2011年高考数学真题理科(陕西卷)word解析版

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2011年陕西高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理科)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设,a b 是向量，命题“若=-a b ，则=a b ”的逆命题是（） A.若≠-a b ，则≠a b B.若=-a b ，则≠a b C.若≠a b ，则=-a b D.若=a b ，则=-a b 【测量目标】四种命题之间的关系.【考查方式】确定原命题的条件和结论，交换条件和结论的位置即可得到逆命题. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】原命题的条件：=-a b ，作为逆命题的结论，（步骤1）原命题的结论：=a b ，作为逆命题的条件，（步骤2）即得逆命题“若，=a b 则”=-a b ，故选D ．（步骤3）2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（） A.28y x =- B.28y x = C.24y x =- D.24y x = 【测量目标】抛物线的标准方程.【考查方式】已知抛物线的准线方程和顶点求抛物线的标准方程. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由准线方程：2x =-22p⇒-=-, 且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），228y px x ∴==．3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图象是（）A BC D 【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】确定函数()y f x =的性质，再对选项一一求解. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】()()f x f x ∴-=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；（步骤1）(2)()f x f x += ()y f x ⇒=是周期为2的周期函数，（步骤2）选项D 的图象：最小正周期是4，不符合；选项B 的图象：最小正周期是2，符合，故选B ．（步骤3）4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（） A.20- B.15- C.15 D.20 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项展开式的通项公式直接求出结果. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】62(6)1231666C (4)(2)C 2(2)C 2(1)xrr x r x r r x r xr r x xr r T ------+=-=-=- ，令1230x xr -=，则4r =，4()(1)1x -∴-= 456C 115T ∴== ，故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）第5题图A.2π83-B.π83- C.82π- D.2π3 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】由三视图想象出空间几何体，利用关几何体体积公式进行计算．【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是：3212π2π12833V =-⨯⨯⨯=-.第5题图6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内（）A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点【测量目标】函数零点的求解和判断. 【考查方式】利用数形结合法进行直观判断. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】方法一：令()cos f x x =0=，cos x =，设函数y =和cos y x =，它们在[0,)+∞的图象如图所示，由图象可知，两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数()cos f x x =在[0,)+∞内有且仅有一个零点；第6题图（方法二）在π[,)2x ∈+∞1>，1cos 1x -剟，()cos f x x ∴0>；（步骤1）在π(0,]2x ∈，()sin 0f x x '=+>，()cos f x x ∴是增函数，（步骤2）又(0)1f =- ，π()02f =>，()cos f x x ∴=在π[0,]2x ∈上有且只有一个零点．（步骤3）7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x ==-∈R ，1i N x x ⎧=-<⎨⎩，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（）A.（0，1）B.(0，1]C.[0，1)D.[0，1] 【测量目标】集合的基本运算、同角三角函数的基本关系、二倍角公式. 【考查方式】运用二倍角公式直接求解此题. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】22|cos sin ||cos2|[0,1]y x x x =-=∈，[0,1]M ∴=；（步骤1）1||ix -< |i |x ∴+<|(i)|x --<（步骤2）又x ∈ R ，11x -<<，即(1,1)N =-；[0,1)M N ∴= ，故选C.（步骤3）8．右图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于（）第8题图A.11B.10C.8D.7 【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】按照程序框图的执行流程分析循环过程，得到输出结果. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】16x =，29x =,12||32x x -=…不成立,再输入3x ；（步骤1）点3x 到点1x 的距离小于点3x 到2x 的距离，∴当37.5x <时，3132||||x x x x -<-成立，（步骤2）此时23x x =， 132x x p +∴=，368.52x +∴=，解得311x =7.5>，不合题意；（步骤3）当37.5x …时，3132||||x x x x -<-不成立，此时13x x =，322x x p +∴=，398.52x +⇒=，解得38x =7.5>，故选C ．（步骤4） 9．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（） A.x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B.x 和y 的相关系数在0到1之间 C.当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l 过点(,)x y第9题图【测量目标】线性回归方程.【考查方式】由线性回归方程直接求出答案. 【难易程度】中等【参考答案】D 【试题解析】10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）. A.136 B.19 C.536D.16【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】将问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有：44266A A (6543)=⨯⨯⨯ （种），（步骤1）最后一小时他们同在一个景点的情形有：33255A A 6(543)6⨯=⨯⨯⨯ （种），（步骤2）3325544266A A 6(354)61A A (6543)6P ⨯⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ ．（步骤3）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．设2lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【测量目标】分段函数，定积分的几何意义.【考查方式】由给出函数值，代入分段函数，求出参数. 【难易程度】中等【参考答案】1【试题解析】10x => ，(1)lg10f ∴==，（步骤1）又230()3af x x t dt x a =+=+⎰，（步骤2）3(0)f a ∴=，31a ∴=，1a =．（步骤3）12．设n +∈N ，一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n = ．【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】利用求根公式进行计算，进而用完全平方数、整除等进行判断计算. 【难易程度】中等【参考答案】3或4【试题解析】由求根公式得：x ==2=（步骤1） x是整数，2x ∴=±4n …，（步骤2）又n +∈ N ，取1,2,3,4n =，验证可知3,4n =符合题意，反之3n =或4时，可推出一元二次方程240x x n -+=有整数．．根．（步骤3）13．观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n 个等式为 . 【测量目标】合情推理.【考查方式】由等号左边式子的变化规律，进行归纳总结. 【难易程度】中等【参考答案】2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-….行数等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7… … …2(1)[(21)1](21)n n n n n ∴+++++--=-…，（步骤1） 2(1)(32)(21)n n n n ⇒++++-=-…（步骤2）14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．【测量目标】二次函数的模型.【考查方式】把实际问题转化为数学模型,列式转化为函数的最值问题．【难易程度】较难【参考答案】2000【试题解析】方法一：设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），1 2 … i … 19 20那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是：(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10S i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯++-⨯…… (1)(20)(120)10[(20)]22i i i i i i i i +-++=⨯⨯--⨯-+210(21210)i i =-+，（步骤1） ∴当10i =或11时，S 的值最小，min 1000S =，所以往返路程的最小值是2000米.（步骤2）方法二：根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可.树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002+⨯+++⨯=⨯⨯=…米；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯…… 9(19)10(110)1021029001100200022⨯+⨯+=⨯⨯+⨯⨯=+=米，所以路程总和最小为2000米.15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式|||1||2|a x x ++-…存在实数解，则实数a 的取值范围是．【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，进而求解参数a . 【难易程度】中等【参考答案】(,3][3,)-∞-+∞ .【试题解析】当1x -…时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+…；（步骤1）当12x -<…时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=；（步骤2）当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->；（步骤3）综上可得|1||2|3x x ++-…，所以只要||3a …，解得3a -…或3a …，即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞ ．（步骤4）B ．（几何证明选做题）如图，B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且6AB =，4AC =，AD =12，则BE = ．第15题B 图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】由相似三角形对应边成比例即可算出答案. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】AE BC ⊥ ，90AEB ACD ∴∠=∠=，又B D ∠=∠ ，AEB ∴△∽ACD △，AC AD AE AB ∴=,（步骤1）64212AB AC AE AD ⨯∴=== ，（步骤2）在Rt AEB △中，BE ===（步骤3） C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上，则||AB 的最小值为．【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】把曲线转化为直角坐标系下的方程，由两曲线位置关系. 【难易程度】中等【参考答案】3【试题解析】曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩22(3)(4)1x y ⇒-+-=，（步骤1）曲线2C ：1ρ=，221x y ⇒+=，（步骤2112>+=，∴两圆外离.（步骤3）∴||AB 113-=．（步骤4）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，∠ABC =60，∠BAC 90=，AD 是BC 上的高，沿AD 把ABD △折起，使90BDC ∠=．第16题图（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设E 为BC 的中点，求AE 与DB夹角的余弦值．【测量目标】面面垂直的判定，平面图形的折叠问题，空间直角坐标系，向量的坐标运算. 【考查方式】利用面面垂直直接判定即可，建立空间直角坐标系，运用向量的坐标运算求解余弦值.【难易程度】较难【试题解析】（1）∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，（步骤1）又DB DC D = ，∴AD ⊥平面BDC ，（步骤2）∵AD ⊄平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC ．（步骤3）第16题（1）图（2）由∠BDC 90=及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |=1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D (0,0,0),B (1,0,0),C (0,3,0),AE (12,32,0)，（步骤4）13(,,22AE ∴= ，(1,0,0)DB =，（步骤5）∴1cos ,22AE DBAE DB AE DB<>===AE ∴ 与DB夹角的余弦值是22．（步骤6）第16题（2）图17．（本小题满分12分）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，Ｍ为PD 上一点，且4||||5MD PD =．第17题图（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式. 【考查方式】利用点到直线的距离公式和直线方程与椭圆方程联立求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）设点M 的坐标是(,)x y ，P 的坐标是(,)p p x y ，因为点D 是P 在x 轴上投影，Ｍ为PD 上一点，且4||||5MD PD =，所以p x x =，且54p y y =，(步骤1) ∵P 在圆2225x y +=上，∴225()254x y +=，整理得2212516x y +=，即C 的方程是2212516x y +=．（步骤2）（2）过点（3，0）且斜率为45的直线方程是4(3)5y x =-，（步骤3）设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线方程4(3)5y x =-代入C 的方程2212516x y +=得：22(3)12525x x -+=，化简得2380x x --=，∴1x =，2x =，（步骤4）所以线段AB 的长度是:||AB =415==，即所截线段的长度是415．（步骤5） 18．（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理．【测量目标】余弦定理.【考查方式】利用公式、定理、性质进行推导. 【难易程度】中等【试题解析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.证明：证法一: 如图①，()22a BC = ()()AC AB AC AB =--222AC AC AB AB =-+ 222cos AC AC AB A AB =-+ 222cos b bc A c =-+，(步骤1)即: 2222cos a b c bc A =+-同理可证:2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-（步骤2）第18题①图证法二: 如图②已知ABC △中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-，（步骤1）即2222cos a b c bc A =+-同理可证:2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.（步骤2）第18题②图19．（本小题满分12分）如图，从点P 1（0，0）作x 轴的垂线交曲线e xy =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：11,P Q ；22,P Q ；…；,n n P Q ，记k P 点的坐标为(,0)k x （0,1,2,,k n =…）．（1）试求k x 与1k x -的关系（2kn 剟）；（2）求112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++…．第19题图【测量目标】导数的几何意义，数列的通项.【考查方式】根据函数的导数求切线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵e x y =，∴e x y '=，∴111(,e )k x k k Q x ---，（步骤1）在点111(,e)k x k k Q x ---处的切线方程是：111e e ()k k x x k y x x ----=-，令0y =，则11k k x x -=-（2kn 剟）．（步骤2）（2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--， ∴(1)||ee kx k k k P Q --==，（步骤3）于是有： 112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++ (1)2(1)11e 1e ee 1e n k -------=++++=-…1e e e 1n--=-，即112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++…1e e e 1n--=-．（步骤4） 20．（本小题满分13分）如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望 .第20题图【测量目标】离散型随机事件的分布列，互斥事件与对立事件.【考查方式】运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．【难易程度】较难【试题解析】（1）i A 表示事件“甲选择路径i L 时，40分钟内赶到火车站”， i B 表示事件“甲选择路径i L 时，50分钟内赶到火车站”，1i =，2．用频率估计相应的概率，则有：1()0.10.20.30.6P A =++=，2()0.10.40.5P A =+=；∵12()()P A P A >，∴甲应选择路径1L ；（步骤1）1()0.10.20.30.20.8P B =+++=，2()0.10.40.40.9P B =++=；∵21()()P B P B >，∴乙应选择路径2L ．（步骤2）（2）X 的取值是0，1，2，12()()0.6,()()0.9,P A P A P B P B ==== ∴(0)()()()0.40.10.04P X P AB P A P B ====⨯=，（步骤3）(1)()()()()()0.40.90.60.10.42P X P AB AB P A P B P A P B ==+=+=⨯+⨯=(2)()()()0.60.90.54P X P AB P A P B ====⨯=，（步骤3） ∴X 的分布列为∴00.0410.4220.54 1.5EX =⨯+⨯+⨯=．（步骤4）21．（本小题满分14分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+．（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1()g x的大小关系；（3）是否存在00x >，使得01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．【测量目标】利用导数判断函数的单调性（单调区间）与最值并求参数范围. 【考查方式】求出原函数，判断函数单调性，再用假设法讨论参数范围. 【难易程度】较难【试题解析】（1）∵1()f x x'=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），（步骤1）又∵(1)0f =，ln10c ∴+=，0c ⇒=，∴()ln f x x =；1()ln g x x x=+，（步骤2） ∴21()x g x x -'=，令()0g x '=，即210x x-=，解得1x =，（步骤3）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，故区间在(0,1)是函数()g x 的单调减区间；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 是增函数，故区间在(1,)+∞是函数()g x 的单调增区间；所以1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，()g x ∴的最小值是(1)1g =．（步骤4）（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则22(1)()x h x x -'=-，（步骤5）当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=，（步骤6）当(0,1)(1,)x ∈+∞ 时，()0h x '<，(1)0h '=，（步骤7）因此函数()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)h x h >=0，∴1()()g x g x>；当1x >时，()(1)h x h <=0，∴1()()g x g x<．（步骤8）（3）满足条件的0x 不存在．证明如下：证法一：假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立，即对任意0x >有02ln ()ln x g x x x<<+ ①（步骤9）但对上述的0x ，取0()1eg x x =时，有10ln ()x g x =，这与①左边的不等式矛盾，因此不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立．（步骤10）证法二假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立，由（1）知，()g x 的最小值是(1)1g =，又1()ln ln g x x x x=+>，而1x >时，ln x 的值域为(0,)+∞， ∴当1x …时，()g x 的值域为[1,)+∞，（步骤9）从而可以取一个值11x >，使10()()1g x g x +…，即10()()1g x g x -…, ∴1011|()()|1g x g x x ->…，这与假设矛盾． ∴不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立．（步骤10）。

