac ---=，即222222()4242()0a c ac a ac c ac a ac c a c +-=++-=-+=-=，a c ∴=．故选：A ．例2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A.092=+x B.01442=+-x x C.012=++x x D.01-2=+x x【分析】：逐一分析四个选项根的判别式的符号，由此即可得出结论． 【解答】解：A 、036-94-02<=⨯=∆， ∴该方程没有实数根； B 、()0144-4-2=⨯⨯=∆，∴该方程有两个相等的实数根； C 、03-114-12<=⨯⨯=∆，∴该方程没有实数根； D 、()051-14-12>=⨯⨯=∆， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D ．练2.1、已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个相等的实数根，则下列关于判别式mk n 42-的判断正确的是 （ ）A.042<-mk nB.042=-mk nC.042>-mk nD.042≥-mk n【分析】根据一元二次方程20ax bx c ++=，(0)a ≠根的判别式△24b ac =-直接得到答案．【解答】解：关于x 的一元二次方程20(0)mx nx k m ++=≠有两个实数根，∴△240n mk =-，故选：D ．练2.2、关于x 的方程0122=-++k kx x 的根的情况描述正确的是 （ ）A.k 为任何实数，方程都没有实数根B.k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k 的取值不同，方程的根取值情况也不相同 【分析】求出24b ac -的值，根据求出的结果判断即可． 【解答】解：2210x kx k ++-=，△2221(2)4(1)4444()32k k k k k =--=-+=-+，不论k 为何值，△0>，即一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：C ．例3、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k ﹣4＝0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围；（2）找出k 范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意k 的值． 【解答】解：（1）根据题意得：△＝4﹣4（2k ﹣4）＝20﹣8k ＞0，解得：k ＜25； （2）由k 为正整数，得到k ＝1或2， 利用求根公式表示出方程的解为x ＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k 为完全平方数，则k 的值为2． 练3.1、已知关于x 的方程()()00222≠=++-m x m mx ． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据偶次方的非负性证明； （2）利用求根公式求出方程的根，根据题意求出正整数m 的值． 【解答】（1）证明：△2(2)42m m =+-⨯⨯244m m =-+2(2)0m =-，则方程总有两个实数根； （2）(2)(2)2m m x m+±-=，11x =，22x m=， 方程的两个实数根都是整数， 则正整数m 的值为1或2．练3.2、已知关于x 的方程()01222=++-m x m x （1）当m 取值范围是多少时，方程有两个实数根；（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△240b ac =-，从而建立关于m 的不等式，求出实数m 的取值范围．（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△0>，可以解得12m >-，在12m >-的范围内选取一个合适的整数求解就可以．【解答】解：（1）由题意知：△2224[2(1)]4[2(1)2][2(1)2]2(42)840b ac m m m m m m m m =-=-+-=-++-+-=---=+， 解得12m -．∴当12m -时，方程有两个实数根． （2）选取0m =．（答案不唯一，注意开放性） 方程为220x x -=， 解得10x =，22x =．例4、已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x 1＝k ，x 2＝k +1，然后分类讨论：AB ＝k ，AC ＝k +1，当AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值． 【解答】（1）证明：∵△＝（2k +1）2﹣4（k 2+k ）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+k ＝0的解为x ＝2112±+k ，即x 1＝k ，x 2＝k +1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．当AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；当AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1＝5，解得k＝4，综合上述，k的值为5或4．练4.1、已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a＝1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根．（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．【解答】（1）证明：∵△=b2-4ac=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）分两种情况：①若b=c，∵方程x2-（k+2）x+2k=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=（k-2）2=0，解得k=2，∴此时方程为x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△ABC的周长为5；②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，∵把x=1代入方程x2-（k+2）x+2k=0，得1-（k+2）+2k=0，解得k=1，∴此时方程为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴所求△ABC的周长为5．综上所述，所求△ABC的周长为5．练4.2、关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断ABC的形状；（2）利用ABC∆是等边三角形，则a b c==，进而代入方程求出即可．【解答】解：（1）方程有两个相等的实数根，2(2)4()()0b ac a c∴-+-=，2224440b a c∴-+=，222a b c∴=+，ABC∴∆是直角三角形；（2）当ABC∆是等边三角形，a b c∴==，2()2()0a c x bx a c+++-=，2220ax ax∴+=，10x∴=，21x=-．例5、（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表方程x1x2x1+x2x1•x2 9x2﹣2＝02x2﹣3x＝0x2﹣3x+2＝0关于x的方程ax2+bx+c＝（a、b、c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0）aacbbx242-+-=aacbbx24-2--=（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．【分析】（1）能够熟练运用直接开平方法、因式分解法解方程，再进一步求两根之和与两根之积；（2）根据（1）中的第四行的结论，推广到一般进行总结．