高一数学教案集第二十八教时函数的应用举例二
人教版高中数学教案：第4章：三角函数,教案,课时第 (28)
第二十八教时教材：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性目的：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
过程：一、复习：y=sinx y=cosx (x ∈R)的图象二、提出课题：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 1．（观察图象） 1︒正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx, cos(2k π+x)=cosx 也可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。
2．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）三、y=sin ωx, y=cos ωx 的最小正周期的确定 例一 求下列三角函数的周期：1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π)解：1︒ 令z= x+3π 而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z)f [(x+2)π+3π]=f (x+3π) ∴周期T=2π 2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π3︒令z=2x +5π 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π)=3sin(524ππ++x )=f (x +4π) ∴T=4π 小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A ≠0, x ∈R) 周期T=ωπ2y=Acos(ωx+φ)也可同法求之例二 P54 例3例三 求下列函数的周期： 1︒y=sin(2x+4π)+2cos(3x-6π) 2︒ y=|sinx| 3︒ y=23sinxcosx+2cos 2x-1 解：1︒ y 1=sin(2x+4π) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6π) 最小正周期 T 2=32π∴T 为T 1 ,T 2的最小公倍数2π ∴T=2π2︒ T=π 作图注意小结这两种类型的解题规律 3︒ y=3sin2x+cos2x ∴T=π四、小结：周期函数的定义，周期，最小正周期 五、作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3《精编》P86 20、21补充：求下列函数的最小正周期： 1．y=2cos(34π+x)-3sin(4π-x )2．y=-cos(3x+2π)+sin(4x-3π) 3．y=|sin(2x+6π)| 4．y=cos 2θsin 2θ+1-2sin 22θπ 2π 3π -π。
《高中数学必修1“函数的应用”教学设计及应用课教学研...（精选5篇）
《高中数学必修1“函数的应用”教学设计及应用课教学研...（精选5篇）第一篇：《高中数学必修1“函数的应用”教学设计及应用课教学研...味是屋：”年散的趟下眼不们开中偷丛这着，在笑抖里个，的青睛乡寻星杂，着了的，夫着几雨舒的的飞。
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活风步薄膊胳的混迷第二篇：高中数学必修1知识点总结：第三章函数的应用高中数学必修1知识点总结第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点．3、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：（代数法）求方程f(x)=0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函○数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．１）△＞０，方程ax+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程ax+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程ax+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 222第三篇：高中数学必修1函数模型及其应用法制教育渗透教案数学教学中渗透法制教育教案 2.6 函数模型及其应用Ⅰ.教学目标：1.知识目标：(1)、掌握函数应用题的一般解题步骤.(2)、了解函数模型的意义.3.法制教育目标：(1)、《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条.(2)、《中华人民共和国人口与计划生育法》第一条、第二条、第九条.Ⅱ.重难点：把实际问题转化为函数模型.Ⅲ.教具：多媒体Ⅳ.教学方法：学导式Ⅴ.探究过程：例1、（2011山东威海月考）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25％的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_______小时才能开车。
