人教版高三上学期第三次月考数学试题(文)及答案
2023届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)
2023届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}23A x x =<，则RA =（ ）A ．{}33x x -≤≤B ．{3|x x ≤-或3}x ≥C ．{|x x ≤D ．{|x x ≤x ≥【答案】D【分析】先化简集合A ，再根据补集的定义求解即可． 【详解】解：由23x <解得x <{A x x ∴=<，R {A x x ∴=≤x ≥．故选：D ．2．若()1i 2i z -=，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i --C ．1i +D ．1i -【答案】A【分析】根据复数的除法运算即可得解. 【详解】解：因为()1i 2i z -=，所以()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z +===-+--+. 故选：A.3．设p ：实数x ，y 满足1x >且2y >．q ：实数x ，y 满足3x y +>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可． 【详解】解：1x >且2y >，由不等式的性质知3x y +>，p q ∴⇒；令0,4x y ==，显然满足3x y +>， 但1x <， ∴ qp ．∴ p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．4．若实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-3B ．-2C ．0D ．5【答案】C【分析】画出可行域，根据z 的几何意义求得最小值即可． 【详解】解：作出图像如下，图中灰色部分为可行域， 点A 为220x y +-=与1x =的交点，联立1220x x y =⎧⎨+-=⎩，解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，11,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭A ，由22x z y =-知要z 最小，只要2z-即2z x y =-在y 轴的截距最大即可，∴ 当2z x y =-经过11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭时取最小值，min 0∴=z ．故选：C ．5．执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.A ．3?x >B ．4?x >C ．4?xD ．5?x【答案】B【详解】方法一：当x =4,输出y =2,则由y =log 2x 输出，需要x >4，本题选择B 选项.方法二：若空白判断框中的条件x >3，输入x =4，满足4>3，输出y =4+2=6，不满足，故A 错误，若空白判断框中的条件x >4,输入x =4,满足4=4,不满足x >3,输出y =y =log 24=2，故B 正确； 若空白判断框中的条件x ⩽4，输入x =4，满足4=4，满足x ⩽4，输出y =4+2=6，不满足，故C 错误，若空白判断框中的条件x ⩽5，输入x =4，满足4⩽5，满足x ⩽5，输出y =4+2=6，不满足，故D 错误， 本题选择B 选项.6．若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，512a =，673a a +=，则5S 的值为（ ） A ．1B ．3116C ．3132D ．6364【答案】C【分析】根据等比数列求和公式计算即可． 【详解】解：设公比为q ，由题意知0q >，652=⋅=q a a q ， 22752=⋅=q a a q ，2322∴+=q q， 化简得260q q +-=， 解得2q ，514132==a a q ， ()()551121313*********⨯-∴==-⨯-=-S ．故选：C ．7．函数()(1)ln(|1|)f x x x =+-的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数解析式，可代入特殊点，进行排除.【详解】根据函数表达式，当x>2时，函数值大于0，可排除A 选项，当x<-1时，函数值小于0 故可排除C 和D 选项，进而得到B 正确． 故答案为B.【点睛】这个题目考查了已知函数解析式，求函数图像的问题，这种题目一般可以代入特殊点，进行选项的排除，或者根据函数表达式得到函数的定义域，值域的问题，进行排除. 8．已知角α的终边经过点1,2，则()πsin 23πtan 2αα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．310C ．35D ．310-【答案】B【分析】根据已知求得角α的正切值，再根据诱导公式化简求值即可， 【详解】解：∵ 角α的终边经过点1,2，tan 2α∴=-，()πsin π2sin 23πtan sin 2π2cos 2ααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭cos 2sin cos sin αααα=-⋅+ 222sin cos 1sin cos tan ααααα⋅=-++22tan 1tan 1tan ααα=-++4135210=-=． 故选：B ．9．已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE AB AD λμ=+（λ，μ为实数），则22λμ-=（ ）A ．12-B ．79C ．3222- D ．122【答案】A【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出λμ、即可． 【详解】解：如图在矩形ABCD 中，()12=+DO DA DC ， 在DAO 中，()12=+DE DA DO ，11131132224444⎛⎫∴=++=+=- ⎪⎝⎭DE DA DA DC DA DC AB AD ，13,44λμ∴==-，2219116162λμ∴-=-=-． 故选：A ．10．若3sin 5θ=，θ是第二象限的角，则2tan22tan 2θθ+=-（ ） A ．15-B ．25C ．2D ．-5【答案】D【分析】先通过三角恒等变换构造齐次式求出tan2θ，再估算θ的范围，进而求得结论． 【详解】解：2222sin cos 2tan3222sin 2sin cos 225sin cos tan 1222θθθθθθθθθ⋅=⋅⋅===++， 整理得23tan 10tan3022θθ-+=，解得tan32θ=或1tan23θ=， ∵θ是第二象限的角，π2π2ππ,Z 2θ∴++∈k k k <<，ππππ,Z 422θ∴++∈k k k <<， tan 12θ∴>， tan32θ∴=，∴ 原式23523+==--． 故选：D ．11．已知函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞，且()1f x +为奇函数，当1x <时，()24f x x x =--，则()32f x =的所有根之和等于（ ） A ．4 B ．2C ．12-D ．6-【答案】A【分析】根据二次函数对称性求和即可．【详解】解：当1x <时，()()22(4)24=-+=-++f x x x x ， ∴ 对称轴为2x =-，()1f x +为奇函数， ()()11f x f x ∴+=--+，()(2)∴=--f x f x ， f x 关于()1,0中心对称，设(),x y 为()()1y f x x =>图像上任意一点，则()2,x y --在()24f x x x =--上，()244∴-=--+y x ，即()244y x =--， 对称轴为4x =． 