初三上册数学直升班培优讲义学生版第15讲四点共圆(一)(学生)
初三数学寒假培优提高班讲义——圆(1).docx
初三数学寒假培优提高班讲义（1） -------- 圆（1）1、如图，。
0的半径是1 Ocm,弦AB的长是12cm, OC是00的半径HOC丄AB ,垂足为D, CD= __________________ c m.2、RtAABC, ZA二90° , AB二6, AC二8,以A为圆心，AB为半径的鬪交BC于D ,求弦BD的长。
3、在半径为5cm的圆内，冇两条平行弦长分別为6cm, 8cm,则这两条平行弦Z间的距离是多少？4、矩形&BCD中，AB=5, BC=12f如果分别以&、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆人的半径厂的取值范围是____________5、已知半径分别是27cm和10cm, 00丄与0。
2相交于久B两点，如果公共眩AB的长是16cm,求圆心距0i02的长.6、（2005年上海中考）已知：如图6,圆0是AABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD 上,E、F分别是边AC和BC的中点,求证：四边形CEDF是菱形.7、（2006年上海中考）木市新建的滴水湖是闘形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A , B, C三根木柱，使得A, BZI'可的距离与A , C之间的距离相等，并测得长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.8、（2008年上海屮考）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其屮部分图形和数据看不清楚（如图7所示）.己知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图, 它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点.勾7（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；根据上述信息（图纸中/ =1:0.75是坡面（2）由于图纸中圆O的半径厂的值已看不清楚,CE的坡度），求厂的值.备用图9、（2004年上海中考）在厶ABC 中,Z BAC=90°z AB=AC=2^2，圆A 的半径为1,如图5所示, 若点0在BC 边上运动（与点B 、C 不重合），设BO=x,AAOC 的面积为y, （1）求y 关于x 的函 数解析式，并写出函数的定义域；（2）以点0为圆心,B0氏为半径作圆0,求当圆0与圆A 相切时,AA0C 的面积.B O C压轴题练习1、（2008 年上海中考）已知 AB = 2, AD = 4, ZDAB = 90\ AD// BC （如图 13）. E 是射线BC ±的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点.（1） 设BE = x, ^ABM 的面积为y,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域;（2） 如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3） 联结BD,交线段AM 于点N,如杲以A, N, D 为顶点的三和形与ABME 相似, 求线段BE 的长.2.已知:在厶ABC 中,AB=AC f ZB=305, BC=6,点D 在边BC 上,点E 在线段DC ±, DE=3, △DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N.图13（1）求证：HBDMs/\CEN；（2）当点M、/V分别在边助、CA上时,设BD二兀，△ABCMADEF重叠部分的面积为y , 求y 关于兀的函数解析式，并写出定义域.（3）是否存在点D,使以M为圆心,BM为半径的圆与直线EF相切，如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由. 匚。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件说课稿
五、板书设计与教学反思
本节课通过引导学生探究四点共圆的条件，让学生掌握四点共圆的基本性质和判定方法，培养学生运用几何知识分析和解决问题的能力。同时，为学生进一步学习圆的性质、圆周角定理等知识奠定基础。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生了解四点共圆的定义和性质，掌握四点共圆的判定方法，能运用四点共圆的知识解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和几何推理能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备的基本前置知识有：平面几何的基本概念，如点、线、面的关系；四边形的性质；圆的基本性质等。在技能方面，学生需要具备一定的作图能力和逻辑推理能力。
在学习本节课时，学生可能存在的障碍主要包括：对四点共圆的概念理解不清，难以把握其本质特征；对圆的性质和圆周角定理的运用不熟练，难以证明四点共圆。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：首先，让学生独立完成一些相关的练习题，检验他们对四点共圆的理解和应用能力；然后，组织学生进行小组合作探究，让他们运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，培养他们的合作能力和解决问题的能力；最后，让学生结合自己的生活实际，设计一些关于四点共圆的应用问题，提升他们的数学应用能力。
4.设置具有挑战性的练习题，激发学生的好奇心和求知欲，如引导学生运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，提高他们的逻辑推理能力。
第15课圆内接四边形(学生版)九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破(浙教版)
