微分方程数值解-总复习
常微分方程的解法总结总结
常微分方程的解法总结前言常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是研究一阶或高阶导数与未知函数之间关系的数学方程。
在物理学、工程学和计算机科学等领域，常微分方程扮演着重要的角色。
解决常微分方程是这些领域中许多问题的关键。
本文将总结常用的常微分方程解法方法，帮助读者加深对常微分方程的理解并提供解决问题的思路。
一、可分离变量法可分离变量法是一种常见且简单的求解常微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题思路：1.将方程写成dy/g(y) = f(x)dx的形式，将变量进行分离。
2.两边同时积分得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分后的表达式，并整理得到解 y 的表达式。
使用这种方法解决常微分方程的步骤相对简单，但要注意确认分母不为零以及选取合适的积分常数。
二、特殊方程类型的求解除了可分离变量法，常微分方程还存在一些特殊的方程类型，它们可以通过特定的方法进行解决。
1. 齐次方程齐次方程是指形如dy/dx = F(y/x)的方程。
其中，F(t) 是一个只有一个变量的函数。
解题思路：1.令 v = y/x，即 y = vx。
将方程转化为dy/dx = F(v)。
2.对于dv/dx = F(v)/x这个方程，可以使用分离变量法进行求解。
3.求出 v(x) 后，将其代入 y = vx 得到完整的解。
2. 齐次线性方程齐次线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = 0的方程。
解题思路：1.使用积分因子法求解，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
2.求积分因子的方法是根据公式μ = e^(∫P(x)dx)，其中 P(x) 是已知的函数。
3.通过乘积的方式求解完整的方程。
3. 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
解题思路：1.使用积分因子法，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
微分方程复习要点
Cy6
．
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例4
求解微分方程
y
xy2 2x2y 3y3
．
解法1 此方程为齐次方程，作代换 y ux ，则有
u
x
d d
u x
u 3u2
2பைடு நூலகம்
，
分离(fēnlí)变量，得
3u2 2 d u 3 d x，
u(u2 1)
x
两边(liǎngbiān)积 分，得
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第三十页，共六十一页。
一、第七章要点(yàodiǎn)
1．一阶微分方程 2．可降阶的二阶微分方程
3．二阶线性微分方程的解的结构(jiégòu)
4．二阶常系数线性微分方程
第三十一页，共六十一页。
1．一阶微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)
1)可分离变量(biànliàng)的微分方程
类型
3u2 u(u 2
2 1)
d
u
3
ln
|
x
|
ln
C
，
3u2 2
2u
由于
(yóuyú)
u(u2 1) d u
( u
u2
) 1
d
u
2
ln
|
u
|
1 2
ln(
u
2
1)
C1
，
故方程(fāngchéng)的 通解为
u2 u2 1 C ， x3
即
y2 x2 y2 C ．
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解法(jiě fǎ)2 方程变形为
第七页，共六十一页。
2)若 y*是方程⑴的特解，则方程⑴有通解 y C1y1 C2 y2 y* ．
《微分方程数值解法》复习、练习题
《微分方程数值解法》复习、练习题第一章复习题1、建立差分格式的三个主要步骤（三个离散化）。
2、差分格式的相容性、收敛性概念。
3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的处理（离散化）。
4、对长方形区域作正方形网格剖分，求解Poisson方程边值问题的五点菱形差分格式，按什么顺序对节点编号，可使差分方程带宽更窄？（按短方向排）5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？（大型稀疏，带状，主对角占优等，一般采用迭代法）多重网格等略。
6、极值原理。
7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。
第一章练习题1、设有边值问题取h=0.1的正方形网格。
（1）用5点菱形格式在内点建立差分格式；（2）用截断误差为的方法离散化第三边界条件（有两种方式）；（3）写出整理后的差分方程的矩阵形式2、定义方形算子如下：试讨论5点方形差分方程逼近微分方程的截断误差是几阶？3、设有，取h=1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。
第二章复习题1、差分格式稳定性与收敛性的定义。
2、有关求特征值的几个结论。
3、判断稳定性的矩阵法和Fourier分析法（Von-Neumann条件）的应用。
4、显隐格式在一般情况下的优缺点。
5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N格式）。