作出图像如下：由图像知()32f x =有4个根， 不妨设1234x x x x <<<，由二次函数的对称性知()12224+=⨯-=-x x ， 34+=24=8⨯x x ，∴ ()32f x =所有根的和为8-4=4． 故选：A ．12．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且通项公式为n b n =，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2112n T m m <--对一切*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞D ．(][),13,-∞-+∞【答案】D【解析】根据题意，求得2n S n =，进而求得数列的通项公式为21n a n =-，结合裂项法求得数列的前n 和n T ，得出不等式211122m m --≥，即可求得实数m 的取值范围.【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，由“均值数列”的定义可得nS n n=，所以2n S n =， 当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 11a =也满足21n a n =-，所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，又2112n T m m <--对一切*n ∈N 恒成立，所以211122m m --≥，整理得2230m m --≥，解得1m ≤-或3m ≥.即实数m 的取值范围为(][),13,-∞-+∞.故选：D.【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.二、填空题13．曲线()e 2=++xf x x x 在点()0,2处的切线方程是__________．【答案】22y x =+【分析】根据导数的几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程．【详解】解：由()e 2=++xf x x x 得()()e +e 11e 1'=+=++x x x f x x x ，()02f ∴'=，∴ 过点()0,2的切线方程为22y x -=， 即22y x =+． 故答案为：22y x =+．14．已知向量()1,3a =-，()2,b k =，若()()2a b a b -+∥，则k =__________． 【答案】6-【分析】根据向量共线列式计算即可．【详解】解：()()()22,62,4,6-=--=--a b k k ，()1,3+=+a b k ，∵()()2a b a b -+∥，()436∴-⋅+=-k k ， 解得6k =-． 故答案为：6-．15．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a =45B =︒，75C =°，则b =__________．【答案】22【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】解：在ABC 中， 由正弦定理得 sin sin a bA B=， ()23sin 180sin ∴=︒--bB C B，()22323sin 45222sin 457532⨯⋅︒∴===︒+︒b ．故答案为：22．16．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=_________．【答案】1【详解】对于函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数关于对称，所以有,,14,442k k Z k k Z πππωπω+=+∈∴=+∈，又()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以有2,,;1222T T ππππππωω≥-=≥≥≤，1ω∴=.三、解答题17．已知函数()()441sin cos 23cos R 2=-+-∈f x x x x x x ． (1)求2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 的值；(2)求()f x 的最小正周期及单调递减区间． 【答案】(1)32-(2)最小正周期为π；单调递减区间是π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【分析】（1）先把函数化成()π12sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再代入求值即可；（2）根据2πT ω=求得周期，再由sin y x =的递减区间求()π12sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的递减区间即可．【详解】（1）解：由已知得()441sin cos cos 2f x x x x x =-+-()()22221sin cos sin cos 22=+--x x x x x()2212cos sin 2=---x x x12cos 22x x =--1122cos 222⎫=--⎪⎪⎝⎭x x π12sin 262x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．2π2ππ12sin 23362⎛⎫⎛⎫∴=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f7π12sin62=- π132sin π622⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭；（2）解：由（1）知()f x 的最小正周期为πT =． 由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+得 π5πππ36k x k +≤≤+，Z k ∈． ∴()f x 的单调递减区间是π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a A C A +． (1)求A ；(2)若a =ABC ABC 的周长． 【答案】(1)π3A =5【分析】（1）根据正弦定理边化角可求得A ；（2）根据三角形面积求得bc ，再结合余弦定理可求得b c +，进而求得周长． 【详解】（1）解：由正弦定理sin sin a bA B=， 可得sin sin a B b A =，又()sin cos +a A C A ，sin cos ∴=b A A ．sin A A ∴=，即tan A = 又()0,πA ∈， 故π3A =．（2）解：由1sin 2ABCSbc A ==6bc =，又222π2cos 3a b c bc =+-， 即227b c bc =+-，2213∴+=b c ，则5b c +=，故ABC 5．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*112N +++=∈n n na S n ．(1)证明：数列{}n nS 为等差数列；(2)选取数列{}n S 的第2n ()N n *∈项构造一个新的数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析 (2)1212n nn T =-+【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；（2）先求得{}n b 的通项公式，再结合等比数列的求和公式求得n T ． 【详解】（1）解：证明：∵ 11n n n a S S ++=-，∴ 由已知得()()*112N ++-+=∈n n n n S S S n ，即()()*112N ++-=∈n n n S nS n ．∴ 数列{}n nS 是以2为公差的等差数列．（2）解：由（1）知数列{}n nS 是以2为公差的等差数列， 又11a =，首项为1111S a ⨯==，()11221∴=+-⋅=-n nS n n ， 2112-∴==-n n S n n． 