第15课圆内接四边形目标导航学习目标1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算.知识精讲知识点01 圆内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．知识点02 圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．能力拓展考点01 圆内接四边形的性质的应用【典例1】如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD、AE，且∠ADB ＝∠CDE．（1）求证：△ABE是等腰三角形；（2）若AB＝10，BE＝12，求⊙O的半径r．【即学即练1】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．（1）若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；（2）若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2．分层提分题组A 基础过关练1. 已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（）A．40°B．60°C．100°D．120°2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65°B．115°C．130°D．140°3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2C．D．44. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为．6. 在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝度．7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是．8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？10.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．（1）求AC的长；（2）求∠ADC的度数．题组B 能力提升练11. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°12. 如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（）A．2m B．C．180°﹣2m D．13. 如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝°．14. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD＝50°，则∠B＝130°．15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为．16. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．17.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．其中正确的结论是（填序号）．①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝P A+PB，④若P A＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．18. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．19. 如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，（1）证明：圆中存在“爪形D”；（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．20.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．21.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）请判断△ABC的形状？说明理由；（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．（3）证明：P A+PB＝PC．22.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．题组C 培优拔尖练23. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为．24．面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD＝DC，DE⊥AB于E，则DE＝．25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．（1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）若△BCE为等腰三角形，求BF的长．26.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD（1）求证：AB＝CD；（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．。
初三数学培优：第十五讲：中心对称“带上路”,以美启真助突破
第十五讲：中心对称“带上路”，以美启真助突破
特殊图形（“好形”）的对称性研究一直是中考中容易做文章的题材，解题过程中注意对中心对称的积累和感悟……
如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1。
（1）求证：∠APE=∠CFP ；
（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=x ，2
1S S y 。
①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范
围，并求出y 的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称
时，求y 的值。
问题探究
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.
D B
P
D B C
A
①
②③。
初三上册数学直升班培优讲义学生版补充讲义《与圆有关的角的计算》(学生版)
课程名称：与圆有关的角的计算学生姓名年级九年级校区上课时间月日任课教师学管师: :学科数学课次第次课课时教学主题与圆有关的角的计算圆是重要的平面图形，与圆有关的角（圆心角，圆周角，圆内接四边形的内角，与切线有关的夹角，扇形的圆心角等）是圆中最基础最重要的内容之一纵观近年来各地的中考数学试卷，与圆有关的角相关的考题都占有一定的比重，有的直接单一考查圆周角、圆心角的有关知识点，这类问题多以选择题和填空题的形式出现；有的则与其他知识点或生活实际相结合，成为综合解答类试题，以考查学生综合运用有关知识分析问题与解决问题的能力•其考点则主要聚焦在以下几个方面考点1求圆心角的度数例1如图1, 一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在圆上，边AB,AC分别与O O考点2 求圆周角的大小例2 （2017?重庆）如图3, BC是O O的直径，点A在圆上，连接AO,AC, AOB 64，则ACB交于点D, E，则DOE的度数为=(同步练习1（2017?兰州）如图2•在O O中，AB BC ,点D在O O上，CDB 25 ，则AOB)A.45°B.50C.55°D.60°考点4圆内接四边形的内角例4 （2017?