[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷128.doc
考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)模拟试卷108(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷108(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（）A．A+B是对称矩阵B．AB是对称矩阵C．A*+B*是对称矩阵D．A一2B是对称矩阵正确答案：B解析：由题设条件，则（A+B）T=AT+BT=A+B（kB）T=kBT=kB，所以有（A一2B）T=AT一（2BT）=A一2B，从而选项A、D是正确的。
首先来证明（A*）T=（AT）*，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。
（A*）T在位置（i，j）的元素等于A*在（j，i）位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。
而矩阵（AT）*在（i，j）位置的元素等于AT的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。
从而（A*）T=（AT）*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。
结合选项A可知选项C是正确的。
因为（AB）T=BTAT=BA，从而选项B不正确。
注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。
所以应选B。
知识模块：线性代数2．A．P1P3AB．P2P3AC．AP3P2D．AP1P3正确答案：B解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。
该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。
而P2P3，A正是后者，所以应选B。
知识模块：线性代数3．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（）A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关正确答案：A解析：记B=（α1，α2，…，αs），则（Aα1，Aα2，…，Aαs）=AB。
2023数三考研真题试卷
2023数三考研真题试卷数三考研真题试卷是针对中国高等教育中数学三科目的模拟考试材料，通常包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计等部分。
以下是一份模拟的2023年数三考研真题试卷内容：一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值出现在哪个点？A. \( x = 0 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 4 \)D. \( x = -2 \)2. 已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的行列式。
A. 2B. 4C. -2D. -43. 设随机变量\( X \)服从正态分布\( N(0, 1) \)，求\( P(X > 1) \)。
A. 0.1587B. 0.3173C. 0.8413D. 0.6827...（此处省略其他选择题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \)等于______。
2. 设\( A \)为\( n \times n \)的正交矩阵，证明\( \det(A) \)等于______。
...（此处省略其他填空题）三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \)。
2. 给定函数\( f(x) = \ln(1 + x) \)，求其在区间\( [0, 1] \)上的最大值和最小值。
...（此处省略其他解答题）四、综合题（每题20分，共20分）1. 某工厂生产一种产品，其生产成本\( C(x) \)与生产量\( x \)之间的关系为\( C(x) = 10x + 30 \)，产品售价为\( p = 50 \)。
[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷127.doc
![[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷127.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/f374e87b0912a21614792950.png)
22设A～B，
23求a，b；
24求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
24设 且A～B．
25求a；
26求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
26设 有三个线性无关的特征向量．
27求a；
28求A的特征向量；
29求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵．
15设
16证明A可对角化；
17求Am．
18设 有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
19设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．
20设A为三阶矩阵，Aα1=iαi(i=1，2，3)， 求A．
21设 的逆矩阵A-1的特征向量，求x，y，并求A-1对应的特征值μ．
[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷127
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )．
（A）矩阵A与单位矩阵E合同
（B）矩阵A的特征值都是实数
（C）存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵
（D）存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵
2设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则( )．
30 (1)设A，B为n阶矩阵，|λE—A|=|λE一B|且A，B都可相似对角化，证明：A～B．(2)设 矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
（B）A-1+B-1
（，其中 则x=____________，y=_________．
6设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为 则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为___________．
考研数学三线性代数模拟试卷128_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三（线性代数）模拟试卷128(总分74, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．SSS_SINGLE_SELA存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1 AP1，P2-1 BP2为对角矩阵B存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1T AQ1，Q2T BQ2为对角矩阵C存在可逆矩阵P，使得P -1 (A+B)P为对角矩阵D 存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B分值: 2答案:D解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B；选(D)．2.n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．SSS_SINGLE_SELA A无负特征值B A是满秩矩阵C A的每个特征值都是单值DA -1是正定矩阵分值: 2答案:D解析：正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件．3.下列说法正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 任一个二次型的标准形是唯一的B 若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C 若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D 二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的分值: 2答案:D解析：(A)不对，如f=x1 x2，令则f=y12一y22；若令则f=y12一9y22； (B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同； (C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．4.设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T AX与X T A -1 X( )．SSS_SINGLE_SELA 规范形与标准形都不一定相同B 规范形相同但标准形不一定相同C 标准形相同但规范形不一定相同D 规范形和标准形都相同分值: 2答案:B解析：因为A与A -1合同，所以X T AX与X T A -1 X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．5.设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．SSS_SINGLE_SELA 可逆矩阵B 实对称矩阵C 正定矩阵D 正交矩阵分值: 2答案:B解析：因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P，使得P T AP=A，从而A=(P T ) -1 AP -1 =(P -1 ) T AP -1，A T =[(P -1 ) T AP -1 ] T =(P -1 ) T AP -1 =A，选(B)．6.设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．SSS_SINGLE_SELA A，B合同B A，B相似C 方程组AX=0与BX=0同解D r(A)=r(B)分值: 2答案:D解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D)．7.设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．SSS_SINGLE_SELA r(A)=r(B)B |A|=|B|C A～BD A，B与同一个实对称矩阵合同分值: 2答案:D解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．8.设则A与B( )．SSS_SINGLE_SELA 相似且合同B 相似不合同C 合同不相似D 不合同也不相似分值: 2答案:C解析：由|λE—A|=0得A的特征值为1，3，一5，由|λE—B|=0得B的特征值为1，1，一1，所以A与B合同但不相似，选(C)．9.设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题： (1)A～B；(2)A，B合同； (3)A，B等价； (4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )．SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4分值: 2答案:B解析：因为A，B的特征值为一2，1，1，所以|A|=|B|=一2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选(B)．2. 填空题1.二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2) 2 +4x2x3的矩阵为_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：因为f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 一4x 1 x 2 +4x 2 x 3，所以2.设 则α 1 ，α 2 ，α 3 经过施密特正交规范化后的向量组为___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：令 β 3 =α 3 ， 正交规范化的向量组为3.设二次型2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为2，则a=___________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：该二次型的矩阵为因为该二次型的秩为2，所以|A|=0，解得 4.设5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一2x 1 x 3 一2x 2 x 3 为正定二次型，则t 的取值范围是__________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：二次型的矩阵为因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，|A|＞0，解得t ＞2．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三线性代数(向量)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（向量）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一l，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，l，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f,0，3)T；③(a，l，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。