2011年高考数学试卷陕西理

2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理工农医类）【选择题】【1】．设a,b 是向量，命题“若=-a b ，则||||=a b ”的逆命题是（）．（A ）若≠-a b ，则||||≠a b （B ）若=-a b ，则||||≠a b（C ）若||||≠a b ，则≠-a b（D ）若||||=a b ，则=-a b【2】．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（）．（A ）28yx =- （B ）28yx = （C ）24yx =- （D ）24y x =【3】．设函数()()f x x ∈R 满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是( ).（A ）（B ）（C ）（D ）【4】．6(42)xx --()x ∈R 展开式中的常数项是( ).（A ）20-（B ）15-（C ）15（D ）20【5】．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ).（A ）2π83-（B ）π83-（C ）82π-（D ）2π3【6】．函数()cos f x x =在[0,)+∞内( ).（B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点（D ）有无穷多个零点【7】．设集合221{||cos sin |,},{|||}iM y y x x x N x x x ==-∈=-<∈R R 为虚数单位,，则M N ⋂为( ). （A ）(0,1)（B ）(0,1] （C ）[0,1)（D ）[0,1]【8】．下图中，123,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分．当126,9,8.5x x p ===时，3x 等于( ).（A ）11 （B ）10 （C ）8（D ）7【9】．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是( ). （A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（B ）x 和y 的相关系数在0到1之间（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同（D ）直线l 过点(,)x y【10】．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ).（A ）136（B ）19（C ）536（D ）16【填空题】【11】．设2lg ,0,()3d ,0,ax x f x x t t x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰≤若((1))1f f =，则a = ．【12】．设n +∈N ,一元二次方程240x x n -+=有整．数．根的充要条件是n = ．【13】．观察下列等式2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为．【14】．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返．．所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．【15】．（选做题）若关于x 的不等式a ≥12x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是．【16】．（选做题）如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=︒，且6,4,12AB AC AD ===，则BE = ．【17】．（选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线13cos 4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，：（θ为参数）和曲线21C ρ=：上，则AB 的最小值为．【解答题】【18】．如图，在△ABC 中，60,90,ABC BAC AD ∠=︒∠=︒是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使90BDC ∠=︒．（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设E 为BC 的中点，求AE 与DB 夹角的余弦值．【19】．如图，设P 是圆2225xy +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且45MD PD =．（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【20】．叙述并证明余弦定理．【21】．如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线e x y =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P，2Q ；…；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =．（1）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤)n ；（2）求112233n n PQ PQ PQ PQ ++++．【22】．如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望．【23】．设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()()f x g x f x f x x''==+．（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系；（3）是否存在00x >，使得01()()g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．。

2011年高考理科数学试卷(及答案)_全国卷(word版)[1]1

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011陕西高考数学试题及答案

2011陕西高考数学试题及答案前言：以下是2011年陕西高考数学试题及答案的详细内容。

本文将按照试题的排版方式，以答案形式给出，旨在帮助读者更好地理解和掌握该年份的陕西高考数学试题。

一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1. 在数集A={1, 2, 3, ……, 19}和B={2, 4, 6, ……, 18, 20}中，既是偶数又是奇数的数有（）个。

答案：02. 十字绣图案由4个相同的小角色组成，下图中，其中一个小角色面积占全部图案面积的4%。

如果每个小角色都是纯黑色，请问，完成整个十字绣图案需要处理多少小角色？答案：25个3. 已知序列{an}满足a1=1，an+1=2an+1。

则a8=（）。

答案：2554. 设集合A={x | x²-4|x-2|=0}，B={y | y³-64=0}，则A∩B=（）。

答案：{2, -2}5. 已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>0, b>0)，过点A(2, 1)的直线l与椭圆C相交于B, C两点。

若两点间的距离AB=2，BC=√3，则直线l的方程为（）。

答案：y=2x/√3-16. 若f(x)=xlog₄(y+1)-log₂(y-1)，其中y=16x²+16x+3（x≤-1）。

则f(-5)的值为（）。

答案：-87. 若一次函数f(x)=kx+b的图象经过点P(-1, 2)，点Q(2, t)，且t > 2，则实数b的取值范围是（）。

答案：(-∞, 0)8. 图中ABCD是一个平行四边形，AC延长线上的点E满足AB=BE，BD=CD。

若∠ADE=60°，则∠BCD=（）。

答案：120°9. 绕直线l旋转一周的几何体得到体积位y=p, 当线段A'B'的长度是线段AB长度的2倍时，y的值为（）。

答案：1210. 已知函数f(x)=x³+px²+x+p（p为常数）的图象过点(0, 1)，f(x)的极值为最小值，则p的取值范围是（）。

2011年陕西高考数学试题及答案(理科)