6、叙述Lax等价定理。
7、高维抛物型方程的ADI格式的优点。
8、了解非线性方程差分格式的建立，讨论稳定性的冻结系数法。
第二章练习题1、设有求解抛物型方程组的初值问题的差分格式试写出用Fourier分析法讨论稳定性时的增长矩阵。
2、对上题考虑另一个差分格式试讨论该格式的稳定性。
3、对抛物型方程，考虑著名的Du Fort-Frankel（1953）格式(1)推导该格式是否满足稳定性的Von-Neumann条件？(2)该格式与Richardson格式有什么关系？4、讨论求解的古典显格式的稳定性。
5、写出逼近的古典显格式。
微分方程复习要点
y* xk e x[Rn1 (x) cos x Rn2 (x) sin x]， 其中Rn1 (x), Rn2 (x)是n次的多项式，n max{ m, l}，而 k按 i 是否为特征方程的根而分别取1或0．
二、例 题 选 讲
例1 求解方程 y d x (x2 4x) d y 0．
arctan p y C1 ，
即
y tan( y C1)，
分离变量后，再两边积分得
ln | sin( y C1) | x ln C2 ，
从而得方程的通解
sin( y C1) C2 ex ．
例6 求下列方程的通解
1. 4 y 20 y 25 y 0； 2. y 2 y x e2x ；
解 原方程变形为
d x 3 x y3x1 ， dy y
即
d(x2 ) 6 (x2 ) 2 y3 ，
dy y
此是关于函数 x2 f ( y)的一阶线性非齐次线性微分方程，
由求解公式得
x2
e
6 y
d
y
2y3
e
6 y
d
y
d
y
C
y6 2
则方程有特解
y* e x xkQm (x)， 其中Qm (x)是一个与 Pm (x)同次的多项式，而
k 10，，若若不是是特特征征方方程程的的单根根，， 2 ，若是特征方程的二重根．
②设方程
y py qy e x[Pl (x) cos x Pm (x) sin x]，
2 1)
d
u
考研微分方程知识点浓缩
考研微分方程知识点浓缩微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域。
在考研数学中，微分方程是必备的知识点之一。
本文将从常微分方程、偏微分方程和常见的解法等方面进行总结和浓缩。
一、常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是只涉及一元函数的微分方程。
常微分方程的求解涉及到初值问题和边值问题两种情况。
1.1 一阶常微分方程常见的一阶常微分方程形式包括：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和一阶齐次线性方程等。
其求解方法如下：1）可分离变量方程：将变量分离后进行积分求解。
2）齐次方程：使用变量代换后，将方程转化为可分离变量方程求解。
3）线性方程：使用积分因子法求解线性方程。
4）伯努利方程：通过变量代换，将方程转化为线性方程求解。
1.2 二阶常微分方程二阶常微分方程是一阶常微分方程的推广。
常见的二阶常微分方程形式包括：线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和二阶常系数非线性齐次方程等。
其求解方法如下：1）线性常系数齐次方程：设解的形式，代入方程后解得常数。
2）线性常系数非齐次方程：通过求齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
3）二阶常系数非线性齐次方程：一般采用变量代换的方法将方程转化为线性方程求解。
二、偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是涉及多元函数的微分方程。
常见的偏微分方程包括：一维波动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程等。
2.1 一维波动方程一维波动方程是描述波的传播规律的方程。
其一般形式为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示波函数，c为波速。
2.2 一维热传导方程一维热传导方程是描述热量传导规律的方程。
其一般形式为：∂u/∂t = α²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示温度分布，α为热扩散系数。
微分方程总结归纳
微分方程总结归纳
微分方程有广泛的应用，可以用于描绎物理、化学、工程等多种现象。
关于微分方程的总结归纳，我们可以从以下几个方面来谈。
首先，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是只有一个自变量的微分方程，而偏微分方程则有多个自变量。
常微分方程和偏微分方程都有
其特殊的求解方法，但通用的求解方法则较少。
然后，微分方程又可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程的特点是，方程中未知函数和其导数的乘积的和为零，不存在乘积的和。
非线性微
分方程则存在未知函数和其导数的乘积，甚至还可能存在幂运算。
此外，微分方程也可以按照阶数来分类，如一阶微分方程、二阶微分方程等。
以一阶微分方程为例，它的形式可以分为一阶线性微分方程和一阶非线性微分方程，求解方法也各不相同。
若从方程解的角度看，我们还可将微分方程划分为解析解的微分方程和数值解的微分方程。
解析解指的是可以用封闭形式的函数描述的解，而数值解则需通过
数值方法近似得到。
微分方程的求解方法很多，包括分离变量法、求解齐次线性微分方程的常数变易法、求解高阶微分方程的降阶法、使用幂级数法求解微分方程等等。
