宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期期中数学(文)试题
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第三次月考(期末考试)数学试卷(文)(解析版)
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第三次月考（期末考试）数学试卷（文）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1. 已知集合{}21xA y y ==+，{}20B x x =-<，则A B =（ ）A. ()1,2B. ()0,2C. ()1,+∞D. ()2,+∞『答案』A『解析』由{}1A y y =>，{}2B x x =<，得()1,2A B ⋂=. 故选：A.2. 在等比数列{}n a 中，若43a =，996a =，则1a =（ ） A.34B.38C.32D.35『答案』B『解析』设等比数列{}n a 公比为q ，则59496323a q a ===， 解得：2q ，则41338a a q ==. 故选：B. 3.函数()f x =）A. ()2,+∞B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)2,+∞『答案』A『解析』由题知：2002log 102x x x x x >>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨->>⎩⎩.所以函数()f x =()2,+∞.故选：A4. 若0.12a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.1c =，则（ ） A. b a c >>B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>『答案』A『解析』0.20.20.112202b a -⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭，由对数函数的性质可得2log 0.10c =<， 故b a c >>. 故选：A.5. 已知x ，y 满足约束条件204101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩，则31z x y =+-的最小值为（ ）A. -6B. -7C. -8D. -9『答案』D『解析』画出约束条件204101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩所表示的平面区域，如图所示，由目标函数31z x y =+-可化为31y x z =-++，当直线31y x z =-++过点A 时，在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由4101x y x --=⎧⎨=-⎩，解得：)(1,5A --，所以z 的最小值为()31519⨯---=-. 故选：D.6. 已知0>ω，则“2ω=”是“π为函数3()sin 20f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』当2ω=时，函数3()sin 20f x x ωπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π； 当4ω=时，函数3()sin 20f x x ωπ⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为2π， π也是函数()f x 的周期.故“2ω=”是“π为函数3()sin 20f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个周期”的充分不必要条件. 故选：A.7. 在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8『答案』B『解析』设两鼠n 天可相逢，由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，大鼠n 天打洞尺寸为122112nn -=--，的小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为12的等比数列， 小鼠n 天打洞尺寸为1111221212n n --=--， 两鼠n 天打洞尺寸之和为：11112122122n nn n ---+-=-+，令1121332nn --+≥，经验证：5n =时，1121332nn --+≥不成立；6n =时，1121332n n --+≥成立；所以两鼠6日可相逢， 故选：B.8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.3『答案』A『解析』由三视图可得，该几何体为放倒是三棱柱，底面积，高，因此棱柱的体积，故『答案』为A ．9. 函数y =||2x sin2x 的图象可能是( )A. B.C. D.『答案』D『解析』令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.10. 已知正数a ，b 满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A. 8B. 10C. 9D. 6『答案』C『解析』由2a b ab +=得211b a+=，因为0,.0a b >>，所以21222(2)()5a b a b a b b a b a+=++=++5549≥+=+=， 当且仅当22a b b a=且211b a +=，即3a b ==时，等号成立.所以2+a b 的最小值为9. 故选：C.11. 若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A. (),0-∞ B. ()0,∞+，(-1，0)C ()(),11,0-∞-- D. ()(),1,1,0-∞--『答案』D『解析』因为()21x e f x ax -=+，所以222(1)()(1)x x e ax e a f x ax --+-⋅'=+22(1)(1)x e ax a ax -+-=+， 所以切线的斜率12(1)(1)e k f a -'==+，又曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，所以(1)011f k -==+12(1)e a -+，所以112(1)2(1)e e a a --=++，解得1a =，所以()21x e f x ax -=+21x e x -=+,22()(1)x xe f x x -'=+, 由()0f x '<得0x <且1x ≠-，所以函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，(1,0)-. 故选：D.12. 已知函数2(),x af x x x a≤=>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A. (],1-∞B. []0,1C. (],0-∞D. [)0,+∞『答案』B『解析』由函数y =①当0a <时，若x a ≤0≤<，而20x ≥，此时函数()f x 的值域不是R ；②当0a ≥时，若x a ≤≤而22x a >，若函数()f x 的值域为R ，必有2a ≤可得01a ≤≤.故若函数()f x 的值域为R ， 则实数a 的取值范围为[]0,1. 故选：B.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 已知向量a b ⊥，若()2315a b a ⋅+=，则a =________.『解析』a b ⊥，0a b ∴⋅=，又()2315a b a ⋅+=，即22315a b a ⋅+=， 即2315a =， 解得：5a =.故『答案』14. 在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，若()()153693218a a a a a ++++=，则8S =________.『答案』12『解析』()()153693218a a a a a ++++=，即366618a a +=， 即363a a +=，则()()1883684122a a S a a +==+=. 故『答案』为：12.15. 若等边ABC 的边长为1，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=______________.『答案』29-『解析』由已知111cos602CA CB ⋅=⨯⨯︒=， 11113223MA CA CM CA CB CA CA CB =-=--=-，11213232MB CB CM CB CB CA CB CA =-=--=-，221121112()()23324291112242299MA MB CA CB CB CA CA CA CB CB⋅=-⋅-=-+⋅-=-+⨯-=-∴，故『答案』为：29-． 16. 在三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面ABC ，,5,4AC BC AB BD BC ⊥===，则此三棱锥的外接球的表面积为______.『答案』34π『解析』因为CD ⊥底面ABC ，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥，又AC BC ⊥，所以三棱锥D ABC -的外接球就是以,,CD CA CB 为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，因为3CD ===，3AC ===，所以外接球的直径2R = 所以外接球的表面积为243434R πππ=⨯=. 故『答案』为：34π.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17. 在ABC ∆中，60A ∠=，3.7c a = （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC ∆的面积． 解：（1）60A ∠=，37c a =，由正弦定理可得33sin sin 77214C A ==⨯=（2）若7a =，则3c =，C A ∴<，22sin cos 1C C +=，又由()1可得13cos 14C =，()131sin sin sin cos cos sin 2142147B AC A C A C ∴=+=+=⨯+⨯=，11sin 7322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=． 18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点.（1）证明：//EF 平面11BCC B . （2）求三棱锥1B AEF -的体积. （1）证明：如图，连接1AC ，1BC ，在三棱柱111ABC A B C -中，E 为1AC 的中点，F 为AB 的中点， 所以1//EF BC ，又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以//EF 平面11BCC B ．（2）解：因为AC AB ⊥，1AA AC ⊥，1AA AB A ⋂=， 所以AC ⊥平面11ABB A ， 又4AC =，E 为1A C 的中点， 所以点E 到平面11ABB A 的距离为114222d AC ==⨯=． 