高三第四次月考(数学理)(试题及答案)
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案． 【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点， 即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解， 又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<， 解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立， 故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减， 在（-2，0）上单调递增， 故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =， 所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩， 可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 因为a 为整数，故a 可取2101--，，， 故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增， 所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >， 所以c b >， 综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解； 所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______． 【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=， 所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______． 【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解； （2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-， 当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<， 因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥， 因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解． 【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ， 由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v， 则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=， 国道上行驶30km ，所用时间为30h v， 则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-， 由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ， 此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增； 当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。
2024学年江苏省南通市启东市启东中学高三4月考数学试题文试题
2024学年江苏省南通市启东市启东中学高三4月考数学试题文试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种2．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4- 4．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ）A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．7．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2- 8．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( )A ．π3B ．π6C ．π2 D ．π49．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则2244 42a b a b+-+的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2211．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种A ．96B ．120C ．48D ．7212．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+B 51+C 51RD - D 51RC - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题
2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题（5月月考）数学试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ） ABCD2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y = B．y =±C．y x = D．2y x =± 3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=- 4．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A． B ．4π C． D ．3π5．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．36． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A．75 B．65 C．55 D．457．函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A．B．C．D．8．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月份C．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元9．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 10．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1 11．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．112．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第四次月考理科数学试题(解析版)
银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， 函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。
河北省唐山市乐亭一中2024年高三下学期5月月考数学试题理试题
