八年级数学下册 第三章《分式的加减》课件 北师大版
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数学3.3《分式的加减法》课件3(北师大版八年级下)
= x x2 5x 6 x(x 3)
= x2 4x 6 x(x 3)
= x2 4x 6 x2 3x
除以变乘以 通分 约分
例2：
x
x
2
x
x
2
4x x2
解：原式=
x
x
2
x
x
2
x2 4x
两种做法：（1）先计算括号内的再做乘法；
2a a2
2
a2
m3
自学指导二：（6分钟）
例一
x
1
3
x2 x2
2x 1 x
x 1 x2
解：原式= 1 (x 1)2 x 2
x 3 x(x 1) x 1
1 x2 x3 x
x (x 2)(x 3) x(x 3) x(x 3)
（2）分配律
思考：两种做法那个更好？
观察：下面的题目能运用分配律吗？
a2
1 b2
a
1
b
a
1 b
自学检测2：（8分钟）
(1)
a
1
2
1
a2 4 a2 3a
(2) x
1
1
x
x
(3)1 3a 3a 2b 2b 2b 3a
甲：1000m 1000n m n (元 / 千克)
1000 1000
2
乙：800
800
800 m
分式的加减法课件数学北师大版八年级下册
x －y
x －y
4 x－y
4
.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－
b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－
1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)
－
－
－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)
－ 1；
+
a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)
( －)
－
；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .
x －y
4 x－y
4
.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－
b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－
1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)
－
－
－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)
－ 1；
+
a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)
( －)
－
；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .
北师大版数学八年级下册5.3 分式的加减法运算课件(共21张PPT)
同分母的分式相加减，分母不变， 分子相加减.
【例1】 计算：
x （1）3x 1
3 3x 1
2
x
（2） x2 4 x2 4
（3）
x2 x2 1
3 x 1 x2
x-3 3x 1
1 x2
1 x2 1
（ 1）1 b aa
1 b a
(2) a b ab ab
(2) x 2 x 1 x 3 x1 x1 x1
解：原式 （x 2）（x 1）（x 3） x 1
x 2 x1 x3 x x1
x 1 “把分子相加减”就是把各个分式的 分子“整体”相加减.在这里要加上括号.
回顾与思考 ：法则是基石 【同分母分式加减法的法则】
1. a2
1. ［同分母分式加减法的法则］
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.
２.注意：
⑴“把分子相加减”就是把各个分式的分子
“整体”相加减.在这里要加上括号.
⑵分式加减的结果中，如果分子或分母是多
项式的要因式分解且能约分的要约分,最后要 化成最简分式.
【异分母分式加减法的法则】
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母 的分式，再按同分母分式的加减法法则进行 计算.
1
(3) ( x y)2 ( x y)2
xy
xy
4
从甲地到乙地有两条路,每
一条路都是 3 km. 其中第一条
是平路,第二条有1 km的上坡路，
2 km的下坡路.小明在上坡路上
的骑车速度为v km/h, 在平路上
的骑车速度为2v km/h, 在下坡路
上的骑车速度为3v km/h, 那么:
3 分式的加减法
【例1】 计算：
x （1）3x 1
3 3x 1
2
x
（2） x2 4 x2 4
（3）
x2 x2 1
3 x 1 x2
x-3 3x 1
1 x2
1 x2 1
（ 1）1 b aa
1 b a
(2) a b ab ab
(2) x 2 x 1 x 3 x1 x1 x1
解：原式 （x 2）（x 1）（x 3） x 1
x 2 x1 x3 x x1
x 1 “把分子相加减”就是把各个分式的 分子“整体”相加减.在这里要加上括号.
回顾与思考 ：法则是基石 【同分母分式加减法的法则】
1. a2
1. ［同分母分式加减法的法则］
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.
２.注意：
⑴“把分子相加减”就是把各个分式的分子
“整体”相加减.在这里要加上括号.
⑵分式加减的结果中，如果分子或分母是多
项式的要因式分解且能约分的要约分,最后要 化成最简分式.
【异分母分式加减法的法则】
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母 的分式，再按同分母分式的加减法法则进行 计算.
1
(3) ( x y)2 ( x y)2
xy
xy
4
从甲地到乙地有两条路,每
一条路都是 3 km. 其中第一条
是平路,第二条有1 km的上坡路，
2 km的下坡路.小明在上坡路上
的骑车速度为v km/h, 在平路上
的骑车速度为2v km/h, 在下坡路
上的骑车速度为3v km/h, 那么:
3 分式的加减法
分式的加减法(第3课时)北师大数学八年级下册PPT课件
解：蓄水池总量：ap t.
ap
同时开放所需时间：a b
h.