又1AB F ∆的面积为112662AB F S ∆=⨯⨯=， 所以1112643B AEF E AB F V V --==⨯⨯=． 19. 设数列{}n a ､{}n b 的前n 项和分别为n S ､n T ，且21(37)2n S n n =+，2(1)n n T b =-*()n ∈N ，（1）求数列{}n a ､{}n b 的通项公式； （2）令n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n U . 解：（1）由21(37)2n S n n =+得115a S ==， 当2n ≥时，()()22111(37)317122n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦32n =+，当1n =时，1325a =+=也适合， 故32n a n =+.由2(1)n n T b =-得1112(1)b T b ==-，得12b =，当2n ≥时，112(1)2(1)n n n n n b T T b b --=-=---，得12n n b b -=，又12b =，所以12n n b b -=，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以1222n n n b -=⨯=.综上所述：32n a n =+，2n n b =.（2）(32)2n n n n c a b n ==+⨯，所以1235282112(32)2n n U n =⨯+⨯+⨯+++⨯， 所以234125282112(32)2n n U n +=⨯+⨯+⨯+++⨯， 所以2312523(222)(32)2n n n n U U n +-=⨯++++-+⨯， 所以23143(2222)(32)2n n n U n +-=+++++-+⨯12(12)43(32)212n n n +-=+⨯-+⨯- (62)22n n =-+⨯-，所以1(31)22n n U n +=-⨯+.20. 已知函数()2ln f x x a x =+. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线方程（2）若()()2g x f x x=+在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 解：（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，2222()2x f x x x x -'=-=，所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线的斜率为222()e f e e-'=， 又2()2f e e =-，所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线方程为2222(2)()e y e x e e ---=-，即2222e y x e e-=-.（2）因为()()2g x f x x =+22ln x a x x=++在[1,+)∞上是单调增函数， 所以322222()2a x ax g x x x x x+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x =-取得最大值0， 所以0a ≥.21. 已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++， （1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222141()4x f x x x-'=-=， 当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>， 所以()f x 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增， 所以()f x 在12x =处取得极小值1()42f =，无极大值. （2）当0a <时，1()(2)ln 2f x a x ax x =-++，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'222(2)1ax a x x+--=2(1)(21)ax x x +-=， 令()0f x '=得1x a =-或12x =，当112a ->，即20a -<<时，由()0f x '<得102x <<或1x a >-，由()0f x '>得112x a<<-， 所以()f x 在1(0,)2和1(,)a -+∞上单调递减，在11(,)2a-上单调递增， 当112a -=，即2a =-时，22(21)()x f x x--'=0≤，所以()f x (0,)+∞上单调递减， 当112a -<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a <<-或12x >，由()0f x '>得112x a -<<， 所以()f x 在1(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减，在11(,)2a -上单调递增， （3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减，因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立， 等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++， 所以1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----， 即2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立， 所以23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，解得133m ≤-. 22. 已知a ，()0,b ∈+∞，且242a b =.（1）求21a b+的最小值； （2）若存在a ，()0,b ∈+∞，使得不等式2113x a b-+≥+成立，求实数x 的取值范围. 解：（1）因为242a b =，所以222a b +=，所以21a b +=，因为0,0a b >>， 所以2121(2)()a b a b a b +=++4448b a a b =++≥+=， 当且仅当11,24a b ==时，等号成立. 所以21a b+的最小值为8. （2）若存在a ，()0,b ∈+∞，使得不等式2113x a b -+≥+成立， 则min2113x a b ⎛⎫-+≥+ ⎪⎝⎭， 由（1）知min 218a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以|1|38x -+≥，即15x -≥， 所以4x ≤-或6x ≥.。
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第二次月考数学(文科)试卷(解析版)
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第二次月考数学（文科）试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60）1. 集合{}1,0,4A =-，集合{}2230,B x x x x N =--≤∈，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {}4B. {}4,1-C. {}4,5D. {}1,0-【答案】A 【解析】 【分析】图中阴影部分表示的集合是()UAB ，利用交集和补集的定义求解即可．【详解】∵集合{}1,0,4A =-，集合{}{}2230,1,0,1,2,3B x x x x N =--≤∈=-，图中阴影部分表示的集合是(){}U4A B =．故选：A ．2. 最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，ABC 满足“勾三股四弦五”，其中股4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD △满足勾股定理，则cos ,AB AD <>=（ ）A.35B.45C.34D.512【答案】A【解析】 【分析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高AD 的长，再根据向量数量积公式转化，并计算cos ,AB AD <>的值.【详解】由题意可知AD BC ⊥，所以根据等面积转化可知435BA AC BC AD AD ⨯=⨯⇔⨯=⨯，解得：125AD =()2AB AD AD DB AD AD ⋅=+⋅=，23cos ,454AD AB AD ADAB AD AB ADAD⋅<>====. 故选：A【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.3. 若1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2α等于( ) A.35B.12C.13D. 3-【答案】A 【解析】 已知1tan 43πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭tan 11tan αα-=+，解得1tan ,2α=22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++ 将正切值代入得到35. 故答案为A.4. 若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）=a 的值为（ ）A. 4B.12 C.2e D. e【答案】C 【解析】 【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，，设切点横坐标为t，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题. 5. 知a b c ，，为ABC 的三个内角 A B C ，，的对边，向量 ()()31cos sin m n A A =-=，，，．若m n ⊥，且 cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）Aππ63， B.2ππ36， C.ππ36， D.ππ33， 【答案】C 【解析】【详解】由mn ⊥可得0m n = sin 0A A -= 所以角3A π=，因为cos cos sin a B b A c C +=sin cos sin cos sin sin sin 12A B B A C C C C π+=⇒=⇒=所以23B C π=-可得6B π=6. 已知向量a 与b 的夹角为60︒，1a =，2b =，当()2b a b λ⊥-时，实数λ为（ ） A. 1 B. 2C.12D. 12-【答案】 C 【解析】 【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出λ的值. 【详解】向量a 与b 的夹角为60︒，1a =，2b =， 由()2b a b λ⊥-知，()20b a b λ⋅-=，220b a b λ⋅-=，2221cos6020λ⨯⨯⨯︒-⋅=，解得12λ=. 故选：C .【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题. 7. 