【解答】解：（1）如下表：（2）已知：x1和x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，那么acx x a b x x =⋅-=+2121,方程 x 1x 2x 1+x 2 x 1•x 29x 2﹣2＝03232- 092- 2x 2﹣3x ＝0 23 0 23 0 x 2﹣3x +2＝02 132关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0 （a 、b 、c 为常数， 且a ≠0，b 2﹣4ac ≥0） a ac b b x 242-+-=aacb b x 24-2--=ab - ac练5.1、已知方程x 2+3x ﹣1＝0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）22βα+（2）αββα+． 【分析】（1）根据根与系数的关系得出αβ+和αβ，再把22αβ+变形2()2αβαβ+-，代入计算即可；（2）把αββα+化为22αβαβ+，再代入计算即可．【解答】解：（1）方程2310x x +-=的两个实数根为α、β，3αβ∴+=-，1αβ=-，222()2αβαβαβ∴+=+-92=+11=；（2）3αβ+=-，1αβ=-，∴22αβαββααβ++=111=- 11=-．练5.2、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣5x +2＝0的两个实数根，不解方程，求下列各式的值．（1）2111x x +；（2）221221x x x x +；（3）2112x x x x +．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得1252x x +=，121x x =．（1）先通分计算，再整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；（2）根据2212121212()x x x x x x x x +=+即可求解； （3）由根与系数的关系，将2112x x x x +转化为只含12x x +和12x x 的形式，代入数据即可得出结论．【解答】解：1252x x +=，121x x =，（1）1212121152x x x x x x ++==； （2）221212x x x x +12125()2x x x x =+=； （3）22221211212121212()2174x x x x x x x x x x x x x x ++-+===． 例6、关于x 的一元二次方程()02232=+++-k x k x ． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k 的取值范围．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k ﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1＝2、x 2＝k +1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围． 【解答】（1）证明：∵在方程()02232=+++-k x k x 中，△＝[﹣（k +3）]2﹣4×1×（2k +2）＝k 2﹣2k +1＝（k ﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根． （2）解：∵()02232=+++-k x k x ＝（x ﹣2）（x ﹣k ﹣1）＝0， ∴x 1＝2，x 2＝k +1．∵方程有一根小于1，∴k +1＜1，解得：k ＜0， ∴k 的取值范围为k ＜0．练6.1、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+2k ＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2k+1，x 1x 2＝k 2+2k ，再把x 1x 2﹣x 12﹣x 22＝﹣16变形为﹣（x 1+x 2）2+3x 1•x 2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k 2+2k ）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k 的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，解得k ≤； （2）根据题意得x 1+x 2＝2k+1，x 1x 2＝k 2+2k ，∵x 1x 2﹣x 12﹣x 22＝﹣16．∴x 1x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]＝﹣16，即﹣（x 1+x 2）2+3x 1•x 2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k 2+2k ）＝﹣16， 整理得k 2﹣2k ﹣15＝0，解得k 1＝5（舍去），k 2＝﹣3． ∴k ＝﹣3．练6.2、若实数a ，b 满足：5a 2+2012a +9＝0及9b 2+2012b +5＝0且ab ≠1，求b a的值．【分析】方程29201250b b ++=两边同时除2b 可转化为2115()201250bb++=，然后将a 和1b作是方程25201290a a ++=的两根，最后根据根与系数的关系即可求解． 【解答】解：将0b =代入方程29201250b b ++=得：左边5=，右边0=，左边≠右边，0b ∴≠．方程29201250b b ++=两边同时除2b 得：2115()201290b b++=，1ab ≠，a ∴和1b可看作是方程25201290a a ++=的两根， 则195a a bb ==． 第四部分、出门测试时间（10分钟左右）第四部分、课堂落实时间（10分钟）第五部分、板书设计第六部分、作业布置今天是2020年 月 日 星期 天气今日所学：一元二次方程根的判别式今日作业：第四讲自我巩固老师说：1、下次正常上课2、路上注意安全。
九年级数学上册 2.3 一元二次方程根的判别式导学案(无
2.3 一元二次方程根的判别式学习目标：1、会熟练运用求根公式解一元二次方程。
2、了解b 2-4ac 的值与一元二次方程解的情况的关系。
学习重点：熟练地运用公式法解一元二次方程。
学习难点：选用适当的方法解一元二次方程。
学习过程：问题引入：知识回忆： 1、一元二次方程的求根公式是什么？其成立的条件是什么？2、问题：小英说：不解方程2x 2-2x-3=0，我也知道它的根的个数，你知道其中的原因吗？探究新知：请同学们带着以下问题用10分钟的时间自学完教材P43—P44练习前的内容，并完成下面的自学检测中的练习。
1、自学思考题：⑴根据b 2-4ac 的值的符号，可以判定一元二次方程的根的情况，所以我们把 叫做一元二次方程根的判别式。
⑵一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）配方变形为 。
⑶当b 2-4ac>0时，方程的根是什么？它们有怎样的关系？⑷当b 2-4ac<0时，方程的根是什么？它们有怎样的关系？⑸当b 2-4ac=0时，方程的根是什么？它们有怎样的关系？2、自学检测：⑴、在方程x 2-4x+3=0中，b 2-4ac= 两根为x 1= x 2= 。
⑵、在方程x 2-4x+4=0中，b 2-4ac= 两根为x 1= x 2= 。
⑶、在方程x 2-4x+6=0中，b 2-4ac= 两根为x 1= x 2= 。
⑷、下列方程中，没有实数根的是（ ）A 、012=--x xB 、0562=+-x xC 、03322=+-x xD 、0122=++x x ⑸、方程022=+-x x 的根的情况是（ ）A 、只有一个实数根B 、有两个相等的实数根C 、有两个不相等的实数根D 、没有实数根⑹、下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）A 、0122=--x xB 、0122=++x xC 、0222=+-x xD 、0222=--x x ⑺、试一试：不解方程，判别下列方程根的情况。
①x 2+3x-1=0 ②x 2-6x+9=0 ③2x 2-3x+4=03、自主点拨： （1）首先将所给方程化成一元二次方程的一般形式，正确找出a 、b 、c ；（2）只要能判断b 2-4ac 的符号就行，具体数值不必计算；（3）判别根的情况，不必求出方程的根。