南京）如图8,四边形ABCD 是菱形，O O 经过点A,C,D ，与BC 相交于点E ，连接AC,AE ，若 D 78，贝U EAC = _________________同步练习4 如图9,在圆内接四边形ABCD 中，若 A, B, C 的度数之比为 4:3:5，则 D 的度数是 _______________同步练习2 （2017?自贡）如图4, AB 是O O 的直径，PA 切O O 于点A,PO 交O O 于点C ，连接BC , 若 P 40，贝UB =() A.20°B.25°0.30°D.40考点3求与圆心角和圆周角相关的其它角的度数例 3 （2017? 泰安 ）如图5, ABC 内接于O O ，若 A，贝U OBC =()A. 1802图5图6B. 2C. 90D. 90同步练习3（2017?扬州）如图7,已知O O 是 ABC 的外接圆，连接AO ，若40，则OAC考点5弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例5 （2017?湖州）如图10,已知，在ABC中，AB AC，以AB为直径作半圆O，交BC于D.若BAC 40，则A D的度数是度.同步练习5如图12, AB为o O的直径，C,D为o O上的点，A D C D，若CAB 40，则CAD =图12考点6与圆心角有关的弧长计算例6如图13,已知等边ABC的边长为6，以AB为直径的O O与边AC,BC分别交于D,E两点，贝y D E的长为.同步练习6如图15,在YABCD 中，AB 为O O 的直径，O O 与DC 相切于点E ，与AD 相交 于点F ,已知AB 12, C 60，则?E 的长为考点7与切线有关的夹角问题求证:直线DM 是O O 的切线.图16 图17同步练习7 (2017?福建)如图18,四边形ABCD 内接于O O , AB 是O O 的直径，点P 在CA的延长线上，例7如图16,点E 是 ABC 的内心, AE 的延长线交BC 于点F ，交ABC 的外接圆O O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使 BDM DAC .CAD 45 .(1)若AB=4, 求CD 的长;(2)若BC A D , AD AP，求证:PD是O O的切线.图18考点8与其他知识结合的综合性问题例8 （2017?台州）如图19，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B,C重合）,PE是ABP的外接圆O O的直径.图19AT 是O O 的切线， ABT 50 , BT 交O（1）如图20,求 T 和 CDB 的大小； ⑵如图21,当BE BC 时，求 CDO 的大小.同步练习8（2017?天津）已知AB 是O O 的直径,。
中考复习四点共圆
四点共圆四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
ADCC6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
15直线与圆的位置关系一 16直线与圆的位置关系二 17与圆相关的比例线段
18圆与圆的位置关系 19平面几何的定值问题 20平面几何的最值问题
21分而治之 22数形结合 23顺思逆想
内容截图：
15直线与圆的位置关系一16直线与圆的位置关系二17与圆相关的比例线段
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
1、转化与化归一般
5、最优化 6、是偶然还是必然 7、三角函数 8、旋转变换
9、平行线分线段成比例 10、从全等到相似 11、相似三角形的性质
初三数学联赛辅导 四点共圆
四点共圆四点共圆的判定方法：（1）先证三点共圆，再证第四点也在此圆上 （2）若干个点到某定点距离相等，则这些点共圆 （3）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆（4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。
（5）若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PD PB PC PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（6）若四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 相交于P ，且PD PC PB PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（7）（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD 中，BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ 则A 、B 、C 、D 四点共圆 （8）（西姆松定理的逆定理）从ABC ∆外一点D 引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足为L 、M 、N ，若L 、M 、N 共线，则A 、B 、C 、D 四点共圆例1 如图，ABC ∆三边上的高交于H ，H 不于任一顶点重合，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个？例2 给出锐角ABC ∆，以AB 为直径的圆与AB 边的高1CC 及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高1BB 及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆NCQPMC1B1BA例3 在等腰ABC ∆中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 作两腰的平行线分别与AB 、AC 交于点Q 、R ，又点1P 是点P 关于QR 的对称点，求证：点1P 在ABC ∆的外接圆上例4 A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，1O 、2O 、3O 分别为OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的外心，求证：O 、1O 、2O 、3O 四点共圆例 5 在梯形A B C D 中，AB ‖DC ，DC AB >，K 、M 分别在AD 、BC 上，C B K DA M ∠=∠，求证：CKB DMA ∠=∠oBCAC M K DABCQP P1ARCB例6 如图，ABC ∆中，高BE 、CF 交于H ，且︒=∠135BHC ，G 为ABC ∆内的一点， 且GC GB =，A BGC ∠=∠3,连结HG ，求证：HG 平分BHF ∠例7 如图，ABC ∆内接于圆O ，AD 、BD 是圆O 的切线，作DE ∥BC 交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ，求证：FC BF =例8 正方形ABCD 的中心为O ，面积为21989cm ，P 为正方形内一点，︒=∠45OPB ， 14:5:=PB PA ，求PBCBOPDAB 例9 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥于M ，CD AN ⊥于N ，若13=AB ，5=BM ，9=MC ，求MN 的长度例10 如图，已知直线AB 、AC 切圆O 于点B 、C ， P 圆O 上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为4厘米和6厘米，求P 到BC 的距离例11 在ABC ∆的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得A QCB PBC ∠=∠=∠21， 求证：CP BQ =CBQPAA例12在梯形A B C D 中，AD ‖BC ，1==BD BC ，AC AB =，1<CD ，︒=∠+∠180BDC BAC ，求CD 的长例13 在锐角ABC ∆中，AC AB ≠，H 是高AD 上一点，连结BH 并延长交AC 于点E ，连结CH 并延长交AB 于点F ，已知B 、C 、E 、F 四点共圆，求证：H 为ABC ∆的垂心例14 如图，P 圆O 外一点，PA 切圆O 于A ，PBC 是割线，PO AD ⊥于D ，求证：CDPCPB =CB D A BCBD例15 如图，已知，在凸五边形ABCDE 中，α3=∠B A E ，DE CD BC ==，且α2180-︒=∠=∠C DE B C D ，，求证：DAE CAD BAC ∠=∠=∠例16 如图，AD 为ABC ∆的一条高，l 是过D 的一条直线，E 、F 都是l 上的点，满足BE AE ⊥，CF AF ⊥，设M 、N 分别为BC 、EF 的中点，证明：MN AN ⊥例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积例18 证明（托勒密定理)凸四边形A B C D 的四个顶点共圆的充要条件是BD AC BC AD CD AB ∙=∙+∙例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为AB ，求A 引出的三条对角线的长度之和例20 证明（西姆松定理）从ABC ∆外一点D ，引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足是L 、M 、N ，则点D 在ABC ∆的外接圆上的充要条件（点D 在ACB ∠内时）是L 、M 、N 共线，亦即MN LM LN +=。
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四点共圆（一）
模块一辅助圆思想
模块二四点共圆的判定（一）
模块一：辅助圆思想
平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．
则 OC __________
（2）如图 2-2，在 △ ABC 中， ?ACB 90?， AC= BC ，点 P 为△ABC 外一点（ P 与 C 在直线 AB 异侧），且 ?APB 45?．设点 P 关于 AB 的对称点为 E ，连接 PE 、CE ，试判定线段 AB 与 CE 的数 量关系，并给予证明．
1）如图 1-1，四边形 ABCD 中， AB AC BAC ___________ ．
AD ，若 CAD 76 ， BDC 13 ，则 CBD
2）如图 1-2，已知四边形 ABCD ，AB//CD ，AB AC AD a ， BC b ，且 2a b ，求 BD 的值．
1）如图 2-1，平面上有四个点 A 、O 、B 、C ，其中 AOB 120 ， ACB 60 ，AO BO ，AB 2 3 ，
D
图 1-1
图 2-1
E
例题3
如图，E，B，A，F 四点共线，点 D 是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB 上异于A，B 的一个动点，且满足CPD 30 ，则( A．点B．点
P 一定在射线P一定在线段BE 上AB 上
例题
4
如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD 线于F．求证：E、F、B、K 四点共
AB于K．E为劣弧AC 上的一点，连接AE交DC延长AB 上
AB 上
例题 5
（1）如图 5-1，四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，P 、Q 、R 分别是 AB 、BC 、AD 的中点．连接 PQ 与 DA 的延长线交于 S ，连接 PR 与 CB 延长线交于 T ．求证： S 、T 、Q 、R 四点共圆．
例题 6
证：B 、G 、E 、H 四点共圆．
（2）如图 5-2， △ABC 中， 于 K ，
以 AB 为直径作圆，交 BC 于 H ，交 K 、H 四点共圆．
BAC 的平分线于 D ，作 CK AD
1）如图 6-1，BC AE ，ED AB ，且 BC 、DE 相交于 G ．H 为 AE 延长线上的一点， CH AC ．求
P 为 △ABC 内一点， D 、E 、 （ 2）如图 6-2， 共圆， P 、E 、 A 、F 四点共圆，求
证：
B 、
D
、 F 分别在 BC 、CA 、 AB 边上，已知 P 、D 、C 、 E 四
点 P 、 F 也四点共圆．
C
图 5-2
在△ABC 中， BA BC ， BAC ，M 是 AC 的中点， P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ ．线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，猜想 CDB 的大小（用含 的
AD 、BE 、CF 是 △ABC 的三条高，相交于垂心 H ，在 A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、 H 七点中，有六组四点
共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？
D
C
代数式表示），并加以证明
演练2
平面上有四个点
A、O、
B、C，其中AOB 120 ，ACB 60 ，AO BO 2 ，则满足题意的OC 长度的整
数的值可以是___________________ ．C
演练3
点，下列说法：
①当AC BD 时，M、E、N、 F 四点共圆．
②当AC BD时，M、E、N、F四点共圆．
③ _____________________ 当AC BD ，且AC BD时，M、E、N、F 四点共圆．其中正确的是 ___ ．
演练4
如图，PA、PB 切⊙O于A、B 两点，过于M，求证：A、M、O、P 四点共
圆．
D，过 B 作BE//CD ，连接AE 交PD
如图，在四边形ABCD 中，AC、BD 为对角线，
点
M、E、N、 F 分别为AD 、AB 、BC、CD 边的中
P 作割线交⊙O 于C、
C'
A
F
E
演练5
过两圆交点A、B 之一的点A，引两条直线CAD 、PAQ，分别与两圆交于C、D、P、Q，设CP 与DQ 的交点为R，求证：B、C、R、 D 四点共
圆．。