微分方程数值解习题
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
计算物理学(刘金远)课后习题答案第6章：偏微分方程数值解法
第6章：偏微分方程数值解法6.1对流方程【6.1.1】考虑边值问题, 01,0(0,)0,(1,)1(,0)t x x u au x t u t u t u x x=<<>ìï==íï=î如果取：2/7x D =，(0.5),1,2,3j x j x j =-D =，8/49t D =，k t k t=D 求出111123,,u u u 【解】采用Crank-Nicolson 方法()11111111211222k k k k k k k k j j j j j j j j u u u u u u u u t x ++++-+-+éù-=-++-+ëûD D 11111113k k k k k kj j j j j j u u u u u u +++-+-+-+-=-+由边界条件：(0,)0x u t =，取100k ku u x-=D ，10,0,1,k ku u k ==L (1,)1u t =，41ku =-1 1 0 0 - (1+2s) -s 0 0 -s (1+2s) -s 0 -s (1+2s) -s 0 s L L L L 101210 0 0 0 (1-2s) s 0 0 s (1-2s) s 0 s ( 1 k n n u u s u u u +-éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL L L L L 01211-2s) s 0 1 1kn u u u u -éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL 由初始条件：021(72j j u x j ==-，1,2,3j =，212()t s x D ==D -1 1 0 0 0-1 3 -1 0 0 0 -1 3 -1 0 -1 3 -1 0 1012340 0 0 0 01 -1 1 0 00 1 -1 1 0 1 -1 1 1 u u u u u éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûëû00123 0 1 1u u u u éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëû000117u u ==，0237u =，0357u =1112327u u -=，111000123123337u u u u u u -+-=-+=，11100234235317u u u u u -+-=-+=114591u =125191u =，136991u =6.2抛物形方程【6.2.1】分别用下面方法求定解问题22(,0)4(1)(0,)(1,)0u u t x u x x x u t u t 춶=ﶶïï=-íï==ïïî01,0x t <<>（1）取0.2x D =，1/6l =用显式格式计算1i u ；(2)取0.2,0.01x t D =D =用隐式格式计算两个时间步。
数值分析常微分方程数值解法
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➢ 数值积分方法(Euler公式)
设将方程 y=f (x, y)的两端从 xn 到xn+1 求积分, 得
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx :
xn
xn1 F ( x)dx
xn
用不同的数值积分方法近似上式右端积分, 可以得到计算 y(xn+1)的不同的差分格 式.
h2 2
y''( )
Rn1
:
y( xn1)
yn1
h2 2
y''( )
h2 2
y''( xn ) O(h3 ).
局部截断误差主项
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➢ 向后Euler法的局部截断误差
向后Euler法的计算公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ), n 0, 1, 2,
定义其局部截断误差为
y 计算 的n递1 推公式，此类计算格式统称为差分格式.
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数值求解一阶常微分方程初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0
难点: 如何离散 y ?
➢ 常见离散方法
差商近似导数 数值积分方法 Taylor展开方法
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➢ 差商近似导数(Euler公式)
(0 x 1)
y(0) 1.
解 计算公式为
yn1
yn
hfn
yn
h( yn
2xn ), yn
y0 1.0
n 0, 1, 2,
取步长h=0.1, 计算结果见下表
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微分方程数值解习题课
微分方程初值问题数值解习题课一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分2xt y e dt -=⎰所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。
解：该积分问题等价于常微分方程初值问题2'(0)0x y e y -⎧=⎪⎨=⎪⎩其中h=0.5。
其向前欧拉格式为2()100ih i i y y he y -+⎧=+⎪⎨=⎪⎩改进欧拉格式为22()2(1)10()20ih i h i i h y y ee y --++⎧=++⎪⎨⎪=⎩将两种计算格式所得结果列于下表二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题'1(0)1y x y y =-+⎧⎨=⎩00.6x ≤≤取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。
本题的信息有：步长h=0.1；结点0.1(0,1,,6)i x ih i i ===L ；0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+==经典的4阶龙格库塔公式为11234(22)6i i hy y k k k k +=++++1(,)1i i i i k f x y x y ==-+121(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+232(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y =4阶4步阿达姆斯显格式1123(5559379)24i i i i i i hy y f f f f +---=+-+-1231(18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24i i i i i y y y y y i ---=+-+++由此算出4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y ===三、用Euler 方法求()'1,0101x y e y x x y =-++≤≤=问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？解：本题(),1xf x y e y x =-++ (),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤本题的绝对稳定域为111x h he λ+=-<得02x he <<，故步长应满足02,00.736he h <<<<四、求梯形方法111[(,)(,)]2k k k k k k hy y f x y f x y +++=++的绝对稳定域。
偏微分方程数值习题解答