2122∴==-n n nb S ． 231112211111222112222212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=-+++⋅⋅⋅+=-=-+ ⎪⎝⎭-nn n nT n n n ．20．已知函数()e xf x ax =-，R a ∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()()()e 22ln =--++xg x f x ax x a 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内无零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)(],4ln 2a ∈-∞【分析】（1）求导后根据a 的正负情况分类讨论求得单调区间；（2）当0a ≤时，()g x 递减，抓住()10g =得到()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点；当0a >时，根据()g x 的极值点2a与12的大小关系分两种情况求实数a 的取值范围．【详解】（1）解：()f x 的定义域为R ，()e xf x a '=-．① 当0a ≤时，0f x，则()f x 在(),-∞+∞递增．② 当0a >时，由()0e 0ln '>⇒->⇒>xf x a x a ；由()0ln f x x a '<⇒<．∴ ()f x 的单调减区间为(),ln a -∞，单调增区间为()ln ,a +∞． （2）解：由已知得，()()()12ln 0g x a x x x =-->． 则()2g x a x'=-． ① 当0a ≤时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减，由()10g =得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立．∴ ()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内无零点．② 当0a >时，令()0g x '=，得2x a=． 若212a ≥，即(]0,4a ∈时，则()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减， 又0x →时，()g x ∞→+． 要使()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，只需112ln 0222a g ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，即04ln 2a <≤； 若212a <，即4a >时，则()g x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在21,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增． ∴ ()min 2222ln g x g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭．令()222ln h a a a=--，则()2210a h a a a-'=-+=<， ∴ ()h a 在()4,+∞上递减，()()42ln 220∴<=-<h a h ． 即()min 0g x <，∴ ()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上一定有零点不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是(],4ln 2-∞．【点睛】本题解题的关键是在（2）中当0a ≤时，抓住函数()g x 过定点()1,0；当0a >时，要善于利用极值点与区间的位置关系分类讨论，从而探究不同情况下函数的性质，把问题转化成由()min g x 求a 的范围．21．已知函数f (x )＝ln xx－ax ，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线经过点(2，－1). （1）求实数a 的值；（2）设b >1，求f (x )在[1b ，b ]上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）最大值为－1；最小值为－b ln b －1b.【分析】（1）首先对函数求导，求得'(1)f 的值，利用两点斜率坐标公式求得切线斜率，建立等量关系，求得a 的值；（2）结合（1）的结论，得到函数的单调性，应用导数求得函数的最值，得到结果. 【详解】（1）由题可得，f (x )的导函数为221ln '()(0)x ax f x x x --=>， ∴10'(1)11af a --==-， 依题意，有(1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， 解得a ＝1.（2）由（1）得，221ln '()(0)x ax f x x x --=>，易知，f ′（1）＝0， ∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 又∵101b b<<<，∴f (x )的最大值为f （1）＝－1. 设111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中b >1，则21'()(1)ln 0h b b b =->， ∴h (b )在(1，＋∞)上单调递增.当b →1时，h (b )→0，可得h (b )>0，则1()()f b f b >，故f (x )的最小值为11()ln f b b b b=--.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的最值，属于中档题目.22．在平面直角坐标系中，曲线1C ：cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换2,3x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线2C ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 2sin θρθ+= （1）求曲线2C 的普通方程；（2）设点P 是曲线2C 上的动点，求点P 到直线l 距离d 的最大值.【答案】（1）22149x y +=；（2. 【分析】（1）把cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩转化为直角坐标方程，把2,3x x y y '=⎧⎨'=⎩代入到直角坐标方程中即可（2）设点P 的坐标为(2cos 3sin )θθ，，把直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式表示出点P 到直线l 距离，进一步求三角函数式的最大值.【详解】解：（1）由题意得曲线1C ：cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数）的普通方程为221x y +=.由伸缩变换23x x y y ⎨'=='⎧⎩，，得23x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪''⎩，， 代入221x y +=，得22149x y ''+=.∴2C 的普通方程为22149x y+=（2）因为cos sin x y ρθρθ==，cos 2sin θρθ+=20y +-=.∴直线l20y +-=.因为点P 是曲线2C 上的动点，所以设点P 的坐标为(2cos 3sin )θθ，， 则点P 到直线l的距离d ===当πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =所以点P 到直线l 距离d【点睛】考查把参数方程转化为直角坐标方程以及用三角函数知识求点到直线距离的最大值，中档题.23．