高三数学上学期第三次月考试题 (2)
高三(上)第三次月考数学试卷(附答案)
***学校高三（上期）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）)1. 已知全集U=R，集合A={x||x−1|<1}，B={x|2x−5x−1≥1}，则A∩∁U B=( )A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x<2}D.{x|1≤x<4}2. 设m∈R，则“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件3. 函数f(x)=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知棱长为的正方体ABCD−A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A.4B.2C.D.5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acos A =3c−2bcos B，且b=√5sin B，则a＝（）A.5 3B.23C.35D.2√536. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0, +∞)时，f(x)+xf′(x)>0，若a ＝0.76f(0.76)，b＝(log0.76)f(log0.76)，c＝60.6⋅f(60.6)，则a，b，c的大小关系是（）A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c7. 设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为（）A.1 2B.23C.√32D.√228. 已知函数f(x)＝cos(2x−）+2sin(x−）sin(x+）(x∈R)．给出下面四个结论：①f(x)是最小正周期为π的奇函数；②f(x)图象的一条对称轴是；③f(x)图象的一个对称中心是；④f(x)的单调递增区间为．其中正确的结论是（）A.①③B.②③C.②③④D.①②③9. 已知函数f(x)={x2+4a,x>01+log a|x−1|,x≤0(a>0，且a≠1)在R上单调递增，且关于x的方程|f(x)|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A.(34, 1316] B.(0, 34]∪{1316}C.[14, 34)∪{1316} D.[14, 34]∪{1316}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）)10. 若，则z的共轭复数为________．11. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．12. 已知圆C的圆心在直线x+y＝0上，圆C与直线x−y＝0相切，且在直线x−y−3＝0上截得的弦长为√6，则圆C的方程为________．13. 已知a∈R，设函数f(x)＝，若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为________．14. 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝4，＝2，＝3，则＝________．15. 已知正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，则xyx+4y 的最大值为________18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）)16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B2=√66，b sin A=√6a sin C，c=1．（1）求a的值和△ABC的面积；（2）求sin(2A+π3)的值．17. 在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足＝0．(Ⅰ)求证：DE // 平面PBC；(Ⅱ)求二面角F−PC−B的余弦值；(Ⅲ)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长是2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．19. 已知等比数列{a n}的公比q>0，且满足a1+a2＝6a3，a4＝4a32，数列{b n}的前n项和S n＝，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n＝，求数列{c n}的前2n项和T2n．20. 已知f(x)＝x2−4x−6ln x．(Ⅰ)求f(x)在（1, f(1)）处的切线方程以及f(x)的单调性；(Ⅱ)对∀x∈(1, +∞)，有xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12恒成立，求k的最大整数解；(Ⅲ)令g(x)＝f(x)+4x−(a−6)ln x，若g(x)有两个零点分别为x1，x2(x1<x2)且x0为g(x)的唯一的极值点，求证：x1+3x2>4x0．参考答案与试题解析**8学校高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x≥4}；∴∁U B={x|1≤x<4}，∴A∩∁U B={x|1≤x<2}．故选C.2.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，可得且，解出即可判断出．【解答】直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，则且，解得m＝−3，因此“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1”平行的充要条件．3.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．【解答】f(−x)=e−x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．4.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积棱柱的结构特征【解析】先求正方体的底面对角线的长，再求球的半径，然后求半球的体积．【解答】正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径＝，半球的体积：×π×（）3＝2π．5.【答案】A【考点】正弦定理【解析】由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得3sin C cos A＝2sin C，结合sin C≠0，可得cos A，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可求a的值．【解答】∵2acos A =3c−2bcos B，可得：2a cos B＝3c cos A−2b cos A，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝3sin C cos A−2sin B cos A，可得3sin C cos A＝2(sin A cos B+ sin B cos A)＝2sin C，∵sin C≠0，可得：cos A=23，∴sin A=√1−cos2A=√53，又∵b=√5sin B，∴由正弦定理asin A =bsin B，可得：√53=bsin B=√5，可得：a=53．6.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，8.