函数1()(3sin 2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除C ，当0x > 时，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由122f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可排除A,B ，从而可选出正确答案.【详解】解：由()1()3sin2||cos2||)2f x x x f x -=---=，可得()f x 图像关于y 轴对称，排除C ，当0x > 时，)1()3sin 2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，排除A ，由122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 排除B ，故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了三角恒等变换.选择函数图像时，一般根据函数的奇偶性、单调性、周期性等对选项进行排除，然后可代入特殊值进行排除. 8. 已知112f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于（ ） A. 14-B.14C.32D. 32-【答案】A 【解析】 【分析】设112x t -=，求出()47f t t =+，进而可得()476f m m =+=，由此可求出m 的值 【详解】解：设112x t -=，则22x t =+，所以()2(22)347=++=+f t t t ， 所以()476f m m =+=，解得14m =- 故选：A【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题9. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124,?,?a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-【答案】A 【解析】试题分析：因为数列{}n a 的公差为2的等差数列 所以212a a =+，411(41)26a a a =+-⨯=+ 因为1a ，2a ，3a 成等比数列所以2214a a a =，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a =故答案选A ．考点：1．等差数列的通项公式；2．等比数列中项．10. 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A.116B.164C.2 D.2 【答案】B【解析】 【分析】由图可知，设第n 个图中正方形的个数为n a ，则112,n n n a a n N +*+=+∈，结合累加法可求出121,n n a n N +*=-∈，令1218191n n a +=-=，可确定第12个图形中得到8191个正方形；结合边长规律，即第n 个图中最小正方形边长为cos 45n ︒，从而可求出答案.【详解】解：设第n 个图中正方形的个数为n a ，则由图可知112,n n n a a n N +*+=+∈则221332122...2n n n a a a a a a -⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ ，将n 个式子相加可得23122...2,2,n n a a n n N *-=+++≥∈ ， 所以()11412321,2,12n n na n n N -+*-=+=-≥∈-，当1n =时，2213-=，所以121,n n a n N +*=-∈.令1218191n n a +=-=，解得12n =.由题意知，第一个图中最小正方形边长为cos45︒ ，第二个图中最小正方形边长为2cos 45︒，则第n 个图中最小正方形边长为cos 45n ︒，则1261211cos 452264⎛⎛⎫︒===⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，考查了指数值的运算，考查了推理.本题的关键是找出正方形个数及边长的规律.求数列的通项公式时，常见的思路有累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.本题的易错点是，在进行累加法时，未能正确求出等号右侧等比数列的和. 11. 设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 图象C 向右平移2π个单位后关于原点对称 D. 函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误；利用代入检验法可判断B 选项的正误；求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的基本性质可判断C 选项的正误；由,122x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可求出23x π-的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==，A 选项错误； 对于B 选项，2sin 006f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，图象C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 选项正确；对于C 选项，将图象C 向右平移2π个单位后所得函数的解析式为()2sin 22sin 2233g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()02sin 2sin 033g ππ⎛⎫=--==≠ ⎪⎝⎭，函数()g x 不是奇函数，C 选项错误；对于D 选项，当,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,323x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 选项错误. 故选：B.【点睛】对于正弦型函数()sin y A x k ωϕ=++在区间(),a b 上单调性的判断，一般先由(),x a b ∈计算出x ωϕ+的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.12. 数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（ ）A. 40213-B. 4122-C.()404213- D.()402213-【答案】D 【解析】 【分析】由题意知2134339403922 (2)a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列{}n a 的前40项和.【详解】解：当n 取奇数时，cos 1n π=-，则2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，将式子相加得 ()()2040353912340214221...222 (214)3a a a a ⨯--++++=++++==- .故选:D.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等比数列的前n 项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能正确确定项数.二、填空题（本大题共4小题，共20）13. 若平面向量(1,1)a =-与b 的夹角是180︒，且||22b =，则b 等于______． 【答案】(2,2)- 【解析】 【分析】由已知可知a 与b 共线反向，令=(0)b a λλ<，然后由(1,1)a =-和||22b =列方程求解即可. 【详解】解：因为平面向量(1,1)a =-与b 的夹角是180︒， 所以设=(0)b a λλ<，即=(1,1)(,)(0)b a λλλλλ=-=-<， 因为||22b =，所以22()22λλ+-=，得24λ=， 因为0λ<，所以2λ=-， 所以(2,2)b =-， 故答案为：(2,2)-【点睛】此题考查共线向量，向量的模，向量的坐标运算，属于基础题.14. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足2log n S n =，则数列的通项公式n a =__________． 【答案】12()n n -+∈N【解析】∵2log n S n =∴2n n S =，112n n S --=，∴112()n n n n a S S n --+=-=∈N ．故答案为()12n n N -+∈15. 将函数cos 2y x =的图象向右平移π4个单位，得到函数()sin y f x x =⋅，则()f x 的表达式为__________． 【答案】2cos x 【解析】∵cos 2y x =，向右平移π4个单位，ππcos 2cos 242y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2x =()sin f x x =⋅∴sin 2()2cos sin xf x x x==． 故答案为()f x 2cos x =16. 在ABC 中，A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，已知三个内角度数之比::1:2:3A B C ∠∠∠=，那么三边长之比::a b c 等于__________．【答案】2 【解析】∵::1:2:3A B C ∠∠∠=，∴118030123A ∠=︒⨯=︒++，218060123B ∠=︒⨯=︒++，318090123C ∠=︒⨯=︒++，∴::2a b c =．故答案为2三、解答题（本大题共6小题，共70）17. 已知平面向量()1,a x =，()()23,b x x x R =+-∈． （1）若a b ⊥，求x 的值； （2）若//a b ，求a b -.【答案】（1）1-或3；（2）2或【解析】 【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示可得出关于x 的等式，进而可求得实数x 的值； （2）由平面向量共线的坐标表示求得x 的值，可求得a b -的坐标，由此可求得a b -. 【详解】（1）()1,a x =，()23,b x x =+-，且a b ⊥，则2230a b x x ⋅=+-=，整理得2230x x --=，解得1x =-或3x =；（2）()1,a x =，()23,b x x =+-，且//a b ，()23x x x ∴-=+，即2240x x +=，解得0x =或2x =-.若0x =，则()1,0a =，()3,0b =，则()2,0a b -=-，此时2a b -=； 若2x =-，则()1,2a =-，()1,2b =-，则()2,4a b -=-，此时()222425a b -=+-=.综上所述，2a b -=或25.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，同时也考查了利用平面向量共线的坐标表示求参数以及利用坐标计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题. 18. 等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）22n a n =+；（2）224n +-. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算23,b b ，从而求出1,b q ，利用等比数列前n 项和公式即可求出n s .