微分方程数值解习题(李立康)
2012年微分方程数值解考试题_A_
1 / 2北京邮电大学2011——2012学年第2学期《微分方程数值解》期末考试试题A 卷1.（15分）写出求解常微分方程初值问题000(,),,()duf t u t T dt u u ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的欧拉（Euler）格式，证明欧拉（Euler）法的局部截断误差的阶为2()O h .2.（15分）若单步法1(,,)n n n n u u h t u h ϕ+=+中(,,)t u h ϕ 0(,t t T ≤≤00,h h ≤≤ (,))u ∈−∞∞关于u 满足Lipschitz 条件，即：1212(,,)(,,)t u h t u h L u u −≤−ϕϕϕ其中L ϕ为与u，t 无关的常数。
证明该算法稳定。
3.（15分）用待定系数法确定求解常微分方程初值问题000(,),,()duf t u t T dt u u ⎧=<≤⎪⎨⎪=⎩的四步四阶显式格式1123555937924()n n n n n n hu u f f f f +−−−=+−+−.4.（15分）对于两点边值问题2222422101310122(),(,)(),().d ux u x x dxu u e ⎧−++=+∈⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩1）推导上微分方程的中心差分格式。
2）假设求解区间上共有5个分点，即N＝4，写出求解该问题的中心差分格式的矩阵形式。
5. (15分）推导初边值问题22000000(,),,(,)(),(,)(,),u ua f x t t T t x u x x x l u t u l t t T φ⎧∂∂=+<≤⎪∂∂⎪⎪=<<⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩的向前差分格式和向后差分格式。
2 / 26. (15分）用有限体积法构造逼近方程()u u k u k k f x x y y ⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞−∇∇=−+=⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦i第一边值问题|(,)u x y αΓ=的五点差分格式，这里0min (,)k k x y k =≥>. 7.(10分) 学习完本课程后，你最大的收获是什么？请结合实际谈谈你对本课程的看法以及将来学习的展望。
微分方程数值解(A)
0 t T ,a 0 0 x 1 0t T 0t T
u 2 u 2 u ( x, y ) [0,1] [0,1], t 0 2 2 t x y ( x, y ) [0,1] [0,1] u ( x, y,0) ( x, y ) u (0, y, t ) ( y, t ), u (1, y, t ) ( y, t ), t 0 1 2 u ( x , 0 , t ) ( x , t ), u ( x , 1 , t ) t0 1 2 ( x, t )
的 Peaceman-Rachford 格式为
1 r 2 n 2 r 2 n ( 1 ) u y )u l ,m x l , m (1 2 2 ， l , m 1,2,, N 1 ， n 0,1,, M 1 1 (1 r 2 )u n 1 (1 r 2 )u n 2 y l ,m x l ,m 2 2
试讨论 Peaceman-Rachford 格式的截断误差， 并推导出计算中间层 ul ,m2 时依赖于时刻 n 和 n+1 的边界条件 十、浅谈双曲型微分方程数值解的应用领域及其研究重点。
n
1
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2u 2u 0 的（Dirichlet）第一边值问题 x 2 y 2 其中： 是 的边界。当 {( x, y) | 0 x, y 1} 时，取 x y h 1 / 3 时，试写出超松弛迭代法
六、对于二维区域 的 Laplace 方程 （ROS）的计算公式的 U ( n1) AU ( n) en 的方程形式。 七、一阶双曲型方程：
试卷类别
08第二版 第八章 常微分方程数值解法
5 1.0 2.9766 3.4366 0.4600
（2）由隐式欧拉公式(8.6)，得
yi yi1 0.2(xi yi ), i 1, 2, ,5
整理，得
yi (0.2xi yi1) / 0.8, i 1, 2, ,5
计算结果见下表 (表8-2)：
i xi yi y( xi ) y(xi) yi
,
yi1
)
f (xi, yi )],
i
1, 2,
, n (8.7)
上式称为常微分方程初值问题(8.1)～(8.2)的梯形公式．
另外，将微分程(8.1)两端从 xi1 到 xi 积分，得
xi y(x)dx xi f (x, y(x))dx
xi1
xi1
上式右端积分用梯形公式近似，即
xi xi1
y(x) 在自变量 x的一系列离散节点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
上的近似值
y0, y1, y2, , yn1, yn
这些近似值称为初值问题(8.1)～(8.2)的数值解.
