《中学数学教学设计案例》

中学数学教学设计案例案例 数学教学目标设计示例为了说明数学教学目标设计的步骤和方法，并准确地陈述教学目标，现以“有理数的加法”一节为例，详细地说明教学目标的设计。

“有理数的加法”教学目标设计1．掌握有理数加法法则：(1) 能准确叙述有理数加法法则，并知道哪哪些问题是属于有理数的加法。

(2) 能按法则把有理数的加法分解成两个步骤完成：① 确定符号；② 确定绝对值。

(3) 熟练、准确地利用加法法则进行计算。

2．理解有理数加法法则导出过程及本身所含的数学思想方法。

（1）能解释数形结合和分类的思想；（2）能懂得初步的算法思想；（3）学会“观察——归纳”的思维方法。

3．初步感受从特殊到一般和从一般到特殊的思维方式；体验用矛盾转化的观点认认识问题；培养严谨、认真、理论联系实际的科学态度和学风。

数学教学过程的设计每一节课的教学过程都是由具体的、生动活泼的教学活动组成的。

因而，完成了上述方面的教学设计之后，就应着手安排具体的教学活动。

具体教学过程的设计，是课堂教学中直接操作的部分，应该按照具体的教学模式来进行富有创造性的设计，同时，应对教学活动进行设计，它主要包括：导入设计、教学情境设计、提问设计、练习设计、讨论设计和小结设计。

案例 充 要 条 件一、教学目标1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念.2. 能在判断中正确运用以上概念，并为今后用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.二、教学过程（一）复习引入师：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）；（1）若1≥x ，则12≥x ；（2）若22y x =，则y x =；（3）全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；（5）若0=ab ，则0=a ；（6）若方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不等的实数解，则042>-ac b .（学生口答，教师板书）生：（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题.师：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题。

你是如何判断其真假的？ 生：看p 能不能推出q ，如果p 能推出q ，则原命题是真命题，否则就是假命题.师：很好！对于命题“若p ，则q ”，如果由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立。

换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件，记作p ⇒q ．（二）讲授新课（板书充分条件的定义）一般地，如果已知p ⇒q ，那么我们就说p 是q 成立的充分条件. 师：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系.生：（口答）（1）“1≥x ”是“12≥x ”成立的充分条件；（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；（3）“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实数解”是“042>-ac b .”成立的充分条件. 师：从另一个角度看，如果p ⇒q 成立，那么其逆否命题⌝p ⇒⌝q 也成立，即如果没有q ，也就没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，也就是必要条件.（板书必要条件的定义）师：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.（学生口答）（1）因为1≥x ⇒12≥x ，所以1≥x 是12≥x 的充分条件，12≥x 是1≥x 的必要条件；（2）因为22y x =⇐y x =，所以22y x =是y x =的必要条件，y x =是22y x =的充分；（3）因为“两三角形全等”⇒“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；（4）因为“四边形的对角线互相垂直”⇐“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；（5）因为0=ab ⇐0=a ，所以0=ab 是0=a 的必要条件，0=a 是0=ab 的充分条件；（6）因为“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”⇒“042>-ac b ”，而且“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”⇐“042>-ac b ”，所以“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”是“042>-ac b ”充分条件，而且是必要条件. 师：如果p 是q 的充分条件，p 又是q 的必要条件，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q ．（板书充要条件的定义）（三）巩固新课例1（用投影仪投影）① 因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以A 是B 的充分非必要条件，B 是A 的必要非充分条件；② x >5一定能推出x >3，而x >3不一定推出x >5，所以A 是B 的充分非必要条件，B 是A 的必要非充分条件；③ m 、n 是奇数，那么m ＋n 一定是偶数；m ＋n 是偶数，m 、n 不一定都是奇数（可能都为偶数），所以A 是B 的充分非必要条件，B 是A 的必要非充分条件；④ b a ≥表示b a >或b a =，所以b a ≥是b a >成立的必要非充分条件；⑤ 由交集的定义可知A x ∈且B x ∈是B A x ⋂∈成立的充要条件；⑥ 由0≠ab 知0≠a 且0≠b ，所以0≠ab 是0≠a 成立的充分非必要条件；⑦ 由0)2)(1(=-+y x 知1-=x 或2=y ，所以0)2)(1(=-+y x 是2,1=-=y x 成立的必要非充分条件；⑧ 易知“m 是4的倍数”是“m 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；（通过对上述问题的交流、思辨，在争论中得到了正确答案，加深了对充分条件、必要条件的认识.） 例2 已知α是β的充要条件，S 是γ的必要条件同时又是β的充分条件，试判断α与γ的关系.（投影）师：请同学们把解答写在投影片上.（师巡视后，选错误及正确的解答展示，最后把正确的解答定格.）解：由已知得 γβα⇐⇐⇔S ，所以γ是α的充分条件，或α是γ的必要条件.(四) 课堂练习课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第35页 练习1、2；第36页 练习1、2. （通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评.）（五）小结回授师：今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A 是B 的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.（六）布置作业第36页, 习题1.8 1、2、3.案例： 两角和与差的余弦公式一、课型：新授课.二、教学目标:引导学生经历探索两角和的余弦公式的过程，培养学生主动参与探究数学的意识和能力；使学生掌握两角和与差的余弦公式，并能应用公式解决一些较简单的问题.三、教学重点和难点教学重点：两角和与差的余弦公式的形式及其应用.教学难点：两角和与差的余弦公式的得来过程.四、教学方法：启发引导、探索发现法.五、教学过程：1．创设问题情境前面我们学习了任意角的三角函数，也知道了一些特殊角的三角函数值，如：；190sin ,2360sin ,2245sin ,21sin30,00sin =====0.90cos ,2160cos ,2245cos ,2230cos ,10cos ===== 但如果要求015cos ，应该怎样进行？ 2、尝试阶段学生思考、讨论、归纳得出方法一：查数学用表，得出015的三角函数值.教师启发性提问——能否用我们已经学过的特殊角进行转化呢？学生转化得到方法二：进行转化，用我们以前学过的特殊角进行代换.因为304515-=，所以)30cos(45cos15 -=.教师启发性提问——015cos 与045cos 和030cos有无联系？（能否用其表示） 部分学生猜想——2322322cos30cos453045cos -=-=-=- ）（. 教师进一步启发性提问——以上猜想是否正确？能否得到一般结论：βαβαcos -cos )(cos =-？教师引导学生思考讨论——检验 30cos cos45cos15-=是否正确.可采用的方法很多，较好的一种选择是教师先引导，学生再判断，进而得出结论：βαβαcos -cos )(cos ≠-.由特殊到一般：βαβαcos -cos )(cos ≠-.3．探索阶段提出问题：怎样利用化归思想将α＋β的三角函数表示成α和β的三角函数.分析问题：学生已经有了处理任意角的三角函数问题的方法，如诱导公式的推导，在研究同角三角函数和诱导公式的时候，经常采用直角坐标系中的单位圆及三角函数线。