中考数学重难点专题讲座一元二次方程与二次函数含答案
中考数学重难点专题讲座第四讲 一元二次方程与二次函数前言前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难;几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了;相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求;中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的;所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析;一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察;但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法;第一部分 真题精讲例12010,西城,一模已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时,方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ,证明：在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．思路分析本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式;由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断;第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式;第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可;事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点1,0;根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点;于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.解析解：1分两种情况：当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, 不要遗漏∴当0m =,原方程有实数根.当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. 如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.2①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,∴0)1(3=-m .关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥,判断大小直接做差∴12y y ≥当且仅当1x =时,等号成立.3由②知,当1x =时,120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. 很重要,要对那个等号有敏锐的感觉∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立,∴320y y -≥,图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值 ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ,解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .例22010,门头沟,一模 关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.1当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根；2点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式； 3在2的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式；若不存在,请说明理由.思路分析第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件;第二问给点求解析式,比较简单;值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.解析：1由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（）解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. 2由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，舍 始终牢记二次项系数不为0 28101y x x =++3抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 关于对称轴对称的点的性质要掌握 14x =-与抛物线有且只有一个交点B 这种情况考试中容易遗漏 另设过点B 的直线y kx b =+0k ≠把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 114y kx k =+- 28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点,21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,162y x =+例3已知P 3,m -和Q1,m 是抛物线221y x bx =++上的两点． 1求b 的值；2判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根；若没有,请说明理由； 3将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k k 是正整数个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值．思路分析 拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错;但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称;而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b; 第二问依然是判别式问题,比较简单;第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察;考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减单独的x,上加下减表达式整体然后求出结果;解析1因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以,抛物线对称轴3142b x -+=-=,所以,4b =． 2由1可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为,24b ac =-=16－8=8>0．所以,方程有两个不同的实数根,分别是1122b xa -+==-+,2122b x a -==--． 3由1可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为2241y x x k =+++． 若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可． 由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0,得1k >又k 是正整数,所以k 得最小值为2．例42010,昌平,一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数．