河北省唐山市乐亭一中2024年高三下学期5月月考数学试题理试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132y x -= 2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(,7]-∞ D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=- 4．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，cos C =ABC 的面积为（ ）A B C D 6．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞ D ．(),0-∞7．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）A ．10B ．23C ．3D ．48．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．22B ．32C ．102D ．129．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}2,3- C ．{}1,2,3-- D ．{}310．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C 依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列B ．,,a b c 依次成等差数列C ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列11．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元12．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1B 2C 3D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析
辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2011秋?乐陵市校级期末）已知a，b∈R+，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是（）C解答：解：依题意A=，G=，∴AG﹣ab=?﹣ab=（﹣）=?≥0，∴AG≥ab．故选C2. 已知，则函数有（）A．最小值6 B．最大值6 C．最小值 D．最大值参考答案：A 3. 设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49）（13，49）（9，25）（3，7）参考答案：4. 设P为等边所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B略5. ，复数= ( )A. B. C.D.参考答案：A因为，可知选A6. 椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．± B．± C．± D．±参考答案：A略7. 设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C（）A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面参考答案：D【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】本题考查空间想象力，因为平面α∥平面β，所以线段AB的中点到平面α和平面β的距离相等，从而动点C构成的图形是到平面α和平面β的距离相等的一个平面．【解答】解：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．故选：D8. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8参考答案：C【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：∵一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8p=0.6，∴p===0.75，故选：C．9. 已知3sin2α=cosα，则sinα可以是（）A．﹣B．C．D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式化简3sin2α=cosα，消去cosα求出sinα的值．【解答】解：3sin2α=cosα，∴6sinαcosα=cosα，若cosα≠0，则6sinα=1，解得sinα=．故选：B．10. 对于一组数据（，2，3，，），如果将它们改变为（，2，，）其中，则下面结论正确的是（）Ａ．平均数与方差均不变Ｂ．平均数变了，而方差保持不变Ｃ．平均数不变，而方差变了Ｄ．平均数与方差均发生了变化参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为．参考答案：（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：Z=i（1+i）=i﹣1在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）12. 春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差，，则p=________．参考答案：0.7【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．13. 设f(x)=，则 ___.参考答案：14. 点G是△ABC 的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为．参考答案：【考点】向量的共线定理；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的运算．【分析】欲求最小值，先求其平方的最小值，这里解决向量模的问题常用的方法．【解答】解：∵点G 是△ABC的重心，∴，∴=∵，∴AB×AC×COSA=﹣2，∴AB×AC=4．∴AG2≥故填．15. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．参考答案：2316. 设表示等差数列的前项和，且，，若，则=参考答案：15略17. 函数的零点个数为。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二年级下册学期4月月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则（ ）1i z =-21z z -=A ．B ．C ．D ．31i2--11i 2--11i 2-11i 2+【答案】B【分析】将复数z 代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.【详解】因为，所以．1i z =-21111(1i)i (1i)1i 2i 22z z-=-+=-+=---故选：B ．2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）1:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=12l l ∥3m =A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.【详解】由题意，若，则，解得或，12l l ∥1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，1m =-3m =12l l ∥12l l ∥3m =故选：C ．3．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．在区间上，是增函数(2,1)-()f x B ．当时，取到极小值2x =()f x C ．在区间上，是减函数(1,3)()f x D ．在区间上，是增函数(4,5)()f x 【答案】D【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B ，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A 错；时，取得极322-<<-x ()0f x '<()f x 2x =()f x 大值（函数是先增后减），B 错；时，，递增，C 错；时，12x <<()0f x '>()f x 45x <<，递增，D 正确．()0f x '>()f x 故选：D.4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则21s 22s 2212s s >B ．甲成绩比乙成绩更稳定C ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差D ．