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用三角函数中的恒等变换应用【解析】本题考查两角和与差的三角函数及辅助角公式，同时考查函数y＝A sin(ωx+φ)的图象与性质，利用两角和与差的三角函数及辅助角公式化简f(x)，然后由正弦函数的性质，逐一分析求解即可．【解答】∵＝，∴f(x)不是奇函数，故①不正确．∵，∴直线是f(x)图象的一条对称轴，故②正确．∵，∴点是f(x)图象的一个对称中心，故③正确，令，可得，所以f(x)的单调递增区间为，故④不正确．所以正确的结论为②③．9.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】由题意可知f(x)在两段上均为增函数，且f(x)在(0, +∞)上的最小值大于或等于f(0)，作出|f(x)|和y＝x+3的图象，根据交点个数判断4a与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．【解答】由1+loga |x−1|＝0，解得x＝1−1a≤−3，即x≤0时，有且只有一解．则a的范围是[14, 34]∪{1316}．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.【答案】1−3i【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则求出z，由此能求出z的共轭复数．【解答】＝，∴z的共轭复数为1−3i．11.【答案】43【考点】柱体、锥体、台体的体积计算由三视图求外接球问题【解析】本题主要考查空间几何的体积．【解答】解：正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是√2，则该正八面体的体积为1 3×(√2)2×2=43．故答案为：43．12.【答案】(x−1)2+(y+1)2＝2【考点】直线与圆的位置关系【解析】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得关于a，b，r的方程组，求解可得a，b，r的值，则圆的方程可求．【解答】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得，{a+b=0 r=√2(√2)2+(√62)2=r2，解得{a=1b=−1r=√2．∴圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2＝2．13.[0, 2e]【考点】函数恒成立问题分段函数的应用【解析】按照x≤1与x>1分类讨论，分别分离变量、求最值即可．【解答】当x<1时，f(x)≥0化为恒成立，，∵x<1，∴x−1<0，∴，∴，当且仅当即x＝0时取等号．∴a≥0(1)当x>1时，f(x)≥0化为恒成立．设，，∴当∈(1, e)时，，g(x)单调递减，当∈(e, +∞)时，，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(e)＝e+e＝2e，∴a≤2e．综上，a∈[0, 2e]．故答案为[0, 2e]．14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角如图所示，设B(0, a)，利用向量的线性运算和数量积运算即可得出．【解答】建立如图所示的坐标系，则由题意可得A(4, 0)，C(0, 0)，设B(0, a)．又∵＝2，∴＝（，）；∵＝3，∴＝+＝+•＝(−2，），∴则＝4×−2×4＝，15.【答案】18【考点】基本不等式及其应用【解析】令x+4y＝t，则由条件可得xyx+4y =1t+6，然后根据条件出t的范围，进一步求出xyx+4y的最大值．【解答】∵正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，∴xy(x+4y+6)＝x+4y，∴xy=x+4yx+4y+6．令x+4y＝t，则xy=tt+6且t>0，∵x+4y≥2√4xy=4√xy，当且仅当x＝4y时取等号，∴t≥4√tt+6，即t2+6t−16≥0，∴t≥2或t≤−8（舍），∴xyx+4y =1t+6≤18，∴xyx+4y 的最大值为18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.【答案】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．【考点】求两角和与差的正弦两角和与差的余弦公式【解析】（1）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin B、cos B的值，再利用正弦定理求得sin C的值，可得cos C的值，可得sin A=sin(B+C)的值，再利用正弦定理求得a的值．（2）求得cos A=−cos(B+C)的值，可得sin A的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2A+π3)的值．【解答】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．17.【答案】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM推导出四边形CDEM为平行四边形，从而DE // CM，由此能证明DE // 平面PBC．证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE // 平面PBC．(Ⅱ)设点F(1, t, 0)，求出平面FPC和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角F−PC−B的余弦值．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，利用向量法能求出在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，|AQ|＝．【解答】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．18.【答案】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)根据椭圆C的离心率为，短轴长是2，结合a2＝b2+c2，即可求出a，b的值；(Ⅱ)设l1的方程为y＝kx−1，代入入+y2＝1，求出M的坐标，可得DM，用-代k得DN＝，求出△DMN的面积，＝，可得>，从而可求k的取值范围．【解答】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．19.【答案】（1）依题意，由a1+a2＝8a3，a4＝2a32，可得，解得q＝，a1＝，∴a n＝•（）n−1＝（）n，n∈N∗，对于数列{b n}：当n＝1时，b3＝S1＝1，当n≥7时，b n＝S n−S n−1＝-＝n，∵当n＝6时，b1＝1也满足上式，∴b n＝n，n∈N∗．（2）由题意及(Ⅰ)，可知当n为奇数时，c n＝•a n+7＝×（）n+3＝-，当n为偶数时，c n＝a n⋅b n＝n⋅（）n，令A＝c5+c3+...+c2n−2，B＝c2+c4+...+c8n，则A＝c1+c3+...+c4n−1＝-+-+…+-＝-＝-，B＝c6+c4+c6+...+c2n＝2⋅（）2+4⋅（）4+2⋅（）8+...+2n⋅（）2n，∴（）2B＝2⋅（）4+2⋅（）2+...+(2n−2)⋅（）2n+7n⋅（）7n+2，两式相减，可得B＝2⋅（）2+2⋅（）4+3⋅（）2+...+2⋅（）2n−2n⋅（）2n+6，＝（）3+（）7+（）5+...+（）3n−1−2n⋅（）2n+2，＝−2n⋅（）2n+7，＝−(n+）•（）2n+2+，∴B＝-•（）2n−6+，∴T8n＝c1+c2+...+c5n＝(c1+c3+...+c8n−1)+(c2+c3+c6+...+c2n)＝A+B＝--•（）2n−1+＝-（+）2n−2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；(Ⅱ)xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得ℎ(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(Ⅲ)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．【解答】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．。
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考(11月)数学试题