高一数学教案：函数的应用_2
教学内容
备课札记
例3某地1990年底人口为500万人，人均住房面积为6m2。如果该地区的人口年平均增长率为0.190。为了使2010年底人均住房面积增加到7m2，平均每年新增住房面积为多少m2？（精确到1万m2）
例4、如图是由5对滚筒组成的一台冷轧机，送进去的钢板厚度为2 .1mm，经过各对滚筒逐步减薄后输出，生产出厚度为0.2mm的带钢。；
（1）如果在每对滚筒上减薄的百分比不变，试求出该百分比。
（2）如果每对滚筒提供的减薄百分比为25%，那么从2.1mm的钢板到不厚于0 .2mm的带钢输出。至少需要多少对滚筒？
[小结]
1、复利公式y=N（1+p）x的应用非常广泛，不单可以计算货币金额，还可以计算工业产值、农业产量、人口数量等。P>0为递增增长率，p<0表示递减或折旧率。
教学过程
教学内容
备课札记
[作业]
1、5000元存款，储蓄一年后，从利息中取出100元，其余的钱加到本金里再储蓄一年，第二年的利率比第一年高1%，利息比第一年多70元，求第一年利率。
2、某新产品成本价a元，由于不断进行技术革新，每年成本价降低10%，x年后的成本价为（）
A、a（1-10%）x+1B、a（1-10%）x
翔宇教育集团课时设计活页纸
主备人：顾云飞
总课题
函数的应用
总课时
30
第8课时
课题
函数的应用举例（二）
课型
新授
教学目标
1、学会用的模型来解决有关增长率的问题。
2、增强学生的分析问题、解决问题的能力
教学重点
解决有关增长率的问题
教学难点
如何从实际情境中抽象出函数问题
教学过程
4.5 函数的应用(二) 教学设计-2020年秋高中数学人教版(2019)必修一
单元教学设计：4.5 函数的应用（二）一、内容和内容解析1.内容函数的零点与方程的解；用二分法求方程的近似解；函数模型在实际问题中的应用．2.内容解析“函数的应用（二）”是在第三章“函数的应用（一）”的基础上，从两个方面介绍函数的应用．一是数学学科内部的应用，利用所学过的函数研究一般方程的解；二是实际应用，建立实际问题的函数模型，并通过函数模型反映实际问题的变化规律，从而分析和解决实际问题．通过“函数的应用（二）”，使学生进一步理解指数函数和对数函数，学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．基于以上分析，确定本单元教学的重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的思路与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程．二、目标和目标解析1.目标(1)结合二次函数的图象，了解函数零点存在定理．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路与步骤．(3)进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)结合二次函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，并能用函数取值规律来刻画图象穿过x轴的图象特点．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性并了解二分法中的算法思想．(3)结合现实情境中的具体问题，能利用已知函数模型解决实际问题．通过比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义，会选择合适的函数模型解决实际问题．三、教学问题诊断分析在零点存在定理的教学中，学生从具体的函数图象概括出一般化的特征，并用取值规律这一代数形式来表达，这种从形到数的转化是学生思维的障碍．在二分法教学中，从具体的函数出发利用二分法求方程的近似解较为容易，但把二分法的步骤抽象成一般化的算法并用符号来表示是一个难点．在函数模型的应用教学中，利用已知函数模型解决实际问题容易操作，但选择合适的函数模型解决实际问题，需要对不同函数模型的增长规律有一定的了解，并且需要符合实际问题中的条件限制．结合以上分析确定本节课的教学难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题．四、教学过程设计4.5.1 函数的零点与方程的解(一) 引言思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln 260x x +-=这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？(二) 函数的零点与方程的解的关系对于一般函数=y f x ()，我们把使=0f x ()的实数x 叫做函数=y f x ()的零点． 这样，函数=y f x ()的零点就是方程=0f x ()的实数解，也就是函数=y f x ()的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程=0f x ()有实数解 ⇔函数=y f x ()有零点⇔函数=y f x ()的图象与x 轴有公共点．由此可知，求方程=0f x ()的实数解，就是确定函数=y f x ()的零点．对于不能用公式求解的方程=0f x ()，我们可以把它与相应的函数=y f x ()联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．(三) 零点存在定理的导出探究：对于二次函数2=23f x x x --()，观察它的-2 -1 O 1 2 3 4 xy 2 1 -1 -2-2 -1O 1 2 3 4 x y2 1-3 -4 -1 -2图象，发现它在区间24[，]上有零点．