第21章 二次根式乘法
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
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重点： · ＝ （a≥0，b≥0）， = · （a≥0，b ≥0）及它们的运用
难点目标
发现规律，导出 · ＝ （a≥0，b≥0）
导入示标
理解 · ＝ （a≥0，b≥0）， = · （a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
目标三导
学做思一：认真阅读课文例题前面的内容，思考以下几个问题：
1．填空
（1） × =_______， =______；
（2） × =_______， =_______．
（3） × =_ _______， =_______．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
× _____ ， × _____ ， × ________
让3、4个同学上台总结规律
学做思二：
计算：（1） × （2） × （3） × （4） ×
二次根式的乘法
课题名称
二次根式的乘法
三维目标
1. 理解 · ＝ （a≥0，b≥0）， = · （a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2.由具体数据，发现规律，导出 · ＝ （a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出 = · （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和
（4） （5）
学做思三：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
达标检测
1.计算:① × ②3 ×2 ③ ·
2.化简: ; ; ; ;
反思总 结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
华师版九年级上册第二十一章21.2.1 二次根式的乘法
(3) 25 36 ____ ___ ____; 25 36 _____ .
猜测 a • b =
（a≥0,b≥0），你能证明这个猜测吗？
【要点归纳】一般地，二次根式相乘，______不变，______相乘. 语言表述：两个算术平方根的积等于它们被开方数积的算术平方根.
导学提纲
【典例精析】
三、检测
1.若 x x-6= x(x-6) ，则（
A．x≥6
B．x≥0
） C．0≤x≤6
D．x 为一切实数
导学提纲
2.下列计算正确的是（ ）
A．
C．2 3.计算：
＝6×25＝150
B． D．2
＝6×5＝30
（1） 8 1 = 2
4.计算：
(1) 2 3 5 5；
；（2） 3 2 2 =_________;(3) 3 5 7 =________.
（2）3
3
2 4
；
( 3 ) 3 2 2 10 5 ;
(4) 1 6a2b （a 0，b 0）. 3ab
5.设长方形的面积为 S，相邻两边分别为 a,b.
(1)已知 a 2 , b 2 5 ，求 S 的值；
(2)已知 a 2 50 , b 3 32 ，求 S 的值.
能力提升
6.将根号外的因式化到根号内（1）4 3 ；（2）﹣5a 2a ；（3）（a﹣1） 1 a ．
例 1 计算： 2 3 5.
【方法总结】二次根式的乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，
即 a b k a b k （a 0, b 0,, k 0). 例 2 计算:
(1)2 5 3 7；
(2)4
27
-
1 2
3
华师版九年级数学上册第21章2 二次根式的乘除
知3－练
(1) 48； 3
解：方法一： 48＝ 3
438＝ 16＝4；
方法二：
48＝ 3
16× 3＝ 3
16＝4.
(2)－－21255； －－21255＝ 21255＝12 1255＝12 25＝12×5＝52.
(3)－ 2 13÷ 16；
知3－练
解：－
1 23÷
16＝－
73÷16＝－
73×6＝－ 14.
C.
(
1 4
)2－(
1 5
)2＝210
D. 94x＝23xx
知4－练
例 7 去掉下列各式分母中的根号：
知4－练
(1) 3 ；(2) 3
12；(3) 32
2 ； (4) 2ab
3＋ 3－
2. 2
解题秘方：紧扣“去掉分母中的根号的方法”进
行变形 .
解：(1)
3＝ 3
3× 3×
3 3
＝333＝
3.
知4－练
知1－讲
(2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变， 即： a · b · c＝ abc(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0).
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简 化运算 .
特别提醒
知1－讲
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积 的算术平方根 .
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单 项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为积 的根号外因数(式)，被开方数之积作为积的被开方数， 即：a b ·c d＝ac bd(b ≥ 0，d ≥ 0).
华师版九年级数学上册第21章 二次根式2 二次根式的乘法与积的算术平方根
(2) 1 27 1 27 9 3.
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3
(3) 2 3 7 ( 2 3) 7 6 7 42.
二次根式乘法法则 a b = ab （a≥0，b≥0）
ab＝ a b （a≥0，b≥0）
归纳知识 1.二次根式乘法法则
a b = ab （a≥0，b≥0）
2.积的算术平方根的性质 ab＝ a b （a≥0，b≥0）
A．x≥6
B．x≥0 C．0≤x≤6
D．x为一切实数
2.下列运算正确的是 （ D ） A. 2 18 3 5 6 80 B. 52 32 52 32 5 3 2 C. (4)(16) 4 16 (2)(4) 8 D. 52 32 52 32 53 15
3.计算： ( 1 ) 2 3 5 21 ；
第21章 二次根式
21.2.1&21.2.2 二次根式的乘法 与积的算术平方根
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) 1 ； x 1
(2) x 3 . x 1
(3) 1 x 1 . x3
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
(4) x 2 3 x. ∴ 2 ≤ x ≤ 3.
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（3） 3x
1 xy．
3
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
21.2 二次根式的乘除 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
∴－2 ＞－3 .
典例导思
[易错提示]运用二次根式的乘法只能将正数移到根号
内，如果根号外的数是负数，那么符号必须留在根号
外.
[方法归纳]比较二次根式的大小，一般常用以下方法：
①将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小.
②平方比较法，先算出每个数的平方，再比较大小.除
解：3 ÷
；
＝
×
＝
.
（4） ÷ （ x ≥0）.
解： ÷ ＝
＝
＝2 .
典例导思
1. 若
＝
成立，则 x 的取值范围为（
−
−
A. x ≥0
C. x ＜1
B. x ≥0或 x ＜1
D. 0≤ x ＜1
8. 计算：
（1）2÷ ×
＝
1 ；
（2） × ÷ ＝
（3）
÷
×
＝
15 ；
9
.