安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题一、单选题1．已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（）A ．1B ．2CD 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38304S a ==,，则9S =（）A ．54B ．63C ．72D ．1353．已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（）A ．-15B ．-14C ．-11D ．-66．已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP m AB AC =+，则AP AB ⋅=（）A ．29B ．19C ．23D ．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A ．552B ．452C ．92D ．1028．已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、多选题9．已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（）A ．OA OB =B ．OA OC⊥C ．AC BC = D ．OB AC∥10．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（）A ．当9n =时，n S 最大B ．使得0n S <成立的最小自然数18n =C ．891011a a a a +>+D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 11．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误．．的是（）A ．当01q <<时，数列{}n d 单调递减B ．当1q >时，数列{}n d 单调递增C ．当12d d >时，数列{}n d 单调递减D ．当12d d <时，数列{}n d 单调递增三、填空题12．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为.13．已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为.14．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是.四、解答题15．设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{an }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.(1)求角A ；(2)若3,2a BA AC BD DC ⋅==，求AD 的长.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.18．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.(1)求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；(2)设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.19．已知函数()x f x e =.(1)当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；(2)若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；(3)设*2,n n ≥∈Nln n +.。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021年高三上学期第三次月考数学试题 含答案
2021年高三上学期第三次月考数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．共60分）1、设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝A.｛1，2，3，4｝B. ｛2，3，4｝C. ｛4｝D. ｛｝2、若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1）3.已知向量，，若与共线，则的值为( )A. B. C. D.4.对于函数，下列选项中正确的是( )A.在上是递增的B.的图像关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为25.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A. B.C. D.3006．已知为等差数列，若，则的值为( )A. B. C. D.7.给出下列命题：①若直线与平面内的一条直线平行，则；②若平面平面，且，则过内一点与垂直的直线垂直于平面；③，；④已知，则“”是“”的必要不充分条件．其中正确命题有（）A．②④ B．①② C．④ D．②③8.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.若实数，满足不等式组，目标函数的最大值为，则实数的值是（）A． B． C． D．10.设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )A． B． C． D．11.设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．12.设定义在（0，）上的函数f(x), 其导数函数为，若恒成立，则第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题513.．14. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．15．已知为三角形的边的中点，点满足，，则实数的值为16．数列的通项，其前项和为，则为．17．（本小题满分12分）设的内角所对的边为，（1）求角的大小；（2）若，，为的中点，求的长。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。
天津市南开区南大奥宇学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(含答案解析)