【详解】解：(1)∵{}n a 是等差数列，121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩， ∴解出2d =，14a =， ∴1(1)n a a d n =+-422n =+- 22n =+.(2)∵232328b a ==⨯+=，3727216b a ==⨯+=，{}n b 是等比数列，322b q b ==， ∴b 1=421(1)4(12)24112n n n n b q s q +--===---19. 为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE 区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC 的外接圆直径为20057m .（1）求道路AC 的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值. 【答案】（1）500m ；（2）600m . 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可求出10019m AB =，由余弦定理可知2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，从而可求AC .（2）结合正弦定理可求三角形的周长为l EA ED AD =++()4003sin sin 2003EAD EDA =∠+∠+，结合辅助角公式可化简为()400sin 60200l EAD =∠+︒+，进而可求周长的最大值.【详解】（1）解：设三角形的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin ABR ACB=∠，即20057sin 6010019m AB ︒==，由余弦定理知，2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，则22001500000AC AC --=，解得，500AC m =.（2）解：由题意知，200AD BC m ==，在AED 中，设周长为l ，其外接圆半径为R '， 则20040032sin sin 60AD R E '===︒，则40032sin ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin EA R EDA EDA '=∠=∠，则l EA ED AD =++)()sin sin 200sin sin 120200EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎤⎦()3sin 200400sin 30200322EAD EAD EAD ⎛⎫=∠+∠+=∠+︒+ ⎪⎝⎭， 则当30EAD =∠°时，周长最大，为600m .【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了余弦定理的应用.本题的关键是用一个变量来表示三角形的周长.本题的难点为周长最值的求解.一般地，当已知三角形的两角及一角的对边时，常用正弦定理解三角形，若已知两边及其夹角或三边时，常用余弦定理解三角形.但是若已知两边及一边的对角时，也可用余弦定理解三角形.20. 已知函数()322f x x ax =++，2x =是()f x 的一个极值点，求：（1）实数a 的值；（2）()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值． 【答案】（1）3a =-；（2）最大值是2，最小值是2-． 【解析】 【分析】（1）根据(2)0f '=解得3a =-； （2）令()0f x '=，得10x =，22x =．列出当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况表，根据表格可得答案.【详解】（1）因为()232f x x ax '=+，()f x 在2x =处有极值， 所以()20f '=，即3440a ⨯+=，所以3a =-．经检验3a =-时，32()32f x x x =-+在2x =时取得极小值2-， 所以3a =-.（2）由（1）知3a =-，所以()3232f x x x =-+，()236f x x x '=-．令()0f x '=，得10x =，22x =．当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：由上表可知()f x 在区间[]1,3-上的最大值是2，最小值是2-．【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x 台，另需投入成本()p x （万元），当月产量不足70台时，()21402p x x x =+（万元）；当月产量不小于70台时，()64001012060p x x x=+-（万元）.若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.【答案】（1）2160400,070,,264001660,70,.x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ；（2）当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别列出当070x <<及70x ≥时，y 关于x 的解析式即可；（2）根据二次函数的性质计算当070x <<时，y 的最大值，根据基本不等式求解当70x ≥时y 的最大值，然后比较得出最值.【详解】（1）当070x <<时，2211100404006040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭；当70x ≥时，6400640010010120604001660y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2160400,070,264001660,70.x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 且且（2）当070x <<时，()22116040060140022y x x x =-+-=--+； 当60x =时，y 取最大值1400万元； 当70x ≥时，6400166016601500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当80x =时，取等号综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.22. 已知函数()()sin cos f x x x ax a R =+-∈. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值； （Ⅱ）若对一切[],0x π∈-，不等式()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）最大值1，最小值12π-；（Ⅱ）2(,]π-∞.【解析】 【分析】（Ⅰ）当1a =时，求得函数的导数())14f x x π'=--，得到函数的单调性和最值，即可求解；（Ⅱ）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，结合导数对a 分类讨论求，最后结合函数的单调性和性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）由函数()()sin cos f x x x ax a R =+-∈，则()cos sin f x x x a '=--， 当1a =时，可得())14f x x π'=--令()0f x '>，即sin()42x π-<-，解得04x π-≤<； 令()0f x '<，即sin()4x π->，解得02x π<≤；所以()f x 在[,0)4π-递增，在(0,]2x π∈递减，所以max ()(0)1f x f ==，又(),()144224f f πππππ-==-<，所以min ()()122f x f ππ==-， 所以()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12π-.（Ⅱ）由函数()()sin cos f x x x ax a R =+-∈，则()11f a ππ-=-+≤，解得2a π≤，又由())4f x x a π'=--，因为0x π-≤≤，则5444x πππ-≤-≤-，可得1sin()42x π-≤-≤， 所以)[4x π-∈-，（i ）当1a ≤-时，())04f x x a π'=--≥，所以()f x 在[,0]π-递增，所以()(0)1f x f <=恒成立； （ii ）当21a π-<≤时，当4x ππ-≤≤-时，()'f x 单调递增；当04x π-≤≤时，()'f x 单调递减，所以()10f a π'-=--<，()04f a π'-=>，(0)10f a '=->，所以(,)4παπ∃∈--，使得()0f α'=，所以当x πα-≤<时，()0f x '<；当0x α<≤是，()0f x '>， 所以()f x 在[,)πα-单调递减，在(,0]α单调递增， 又因为()11,(0)11f a f ππ-=-+≤=≤， 所以()1f x ≤，所以2a π≤，即实数a 的取值范围是2(,]π-∞.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，以及三角函数的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第二次月考试题文含解析
当 时，可得
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ；
所以 在 递增，在 递减，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 在 上 最大值为1，最小值为 .
（Ⅱ）由函数 ，则 ，解得 ，
又由 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，
（i）当 时， ，所以 在 递增，
所以 恒成立；
（ii）当 时，
图中阴影部分表示的集合是 ．
故选：A．
2.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示， 满足“勾三股四弦五”，其中股 ， 为弦 上一点（不含端点），且 满足勾股定理，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高 的长，再根据向量数量积公式转化，并计算 的值.
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60）
1.集合 ，集合 ，全集为 ，则图中阴影部分表示的集合是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析交集和补集的定义求解即可．
【详解】∵集合 ，
集合 ，
【详解】对于A选项，函数 的最小正周期为 ，A选项错误；
对于B选项， ，所以，图象 关于点 对称，B选项正确；
对于C选项，将图象 向右平移 个单位后所得函数的解析式为 ，
，函数 不是奇函数，C选项错误；
对于D选项，当 时， ，
所以，函数 在区间 上不单调，D选项错误.
故选：B.
【点睛】对于正弦型函数 在区间 上单调性的判断，一般先由 计算出 的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.
宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第二次月考数学(文科)试题
2020年石嘴山市三中11月月考数学试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. C5. C6. C7. D8. D9. A10. B11. B12. D13.14.15.16司长生批 13. (−2,2) 14. {2(n =1)2n−1(n ≥2)15. 2cos x 16. 1：√3：217董红香批17（10分） 解：(1)由a ⃗ ⊥b ⃗ 得，2x +3−x 2=0，即(x −3)(x +1)=0， 解得x =3或x =−1；(2)由a ⃗ //b ⃗ ，则2x 2+3x +x =0， 即2x 2+4x =0，得x =0或x =−2． 当x =0时，a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(3,0)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(−2,0)， 此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)， 则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b ⃗ |=√22+(−4)2=2√5．18董红香批18. （12） 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2=10，a 4−a 3=2，可得a 1+a 1+d =10，d =2， 解得a 1=4，d =2，可得a n =4+2(n −1)=2n +2； (2)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 2=a 3，b 3=a 7，可得b 1q =8，b 1q 2=16， 解得b 1=4，q =2， 则数列{b n }的前n 项和为S n =4(1−2n )1−2=2n+2−4．19(12分 ) .寇 西宁批 解：(Ⅰ)因为△ABC 的外接圆直径为200√573m.由正弦定理BCsin∠CAB =200√573，即200sin∠CAB=200√573，所以sin∠CAB =3√57，cos∠CAB =4√3√57，在△ABC 中，sin∠B =sin(∠CAB +∠ACB)=sin∠CABcos∠ACB +cos∠CABsin∠ACB =√57⋅12+√3√57⋅√32=2√57，由正弦定理可得ACsin∠B =BCsin∠CAB ，所以AC =sin∠Bsin∠CAB ⋅BC =152√573√57⋅200=500m所以AC 的值是500m ；(Ⅱ)由题意可得AD =BC =200，cos∠AED =cos60°=12，在△ADE 中，由余弦定理可得AD 2=AE 2+ED 2−2AE ⋅ED ⋅cos∠AED =(AE +ED)2−3AE ⋅ED ， 所以(AE +ED)2−AD 2=3AE ⋅ED ≤3⋅(AE+ED 2)2， 所以14(AE +ED)2≤AD 2=2002， 所以可得：AE +DE ≤400，所以△ADE 的最大周长为：AD +AE +DE =200+400=600m ．20.（12分） 寇 西宁批 解：(1)∵f(x)在x =2处有极值，∴f′(2)=0．∵f′(x)=3x 2+2ax ，∴3×4+4a =0，∴a =−3． 经检验a =−3时x =2是f(x)的一个极值点， 故a =−3；(2)由(1)知a =−3，∴f(x)=x 3−3x 2+2，f′(x)=3x 2−6x ．令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可知f(x)在区间[−1,3]上的最大值是2，最小值是−2．21.（12分） 司长生批 解：(Ⅰ)当0<x <70时，y =100x −(12x 2+40x −400=−12x 2+60x −400)，当x ≥70时，y =100x −(101x +6400x−2060)−400=1660−(x +6400x).∴y ={−12x 2+60x −400,0<x <70且x ∈N1660−(x +6400x ),x ≥70且x ∈N； (Ⅱ)当0<x <70时，y =−12x 2+60x −400=−12(x −60)2+1400， 当x =60时，y 取最大值1400万元； 当x ≥70时，y =1660−(x +6400x )≤1660−2√x ⋅6400x=1500，当且仅当x =6400x，即x =80时y 取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22.（12分）司长生批 解：(I)f′(x)=cosx −sinx −a ，当a =1时，f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1，令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增，在(0,π2)上单调递减， 故f(x)max =f(0)=1， ∵f(−π4)=π4，f(π2)=1−π2<π4， ∴f(x)min =f(π2)=1−π2， (II)f(−π)=aπ−1≤1，故a ≤2π，f′(x)=−√2sin(x−π4)−a，∵−π≤x≤0，∴−5π4≤x−π4≤−π4，∴−1≤sin(x−π4)≤√22，−1≤−√2sin(x−π4)≤√2，(i)a≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在[−π,0]上单调递增，f(x)<f(0)=1恒成立，(ii)−1<a≤2π时，当−π≤x≤−π4时，f′(x)单调递增，当−π4≤x≤0时，f′(x)单调递减，∴f′(π)=−1−a<0，f′(−π4)=√2−a>0，f′(0)=1−a>0，∴存在a∈(−π,−π4)，使得f′(a)=0，所以当−π≤x<a时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当a<x≤0时，f′(x)>0，函数单调递增，又因为f(−π)=aπ−1≤1，f(0)=1≤1，∴f(x)≤1，∴a≤2π【解析】1. 解：∵集合A={−1,0，4}，集合B={x|x2−2x−3≤0,x∈N}={−1,0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)={4}故选A由已知中的韦恩图，我们可得图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)，根据已知中的集合A，B，可得答案．本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中分析出图中阴影部分表示的集合是A∩(C U B)，是解答本题的关键．2. 解：根据题意，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB=4，则△ABC为Rt△，且cosC=35，△ABD满足勾股定理，则△ABD为Rt△，且∠ADB=90°，则有∠DAB=∠C，又由<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=∠DAB ， 则cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=cos∠DAB =cosC =35， 故选：A ．根据题意，可得△ABC 中cosC =35，由相似三角形的性质可得∠DAB =∠C ，而<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=∠DAB ，即可得答案．本题考查向量夹角的计算，注意向量夹角的定义，属于基础题．3. 【分析】由已知展开两角差的正切求得tanα，再由万能公式求得cos2α的值． 本题考查三角函数的化简求值，考查了万能公式的应用，是基础题． 【解答】解：由tan(α−π4)=−13，得tanα−tanπ41+tanαtanπ4=−13，即tanα−11+tanα=−13，解得tanα=12，∴cos2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−141+14=35．故选：A ．4. 解：由已知得f′(x)=a x , g′(x)=12√x ，设切点横坐标为t ，∴{alnt =√t a t=12√t ，解得t =e 2,a =e 2． 故选：C ．根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于基础题．5. 【分析】本题考查向量数量积及向量垂直的充要条件，同时考查正弦定理及两角和与差的三角函数，根据向量垂直，可得√3cosA −sinA =0，分析可得A ，再根据正弦定理可得，sinAcosB +sinBcosA =sin 2C ，进而可得sinC =sin 2C ，可得C ，再根据三角形内角和定理可得B ，进而可得答案．【解答】解：根据题意，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，可得m⃗⃗⃗ ·n⃗=0，即√3cosA−sinA=0，即，又0<A<π，∴A=π3，因为acosB+bcosA=csinC，正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sin2C，即sin(A+B)=sinC=sin2C，又0<C<π，∴sinC=1，C=π2，故选C.6. 解：向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，由b⃗ ⊥(2a⃗−λb⃗ )知，b⃗ ⋅(2a⃗−λb⃗ )=0，2b⃗ ⋅a⃗−λb⃗ 2=0，2×2×1×cos60°−λ⋅22=0，解得λ=12．故选：C．根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的数量积与垂直的应用问题，是基础题．7. 解：函数f(x)=12(√3sin2|x|−cos2|x|)=sin(2|x|−π6)，定义域为R，f(−x)=sin(2|−x|−π6)=sin(2|x|−π6)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，f(x)=sin(2x−π6)，x≥0令2x−π6=π2，解得x=π3，所以x=π3时f(x)最大，故选：D．由三角函数的化简可得函数的解析式，再由函数的奇偶性可得函数f(x)是偶函数，再由x≥0的函数的最大值时的x值可选出结果．本题考查求函数的解析式即函数奇偶性的性质，属于中档题．8. 解：设12x−1=t，则x=2t+2，∴f(t)=4t+7，∴f(m)=4m+7=6，解得m=−14．故选：D．本题考查函数的解析式，属于基础题．设12x−1=t，求出f(t)=4t+7，进而得到f(m)=4m+7，由此能够求出m．9. 解：由题意可得a22=a1a4，∴(a1+2)2=a1(a1+6)，解得a1=2，故选：A．由题意可得a1的方程，解方程可得．本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题．10. 解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=22−1，最小正方形的边长为2，第2代“勾股树”中，正方形的个数为3+4=7=23−1，最小正方形的边长为(√2)2，第3代“勾股树”中，正方形的个数为15=24−1，最小正方形的边长为(2)3，以此类推，第n代“勾股树”中，正方形的个数为2n+1−1，最小正方形的边长为(√2)n，若“勾股树”上共得到8191个正方形，则2n+1−1=8191，解得n=12，此时最小正方形的边长为(√2)12=164．故选：B．第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=22−1，最小正方形的边长为√2，第2代“勾股树”中，正方形的个数为7=23−1，最小正方形的边长为(√2)2，第3代“勾股树”中，正方形的个数为15=24−1，最小正方形的边长为(√2)3，以此类推，第n代“勾股树”中，正方形的个数为2n+1−1，最小正方形的边长为(√2)n，根据已知可求得n值，即可求解．