广东省清远市第一中学实验学校2021届高三数学上学期第四次月考试题 理
广东省清远市清新县第一中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析
广东省清远市清新县第一中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是A．若m∥，n∥，则m∥nB．若，，m∥，n∥，则∥C．若，，则D．若，，，则 m∥参考答案：D2. sin18°cos12°+cos18°sin12°=（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：D【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意和两角和的正弦函数化简，由特殊角的三角函数值求值．【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°=sin（18°+12°）=sin30°=，故选D．3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，则直线PB与平面PCD所成角的大小为( ) A. B. C. D.参考答案：A【分析】取中点，中点，连接，先证明为所求角，再计算其大小.【详解】取中点，中点，连接.设易知：平面平面易知：四边形为平行四边形平面，即为直线与平面所成角故答案选A【点睛】本题考查了线面夹角，先找出线面夹角是解题的关键.4. 面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得旋转体表面积为（）A、QB、2QC、3QD、4Q参考答案：D5. 设全集，，则A=（）....参考答案：B6. 方程(x+y-1)=0所表示的曲线是( )A. B.C. D.参考答案：D试题分析：由题意得方程，得或，且，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D．考点：曲线与方程．7. 已知两条直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1参考答案：D【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直?am+bn=0解之即可．【解答】解：由y=ax﹣2，y=（a+2）x+1得ax﹣y﹣2=0，（a+2）x﹣y+1=0因为直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，所以a（a+2）+1=0，解得a=﹣1．故选D．8. △ABC中，已知60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围A． B． C． D．参考答案：C略9. 设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．π参考答案：A【考点】扇形面积公式．【分析】设扇形中心角的弧度数为α，半径为r．利用弧长公式、扇形的面积计算公式可得αr=2，=2，解出即可．【解答】解：设扇形中心角的弧度数为α，半径为r．则αr=2，=2，解得α=1．故选：A．10. 下列各式中成立的一项（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】由指数的运算法则和根式与分数指数幂的互化，A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x=y=1时不成立，排除法即可得答案．【解答】解：A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x=y=1时不成立；D正确．故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．参考答案：a=0或a＞4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】画出函数y=|x2﹣4|，与y=a的图象，利用函数的两个零点，写出结果即可．【解答】解：函数g（x）=|x2﹣4|的图象如图所示，∵函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，∴a=0或a＞4．故答案为：a=0或a＞4．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．12. .函数的定义域是________参考答案：[0,2]【分析】利用反函数定义域直接求解即可【详解】由题故答案为【点睛】本题考查反三角函数的定义域问题，准确计算是关键，是基础题13. 在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则角的取值范围是__________(角用弧度表示).参考答案：14.已知为第三象限的角，,则参考答案：15. 函数f（x）=的值域为．参考答案：（﹣∞，﹣2]【考点】对数函数的值域与最值．【分析】先求出对数的真数的范围，再由对数函数的单调性求出函数的值域．【解答】解：设t=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4，∴t≥4，∵在定义域上是减函数，∴y≤﹣2，∴函数的值域是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查了有关对数复合函数的值域的求法，需要把真数作为一个整体，求出真数的范围，再由对数函数的单调性求出原函数的值域．16. 如图，过原点O的直线AB与函数的图像交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，与函数的图像分别交于D，C两点．若BD平行于x轴，则四边形ABCD的面积为__________．参考答案：因为点D和点B的纵坐标相等，设点D的横坐标为a，点B的横坐标为b，则有．∵，∴．又，在一条过原点的直线上，∴，∴，∴．，，，，所以．17. 函数在区间上的最小值为_______________参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省清远市英德第一中学高三数学理月考试卷含解析