提前时间：p ap bp h.
ab ab
探究新知
知识点 2 分式的混合运算
思考：如何计算
2a b
2
•
a
1 -
b
-
a b
b？
4
请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立 完成.
探究新知
解：
2a b
2
•
a
1 b
a b
b 4
所以原式
3 x3
3 3 10 . 10 10
探究新知
素养考点 2 异分母分式加减的实际应用
根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120 m 的盲道.由于
采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加
10 m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m，那么
（1）原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多 少天？
xy 1y 1
y2 1 xy2 x .
ห้องสมุดไป่ตู้
确定最简公 分母为
x(y+1)(y-1)
探究新知
（2）
x2 x 1 x 1
（2）解法1： x2 x 1
x 1
xx2 2 xx11x1
xx11 x11
x2 x 1x 1
x
2
1x
x 2.
1
1
x x 11
x2 x2 1. x 1
解法2：
x2 x 1
x
质是平方差公式的应用.
解：原式
a
1
b
a
1
b
•
a
1
北师大初中八年级数学下册《分式的加减法》课件.ppt
P74
m 2n 计算： + nm
n － mn
2n nm
例题解析
怎样进行分式的加减运算?
例 1 计算:
3 a 15 1 ; a 5a
2 x 1 2 . x 1 1 x
当两分式的分母互为相反数时,要 利用分式的符号法则----提出某一 个分母中的负号,化为同分母.
2 把 中的分母化为 (1 x ), 再计算. x 1
自我发展的平台
想一想 想一想
会分数的加减，就会分式的加减
1、同分母分数加减法的法则是什么？
1 2 ? 2、你认为 a a
3、猜一猜, 同分母的分式应该如何加减?
想一想 想一想
会分数的加减，就会分式的加减
【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，分母不变,分子相 加减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减，分母不变,分子相 加减 ab b a ± = c c c
2 3v
它们中的较大者减去较小者，便可求出
.
1 2 3 如果要比较（ v + 3v ）与 2v 的大小，
就比较难了，因为它们的分母中都含有 字母.那该怎么办呢？
比较两个数的大小，我们可以用求差法 3 2 1 （ v + 3v ）－ 2v ，如何判断它大于零， 等于零，小于零呢？ 我们不妨观察式子中的每一项都是分式， 这是什么样的运算呢？
如何找公分母?
小明认为, 只要所异分母的分式化成 同分母的分式, 异分母的分式的问题就变 成了同分母分式的加减问题. 小亮同意小 明的这种看法, 但他俩的具体做法不同：
如何找公分母?
3 1 34 a a 4a a 4a 4a a
13 a 12 a a 13 2 2 ; 2 4a 4a 4a 4a
m 2n 计算： + nm
n － mn
2n nm
例题解析
怎样进行分式的加减运算?
例 1 计算:
3 a 15 1 ; a 5a
2 x 1 2 . x 1 1 x
当两分式的分母互为相反数时,要 利用分式的符号法则----提出某一 个分母中的负号,化为同分母.
2 把 中的分母化为 (1 x ), 再计算. x 1
自我发展的平台
想一想 想一想
会分数的加减，就会分式的加减
1、同分母分数加减法的法则是什么？
1 2 ? 2、你认为 a a
3、猜一猜, 同分母的分式应该如何加减?
想一想 想一想
会分数的加减，就会分式的加减
【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，分母不变,分子相 加减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减，分母不变,分子相 加减 ab b a ± = c c c
2 3v
它们中的较大者减去较小者，便可求出
.
1 2 3 如果要比较（ v + 3v ）与 2v 的大小，
就比较难了，因为它们的分母中都含有 字母.那该怎么办呢？
比较两个数的大小，我们可以用求差法 3 2 1 （ v + 3v ）－ 2v ，如何判断它大于零， 等于零，小于零呢？ 我们不妨观察式子中的每一项都是分式， 这是什么样的运算呢？
如何找公分母?
小明认为, 只要所异分母的分式化成 同分母的分式, 异分母的分式的问题就变 成了同分母分式的加减问题. 小亮同意小 明的这种看法, 但他俩的具体做法不同：
如何找公分母?
