关于实数的连续性与完备性的进一步讨论PPT

定理9.2 利用聚点定理证明列紧性定理
证明： 设 {xn } 为一个有界无穷点列，若{xn } 只有有限 多个数组成，则它必有无穷多项等于同一个数，此时定 理自然成立。 下设 {xn } 有无穷多个互不相同的数组成，则集合
E {xn : n N *}
就是数轴上的一个有界无穷点集，它存在一个聚点，设 1 为 a 。与聚点的定义知，对任意的正整数k，在 U (a, ) k 中必有 {xn } 的无穷多项，我们可以取 {xn }的子列 1 1 xn1 U (a,1), xn2 U (a, ), , xnk U (a, ), 2 k
易见 lim xnk a 。
k
定理9.3 利用有限覆盖定理证明聚点定理 证：反证法： 设有界无限点集S无聚点，则由S有界知
存在实数a, b使得S [a, b], 由S无聚点，知 [a, b]中点都不是S聚点.
x [a , b], x , 使得U o ( x , x )仅含有S的有限个点. 记F {U ( x , x ) | x [a , b]},
o
矛盾
则F为S一开覆盖. 由有限覆.
定理9.4 用Cauchy收敛原理证明确界定理.
证：
任取正整数n，存在整数kn , 使得 但 kn 是S上界， n
kn 1 不是S的上界. n k 1 记n n , 则n 是S上界，但n 不是。 n n 1 1 任取两个自然数m, n, 由于m是S的上界而n 不是，易知 m n , n n 1 1 1 类似有n m , 易得|n m | max{ m , n} m
由确界定义知是S上确界.
作业
• 习题1.9 • 4
对 0, N [ ] 0, m , n N , 有 | m n |
1

由Cauchy 定理， lim n .
n
下证是S上确界.
由极限保序性知，是S上界.
对 0, N , n N , 有
1 n n , n 1 由n 不是S上界，所以n 也不是S上界， n
等价定理可相互证明 单调有 界定理 确 界 定 理 闭区间 套定理 列紧性 定 理 有限覆 盖定理 Cauchy 收敛定理
定义9.1 （集合的聚点）
对数轴上的点集E和点a, 如果点a的任何邻域
U (a; ) { x | 0 | x a | }
o
即E U (a , ) 空集 都含有E中异于a的点，
k
(3){[ak , bk ]}中每个区间都含有 E的无穷多个点 .
由闭区间套定理，存在 唯一 [ak , bk ]
k 1
对 0, N ,当k N , 有
[ak , bk ] U o ( , ),由（3）U o ( , )含E中无穷多点，
由聚点定义为E聚点.
o
则称 a 为 E 的聚点.
等价的叙述: 如果点a的任何邻域
U (a; ) { x | 0 | x a | }
o
都含有 E 中无穷多个点，则称 a 为 E 的聚点.
定理9.1 (聚点定理)
实数轴上任何一个有界无限点集至少有一个聚点. 证： 设E [a, b]，将[a, b]二等分，
则至少一个含E中无穷多点，记为 [a1 , b1 ].
继续将[a1 , b1 ]二等分，
则至少一个含E无穷多点，记为 [a2 , b2 ]. 依次可得闭区间套 {[ak , bk ]},
满足下列条件：
(1) [ak 1 , bk 1 ] [ak , bk ], k 1,2,
( 2) lim | bk ak | 0;