微分方程数值解(学生复习题)

一．填空
1. Euler 法的一般递推公式为 ，整体误差为 ，局部截断误差为： .，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为 ，局部截断误差为： 。

2. 线性多步法绝对稳定的充要条件是 。

3.当 ，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n T u u h t u h n h
ϕ+=+= ，稳定。

4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在 。

5. 若 ，则多步法是相容的。

6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是 。

7.刚性方程是：
8．Runge-Kutta 法的特征值为 ，
相容的充要条件为：
8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ⎧=-+=<<⎪⎨⎪==⎩
的中心差分格式为：
9.若内点P i 的四个相邻点均属于h G ，则称P i 为 。

10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为 。

逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为 。

11.线性多步法A 稳定的充要条件是 。

12. SOR 收敛当且仅当松弛因子0,2ω∈（）
，且Jacobi 迭代收敛。

最佳松弛因子是 。

二．判断
1.当时间步长τ和空间步长h 无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。

2.单参数的PR 迭代格式的收敛速度与SOR 最佳超松弛法的收敛速度同阶。

3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。

4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0）
5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。

6、Euler 法非A 稳定。

7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+
8. 对任意网比12
r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。

9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。

三．选择
1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）
A 绝对稳定
B 无条件稳定
C 条件稳定
D 非条件稳定
2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 既非充分也非必要条件
3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤
4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k
λ= （）为()()0h ρλσλ-=的根。

A Re 01,1,2,,i h i k λ<⇒>= B 1Re 0i h λ≥⇒≥ C Re 01,1,2,,i h i k λ≤⇒≤= D 1Re 0i h λ<⇒<
5.一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在（）
A 下半平面
B 上半平面
C 左半平面
D 右半平面
6．线性多步法稳定的充要条件是（）
A 第一特征式()ρλ满足根条件
B 第一特征式()ρλ严格满足根条件
C ()()0h ρλσλ-=满足根条件
D ()()0h ρλσλ-=严格满足根条件
7. P 阶K 步法的局部截断误差的阶为（ ）
A p O h （）
B 1p O h +（）
C 1k O h +（）
D 1k O h +（）
8. 线性多步法绝对稳定的充要条件是（ ）
A 第一特征式()ρλ满足根条件
B 第一特征式()ρλ严格满足根条件
C ()()0h ρλσλ-=满足根条件
D ()()0h ρλσλ-=严格满足根条件
9.Euler 法的整体误差为( )
A O h （）
B 2O h （）
C 1O h -（）
D 1O （）
四．计算
1.试求差分方程初值问题：
21012320n n n u u u u u ++--=⎧⎨==⎩
的解。

2.已知显式方法
[]2110110n n n n n u u u h f f ααββ+++++=+
（1） 取1α为参数，确定001αββ，，，使方法至少是二阶的；
（2） 当1α取何值时，方法满足根条件；
3. k 步线性法：[]2
n k n n k n hk u u f f ++=++，证明其A 稳定。

4.证明11n n n u u hf ++=+对所有的(),0h ∈-∞都绝对稳定。

5.由待定系数法构造边值问题：
,()()0u f a x b u a u b ''=<<⎧⎨==⎩ 的中心差分格式。

6.求正三角网上的差分格式。

7.用有限体积法推导五点格式。

8.写出扩散方程22u u a t x
∂∂=∂∂的向前，向后差分方程（中心差分格式，用第n 层计算第n+1层），并把有限差分方程改写成便于计算的迭代格式（矩阵形式），2
a r h τ
=为网比。

9.计算差分格式()11-1n n n n j j j j u u r u u ++=--，（其中,0a r a h
τ=>）的增长因子，并根据von Neumann 条件给出差分格式稳定性条件。

10. 已知线性多步法：
212412+333
n n n n h u u u f +++-= 试求它的阶及误差常数。

11.计算向前，向后等差分格式的增长因子，并给出稳定性条件。

12. Adams 二步外插法：2113122n n n n u u h f f +++⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦
，试求其绝对稳定域。

五．证明题
1.将三层差分格式改写为改写成等价的二层差分格式，写出其增长矩阵，并由 von Neumann 条件证明该格式是否稳定。

其他例子关于证明差分格式稳定或者不稳定（参考书上的课后习题及例题）。

2. 求N 阶三角阵：
01101101C=10110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 或者111-111-11C=1-1111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
的特征值和特征向量，并证明矩阵是病态的。

3. 证明Euler 向后公式A 稳定：11n n n u u hf ++=+。

4. 证明：梯形公式：[]112n n n n h u u f f ++=+
+，证明其A 稳定。