(人教版初中数学)人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
初三数学知识点 第一章二次根式知识点1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a 。
2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=∙b a ab b a ；()0,0>≥=b a baba 。
3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=，S 是三角形的面积，p 为2cb a p ++=。
第一章二次根式21.1二次根式练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x +x 2在实数范围内有意义？3．4.x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习1. 当0a ≤，0b __________=。
2. _____,______m n ==。
3. __________==。
4. 计算：_____________=。
5. ，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。
6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）7. 已知0xy ，化简二次根式的正确结果为（ ）C.8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）A. 2a b =+a b =+22a b =+a b =+9. -和- ）A. -- ---=-不能确定10. ）A. 它是一个非负数B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为3 11. 计算：()1()2()(()30,0a b -≥≥ ())40,0a b()5()6⎛÷ ⎝12. 化简：())10,0a b ≥≥ ()2()3a13. 把根号外的因式移到根号内：()1.-()(2.1x -第一章二次根式21.3 二次根式的加减练习1. ）2. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 不是同类二次根式的是（ ）4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）5. 若12x ）6. 10=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±7. x ，小数部分为y y -的值是（ ）A. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ）=a b =-C. (a b =-2==9. 是同类二次根式的是 。
人教版初一数学二次根式的运算
人教版初一数学二次根式的运算二次根式是初中数学中一个重要的概念，也是数学运算的基础之一。
在人教版初一数学教材中，二次根式的运算是一个重要的知识点。
本文将从基本概念、运算法则等方面进行讲解，帮助学生更好地掌握二次根式的运算。
一、基本概念在初一数学中，我们学习了一次根式，它是一个数的 n 次方根。
而二次根式则是一个数的平方根。
如果一个数 a 的平方等于 b，则表示 a是 b 的平方根，记作√b=a。
在这里，b 是被开方数，a 是开方后得到的结果。
二、运算法则1. 同号相乘法则当两个二次根式的被开方数具有相同的正负号时，可以将它们的被开方数相乘，再开平方，结果仍然具有相同的正负号。
例如：√a * √b = √(a * b)。
2. 开方的分配律如果 a 和 b 都大于等于 0，那么有：√a + √b = √(a + b)。
同理，对于减法也成立，即：√a - √b = √(a - b)。
3. 分数的二次根式运算对于二次根式的运算，特别需要注意分数的情况。
如果一个分数先开方，然后再化简，结果通常不等于先化简再开方。
例如：√(2/3) ≠ √2 / √3。
因此，在进行二次根式的运算时，需要特别注意对分数进行化简后再做运算。
三、练习题1. 计算√4 + √9的值。
解：根据同号相乘法则，可以得到√4 + √9 = √(4 * 9) = √36 = 6。
2. 计算2√3 + 3√2的值。
解：根据开方的分配律，可以得到2√3 + 3√2 = √(2^2 * 3) + √(3^2 *2) = 2√6 + 3√6 = 5√6。
3. 计算√(2/3)的值。
解：根据前面提到的分数的二次根式运算注意事项，需要先化简再开方。
√(2/3) = √(2 * 1/3) = √(2 * 1) / √3 = √2 / √3。
四、总结二次根式的运算是初中数学中的重要内容，需要掌握运算法则以及化简分数的方法。
通过数学练习题的反复练习，可以巩固对二次根式的运算法则的理解和掌握。
21二次根式知识点+典型例题+习题
21.1 二次根式知识点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
因此，一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
二次根式a 的特点：（1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。
（2）被开方数 a ≥0，即必须是非负数。
（3）a 可以是数，也可以是式。
（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。
2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。
(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。
3.二次根式的相关等式：a a =2(a ≥0) ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 相关例题1.二次根式的概念例题一： 下列各式中144,20,,1,3,152222-++-m b a b a ， 二次根式的个数是（）考点： 二次根式的概念．分析： 二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可． 解答： 解：3a ，12-b 有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。
点评： 本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点．变式一:下列各式中①，a ②，z y +③，6a ④，32+a ⑤，962++x x ⑥，12-x 一定是二次根式的有()个。