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x <【答案】B【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断【详解】对A 、B ：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A 错误，B 正确；2212s s <对C ：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C 错误；对D ：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D 错误；12x x >故选：B.5．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布π尼兹“关于的级数展开式计算 的近似值（其中P 表示的近似值）”.若输入，输出的结果Pπππ8n =可以表示为A ．B ．11114(1)35711P =-+-+- 11114(135713P =-+-++ C ．D ．11114(135715P =-+-+- 11114(1)35717P =-+-++ 【答案】C【解析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.【详解】第1次循环:;1,2S i ==第2次循环:；11,33S i =-=第3次循环: ;111,435S i =-+=…第8次循环:,1111135715S =-+-+⋯-9i =此时满足判定条件,输出结果.111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题6．椭圆与直线相交于A ，B 两点，过AB 的中点M 与坐标原点的直线的斜22221x y a b +=10x y +-=率为2，则=（ ）ab ABCD ．2【答案】A【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出．0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--a b 【详解】解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ∴0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--由AB 的中点为M 可得①，②1202x x x +=1202y y y +=由A ．B 在椭圆上，可得22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得③，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=把①②代入③可得()()01201222220x x x y y y a b --+=整理可得222,b a a b ==故选：A7．已知是区间内任取的一个数，那么函数在上是增函数的m []0,43221()233f x x x m x =-++x ∈R 概率是（ ）A ．B ．C ．D ．14131223【答案】C【分析】首先得到恒成立，则解出的范围，再根据其在内取数，利220()4f x x x m '=-≥+m [0,4]用几何概型公式得到答案.【详解】，22()4f x x x m '=-+在上是增函数3221()233f x x x m x =-++x ∈R 恒成立22()40f x x x m '∴=-+≥21640m ∴∆=-≤解得或2m ≥2m ≤-又是区间内任取的一个数m [0,4]24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数在上是增函数的概率3221()233f x x x m x =-++x ∈R 42142P -==故选：C ．8．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，点E,F 分别在边BC,AB 上运动(不含端点)，且EF//AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B-ECDAF 的体积最大时，EF 的长为A ．1BCD 【答案】B【分析】由可知三角形为等边三角形，设，由此计算得的高，以及五//EF AC BEF EF x =BEF ∆边形的面积，由此写出五棱锥的体积的表达式，并用导数求得当为何值时，体积取得最ECDAF x 大值.【详解】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形，面//EF AC BEF EF x =BEF x，所以五边形的面积为，故五棱锥的体积为2ECDAF 22222x =.令，解得，且当()23110238x x x x ⎛⎫⨯=-<< ⎪ ⎪⎝⎭'32131088x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭x =时，单调递减，故在0x <<318x x -2x <<318x x -x =也即是最大值.故选B.【点睛】本小题考查等边三角形的面积公式（若等边三角形的边长为.），考查a 2锥体的体积公式，考查利用导数的方法求体积的最大值.题目是一个折叠问题，折叠问题解决的第一步是弄清楚折叠前后，有那些量是不变的，有哪些是改变的.属于中档题.9．已知点，若在圆上存在点满足，则正实()()2,0,1,0M N -221:()(1)4C x a y -+-=P 2PM PN =数的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．[]2,41⎡+⎢⎣22⎡⎢⎣59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】设，由，化简可得，点既在圆上，也在圆上，(),P x y 2PM PN=22:(2)4E x y -+=P C E 所以圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可.C E【详解】设，由，得(),P x y 2PM PN==整理得，即；2240x y x +-=22(2)4x y -+=记圆，则点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，22:(2)4E x y -+=P C E C E所以，即，解得.3522CE ≤≤3522≤≤22a ≤≤故选：C.10．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>A 2:12C y ax =F 线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）E P 0PA PF ⋅=EA ．B ．C ．D ．()1,2⎛ ⎝()2,+∞⎫+∞⎪⎭【答案】B【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数,b P m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到00所求范围．【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，()2222:10,0x y E a b a b -=>>(),0A a b y x a =±抛物线的焦点为，2:12C y ax =()3,0F a 设，则，，,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭,b PA a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3,b PF a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由可得：，0PA PF ⋅= ()()22230b a m a m m a --+=整理可得：，22221430b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，2222Δ164130b a a a ⎛⎫∴=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，()222233a b c a ∴≥=-，2234c a ∴≤则：c e a =≤由可得：.1e>e ⎛∈ ⎝故选：B.11．