1求抛物线的顶点坐标；2若25a >,且抛物线与x 轴交于整数点坐标为整数的点,求此抛物线的解析式． 思路分析本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. 1依题意,得0a ≠,∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-2∵抛物线与x 轴交于整数点,∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x == ∵0a >,∴2x = ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >, ∴25a <． 很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ∴2a 取1,4, 当21a =时,2a =； 当24a =时,12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．例52010,平谷,一模已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=m 为实数1若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围；2在1的条件下,求证：无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；3若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式．思路分析本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m －1≠0;第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=mx －x －1x+1就可以看出当x=－1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性在X 轴上,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：1()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根,∴0m ≠∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.2证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m --±--±==--. ∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---， 这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，，, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-，3∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠，, ∴2m =当2m =时,抛物线为21y x =-．把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为()223168y x x x =--=-+总结 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题;总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性;这种题目大多包涵多个小问;第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况;第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用;至于根与系数的关系韦达定理近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间;第二部分 发散思考思考1. 2010,北京中考已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.1求k 的值；2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式；3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 思路分析去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.思考22009,东城,一模已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= 1若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；2若12＜m ＜40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值．思路分析本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果;本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.思考32009,海淀,一模已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2－bx+kcc ≠0的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.1若方程①的根为正整数,求整数k 的值；2求代数式akcab b kc +-22)(的值； 3求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.思路分析本题有一定难度,属于拉分题目;第一问还好,分类讨论K 的取值即可;第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.思考42009,顺义,一模. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．1求证：不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根；2若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-,求m 的值．思路分析这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分 思考题解析思考1解析解：1由题意得,168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数,∴123k =，，．2当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去；3k =符合题意．当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．3设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点,则(30)A -，,(10)B ，． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12y x b =+经过A 点时,可得32b =； 当直线12y x b =+经过B 点时,可得12b =-． 由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．思考2解析证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根;22(23)=(23)2m x m -±-±=∵方程有两个整数根,且m 为整数． 又∵12＜m ＜40,252181.m ∴<+<∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=24思考3解析解：由 kx=x+2,得k －1 x=2.依题意 k －1≠0.∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数,k 为整数,∴ k －1=1或k －1=2.