要寻找α＋β的三角函数与α和β的三角函数的关系，不妨从单位圆开始。

在教师的启发和学生的合作下，在直角坐标系中画出单位圆，并作出角α和β，如图1所示，这样角α＋β也出现了，由单位圆的特殊功能可以直接得出角α、α＋β起始边和终边与单位圆交点的坐标：)0,1(1P ；)sin ,(cos 2ααP ；))sin(),(cos(3βαβα++P .现在问题的关键是建立)cos(βα+的等式，如何将点1P 、2P 的坐标联系起来，似乎很难找到这样的等量关系.在△21P OP 中应用余弦定理可以建立一个等式，但目前学生还没有学过余弦定理，因此只能另找解决方法.教师引导：图1中出现了角α和角α＋β的正余弦，但现在的关键是角β的正余弦还未能体现出来.在这样的启发和引导下，学生自然想到，需要将角β在图中体现出来，于是以1OP 为始边作角β，终边与单位圆交点为)sin ,(cos 4ββP ，得到图2.教师进一步启发，现在需要建立起包含)cos(βα+的等量关系. 因为图2中1P 、2P 、3P 、4P 的坐标可以用角α、β、α＋β的正余弦表示，所以要建立角α、β、α＋β的正余弦之间的关系，自然联系到1P 、2P 、3P 、4P .只需建立1P 、2P 、3P 、4P 四点之间的关系，此时很容易发现3241P P P P =，再将1P 、2P 、3P 、4P 四点的坐标用角α、β、α＋β的正余弦形式代入，就有：2222]sin )[sin(]cos )[cos(sin )1(cos αβααβαββ-++-+=+-化简得 αβααβαβsin )sin(cos )cos(cos +++=此时，探讨过程出现了疑惑：以上推导好像得不到)cos(βα+的表达式。

此路似乎不通，通常学生在这种情况下就会望而止步，甚至放弃之前的一切工作，重新回到起点。

但科学的道路是需要坚持、回顾与反思的.教师进一步引导：上式得不到)cos(βα+的表达式，但同学们仔细观察等式的形式，可以发现βcos 可以用角α和角α＋β的正余弦表示。