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，R ()f x ()()2xf x f x e =-0x >恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）()()f x f x '>A ．B ．()()523e f f <-()()523f e f <-C ．D ．()()523e f f ->()()523f e f -<【答案】B【分析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小()()x f x g x e =()0,∞+得到答案.【详解】构造函数，因为，所以()()x f x g x e =()()2x f x f x e =-()()2x f x f x e -=则，所以为偶数()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====()g x 当时，，所以在上单调递增，0x >()()()0x f x f x g x e '-'=>()g x ()0,∞+所以有，则，即，即.()()32g g >()()32g g ->()()3232f f e e -->()()532e f f ->故选B【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.()()x f x g x e =12．已知函数若函数恰有5个零点，则实数2,1,()eln 52,1,xx f x xx x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩2[()](24)()1y f x a f x =+-+的取值范围是（ ）a A ．B ．949,824⎡⎫⎪⎢⎣⎭491,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．91,8⎛⎤⎥⎝⎦9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转1x >()e ln xf x x =化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.a 【详解】当时，，则，1x >()e ln xf x x =()2ln 1e ln x f x x -'=当时，，单调递减，当时，，单调递增，1e x <<()0f x '<()f x e x >()0f x ¢>()f x 则时，.当时，.1x >()(e)1f x f ≥=1x ≤22()52(1)66f x x x x =--=-++≤作出大致图象，函数恰有5个不同零点，()f x 2[()](42)()1y f x a f x =--+即方程恰有5个根.令，则需方程.2[()](24)()10f x a f x +-+=()f x t =2(24)10(*)t a t +-+=（l ）在区间和上各有一个实数根，令函数，(,1)-∞[2,6)2()(24)1u t t a t =+-+则解得.(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+<⎧⎪=+-+≤⎨⎪=+-+>⎩949824a ≤<（2）方程（*）在和各有一根时，则(1,2)(6,)+∞(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+>⎧⎪=+-+<⎨⎪=+-+<⎩即无解.1,9,849,24a a a ⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.4924a =16（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.1a =综上，.949824a ≤<故选：A【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.()f x t =二、填空题13．已知呈线性相关的变量与的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则x y 1.050.85y x =+______．m =x24568y34.5m7.59【答案】6.5##132【分析】根据样本中心点一定在回归直线上，代入求解即可.【详解】245685,5x ++++==3 4.57.5924.55m m y +++++==样本点的中心的坐标为24(5,5m +代入得：1.050.85y x =+24 1.0550.85,5m+=⨯+6.5.m =故答案为：6.514．若实数，满足约束条件，设的最大值为，则______．x y 30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2x y +a 11(2)d ax x x +=⎰【答案】##24ln 5+ln 524+【分析】根据给定条件，作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求出a ，再计算定积分作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ABC ，15(2,1),(1,1),(,)22A B C -令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，2x y z +=2y x z =-+2-z 画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，0:2l y x =-0l 1l 1l A 1lz 于是，即，max 2215z =⨯+=5a =所以.5252211111(2)d (2)d (ln )|(5ln 5)(1ln1)24ln 5ax x x x x x x x +=+=+=+-+=+⎰⎰故答案为：24ln 5+15．已知点P 为抛物线C ：上一点，若点P 到y 轴和到直线的距离之22(0)y px p =>34120x y -+=和的最小值为2，则抛物线C 的准线方程为___．【答案】=1x -【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出，进而得出抛物线C 的准线方程.2p =【详解】过点分别作直线，和y 轴的垂线，垂足分别为，，设焦点为.P 34120x y -+=A B (,0)2pF 点到直线的距离为.F 34120x y -+=531210d p =+由定义可知，，则，||||2pPF BP =+||||||||222p AP BP AP PF p d +=+-≥-=当且仅当三点共线时，取等号，,,A P F 所以，解得，12231052p p+-=2p =则抛物线C 的准线方程为=1x -故答案为：=1x -16．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．x 2121ln n mx e x -≥+1[,)2+∞nm 【答案】1e【解析】分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到0m <0m >在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得()21ln mx f x x =+1[,)2+∞122n m e e -≥，构造放缩函数对自变量再研究，可解,nm e ≥nm n 【详解】令；当时，，不合题意；2()1ln mx f x x =+0m <1(1)02n f m e -=<<当时，，0m >()()()22ln 11ln mx x f x x +'=+令，得或，()0f x '<10x e -<<112e x e --<<所以在区间和上单调递减.()f x 1(0)e -,112(,)e e --因为，且在区间上单调递增，1121(,)2e e --∈()f x 12(,)e -+∞所以在处取极小值，即最小值为.()f x 12x e -=2m e 2m e 若，，则，即.12x ∀≥12()n f x e -≥122n me e -≥nm e ≥当时，，当时，则.0n ≤0nm ≤0n >n n n m e ≤设，则.()()0n n g n n e =>1()n ng n e -'=当时，；当时，，01n <<()0g n '>1n >()0g n '<所以在上单调递增；在上单调递减，()g n (0,1)(1,)+∞所以，即，所以的最大值为.