21二次根式

如何求字母的取值范围一、利用二次根式的定义a （a ≥0）中被开方数a ≥0求解 1、 二次根式962-+-x x 有意义，则x 的取值范围是＿＿. 二、利用式子中同时含有a 与a -求解 例3 若344+-+->x x y ，则y 的取值范围是＿＿.三、利用二次根式的非负性（a ≥0）求解例4 如果3962=+-+a a a 成立，那么实数a 的取值范围是（ ） A a ≤0 B a ≤3 C a ≥－3 D a ≥3 四、利用公式)0(2≥=a a a 求解例5 若1)1(2-=-a a ，则a 的取值范围是（ ）A a ＞1B a ＜1C a ≥1D a ≤1五、利用公式a a =2)(（a ≥0）求解例6 若5)5(2-=-x x ，则x 的取值范围是（ ） A x ＞5 B x ＜5 C x ≥5 D x ≤5六、利用公式0(≥=⋅a ab b a ，)0≥b 求解例7 等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件的是（ ）A x ＜1B x ＞1C x ≤1D x ≥1七、利用公式b a＝b a （a ≥0，b ＞0）求解例8 若等式11+=+x xx x 成立，则实数x 的取值范围是＿＿. 八、综合运用公式求解例9 如果2223+-=+x x x x ，那么x 的取值范围是＿＿.条件二次根式的化简一、条件是不等式的形式 例1 当3m <二、条件是数轴的形式例2 实数a b ，a b +的结果为＿＿．三、条件是非负数的形式例3 2(1)0n +=，则m n +的值为＿＿. 四、条件是等式的形式例4a =b =，用含a b ，，则下列表示正确的是（ ） A 0.3ab B 3ab C 30.1ab D 30.1a b例5 已知实数x 、y 、a，试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.化简二次根式的关键一、直接根据给出的字母的取值范围进行确定 例1 已知a ＜0，化简：b a 2=＿＿＿．例2 已知1＜x ＜3，化简：22)3()1(-+-x x =＿＿＿．二、根据二次根式的意义进行确定 例3 化简：a a1-的结果是（ ） （A ）a ；（B ）a -；（C ）-a ；（D ）-a -.三、根据给出的取值范围和二次根式的意义进行确定例4 已知x ＜0，化简：3xy =＿＿＿． 四、根据隐含条件进行确定 例5 化简：()()2221-+-x x ．例6 已知a ax -=1，则24x x +的值是（ ）（A ）a+a 1；（B ）a-a 1；（C ）a1-a ；（D ）以上都不是 （B ） 化简二次根式的技巧一、被开方数为整数当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.例1.二、被开方数是小数当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方. 例2..三、被开方数是带分数当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.例3.化简：四、被开方数为数的和（或差）形式当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.例4.化简：五、被开方数为单项式当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成2()m a或2()m a·b的形式），然后再开方.例5.化简：.六、被开方数是多项式当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方.例6.化简：七：被开方数是分式当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算.例7.化简：八、被开方数是分式的和（或差）当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简.例8.化简：灵活巧用这两个非负数一、确定取值范围问题例1如果1a=，那么a的取值范围是（）（A）a＝0（B）a＝1（C）a＝0或a＝1（D）a≤1 .例2=-，那么（）（A）x≤０（B）x≥－3（C）０＜x＜3（D）－3≤x≤０．二、化简问题例3当ab＜0）（A）-（B）（C）（D）- .三、求值问题例4若x、y4y=，则xy的值为（）（A）0 （B）12（C）2（D）不能确定.例5已知50x-，则31x y++=______ .二次根式常见错误剖析一.应用性质()aa=2时,忽视a≥0这一条件例1 化简:()().222xx-二.对二次根式变形时,将负号误带入根号内,造成错解例2将xy3-根号外的因式移到根号内.三.错误理解最简二次根式例3下列根式中,不是最简二次根式的是( )A. 12+a B. 12+x C.42b D.y1.0四.错用分配律对乘法分配律a(b+c)=ab+ac的变形应用(a+b)÷d=(a+b)dbdad+=⋅1的错误理解.例4计算:⎪⎪⎭⎫⎝⎛+÷513115.五.不熟悉二次根式的运算法则例5下列计算正确的是( )A.228=- B.()()15252=+-C.14931227=-=- D.23226=-二次根式运算错解档案一.忽视整体性 例1.化简：a ÷二.同类二次根式的概念不清例2.三.根号外的数（式）与根号内的数（式）约分 例3.四.与形近式子相混淆例4.计算：（1（2五.违背运算顺序 例5.六.误用分配律 例6.二次根式考点例析考点一：考查二次根式的两个非负性：0，0a ≥ 例1．函数3x y +=中，自变量x 的取值范围是________。