国在崛起，全球的制造中心向亚洲的中国倾斜。

整个中国就象一部巨大的机器，日夜不停地轰鸣，源源不断地向世界各国输出着“中国制造”。

然而，在如此让全球仰慕地景气的背后，我们的国人付出的是沉重的代价，其一是生命与健康的损失，其二是环境的破坏。

每年在伤亡事故上的损失相当于GDP增幅的1/5，有13万个家庭承受着由于事故而失去亲人的痛苦，中国的酸雨是世界上最严重的，中国境内的大河没有一条是干净的。

是不是经济景气一定要以生命健康和环境破坏为代价？本课程的重要观点包括：●人的生命= 45万●一次事故相当于丢了一个“大订单”，直接损失和间接损失●事故在其随机偶发的背后是有统计学规律的，海因里希告诉我们●危险是由“危险源”的存在造成的，发现“危险源”●法律的红线不能踩●建立“安全体系”不能自己骗自己●要注意“某些人”的安全行为●向“杜邦”学什么●水气声渣，环境破坏的元凶●污染源和环境污染防治●建立环境管理体系【课程目标】本次课程的主要目的是帮助企业各级主管人员掌握安全管理的一般方法，通过事故案例学习实战经验，了解事故致因理论和安全管理体系的构建过程，以及必要的与安全有关的法律知识；使学员掌握“危险源”辨识的方法，从根本上转变对安全管理的认识。

在环境管理方面，学员将学习有关国家、国际的环境保护标准和法规，环境管理体系的建立以及污染源的辨识。

掌握危害与风险的辨识、评估及控制.结合世界级工厂安全管理方法，掌握内部安全检查与安全隐患审查方法，结合实际工厂案例，对现场及作业设计提出改善思路，从根本上预防安全, 掌握工厂的安全管理体系和自我安全的保障方法与技巧。

【课程大纲】一、安全与职业健康的概念、理念●我国安全管理现状●什么是安全●危险、风险和危险源●安全管理的3E●职业安全与健康涉及的法律法规及行业要求●质量、环境与安全的关系二、事故致因理论与应用●事故致因理论的发展●8种事故致因理论介绍●海因里希的1：29：300●分析事故的方法●控制危险及预防事故的措施三、人的不安全行为●人与事故的关系●人的性格和气质对安全的影响●了解人的特性：感觉、机动能力●事故频发人员的监管●安全培训与安全意识的养成四、工厂“危害源”的辨识、评估及控制●第一、二类危险源：老虎和笼子●危险源辨识的主要工具GB/T13861 ●物理危险源●化学危险源●生物危险源●生理/心理危险源●行为危险源五、内部检查与安全隐患报告系统●内部安全与健康检查体系方法●安全与健康检查表的设计●安全隐患报告体系●升降设备的安全检查●生产重点危险源的安全检查●消防安全检查六、安全成本与收益计算●事故的损失和赔偿计算●生命的价值●工厂事故的间接损失和直接损失●社会事故的间接损失和直接损失●安全投资七、中外工厂安全文化对比●安全与不安全●职业安全工程师与业余爱好者●安全保障体系●工作场地环境的安全保障●安全预警机制和应急准备响应●杜邦公司的安全管理经验八、安全法律法规标准解析●不可跨过的红线●安全法律法规的体系●国际公约和国家法律●法规和行业规定●标准九、安全与健康体系与安全培训●国际安全管理体系●体系的主体结构和管理思路●全体员工的安全与健康培训●培训的管理和效果控制十、环境管理体系●污染源的发现●体系的主体结构和管理思路●环境管理方案●环境管理培训十一、环境管理现状●国际环境保护现状●环境保护公约、法律、法规●环境管理标准●环境污染治理技术安全管理与职业健康安全管理体系介绍国内外先进的安全生产管理经验典型事故案例分析十二、工厂安全表现的衡量●安全事故的分级管理策略●事故的报告与调查●安全工作小时的衡量●安全事故率的衡量十三、工厂安全系统的建立●领导与承诺●工厂设计与施工安全●生产运作与设备维护管理●安全培训与标准操作规程的建立●员工行为管理与现场反馈●事故预防与改进十四、安全管理系统与工作许可证系统●工作安全分析●事故多种原因调查●应急反应程序，医疗应急流程●化学危险品的管理●工作许可证系统●行为观察与反馈系统●个人防护用品的管理●上锁挂牌程序●现场施工管理●技术安全－－电力系统，静电防护，危险能源隔离，安全装置，气瓶安全等●防火－－动火许可范围分级，厂内防火管理十五、工业卫生与安全及行为观察与管理●为什么要管理员工的行为●化学品管理●危险能源的隔离●管理拆开●限入空间●应急管理程序●气瓶管理●洗眼站●PPE选用与管理●85%以上的安全事故是由不恰当的人的行为造成的●怎样进行●控制要点十六、技术安全●什么是技术安全事故●一个安全的设计对以下事故具有健全的有效的预防措施●爆炸●过压●化学品泄漏●人员接触伤害十七、安全管理与职业健康安全管理体系解析与应用十八、国内外先进的安全生产管理经验。