这时，函数图象与x 轴有什么关系？在区间20-[，]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f x ()的取值规律来刻画这种关系？可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴．函数在端点=2x 和=4x 的取值异号，即240f f ()()＜，函数2=23f x x x --()在区间24(，)内有零点=3x ，它是方程223=0x x --的一个根．同样地，200f f -()()＜，函数2=23f x x x --()在20-(，)内有零点=1x -，它是方程223=0x x --的另一个根．一般地，我们有：函数零点存在定理：如果函数=y f x ()在区间a b [，]上的图象是一条连续不断的曲线，且有0f a f b ()()＜，那么，函数=y f x ()在区间a b (，)内至少有一个零点，即存在c a b ∈(，)，使得=0f c ()，这个c 也就是方程=0f x ()的解．问题1：条件“连续不断”可以去掉吗？师生活动：学生画出反例，教师强调，图象间断了，虽然函数值异号，仍然没有零点．所以我们要求函数图象连续不断．追问：反之成立吗？即如果函数=y f x ()在区间a b (，)内存在零点，是否有0f a f b ()()＜？师生活动：学生举例说明，教师强调，“连续不断”和“0f a f b ()()＜”是“函数存在零点的”充分条件，而非必要条件． 设计意图：让学生理解零点存在定理的功能是给出一个判定零点存在的充分条件．(四) 零点存在定理的应用例1 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数．分析：可以先列出函数=ln 26y x x +-的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．解：设函数=ln 26f x x x +-()，列出函数=y f x ()的对应值表．根据已有对数知识容易发现2=ln 220f -()＜，3=ln 30f ()＞，则230f f ()()＜． 由函数零点存在定理可知，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内至少有一个零点． 再利用画图软件画出函数=ln 26f x x x +-()的图象，我们看到f x ()是定义域上的单调递增函数，f x ()在区间23(，)内只有一个零点．问题2：为什么由230f f ()()＜还不能说明函数f x ()？ 师生活动：学生举例说明已知0f a fb ()()＜，函数在区间a b (，)内可能存在多个零点．追问1：在原有条件的基础上添加什么条件能够保证f x ()只有一个零点？师生活动：如果函数具有单调性，就能保证只有一个零点． 由此我们得出函数零点存在定理的推论：若=y f x ()在区间a b [，]上是单调函数，其图象是一条连续不断的曲线，且有O 5 10 x y14 12 10 8 6 4 2-2 -4 -60f a f b ()()＜，则函数=y f x ()在区间a b (，)内有且仅有一个零点，即存在唯一的c a b ∈(，)，使得=0f c ()．事实上，=ln y x 与=26y x -在0x ∈+∞(，)上都是增函数，所以=ln 26f x x x +-()，0x ∈+∞(，)是增函数．所以它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解．追问2：你能用定义法证明函数=y f x ()是增函数吗？ 师生活动：120x x ∀∈+∞，(，)，且12x x ＜，有121122=ln 26ln 26f x f x x x x x -+-+-()()()-()1122=ln2x x x x +-()．因为120x x ＜＜，所以1201x x ＜＜，所以12ln0x x ＜，又因为120x x -＜，于是1122ln20x x x x +-()＜，即12f x f x ()＜()． 所以，函数=ln 26f x x x +-()在区间0+∞(，)上单调递增．设计意图：让学生认识到零点存在定理可以证明函数有零点，但不能断定函数无零点或零点个数，如果要判断零点的个数，还要与结论“函数在单调区间上最多有一个零点”相结合．4.5.2 用二分法求方程的近似解(一) 二分法的引入我们已经知道，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内存在一个零点．进一步的问题是，如何在满足一定精确度的前提下求出这个零点呢？(二) 二分法的形成这个问题中设定的精确度为01.，可以理解为近似值与精确值之间的误差不超过01.． 一个直观的想法是：如果能将零点所在的区间尽量缩小，直到区间长度小于等于01.，那么区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间23(，)的中点25.，用计算工具算得250084f ≈-(.).．因为2530f f (.)()＜，所以零点在区间253(.，)内，区间长度为0.5．再取区间253(.，)的中点275.，用计算工具算得2750512f ≈(.).．因为252750f f (.)(.)＜，所以零点在区间25275(.，.)内，区间长度为0.25．由于23(，) 253(.，) 25275(.，.)，所以零点所在的范围变小了． 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小．