相邻两节点的间距 hi xi xi1 (i 1, 2, , n) 称为步长 ，通常在计算上采用相等的步长hi h (i 1, 2, , n) ， 这时等 距节点 xi x0 ih, (i 1,2, ,n) .求解过程是顺着节点排列的顺序
8.1.3 微分方程单步法的局部截断误差与阶
前面几节介绍了求解初值问题(8.1)～(8.2)数值解的几种方
法．显然，各种数值方法得到的数值解 yi 与解析解 y(xi )之间
的差异各不相同．称
ei y(xi ) yi 为某方法在 xi 处的整体截断误差．显然，该误差依赖于前面
xi1, xi2 , , x0
常分方程数值解法试题一和答案试试题库
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《常分方程数值解法》试题一及答案----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1．用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0.2.计算过程保留4位小数。
解：h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+ 当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有 y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 02．对于初值问题⎩⎨⎧1=0='2)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f h, h =x k +1－x k(k =0,1,2,…,n －1)，4．将下列方程化为一阶方程组（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=⎧⎨'==⎩（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''⎧-+=⎨'==⎩（3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''⎧=⎨'''==-=⎩5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值⎩⎨⎧=≤≤+=1)0(10'y x y x y并用前题比较结果。
微分方程数值解问题复习题
解答提示：
常微分方程初值问题的近似解公式
∑ ⎧
⎪ ⎨
yn+1
=
yn
+
k +1 j=0
a*j Δ j
fn− j+1
⎪⎩ y0 , y1,⋅⋅⋅, yk
∫ ∫ 称为 Admas 内插公式，其中， a*j = (−1) j
0⎛
−1
⎜ ⎝
−t j
⎞ ⎟ ⎠
dt
=
1 j!
0
t(t +1) ⋅⋅⋅ (t +
−1
h
+
1 2
(
∂2u ∂x2
)mn
h2
h
+⋅⋅⋅
=
(
∂u ∂x
)nm
+
1 2
(
∂2u ∂x2
)mn
h
+
⋅
⋅
⋅
因此，向前差商的误差为 O(h) 。
umn
−
un m−1
h
=
umn
−
⎣⎡⎢umn
−
(
∂u ∂x
)mn
h
+
h
1 2
(
∂2u ∂x2
)
n m
h2
+ ⋅⋅⋅⎤⎥ ⎦
=
(
∂u ∂x
)
n m
−
1 2
(
∂2u ∂x2
因此，
en+1
=
y(xn+1) −
y(xn )
−
h(c1K1*
+
c2
K
* 2
)
=
f
(xn ,
《微分方程数值解》课程教学改革的探索和实践
《微分方程数值解》课程教学改革的探索和实践
作者：邓斌， 朱晓临， 张瑞丰， 吴强， 王寿城
作者单位：合肥工业大学数学学院,安徽合肥,230009
刊名：
大学数学
英文刊名：College Mathematics
年，卷(期)：2014,30(z1)
1.胡健伟;汤怀民微分方程数值解 2007
2.张宏伟注重培养研究能力的《微分方程数值解法》课程教学研究与实践[期刊论文]-大学数学 2006(6)
3.教育部数学与统计学教学指导委员会数学类专业教学指导分委员会信息与计算科学专业教学规 2003(06)
4.戴嘉尊微分方程数值解法 2002
5.李立康微分方程数值解法 2003
6.尹秀玲,董立华"微分方程数值解法"的教学体会[期刊论文]-河北理科教学研究 2009(1)
7.阳莺应用Matlab辅助微分方程数值解法教学[期刊论文]-桂林电子科技大学学报 2007(4)
8.唐玲艳,屈田兴微分方程数值解课程教学的实践与探索[期刊论文]-湖南工业大学学报 2010(2)
9.杨韧,杨光崇,谢海英"微分方程数值解"的教学研究与实践[期刊论文]-高等数学研究 2010(1)
引用本文格式：邓斌.朱晓临.张瑞丰.吴强.王寿城《微分方程数值解》课程教学改革的探索和实践[期刊论文]-大学数学 2014(z1)。
微分方程数值解--上机2