2011年高考数学陕西文(word版含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学【选择题】【1】．设a,b 是向量，命题“若=-a b ，则||||=a b ”的逆命题是（）．（A ）若≠-a b ，则||||≠a b （B ）若=-a b ，则||||≠a b（C ）若||||≠a b ，则≠-a b（D ）若||||=a b ，则=-a b【2】．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（）．（A ）28yx =- （B ）24yx =- （C ）28yx = （D ）24yx =【3】．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（）．（A ）2a ba b +<<（B ）2a ba b +<<<（C ）2a ba b +<<<（D 2a ba b +<< 【4】．函数13y x =的图像是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）【5】．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）．（A ）2π83-（B ）π83-（C ）82π-（D ）2π3【6】．方程cos x x =在(),-∞+∞内（）．（A ）没有根（B ）有且仅有一个根（C ）有且仅有两个根（D ）有无穷多个根【7】．如下框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（）．（A ）7 （B ）8 （C ）10（D ）11【8】．设集合22{||cos sin |,},{|||1,i }ixM y y x x x N x x ==-∈=<∈R R 为虚数单位，，则M N ⋂为( ). （A ）(0,1)（B ）(0,1] （C ）[0,1)（D ）[0,1]【9】．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）．（A ）直线l 过点(,)x y（B ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（C ）x 和y 的相关系数在0到1之间（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同【10】．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（）．（A ）1◯和20◯ （B ）9◯和10◯ （C ）9◯和11◯ (D) 10◯和11◯ 【填空题】【11】．设lg ,0,()10,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则((2))f f -=______．【12】．如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________．【13】．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________．【14】．设n +∈N ,一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n =_____．【15】．（选做题）若不等式12x x ++-≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．【16】．（选做题）如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=︒，且6,4,12AB AC AD ===，则AE = ．【17】．（选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线13cos sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，：（θ为参数）和曲线21C ρ=：上，则AB 的最小值为．【解答题】【18】．如图，在△ABC 中，45,90,ABC BAC AD ∠=︒∠=︒是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使90BDC ∠=︒ ．（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设1BD =，求三棱锥D ABC -的表面积．【19】．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点(0,4)，离心率为35．（1）求C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．【20】．叙述并证明余弦定理．【21】．如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线e x y =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P，2Q ；…；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =．（1）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤)n ；（2）求112233n n PQ PQ PQ PQ ++++．【22】．如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：（1）试估计40分钟内不能．．赶到火车站的概率；（2）分别求通过路径1L 和2L 所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【23】．设()ln ,()()()f x x g x f x f x '==+．（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系；（3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立．【参考答案】【1】．D提示：结合命题与逆命题的结构特点，即知选项（D ）正确. 【2】．C提示：依题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，又22p-=-，所以224p =⨯=，故所求抛物线的方程为28y x =.【3】．B提示：方法一：因为0a b <<，a <，22a b b bb ++<=，2a b +>2a ba b +<<<.方法二：取1,4a b ==，则由52,,422a b a b +====，即得2a ba b +<<<. 【4】．B提示：因为幂函数的图像必经过点()1,1，所以选项（A ）（D ）错误.又13111828⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故由此判断即知选项（C ）错误，选项（B ）正确. 【5】．A提示：由三视图知，对应几何体是这样的：在棱长为2的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为2，底面圆半径为1）.故所求体积为()3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-. 【6】．C提示：通过在同一坐标系内，分别作出函数y x =和cos y x =的图像（注意：它们都是偶函数），观察即知图像有且仅有两个交点．故方程cos x x =在(),-∞+∞内有且仅有两个根.【7】．B 提示：若3699x -<-成立，则698.52p +==，这显然不可能．若3699x -<-不成立，则3398.582x p x +==⇒=，满足3699x -<-不成立．综上，所求38x =. 【8】．C 提示：因为222cos sin cos 2,1i 11ixx x x x x -=<⇒-<⇒<，所以集合{|0M y =≤y ≤1}，{}11N x x =-<<，故[)0,1M N⋂=.【9】．A提示：因为线性回归直线必经过样本中心点(),x y ，所以选项（A ）正确.注意：由图知，直线l 的斜率小于零，所以x 和y 的相关系数必小于零，但x 和y 的相关系数并不是直线l 的斜率，故选项（B ）（C ）错误.因为无论n 为奇数或偶数，所有样本点都基本集中在直线l 的附近，至于直线l 两侧的样本点的个数是否相同显然是不确定的，故选项（D ）错误. 【10】．D提示：设开始时树苗集中在第x 个树坑旁边，则路程总和为()()2102010110201020x x +++-++++-⎡⎤⎣⎦()()201211220x x =+++-++++-⎡⎤⎣⎦()()()()21202120202121022x x x x x x ---⎡⎤=+=-+⎢⎥⎣⎦.又1,2,3,,20x =，从而易知当10x =或11x =时路程总和最小.故两个最佳坑位的编号为10◯和11◯. 【11】．2- 提示：因为()22100f --=>，所以()()()22210lg102f f f ---===-.【12】．1提示：方法一：设2z x y =-，又注意到1,1AB CD k k <<，于是平移直线l ：2y x z =-，分析即知当A l ∈时，z 取得最小值，故所求()min 22111x y -=⨯-=.方法二：将,,,A B C D 的坐标分别代入2x y -得11,2，显然其中1最小，故所求2x y -的最小值为1.【13】．567891011121381++++++++=提示：由所给等式可知：第五个等式左边第一个加项为5，然后依次增加1，且加项个数为9（注意：加项个数的规律为1,3,5,7,）；右边是29，即81（注意：右边的规律为22221,3,5,7,）.【14】．3或4提示：一元二次方程240x x n -+=有整数根，首先要满足164n ∆=-≥0，又n +∈N ，所以1,2,3,4n =.又由240x x n -+=变形得()224x n -=-，从而经检验即知3n =或4时方程根x 为整数.故所求充要条件是3n =或4. 【15】．(],3-∞提示：由题设得a ≤()min123x x ++-=，故所求a 的取值范围是(],3-∞.【16】．2提示：由题设知△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC =，所以64212AB AC AE AD ⨯===•. 【17】．1提示：因为曲线1C 的方程为()2231x y -+=，曲线2C 的方程为221x y +=，所以它们均表示圆，圆心和半径分别是()3,0,1和()0,0,1.又易知两圆相离，故所求min 3111AB =--=.【18】．（1）证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴ 当△ABD 折起后，,AD DC AD DB ⊥⊥．又DB DC D ⋂=， ∴AD ⊥平面BDC ． ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）解：由（1）知，,,DA DB DB DC DC DA ⊥⊥⊥,1DB DA DC ===，∴AB BC CA ===从而111122DAB DBC DCA S S S ===⨯⨯=△△△， 1sin 602ABC S =︒=△∴表面积132S=⨯+=．【19】．解：（1）将(0,4)代入C 的方程得2161b=， ∴4b =．又35c e a ==，∴222925a b a -=，即2169125a -=， ∴5a =． ∴C 的方程为2212516x y +=．（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()11,Ax y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=，解得132x =232x =， ∴AB 的中点坐标12322x x x +==，()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭．注：用根与系数的关系正确求得结果，同样给分．【20】．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．或：在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法一：如图1，2aBC BC =•()()AC AB AC AB =--• 222AC AC AB AB =-+•222cos AC AC AB A AB =-+• 图1 222cos b bc A c =-+，即2222cos a b c bc A =+-．同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法二：已知△ABC 中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图2，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ． ∴2222(cos )(sin )a BCb Ac b A ==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++222cos b c bc A =+-．图2同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【21】．解：（1）设11(,0)k k P x --，由e xy '=，得111(,e )k x k k Q x ---点处切线方程为111e e ()k k x x k y x x ----=-．由0y =，得11(2kk x x -=-≤k ≤)n ．（2）由110,1k k x x x -=-=-得，得(1)k x k =--，所以(1)e e k x k k kPQ --==．于是，112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++112(1)11e e e 1e e...e 1e e 1n nn ---------=++++==--．【22】．解：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，则用频率估计相应的概率为0.44．（2）选择1L 的有60人，选择2L 的有40人，故由调查结果得频率为：（3）1A ，2A 分别表示甲选择1L 和2L 时，在40分钟内赶到火车站；1B ，2B 分别表示乙选择1L 和2L 时，在50分钟内赶到火车站．由（2）知12()0.10.20.30.6,()0.10.40.5P A P A =++==+=，因为12()()P A P A >，所以甲应选择1L； 12()0.10.20.30.20.8,()0.10.40.40.9P B P B =+++==++=，因为21()()P B P B >，所以乙应选择2L ．【23】．解：（1）由题设知1()ln g x x x=+， ∴21(),x g x x-'=令()g x '=0，得x =1．当(0,1)x ∈时，()0g x '<，故(0,1)是()g x 的单调递减区间．当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故(1,)+∞是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．（2）1ln g x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，设11()()2ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则22(1)()x h x x -'=-．当1x =时，(1)0h =，即1()g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0,(1)0h x h ''<=，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减．当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，当1,()(1)0x h x h ><=时，1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即．（3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以1()()g a g x a -<对任意0x >成立1()1,g a a ⇔-< 即ln 1,a <从而得0e a <<，即a 的取值范围为(0,e)．【End 】。