∴ k1= 2, k2=3.2解：依题意,二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点1,0,∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab ab a 3证明：方程②的判别式为 Δ=－b2－4ac= b2－4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.i 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.ii 证法一: 若ac>0, 由2知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= a+kc2－4ac=a2+2kac+kc2－4ac = a2－2kac+kc2+4kac －4ac =a －kc2+4ack －1.∵ 方程kx=x+2的根为正实数,∴ 方程k －1 x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k －1>0.∴ 4ack －1>0.∵ a －kc20,∴Δ=a －kc2+4ack －1>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=－b2－4akc =b2－4akc0.b2－4ac － b2－4akc=4ack －1.由证法一知 k －1>0,∴ b2－4ac> b2－4akc0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.思考4解析1[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+90=> ∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根2由原方程可得12(21)32m x +±==， ∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+- ∴ 4m = － 经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．。
一元二次方程根的判别式学案
一元二次方程根的判别式学案一．探究新知：填空：x 的一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的求根公式是； 当042>-ac b 时，=1x ，=2x ，1x 与2x 的关系是；当042=-ac b 时，=1x ，=2x ，1x 与2x 的关系是；假设042<-ac b 呢？总结：。
二，学以致用例1.不解方程，判断方程根的情况1.01322=--x x ， 0442=+-x x 012=++x x22)1)(1(y y y -=-+)13(492-=x x 012=-+bx x0122=-+-k kx x例2：关于x 的一元二次方程068)6(2=+--x x a 有实数根，求a 的取值范围。
关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，求a 的取值范围。
关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有2个不相等的实数根，求k 的取值范围。
假设关于x 的方程022)2(22=-++-m x m x 有两个相等实数根，求m 值，并求出这时方程的根：关于x 的一元二次方程01)2(2=---+m x m x ，求证：不管m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。
c b a ,,为三角形ABC 的三边，且方程0))(())(())((=--+--+--a x c x c x b x b x a x 有两个相等实数根，试判断该三角形的形状。
等腰三角形ABC 中，,8=BC AC AB ,的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两个根，求m 的值，并求出三角形的周长。
假设代数式4)1(2)12(2+++-m x m 是完全平方式，求m 的值。
分式cx x -+212中，不管x 取何值分式总是有意义，求c 的取值范围。
练习：假设关于x 的方程022=++k x x 有两个不等实数根，求k 的取值范围假设关于x 的方程02)1(2=+--m mx x m 有两个实数根，求m 的取值范围假设关于x 的方程01)6(92=+++-b x b x 有两个相等实数根，求b 值，并求出这时方程的根假设关于x 的方程02)12(22=+-+-x x x x k 有实数根，求k 的取值范围。
一元二次方程公式法根的判别式导学案
一元二次方程公式法根的判别式导学案一、新课导入1.导入课题：（1）配方法解一元二次方程的步骤是什么？（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗？我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.2.学习目标（1）知道一元二次方程根的判别式.（2）能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.3.学习重、难点：重点：一元二次方程根的判别式定理.难点：综合运用.4.自学指导（1）自学内容：P9—11页例2之前的内容.（2）自学时间：15分钟.（3）自学方法：认真阅读书上的内容，并动手推导出求根公式.（4）自学参考提纲：①用配方法把方程ax2+bx+c=0(a≠0) 变形为(x+n)2=p(p≥0)的形式（先独立探究，再与课本比较）.化系数为1，得；移项，得；配方，得；变形，得( ) 2＝ .当b2－4ac>0时，>0，方程有两个不等的实数根x1= , x2= .当b2－4ac=0时，=0，方程有两个相等的实数根x1= x2= .当b2－4ac<0时，<0，方程没有实数根.②Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2－4ac>0时，；当b2－4ac=0时，；当b2－4ac<0时， .注：上述的叙述，反过来也成立.③当Δ时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 .④不解方程，利用判别式判别下列方程的根的情况：x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；2x2+4x－3=2x－4 x(x+4)=8x+12⑤关于x的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0有两不相等的实数根，求a的取值范围．⑥关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0是不是总有两个不相等的实数根？为什么？二、自学：学生可参考自学指导进行自学.三、助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.②差异指导：指导配方变形；指导对b2－4ac的符号进行讨论；指导学生完成③、④、⑤题.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.四、强化：（1）公式的推导；判别式定理解读；（2）③、④、⑤的解答格式；（3）练习：①不解方程，利用判别式判别下列方程的根的情况：x2+3x-2=0；（3x+2）（x+3）=x-2；2x2+210x+5=0．②当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？③已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根．求n的取值范围.五、评价1.学生学习的自我评价：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有何关系？你是怎样根据一元二次方程的根的个数求字母系数的取值范围的？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。
2019-2020学年中考数学第一轮复习 5 一元二次方程 判别式与韦达定理学案.doc