偏微分⽅程数值习题解答李微分⽅程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=?，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是⽅程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=必要性:由0)0('=?,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的⼴义导数⼏乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的⼴义导数,由⼴义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈?,有-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1?? ??-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈?=- 由变分基本引理,21g g -⼏乎处处为零,即21,g g ⼏乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=?11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的⼀阶⼴义导数,试⽤类似的⽅法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:⼀阶⼴义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈?,有 ?-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(??则称)(x f 有k 阶⼴义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶⼴义导数,并记kk dxfd x g =)(注:⾼阶⼴义导数不是通过递推定义的,可能有⾼阶导数⽽没有低阶导数.2.利⽤)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|??f f x x f x f n ba n -≤-?00'''|||||||||)())()((|??f f dx x x g x f n ba n -≤-?对于任意的)()(0I C x ∞∈?,成⽴=∞a ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ??=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim '??由?-=ba n ba ndx x x f dx x x f )()()()(''??取极限得到dx x x f dx x x g ba ba ??-=)()()()('??即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的. 3.证明⾮齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满⾜齐次边界条件.w 满⾜的⽅程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即w 对应的边值问题为==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w Ew E ∈=∈其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.⽽Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*⽽200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从⽽**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（1.2.28）建⽴虚功原理解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满⾜)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈?0),(),(0=--v Lu f v Lw应⽤分部积分,+-=-=-b a b a b a dx dx dv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),((还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈?,成⽴0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与⽤v 去乘⽅程两端,应⽤分部积分得到的相同. 5试建⽴与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈⽤v 乘⽅程两端,应⽤分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu⽽??-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ??=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dx vd dx u d b a =+?定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=?,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈?),(),(v f v u a =1-41.⽤Galerkin Ritz -⽅法求边值问题==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==π?解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满⾜齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1,其中),...2,1(n i c i =满⾜的Galerkin Ritz -⽅程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑= ⼜xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ?-=+=+=ππππππππ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''-+πππjx ix sin sin 21由三⾓函数的正交性,得到≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22π??⽽]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-?jj j dx x j x x x x ππ? 于是得到+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0 )1()(8),(),(2232ππ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,⽤0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是⽤Galerkin Ritz -⽅法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差.证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题(1.2.28)和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=?,写出Galerkin Ritz -⽅程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分⽅程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分⽅程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分⽅程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ?--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=?,则Galerkin -Ritz ⽅程为∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβ?β??+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ, )(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=??ββββ得到⽅程组为 --=----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有= 31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型⽅程有限元法§1.1 ⽤线性元求下列边值问题的数值解: 10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数. Galerkin 形式的变分⽅程为),(),(v f v Lu =,其中+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,?