天津市南开区南大奥宇学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集为R ，集合{13}A x x =∈-<≤Z∣，集合{}1,2B =，则集合A B ⋂=R ð（）A ．{}0,3B ．()(]1,12,3-⋃C ．()()(]0,11,22,3⋃⋃D ．{}1,0-2．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+3．设x ∈R ，则“2x x >”是“11x<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．若等差数列{}n a 满足8926a a -=，则它的前13项和为（）A ．110B ．78C ．55D ．455．已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B 两点，且AB =则k ＝（）A ．15B ．43C ．12D ．5126．若函数()()22x xf x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<7．设F 是抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点，点A 是抛物线1C 与双曲线222221(0,0x y C a b a b-=>>：）的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（）AB C D ．28．若函数()||0)f x x a =>没有零点，则a 的取值范围是（）A ．)+∞B ．()2,+∞C ．())0,1+∞ D ．()()0,12,⋃+∞9．函数()()()sin ,0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图像交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，有如下说法：①函数()f x 的最小正周期是π②函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减③函数()f x 的图像向左平移π12个单位后关于直线π2x =对称④若圆C 的半径为5π12，则函数()f x 的解析式为()πsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则其中正确的说法是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④二、填空题10．若复数6i3ia +-（,i a ∈R 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为______.11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x +'=，则(1)f '=___．12．己知10,lg 2b a a b =+=，则ab =______.13．设a ＞0，b ＞0，a ≤2b ≤2a ＋b ，则2222aba b +的取值范围为_______．三、双空题14．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 DE 、 AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠= ，则该圆台的高为______；表面积为______.15．如图在ABC 中，90ABC ∠= ，8BC =，12AB =，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若3CE =，则EA EB ⋅= ______；若()01CE CF λλ=≤≤ ，则EA EB ⋅的最小值为______.四、解答题16．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,2b c A B ===.(1)求a 的值；(2)求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，且1222,,AA AB BC E M ===分别是1CC ，1AB 的中点.(1)证明：EM 平面ABC ；(2)求直线1A E 与平面1AEB 所成角的正弦值；(3)求平面BEM 与平面1B EM 夹角的余弦值.18．已知数列{}n a 的前n 项和()2n S n n λλ=+∈R ，且36a =，正项等比数列{}n b 满足：11b a =，2324.b b a a +=+(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若2022n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)证明：()2131nii i b b =<-∑.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为2F ，上顶点为H ，O 为坐标原点，230OHF ∠=︒，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点2F 且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点()2,0P -，()2,0Q ．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记MPQ ，NPQ △的面积分别为MPQ S ，NPQ S △，求MPQ NPQS S △△的值．20．已知函数()e xf x =，直线:,l y mx m =∈R .(1)若直线l 为曲线()y f x =的切线，求m 的值；(2)若不等式()()0x k f x x k -++≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值；(3)若直线l 与曲线()y f x =有两个交点()()1122,,,A x y B x y .求证：212ln x x m <.参考答案：1．A【分析】先求出集合A ，进而求出A B ⋂R ð.【详解】{}{}130,1,2,3A x x =∈-<≤=Z∣.因为{}1,2B =，所以A B ⋂=R ð{}0,3.故选：A 2．A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.3．C【分析】先求出2x x >与11x<的关系，然后根据充分条件，必要条件的判定即可得出结论.【详解】由2x x >，可得1x >或0x <，则可以推出11x<；由11x<，可得：1x >或0x <，则可以推出2x x >，所以“2x x >”是“11x<”的充分必要条件，故选：C .4．B【分析】根据等差数列的通项公式及前n 项和公式即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则因为8926a a -=，所以()()112786a d a d +-+=，即166a d +=.所以()()13111313113136136782S a d a d ⨯-=+=+=⨯=.5．B【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =而1d ==，所以1d =，解方程即可求出答案.【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =，而1d ==，所以1d =，解得：43k =.故选：B.6．A【分析】先判定函数()f x 的奇偶性及单调性，比较,,a b c 三者之间的大小关系，带入函数求解.【详解】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数；又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)fc f =；又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg 51lg 3log 3lg 5lg 3lg 5lg 3lg 42⎛⎫⋅==≥=>⎪⋅+⎛⎫⎭⎪⎝⎭，故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<.故选：A.7．B【分析】联立方程求出点A 的坐标，结合抛物线的定义可得a ，b 的关系，由此可求双曲线【详解】由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,准线为2P x =-,设双曲线的一条渐近线为b y x a =,则点,22p pb A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义得AF 等于点A 到准线的距离,即222pb p p a =+，所以12ba=，所以c e a a a====故选：B.8．