2019-2020学年中考数学第一轮复习 5 一元二次方程 判别式与韦达定理学案一、知识结构 一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式： ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 二、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)韦达定理主要应用于以下几个方面：已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【基础演练】不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
已知关于x 的方程2(1)10n x mx -++=①有两个相等的实数根．求证：关于y 的一元二次方程222440m y my m n --+=②必有两个相等的实数根．二、典型例题已知:ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程()2223320x k x k k ++++=-的两个实数根, 第三边BC 的长为5. 试问:k 取何值时,ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形?已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=. (1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值；(2)若方程的两实数根之积等于292m m -+的值．【方法规律总结】三、题组训练【题组一】已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-= （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且21212()()120x x x x +-+-=，求m 的值。
华东师大版九年级数学上册 22.2.4 一元二次方程根的判别式 导学案设计(无答案)
华东师大版九年级数学上册 第22章 22.2.4 一元二次方程根的判别式 导学案 知识起点：一元二次方程的一般形式下的配方法。
知识路线：1、一元二次方程根的判别式的表达式2、一元二次方程根的判别式的作用3、能明确剖析一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系难关突破：一元二次方程的根的判别式应用预习探究一、知识导航3、预习教材，阅读材料4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的配方法求根过程中，我们已经知道，一元二次方程是否有实数根是由 的值的符号确定的，我们把 叫做一元二次方程根的判别式，常用“△”表示，即△=ac b 42-5、一元二次方程根的判别式与根的关系是 注意：该知识点只能使用于一元二次方程二、有问必究三、探究讨论6、一元二次方程根的判别式与根的关系以及相关应用7、不解方程，判断下列方程根的情况（1）、22)1)(1(y y y -=-+ （2）、)13(492-=x x8、方程0)(242=---ab x b a x 根的判别式是交流展示一、交流展示：7、8二、教师点拨9、下列方程中，没有实数根的是（ ）A 、09222=--x xB 、01102=+-x xC 、0122=+-y yD 、043432=++y y10、关于x 的一元二次方程012)1(2=-++x x k 有实数根，则k 的最小整数值范围是11、已知一元二次方程042=+-k x x ，有两个不相等的实数根，（1）、求k 的范围（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程042=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值示导拓展一、方法引导二、典例诠释例1、已知关于x 的方程02)1(2=+--m mx x m 有两个实数根，求m 的值例2，求证：关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根。
对照巩固12、一元二次方程04232=-+x x 的根的情况是 ，13、若关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x（1）、当k 去何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当k 去何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当k 去何值时，方程有无解14、若关于x 的一元二次方程012)2(2=+--x x m 有解，那么m 的取值范围是15、关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx 其根的判别式为1，求m的值及方程的解16、下列方程没有实数根的是（ ）A 、012=--x xB 、0562=+-x xC 、03322=+-x xD 、0122=++x x17、下列是某同学做的题目：关于x 的方程08)18(22=+++k x k kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴042>-ac b∴0824)18(2>•⨯-+k k k ，∴161->k ∴当161->k 时，原方程有两个不相等的实数根 以上解法对吗？若有错，请加以纠正拓展延伸(选做)17、若关于x 的一元二次方程05)22(22=+++-m x m x 有两个不相等的实数根，化简4412+-+-m m m ，我的感悟：。
2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 同步学案(无答案)
2019-2020学年人教版九年级数学上册21.1 一元二次方程同步学案一．解一元二次方程-直接开平方法例1．解方程：（y+2）2﹣6＝0【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，（y+2）2＝12，y+2＝±2，y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．二．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．例2．解方程：x（x﹣2）＝4．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵x（x﹣2）＝4，∴x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x+1＝5，∴（x﹣1）2＝5，∴x＝1±【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．三．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．例3．解方程：﹣3x2+6x＝1【分析】移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：﹣3x2+6x＝1，﹣3x2+6x﹣1＝0，b2﹣4ac＝62﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝24，x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．四．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．例4．解方程：x2﹣3x＝﹣2【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x＝1或x＝2；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．五．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．例5．解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．