零点所在区间 区间长度 中点的值 中点的函数值23(，) 125. 0084-. 253(.，) 05. 275. 0512. 25275(.，.) 025. 2625. 0215. 252625(.，.) 0125.25625 .0066.2525625 (.，.)00625 .……这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间．因为区间2525625 (.，.)的长度为00625.，所以区间2525625 (.，.)内任意一点都可以作为零点的近似值，为了方便，我们把区间的一个端点=25x .作为函数=ln 26f x x x +-()零点的近似值，也即方程ln 260x x +-=的近似解．2.5 2.75 2.625 O 2 3 x y0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 --0.1- -0.2- -0.3- -0.4- -0.5-这样求方程近似解的方法称为二分法，我们来看二分法的定义：对于在区间a b [，]上图象连续不断且0f a f b ()()＜的函数=y f x ()，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(三) 二分法的步骤我们依据解决上述问题的过程来概括一下：给定精确度ε，用二分法求函数=y f x ()零点0x 的近似值的一般步骤： 1.确定零点0x 的初始区间a b [，]，验证0f a f b ()()＜． 2.求区间a b (，)的中点c ．3.计算f c ()，并进一步确定零点所在的区间：（1）若=0f c ()（此时0=x c ），则c 就是函数的零点； （2）若0f a f c ()()＜（此时0x a c ∈(，)），则令=b c ； （3）若0f c f b ()()＜（此时0x c b ∈(，)），则令=a c ． 4.判断是否达到精确度ε：若|a b ε-|＜，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤2～4．(四) 二分法的应用例2 借助信息技术，用二分法求方程237xx +=的近似解（精确度为0.1）解：原方程即237=0xx -+，令=237xf x x -+()，用信息技术画出函数=y f x ()的图象，结合计算容易发现120f f ()()＜，说明该函数在区间12(，)内存在零点0x ．-5 O 5 10 xy16141210 8 64 2-2 -4 -6取区间12(，)的中点1=15x .，用信息技术算得15033f ≈(.).．因为1150f f ()(.)＜，所以0115x ∈(，.)．再取区间115(，.)的中点2=125x .，用信息技术算得125087f ≈-(.).．因为125150f f (.)(.)＜，所以012515x ∈(.，.)．同理可得，0137515x ∈(.，.)，0137514375 x ∈(.，.)． 由于137514375|=0062501 -|...＜.， 所以，原方程的近似解可取为1375.．问题3：如果精确度改为0.01？0.001？0.000 1？怎样做才不会给我们带来过大的运算负担呢？师生活动：我们从二分法中提炼出了算法思想，借助于Excel 表格当中的函数功能呈现出来，具体来看：我们利用Excel 表格中的七列依次呈现区间端点a ，b ，区间中点c ，函数值f a ()，f c ()，f b ()和区间长度b a -，首先，我们输入初始区间12(，)，然后，我们对单元格D3到H3依次应用公式完成输入，公式在编辑栏可见．对于单元格B4，我们利用Excel 的内置函数If 语句，它实现的功能是，如果0f a f c ()()＜，则区间的左端点就是a ，否则是c ，同样，对于单元格C4，如果0f a f c ()()＜，则区间的右端点就是c ，否则是b ．接下来，我们选中单元格D3到H3，将鼠标移到单元格的右下角，鼠标指针变成十字形状，按住鼠标向下拖动一行，即可实现对单元格D4到H4的自动填充，更进一步的，我们选中单元格B4到H4，重复相同的操作，可以实现对以下若干行的自动填充．我们可以根据题目精确度的要求，选择拖动到哪一行结束．这个问题的解决让我们体会到，对于人工运算很耗时耗力的问题，如果借助于计算机，可以瞬间完成，既省时省力，又准确无误，可见，工具的选择和使用至关重要．设计意图：让学生体会信息技术在处理计算量较大而且有重复步骤的问题时的重要价值．4.5.3 函数模型的应用引言：以上，我们学习了函数在数学内部的应用，接下来我们学习函数模型的实际应用． (一) 已知函数模型例3 阅读下面资料并回答问题．良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，于是推测古城存在时期为公元前3300年～前2500年．你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？在前面的学习中，我们得到了一个预备知识，注释：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 会随死亡年数x 在初始量k 的基础上按确定的比率p 衰减（p 称为衰减率），并满足函数关系=1xy k p k -∈R ()(，010 k p x ≠且0；＜＜；≥)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．分析：首先，我们需要求出函数关系中的参数p ，明确函数解析式．然后，把0.552k 作为函数值代入解析式，求出死亡年数．