()(1)g n g ≤1nn ee ≤nm 1e 故答案为： 1e【点睛】本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数(,)0f x l ³λx D ∈的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数λ或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．0a >∆<0a<00∆>三、解答题17．已知命题：复数，．复数在复平面内对应的点在第四象p ()()2226i z m m m m =++--Rm ∈z 限．命题：关于的函数在上是增函数．若是真命题，是真命题，q x 21y x mx =++[)1,+∞p q ∨p ⌝求实数的取值范围．m 【答案】[][)2,03,-+∞【分析】由题可求出命题为真时的取值范围，然后根据复合命题的真假即得.,p q m 【详解】若命题为真，则，解得；p 222060m m m m ⎧+>⎨--<⎩03m <<命题为真：可得，所以；q 12m -≤2m ≥-由是真命题，可得命题为假命题，又是真命题，所以命题为真命题，p ⌝p p q ∨q所以或，且，0m ≤3m ≥2m ≥-故或，即的取值范围为.20m -≤≤3m ≥m [][)2,03,-+∞ 18．已知函数，且．()()312R 3f x x ax a =-+∈()20f '=(1)求函数在处的切线方程；()f x 3x =(2)求函数在上的最大值与最小值．()f x []0,3【答案】(1)；516y x =-(2)最大值为2，最小值为.103-【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切4a =3x =线方程；（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）因为，故，解得，()2f x x a'=-()240f a '=-=4a =因为，所以，()31423f x x x =-+()24f x x '=-则所求切线的斜率为，且，()23345f '=-=()391221f =-+=-故所求切线方程为，即；()()153y x --=-516y x =-（2）因为，，所以，()31423f x x x =-+[]0,3x ∈()24f x x '=-令，得（舍去），()240f x x '=-=2x =2x =-由，可得，函数单调递减，()0f x '≤[]0,2x ∈()f x 由，可得，函数单调递增，()0f x '≥[]2,3x ∈()f x 所以的极小值为，又，，()f x ()81028233f =-+=-()02f =()31f =-所以的最大值为2，最小值为.()f x 103-19．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” ．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间，[)20,409：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：[)40,60[)60,80[]80,10010点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？【答案】(1)10:04(2)35【分析】（1）运用频率分布直方图中平均数公式计算即可.（2）运用分层抽样比计算各段所抽取的车辆数，再运用列举法求古典概型的概率即可.【详解】（1）这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为9:2010:40～，即：10点04分.300.00520500.01520700.0220900.012064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）由题意知，时间段内抽取车辆数为，分别记为：[20,60)5(0.005200.01520)2⨯⨯+⨯=，，1a 2a 时间段内抽取车辆数为，分别记为：，，[60,80)50.02202⨯⨯=1b 2b 时间段内抽取车辆数为，记为：，[80,100]50.01201⨯⨯=c 所以从这5辆车中随机抽取3辆的基本事件有：，，，，121(,,)a a b 122(,,)a a b 12(,,)a a c 112(,,)a b b ，，，，，共10个，11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b 21(,,)a b c 22(,,)a b c 12(,,)b b c 恰有1辆为之间通过的基本事件有：，，，，9:2010:00～112(,,)a b b 11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b，共有6个，21(,,)a b c 22(,,)a b c 所以恰有1辆为之间通过的概率为.9:2010:00～63105p ==20．如图1，在梯形中，，，，，，线段的垂直ABCD BC AD ∥AB AD ⊥2AB =3BC =4=AD AD 平分线与交于点，与交于点，现将四边形沿折起，使，分别到点，AD E BC F CDEF EF C D G 的位置，得到几何体，如图2所示．H ABFEHG(1)判断线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存EH P PAF ∥BGH P 在，请说明理由．(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．AH =ABH BGH 【答案】(1)存在，点为线段的中点P EH (2)．12【分析】（1）当点为线段的中点时，先证明平面，再证平面，由面面P EH HG ∥PAF BG ∥PAF 平行判定定理证明；（2）先证明，再以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立AE EH ⊥E EA EF EH x y z 空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）当点为线段的中点时，平面平面．P EH PAF ∥BGH 证明如下：由题易知，，，因为点为线段的中点，2EH =1GF =EH GF ∥P EH 所以，，所以四边形是平行四边形，所以，1HP GF ==HP GF ∥HPFG HG PF ∥因为平面，平面，所以平面．PF ⊂PAF HG ⊄PAF HG ∥PAF 连接，因为，，所以四边形是平行四边形，PG PE GF ∥1PE GF ==PEFG 所以，且，又，，所以，，所以四边形PG EF ∥PG EF =EF AB ∥EF AB =PG AB ∥PG AB =是平行四边形，所以，ABGP PA BG ∥因为平面，平面，所以平面．PA ⊂PAF BG ⊄PAF BG ∥PAF因为平面，平面，，HG ⊂BGH BG ⊂BGH HG BG G ⋂=所以平面平面．PAF ∥BGH （2）因为，，AH =2AE EH ==所以，所以，222AE EH AH +=AE EH ⊥又，，所以，，两两垂直．EF EA ⊥EF EH ⊥EA EF EH 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标E EA EF EH x y z 系，E xyz-则，，，，()2,0,0A ()2,2,0B ()0,0,2H ()0,2,1G 所以，，．()0,2,0AB =()2,2,2BH =--()2,0,1BG =-设平面的法向量为，ABH ()111,,m x y z =则，即，得，取，得．00m AB m BH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1111202220y x y z =⎧⎨--+=⎩10y =11z =()1,0,1m = 设平面的法向量为，则，即，BGH ()222,,x n y z = 00n BH n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222222020x y z x z --+=⎧⎨-+=⎩取，得．21x =()1,1,2n =设平面与平面所成角为，ABH BGH θ则，cos m n m n θ⋅====所以，1sin 2θ===所以平面与平面所成角的正弦值为．ABH BGH1221．已知椭圆过点()2222:10x y E a b a b +=>>)(1)求椭圆的标准方程；E(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，()1,0T 1l 2l 1lE A B 2l E C D ，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与AB CD M N MN OMN 的面积之比；若不是，请说明理由．