3 1 34 a a 4a a 4a 4a a
13 a 12 a a 13 2 2 ; 2 4a 4a 4a 4a
北师大版八年级数学下册《分式的加减法》分式与分式方程PPT(第3课件)
=1 x 1
x2 (2) x 1
x 1
第五页，共二十页。
(3) a 1 a 1 a 3 a2 9 a 3
活动探究
探究点一
问题1：计算：
(1) y 1 xy x xy x
x2 (2) x 1
x 1
(3) a
a
3
a2
1
9
a a
1 3
=
a(a a2
3） 9
a2
1
9
（a
1）(a a2 9
1120 x
1120 x+10
=
1120（x+10）
x x+10
x11x2+01x0=
11200 x2 10x
答：（1）原计划修盲道需要
天11，20实际修建这条盲道用了
x
（2）实际修建这条盲道的工期比原第十计页，共划二十缩页。短了
11200
天x2. 10x
天11，20
x+10
强化训练
1.化简
第九页，共二十页。
活动探究
探究点三
问题：根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长1120米得盲道.由于采用新的施工
方式，实际每天修建盲道的速度比原计划增加10米，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲
道x m,那么
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了多少天？
解：实际修建这条盲道的工期比原计划缩短的天数为
3)
= a(a 3）+1-(a-1)(a-3) a2 9
= 7a 2 a2 9
(3) a 1 a 1 a 3 a2 9 a 3
第六页，共二十页。
活动探究
问题2：计算
x2 (2) x 1
x 1
第五页，共二十页。
(3) a 1 a 1 a 3 a2 9 a 3
活动探究
探究点一
问题1：计算：
(1) y 1 xy x xy x
x2 (2) x 1
x 1
(3) a
a
3
a2
1
9
a a
1 3
=
a(a a2
3） 9
a2
1
9
（a
1）(a a2 9
1120 x
1120 x+10
=
1120（x+10）
x x+10
x11x2+01x0=
11200 x2 10x
答：（1）原计划修盲道需要
天11，20实际修建这条盲道用了
x
（2）实际修建这条盲道的工期比原第十计页，共划二十缩页。短了
11200
天x2. 10x
天11，20
x+10
强化训练
1.化简
第九页，共二十页。
活动探究
探究点三
问题：根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长1120米得盲道.由于采用新的施工
方式，实际每天修建盲道的速度比原计划增加10米，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲
道x m,那么
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了多少天？
解：实际修建这条盲道的工期比原计划缩短的天数为
3)
= a(a 3）+1-(a-1)(a-3) a2 9
= 7a 2 a2 9
(3) a 1 a 1 a 3 a2 9 a 3
第六页，共二十页。
活动探究
问题2：计算
《分式的加减法》分式PPT课件-北师大版八年级数学下册
(少(的路上：21))用骑的他当到多车骑走走乙长速车哪第地时度速二条需间度为条路要?为2花路多v3费时长kvmk时，时m/h间间/他，h少?，从在?甲那下地么坡
答：
(1)v1
2 3v
(h)
(2) 走第一条路花费的时间
3 (h)
2v
哪条路用的时间少?
示意图
v
12v
3v
2
这是关于分式的加 减问题, 你行吗?
试用含有R1的式子表示总电阻R.
A
C
D
B
解:因为
1 1 1 1 1 R R1 R2 R1 R1 50
R1 50
R1 R1 50
R1
R1 R1 50
2R1 50
R1 R1 50
即
1 R
2R1 50
R1 R1 50
所以 R R1 R1 50 R12 50R1
2R1 50 2R1 50
4ab b2 (a b)
4a ab b2
计算:
我们的收获
（1）分式加减运算的方法思路:
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 分母不变 分子（整式）
相加减 转化为
相加减
（2）分子相加减时, 如果分子是一个多项式, 要将分 子看成一个整体, 先用括号括起来, 再运算, 可减少出现 符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分, 化为最 简分式（或整 式）。
（2）你认为异分母分式的加减应该如何进行？
比如 : 3 1 如何计算？ a 4a
想想一一想想 会分数的加减, 就会分式的
1、加异减分母的分数如何加减?
如:
3 5
1 20
?
2、你认为异分母的分式应该如何加减?
答：
(1)v1
2 3v
(h)
(2) 走第一条路花费的时间
3 (h)
2v
哪条路用的时间少?
示意图
v
12v
3v
2
这是关于分式的加 减问题, 你行吗?
试用含有R1的式子表示总电阻R.
A
C
D
B
解:因为
1 1 1 1 1 R R1 R2 R1 R1 50
R1 50
R1 R1 50
R1
R1 R1 50
2R1 50
R1 R1 50
即
1 R
2R1 50
R1 R1 50
所以 R R1 R1 50 R12 50R1
2R1 50 2R1 50
4ab b2 (a b)
4a ab b2
计算:
我们的收获
（1）分式加减运算的方法思路:
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 分母不变 分子（整式）
相加减 转化为
相加减
（2）分子相加减时, 如果分子是一个多项式, 要将分 子看成一个整体, 先用括号括起来, 再运算, 可减少出现 符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分, 化为最 简分式（或整 式）。
（2）你认为异分母分式的加减应该如何进行？
比如 : 3 1 如何计算？ a 4a
想想一一想想 会分数的加减, 就会分式的
1、加异减分母的分数如何加减?
如:
3 5
1 20
?
2、你认为异分母的分式应该如何加减?