D【分析】根据函数()f x 没有零点，等价为函数y =与||y x =的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a 的取值范围．【详解】解：令||0x =||x =，令y =22x y a +=||y x =，表示以(为端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象如图，根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆心到折线的距离小于1，a ∴的取值范围为()()0,12,⋃+∞.故选：D ．9．C【分析】由M ，N 关于点C 对称，求出π3C x =，判断出最小正周期为πT =.即可判断①；先求出()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.判断出()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调.即可判断②；求出对称轴直接判断③；利用圆C 的半径为5π12，求出A .【详解】因为圆C 与()f x 的图像交于M ，N 两点，所以M ，N 关于点C 对称.因为2π0,3M N x x ==所以π3C x =.由图像可得：()f x 的半个周期为πππ362⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以最小正周期为πT =.故①正确；因为最小正周期为πT =，所以2ππω=，由0ω>，解得：2ω=.因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以由“五点法”可得：π206ϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，解得：π3ϕ=.所以()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎝⎭.因为sin y t =在5ππ,62⎛⎫-- ⎝⎭上单减，在ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单增，所以函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎝⎭上不单调.故②错误；函数()f x 的图像向左平移π12个单位后得到函数()ππππsin 2sin 2cos 212326g x f x A x A x A x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以()g x 的对称轴为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2kx k =∈.所以函数()f x 的图像向左平移12π个单位后关于直线π2x =对称.故③正确；若圆C 的半径为5π12=解得：A所以函数解析式为：()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故④正确.综上所述：①③④正确.故选：C 10．2【分析】由6ii 3ia m +=-，（,,0,i a m m ∈∈≠R R 为虚数单位），利用复数相等列方程即可求解.【详解】因为复数6i3ia +-（,i a ∈R 为虚数单位）是纯虚数，所以6ii 3ia m +=-，（,,0,i a m m ∈∈≠R R 为虚数单位）.所以6i 3i a m m +=+，所以,36a m m ==，解得：2,2a m ==.故答案为：2.11．1-【分析】对给定等式两边求导，令1x =，解方程作答.【详解】依题意，对()()21ln f x xf x '=+两边求导得：()()121f x f x''=+，当1x =时，()()1211f f ''=+，解得()11f '=-，所以()11f '=-.故答案为：－112．10【分析】对等式10b a =两边取对数可得lg 1b a =，又lg 2a b +=，所以,lg b a 为方程2210x x -+=的解，即可求得,a b ，即可得解.【详解】由10b a =可得lg 1b a =，又lg 2a b +=，所以,lg b a 为方程2210x x -+=的解，所以1,lg 1b a ==，10a =，所以10ab =，故答案为：1013．4,92⎡⎢⎣⎦；【分析】首先根据不等式的性质，得到122ab≤≤，之后将所求的式子化为关于a b 的关系式，之后借助于对勾函数以及不等式的性质，求得目标式的取值范围.【详解】根据a ＞0，b ＞0，由222a b b a b≤⎧⎨≤+⎩求得122ab ≤≤，222222ab a b a b b a=++，令1[,2]2a t b =∈，则29]2t t +∈，所以24[29t t∈+，故答案是4[]92.【点睛】该题考查的是有关代数式的取值范围的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对勾函数的性质，在求解的过程中，注意对式子的正确转化.14．34π【分析】计算出圆台上、下底面的直径，取圆台的轴截面，利用等腰梯形的几何性质可求得该圆台的高；利用圆台的表面积公式可求得该圆台的表面积.【详解】由题意可知，圆台的母线长为936-=，上底面圆的直径为123π32πd ⨯==，下底面圆的直径为229π36πd ⨯==，取该圆台的轴截面MNGH ，如下图所示：易知四边形MNGH 为等腰梯形，分别过点M 、N 分别作MP GH ⊥、NQ GH ⊥，垂足分别为点P 、Q ，由已知，2MN =，6GH MH NG ===，因为MH NG =，MHP NGQ ∠=∠，90MPH NQG ∠=∠= ，所以，Rt Rt MPH NQG △≌△，所以，PH QG =，MP NQ =，因为MP GH ⊥、NQ GH ⊥，则//MP NQ ，则四边形MNQP 为矩形，所以，2PQ MN ==，22GH MN PH QG -===，MP ∴==，该圆台的表面积为()221π1π32π6π634π2S =⨯+⨯++⨯=.故答案为：34π.15．1336-【分析】求得22EA EB EF FB ⋅=- ，计算出CF 、BF 的长，当3CE =时，可求得EA EB ⋅ 的值；计算得出()1EF CF λ=- ，利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得EA EB ⋅ 的最小值.【详解】因为90ABC ∠= ，162BF AB ==，8BC =，则10CF ==，当3CE =时，7EF =，此时()()()()22227613EA EB EF FA EF FB EF FB EF FB EF FB ⋅=+⋅+=-⋅+=-=-= ；()1EF CF CE CF λ=-=- ，则()222213636EA EB EF FB CF λ⋅=-=--≥- ，当且仅当1λ=时，等号成立，故EA EB ⋅ 的最小值为36-.故答案为：13；36-.16．(1)【分析】(1)由A =2B 得sin A =sin2B ，再利用正弦定理和余弦定理角化边即可求解；(2)利用余弦定理可求cos A ，从而可求sin A 及cos2A 、sin2A ，结合两角和差的余弦公式进行求解即可﹒【详解】（1）由2A B =，知sin sin 22sin cos A B B B ==，由正、余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅．∵3b =，1c =，∴212a =，则a =；（2）由余弦定理得22291121cos 263b c a A bc +-+-===-，∵0πA <<，∴sin 3A ===，故sin 22sin cos 9A A A ==-，27cos 22cos 19A A =-=-，πππcos(2)cos 2cos sin 2sin 666A A A +=-=17．