则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。
B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。
C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。
D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。
正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。
由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。
所以应排除C。
向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。
应排除A。
由排除法，本题应选D。
知识模块：向量2．设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。
B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。
C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。
D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。
正确答案：B解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确。
考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5 (2)x3，x5 (3)x1，x5 (4)x2，x3那么正确的共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．知识模块：线性方程组2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A．4个．B．3个．C．2个．D．1个．正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A．(1，-1，3)TB．(2，1，-3)TC．(2，2，-5)TD．(2，-2，6)T正确答案：B解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．知识模块：线性方程组4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A．r=nB．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．知识模块：线性方程组5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．知识模块：线性方程组6．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1-α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确. 知识模块：线性方程组7．三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．知识模块：线性方程组8．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：D解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A：b)，所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)＜b．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．知识模块：线性方程组填空题9．设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____正确答案：1解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n-r=3-2=1．知识模块：线性方程组10．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．知识模块：线性方程组11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．方程组有非零解，则k=_______正确答案：-1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(K+1)=0，因此得k=-1．知识模块：线性方程组13．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n-r(A*)=3-1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T 知识模块：线性方程组14．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______正确答案：解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜≠0，由可知λ≠1且λ≠知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（B）2
（C）3
（D）4
二、填空题
10二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2+4x2x3的矩阵为_______．
11设 则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为___________．
12设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=___________．
27求A的全部特征值；
28当k为何值时，A+kE为正定矩阵?
29设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3为正定二次型，求t的范围．
30设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．
31用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个)．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷128
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵
（B）|A|=|B|
（C）A～B
（D）A，B与同一个实对称矩阵合同
8设 则A与B( )．
（A）相似且合同
（B）相似不合同
（C）合同不相似
（D）不合同也不相似
9设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：
(1)A～B；
(2)A，B合同；
(3)A，B等价；
(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )．
（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
4设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X( )．
（A）规范形与标准形都不一定相同
（B）规范形相同但标准形不一定相同
（C）标准形相同但规范形不一定相同
（D）规范形和标准形都相同
5设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．
15设二次型f(x1，x2，x3)一XT．AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中
16求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
17求矩阵A．
17设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又 且AB=O．
18求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY，下二次型化为标准形．
19求矩阵A．
35求PTCP；
36证明：D—BA-1BT为正定矩阵．
32用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．
32二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32一4x1x2一8x1x3一4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22一4y32，求：
33常数a，b；
34正交变换的矩阵Q．
34设 为正定矩阵，令
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵
（C）正定矩阵
（D）正交矩阵
6设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．
（A）A，B合同
（B）A，B相似
（C）方程组AX=0与BX=0同解
（D）r(A)=r(B)
7设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
（A）r(A)=r(B)
20用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3一4x2x3为标准二次型．
20设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a>0)的秩为
21求a；
22用正交变换法化二次型为标准形．
22设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：
13设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是__________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3为标准二次型．
15用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3一4x32为标准形．
23二次型XTAX的标准形；
24 |E+A+A2+…+An|的值．
24设A为n阶实对称可逆矩阵，
25记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；
26二次型g(x)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
26设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=O，r(A)=2．