北师大版八年级下册分式的加减课件
减的法则进行计算。
通分的第一步是确定公分母，找各分母的最小公倍数作为他们的 公分母，第二步是根据分数的基本性质化为同分母分式。
新知导入
分数的加减 类 比
分式的加减
1.同分母分数的加减 2.异分母分数的加减
分数的加减综合运算
1.同分母分式的加减 2.异分母分式的加减
分式的加减综合运算
2.你认为 3 1 ? a 4a
x2
经典例题
(3) m 2n 4m n mn mn
(4) x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x 1
解:原式 m 2n (4m n) mn
3m 3n mn
解:原式 x 2 (x 1) (x 3)
x 1
x 2 x1 x3 x
x 1
x 1
3(m n) mn
3v
多长时间?
(1) 1 2 3 2 5（h）
2v
v 3v 3v 3v 3v
经典例题
（2）小丽从家到学校需要 3 h. 因为 5 ＞ 3 2v 3v 2v
示意图
v
3v
2v
所以小丽在路上花费的时间少
小丽比小刚在路上花费时间少
5 3v
3 2v
10 6v
9
1 6v
(h)
.
灵活应用
计算:
12 m2
新知导入
分数的加减
类 比
分式的加减
1.同分母分数的加减 2.异分母分数的加减
分数的加减综合运算
1.同分母分式的加减 2.异分母分式的加减
分式的加减综合运算
2.你认为 1 2 3 aa a
12 1 aa a
新知讲授
3.猜一猜,同分母的分式应该如何加减? 同分母的分式运算法则：
通分的第一步是确定公分母，找各分母的最小公倍数作为他们的 公分母，第二步是根据分数的基本性质化为同分母分式。
新知导入
分数的加减 类 比
分式的加减
1.同分母分数的加减 2.异分母分数的加减
分数的加减综合运算
1.同分母分式的加减 2.异分母分式的加减
分式的加减综合运算
2.你认为 3 1 ? a 4a
x2
经典例题
(3) m 2n 4m n mn mn
(4) x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x 1
解:原式 m 2n (4m n) mn
3m 3n mn
解:原式 x 2 (x 1) (x 3)
x 1
x 2 x1 x3 x
x 1
x 1
3(m n) mn
3v
多长时间?
(1) 1 2 3 2 5（h）
2v
v 3v 3v 3v 3v
经典例题
（2）小丽从家到学校需要 3 h. 因为 5 ＞ 3 2v 3v 2v
示意图
v
3v
2v
所以小丽在路上花费的时间少
小丽比小刚在路上花费时间少
5 3v
3 2v
10 6v
9
1 6v
(h)
.
灵活应用
计算:
12 m2
新知导入
分数的加减
类 比
分式的加减
1.同分母分数的加减 2.异分母分数的加减
分数的加减综合运算
1.同分母分式的加减 2.异分母分式的加减
分式的加减综合运算
2.你认为 1 2 3 aa a
12 1 aa a
新知讲授
3.猜一猜,同分母的分式应该如何加减? 同分母的分式运算法则：
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解：（按运算顺序） 原式
(3x x2x 4 2xx x 2 4 2)•x2x 4
= 2x2 8x • x2 4
x2 4 = 2x8
x
(利用乘法分配律) 原式
3 x• x x 2 2 x x 2 x• x x 2 2 x x 2
3 x 2 x 2
2x8
自学指导二
看例题3：思考：
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?
解:(1)原计划修建需
1120
天
实际修建需
x
1120 天
x 10
(2)实际修建比原计划缩短了 1x120x111200x1x11200 0(天)
课堂小结
知道异分母分式相加减的法则，那就 是：先通分，化为同分母的分式，然 后再按同分母分式的加减法法则进行 计算。
学习目标
•掌握异分母分式 的加减。
自学指导
• P82-83例题3之前的内容， 思考：
• 异分母分式怎样加减？
做一做
1、
4 1 a2 a
4a a2
2、 1 1 a b
ab
ab
3、
abbc ab bc
a a • b c b c a a b • b c cb a c a b c c a ac
4、 b a 2b2 3a2 3a 2b 6ab
通分练习
11
x3
1 x3 x3 x2 9
1 x3
11
x3 x2 9
a （2） 2
, 4
a
2
解:
11
a2 4 a2 4
a1 2aa 2 a 22a a2 2 4
练习提高
1、用两种方法计算： ( 3x x )•x24 x2 x2 x
工作量、工作时间、 工作效率之间的关 系。
分式加减的应用
例：根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长 1120m的盲道，由于采 用新的施工方式,实际每天修建盲道 的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期,假设原计划每天 修建盲道x m，那么
（1）原计划修建这条盲道需少天?实际修建这条盲道用了多少天？
堂堂清作业 P84-85—— T 1, 2, T3, 4做在书上
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