【分析】设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y的值，即可得到原方程的根．【解答】解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0解得：y1＝1，y2＝4当y＝1时，x﹣1＝1，解得x＝2，当y＝4时，x﹣1＝4，解得x＝5，∴原方程的根是x1＝2，x2＝5．【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．六．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．例6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0，当b＝a+3时，请判断此方程根的情况．【分析】先计算出判别式的值，再把b＝a+3代入得到△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△＝b2﹣4a×3＝b2﹣12a，而b＝a+3，所以△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，所以方程有两个实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．七．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．例7．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）先根据根与系数的关系求出x1+x2＝2，x1•x2＝m，再根据完全平方公式进行变形，最高代入求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，解得：m＜1，∴实数m的取值范围是m＜1；（2）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝m，∵x1﹣x2＝1，∴两边平方得：（x1﹣x2）2＝12，（x1+x2）2﹣4x1•x2＝1，22﹣4m＝1，解得：m＝．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．八．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．例8．例读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19通过对例题的理解解决下列问题：（1）已知a﹣b＝2，ab＝3，分别求a2+b2＝10；（2）若，求的值；（3）若n满足（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，求式子（n﹣2019）（2018﹣n）的值．【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a﹣b＝2，ab＝3，∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝4+6＝10；故答案为：10；（2）把a+＝6两边平方得：（a+）2＝a2++2＝36，则a2+＝34；（3）∵（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，∴1＝[（n﹣2019）+（2018﹣n）]2＝（n﹣2019）2+（2018﹣n）2+2（n﹣2019）（2018﹣n），则（n﹣2019）（2018﹣n）＝0．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．同步测试一．选择题（共8小题）1．下列实数中，是方程x2﹣4＝0的根的是（）A．1B．2C．3D．42．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝73．以x＝为根对的一元二次方程可能是（）A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝04．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（）A．B．C．13D．55．用换元法解方程：﹣2＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（）A．y﹣﹣2＝0B．y﹣﹣1＝0C．y2﹣2y﹣1＝0D．y2﹣y﹣2＝06．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根7．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根a，b，直线经过点A（a+b，0）和点B（0，ab），则直线l的函数表达式为（）A．y＝2x﹣3B．y＝2x+3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣38．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（）A．3，0B．9，C．9，D．，9二．填空题（共8小题）9．方程8（x+1）2＝27的解为．10．用配方法解一元二次方程x2﹣mx＝1时，可将原方程配方成（x﹣3）2＝n，则m+n的值是．11．观察算式×，则它的计算结果为．12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的第三边长是13．已知（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝4，则m2+n2＝．14．已知关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的c值为．15．设α、β是方程x2﹣x﹣2018＝0的两根，则α3+2019β﹣2018的值为．16．把x2﹣4x+1化为（x+h）2+k（其中h、k是常数）的形式是．三．解答题（共8小题）17．解方程：（y+2）2﹣6＝018．解方程：x（x﹣2）＝4．19．用指定方法解下列方程：（1）用配方法解方程：x2+6x+4＝0．（2）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．20．按要求解下列方程：（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．21．已知一元二次方程x2+4x+m＝0，其中m的值满足不等式组，请判断一元二次方程x2+4x+m＝0根的情况．22．【阅读材料】解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2，x2＝2解得x＝±．所以，原方程的解为x1＝1．x1＝﹣1，x3＝，x4＝．【问题解决】利用上述方法，解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．23．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．24．阅读材料并解答问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．从而解决某些问题．例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：a2+b2问题：（1）如果，则＝．（2）已知a2+b2＝10，a﹣b＝2，求ab的值．。
一元二次方程根的判别式导学案