(1)证明见解析3(3)23【分析】(1)根据直三棱柱的特征可得：AB ⊥平面11BCC B ，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用空间向量的方法证明；(2)分别求出直线1A E 的一个方向向量和平面1AEB 的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解；(3)求出平面BEM 的法向量，结合（2）中平面1B EM 的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，又因为AB BC ⊥，1BC BB B = ，且1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B .以点B 为原点，BC ，1BB ，BA 分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,1,1,2,0,0,2,1B C B A C A .（1）因为,E M 分别是11,CC AB 的中点，所以()111,1,0,0,1,,1,0,22E M EM ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .易知平面ABC 的法向量为()0,2,0m = ，因为0EM m ⋅= ，所以EM m ⊥ .又因为EM ⊄平面ABC ，所以EM 平面ABC .（2）()()()1110,2,1,1,1,0,1,1,1AB EB EA =-=-=- .设()1111,,n x y z = 为面1AEB 的法向量，则11110n AB n EB == ，即111120,0,y z x y -=⎧⎨-+=⎩取11y =，则111,2x z ==，从而()11,1,2n = ，设直线1A E 与平面1AEB 所成角为θ，则111111sin cos<,3EA n EA n EA n θ⋅=>==⋅ ，即直线1A E 与平面1AEB所成角的正弦值为3.（3）()11,1,0,0,1,2BE BM ⎛⎫== ⎪⎝⎭ .设()2222,,n x y z = 为平面BEM 的法向量，则220n BE n BM ⋅=⋅= ，即22220,10,2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取22z =，则221,1x y ==-，从而()21,1,2n =- ，由（2）知：平面1B EM 的一个法向量()11,1,2n = ，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅<>==⋅ ，所以平面BEM 与平面1B EM 夹角的余弦值为23.18．(1)2n a n =，2n n b =(2)1112220222,10,22022404422,11.n n n n n T n n ++⎧-++≤=⎨-+-≥⎩(3)证明见解析【分析】（1）利用1n n n a S S -=-求出{}n a 和{}n b 的通项公式；利用公式法求出{}n b 的通项公式；（2）由20222,10,202222022,11,n n n n n c b n ⎧-≤=-=⎨-≥⎩对n 分类讨论：10n ≤和11n ≥分别求和，即可求出n T ；（3）利用裂项相消法求和，即可证明.【详解】（1）当2n ≥时，()221(1)1n n n a S S n n n n λλ-⎡⎤=-=+--+-⎣⎦21,n λ=-+由36a =，得1λ=，即2n S n n =+，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，2n a n =，所以2n a n =.设正项等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，则()21123242,212b a b b a a q q ==+=+=+=，所以260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍），所以2n n b =.（2）20222,10,202222022,11,n n n n n c b n ⎧-≤=-=⎨-≥⎩所以当10n ≤时，()122022222n n T n =-+++ ()12122022202222,12nn n n +⨯-=-=-+-当11n ≥时，()1102022222n n T n T +=--++1122022224044024n n +=-+-+-+11222022404422n n +=-+-即1112220222,10,22022404422,11.n n n n n T n n ++⎧-++≤=⎨-+-≥⎩（3）当1n =时，()1221223(21)1b b ==<--；当2n ≥时，()()()()22222122121nn nn n n n b b =<----()()111211,21212121n n n n n ---==-----所以()22123141111111122121212121211n i n n i i b b ---=<+-+-++--------∑ 13321n =-<-.19．(1)22143x y +=(2)13【分析】（1）由230OHF ∠=︒，得b =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中，结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆方程，（2）设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程消去x ，整理后利用根与系数的关系，可得()121232my y y y =+，表示出直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-，而121212MPQ NPQ PQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△，代入化简即可【详解】（1）由230OHF ∠=︒，得b =（c 为半焦距），∵点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，则221914a b +=．又222a b c =+，解得2a =，b =，1c =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）由（1）知()21,0F ．设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()2234690m y my ++-=．显然()214410m ∆=+>．则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+．∴()121232my y y y =+．由()2,0P -，()2,0Q ，得直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-．又1OMk OP=，2ON k OQ =，2OP OQ ==，∴12OM k ON k =．∴121212MPQNPQPQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△．∵()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y ---==+++()()1211212212313122233933222y y y y y y y y y y +-+===+++．∴13MPQNPQ S S =△△．20．(1)em =(2)2(3)证明见解析【分析】(1)利用导数的几何意义得出切线方程为()000e e x x y x x -=-，然后再根据已知的切线方程即可求解；(2)根据题意，将条件等价转化为()00g '≥，二次求导进而求出k 的最小值即可；(3)利用导数先求出直线l 与曲线()y f x =有两个交点时e m >，然后再根据两个零点的大小关系构造函数()2e 22ln e xx m F x mx m m =--+，利用导数求出其单调性进而得到证明.