设函数()21(0)f x x a x a =+-+<. （1）当2a =-时，求不等式()2f x 的解集；（2）若()24f x x >+对[3x ∈-，1]-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）2[2,]3--；（2）(,1)-∞-. 【分析】（1）采用零点分段法直接求解即可；（2）将问题转化为2x a +>对[3x ∈-，1]-恒成立，然后根据(2)min a x <--或(2)max a x >-，求出a的取值范围.【详解】解：（1）当2a =-时，()221f x x x =--+， 当1x <-时，()()()2+21+4f x x x x =--+=， 当12x -时，()()()2213f x x x x =---+=-， 当2x >时，()()2214f x x x x =--+=--，因为()2f x ，所以1,+42,x x <-⎧⎨⎩或12,32x x -⎧⎨-≥⎩或2,42,x x >⎧⎨--≥⎩，解得21x -<-或213x --或x ∈∅，()2f x ∴的解集为2[2,]3--.（2）若()24f x x >+对[3x ∈-，1]-恒成立，有2(1)24x a x x +++>+，2x a ∴+>，2x a ∴+<-或2x a +>，(2)min a x ∴<--或(2)max a x >-，1a ∴<-或5a >.又0a <，1a ∴<-.故a 的取值范围为(,1)-∞-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及利用均值定理证明不等式，考查数学转化思想方法，推理论证能力，属于中档题.。
四川省泸州市泸县部分高中2022-2023学年高三上学期12月第三次月考数学(文科)试题(解析版)
泸县2020级高三（上）第三次学月考试数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表． （ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好 不良好 合计 男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（ ）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >， 所以{|3A x x =<-或2}x >， 所以{|25}A B x x ⋂=<≤， 故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（ ） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-． 故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示， 则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数． 反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-， 当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-， 所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>， 故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增， 因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ． 【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+． 又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，， 解得π2πZ 6k k φ=+∈，． 由π||2φ<，得π6φ=， 所以()π2sin(26f x x =+）， 所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >， 即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈， 解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈， 此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈， 解得()πππZ 3k x k k <<+∈， 此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好 不良好 合计 男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-， 由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->， 所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-， 若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =， 当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证； （2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=， 所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立， 等价于1219x x -++≥， 令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩， 当1x ≥时，393x x ≥⇒≥， 当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去， 当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。
2019届贵州省贵阳市高三上学期第三次月考文科数学试卷【含答案及解析】(1)
2019届贵州省贵阳市高三上学期第三次月考文科数学试卷【含答案及解析】姓名_____________ 班级________________ 分数 ___________一、选择题1.已知集合P =制芒r} , M J?二T}，则PI Q三（）A • （-s.O）B • （Q 工____________________________________C . 1]___________________________________D . [0.1]2.已知复数|， I （；:】]{.,•为虚数单位），且□弋「,贝【J复数- （）A - -B -C •-或D• 1 --.3.设：，是两个非零向量，若函数■■ ' *_' 1 H ）的图象是一条直线，则必有（）A •、一 ' B• 衣----------------------------------------- C •向二& _____________________________________ D• h h b4.定义一种运算,在如图所示的框图所表达的算法中揭示了这种运算”的含义,那么按照运算“]”的含义，T SF A.盼血B .4+V^ C . '邛D . L1石J1石 ?74175. 设：，.为两条直线■为两个平面,下列四个命题中,正确的是（ 、 )A .若a , h 与肚所成角相等，则小4B .若•， , ME ,则」C .若.二，，., 厂:?, 则"“D.若 ，：，a 丄“，则 ―则 F Cv ） 的值域是'■ ._ |. _「.下列选项为真命题的是（）A .彳—i. 一 | _____________________________________B .蜡訂:「疗］C .「. 1______________________________________ D .1:”7. 