解：根据已知条件，573011=2k p k -()，从而51=p -，所以生物体内碳14含量y 与死亡年数x 之间的函数解析式是5=xy k (．由样本中碳14的残留量约为初始量的55.2%可知，5=552xk (.%k ，即 5=0552x(.．解得5=log552x .．由计算工具得 4 912x ≈．因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．设计意图：培养学生阅读理解的能力，培养学生从数学的角度分析和解决问题的能力． (二) 选择恰当的函数模型在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决．例4 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？问题1：你能根据对三种投资回报的描述，建立三种投资方案所对应的函数模型吗？师生活动： 设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数*=40y x ∈N ()进行描述；方案二可以用函数*=10y x x ∈N ()进行描述；方案三可以用函数1*=042x y x -⨯∈N .()进行描述．设计意图：培养学生把实际问题数学化的意识和能力．问题2：要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．怎样借助已有函数模型，分析解决当前的问题？师生活动：首先我们可以画出三个函数的图象．通过图象我们直观地看到，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是增长情况并不精确，不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们计算三种方案每天的回报数以及回报数的增长情况．x方案一方案二方案三y增加量/元y 增加量/元y增加量/元1 40 10 10 04.2 40 0 20 10 08. 04.3 40 0 30 10 16. 08.4 40 0 40 10 32. 16.5 40 0 50 10 64. 32.6 40 0 60 10 128.64.7 40 0 70 10 256. 128. 8 40 0 80 10 512. 256. 9 40 0 90 10 1024. 512. 10 40 0 100 10 2048.1024.… … … … … ……3040300102147483648 . 1073741824 .通过表格，我们可以发现，每天的回报数，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．但是，这似乎也不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们再看累计的回报数，=10y x =40y1=042x y -⨯.问题3：根据以上对函数模型增长情况的分析，我们该如何选择投资方案呢？师生活动：教师引导学生根据累计的回报数作为划分投资期限的标准．投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．设计意图：使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．通过以上三种呈现方式可知，尽管方案一、方案二在第1天所得回报远大于方案三，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的．由此，我们更直观的理解了“直线上升”、“指数爆炸”的实际含义．接下来，我们一起来归纳一下用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程：首先，我们要把实际问题化归为函数模型，经过运算和推理求出函数模型的解，然后，用数学问题的解来解释说明实际问题，使实际问题得以解决。
高中数学函数运用教案模板
课时：2课时教学目标：1. 知识与技能：掌握函数的基本概念、性质及图像，能够运用函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过小组合作、探究式学习，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生的创新思维。
教学重难点：1. 重点：函数的基本概念、性质及图像。
2. 难点：运用函数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教学辅助材料。
2. 学生准备：提前预习相关知识点，准备好课堂讨论。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习初中函数知识，引导学生回顾函数的定义、性质及图像。
2. 引出高中函数学习的必要性，强调函数在数学和生活中的广泛应用。
二、新授1. 函数的基本概念：讲解函数的定义、性质，以及函数的表示方法。
2. 函数的图像：介绍函数图像的绘制方法，引导学生观察图像的特点。
3. 函数性质的应用：通过实例讲解函数性质在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，要求学生独立完成。
第二课时一、复习导入1. 回顾上节课所学内容，引导学生回顾函数的基本概念、性质及图像。
2. 提出本节课的学习目标：运用函数解决实际问题。
二、新授1. 函数在实际问题中的应用：通过实例讲解函数在生活中的应用，如经济学、物理学等领域。