TMN △【答案】(1)；22142x y +=(2)恒过定点，与的面积之比2，理由见解析．OMN TMN △【分析】（1）根据给定的条件，列出关于的方程组，再求解作答.,,a b c （2）设出直线、的方程，与椭圆E 的方程联立，求出点，的坐标，再求出直线的方1l 2l M N MN 程即可作答.【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，依题意可得，，解得，22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程是.E 22142x y +=（2）直线恒过定点，MN (2,0)设直线，，，:1AB x my =+()0m ≠()()1122,,,A x y B x y 由消去x 得，22124x my x y =+⎧⎨+=⎩()222230m y my ++-=则，12122223,22m y y y y m m --+==++设点，则，，(,)M M M x y 12222M y y my m +-==+2221122M M m x my m m m -=+=⋅+=++即，显然直线，同理可得，222(,)22mM m m -++1:1CD x y m =+2222(,)2121m m N m m -++直线的斜率有，MN MN k ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++因此直线，即，过定点，()222212:22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212m x y m +=+()2,0Q 显然点是线段中点，设点到直线的距离分别为，T OQ ,O T MN 12,d d则，112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQ MN d ⨯====⨯ 所以直线恒过定点，与的面积之比为2.MN ()2,0Q OMN TMN △22．已知函数．()ln f x x ax=-(1)求的单调区间．()f x (2)若存在两个不同的零点，且()fx 12,x x12x x <<【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，并讨论a 的范围，利用导函数的正负得到函数的单调区间；()f x （2）根据零点存在定理可得，令1211e x x a <<<<1212x xa +<<，转化为：221x t x =()122ln ln 11t x t t =>-<，设，通过求导分析单调性即()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-可证明．【详解】（1）因为，，所以()ln f x x ax =-0x >()11axf x a x x-'=-=（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+（ⅱ）当时，令得，，故时，，在单调递增；0a >()0f x '=1x a =10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，，在单调递减；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为存在两个不同的零点，且．所以且，()f x 12,x x 12x x <0a >10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭即，解得，且，1ln 10a ->10e a <<121x x a <<根据题意，()()1ln100f a a a a =-=-=->所以，所以，()10fa =-<()11e ln e e 1e 1e 00e e f a a a ⎛⎫=-=->-=<< ⎪⎝⎭所以，又，所以，()e 0f>10e a <<1211e x x a <<<<，又，所以，<()()120f x f x ==1212ln ln x x ax x ==（，且），ln ln 2a b a ba b -+<<-,0a b >a b ¹证明：设，则，设，0a b >>1>ab ()1a t t b =>对数不等式即为，，12ln t t t <-()21ln 1t t t ->+由的导数，12ln y t t t =-+()22212110t y t t t -'=--=-<可得在递减，则恒成立，12ln y t t t =-+()1,+∞12ln 0y t t t =-+<即；12ln t t t <-由的导数，()21ln 1t y t t -=-+()()()222114011t y t t t t -'=-=>++可得在递增，则恒成立，()21ln 1t y t t -=-+()1,+∞()21ln 01t y t t -=->+即；()21ln 1t t t ->+，()12121212121ln ln 2x x x x x xx x a x x a --+<==<--<<令，所以可以转化为：，221x t x =1212ln ln x x x x =()122ln ln 11t x t t =>-，1t t +⎫<⎪⎭1111ln ln ln 222t x t +-+<-即证，212ln 11ln ln 2212t t t t +-⋅+<--即证，即证，212ln 11ln ln 20212t t t t +-⋅+-+<-()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<设，，()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-1t >，()()()211112ln12ln 1212t t m t t t t t t t t t t t+-+'=+--+=+-+设，则，()11ln 22t t h t t t +-=+()22222111112101222121t t h t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫'=⋅-+=⋅=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭则，所以在递减，可得，所以不等式得证；()0m t '<()m t ()1,+∞()()10m t m <=【点睛】本题充分讨论函数的单调性，利用变量转化和构造函数证明不等式.。
内蒙古自治区呼和浩特市准格尔旗世纪中学高三数学理月考试卷含解析
内蒙古自治区呼和浩特市准格尔旗世纪中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合,集合,则（）A． B．C． D．参考答案：B试题分析：因,则,故应选B.考点：不等式的解法与集合的运算.2. 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+2B．20+2C．18+2D．18+2参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中后面的侧面与底面垂直．利用三角形与矩形面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中后面的侧面与底面垂直．∴该几何体的表面积=4×2+2×+×4+=2+18，故选：D．3. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m?αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β；参考答案：C考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答：解：α⊥β，且m?α?m?β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α?m?β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β?m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．4. 函数的大致图象是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】求得函数的定义域为{x|x≠0}，从而排除即可得到答案．