已知三个函数 ■ ' I _ : 「 _:，二.-的零点依次为■' , .「，‘ ，则（ ）A ./：，；」「；- ___________________________B . ,? <, ? •:氓则m j 恒成立；命题，6. 已知命题.：若“、丄（2 °）若 /⑴二-T ，右 -c ■ I. ■ 1 ■■ ，_ I：/输入仪』/ m t BJ£ =__________________________ C. h 心… ___________________________________8.一个几何体被切割后剩下部分的几何体的三视图如图所示( )IK正视图侧视图A - . ■ ------------B - ----------------------------C - . ------------------------------------D -■' - I ；'-x>l-上二 所表示的平面区域是 注, 平面区域1 L 是与1:F 巴工片r关于直线；，对称的区域，对于" 中的任意点.与| 中的任意点AB 的最小值是（ ）2E T3低时的年产量为（A . | 吨—I ：..吨11. 已知函数 7 I ■ ■: ：■ 1. '' - | 则该几何体的表面积为设不等式组9.10.某工厂产品的年产量在， 吨至：，与年产量■-（吨）之间的关系可近似表示为吨之间，年生产的总成本'（万元） ■ = 一- -h - ll :I I , 则每吨的成本最10的部分图象如图所示 ，■，贝V12. 双曲线i 的一条渐近线与)垂直，则双曲线的离心率为( )A .上B .C . ;■D .叮二、填空题13. 等比数列；■；的前-项和为；，若.二！- - •，一，则该数列的项数，= ______________________ .14. 已知圆丨- 关于直线:、二士十亡成轴对称，则-:的取值范围是___________ .15. 某单位为了了解用电量度与气温' C之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温,并制作了对照表气温LC)181310-1用电量(E>24343864由表中数据得回归直线方程中. ，预测当气温为rI 时，用电量的度数是____________ .16. 甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为；，,再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜想的数字记为占，且日，bEfQ丄2},若|^-5|<1 ,则称甲、乙“心有灵犀”. 现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为三、解答题17. （本小题满分12分）已知函数 --■■■.-■ | ■ -1 -.「I -72 ? 7（）在■-='时有最小值——（I ）求的值； （H ）在中，，「，」，，分别是角.， 「I 所对的边，已知：—，•「；，；.〔 亠，求角.的值.18. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥?中，底面I,：为平行四边形- , £门 19. （本小题满分12分）贵阳市某中学高三第一次摸底考试中 ，！名学生数学成绩的 频率分布直方图如图-所示，其中成绩分组区间是一，［打 ___ IP ,_____ 「，| . .「工），|m|.（I ）求图中.■的值；（n ）根据频率分布直方图，估计这 ， 名学生数学成绩的平均分；（川）若这 ⑴住名学生数学成绩某些分数段的人数（ ）与语文成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求语文成绩在| I |；之外的人数.(n)在 U 中，./.H'B -. = -II 点F 在二一，上且三三—•「三,求三棱平面齐' 100110120130140150^5分蹶段[100J10)[110J20)[12OJ3O][130J40)x: y 1.12」3:44；5F V20. (本题小满分12分)已知椭圆^ ( •)的一个焦点与抛物线「的焦点重合，椭圆上一点到其右焦点「的最短距离为，.(I)求椭圆F的方程；(H)记椭圆F的上顶点为.，是否存在直线交椭圆N于，，｛两点，使点恰好为一匚，的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由21. (本小题满分12分)已知函数• | ■—. - - - , r|-；—一2 ¥(I)函数 -.■ 1在点彳:处的切线与直线..■- .平行，求函数/(X)的单调区间；(□)设函数的导函数为，对任意的「，若"丨亠|・丨恒成立，求的取值范围.22. (本小题满分10分)【选修4-1 :几何证明选讲】如图，已知圆上的弧. ..,过点.的圆的切线，三与鄆匚的延长线交于点.第1题【答案】23. (本小题满分10分)【选修4-4 :坐标系与参数方程】已知圆的参数方程为为参数)，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线•；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线［的极坐标方程为.，丨(I)求曲线「的普通方程与曲线'的直角坐标方程；(□)设|；为曲线「上的动点，求点|：与曲线* 上点的距离的最小值，并求此时|；点的坐标•24. (本小题满分10分)【选修4-5 :不等式选讲】设函数于瞿+丄4 k-d(| (席＞0 ) •a(I)证明：孑(n)若「二一，求.■的取值范围•参考答案及解析【解析】试题分析；卜卜工今咒疋0<卩={纠驻€&} , 1-岸=。
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
2021年高三上学期第三次诊断考试(文)数学试题含答案
2021年高三上学期第三次诊断考试（文）数学试题含答案一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A． B． C． D．2.下列说法不正确的是( )A．若“”为假，则至少有一个是假命题B．命题“”的否定是“”C．“”是“为偶函数”的充要条件D．当时，幂函数在上单调递减3.已知等差数列中，，则等于( )A． B． C．-1 D．15.平面向量与夹角为，，则等于（）A．13 B． C． D．36.将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的图像，则函数的单调递减区间是（）A． B．C． D．7.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则由下列命题：①若，则②若，则③若，则④若，则则上述命题中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8.函数的图像大致是( )9.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调递减函数，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知是内的一点（不含边界），且，若的面积分别为，记，则的最小值为( )A ．26B ．32C ．36D ．48第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在各项为正数的等比数列中，若，则公比 .12.已知中，，那么角等于 .13.在中，，边，过作交于，且，则 .14.一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为 .15.若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于两点，则 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅=，且分别为的三边所对的角.⑴求角的大小；若成等差数列，且的面积为，求边的长.17.（本小题满分12分）已知单调递增的等差数列满足：.