2. 运用函数解决实际问题：引导学生分析实际问题，运用函数知识进行求解。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，要求学生独立完成。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、发言积极性等。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 期末考试：通过期末考试检验学生对函数知识的综合运用能力。
高一数学《函数的应用举例》3课时教学设计
§2.9.1 函数的应用举例教学目标：1．了解数学建模；2．掌握根据已知条件建立函数关系式；3培养学生分析问题、解决问题的能力；4、培养学生应用数学的意识教学重点：根据已知条件建立函数关系式教学难点：数学建模意识 教学方法：读议讲练法 教学过程：（I ）复习回顾前面，我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数，并要求大家在课前对本章作系统地归纳整理，接上来，用已学过的知识举例说明函数的应用。
（Ⅱ）讲授新课大家首先阅读课本P 96～P 97，来了解一下数学建模的有关知识1、数学模型与数学建模：简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述。
数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相当的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。
2、例题讲解：例1：用长为m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架的面积y 与x 的函数式，并写出它的定义域。
分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用。
解：如图设x AB 2=，则CD 弧长=x π，于是AD 22x x m π--=因此mx x y ++-=224π再由02202>⎪⎩⎪⎨⎧-->x x m x π 解之得π+<<20m x 即函数式是：mx x y ++-=224π；定义域是：)2,0(+πm 评述：此题虽为函数关系的简单应用，但应让学生通过此题明确应用的能力要求及求解应用题的基本步骤。
1． 数学应用题的能力要求：（1） 阅读理解能力；（2） 抽象概括能力（3） 数学语言的运用能力；（4） 分析、解决数学问题的能力2． 解答应用题的基本步骤：（1） 合理、恰当假设；（2） 抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；（3） 分析、解决数学问题；（4） 数学问题的解向实际问题的还原。
人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (18)
第十九教时教材：指数函数（3）目的：复习指数函数的定义和性质，并通过练习以期达到熟练技巧。
过程：一、复习：定义：形如 ()0,0≠>=a a a y x 的函数称为指数函数。
性质：定义域、值域、单调性、奇偶性 （略） 二、例一、已知函数()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫⎝⎛=--1,21,2111x x y x x 定义域：x ∈R 10≤<y（其对称性与||21x y ⎪⎭⎫⎝⎛=比较）例二、求下列函数的单调区间： 1．()34260+-︒=x x tg y 2.12121-++⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 解：1．()34260+-︒=x x tg y ()1223--=x∴增区间为 ),2[+∞ 减区间为 ]2,(-∞2．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-+++)21()21()211(2)1(221323121x x x y x x xx x∴增区间为 ]1,(--∞ 减区间为 ),1[+∞-例三、设函数 f (x )是偶函数，如果函数 ()x f y 2= 在 x >0 时是增函数，则在x <0时，是增函数还是减函数？并证明之。
解：是减函数。
设a x x <<21 则021>->-x x∵()x f 是偶函数, ∴()()x f x f =- ∴()()()()12122222x f x f x f x f --=∵()x f y 2= 在 x >0, 时是增函数，且21x x ->-, ∴()()12212<--x f x f即()()12212<xf x f ,又：()021>x f , ()022>x f ∴()()1222x f x f <,∴ x <0 时，y 是减函数。
例四、已知函数 222xx y -+=求：1︒函数的定义域、值域 2︒判断函数的奇偶性 解：1︒ 定义域为 R由222xx y -+= 得 012222=+--x x y∵x ∈R , ∴△≥0, 即 0442≥-y , ∴12≥y , 又∵0>y ，∴1≥y2︒ ∵定义域为 R （是关于原点的对称区间）又∵ ()()x f x f xx =+=--222, ∴()x f 是偶函数。
高中数学函数及其应用教案
高中数学函数及其应用教案
教学目标：
1. 理解函数的定义和性质；
2. 掌握函数的基本概念及其运算；
3. 熟练运用函数解决实际问题；
教学重点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的运算；