【解答】解：∵e2x﹣1≠0，∴x≠0，故函数的定义域为{x|x≠0}，故选C．5. 已知是实数，是纯虚数，则等于（）A B C D参考答案：A略6. 在三角形中，角，，所对的边分别是，，，且，，成等差数列，若，则的最大值为A. B. C. D.参考答案：C7. 直线l ,m与平面，满足，l //，，，则必有（）A.且B.且C .且D.且参考答案：B8. ，复数= ( )A. B. C.D.参考答案：A因为，可知选A9. 已知参考答案：D略10. 若变量满足约束条件，，则取最小值时，二项展开式中的常数项为（）A．B． C．D．参考答案：A做出不等式对应的平面区域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，最小，当时，，即，代入得，所以二项式为.二项式的通项公式为，所以当时，展开式的常数项为，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对任意，的概率为______．参考答案：【分析】由几何概率列式求解即可.【详解】设事件，则构成区域的长度为，所有的基本事件构成的区域的长度为，故.故答案为：．【点睛】本题主要考查了长度型的几何概型的计算，属于基础题.12. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是。
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江西省上高二中高三上学期第四次月考数学理命题：晏海鹰一、选择题（12×5=60分）1．已知集合{}{}lg ,1,2,1,1,2A y y x x B ==>=--，全集U R =，则下列结论正确的是 ( ) A ．{}2,1A B =-- B ． )0,()(-∞=⋃B A C U C ．()0,A B =+∞D ．}1,2{)(--=⋂B A C U2、下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是（ ）3、若等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S a +=+，则常数a 的值等于（ ）A ．13-B ．－1C ．13D ．－34.△ABC 中，若sinA ·sinB=cos22C，则△ABC 是 ( ) A 等边三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 直角三角形5．已知实数,a b 均不为零，sin cos tan ,,cos sin 6a b ba b a ααπββααα+=-=-且则等于（ ） AB．3 C． D．3-6．函数21()()log 3x f x x =-, 正实数,,a b c 成公比大于1的等比数列,且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<,若0x 是方程()0f x =的解,那么下列不等式中不可能成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x b >C ．0x c <D ．0x c >7．设M 是ABC ∆内一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积，若1()(,,)2f M x y =，则14x y+的最小值是 （ ） A ．8B ．9C ．16D ．188. 设函数若将的图像沿x 轴向右平移个单位长度，得到的图像经过坐标原点；若将的图像上所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像经过点（则 （ ） A ．B ．C ．D ．适合条件的不存在 ).20,0)(sin()(πφωφω<<>+=x x f )(x f 61)(x f 21)1,616,πφπω==3,2πφπω==8,43πφπω==φω,9. 已知函数满足，则的解是（ ） A ． B ． C ． D ． 10、如图所示，在△OAB 中，OA ＞OB ，OC ＝OB ， 设＝→a ，＝→b ，若＝λ·，则实数λ的值为( )A ．||)(→→→→→--⋅b a b a a B ．2||)(→→→→→--⋅b a b a a C ．||22→→→→--b a ba D ．222||→→→→--b a ba11．若函数74sin(2)(0,)66y x xππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =有三个交点的横坐标分别为123123,,(),x x x x x x <<则1232x x x ++的值是 （ ）A ．34πB ．43πC ．53πD ．32π12. O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA λ=+,[0,)sin ||sin ||AB ACB ABC AC λ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题（4×4=16分）13．在ABC △中，若43tan =A ，︒=120C ，32=BC ，则AB = .14、如图，半圆的直径 ， 为圆心， 为半圆上不同于 的任意一点，若为半径 上的动 点，则的最小值是__________．15．已知函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++,()0>ω为偶函数，集合(){}0A x f x ==，若[]1,1- A 含有10个元素，则ω的取值范围是 .16、在ΔABC 中，∠B=300,∠C=450,若∠A 的平分线 AD 交BC 于D ，使,AD AB u AC λ=+则uλ=()log (01)a f x x a a =>≠且23()()f f a a >1(1)1f x->111x a <<-11x a <<10x a <<101x a<<-6AB =O C A B 、P OC ()PA PB PC +⋅ BP C BA座 位 号高三年级第四次数学月考试卷(理)答题卡一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题13、 14、 15、 16、 三、解答题（74分）17.（12分） 已知：，（）.(Ⅰ) 求关于的表达式，并求的最小正周期；(Ⅱ) 若时，的最小值为5，求的值.18、（12分）在△ABC 中，3tan tan tan tan 3A B A B --=． （I ）求∠C 的大小；（Ⅱ）设角A ，B ，C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且△ABC 是锐角三角形，求22a b + 的取值范围．19．（ 12分）近段时间我国北方严重缺水, 某城市曾一度取消洗车行业. 时间久了，车容影响了市容市貌. 今年该市决定引进一种高科技产品污水净化器，允许洗车行开始营业，规定洗车行必须购买这种污水净化器，使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车. 污水净化器的(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==122)(-+⋅=m b a x fR m x ∈,()f x x ()f x ]2,0[π∈x ()f x m价格是每台90万元，全市统一洗车价格为每辆每次8元. 该市今年的汽车总量是80000辆，预计今后每年汽车数量将增加辆.洗车行A 经过测算，如果全市的汽车总量是x ，那么一年内在该洗车行洗车的平均辆次是x 41，该洗车行每年的其他费用是0元. 问：洗车行A 从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本？（注：洗车行A 买一台污水净化器就能满足洗车净水需求）20．（12分）设函数21()(0)ax bx f x a x c++=>+为奇函数，且min |()|f x ={}n a 与{}n b 满足如下关系：11()12,,.21n n n n nn f a a a a a b a +--===+ (1)求()f x 的解析式；(2)求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：对任意的*n N ∈有3.2n S n <+21.