本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．11. 解：∵函数y=2sin(2x−π3)(A>0,ω>0)的图象为C，故函数的最小正周期为2π2=π，故A错误；令x=π6，求得f(x)=0，可得图象C关于点(π6,0)对称，故B正确；图象C向右平移π2个单位后，得到y=2sin(2x−π−π3)=−2sin(2x−π3)的图象，显然，所得图象不关于原点对称，故C错误；当x∈区间(−π12,π2)，2x−π3∈(−π2,2π3)，函数f(x)在区间(−π12,π2)上没有单调性，故D错误，故选：B．由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．12. 解：由题设可得：当n=2k−1(k∈N∗)时，有a2k=[cos(2k−1)π]⋅a2k−1+22k−1，即：a2k−1+a2k=22k−1(k∈N∗)，∴(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a39+a40)=21+23+25+⋯+239=2(1−420)1−4=2(420−1)3．故选：D．由题设条件推出相邻项之间的关系式，即可得到结果．本题主要考查由数列的递推式求数列的和，属于基础题．13. 解：∵a⃗,b⃗ 的夹角是180°∴a⃗,b⃗ 共线，∴设b⃗ =(λ,−λ)，∵|b⃗ |=2√2，∴√λ2+(−λ)2=2√2，∴λ=±2，∵a⃗,b⃗ 的夹角是180°∴λ<0 ∴b ⃗ =(−2,2)故答案为：(−2,2)根据两个向量的夹角是180°，得到两个向量共线且方向相反，设出要求的向量，根据之金额各向量的模长做出向量的坐标，把不合题意的舍去．本题考查向量的数量积的坐标表示，是一个基础题，解题时注意向量的设法，这是本题要考查的一个方面，注意把不合题意的舍去．14. 解：由log 2S n =n ，得S n =2n ．当n =1时，a 1=S 1=2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， n =1时不成立． ∴a n ={2(n =1)2n−1(n ≥2)．故答案为{2(n =1)2n−1(n ≥2)．由对数式变形得到数列{a n }的前n 项和S n ，分类讨论求解其通项a n ．本题考查阿勒数列的概念及简单表示法，考查了由数列前n 项和求通项，关键是注意分类讨论，是基础题．15. 解：将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y =cos(2x −π2)=sin2x =2sinxcosx的图象又因为得到函数y =f(x)⋅sinx ，则f(x)=2cosx ， 故答案为：2cos x ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．16. 解：∵三个内角度数之比∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，∴a ：b ：c =sin30°：sin60°：sin90°=12：√32：1=1：√3：2．故答案为：1：√3：2．由三个内角度数之比，求得三角形的内角，再利用正弦定理，即可求得结论． 本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．17. 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件．(1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．18. (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式，解方程可得公差和首项，进而得到所求通项公式；(2)设等比数列{b n }的公比为q ，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19. (Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理可得sin∠CAB =√57，cos∠CAB =√3√57，再由三角形的内角和π，可得sin∠B =sin(∠CAB +∠ACB)的值，由正弦定理可得AC 的值；(Ⅱ)由余弦定理和均值不等式可得DE +AE 的最大值，进而可得三角形的周长的最大值． 本题考查三角形的正余弦定理及均值不等式，属于中档题．20. (1)由x =−2是f(x)的一个极值点，得f′(2)=0，解出可得；(2)由(1)可求f(x)，f′(x)，令f′(x)=0，得x 1=0，x 2=2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况列成表格，由极值、端点处函数值可得函数的最值；本题考查利用导数研究函数的极值、最值，属中档题，正确理解导数与函数的关系是解题关键．21. (Ⅰ)直接由已知分类写出分段函数解析式；(Ⅱ)当0<x <70时，利用配方法求最值，当x ≥70时，利用基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题．22. (I)把a =1代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对a 进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。
2020-2021学年石嘴山三中补习班高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年石嘴山三中补习班高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列式子：①3∈{x|x<5}；②{3}⊆{x|x<5}；③⌀⊆{x|x<5}；其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.设z是复数，a(z)表示z n=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)=()A. 8B. 6C. 4D. 23.某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为√5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为45°的直角梯形，则该多面体的体积为()A. 1B. 12C. 23D. 24.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍？(参考数值：√10≈3.162，√103≈2.154)()A. 31.6B. 15.8C. 4.6D. 1.55.已知直线ax+by=0与双曲线x2a2−y2b2=1(0<a<b)交于A，B两点，若A(x1,y1)，B(x2,y2)满足|x1−x2|=3√3，且|AB|=6，则双曲线的离心率为()A. √3B. 3C. √2D. 26.若三点A(−1,0)，B(2,3)，C(0,m)共线，则m的值为()A. 1B. −1C. ±1D. 27.直线x+my−5=0与双曲线x2−y24=1的一条渐近线垂直，则正实数m=()A. 4B. 2C. 12D. 148.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体表面积为()A.B. C. D. 52 9. 已知向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(2,0)，若a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +λb ⃗ 垂直，则λ的值等于( )A. −6B. −2C. 6D. 210. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 3+a 8=9，a 6=9，则S 9的值是( )A. 64B. 72C. 54D. 以上都不对11. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若，则λ等于( ) A. B. C. D.12. 已知AC 、BD 为圆O ：x 2+y 2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1,1)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( )A. 6B. 4√2C. 5D. 5√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在数列{a n }中，若a 1=3，a n+1=a n +4，则a 5=______．14. 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PA =6，AC =8，BC =9，则AB =________．15. 已知a >0，b >0，且2a +b =1，则√2a +√b 的最大值为______ ．16. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 为BC 边的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ .(注意：手写向量，小写字母上面要加箭头)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前项和为Sn，已知a1=1，2S n=(n+1)a n,n∈N∗(1)求数列{a n}的通项公式(2)令b n=n+1(n+2)2a n2，数列{b n}的前n项和为T n，试比较Tn与516的大小18. 若a，b，c为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C−sin2(B+C)=sinBsinC．(1)求角A；(2)若b=2，求△ABC面积的取值范围．19. 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求异面直线PM与BD所成的角20. 已知抛物线C：y2=4x与椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)有一个公共焦点F.设抛物线C与椭圆E在第一象限的交点为M.满足|MF|=53．(1)求椭图E的标准方程；(2)过点P(1,32)的直线交抛物线C于A、B两点，直线PO交椭圆E于另一点Q.若P为AB的中点，求△QAB的面积．21. 已知函数f(x)=(a−b)x2−x−xlnx．(1)若函数f(x)在x=1处的极值为−b，求a，b的值；(2)若a=1，f(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立，求b的取值范围．22. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆E的离心率；(Ⅱ)如图，若直线l与椭圆相交于AB且AB是圆(x−1)2+(y+1)2= 5的一条直径，求椭圆E的标准方程．23. 已知函数f(x)=|kx−1|+|kx−2k|，g(x)=x+1．(1)当k=1时，求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系判断，属于基础题．由集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可．解：①3∈{x|x<5}正确；②{3}⊆{x|x<5}正确；③⌀⊆{x|x<5}正确；④√3为无理数，故错误．故选C．2.答案：C解析：解：a(i)=i n=1，则最小正整数n为4．故选C．复数z n=1，要使i n=1，显然n是4的倍数，则a(i)=4．本题实际考查，复数i的n次幂的运算，是基础题目．3.答案：C解析：根据三视图可得该几何体是由一个三棱柱ABC−A1B1C1和一个三棱锥B−DB1C1组成，该多面体的体积为V=S△ABC⋅AA1+13S△DB1C1⋅AA1=12×1+13×12×1=23，故选：C．根据三视图可得该几何体是由一个三棱柱ABC−A1B1C1和一个三棱锥B−DB1C1组成，该多面体的体积为V=S△ABC⋅AA1+13S△DB1C1⋅AA1=12×1+13×12×1=23本题考查了根据三视图求组合体的体积，属于中档题．4.答案：A解析：解：设日本地震释放的能量为E1，汶川地震释放的能量为E2，则由已知可得lgE1=4.8+1.5×9=18.3，lgE2=4.8+1.5×8=16.8，。