=1)(2sin 2),(dx x xv v f π⼜dx v u dx v u v u vdx u =+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''?+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应⽤仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξ?-+++=++=1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπ?πd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211π??+=a122)1(41[),(210221πξξξπ??+-=-+-=?d h h a-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπ?d d h h f ??-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπ?d h f ?+=102)2121(2sin 2),(代数⽅程组为= ),(),(),(),(),(),(212122212111f f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,⽅程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i iji应⽤局部坐标ξ表⽰,-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπ??d hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=?dξξξπ??d hh a j j ])1(41[),(1021?-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=?d 964),(21π??+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=??ξξξξ?d h d h f j-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπd h x h d h x h f j j j -++++=1010)1)](4 41(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j++?=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就⾮齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元⽅程.解:设⽅程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈?)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表⽰为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =? 则有限元⽅程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=具体计算使⽤标准坐标ξ.。
微分方程数值解法答案
微分⽅程数值解法答案包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。
解答问题关键在过程，能够显⽰出你已经掌握了书上的内容，知道了解题⽅法。
这次考试题⽬的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后⾯有五个⼤题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。
习题⼀1．略2． y y x f -=),(，梯形公式：n n n n n n y hh y y y h y y )121(),(2111+-+=+-=+++，所以0122)1(01])121[()121()121(y hh y h h y h h y hhn h h n n n +--+--+-+=+-+==+-+= ，当0→h 时，x n e y -→。
同理可以证明预报-校正法收敛到微分⽅程的解.3．局部截断误差的推导同欧拉公式;整体截断误差:++++++-++≤1),())(,(11111n nx x n n n n n n n dx y x f x y x f R εε11)(++-++≤n n n y x y Lh R ε，这⾥R R n ≤ ⽽111)(+++-=n n n y x y ε，所以 R Lh n n +=-+εε1)1(，不妨设1()]11111[1111101---++-+-+-≤≤-+-=n n n n Lh Lh Lh R Lh Lh R Lh εεε ]1[2)(02)(00-+≤--x X L x X L eLh R eε4．中点公式的局部截断误差： dx x y x f hx y h x f x y x f yx y n n x x n n n n n n))](,(2)(,2())(,([)(11*1?+++-=-++dx x y x f hx y h x f h x y h x f h x y x y dxx y x f hx y h x f hx y h x f h x y h x f x y x f n n n n x x n n n n n n n x x n n n n n n n n))](,(2)(,2())2(,2([)]2()([))](,(2)(,2())2(,2())2(,2())(,([11++-++++'-'=++-+++++-=??++所以上式为+--+''=?++dx hx x x y e n nx x n n n )2()(11θdx x y x f h x y h x f h x y h x f n n n n x x n n n n))](,(2)(,2())2(,2([1++-++?+ 3218)(LMh h x y Lh e n n ≤+''≤+?中点公式的整体截断误差：dx y x f hy h x f x y x f y x y y x y n n x x n n n n n n n n)],(2,2())(,([)()(111?+++-+-=-++dxy x f hy h x f x y x f h x y h x f x y x f hx y h x f x y x f y x y n n n n n n n n x x n n n n n n n n))],(2,2()))(,(2)(,2()))(,(2)(,2())(,([)(1++-+++++-+-=?+因⽽n n n L h Lh R εεε)21(1+++≤+，R L h Lh n n +++≤-122)21(εε≤≤])21()21(1[2)21(1222222022-+++++++--+++n nL h Lh L h Lh Lh Lh RL h Lh ε )1(00-+≤--x X L x X L e LhR eε 5．略 6．略 7．略8．（1）欧拉法：2.0≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：278.0≤h （2）欧拉法：3 54≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：3556.5≤h（3）欧拉法：1≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：278.0≤h 9．略 10．略习题21．略 2．略 3．略4．差分格式写成矩阵形式为：n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +?--------= --+-+-++12211221121212121 αβαααβαααβαααβ矩阵的特征值为：)cos(221Mj r r t j πααβλ+-?-=，要使格式稳定，则特征值须满⾜t c j ?+≤1λ，即21≤r α5．利⽤泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2h t O +?。
微分方程数值解实习题
function y=f2(t,u)
y=t^3*u^3-t*u;
%Adams二步外插+Euler方法，例2
n=input('n=');%n等分
T=input('T=');%时间上界
H=input('H=');%第一个小区间H等分
h=T/n;%步长
hh=h/H;%小步长
u=zeros(n+1,1);
Columns 31 through 36
0.1865 0.1910 0.1955 0.2000 0.2043 0.2086