解：①被开方数a 有可能是负数，不一定是二次根式；②被开方数y+z 有可能是负数，不一定是二次根式；③被开方数6a 一定是非负数，所以③一定是二次根式；④被开方数32+a 一定是正数，所以④一定是二次根式；⑤被开方数22)3(96+=++x x x 一定是非负数，所以⑤一定是二次根式； ⑥被开方数12-x 有可能是负数，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有3个，故选C ．点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是正数．2.二次根式中字母的取值范围的基本依据例题二：函数y=31-x 中自变量x 的取值范围是 _______ ．考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解． 解答： 解：依题意，得x ﹣3＞0，解得x ＞3．点评： 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．变式二：若式子x x 1+有意义，则x 的取值范围是_______ ．考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析： 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x ≥﹣1，又因为分式的分母不能为0，所以x 的取值范围是x ≥﹣1且x ≠0．点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子a （a ≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义； 当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．3.二次根式的相关等式例题三：对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ）A ．a a =B ．a a -=2C ． a a ±=2D ． a a =2 考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题．分析： 根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答： 解：A 、a 为负数时，没有意义，故本选项错误；B 、a 为正数时不成立，故本选项错误；C 、a a =2，故本选项错误．D 、故本选项正确． 故选D ．点评： 本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．练习题 11x x>0）、2、当x在实数范围内有意义？3、当x11x+在实数范围内有意义？4、下列式子中，是二次根式的是（）A．．x 5．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1 x6．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．15D．以上皆不对7．形如________的式子叫做二次根式．8．面积为a的正方形的边长为________．9．负数________平方根．10、计算1．2（x≥0）2．23．24． 2课后作业1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？3．4.x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．6、计算（1）2 （2）-）2 （3）（122 （4）（ 2(5)练习题与课后作业答案练习题1、 x>0）、x ≥0，y ≥0）；不、1x 1x y +．2、 解：由3x-1≥0，得：x ≥13， 当x ≥13在实数范围内有意义．3、 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义． 4．A 5．D 6．B7a ≥0） 8 9．没有10、解：（1）因为x ≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9作业题1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：．2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0x2在实数范围内没有意义．3.1 34．B5．a=5，b=-46、．（1）2=9 （2）-2=-3 （3）（122=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-621.2二次根式的乘除法知识点1.二次根式的乘法 )0,0(≥≥=⋅b a ab b a ),0(o b a b a ab ≥≥⋅=2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：)0,0(>≥=b a ba b a)0,0(>≥=b a ba b a （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
(带答案)人教版初中数学二次根式重点知识点梳理
（带答案）人教版初中数学二次根式重点知识点梳理（文末附答案）单选题1、如果一个三角形的三边长分别为1、k 、4. 则化简|2k －5|－√k 2−2k +36的结果是……（ ）A ．3k －11B ．k+1C ．1D ．11－3k2、下列各式中正确的是（ ）A ．√42=±4B ．√(−4)2=−4C ．−√(−4)2=−4D ．√(a)2=a3、式子√a+1a−2有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞24、下列根式中是最简二次根式的是( )A ．√23B ．√3C ．√9D ．√125、对于无理数√3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（）． A ．2√3−3√2B ．√3+√3C ．(√3)3D ．0×√36、下面说法正确的是（ ）A ．被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B ．√8与√80是同类二次根式C ．√2与√150不是同类二次根式D ．同类二次根式是根指数为2的根式7、在根式√2，√75，√150，√127，√15中，与√3是同类二次根式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、下列各式是最简二次根式的是（ ）A ．√13B ．√12C ．√a 2D ．√53填空题9、计算：√27−√3＝_____10、已知数a 、b 、c 在数粒上的位置如图所示，化简√a 2−|a +c|+√(c −b)2−|−b |的结果是______．11、如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________cm 2.12、计算：√27⋅√83÷√12=__________． 13、计算6√5﹣10√15的结果是_____． 解答题14、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=53√3， √23=√2×33×3=√63，√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2×(√3−1)(√3)2−12=√3−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3√3√3+1=√3−1（1）请用不同的方法化简√5+√3；（2）化简：√3+1√5+√3√7+√5+⋅⋅⋅√2n+1+√2n−1．15、计算：（1）√8−√273+|√2−3|；（2）(2+√3)(2−√3)−√18÷√2．（带答案）人教版初中数学二次根式_00E参考答案1、答案：A解析：试题解析：∵三角形的三边长分别为1，k，4，∴{1+4>kk<5，4−1<k，解得3<所以，2k–5>0，k–6<0，∴|2k–5|–√k2−12k+36=2k–5–√(k−6)2=2k–5–[–（k–6）]=3k–11．故选A．2、答案：C解析：根据二次根式的性质化简即可．解：A、√42=4，故本选项错误；B、√(−4)2=4，故本选项错误；C、−√(−4)2=−4，故本选项正确；D、√(a)2=|a|，故本选项错误；故选：C．