⑴求数列的通项公式；⑵设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，⊥====为的中点.,,1,2,4,AD CD AB CD AB AD CD DE M⑴求证：平面；⑵求证：平面⑶求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）已知数列中，，且.⑴求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；⑵设，数列的前项和为，求证：20.（本小题满分13分）设函数.⑴当（为自然对数的底数）时，若函数在上有极值点，求实数的范围；⑵若函数有两个零点，试求的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数.⑴若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；⑵当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围.26870 68F6 棶36416 8E40 蹀wI[ 38479 964F 陏26593 67E1 柡?32844 804C 职)24807 60E7 惧X23383 5B57 字L。
【新课标Ⅱ-2】2015届高三上学期月考(3)数学文 Word版含答案
2015届上学期高三一轮复习第三次月考数学（文）试题【新课标II-2】考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ ）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2] 2. 已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=-|3|ai （ ） A.13 B.13 C.10 D.103. 已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．1865. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b λ+与a b λ-互相垂直的充要条件是（ ）A ．1λ=-或1λ=B ．12λ=-或12λ=C．λ=λ= D ．λ为任意实数 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积等于（ ） A.3160B.160C.23264+D.2888+7. 已知数列{}n a 的首项为3, 数列{}n b 为等差数列, ,2),(31-=∈-=*+b N n a a b n n n1210=b ,则8a 等于（ ）A.0B.3C.8D.118．下列函数中在区间),1(+∞上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ） A.122-+-=x x y B.x y cos = C.|1|lg -=x y D.x x x y 3323+-=9. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直10. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ，若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ） A ．ππ36， B ．2ππ36，C ．ππ63，D ．ππ33，11.设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．10012.函数[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=,2),2(212,0,11)(x x f x x x f ，则下列说法中正确命题的个数是（ ）① 函数)1ln()(+-=x x f y 有3个零点；② 若0>x 时，函数x k x f ≤)(恒成立，则实数k 的取值范围是) ,23[∞+； ③ 函数)(x f 的极大值中一定存在最小值；④)2(2)(k x f x f k +=，)(N ∈k ，对于一切) ,0[∞+∈x 恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列{}n a 满足15,a a 是方程282810x x -+=的两个根，且15a a <，则3a =___________________. 14．已知数列{}n a 为等差数列，11011-<a a ，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值是_____________.15．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，2=AB ,3=AC ，则⋅=_______________. 16．在从空间中一点P 出发的三条射线P A ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，Q ，使PM=PN=PQ=1，且 90=∠BPC ， 60=∠=∠CPA BPA ，则三棱锥P-MNQ 的外接球的体积为 _______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）函数()3f x a b =⋅-，(3cos ,sin ),(cos ,cos )a x x b x x ωωωω==-,其中0ω>,点()()12,0,,0x x 是函数()f x 图像上相邻的两个对称中心，且122x x π-=（1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 图像向右平移m ()0m >个单位后所对应的函数图像是偶函数图像， 求m 的最小值．18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，⊥AB 面11B BCC ， 且AB BC =1BB =2=,点,M N 为C A AB 1,的中点. （1）求证：MN ∥平面11B BCC ；A（2）求证：⊥MN 平面C B A 11； （3）求三棱锥C B A M 11-的体积. 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且满足18,36542=++=a a a a ，数列{}n b 满足12,111+==+n n b b b（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c ⋅=，试求数列{}n c 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）在等腰梯形PDCB 中（如图1），PB DC //,33==CD PB ,2=PD ，PB DA ⊥,垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得AB PA ⊥，得到四棱锥ABCD P -(如图2) （1）求证：平面⊥PAD 平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥ABCD P -分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比，即45=-ABC M PMACD V V 时，求MBPM的值；（3）在（2）的条件下，求证：PD //平面AMC .21．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 和为n S ，且满足()*∈=+N n S a n n 1 （1）求数列{}n a 的通项公式；PABCDM图2P A BD C 图1（2）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 23λλ为等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由； （3）设)1)(1(2111++=++n n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .22． （本小题满分12分）函数)(1ln )1()(2R m mx x m x f ∈++-= （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若对任意的021>>x x ，总有)(2)()(2121x x x f x f ->-恒成立，求实数m 的取 值范围.参考答案C B C C A C BCD A D B 13-16题 9 1925 π3217题 )62cos(π+x π12118题34(3)19题（1）1+=n a n , =n b 12-n , （2）=n T 2)3(21+-⋅+n n n n20题 （2）2121题12131)3(31)2(21)1(1+-+n n 、 22 题 231)2(+≥m提示：令x x f x h 2)()(-=，x x f x h 2)()(-=在),0(+∞上单调递增0221)(≥-+-='mx xm x h 恒成立。