3. 函数在实际问题中的应用；
教学难点：
1. 函数的概念理解；
2. 函数的复合；
3. 函数在实际问题中的应用；
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等；
3. 练习题及答案；
教学步骤：
一、导入：（5分钟）
教师介绍函数的概念，引导学生思考函数在日常生活中的应用，并举例解释函数的定义。
二、讲解：（15分钟）
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的运算；
3. 函数的复合；
三、练习：（20分钟）
1. 让学生完成几道简单的函数计算题目，巩固函数的概念和运算方法；
2. 通过实际问题，让学生运用函数解决实际问题；
四、讨论：（10分钟）
1. 学生分享解题思路和答案；
2. 教师指导学生讨论解题方法的合理性；
五、总结：（5分钟）
1. 教师总结本节课的重点内容；
2. 提出下节课的学习任务。
六、作业布置：（5分钟）
留作业：完成课后习题，复习函数的基本概念及应用。
教学反思：
通过本节课的教学，学生掌握了函数的基本概念和应用，思维能力和解决问题的能力有所提高。
但在练习中发现学生仍存在一些基本概念理解不够透彻和运用能力较弱的问题，下节课将加强练习和实际应用题目的训练，提高学生的数学思维和解题能力。
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第二十八教时
教材: 函数的应用举例二
目的： 要求学生熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法.
过程：
一、新授：
例一、(《教学与测试》 P69 第34课）
某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1。
2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的
产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的
关系，模拟函数可选用二次函数或c b
a y x +⋅=（a,b,c 为常数）,已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。
解：设二次函数为:
r qx px y ++=2 由已知得：⎪⎩
⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++7.035.005.03.1392.1241r q p r q p r q p r q p ∴7.035.005.02++-=x x y
当 x = 4时，3.17.0435.0405.021=+⨯+⨯-=y
又对于函数
c b a y x +⋅= 由已知得：⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒=+=+=+4.15.08.03.12.1132c b a c ab c ab c ab ∴4.1)21(8.0+⨯-=x y 当 x = 4时，35.14.1)21(8.042=+⨯-=y
由四月份的实际产量为1。
37万件， |37.1|07.002.0|37.1|12-=<=-y y
∴选用函数4.1)21(8.0+⨯-=x y 作模拟函数较好。
例二、（《教学与测试》 P69 第34课)
已知某商品的价格每上涨x %，销售的数量就减少m x ％，其中m 为
正常数。
1． 当2
1=m 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加,求m 的取值范围。
解：1．设商品现在定价a 元，卖出的数量为b 个.
由题设:当价格上涨x ％时，销售总额为%)1(%)1(mx b x a y -⋅+=
即
]10000)1(100[100002+-+-=
x m mx ab y 取21=m 得：]22500)50([20000
2+--=x ab y 当 x = 50时，ab y 89max = 即该商品的价格上涨50％时，销售总金额最大。
2．∵二次函数]10000)1(100[100002+-+-=
x m mx ab y
在 ])1(50,(m m x --上递增，在),)1(50[+∞-m
m 上递减 ∴适当地涨价，即 x 〉 0 , 即0)1(50>-m
m 就是 0 < m <1 ， 能使销售总金额增加。
例三、（课本 91 例二）
按复利计算利息的一种储蓄,本金为a 元，每期利率为r ，
设本利和
为y ，存期为x ,写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。
如果
存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后本利
和是多少？
“复利"：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。
分析：1期后 )1(1r a r a a y +=⨯+= 2期后 22)1(r a y +=
…… ∴ x 期后,本利和为：x r a y )1(+=
将 a = 1000元,r = 2。
25％,x = 5 代入上式:
550225.11000%)25.21(1000⨯=+⨯=y
由计算器算得:y = 1117。
68（元)
二、如有时间多余，则可处理《课课练》 P101“例题推荐"
3 三、作业:《教学与测试》 P70 第7题
《课课练》 “例题推荐” P100 1，2 P101 7，8。