【详解】（1）因为()e x f x =，所以()e x f x '=，设切点为()00,x y ，则切线斜率0e x k m ==，切线方程为：()000e e x x y x x -=-，因为直线l 过坐标原点(0,0)，则有()000e e x x x -=-，解得01x =，所以e m =.（2）设()()()()e x g x x k f x x k x k x k =-++=-++，因为()00g =，所以()0g x ≥的一个必要条件是()00g '≥，又()()1e 1x g x x k -'=++，所以()0110g k =-+≥'，则2k ≤，当2k =时，()()2e 2x g x x x =-++，则()()1e 1x g x x '=-+，又因为()e 0x g x x ='≥'，所以()g x '单调递增，而()00g '=，则()0g x '≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00g x g ≥=，符合题意，所以实数k 的最大值为2.（3）依题意，方程e 0x mx -=有两个不同的实根12,x x .令()e x h x mx =-，则有()e x h x m'=-①若0m ≤，则()0h x '>在R 上恒成立，所以()h x 在R 单调递增，此时()h x 不可能有两个不同的零点，故舍去；②若0m >，当ln x m <时，()0h x '<；当ln x m >时，()0h x '>，所以()h x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,m +∞上单调递增，从而()min ()ln ln 0h x h m m m m ==-<，解得e m >.又()010h =>，故()h x 在(),ln m -∞有一个零点.设正数()20ln 2x m =，则()()()()2202ln 222ln ln22ln20h x m m m m m m m =-=-->->.由于()2ln 2ln m m >，因此()h x 在()ln ,m +∞有一个零点.综上所述，e m >.不妨设12x x <，则120ln ,ln 1x m x m <<>>，令()()()22ln e 22ln e xx m F x h x h m x mx m m =--=--+，则()2e 20e xx m F x m '=+-≥，所以函数()F x 在R 上单调递增，由2ln x m >，可得()()2ln 0F x F m >=，即()()222ln h x h m x >-，又12,x x 是函数()h x 的两个零点，即()()12h x h x =，所以()()122ln h x h m x >-，因为2ln x m >，所以22ln ln m x m -<，又1ln x m <，函数()h x 在(),ln m -∞上单调递减，所以122ln x m x <-，即122ln x x m +<，又12x x +>，所以2ln m <，因此212ln .x x m <【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数学试题
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)求cos B ；
(2)求a ，c 的值；
(3)求()sin B C -的值．
17．如图，^AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD CF ===，2
AE BC ==
(1)求证：BF //平面
ADE ；(2)求直线
CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面BDE 的距离．
又()10f =，123x x x <<，所以12301x x x <<=<，所以131x x =，所以1231x x x =.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题
又 ， ， … ，累加可得 ，故 正确，故B正确；
故选：ABD
12.已知 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
，通过函数 的单调性确定 与 的大小关系，进而得到A选项.
B.先构造函数 ，通过函数的单调性确定 的大致范围，再构造
有图可得出 ，由 可得 计算即可.
【详解】由题图可知， ，由 ，得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的运算法则，属于常考题.
14.已知等边三角形 的边长为6，点P满足 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，用坐标表示 可求得P点坐标求得答案.
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.如图，边长为2 正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A正确，C错误；
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2017届高三第一学期海南省国兴中学数学第三次月考试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|20}A x x =->，集合2{|20}B x x x =-≤，则A B 等于.A [0,)+∞ .B (,2]-∞ .C [0,2)(2,)+∞.D ∅2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）.A :p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ .B :p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥.C :p x ⌝∃∈R ，sin 1x >.D :p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞ 上单调递减的是.A 21y x =-+ .B lg ||y x = .C 1y x=.D xy e -= 4. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ ） .A 2 .B 3 .C 4 .D 9 5.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是（ ） .A (]1,0 .B (]10,1 .C (]100,10 .D ),100(+∞6．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）m 3.6A π+ .4B π+.3C π+ .2D π+7. ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，q (12)=，，若q p //，则角A 的大小为 ( ) .A6π.B3π.C 2π.D 32π8.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为( ).A 22 .B 223 .C 210 .D 29. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ）.sin()6A y x π=+ .sin(2)6B y x π=-.cos(4)3C y x π=- .cos(2)6D y x π=- 10.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( ).A 23 .B 43 .C 32.D 3 11．在△ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若221sin (sin sin )sin -sin 2A ABC B -=且2c =，则△ABC 面积的最大值为（ ）.2A .1B .C .D12.