此外，微分方程还有许多特殊类型，如伯努利方程、克莱罗方程、柯西-欧拉
方程等，这些方程都有其特殊的求解方法。
例如，伯努利方程可以通过换元法求解，克莱罗方程则通常需要进行一些特殊的变量替换。
总的来说，微分方程是一种强大的数学工具，它能够描述许多物理和科学现象。
理解和掌握微分方程的各种类型和解法，对于科学研究和工程实践均有极大的帮助。
微分方程解法总结
微分方程解法总结微分方程是数学中的一种重要方法，它可以用来描述物理过程和系统的变化。
微分方程的解法有很多种，比如拉弗森方程、牛顿联立方程、二阶线性微分方程等。
本文将总结一些常用的微分方程的解法，以便更好地理解这类方程的特性和解法。
首先，我们来讨论拉弗森方程的解法。
拉弗森方程是一类非线性微分方程，它的一般形式为：y=f(x,y)，它的解可以用解析解法和数值解法来计算。
解析解法是将拉弗森方程转化为一定形式的积分问题，然后用积分的方法来求解；数值解法是将拉弗森方程对应的积分问题分解为若干离散点，再用差分近似求解这些离散点。
其次，我们来讨论牛顿联立方程的解法。
牛顿联立方程是求解一组非线性方程组的常用解法，它的一般形式为：y=f(x,y)，其解可以用牛顿迭代法来求解。
牛顿迭代法是一种迭代解法，它的基本思想是：从初始点开始，不断迭代，每次迭代根据由牛顿差商求出的趋势方程，向满足趋势的方向前进，直到收敛，即可得到满足牛顿联立方程的解。
再者，我们来讨论二阶线性微分方程的解法。
二阶线性微分方程是描述物理系统动态变化过程或者描述经济活动的经济学模型等的一类微分方程，它的一般形式为：y+a1y+a2y=g(x)，其解可以使用求解二阶常系数线性微分方程的积分因子方法来求解，即找到一组积分因子，使得将方程换形后，可以被积分两次以得到解析解。
最后，我们来讨论一阶线性微分方程的解法。
一阶线性微分方程是一类描述物理过程和系统变化的基本方程，它的一般形式为：a0y+a1y=g(x)，它的解可以用通解方法和特解方法来求解。
通解方法是通过解方程的全部通解来求解，例如，可以将它转化为一组线性方程组，然后用矩阵求解法求解；而特解方法是通过寻找特定解析解的方式来求解，根据题目特定要求，我们可以用拉普拉斯变换等方法来求出特定的解析解。
因此，本文总结了几种常见的微分方程的解法，它们分别是拉弗森方程的解法、牛顿联立方程的解法、二阶线性微分方程的解法和一阶线性微分方程的解法。
《微分方程复习大纲》课件
欢迎来到我们的《微分方程复习大纲》PPT课件！在这个课件中，我们将一起 探索微分方程的定义、分类，以及解决这些方程的方法。
微分方程的定义和概念
1 微分方程的含义
解决自然现象中变化和关系的数学方程。包含未知函数及其导数的方程。
2 微分方程的分类
分为常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs），根据未知函数的变量类型进行分类。
常微分方程的基本解法
分离变量法
将未知函数分为多个表达式并 分别性代数问 题，利用特征根求解。
常系数线性微分方程 法
利用特征根解常系数线性微分 方程，得到通解。
常微分方程的数值解法
1
欧拉法
使用差分代替微分，逐步逼近微分方程的解。
2
龙格-库塔法
通过多次计算，提高数值解的精确度。
将解函数表示为傅立叶级数，逐步逼近方程的数 值解。
应用实例和习题练习
物理学
模拟物体的运动、热传导、波动等现象。
经济学
预测经济发展、市场价格波动等。
工程学
分析电路、热传导、结构稳定性等问题。
数学建模
挑战各种实际问题，加深对微分方程的理解。
3
改进的欧拉法
控制步长大小，并提供更精确的数值解。
偏微分方程的基本解法
热方程
描述物体温度分布随时间变化的 方程。
波动方程
描述波的传播和震荡的方程。
拉普拉斯方程
描述势场的分布和形状的方程。
偏微分方程的数值解法
有限差分法 有限元法 谱方法
将偏微分方程转化为差分表达式，并逐步计算数 值解。
将解域划分为有限个单元，利用逼近函数计算数 值解。
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第二章
抛物型方程的差分方法
1.线性常系数抛物型方程差分格式的构造 古典显式差分格式、古典隐式差分格式、CrankNicolson 格式、加权六点隐式差分格式 2.差分格式的稳定性、截断误差 矩阵分析法、Von-Neumann方法（Fourier级数法） 3.含低阶项抛物型方程差分格式的稳定性 4. 相容逼近、Lax等价性定理 5. 二维线性常系数抛物型方程差分格式及格式的稳 定性,ADI格式及稳定性 习题：4.5.6.7.8.9.10
微 分 方 程 Biblioteka 值 解总 复 习第一章
绪论
1. 欧拉方法 稳定性和收敛性定义、欧拉方法的稳定性 整体截断误差和局部截断误差、格式精度的阶 2. 隐式格式：梯形公式 3. 一般单步法：相容性、一般单步法的稳定性、二 级二阶Runge-Kutta格式、局部截断误差 4. 误差的事后估计、步长的自动选择：绝对稳定、 绝对稳定区域 习题：2.3.4.8
第三章 椭圆形方程的差分方法
Laplace 方程混合边值条件的差分模拟
非矩形区域的差分格式
极坐标形式的差分格式
第四章 双曲型方程的差分方法
1.一阶线性方程的特征线法、求解析解 2.双曲型方程组的定义、一阶拟线性方程组的正规 形式 3. 差分方法构造及其稳定性：Lax-Friedrichs C.I.R. 格式、Leap-Frog格式、Lax-Wendroff格式、 Crank-Nicolson格式 4. 一阶双曲型方程组差分格式构造及稳定性：LaxFriedichs格式、Lax-Wendroff格式、C.I.R格式 5. CFL条件
习题：1.2.5.6（1）