小提示：此题考查了二次根式的性质，掌握基本性质是解题的关键．3、答案：C解析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.解：由题意得，a +1≥0,a ≠2解得，a ≥-1且a ≠2，所以答案是：C.小提示：本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握.4、答案：B解析：A ．√23=√63，故此选项错误； B ．√3是最简二次根式，故此选项正确；C ．√9=3，故此选项错误；D ．√12=2√3，故此选项错误；故选B ．5、答案：D解析：分别计算出各选项的结果再进行判断即可．A ．2√3−3√2不能再计算了，是无理数，不符合题意；B ．√3+√3=2√3，是无理数，不符合题意；C ．(√3)3=3√3，是无理数，不符合题意；D ．0×√3=0，是有理数，正确．故选：D ．小提示：此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．6、答案：A解析：试题解析：A 、被开方数相同的二次根式若能化简，化简后一定被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；B 、∵√8=2√2；√80=4√5； ∴√8与√80不是同类二次根式，故本选项错误；C 、∵√150=√5050=5√250=√210，∴√2与√150是同类二次根，故本选项错误；D 、同类二次根式不仅是根指数为2的根式，还要化简后被开方数相同，故本选项错误．故选A ．7、答案：B解析：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，继而可得出答案．∵√75=5√3，√150=√210，√127=√39，故与√3是同类二次根式的有：√75，√127，共2个,故选B. 小提示：本题考查了同类二次根式的知识，解题的关键是掌握同类二次根式是化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．8、答案：A解析：根据最简二次根式的定义即可求出答案．解：A、√13是最简二次根式，故选项正确；B、√12=2√3，不是最简二次根式，故选项错误；C、√a2=|a|，不是最简二次根式，故选项错误；D、√53=√153，不是最简二次根式，故选项错误；故选：A小提示：本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．9、答案：2√3解析：先将√27化为3√3，再合并同类二次根式即可．解：√27−√3=3√3−√3=2√3．所以答案是：2√3．小提示：此题考查了二次根式的加减法，把√27化为3√3是解答此题的关键．10、答案：0解析：首先根据数轴可以得到c＜a＜0＜b，然后则根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质即可化简．解：根据数轴可以得到：c＜a＜0＜b，则c-b＜0，a+c＜0，则原式=|a|−|a+c|+|c−b|−|−b|=-a+（a+c）+（b-c）-b=-a+a+c+b-c-b=0．故答案是：0．小提示：本题考查了二次根式的性质、整式的加减、以及绝对值的性质，解答此题，要弄清√a2=|a|11、答案：8√3-12解析：根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，√12＝2√3cm，∴AB＝4cm，BC＝（2√3＋4）cm，∴空白面积＝（2√3＋4）×4－12－16＝8√3＋16－12－16＝（8√3－12）cm2，故答案为8√3－12.小提示：本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB、BC的长度，从而求出空白部分面积.12、答案：12解析：根据二次根式的乘除运算计算即可；√27⋅√83÷√12=√27×83×2=√9×16=3×4=12．故答案是12．小提示：本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键．13、答案：4√5解析：首先化简√15，然后再合并同类二次根式即可．解：原式=6√5-10×√55=6√5-2√5=4√5，故答案为4√5．小提示：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．14、答案：（1）√5−√3；（2）√2n+1−12解析：（1）分母有理化的两种方法：①分子因式分解达到约分的目的；②同乘分母的有理化因式达到约分的目的；（2）先分母有理化，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．（1）①√5+√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=√5−√3；②√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)2=√5−√3；（2）原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋅⋅⋅+√2n+1−√2n−12=√3−1+√5−√3+√7−√5+⋅⋅⋅+√2n+1−√2n−12=√2n+1−12．小提示：本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．15、答案：（1）√2；（2）−2解析：（1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简绝对值，进而根据实数的性质进行计算即可；（2）根据平方差公式，二次根式的除法运算进行计算即可（1）解：原式=2√2−3+3−√2，=√2．（2）解：原式=1−3，=−2．小提示：本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键．。
人教版九年级数学上学期 第二十一章 专题复习 二次根式小结与复习
二次根式小结与复习本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质：①②③④3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．①二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
即：先化简二次根式，但二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽的因数，然后合并被开方数相同的二次根式．注意：对于二次根式的加减，•关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．②二次根式的乘法：③二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时要考虑字母的取值范围，运算结果化成最简二次根式．④二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成8．⑤有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：A．与；B．与C．与；D．与利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若m＜0，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．