第一中学202届高三数学上学期第三次月考试题文
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 文满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．若复数（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( ）A 。
6-B.2-C. 4D.62．已知{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===,则()N M C U⋃=（ ）A. {}1,4 B 。
{}1,3,4 C 。
{}4 D 。
{}2 3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=，且b a ⊥，则32a b +=( )A.(7,2)B.(7,14)- C.(7,4)- D 。
(7,8)- 4．“2a =-"是“直线()12:30:2140l ax y lx a y -+=-++=与互相平行"的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C 。
充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件5．已知}{na 为等差数列，若π=++951a a a,则)cos(82a a+的值为( ）A.21 B.23C 。
21- D 。
23- 6．若定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数，则不等式()()2log 1f x f <-的解集是（）A.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 。
()(),22,-∞-+∞C 。
RD 。
()2,2-7．已知实数x,y满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为( ）A ．10B ．8C ．2D ．08．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（ ）A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ）A 。
3 B 。
33 C.332D.33410．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数)(x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．3 B ．21-C ．21D 311．直线l ：(2y k x =与曲线()2210xy x -=>相交于A 、B 两点，则直212221线l 倾斜角的取值范围是（ ）A 。
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2012届高三上学期第三次月考数学（文）试题本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：锥体体积公式V=13Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1．已知x ∈R ，i 为虚数单位，若（1-2i ）（x+i ）=4-3i ，则x 的值等于（ ） A. -6 B. -2 C. 2 D. 6 2．已知全集U=R,集合P=｛x ︱log 2x ≥1｝,那么A.}20|{<<x xB.}2|{<x xC.}2.|{>x xD. }2|{≤x x 3．四边形ABCD 中，=，且∙=0，则四边ABCD 是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形4．不等式2x 2-x-1<0成立的一个必要不充分条件是（ ） A. 1(,1)2-B. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ C.（1，+） D.（-1，1） 5．已知角θ的始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）A ． 45-B ．35-C ． 35D ．456．已知函数x x x f 3)(3-=，直线方程为16y ax =+，与曲线)(x f y =相切，则实数的值是 （ ）A ．3-B ．3C ．6D ．97．若43<<k ，则二次曲线13422=-+-ky k x 的焦点坐标是（ ） A.（0，±1） B.（±1，0） C.（±k 27-，0） D.与k 的取值有关8．已知函数bx ax x f -=2)(，其中≥1，b ≤2，且0)(=x f 在[1，+）上有解。
向量=（1，1），=（a ，b ），则∙的最大值是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 19．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 的值是（ ）A. 120B. 720C. 1440D.504010．某多面体的一条棱的正视图是一条长为6的线段，它的俯视图和侧视图是两条长度都等于7的线段，那么这条棱长为（ ）A.10B. 7C. 6D.3二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题）11．数列}{n a 中,1a =1，2≥n 时，n a =21-n a +1，则}{n a 的通项公式是n a = ； 12．函数)(x f =12++a ax 在（-1，1）内有零点，则实数的范围是 ； 13．直线2sin cos =+θθy x 与圆422=+y x 的公共点的个数是 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算前一题得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）化参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 22sin cos ，0(∈t ，]2π为普通方程为 ； 15．（几何证明选讲选做题） 如右图：已知AC=BD ，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线E 点，若ACE ∠=040， 则BCD ∠= 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（Ⅰ）从x 、y 中各取一个数，求10≥+y x 的概率；（Ⅱ）针对表中数据，甲给出拟合曲线的方程是：108.005.02++=x x y ，测得相关指数97.02=R ；乙给出的拟合曲线的方程是：6.055.0+=x y ，测得相关指数85.02=R 。