2011年全国统一高考数学真题试卷——陕西省

【本文作者】姓名：雷春来工作单位：陕西省西乡县第二中学2011年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、设,a b 是向量，命题“若a = -b ，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是（）（A ）若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ （B ）若a b =，则∣a ∣≠∣b ∣（C ）若∣a ∣≠∣b ∣，则∣a ∣≠∣b ∣ （D ）若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b 2、设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（）（A ）28y x =- （B ）28y x = (C) 24y x =- (D) 24y x =3.设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=则()y f x =的图像可能（）4. 6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（）（A ）-20 （B ）-15 （C ）15 （D ）205. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A ）283π- （B ）83π- (C) 82π- (D) 23π6. 函数f(x)= cos x x 在[0，+∞）内（）（A ）没有零点（B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点（D ）有无穷多个零点7. 设集合M={y |22|cos sin |y x x =- ，x ∈R},N={x | 1||2x i-<，i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为（）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]8. 右图中，123,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。

当126,9x x ==，p=8.5时，3x等于（）(A)11 (B)10 (C)8 (D)7 9. 设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）（A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（B ）x 和y 的相关系数在0到1之间（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同（D ）直线l 过点(,)x y10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）（A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，若((1))1f f =，则a = . 12、设n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = .13.观察下列等式 1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。