二次根式强化训练与复习巩固自测试题【时间60分钟满分100分】一、填空题：（每小题2分，共20分）1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算_________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．一、填空题：1． 8；2．；3．，；4．；5．；6．（1）（2）（3）7．；8．；9．4；10．；二、选择题：（每小题2分，共20分）1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．2．计算得（）A．；B．C．D．173．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B． C．D．5．计算的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B．C．D．以上答案都不对7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．9．的值为（）A．B．C．D．10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且二、选择题：1．B；2．B；3．C；4．A；5．A；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；三、计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）三、计算与化简：（1）96 （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，•再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．解：原式．四、求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．1．02．已知，求的值。
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。
b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。
d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。
e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。
3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。
b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。
c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。
4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。
【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。
初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析
《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
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初三数学知识点 第一章二次根式知识点1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a . 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=•b a ab b a ；()0,0>≥=b a b aba . 3 二次根式的加减：二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=,S 是三角形的面积,p 为2cb a p ++=.第一章二次根式21.1二次根式练习一、选择题1．下列式子中,是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子中,不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,•底面应做成正方形,试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时2在实数范围内有意义？3有意义,．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数,求a 、b 的值．第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习1. 当0a ≤,0b时__________=.2. ,则_____,______m n ==.3. __________==.4. 计算：_____________=.5. ,面积为则长方形的长约为 （精确到0.01）.6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）7. 已知0xy ,化简二次根式的正确结果为（ ）C. D.8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ）A. 2a b =+a b =+22a b =+a b =+9. -和- ）A. 32--B. 32--C. -=-不能确定10. 以下说法中不正确的是（ ）A. 它是一个非负数B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为3 11. 计算：()1()2()(()30,0a b -≥≥ ())40,0ab()5()6⎛÷ ⎝12. 化简：())10,0a b ≥≥ ()2()3a13. 把根号外的因式移到根号内：()1.-()(2.1x -第一章二次根式21.3 二次根式的加减练习1. 下列根式中,是同类二次根式的是（ ）2. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. ）4. 下列根式中,是最简二次根式的是（ ）5. 若12x, ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -36. 10=,则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±7. x ,小数部分为y ,y -的值是（ ）A. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ）=a b =-C. (a b =-2==9. ,是同类二次根式的是 .10.若最简二次根式,则____,____a b ==.11. ,则它的周长是 cm.12. ,则______a =.13. 已知x y ==则33_________x y xy +=.14. 已知x =,则21________x x -+=.15.)()20002001232______________+=.16. 计算：⑴.⑵(231⎛+ ⎝⑶. (()2771+-- ⑷. ((((22221111++-17. 计算及化简：⑴. 22- ⑵⑶⑷-18. 已知：x y ==求32432232x xy x y x y x y -++的值.19. 已知：11a a +=求221a a+的值.20. 已知：,x y 为实数,且13y x -+,化简：3y -21. 已知11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值.第一章二次根式单元练习（一）判断题：（每小题1分,共5分）．