已知函数)(x f 的导数为)(x f '，若2()()sin .(0,6),() 2.x f x xf x x x f π'+=∈=则下列结论正确的是（ ）.A ()xf x 在(0,6)上单调递减 .B ()xf x 在(0,6)上单调递增 .C ()xf x 在(0,6)上有极小值2π .D ()xf x 在(0,6)上有极大值2π.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则n S =________.14. 已知非零向量b a ,满足：b a 2=，且()b a b +⊥，则向量a 与向量b 的夹角θ= .15. 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件:30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为_ ____.16. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.17. （本小题满分10分）在△ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin 3cos b A a B =.(1)求角B 的大小;(2)若3,sin 2sin b C A ==,求,a c 的值.18．（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）求数列{nna }的前n 项和为n R ．19.（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）第16题图11 120. （本小题满分12分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AB AD AA M ===为棱1DD 上的一点.(1)求三棱锥1A MCC -的体积;(2)当1A M MC +取得最小值时,求证:1B M ⊥平面MAC .21．已知函数321ln ()1,()3x f x x ex mx g x x=-++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线(12)40e x y --+=平行，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，若'12()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围．22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.23．选修4-5:不等式选讲已知()|1|()f x ax a R =+∈,不等式()3f x ≤的解集为{|21}x x -≤≤. (Ⅰ)求a 的值;x-≤恒成立,求k的取值范围.f x f k(Ⅱ)若|()2()|22017届高三第一学期海南省国兴中学数学第三次月考试题答案1-5 ACABB 6-10 AACDC 11-12 DD 13.(1)4n n + 14. 021203π或 15. 116. 193π17. 在△ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin 3cos b A a B =.(1)求角B 的大小;(2)若3,sin 2sin b C A ==,求,a c 的值. (1)sin 3cos b A a B =,由正弦定理可得sin sin 3sin cos B A A B =,即得tan 3B =,3B π∴=.(2)3,sin 2sin b C A ==,由正弦定理得2c a =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,229422cos 3a a a a π=+-⋅解得3a =,223c a ∴==.18. 设数列{n a }的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）求数列{nna }的前n 项和为n R ． 解：（Ⅰ）∵11n n a S +=+，即11n n S a +=-，∴11(1)(1)n n n n n a S S a a -+=-=---，即12n n a a +=（2n ≥） 又11a =，故0n a ≠，∴12n na q a +==． ∴数列{n a }是以首项为1，公比为2的等比数列． ∴1112n n n a a q --==． （Ⅱ）由题意，令21231222n n n R -=++++， …………①则23112322222n nn R =++++， …………②①－②得：21123(1)122222n n nn n R --=++++-．∴1242n n n R -+=-．19.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x Z +≥∈ ()21080048f x x '=-, 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
20. 如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AB AD AA M ===为棱1DD 上的一点.(1)求三棱锥1A MCC -的体积;(2)当1A M MC +取得最小值时,求证:1B M ⊥平面MAC .【解析】(1)又长方体AD ⊥平面11CDD C .点A 到平面11CDD C 的距离1AD =, ∴1MCC S =112CC CD ⨯=12×2×1=1 ,∴111133A MCC MCC V AD S -=⋅=(2)将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转动090展开,与侧面11ADD A 共面.当1A ,M , C 共线时,1A M MC +取得最小值.1AD CD == ,12AA =得M 为1DD 的中点连接1MC 在1MCC 中,1MC MC ==2,12CC =,∴21CC =21MC +2MC , ∴∠1CMC =90°, CM ⊥,∵11B C ⊥平面11CDD C ,∴11B C ⊥CM ∵1111B C MC C =∴CM ⊥平面11B C M ,1CM B M ∴⊥,同理可证1B M ⊥AM 又CMAM M =∴1B M⊥平面MAC21．已知函数321ln ()1,()3x f x x ex mx g x x=-++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线(12)40e x y --+=平行，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，若'12()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围．解：（Ⅰ）f'（x ）=x 2﹣2ex+m ， ∵f'（1）=1﹣2e+m=1﹣2e ，∴m=0，令f'（x ）≥0，解得x ≥2e ，或x ≤0，令f'（x ）＜0，解得0＜x ＜2e ， ∴函数f （x ）的单调增区间为[2e ，+∞），（﹣∞，0]， 单调减区间为（0，2e ）． （Ⅱ），令，∴函数g （x ）的单调增区间为（0，e]，单调减区间为[e ，+∞）． 当x=e 时，又f'（x ）=x 2﹣2ex+m=（x ﹣e ）2+m ﹣e 2，，∵g （x 1）＜f'（x 2）恒成立， ∴．22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程. 23．选修4-5:不等式选讲已知()|1|()f x ax a R =+∈,不等式()3f x ≤的解集为{|21}x x -≤≤. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若|()2()|2x f x f k -≤恒成立,求k 的取值范围.。