例2．若实数x y ，2(0y =，则xy 的值是 ．考点二：二次根式性质：)0()(2≥=a a a 和a a =2的运用 例3.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简考点三：二次根式的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab 和)0,0(>≥=b a bab a 进行二次根式的化简例4．下列根式中属最简二次根式的是（ ）例5a =b =，用含a b ，，则下列表示正确的是（ ） Ａ．0.3abＢ．3abＣ．30.1abＤ．30.1a b考点四：二次根式的运算 例6．化简例7．若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -二次根式新题欣赏一、程序运算型例1．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x 的值为3，则输出的数值为___________．．二、估算型 例2．） Ａ．6到7之间Ｂ．7到8之间Ｃ．8到9之间Ｄ．9到10之间三、探索规律例3．观察下列分母有理化运算：1+…，利用上面的规律计算：+++(1+四、新定义运算例4、定义运算“@”的运算法则为: x@y＝，则(2@6)@8=．五、阅读理解：例5、阅读材料，解答下列问题．例：当0a>时，如6a=则66a==，故此时a的绝对值是它本身当0a=时，0a=，故此时a的绝对值是零当0a<时，如6a=-则66(6)a=-==--，故此时a的绝对值是它的相反数∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即.这种分析方法滲透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式（2）猜想a的大小关系．（2）通过分析比较我们可以看到猜想a是相等的．二次根式非等价变形致误例析一、忽视二次根式为正数的前提条件，盲目开方导致等价变形例1 化简aaa13---。

二、忽视隐含条件，导致非等价变形例2 已知21,2=-=+abba，求baab+的值。

三、忽视字母讨论，导致非等价变形例3 分母有理化：2111a++。

四、忽视特殊情况，导致非等价变形例4 分母有理化：yxyx+-。

五、由于概念不清，误用定义，导致非等价变形例5 已知442+mm和是同类二次根式，求m的值。

二次根式运算与隐含信息一、隐含于已知字母的值例1 已知321+=a，求aaaaaaa-+---+-22212121的值。

（上海市考题）二、隐含于已知等式例2 已知等式0)2(24422=-+-+-xxxx，求x的值。

（海口市考题）三、隐含于要求化简的根式例3 已知a＜0，化简：2)1(4aa+-－2)1(4aa--。

（宁波市考题）例 4 先将22--xx÷232xxx-化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。

（洛阳市考题）四、隐含于数轴例5 如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C所表示的数为x，求x+x2的值。

00a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩当当当五、隐含于化简过程中例6 已知：123123++=++x x ，求423--x x ÷)225(---x x 的值。

（南京市考题） 例析《二次根式》中的数学思想一、转化思想例1.计算2008200822（. 例2.已知a =6，且ab<0,则a+b 的值为 . 三、整体思想例3.当y =求22x xy y ++的值. 四、数形结合思想例4.如图，数a 、b 在数轴上的位置，化简从规律中猜想，在根式中解题一、从形式中得规律例1．已知一组数据1，3，┅┅，猜想第2008个数是 。

二、借助计算得规律 例2．借助计算器计算： （1）= 。

（2）= 。

（3）= 。

┅┅仔细观察上面几道题的结果，试猜想= 。

例3．由下列式子：1999+⨯，1999999+⨯，1999999999+⨯，┅┅，想一想，请你猜想出个个个n n 9919999 +⨯n = 。

四、依据规律得规律例4．观察下列各式131+⨯=2，142+⨯=3，153+⨯=4，┅┅，请你归纳，结合得出的规律用含自然数n （n ≥0）的代数式表示——————。

五、通过化简得规律 例5，观察下列运算：1==，====用字母n 表示你发现的规律，并加以证明；二次根式常见错误剖析一 应用性质()a a =2时,忽视a ≥0这一条件 例1 化简:()().222 x x -二、对二次根式变形时,将负号误带入根号内,造成错解 例2 将xy 3-根号外的因式移到根号内. 三.错误理解最简二次根式例3 下列根式中,不是最简二次根式的是( ) A. 12+a B. 12+x C. 42bD.y 1.0 四.错用分配律对乘法分配律a(b+c)=ab+ac 的变形应用(a+b)÷d=(a+b)dbd a d +=⋅1的错误理解. 例4 计算:⎪⎪⎭⎫⎝⎛+÷513115. 五.不熟悉二次根式的运算法则图例5 下列计算正确的是( )A.228=-B. ()()15252=+- C.14931227=-=- D.23226=- 根式问题常见错误例析一、概念不清例1 若x+x 1=4,则x-x1= .二、错误理解代数式的意义例2 计算：x 12÷52x 。

三、忽视运算法则 例3 计算：236+÷(31-21)。