第21章
21.2
二次根式
二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法和积的算术平方根
知识导航
（ a ≥0 ，
1. 二次根式的乘法： · ＝
b ≥0 ）.这就是说，两个算术平方根的积，等于它
们被开方数的 积 的算术平方根.
· （ a ≥0 ，
2. 积的算术平方根： ＝
b ≥0 ）.这就是说，积的算术平方根，等于各因式
恰当的二次根式（有理化因式），当分母是形如
人教版九年级数学上第二十一章21.2二次根式的乘除
二次根式的乘除授课年级九年级学科数学主题二次根式乘除（1）任课教师李国柱课型问题解决课课时 1 授课日期2008、8、教材分析本节内容“二次根式乘除”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。
本节主要学习二次根式乘除运算，它是二次根式相关内容的发展，又是后面运算的基础，本节起到承上启下的作用。
学生分析本节内容让学生先复习二次根式的有关知识，学生通过自学，与实际问题联系，教师作为引路人，学生自主、合作、交流，练习操作，掌握解方程的方法。
计算个别学生需进行个性化指导。
设计理念新课程有效课堂教学明确倡导，学生是学习的主人，在学生自学文本的基础上动手实践、自主探究、合作交流，来倡导新的学习观，让他们完成二次根式乘除知识研究。
教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，与学生零距离接触共同探究。
在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，把“要我学”变成“我要学”，通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，养成良好的学习习惯，掌握学习策略，并根据活动中示范和指导培养学生大胆阐述并讨论观点，说明所获讨论的有效性，并对推论进行评价。
从而营造一个接纳的、支持的、宽容的良好氛围进行学习。
教学目标知识目标：1、会做简单的二次根式乘、除法运算，并在此基础上会比较两个二次根式的大小。
2、充分进行讨论、交流，得到二次根式的乘法法则，进而归纳出除法法则。
能力目标：能够深刻理解应用二次根式乘除运算并能熟练应用。
情感目标：要注意培养自己的自学探索能力及运算能力。
重点、难点教学重点：能够深刻理解应用二次根式乘除运算并能熟练应用。
教学难点：二次根式乘除法则的推导。
关键问题二次根式乘除法则的应用。
教学方法1、问题发现法：在教师的启发引导下，鼓励学生积极参与，采用“问题—探索—发现”的研究模式，让学生自主探索，合作学习，归纳结论，掌握规律。
21.2.1二次根式的乘法
思考总结
2 3与 2 3呢？
用计算器分别计算一下，看结果是否相等，你 能说出其中的道理吗？ 从计算的结果我们发现：
2 3= 2 3
这是什么道理呢？
事实上，根据积的乘方法则，有：
( 2 3)2 =( 2)2 ( 3)2 =2 3，
并且 所以
2 3 0，
2 3 是 2 3 的算术平方根，即
2 3= 2 3.
总结结论
一般地有
a b a b (a 0，b 0).
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们
被开方数的积的算术平方根.
推广：
a b k ab k
注意：
在 a b
否则没有意义.
a b 中，a、b都表示非负数.
在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数，
一般地有
a b a b (a 0，b 0).
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们 被 25与 4 25；
(2) 16 25 与 16 25.
(1) 4 25=2 5=10；
4 25= 100=10.
(2) 16 9 4 3 12； 16 9= 144=12.
通过计算，可以发现：
4 25= 4 25；
16 9 16 9.
3 2 = = 1=1. 2 3
(3) 1000 0.1 ；
= 1000 0.1= 100=10.
(5)3 5 2 10；
=3 2 5 10 =6 5 2 =30 2.
1 (6) 3x xy . 3 1 = 3x xy 3
= x2 y =x y .
能力提高题
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12．化简下列各式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
13.（1）
（2）
⑶ ；
⑷．y ÷ ×
第21章二次根式乘法
专讲：
1.（1） （2）
（3） ·Hale Waihona Puke ；（4）2.（1） （2）
（3） （4）
3.（1） （2）
（3） （4）
专练：
1．下列运算正确的是（）
A． = - =5-4=1; B． = × =-4×（-5）=20
C． = + = ;
D． = × =4
2. × =___; × =___．
=_______; =_________．
（9） （10）
（11） （12）
第21章二次根式除法
专讲：1.（1） （2）
（3）a （4）
2（1） （2）
（3） （4）
3.（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
4.（1） （2）（3）
（4） （5） （6）
5.（1） （2）
专练：
1.下列化简错误的是（）
A． = = B． = × =0.1×0.7=0.07
4.在 ， ， ， 中最简二次根式的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2005·岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
6．化简 的结果为（）
A． B． C． D．
7.对于二次根式 ，以下说法不正确的是（）
A．它是一个正数B．是一个无理数
C．是最简二次根式D．它的最小值是3
C． = =
D． = · =1× =
2. = =______;
=_____; =_____;
=______． =______； =_____； =______ ____ _____；
______ _______ ______
＝_____，＝________
＝_______，＝________。
3.下列二次根式中，最简二次根式是（）。（A） (B) (C) (D)
=_______； =________．
- =________． =________；
=__________;（-2 ）2=_________； =__________； =__________
， ________．
_________．
3.计算
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
7．把 分母有理化后得（）
A． B． C． D．
8.已知 ， ，则下列各式中与 不相等的是（）
A B
C D
9.下列说法错误的是（）
A． 是最简二次根式
B． 是二次根式
C． 是一个非负数
D． 的最小值是4
10．在 ， ， ， ， ， 中，最简二次根式的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．将 化成最简二次根式（）