微分方程练习练习1 求解范德堡（vander pol）方程练习2 单摆运动图4.3中一根长的细线，一端固定，另一端悬挂质量为的小球，在重力作用下，小球处于竖直的平衡位置. 现使小球偏离平衡位置一个小的角度，然后使其自由运动，在不考虑空气阻力情形下，小球将沿弧线作周期一定的简谐运动.为平衡位置，在小球摆动过程中，当与平衡位置夹角为时，小球所受重力在其动运轨迹的分量为（负号表示力的方向使减少），由牛顿第二定律可得微分方程（4.12）设小球初始偏离角度为，且初速为0，式（4.12）的初始条件为（4.13）当不大时，，式（4.12）化为线性常系数微分方程图4.3（4.14）解得（4.15）简谐运动的周期为.现在的问题是：当较大时，仍用近似，误差太大，式（4.12）又无解析解，试用数值方法在两种情况下求解，画出的图形，与近似解（4.15）比较，这里设.练习3 捕食与被捕食当鲨鱼捕食小鱼，简记为乙捕食甲，在时刻，小鱼的数量为，鲨鱼的数量为，当甲独立生存时它的（相对）增长率与种群数量成正比，即有，为增长率，而乙的存在使甲的增长率减少，设减少率与乙的数量成正比，而得微分方程（4.16）比例系数反映捕食者掠取食饵的能力.乙离开甲无法生存，设乙独自存在时死亡率为，，甲为乙提供食物，使乙的死亡率降低，而促其数量增长，这一作用与甲的数量成正比，于是满足（4.17）比例系数反映甲对乙的供养能力，设若甲，乙的初始数量分别为（4.18）则微分方程（4.16），（4.17）及初始条件（4.18）确定了甲，乙数量、随时间变化而演变的过程，但该方程无解析解，试用数值解讨论以下问题：（1）设，求方程（4.16），（4.17）在条件（4.18）下的数值解，画出的图形及相图，观察解的周期变化，近似确定解的周期和的最大、小值，近似计算在一个周期内的平均值.（2）从式（4.16）和（4.17）消去得到（4.19）解方程（4.19），得到的解即为相轨线，说明这是封闭曲线，即解确为周期函数.（3）将方程（4.17）改写为（4.20）在一个周期内积分，得到一周期内的平均值，类似可得一周期内的平均值，将近似计算的结果与理论值比较.进一步练习（1）编写改进欧拉公式求微分方程数值解的程序，并用其与ode23求下列微分方程数值解，对二者作出比较.a）或.b)（Bessel方程，这里令，其精确解为）.c).（2）倒圆锥形容器，上底面直径为1.2m，容器的高亦为1.2m，在锥尖的地方开有一直径为3cm的小孔，容器装满水后，下方小孔开启，由水利学知识可知当水面高度为时，水从小孔中流出的速度为为重力加速度，若孔口收缩系数为0.6（即若一个面积单位的小孔向外出水时，水柱截面积为0.6），问水从小孔中流完需多少时间？2分钟时，水面高度是多少？（3）一只小船渡过宽为的河流，目标是起点正对着的另一岸上点，已知河水流速与船在静水中的速度之比为.（a）建立小船航线的方程，求其解析解.（b）设，用数值解法求渡河所需时间，任意时刻小船的位置及航行曲线，作图并与解析解比较.（c）若流速为0,0.5,2 (m/s)，结果将如何？（4）研究种群竞争模型. 当甲、乙两个种群各自生存时，数量演变服从下面规律其中，分别为时刻甲，乙两个种群的数量，为其固有增长率，为它们的最大容量，而当这两个种群在同一环境中生存时，由于乙消耗有限资源而对甲的增长产生影响，将甲的方程修改为（4.22）这里的含意是：对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对）的消耗率为单位数量甲（相对）消耗的倍，类似地，甲的存在亦影响乙的增长，乙的方程应改为（4.23）给定种群的初始值为（4.24）及参数后，方程（4.22）与（4.23）确定了两种群的变化规律，因其解析解不存在，试用数值解法研究以下问题：（a）设，计算，画出它们的图形及相图，说明时间充分大以后的变化趋势（人们今天看到的已经是自然界长期演变的结果）.（b）改变，但与不变（保持），分析所得结果，若，再分析结果，由此你得到什么结论，请用各参数生态学上的含义作出解释.（c）试验当时会有什么结果；当时又会出现什么结果，能解释这些结果吗？。
微分方程数值解习题(李立康)
常微分方程习题 《李立康》习题1.用Euler 方法求初值问题⎩⎨⎧=-='0)0(21u tuu 在1=t 时的近似解（取41=h ）。
2.初值问题1300u u u()⎧⎪'=⎨⎪=⎩ 有解3223/u(t )t ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和HTh =,都只能得到N t u t , (2)1,0==，试解释此现象产生的原因。
3.用Euler 方法计算⎩⎨⎧=='1)0(u uu 在1=t 处的值，取161和41=h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。
4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(1243h O t u h -'''-；（2）当1<hL 时，其整体截断误差满足：)1(22--≤Lt n lT m e hLRe εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。
5.导出用改进Euler 法求解⎩⎨⎧=='1)0(u uu 计算公式mmh h u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22 取41=h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。
6.就初值问题⎩⎨⎧=+='0)0(u bat u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解bt t au +=22相比较。
7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(<h 。
8.对初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(2u u u 用41=h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解tu +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。
9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ϕ关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。