2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西理

2011年陕西理一、选择题（共10小题；共50分）1. 设a，b是向量，命题"若a=−b，则a=b "的逆命题是 A. 若a≠−b，则a≠bB. 若a=−b，则a≠bC. 若a≠b，则a≠−bD. 若a=b，则a=−b2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=−2，则抛物线的方程是 A. y2=−8xB. y2=8xC. y2=−4xD. y2=4x3. 设函数f x x∈R满足f−x=f x，f x+2=f x，则y=f x的图象可能是 A. B.C. D.4. 4x−2−x6x∈R展开式中的常数项是 A. −20B. −15C. 15D. 205. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A. 8−2π3B. 8−π3C. 8−2πD. 2π36. 函数f x=x−cos x在0,+∞内 A. 没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点7. 设集合M=y y=cos2x−sin2x,x∈R，N= x x−1i<2,i为虚数单位,x∈R ，则M∩N= A. 0,1B. 0,1C. 0,1D. 0,18. 如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于 A. 11B. 10C. 8D. 79. 设x1,y1，x2,y2，⋯，x n,y n是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 A. x和y的相关系数为直线l的斜率B. x和y的相关系数在0到1之间C. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D. 直线l过点x,y10. 甲、乙两人一起去游" 2011西安世园会"，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A. 136B. 19C. 536D. 16二、填空题（共7小题；共35分）11. 设f x=lg x,x>0,x+∫3t2d ta,x≤0,若f f1=1，则a=．12. 设n∈N+，一元二次方程x2−4x+n=0有整数根的充要条件是n=．13. 观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49⋯照此规律，第n个等式应为．14. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米．15. 若关于x的不等式 a ≥ x+1+ x−2存在实数解，则实数a的取值范围是．16. 如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90∘，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=．17. 直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1:x=3+cosθy=4+sinθ θ为参数和曲线C2:ρ=1上，则 AB 的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）18. 如图，在△ABC中，∠ABC=60∘，∠BAC=90∘，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90∘．（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．19. 如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且 MD =45PD ．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；的直线被C所截线段的长度．（2）求过点3,0且斜率为4520. 叙述并证明余弦定理．21. 如图，从点P10,0作x轴的垂线交曲线y=e x于点Q10,1，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；⋯；P n，Q n，记P k点的坐标为x k,0k=1,2,⋯,n．（1）试求x k与x k−1的关系2≤k≤n；（2）求P1Q1+P2Q2+P3Q3+⋯+P n Q n．22. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间分钟10∼2020∼3030∼4040∼5050∼60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径?（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望．，g x=f x+fʹx．23. 设函数f x定义在0,+∞上，f1=0，导函数fʹx=1x（1）求g x的单调区间和最小值；的大小关系；（2）讨论g x与g1x对任意x>0成立?若存在，求出x0的取值范围；（3）是否存在x0>0，使得g x−g x0<1x若不存在，请说明理由．答案第一部分1. D 【解析】原命题的条件是a=−b，作为逆命题的结论；原命题的结论是a=b，作为逆命题的条件，即得逆命题"若a=b，则a=−b "．2. B 【解析】由准线方程x=−2得−p2=−2，且焦点在x轴的正半轴．所以y2=2px=8x．3. B 【解析】由f−x=f x得y=f x是偶函数；由f x+2=f x得y=f x是周期为2的周期函数．4. C5. A【解析】由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥．6. B 【解析】令f x=x−cos x=0，则x=cos x，函数y=x和y=cos x在0,+∞的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f x=x−cos x在0,+∞内有且仅有一个零点．7. C 8. C 【解析】x1=6，x2=9，x1−x2=3≤2不成立，即为"否"，所以输入x3；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）知不等式x3−x1<x3−x2表示：点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离．所以当x3<7.5时，x3−x1<x3−x2成立，即为"是"，此时x2=x3，所以p=x1+x32，即6+x32=8.5，解得x3=11>7.5，不合题意；当x3≥7.5时，x3−x1<x3−x2不成立，即为"否"，此时x1=x3，所以p=x3+x22，即x3+92=8.5，解得x3=8≥7.5，符合题意．9. D 【解析】记住回归直线永远过x,y．10. D【解析】甲、乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A64⋅A64（种），最后一小时他们同在一个景点的情形有A53⋅A53×6（种）．所以P=A53⋅A53×6A64⋅A64=16．第二部分11. 1【解析】因为x=1>0，所以f1=lg1=0.又因为f x=x+3t2d ta=x+a3,所以f0=a3=1,解得a=1.12. 3或4【解析】x=4±16−4n2=2±4−n，因为x是整数，即2±4−n为整数，所以4−n为整数，且1≤n≤4．取n=1,2,3,4验证，可知n=3,4符合题意；反之，n=3,4时，可推出一元二次方程x2−4x+n=0有整数根．13. n+n+1+⋯+3n−2=2n−12【解析】提示：把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n−1；等式右边都是完全平方数（左边式子的中间数的平方）．14. 2000【解析】法一：此题首先可通过实际生活经验得知：树苗放到越靠中间总路程越小，故当树苗放在第10或11个树坑时，路程最小．法二：设树苗放在第x个树坑时，往返所走总路程为y．则前x个人所走路程共20x−1+x−2+⋯+0=10x x−1；后20−x个人所走的路程为201+2+⋯+20−x=1020−x21−x；因此，20名学生所走总路程为y=20x2−420x+4200．15. −∞,−3∪3,+∞【解析】当−1≤x≤2时，在数轴上表示x的点到−1、2表示的点的距离之和为3，所以当x∈R时，x+1+x−2 ≥3．所以，只要a ≥3，此时解得a≤−3或a≥3．16. 42【解析】因为AE⊥BC，所以∠AEB=∠ACD=90∘．又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以AC AE =ADAB，所以AE=AB⋅ACAD=6×412=2，在Rt△AEB中，BE= AB2−AE2=62−22=42．17. 3【解析】曲线C1的直角坐标方程是x−32+y−42=1，曲线C2的直角坐标方程是x2+y2=1，两圆外离，所以AB的最小值为3．第三部分18. （1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB．又DB ∩DC =D ，∴AD ⊥ 平面 BDC ． ∵AD ⊂ 平面 ABD ，∴平面ABD ⊥ 平面 BDC ．（2）由∠BDC =90∘及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设 DB =1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D 0,0,0 ，B 1,0,0 ，C 0,3,0 ，A 0,0, 3 ，E 12,32,0 ，所以AE = 1,3,− 3 ,DB= 1,0,0 ,所以cos AE ,DB=AE ⋅DB AE ⋅ DB=121×4= 2222,所以AE 与DB夹角的余弦值是 2222． 19. （1）设点M 的坐标是 x ,y ，P 的坐标是 x p ,y p ，则根据题意得x p =x ,y p =5y ,因为点P 在圆x 2+y 2=25上，所以x 2+ 54y 2=25,整理即得轨迹C 的方程为x 225+y 216=1.（2）过点 3.0 且斜率为45的直线方程是y =45x −3 ,设此直线与C 的交点为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，将y =45x −3 代入轨迹C 的方程得x2+x−32=1,化简得x2−3x−8=0,解得x1=3−41,x2=3+412,所以线段AB的长度是AB =122122=x1−x22+16x1−x22=1+1625x1−x22=41×41=41.故所截线段的长度是415．20. 叙述：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2−2bc cos A,b2=c2+a2−2ca cos B,c2=a2+b2−2ab cos C.证法一：如图，a2=BC2= AC−AB⋅ AC−AB=AC2−2AC⋅AB+AB2=AC2−2AC⋅AB cos A+AB2=b2−2bc cos A+c2,即a2=b2+c2−2bc cos A.同理可证b2=c2+a2−2ca cos B,c2=a2+b2−2ab cos C.证法二：已知△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C b cos A,b sin A，B c,0，所以a2=BC2=b cos A−c2+b sin A2=b2cos2A−2bc cos A+c2+b2sin2A=b2+c2−2bc cos A,即a2=b2+c2−2bc cos A.同理可证b2=c2+a2−2ca cos B,c2=a2+b2−2ab cos C.21. （1）设P k−1x k−1,0，由yʹ=e x得曲线在Q k−1x k−1,e x k−1点处的切线方程为y−e x k−1=e x k−1x−x k−1.由y=0得x k=x k−1−12≤k≤n.（2）x1=0，x k−x k−1=−1，得x k=−k−1,所以P k Q k=e x k=e−k−1，故P1Q1+P2Q2+P3Q3+⋯+P n Q n=1+e−1+e−2+⋯+e−n−1=1−e−n 1−e−1=e−e1−n.22. （1）A i表示事件"甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站"，B i表示事件"乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站"，i=1,2．用频率估计相应的概率，则有：P A1=0.1+0.2+0.3=0.6,P A2=0.1+0.4=0.5;因为P A1>P A2，所以甲应选择路径L1；P B1=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P B2=0.1+0.4+0.4=0.9;因为P B2>P B1，所以乙应选择路径L2．（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P A=0.6,P B=0.9,又事件A，B相互独立，X的取值是0,1,2，所以P X=0=P AB=P A ⋅P B=0.4×0.1=0.04,P X=1=P AB+AB=P A P B+P A P B=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,P X=2=P AB=P A⋅P B=0.6×0.9=0.54,所以X的分布列为X012P0.040.420.54所以EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.23. （1）∵fʹx=1x，所以f x=ln x+c c为常数,又∵f1=0，所以ln1+c=0,即c=0,所以f x=ln x,g x=ln x+1 x ,所以gʹx=x−12,令gʹx=0，即x−1x2=0,解得x=1,当x∈0,1时，gʹx<0,g x是减函数，故区间0,1是函数g x的减区间；当x∈1,+∞时，gʹx>0,g x是增函数，故区间1,+∞是函数g x的增区间；所以x=1是g x的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g x的最小值是g1=1.（2）g 1=−ln x+x,设 x=g x−g1x =2ln x−x+1x，则ʹx=−x−122,当x=1时， 1=0，即g x=g 1 x ,当x∈0,1∪1,+∞时，ʹx<0, ʹ1=0,因此函数 x在0,+∞内单调递减，当0<x<1时，x> 1=0,所以g x>g 1 x;当x>1时，x< 1=0,所以g x<g 1 .（3）满足条件的x0不存在．证明如下：证法一：假设存在x0>0，使g x−g x0<1x对任意x>0成立，即对任意x>0有ln x<g x0<ln x+2x, ⋯⋯①但对上述的x0，取x1=e g x0时，有ln x1=g x0,这与①左边的不等式矛盾，因此不存在x0>0，使g x−g x0<1x对任意x>0成立．证法二：假设存在x0>0，使g x−g x0<1x对任意x>0成立，由（1）知，g x的最小值是g1=1,又g x=ln x+1x>ln x,而x>1时，ln x的值域为0,+∞，∴当x⩾1时，g x的值域为1,+∞，从而可以取一个值x1>1，使g x1⩾g x0+1,即g x1−g x0⩾1,所以g x1−g x0 ⩾1>1 x1 ,这与假设矛盾．∴不存在x0>0，使g x−g x0<1x对任意x>0成立．。