1．2)2(＝2．……（ ）2．21x --是二次根式．（ ）3．221213-＝221213-＝13－12＝1．（ ）4．a ,2ab ,ac1是同类二次根式．（ ） 5．b a +的有理化因式为b a -．（ ）（二）填空题：（每小题2分,共20分）6．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________．7．当x ____________时,二次根式32-x 有意义．8．比较大小：3－2______2－3． 9．计算：22)21()213(-等于__________． 10．计算：92131·3114a ＝______________． 11．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则3a －2)43(b a -＝______________． 12．若8-x ＋2-y ＝0,则x ＝___________,y ＝_________________．13．3－25的有理化因式是____________．14．当21＜x ＜1时,122+-x x －241x x +-＝______________． 15．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式,则a ＝_______,b ＝_____．（三）选择题：（每小题3分,共15分）16．下列变形中,正确的是………（ ）（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)52(-＝－52（C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-⨯-＝49⨯17．下列各式中,一定成立的是……（ ）（A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1（C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ）b a ＝b1ab18．若式子12-x －x 21-＋1有意义,则x 的取值范围是………（ ） 11119．当a ＜0,b ＜0时,把ba化为最简二次根式,得………………………（ ） （A ）ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b-1 （D ）ab b20．当a ＜0时,化简|2a －2a |的结果是（ ）（A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a（四）在实数范围内因式分解：（每小题4分,共8分）21．2x 2－4； 22．x 4－2x 2－3．（五）计算：（每小题5分,共20分）23．（48－814）－（313－5.02） 24．（548＋12－76）÷325．50＋122+－421＋2(2－1)026．（b a 3－b a ＋2a b ＋ab ）÷a b（六）求值：（每小题6分,共18分）27．已知a ＝21,b ＝41,求b a b -－ba b+的值．28．已知x ＝251-,求x 2－x ＋5的值．29．已知y x 2-＋823-+y x ＝0,求(x ＋y )x的值．（七）解答题：30．（7分）已知直角三角形斜边长为（26＋3）cm,一直角边长为（6＋23）cm,求这个 直角三角形的面积．31．（7分）已知|1－x |－1682+-x x ＝2x －5,求x 的取值范围．第一章二次根式21.1二次根式练习答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x,则0.2x2=1,解答：2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩,320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x ≠0时x 2在实数范围内没有意义．3.134．B 5．a=5,b= - 4第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习答案1. -2. 1、2；3. 18；4. -5；5. 2.83； 6——10： DDCAB11. ()()()()()()2221.6,2.15,3.20,4.5.1,6.x a b aba --12. ()()()123.0ab；13. ()()1.2.第一章二次根式21.3 二次根式的加减练习答案1——8：BAACCCCC10. 1、1；11. (； 12. 1； 13. 10；14. 4-；2； 16. ()()()()122,3.454.4-+； 17. ()()()()()21.4,23.,4.1x y y x-+-； 18. 5；19. 9+ 20. -1； 21. 2第一章二次根式单元练习答案（一）判断题：（每小题1分,共5分）．1．√；2．×；3．×；4．√；5．×． （二）填空题：（每小题2分,共20分）32a12． 8,2． 13． 3＋25． 14． 23－2x ． 15． 1,1． （三）选择题：（每小题3分,共15分）16． D ．17． B ．18． C ．19． B ．20． D ．（四）在实数范围内因式分解：（每小题4分,共8分）21．先提取2,再用平方差公式．【答案】2（x ＋2）（x －2）．22．【提示】先将x 2看成整体,利用x 2＋px ＋q ＝（x ＋a ）（x ＋b ）其中a ＋b ＝p ,ab ＝q 分解．再用平方差公式分解x 2－3．【答案】（x 2＋1）（x ＋3）（x －3）．（五）计算：（每小题5分,共20分）23．【提示】先分别把每一个二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式． 【答案】33．24．【解】原式＝（203＋23－76）×31＝203×31＋23×31－76×31 ＝20＋2－76×33＝22－221． 25．【解】原式＝52＋2(2－1)－4×22＋2×1 ＝52＋22－2－22＋2＝52．26．【解】原式＝（b a 3－b a ＋2a b ＋ab ）·ba ＝b a 3·b a －b a ·b a ＋2a b ·b a ＋ab ·ba ＝a －2)(b a ＋2＋2a＝a 2＋a －ba ＋2． （六）求值：（每小题6分,共18分）27．【解】原式＝))(()()(b a b a b a b b a b +---+ ＝b a b ab b ab -+-+ ＝b a b -2． 当a ＝21,b ＝41时, 原式＝ 4121412-⨯ ＝2． 28．【解】∵ x ＝251-＝4525-+＝25+． ∴ x 2－x ＋5＝(5＋2)2－(5＋2)＋5＝5＋45＋4－5－2＋5＝7＋45．29．【解】∵ y x 2-≥0,823-+y x ≥0,而 y x 2-＋823-+y x ＝0,∴ ⎩⎨⎧=-+=-.082302y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.12y x∴ (x ＋y )x ＝(2＋1)2＝9．（七）解答题：30．【解】在直角三角形中,根据勾股定理： 另一条直角边长为：22)326()362(+-+＝3（cm ）． ∴ 直角三角形的面积为：S ＝21×3×（326+）＝23336+（cm 2） 答：这个直角三角形的面积为（23336+）cm 2． 31．【解】由已知,等式的左边＝|1－x |－2)4(-x ＝|1－x |－|x －4 右边＝2x －5．只有|1－x |＝x －1,|x －4|＝4－x 时,左边＝右边．这时⎩⎨⎧≤-≤-.0401x x 解得1≤x ≤4． ∴ x 的取值范围是1≤x ≤4．。