（12分）已知xe a x xf )()(2-=（I ）若a ＝3，求)(x f 的单调区间和极值；（II ）已知21,x x 是)(x f 的两个不同的极值点，且||||2121x x x x ≥+， 若b a a a a f +-+<323)(323恒成立，求实数b 的取值范围．22．（ 14分）已知函数()ln pf x px x x =--，()222ln 1p e e g x x x p ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，其中e 为无理数 2.71828e =．（1）若0p =，求证：()1f x x ≥-；（2）若()f x 在其定义域内是单调函数，求p 的取值范围；（3）对于区间（1，2）中的任意常数p ，是否存在00x >使()()00f x g x ≤成立？若存在，求出符合条件的一个0x ；否则，说明理由．高三年级第四次数学月考试卷(理)答案1—5：D B D B B 6—10:D D A A D 11—12:C C13. 5 14.92-15、)211,9[ππ17．解：(Ⅰ) ……2分……………………………………………………4分. …………………………………………………………6分的最小正周期是. …………………………………………………7分(Ⅱ) ∵， ∴. ………………………………………………………9分∴当即时，函数取得最小值是. ………11分∵，∴.……………………………………………12分18、解：（1）依题意：，∴，∴，（2）由三角形是锐角三角形可得，即。
由正弦定理得∴，∴，∵ ，∴，∴即。
19．本题主要考查数列与不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，考查应用意识. 满分13分.解：设第一年（今年）的汽车总量为1a ，第n 年的汽车总量为n a ，则180000a = 282000a =，…80000(1)2000n a n=+-⋅.数列{}n a 构成的首项为80000，公差为的等差数列，12(1)8000020002n n n n S a a a n -=++⋅⋅⋅+=+⋅. ……………………（4分） 2()cos 2cos 21f x x x x m =++-2cos 22x x m =++2sin(2)26x m π=++()f x ∴π]2,0[π∈x ]67,6[62πππ∈+x 6762ππ=+x 2π=x ()f x 12-m 512=-m 3=m tan tan 1tan tan A BA B +=-tan()A B +=0A B π<+<23A B π+=3C A B ππ=--=22A B ππ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩62A ππ<<sin sin sin a b c A B C ==sin sin ca A A C =⨯2sin()3b B A π-2222162[sin sin ()]()33a b A A f A π+=+-=222216[sin sin ]3a b A C +=+168sin(2)336A π=+-62A ππ<<52666A πππ<-<1sin(2)126A π<-≤222083a b <+≤若洗车行A 从今年开始经过n 年可以收回购买净化设备的成本.（(1)8000020002n n n -+⋅）184⋅⋅-0n ≥900000，………………（8分） 整理得，2694500,n n +-≥ (6)(75)0,n n -+≥ 因为0n >，所以 6n ≥.答：至少要经过6年才能收回成本. …………………（13分）20. 解：(1)由()f x 是奇函数，得0b c ==，由min |()|f x =，得2,a =故221().x f x x+=(2)∵21()122n n n n nf a a a a a +-+==∴22221122111122111121112n n n n n n n n n n n n n na a a a a ab b a a a a a a ++++-⎛⎫--+-===== ⎪+++++⎝⎭+∴1242121n n n n b b b b ---====…，而113b =，∴121()3n n b -=(3)证明：由(2) 11111122222211()113123()111331311()3n n n n n n n n n a a a ------+-+=⇒===++--- 要证明的问题即为1121122222232313131n ---+++<---… 当1n =时，12n n -=当2n ≥时，1101112(11)n n n n C C n ----=+≥+= ∴12n n -≥则1211113333233231n n n n n n -----≥=⨯=⨯+≥⨯+故11221()331n n --≤- 则11211212221[1()]22211131()()133331313113n n n -----+++≤++++=---- (3313)()2232n =-<得证21．解：（1）xe x xf a )3()(,32-=∴=130)32()(2或-=⇒=-+='x e x x x f x ……………1分 当),1()3,(+∞⋃--∞∈x 时()0,(3,1)f x x '>∈-时0)(<'x f)(x f ∴的增区间为]3,(--∞，；),1[+∞减区间为[-3，1]， ………………3分)(x f 的极大值为36)3(-=-e f ；极小值为.2)1(e f -= …………………5分（2）0)2()(2=-+='x e a x x x f 即02=-+2a x x由题意两根为21,x x ，a x x x x -=-=+∴2121,2．故22≤≤-a 又044>+=∆a .21≤<-∴a ………………7分 记a a a e a a a a a a f a g a 323)(3323)(3)(23223+---=+--=333)1(3)(22+---+='a a e a a a g a02510)1)(1(32=±-=⇒=--+=a a e a a a 或(() ()0 ()0 ()0a g a g a g a g a -''''><> ()g a 递增 递减 递增 …………10分又2(0)0,(2)68g g e ==- 2max ()68g a e ∴=- ……………11分268b e ∴>- …………12分22．解：（Ⅰ）证明：当0p =时，()ln f x x =-．令()ln 1m x x x =-+，则()111xm x x x-'=-=． 若()01,0x m x '<<>，()m x 递增；若()1,0x m x '><，()m x 递减， 则1x =是()m x 的极（最）大值点．于是()()10m x m ≤=，即ln 10x x -+≤．故当0p =时，有()1f x x ≥-．（Ⅱ）解：对()ln p f x px x x=--求导，得()2221p px x pf x p x x x -+'=+-=．①若0p =，()10f x x'=-<，则()f x 在()0,+∞上单调递减，故0p =合题意．②若0p >，()22111244h x px x p p x p p p p p ⎛⎫=-+=-+-≥- ⎪⎝⎭． 则必须()10,04p f x p '-≥≥，故当12p ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增． ③若0p <，()h x 的对称轴102x p=<，则必须()()00,0h f x '≤≤， 故当0p <时，()f x 在()0,+∞上单调递减．综合上述，p 的取值范围是(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅲ）解：令()()()222ln e eF x f x g x px x px-=-=-+．则问题等价于找一个00x >使()0F x ≤成立，故只需满足函数的最小值()min 0F x ≤即可．因()()()22222222px e px e e e p e e F x p x x x px px x p p --+⎛⎫⎛⎫--'=--==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而220,12,0,0e ex p p p p-><<>><， 故当0e x p <<时，()0F x '<，()F x 递减；当ex p>时，()0F x '>，()F x 递增．于是，()min 22ln 222ln 40e F x F e p e e p p ⎛⎫==-++-=+-> ⎪⎝⎭．与上述要求()min 0F x ≤相矛盾，故不存在符合条件的0x ．。