2020-2021学年宁夏石嘴山三中补习班高三(上)期中数学试卷(文科)
2020-2021学年宁夏石嘴山三中补习班高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣2≤0}，则下列关系正确的是（）A．0⊆M B．0∉M C．0∈M D．2∈M2．（5分）若＝a+bi（a，b∈R），i是虚数单位（）A．﹣15B．3C．﹣3D．53．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6B．2C．3D．34．（5分）在正项等比数列{a n}中，lga3+lga6+lga9＝6，则a1a11的值是（）A．10000B．1000C．100D．105．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（）A．B．4C．2D．6．（5分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），＝（﹣4，2），＝（x，3），若（2 +）∥，则x＝（）A．﹣2B．﹣4C．﹣3D．﹣17．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AA1＝12，则球O的半径为（）A．B．C．D．9．（5分）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边＝（，﹣1），＝（cos A，sin A）．若⊥，且αcos B+b cos A＝c sin C，B的大小分别为（）A．，B．，C．，D．，10．（5分）两等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知在△ABC中，点M在边BC上，且＝﹣2，且＝，则向量＝（）A．+B．+C．+D．+12．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{a n}的通项公式为．14．（5分）已知直线x﹣y+c＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有且只有一个公共点，那么c＝．15．（5分）若x＞4，y＞1，且xy＝12+x+4y．16．（5分）若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则＝．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）17．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a2，a3是方程x2﹣6x+8＝0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c2+c2﹣b2＝ac，且b＝c．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）＝1+cos（2x+B）﹣cos2x（x）的最大值．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．20．（12分）已知椭圆上的任意一点到它两个焦点（﹣c，0），（c，0）的距离之和为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线x﹣y+m＝0与椭圆C交于不同两点A，B，且线段AB的中点M不在圆内，求实数m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）＝x+ax2+blnx，曲线y＝f（x）过P（1，0）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．四.请考生在第22，23题中选一题作答，并将答题卡上相应的题号涂黑。
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2021届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立221y x x y =⎧⎨+=⎩，解方程组，即可求出221x y +=与y x =的交点个数，即A B 中元素的个数.【详解】联立221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 即221x y +=与y x =相交于两点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 中有两个元素.故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素个数，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2．设条件p ：a 2＋a ≠0，条件q ：a ≠0，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】条件20p a a +≠：，即为0a ≠ 且1a ≠-，根据充要条件的定义即可 【详解】条件20p a a +≠：， 即为0a ≠ 且1a ≠-，故条件20p a a +≠：，是条件0q a ≠：的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．【点睛】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题． 3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x =，则5x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“0x R ∃∈，2003210x x +->”的否定是“x R ∀∈，23210x x +-<” D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D【分析】利用四种命题之间的关系可判断A ；利用充分条件，必要条件的定义可判断B ；根据全称命题的否定变换形式可判断C ；根据原命题与逆否命题的等价性可判断D. 【详解】A 中，命题“若||5x =，则5x =”的否命题为“若||5x ≠，则5x ≠”，故A 不正确；B 中，由2560x x --=，解得1x =-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“0x R ∃∈，2003210x x +->”的否定是“x R ∀∈，23210x x +-≤”，故C 不正确；D 中，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确， 故选：D ．4．设函数()lg(1)f x x =-，则函数(())f f x 的定义域为（ ） A ．(9,)-+∞ B ．(9,1)-C ．[9,)-+∞D ．[9,1)-【答案】B【解析】分析：先列出满足条件的不等式，()1x 0,1lg 1x 0->-->，再求解集． 详解：复合函数()()f f x 的定义域满足1x 0->且()1f x 0->，即是()1x 0,1lg 1x 0->-->，解得()x 9,1∈-，故选B点睛：在抽象函数中，若已知()f x 的定义域()x a,b ∈，那么复合函数(())f g x 的定义域指的是()g x a,b ∈（）关于x 的解集．若已知复合函数(())f g x 的定义域()x a,b ∈，()g x 的值域为()f x 的定义域．5．设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当23a b x +=时y取极小值且极小值为负．故选C ．6．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+=选C.7．设0.32=a ，0.23b =，0.17c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B【分析】把,,a b c 化为10x ,,a b c 的大小关系． 【详解】由题意得：100.3310228a ===100.2210339b ===，0.11077c ==10y x =在()0,∞+上是增函数且987>>b ac ∴>>本题正确选项：B【点睛】本题主要考查利用幂函数的单调性比较大小问题.比较大小类问题常用的解决方法有构造函数统一的函数模型，利用函数单调性来进行比较.8．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0 【答案】D【分析】由函数的单调性得到0＜a ＜1，再根据函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，分析出b 的范围.【详解】由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减， 所以0＜a ＜1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b ＜0. 故选：D.【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．设函数f (x )=()212log ,0log ,0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃ 【答案】C【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解. 【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a >，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<， 综上可知：10a -<<或1a >. 故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对a 的范围讨论，分情况解，属于中档题.10．将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭∣的图象向左平移6π个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．－12C ．12D 【答案】A【分析】写出图象变换后的解析式，根据对称性求出ϕ，然后由正弦函数性质求得最小值．【详解】将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后对应解析式为()sin 26g x x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，它的图象关于原点对称，则,3k k Z πϕπ+=∈，又2πϕ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以min ()sin 3f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查图象变换以及函数的对称性（奇偶性），掌握正弦函数的性质是解题关键．11．已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，()21xf x =-，则函数()()lg F x f x x =-的零点个数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．18【答案】B【详解】()()lg F x f x x =-零点个数就是(),lg y f x y x ==图象交点个数， 作出(),lg y f x y x ==图象，如图。