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常微分方程习题 《李立康》习题1.用Euler 方法求初值问题⎩⎨⎧=-='0)0(21u tuu 在1=t 时的近似解（取41=h ）。
2.初值问题1300u u u()⎧⎪'=⎨⎪=⎩ 有解3223/u(t )t ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和HTh =,都只能得到N t u t , (2)1,0==，试解释此现象产生的原因。
3.用Euler 方法计算⎩⎨⎧=='1)0(u uu 在1=t 处的值，取161和41=h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。
4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(1243h O t u h -'''-；（2）当1<hL 时，其整体截断误差满足：)1(22--≤Lt n lT m e hLRe εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。
5.导出用改进Euler 法求解⎩⎨⎧=='1)0(u uu 计算公式mmh h u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22 取41=h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。
6.就初值问题⎩⎨⎧=+='0)0(u bat u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解bt t au +=22相比较。
7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(<h 。
8.对初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(2u u u 用41=h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解tu +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。
9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ϕ关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。
10.证明定理2.6.11.证明定理2.7的推论（推论2.1）：“N 级Runge-Kutta 方法相容的充分必要条件是∑==Ni i c 11”。
12.Runge-Kutta 方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令u t ff f u t f u t g +='=),(),(，则可将);,(h u t ϕ取为)),(3,3(2),();,(u t f hu ht g hu t f h u t +++=ϕ，证明这是一个二阶的单步方法。
[提示：利用Taylor 展开后比较相当项的系数的方法。
] 13.证明三阶Runge-Kutta 方法⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==+-+=+23121321143,432,2),()432(9k hu h t f k k h u h t f k u t f k k k k h u u m m 对于求解微分方程t u u -='与三阶Taylor 级数法的计算格式的形式完全相同。
14.对Heun 二阶方法（2.10）式作出如图2.3那样的几何解释。
15.用Taylor 级数法求方程⎩⎨⎧=='1)0(u uu 的)2,0(),1,0(u u 的近似值（取4=q ），并说明近似值精度情况。
16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。
（取0α为参数） 17.求具有最高阶的三步方法的计算格式。
18.设)(),(λσλρ无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充分必要条件是)1(2)1(),1()1(,0)1(σρρσρρ'='+''='=19.证明：与算子]);([h t u L 相应的线性多步方法q 阶相容的充分必要条件是,,...,1,0,0];[q n h t L n ==而.0];[1≠+h t L q 此时误差常数为.)!1(];[111+--++q h h t cL c q q q 20.讨论最高阶的两步方法（Milne 方法（2.69）式）和最高阶的三步方法（习题17）的稳定性。
21.检验四步方法44218483m m m m m hu u (f f f )++++=+-+是否收敛。
22.证明：方法m m m m m f h f f hu u 6)42(6211+++=++的阶为二23.推到计算格式⎩⎨⎧+'''+'''+∂+∂='+'+∂+∂=+++++++221121122112112~,~m m m m m m m mm m m uh u h u h u u u u h u h u u u γββββ 的系数,,,,,2121γββαα使方法有尽可能高的阶数，并讨论它的稳定性。
24.讨论最高阶三步方法（习题17）的绝对稳定性。