4．2 一元二次方程根的判别式导学案南京市滨江中学 李福一、学习目标：1．会根据ac b 42- 的值的符号来判定一元二次方程根的情况．2．经历探求一元二次方程根的情况与系数关系的过程，培养分析归纳的能力．二、学习重点：一元二次方程根的判别式．学习难点：一元二次方程根的判别式的运用．三、学习过程：（一）数学活动：1.知识回顾：一元二次方程的一般形式是 ，当 时，它的根是 ．2.用公式法解下列方程：（1）0232=+-x x （2）x x 442=+ （3）01222=+-x x思考：(1)观察上述解方程的过程，一元二次方程根的情况与ac b 42- 的值的符号有关系吗？（2）你能根据这种关系不解方程，就能知道方程根的情况吗？（二）数学概念：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况由 来判定． 当042>-ac b 时，方程 ．当042=-ac b 时，方程 ．当042<-ac b 时，方程 ．我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的 ． 知识巩固：方程0242=+-x x 的根的判别式ac b 42-= ，所以方程根的情况是 ．（三）例题教学：例1： 不解方程，判别下列方程根的情况．（1）0142=-+x x （2）x x 62322=+ （3）01232=++x x练一练：不解方程，判别下列方程根的情况．（1）0132=-+x x （2）04322=+-y y （3）x x 5252=+思考：若已知一个一元二次方程根的情况，是否能得到根的判别式的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时， ．当一元二次方程有两个相等的实数根时， ．当一元二次方程没有实数根时， ．知识巩固： 若方程022=++k x x 有两个相等的实数根，则=k ．例2：k 取什么值时，关于x 的方程082=+-k x x 有两个相等的实数根？求此时方程的根．练一练： k 取什么值时，关于x 的方程042=+-k x x 有两个相等的实数根？求此时方程的根．（四）、小结：一元二次方程根的情况与系数的关系？（五）、课后作业：《评价手册》P.82必做题：1、2. 选做题：3.教后记:1. 我校后进生的主要特点是缺乏学习信心,围绕如何提高后进生学习信心这一课题,我们进行了积极的探索,也取得了一定的成效。
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第四讲一元二次方程式的判别式
【学习目标】
1.体验一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac 判根的作用。
2.探索一元二次方程的各种情况。
【知识框图】
不解方程判根
ax2+bx+c=o Δ=b2－4ac 应用已知方程根的情况确定方程的字母系数
求证方程有根的状况
典型例题
例1.不解方程判定下列方程是否有实数根。
（1）2x2+x-1=0 （2）3x2+ = x
（3）y(2y+5)=2(y- 1) （4）1998m2- 2002m- 2003=0
解：（1）∵Δ=12- 4×2×(-1)=9＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）方程可化为 3x2- x+ =0
∵Δ=6- 3×4× =0
∴方程有两个相等的实数根。
（3）方程可化为2y2+3y+2=0
∵Δ=9- 4×2×2= -7＜0
∴方程没有实数根。
（4）∵ac＜0 ∴b2-4ac＞0
∴方程必有两个不相等的实数根。
评注：（1）判定方程是否有实数根，只要通过计算Δ的值，就能确定；
（2）当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a,c异号时，必有b2－4ac ＞0。
例2：当k为何值时，关于x的方程x2+(1- 2k)x+k2- 1=0
（1）有两个相等的实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）没有实数根。
解：∵Δ=（1- 2k）2- 4（k2- 1）= - 4k+5
（1）∵方程有两个相等的实数根
∴Δ=0 即-4k+5=0 ∴k=
当k= 时方程有两个相等实数根。
（2）∵方程有两相不相等的实数根
∴Δ＞0 即- 4k+5＞0 ∴ k＜
当k ＜时方程有两个不相等的实数根。
（3）∵方程没有实数根
∴Δ＜0 即-4k+5＜0 ∴ k＞
当k＞时方程没有实数根
评注：若已知方程根的情况，则可通过Δ已确定的符号（Δ＞0或Δ=0或Δ＜0等）列式，计算待定系数的值或确定取值范围。
例3：求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根。
证明：∵Δ=k2-4k+84
=(k-2) 2+80
∵(k-2) 2≥0 ∴ (k-2) 2+80＞0 ∴Δ＞0
∴不论k取什么实数，方程一定有两个不相等的实数根。
评注：（1）要证明方程根的情况，只需通过判断Δ的符号即可；
（2）判定Δ的符号却常常使用配方技巧或因式分解等。
例4：当k取何值时，方程(k-1)x2 - x+1=0有实根。
解：（1）当k=1时方程可化为-x+1=0,x=1
（2）当k≠1时，Δ≥0
Δ=k-4(k-1)= -3k+4≥0 ∴ k≤
又要使有意义∴k≥0
∴0≤k≤且k≠1
综合所述当0≤k≤时方程有实数根。
评注：（1）本题中对于“方程有实数根”的含义的理解是关键，应分类讨论；
（2）解题时要注意方程中待定系数本身的取值范围：这里k≥0。
【选讲例题】
例5：方程 + + =0只有一个实数根（等根视为一根），求a的值。
解：方程化简x2+(x-2) 2+2x-a=0
2x-2x+4-a=0
（1）若Δ=0,Δ=4-2×4×(4-a)=0
即 2a-7=0, a=
此时方程为2x2-2x+ =0, 此时方程的根为x1=x2= 符合题意。
（2）若Δ＞0则要使原方程只有一个实数根，必须是方程2x 2-2x+4-a=0 中有一根为增根
<1>当增根为x=0时，a=4，此时方程2x 2-2x=0
x1=0, x2=1，符合原方程只有一个实数根。
<2>当增根为x=2时，2×4-2×2+4-a=0
∴a=8
此时方程为2x2-2x+4=0
∴x1=2, x2= -1 ,符合原方程只有一个实数根。
综上所述a的值为、4或8。
评注：（1）本题主体思想是通过方程的根进行分类讨论；
（2）对化简后方程有两个不相等的实数根，通过增根求出待定系数后再检验；
（3）若化简后二次项系数是有关a的代数式，则还要进行方程类别的讨论。
【课堂小结】
本节内容主要学习了一元二次方程的根的判别式Δ及其作用，主要体现在Δ＞0，Δ=0和Δ＜0时，对方程的解的影响。
只要涉及到方程解的情况讨论时，Δ是主要讨论的内容，同时也不可忽视Δ使用的前提：二次项系数不能为零。
【基础练习】
1.选择题
（1）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（）
A.m＞1
B.m=1
C.m＜1
D.任何实数
（2）若一元二次方程根的判别式Δ=(m-1) 2,则下列说法不正确的是（）
A. 一定有两个实数根
B.一定有两个不相等的实数根
C.当m＜1没有实数根
D.以上说法都不正确
2.填空题
（1）方程x2-3x-4=0的判别式Δ=__________.
（2）若方程（x+2) 2+(y-2) 2=0,则x+y=_________.
3.m为何值时，一元二次方程2mx2+(8m+1)x+8m=0有两个不相等的实数根。
4. 已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根。
求证：三角形是直角三角形。
5.已知二次函数y=x2-2(m+1)x+m2-1与x轴有两个交点，求m的取值范围。
【巩固练习】
1.选择题
（1）方程x2+3x+6=0与x2-6x+3=0 的所有实根
．．的乘积等于（）
A.-18
B.18
C.-3
D.3
（2）若关于x的方程x2-2 x-1=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）
A.k≥0
B.k＞0
C.k＞-1
D. k≥-1
2.填空题
（1）一元二次方程x2-3x-m=0有两个相等的实根，则m的值为____________。
（2）若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是____________。
3. 已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0且k≤3
（1）求证：此方程总有实根；
（2）当方程有两实数根，且两实根的平方和等于4时，求k的值。
4. 已知等腰三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两根，另一条边长c =4，求k的值。
5.已知方程组有两组不相等的实数解，求a的取值范围。
6.若方程x2+2px-q=0（p、q是实数）没有实数根。
（1）求证：p+q＜
（2）试写出上述命题的逆命题；
（3）判断（2）中的逆命题是否正确，若正确请加以证明，若不正确，请举一反例。
【课后反思】。