2020-2021学年石嘴山三中高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年石嘴山三中高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）≥0}，则A∩B=()1.已知集合A={x|x∈Z|x2+4x+3≤0},B={x|xx+1A. [−3,−1]B. [−3,−1)C. {−3,−2,−1}D. {−3,−2}2.两个非零向量的夹角为，则“”是“为锐角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列说法正确的是()A. 设x∈R，则“2−x≥0”是“|x−1|≤1”的充分不必要条件B. 命题“在△ABC中，若A>30°，则sinA>1”的逆否命题为真命题2C. 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为“若xy=0，则x≠0”D. 命题“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题4.已知a=3，b=log，c=log，则()A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>acD. b>a>c5.函数的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是A. ［6k−1，6k+2］(k Z)B. ［6k−4，6k−1］(k Z)C. ［3k−1，4k+2］(k Z)D. ［3k−4，3k−1］(k Z)6.某学习小组对函数进行研究，得出了如下四个结论：①函数在上单调递增；②存在常数对一切实数均成立；③函数在上无最小值，但一定有最大值；④点是函数的一个对称中心，其中正确的是A. ①③B. ②③C. ②④D. ①②④7.已知a，b，c∈R，且a>b，则下列结论一定正确的是()A. a 2>b 2B. 1a <1bC. 2a >2bD. ac 2>bc 2 8. a ，b ，c 依次表示方程2x +x =1，2x +x =2，3x +x =2的根，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A. a <c <bB. a >b >cC. a <b <cD. b >a >c 9. 函数f(x)={a,(x =3)(13)|x−3|+2(x ≠3)，若关于x 的方程2f 2(x)−(2a +5)f(x)+5a =0有五个不同的实数解，则实数a 的范围( )A. (1,52)∪(52,3)B. (2,3)C. (2,52)∪(52,3)D. (1,3) 10. 将函数y =sin(2x −π6)的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A. y =sin(2x +π12)B. y =sin(2x −2π3) C. y =sin(2x +π3) D. y =sin(2x −5π12) 11. 已知a =21.1，b =20.3，c =log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a12. 设函数f′(x)是偶函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(x)在区间(0,+∞)上的唯一零点为2，并且当x ∈(−1,1)时，xf′(x)+f(x)<0.则使得f(x)<0成立的x 的取值范围是( )A. (−2,0)∪(0,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−1,1)D. (−2,2)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设函数f(x)是定义域为R 的偶函数，且f(x +2)=f(x)，若x ∈[−1,0]时，f(x)=x 2，则函数f(x)的图象与y =|lgx|的图象交点个数______．14. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若acosC +√3asinC −b =0，则∠A = ______ ．15. 在△ABC 中，若a 2<b 2+c 2，则角A 是______(填“直角”、“锐角”、“钝角”)．16. 函数的图象如图所示，则的表达式是．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=x 2+mx −4在区间[2,4]的两个端点取得最大值和最小值，(1)求m 的取值范围；(2)试写出最大值y 关于m 的函数关系式；(3)最大值y 是否存在最小值？若有，请求出来；若无，请说出理由．18. 已知函数f(x)=sin(π−x)cos(3π2+x)+2cos(−x)sin(π2+x)2sin(2π−x)cos(π+x)．(1)化简f(x)；(2)若tanα=4，求f(α)的值．19. 已知函数f(x)=lnx −a(x −1)，其中a 为实数．(Ⅰ)讨论并求出f(x)的极值；(Ⅱ)在a <1时，是否存在m >1，使得对任意的x ∈(1,m)恒有f(x)>0，并说明理由； (Ⅲ) 确定a 的可能取值，使得存在n >1，对任意的x ∈(1,n)，恒有|f(x)|<(x −1)2．20. 某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当a =120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；(3)当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？21.已知向量．(Ⅰ)若a⃗·b⃗ =7，求的值；3(Ⅱ)若a⃗//b⃗ ，求的值．22. 当x∈[0,1]时，不等式ax3−x2+4x+3≥0恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵A ={x ∈Z|−3≤x ≤−1}={−3,−2,−1}，B ={x|x <−1或x ≥0}，∴A ∩B ={−3,−2}．故选：D ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：试题分析：由可得，所以“”是“为锐角”的必要不充分条件．考点：充分必要条件． 3.答案：D解析：本题考查命题的真假的判断，是基本知识的考查．利用充要条件判断A 的正误；反例判断命题B 的正误，通过命题逆否关系判断C 、D 的正误；解：因为：设x ∈R ，则“2−x ≥0”是“|x −1|≤1”的必要不充分条件，所以A 不正确；因为命题“在△ABC 中，若A >30°，则sinA >12”的逆否命题，是假命题，例如A =170°，sinA <12，所以B 不正确；因为命题“若xy =0，则x =0”的否命题为“若xy =0，则x ≠0，显然是不正确的，所以C 不正确；因为命题“若x +y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为：x ，y 互为相反数，则x +y =0是真命题，所以D 正确．故选D ． 4.答案：A解析：试题分析：因为3>1，o <log <1，c =log <0，所以a >b >c ，故选A 考点：指数函数和对数函数的性质．5.答案：B。
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宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期期中数学
（文）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则中元素的个数为（）
A．B．C．D．
2. 设条件p：a2＋a≠0，条件q：a≠0，那么p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3. 下列说法正确的是（）
A．命题“若，则”的否命题为“若，则”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“，”的否定是“，”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题
4. 设函数，则函数的定义域为（）
A．B．C．D．
5. 设＜b,函数的图象可能是( )
A．B．C．D．
6. f (x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
7. 设，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．
8. 函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
（）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
9. 设函数f(x)=若，则实数的取值范围是
（）
A．
B．
C．
D．
10. 将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为（）
A．－B．－C．D．
11. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，
，则函数的零点个数是（）
A．9 B．10
C．11 D．18
12. 的定义域为，，对任意，则不等式解集为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为_________.
14. 已知，则的值是________．
15. 的内角的对边分别为.若，则
的面积为__________.
16. 关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间单调递增；
③在有4个零点；④的最大值为2；
其中所有正确结论的编号是_________.
三、解答题
17. 已知a为实数，函数．
（1）若，求，的值；
（2）求的解析式；
（3）若，求a的取值范围．
18. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
19. 已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为
．
（1）求b的值；
（2）求函数的最值；
20. 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想
的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设表示学生注意力指
标．该小组发现随时间t（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注
意力越集中）如下：（且）．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；
（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
21. 已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
（2）若α∈(0，π)，且f(－)＝，求tan(α＋)的值．
22. 设函数f（x）＝ln x＋，k∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x－2＝0垂直，求f （x）的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；
（2）若对任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立，求k的取值范围．。