请判断用哪一个方程拟合效果会更好，并用较好的曲线方程估计x=10时y 的值。
17．（本小题满分14分） 已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π（Ⅰ）求它的最小正周期T; （Ⅱ）若),0(,23)(παα∈=f ，求的值； （Ⅲ）求)(x f 的单调增区间．18．（本小题满分14分）如图，PAD ∆为等边三角形，ABCD 为矩形，平面PAD 平面ABCD ，2AB =，E F G 、、分别为PA 、BC 、PD 中点，AD =（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD（Ⅱ）求多面体P AGF -的体积．19．（本小题满分12分）椭圆的两个焦点分别为F 1(0,-22)，F 2(0,22)，离心率e =322。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 中点的横坐标为-21，求直线l 倾斜角的取值范围。
20．（本小题满分14分）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0≠a ;（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若1)1(-≥e f ，求使)(x f ≤2e 对x ∈[1，e]恒成立的实的值。
（注：e 为自然对数的底数）21．（本小题满分14分）已知数列{a n }中，212,a t a t ==（t>0且t≠1）．若x =是函数311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记12(1)n nb a =-，当t =2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值； （Ⅲ）当t =2时，求证：对于任意的正整数n ，有 ∑=+<++nk k k k a a 1131)1)(1(2。
答案及评分要求一．CBBDB DBABA二．11．n a =n 2-1 ；12．311-<<-a ；13．1 ；14．1=+y x ，10≤≤x ；15．040。
16．解（Ⅰ）(x,y)共有25个，其中符合x+y ≥10的有9个：(6,4),(6,5),(7,3), (7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5)所以，从x 、y 中各取一个数，满足10≥+y x 的概率259=P。
（2）更好。
甲给出的方程拟合效果∴>,85.097.0 当x=10时，8.618.0511008.01005.02=++=+⨯+⨯=y 17．（Ⅰ）πππππ==∴++=++=+++=++=221)32si n(12cos 232si n 212si n )62cos(12si n )12(cos 2)(2T x x x x x xx x f.12114,6136532).37,3(32),2,0(2),,0(21)32sin(,231)32sin()()(ππαπππαπππαπαπαπαπαα或或=∴=+∴∈+∴∈∴∈=+∴=++=2 f （Ⅲ）).](12,125[)(),(12125),(223222Z k k k x f Z k k k Z k k k ∈+-∴∈+≤≤-∈+≤+≤-ππππππαπππππαππ的增区间为得由18．（Ⅰ） ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴又平面PAD 平面ABCD ，且AD ABCD PAD =⋂平面平面， PAD AB ABCD AB 平面，平面⊥∴⊂∴（Ⅱ）．--P AFG F PAG V V =三棱锥三棱锥21112332PAG AB S ∆=⨯⋅=⨯⨯=………………………………………………１４分19．解 （Ⅰ）设椭圆方程为22ay +22b x =1。
由已知，c=22，由e=322解得a=3，∴b=1。
∴92y +x 2=1为所求椭圆方程。
（Ⅱ）设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++= ② ①192x y b kx y将①代入②并化简，得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-9=0。
∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+>-+-=1920)9)(9(4)2(221222k kbx x b k kb Δ。
由于k ≠0 则化简后，得⎪⎩⎪⎨⎧+=>+- ④ ③k k b b k 2909222 将④代入③化简后，得k 4+6k 2-27>0 解得k 2>3， ∴k< -3或k>3由已知，倾斜角不等于2π， ∴l 倾斜角的取值范围是(3π,2π)∪(2π,32π)。
20．解：（Ⅰ）因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x－2x ＋a ＝－x －a 2x ＋a x.当a ＞0时，由)(x f ＞0，得a x <<0， f (x )的增区间为(0，a )；当a ＜0时，由)(x f ＞0，得20a x -<<， f (x )的增区间为（0，-2a ）； （Ⅱ）由 f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e.PDB由（Ⅰ）知f (x )在[1，e]内单调递增，要使f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立， 只要2)(e e f ≤，则 222ln e ae e e a ≤+-，0222≤-+e ae a ，0))(2(≤-+e a e a ， e a ≤，得a ＝e21．解：分析：利用x =311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点求出n a 与1n a +的关系式，从而加以证明第（1）问，而第（2）问的解决关键在于运用等比数列的求和公式，再利用函数的单调性得出n 的最小值。
第（3）问中先将11(1)(1)k k a a +++拆项并求和，通过观察与分析得出指数函数g （x ）的表达式。
（Ⅰ）211'()33[(1)](2)n n n f x a x t a a n -+=-+-≥．由题意0)(='t f ，即21133[(1)](2)n n n a t a a n -+-+-≥，∴11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥，∵0t >且1t ≠，∴数列1{}n n a a +-是以2t t -为首项，t 为公比的等比数列，2112121321()(1),(1),(1),(1)n n n n n n n a a t t t t t a a t t a a t t a a t t-+--∴-=-=-⋅∴-=--=-⋅-=-以上各式两边分别相加得211(1)()n n a a t t t t --=-++…，∴(2)n n a t n =≥， 当1n =时，上式也成立，∴n n a t =（Ⅱ）当t=2时，12(21)1222n n n n b --==- 2112112)2121211(212---=++++-=∴-n n n n n S .21222)211(22n n n n ⋅+-=--=由2008n S >，得1222()20082nn -+>，1()10052nn +>，当111004,()1005,1005,()150022nnn n n n ≤+<≥+>时当时， 因此n 的最小值为1005．（Ⅲ）∵121121)12)(12(2)1)(1(2111+-+=++=+++++k k k k k k k k a a∑=+++nk k k ka a 11)1)(1(22231111111()()()212121212121n n +=-+-++-++++++ (11113213)n +=-<+。