25.讨论多步方法))(3(2)(12121-+-++-+=--+m m m m m m f f a hu u u a u当a 取那些值时是稳定的；当a 取那些值时有绝对稳定区域非空。
26.在两步三阶方法yuf f f hu u u m m m m m m ]5)12(4)2[(5)112(51)13(54010200102βββββ+++-=+--+++++中，讨论当0β在什么范围种变化才能使算法绝对稳定。
设此时的绝对稳定区域在实轴上的范围是],[b a ，求b a ,的值。
27.用公式（2.101）推到3=k 和4时的Gear 方法。
28.用公式（2.101）求下列计算公式的截断误差阶和各项系数： （1）11+++=m m m hf u u （向后Euler 公式）； （2）m m m m hf u u u 23412--=++；（3）2=k 和3时的Adams 外插公式和内插公式。
29.证明：一步Gear 方法（习题28之（1））和两步Gear 方法（2.102）式都是A-稳定的。
30.求一级、二级隐式Runge-Kutta 方法（2.116）式、（2.117）式局部的截断误差项。
31.证明：（2.116）式（2.117）均为A-稳定的方法。
计算实习1.编一个用Euler 方法解⎩⎨⎧=='at u u t f u )(),(0 T t t ≤<0 的程序，使之适用于任意右端函数f ，任意步长h 和任意区间],[0T t 。
用161,81,41=h 分别计算初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==∈+='...06666666.0151)0(]4,0(,u t u u u t 在结点)16,...,1,0(1=i i上打印出问题的精确解（真解为tte e t u -=16)(）。
计算近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）。
2.编一个与上题同样要求的改进Euler 法的计算程序，1+m u 的初值用Euler 方法提供，迭代步数s 为输入参数。
用它求解上题的问题，并将两个结果加以比较。
3.编一个程序用Taylor 级数法求解问题⎩⎨⎧=≤<='.1)0(10,u t tu u 取Taylor 级数法的截断误差为)(21h O ，即要用)(),...,(),()20(t u t u t u '的值。
[提示：可用一个简单的地推公式来获得,...3,1,)(=n u n 。
] 4.用四阶古典Runge-Kutta 方法（或其他精度不低于四阶的方法），对0≥x 时的标准正态分布函数：⎰∞<≤+=Φrt x dt e x 020,2121)(2π产生一张在[0,5]之间的80个等距结点（即161=h ）处的函数值表。
[提示：寻找一个以)(x Φ为解的初值问题。
]5.（一个“刚性”的微分方程）用四阶古典Runge-Kutta 方法阶初值问题：⎩⎨⎧=≤<--+=',0)0(,30,1511102u t t t u u 取.81=h 每隔8步打印出数值解与真解的值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t u 2)(2，画出它们的大致图像，并对产生的结果做出解释。
[提示：当初值ε=)0(u 时，方程的真解变为t t t t u -+=2)(2ε。
]6.分别用Adams 三步和四步外插公式，用161=h 求解 ⎩⎨⎧=≤<--+-='1)0(30,17482u t t t u u 将计算结果与真解2)(0t e t u += t 进行比较，并对所产生的现象进行理论分析。
7.用Adams 三步内插公式预测、Adams 四步外插公式校正 次的预-校算法重新求解上题的方程，将结果与上题作比较，并解释产生差异的原因。
8.对（1.3）式所示的Lotka-Volterra “弱肉强食”模型，令,5,3],5,0[,3,1,2,400==∈=+===-y x t k d l e k r 即⎪⎩⎪⎨⎧==-='-='.5)0(,3)0(,3)(,24)(y x y xy t y xy x t x 50≤<x （1）取41=h ，用任意一种精度不低于三阶的方法求解，要求结果至少有三位有效数字。
作出)(),(t y t x 的图像及y 关于x 的图像。
（2）对5.2,2,5.1,1)0(=y 解这同一个模型，分别画出y 关于x 的函数图像。
（3）讨论所获得的结果并分析原因。
[提示：注意xy 平面上的点（3,2），它被称为平衡点。
]习题 抛物方程习题1.推导扩散方程的三层差分格式：τθuu -+)1( 的截断误差，并证明当r12121+=θ时，截断误差的阶达到最高，为)(42h O -τ。
2.求Richardson 格式的改进形式Dufort Frankel 格式：huu u u a u u -----τ2 的截断误差。
3.讨论双向加权对称格式：]22[21216512122huu u h u u u a u u u u u u --+--=-+-+-τττ 的截断误差。
4.用分离变量法求古典隐格式（5.36）的差分真解。
5.用分离变量法对六点对称格式（3.38）推导其差分方程的真解。
6.利用题4和题5的结果，用分离变量法证明古典隐格式和六点对称格式是绝对稳定的。
7.列出求解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∈∈≤≤<∂∂=∂∂.0),1(),(),()0,(],0(),1,0(),))(0(,)(1022t u t o u x x u T t x a x a a x ux a t u ϕ 的古典显格式，并证明当2121≤ha τ时格式是稳定的。
8.用直接法证明求解扩散方程的两层加权平均格式（5.25）： （1）当121≤≤θ时，是绝对稳定的。