2020届高三第三次月考数学(理)试题+解析答案

2020届高三第三次月考
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I卷（选择题共60分）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

)
1.设全集，集合，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，i是虚数单位，则复数
A. B. C. D.
3.已知，，则）
A. B. C. D.
4.已知函数，则
A. 2019
B.
C. 2
D. 1
5.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
6.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
7.将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（）
A. 函数在区间上为增函数
B. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 函数在上的最大值为
8.已知a=
π
sin,
24
b=
π
cos
24
,且、
a b的夹角为
π
12
,则⋅=
a b
A.
1
16
B.
1
8
31
4
9.执行如图所示的程序框图，输出的 值为
A. 1
B.
C. 0
D.
10.已知函数
,若
,则
（ ）
A. B. C. D.
11.已知定义在R 上的偶函数()f x （函数()f x 的导数为()f x '）满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，e 3
f (2018)＝1，若()()0f x f x +'>，则关于x 的不等式()1
2e x
f x ->
的解为 A. (),3-∞ B. ()3,+∞ C. (),0-∞ D. ()0,+∞ 12.已知函数在上可导且
，其导函数
满足
，对于函数
，下列结论错误
的是( ) A. 函数在上为单调递增函数 B. 是函数
的极小值点 C. 函数至多有两个零点 D.
时，不等式
恒成立
第II 卷（非选择题 90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分。

)
13.已知a v ()1,3=-， b v ()1,t =，若()
2a b a -⊥v v v ，则a v 与b v
的夹角为_________．
14.已知，且，则______．
15.设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数_____．
16.已知函
是奇函数，，且与的图象的交点为，，，
，则
______．
三、解答题 (共6小题 ,共70分。

)
17.（10分）已知命题()()2
:7100,:110p x x q x a x a -+≤--+-≤（其中0a >）.
（1）若2a =，命题“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围； （2）已知p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 18.（12分）已知等差数列的首项，且、、构成等比数列．
求数列的通项公式 设
，求数列
的前n 项和
19. （12分）已知函数()2
2f x x x =-． (1)当1
,32
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域；
(2)若定义在R 上的奇函数()f x 对任意实数x ，恒有()()4g x g x +=，且当[]
0,2x ∈ ()g x =时，
()f x ，求()()()122017g g g ++⋅⋅⋅+的值．
20. （12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期； （2）当
时，求函数
的最大值与最小值.
21. （12分）设函数f （x ）＝（x 2－1）lnx －x 2＋2x ． （1）求曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （2）证明：f （x ）≥1． 22. （12分）已知函数.
（1）讨论的单调性； （2）若
，试判断
的零点个数.
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D
A
B
B
D
A
B
B
C
B
D
13.
4
14.
15. 16.
17.（1）[]2,3；（2）[
)4,+∞.
解（1）2
:710025p x x x -+≤⇔≤≤，若()()2,:11013a q x a x a x =--+-≤⇔-≤≤
命题“p 且q ”为真，取交集，所以实数x 的范围为[]
2,3x ∈；
（2）2
:710025p x x x -+≤⇔≤≤， ()():11011q x a x a a x a --+-≤⇔-≤≤+，若p 是q 的充
分条件，则][2,51,1a a ⎡⎤⊆-+⎣⎦，则121{ { 4514a a
a a a -≤-≤⇒⇒≤≤+≤.
18.（1）；（2） 解
等差数列的首项
，公差设为d ，
、
、
构成等比数列，可得
，
即为，解得
或， 当时，
，不成立，舍去，则
，
，
可得
；
，
前n 项和
．
19.（1）[]
1,3-；（2）-1. 解 (1)由题意得
，
］，
∴()f x 在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在[]
1,3上单调递增。

∴当
时， ()f x 取得最小值，且。

又()133324f f ⎛⎫
=-= ⎪
⎝⎭
，，
∴. ∴函数的值域是
. (2)由可得函数
的周期
，
∵
，
，
∴()()()()()()()()12201750412342017g g g g g g g g ⎡⎤++⋅⋅⋅+=++++⎣⎦
()504011g =⨯+=-.
20.(1) (2) 最大值为，最小值为
解（1）
，
所以函数的最小正周期为
（2）
因为，所以
所以
所以函数的最大值为
，最小值为
21.解 函数
的定义域为.
，
. .
∴曲线
在点
处的切线方程为 .
即
.
（2）证明：
当x=1时，不等式显然成立. 所以只需证明当时，；当时，.
令
，则
.
，
∴函数在上是增函数.
∴当x＞1时，；当0＜x＜1时，，.
22.（1）当时，在上是增函数，
当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；
（2）1 解（1）函数的定义域为，，令，则，，
（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，
（ii）若，则，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
（iii）若，则，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
综上所述：当时，在上是增函数，
当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；
（2）当时，
在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
所以的极小值为，
的极大值为,
设，其中，
,
所以在上是增函数，
所以，
因为，所以有且仅有1个，使.
所以当时，有且仅有1个零点.。