Columns 37 through 42
0.2128 0.2170 0.2211 0.2252 0.2292 0.2331
Columns 43 through 48
0.2370 0.2409 0.2447 0.2484 0.2521 0.2558
for m=1:n-1
u1(m+2)=u1(m+1)+(1/12)*h*(5*f1((m+2)*h,u1(m+2))+8*f1((m+1)*h,u1(m+1))-f1(m*h,u1(m)));
end
uu=zeros(n+1,1);
uu(1)=1;
for m=2:n+1
uu(m)=1/3*exp(m*h)+2/3*exp(-2*m*h);
Columns 57 through 63
0.2872 0.2906 0.2939 0.2972 0.3005 0.3037 0.3070
Columns 64 through 70
0.3102 0.3134 0.3166 0.3198 0.3230 0.3261 0.3293
实验5常微分方程的数值解
实验5 常微分方程的数值解概要：将装满放射性废物的圆桶扔到水深300ft 的海底，圆桶体积55gal ，装满废料的桶重为527.436lbf ，在海中浮力为470.327lbf 。
此外，下沉时受到的阻力与速度成正比，比例系数为0.08lbf/s 。
实验发现当圆桶速度超过40ft/s 时，就会因与海底冲撞而破裂。
要求：（1）建立解决上述问题的微分方程模型（2）用数值和解析两种方法求解微分方程，并回答谁赢得了官司。
模型建立由牛顿第二定律可列出圆桶下沉速度的微分方程：dv G F f G F bv dt m m ----==其中G 为圆桶重量，F 为浮力，b 为下沉阻力与速度关系的比例系数。
换算到国际单位制，dept=300*0.3048=91.4400 海深（m ）ve=40*0.3048=12.1920 速度极限（超过就会使圆筒碰撞破裂）(m/s) G=527.436*0.4536*9.8＝2344.6 圆筒重量（N ） F=470.327*0.4536*9.8＝2090.7 浮力(N)m=527.436*0.4536＝239.24 圆筒质量（kg ） b=0.08*0.4536*9.8/0.3048＝1.1667 比例系数(Ns/m) 模型求解 一．求数值解Matlab 程序如下： sd.m:function dx=sd(t,x,G,F,m,b) dx=[(G-F-b*x)/m];%微分方程sddraw.m: clear;G=527.436*0.4536*9.8;%圆筒重量（N ） F=470.327*0.4536*9.8;%浮力(N)m=527.436*0.4536;%圆筒质量（kg ）b=0.08*0.4536*9.8/0.3048%比例系数(Ns/m) h=0.1;%所取时间点间隔ts=[0:h:2000];%粗略估计到时间2000 x0=0;%初始条件opt=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-6);%相对误差1e-6，绝对误差1e-9 [t,x]=ode45(@sd,ts,x0,opt,G ,F,m,b);%使用5级4阶龙格—库塔公式计算 %[t,x]%输出t,x(t),y(t)plot(t,x,'-'),grid%输出v(t)的图形 xlabel('t'); ylabel('v(t)');%用辛普森公式对速度积分求出下沉深度 T=20;%估计20s 以内降到海底for i=0:2:10*T%作图时间间隔为0.2 y=x(1:(i+1)); k=length(y);a1=[y(2:2:k-1)];s1=sum(a1); a2=[y(3:2:k-1)];s2=sum(a2);z4((i+2)/2)=(y(1)+y(k)+4*s1+2*s2)*h/3;%辛普森公式求深度 endi=[0:2:10*T]; figure;de=300.*0.3048.*ones(5*T+1,1);%海深ve=40.*0.3048*[1 1];%速度极限值（超过就会使圆筒碰撞破裂）plot(x(i+1),z4',x(i+1),de,ve,[0 z4(5*T+1)]);%作出速度－深度图线，同时画出海深和速度要求grid;gtext('dept'),gtext('Vmax');xlabel('v');ylabel('dept(v)');figure;plot(i/10,z4');%作出时间－下降深度曲线grid;xlabel('t');ylabel('dept(t)');求解结果如下图：速度—时间曲线：可以看到经过足够长的时间后，如若桶没有落到海底，它的速度会趋于常值。
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习题2
1． 略 2． 略 3． 略
4． 差分格式写成矩阵形式为：
n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∆--∆--∆--∆-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+-++12211221121212121 αβαααβαααβαααβ
矩阵的特征值为：)cos(221M
j r r t j π
ααβλ+-∆-=，要使格式稳定，则特征值须满足
t c j ∆+≤1λ，即2
1≤r α
5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2
h t O +∆。
古典隐式差分格式写成矩阵形式为：
n n M n
M n n
n M n M n n e u u u u u u u u t r r r t r r r t r r r t
r +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∆++--∆++--∆++--∆++--+-+
-++12
2
112211111121212121
βαααβαααβαααβα
特征值为： 1
))cos(
221(--+∆++=M
j r r t j πααβλ，即：
)(1))2(
cos 41(1
2t o M
j r t j ∆+≤+∆++=-παβλ，所以无条件稳定。
6． 由Von-Neumann 方法，令mh
i n l n m e u βς=，代入差分格式得到增长因子为：
)2
(
sin 41),(2h
r i t G βωβ-=∆，所以1)]2
(
sin 4[1),(22≥+=∆h
r t G βωβ，恒不稳定。
7． n
m n m u v =+1，则原三层格式等价于：
⎝⎛=-+=+--+++-+++n m n m n m n m n m n m n m n m u v v u u u u r u 111111)21()2()1(θθθ，令mh i n l n l n m n
m e v u βης⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，
可以得到格式的增长矩阵为：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++-+++012sin 412sin 41212
2
h r h
r βθθ
βθθ， 特征值为)
2
sin 41(22sin 161212
2
h
r h
r βθβθθλ++-±+=
±
2sin θ1+2+（1+8r ）
2
1+2θ〈0时，格式恒不稳定。
当2
1-≥θ时，格式无条件稳定。
8． 令 mh
i n l n l n m n m e v u βης⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++1111，则可以得到差分格式的增长矩阵为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+=
∆222
122111
),(c c c c c t G β，特征值为：22121c c i c +±-=±λ，2sin 22h ar c β=，所以
1=±λ，格式无条件稳定。
9. （1）由Von-Neumann 方法，2
2
1
sin sin h h h k G
βββ1
2
（，）=1+c -4r （+）
22
，可以得
到格式的稳定条件为：4
1≤r ； （2）2
2
sin
sin h h k βββ+2
1
2
1
（，h ）=1-c 4r （+）
2
2
G
，无条件稳定。
10. 解：消去
12
n lm
U
*+便可得到
1n lm
U
+与
n lm
U
的关系为
k δ2x r （1-
-c ）22k δ2y r （1--c ）221n lm
U += δ2y r （1+）2δ2x r （1+）2
n
lm U 由Von-Meuman 方法可以得到增长因子
G β（，h ）=
2
2
22sin
sin sin sin 22
h h h h k k c c ββββ-1
2
12
（1-2r ）（1-2r ）
22（1+2r ）（1+2r -）
22
显然无条件稳定。