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2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(理科)全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设a ，b 是向量，命题“若a b =- ，则||||a b = ”的逆命题是（）（A ）若a b ≠- ，则||||a b ≠ （B ）若a b =- ，则||||a b ≠（C ）若||||a b ≠ ，则a b ≠- （D ）若||||a b = ，则a b =-【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。

【解】选D 原命题的条件是a b =- ，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b = ，作为2 （）（A ）28y x =- （B ）y 24y x =【解】选 B 由准线方程x x 轴的正半轴），所以228y px x ==．3．设函数()f x （x ∈R ()y f x =的图像是（）【分析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．【解】选B 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选C 62(6)1231666(4)(2)222r x r x r r x r xr r x xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅，令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A ）283π-（B ）83π- （C ）82π- 2π6cos x =，设函数一个，所以函数()cos f x x =在[0,)+∞内有且仅有一个零点；（方法二）在[,)2x π∈+∞1>，cos 1x ≤，所以()f x =在(0,]2x π∈，()sin 0f x x '=+>，所以函数()f x =(0)1f =-，()2f π=>上有且只有一个零点．7．设集合2{||cos M y y ==，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（）（A ）（0，1）（B ）(0，|()|x i --<x ∈R ，所以11x -<<，[0,1)=，故选C.8的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于（）（A ）11 （B ）10 （C ）8 （D ）7【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件3132||||x x x x -<-是否成立是解答本题的关键．【解】选C 16x =，29x =,12||32x x -=…不成立,即为“否”，所以再输入3x ；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式3132||||x x x x -<-知，点3x 到点1x 的距离小于点3x 到2x 的距离，所以当37.5x <时，3132||||x x x x -<-成立，即为“是”，此时23x x =，所以132x x p +=，即368.52x +=，解得311x =7.5>，不合题意；当37.5x …时，3132||||x x x x -<-不成立，即为“否”，此时13x x =，所以322x x p +=，即398.52x +=，解得38x =7.5>，符合题意，故选C ．9．设1122(,),(,)x y x y ，…，33(,)x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（）10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）（A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16 【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有4466A A ⋅（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有33556A A ⋅⨯（种），所以33554466616A A P A A ⋅⨯==⋅．二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设20lg 0()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从1x =算起是解答本题的突破口.【解】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3a f x x tdt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．【答案】112．设n N +∈，一元二次方程240x xn -+=有整数．．根的充要条件是n = ．【解】x =2=为整数，且4n …，又因为n ∈反之3,4n =时，可推出一元二次方程2x 【答案】3或413．观察下列等式2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… ……所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=- ，即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-【答案】2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），1 2 … i … 19 20那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯++-⨯ (1)(20)(120)]i i i i +-++的值最小，最小值是1000，所以往返路程10个和第11树苗放在第一个23800=；树苗放在第(1210)2⨯+++⨯ 所以路程总和最小为A a 的取值范围是．【分析】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，再使得a 能取到此范围内的值即可．【解】当1x -…时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+…；当12x -<…时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=；当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->；综上可得|1||2|3x x ++-…，所以只要||3a …，解得3a -…或3a …，即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞ ．【答案】(,3][3,)-∞-+∞B ．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠= ，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= ．【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．【解】因为AE BC ⊥，所以∠AEB=90ACD ∠= ，又因为∠B=∠D ，所以△AEB ∽△ACD ，所以AC AD AE AB=,．C x 轴的正半轴为极和曲线2C ：1ρ=21=，两圆外离，75分）16．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC=60 ，∠BAC 90=，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC 90= ．（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设E 为BC 的中点，求AE 与DB夹角的余弦值．【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．【解】（1）∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后， AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB DC D = ，∴AD ⊥平面BDC ，∵AD Ü平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）由∠BDC 90=及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB|=1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：12,32,0)，【分析】（1）动点M 通过点P 与已知圆相联系，所以把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．【解】（1）设点M 的坐标是(,)x y ，P 的坐标是(,)p p x y ，因为点Ｄ是Ｐ在x 轴上投影，Ｍ为PD 上一点，且4||||5MD PD =，所以p x x =，且54p y y =，∵P 在圆2225x y +=上，∴225()254x y +=，整理得2212516x y +=，即C 的方程是2212516x y +=．（2）过点（3，0）且斜率为45的直线方程是4(3)5y x =-，设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线方程4(3)5y x =-代入C 的方程2212516x y +=得：22(3)12525x x -+=，化简得2380x x --=，∴132x =，2x =所以线段AB 的长度是||AB415==18．（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理．【解】叙述:余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。