广东省清远市英德第一中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位参考答案：D略2. 设集合，则( )A. B. C. D.参考答案：D略3. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A．B．C. D．参考答案：C【解析】∵由题意可得函数是以2为周期的周期函数且为偶函数，当x∈[0，1]时，f (x)=3x，∴f(－1)= f (1)=3，f (2)= f (0)=1，f (4)= f (0)=1，=，=，故选C. 4. 已知集合= （）A．{0,1} B．{-1,0} C．{-1,0,1} D．{-2,-1,0,1,2}参考答案：A5. 下列判断正确的是（）A．函数是奇函数； B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数参考答案：C6. 若非零向量，满足||=||，（2+）?=0，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】由题意，可先由条件|，（2+）?=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项【解答】解：由题意（2+）?=0∴2?+=0，即2||||cos＜，＞+=0又||=||∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π∴则与的夹角为120°故选C【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．参考答案：D8. 执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C 本程序为分段函数，当时，由得，，所以。
2024届广东省清远市部分名校高三上学期教学质量检测物理试题
2024届广东省清远市部分名校高三上学期教学质量检测物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，在等边三角形ABC的三个顶点上固定三个点电荷，其中A点位置的点电荷带电量为+Q，B、C两点位置的点电荷带电量均为-Q，在BC边的中垂线上有P、M、N三点，且PA=AM=MN，关于三点的场强和电势（取无穷远处电势为零），下列说法不正确的是( )A．M点的场强大于P点的场强B．MN之间某点的场强可能为零C．N点的场强方向沿中垂线向下D．P点的电势高于M点的电势第(2)题翡翠文化在我国源远流长，翡翠手镯一直以来都备受人们的喜爱。
翡翠的折射率是鉴定翡翠的重要依据之一，某位同学想亲自鉴定一下家里的一块环形翡翠手镯，他将手镯平放在水平桌面上，过环心的横截面如图所示（俯视图），内圆的半径为r。
图中AB是过环心O的一条直线，该同学用激光笔发出一细光束平行于AB射入手镯，调整光束与AB的距离d，使光束折射后在内环面上恰好发生全反射（不考虑多次折射和反射）。
则下列说法正确的是（ ）A．光线由空气进入翡翠手镯后，传播速度变大B．光束与AB的距离d与内圆的半径为r大小相等C．减小光束与AB的距离d，光束折射后在内环面上仍能发生全反射D．增大光束与AB的距离d，光束折射后不经过内环面，直接照射到外环面，则有可能在外环面发生全反射第(3)题如图圆形导体线圈a平放在水平桌面上，在a的正上方固定一竖直螺线管b，二者轴线重合，螺线管与电源和滑动变阻器连接成如图所示的电路。
若将滑动变阻器的滑片 P 向下滑动下列表述正确的是（）A．线圈a中将产生俯视顺时针方向的感应电流B．穿过线圈a的磁通量变小C．线圈a对水平桌面的压力F N将增大D．线圈a有扩大的趋势第(4)题紫外光电管是利用光电效应原理对油库等重要场所进行火灾报警的装置，其工作电路如图所示，A为阳极，K为阴极，只有当明火中的紫外线照射到阴极K时，电压表才有示数且启动报警装置。
广东省清远市第三中学高三数学上学期第四次周考试题理
广东省清远市清城区三中高三第一学期第四次周考数学（理）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1．已知集合，，则A． B． C． D．2．复数的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知、都是实数，那么“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i＝A.6B.7C.8D.95．若，则的大小关系A．B． C． D．6．已知，则的值是A．B．－C．－2 D．27．函数是偶函数，是奇函数，则A．1 B．C． D．8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图2所示，则此几何体的表面积是A． B.C． D.9.已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是A.（－1，＋）B.（－2,0）C.（－2，＋）D.（0,1］10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为A． B．C．D．11. 已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.设函数是（）的导函数，，且，则的解集是A.B.C.D.二、填空题（20分，每题5分）13．已知14log 7,145,b a == 用,a b 表示35log 70= .14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，090ABC ∠=1688AB C AA ===，B ，, 则三棱柱ABC —A 1B 1C 1外接球的表面积是 ；15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3a =，8b =，C=3π，则边c = ．16三、解答题（70分）17.（本小题10分） 已知函数2lg(34)y x x =+-+的定义域为M （1）求M（2）当x M ∈时，求2()42x x f x +=+的最小值.18. （本小题12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C（2）若c =ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.19. （本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ∆与ACB V都是边长为2的等边三角形，2BE =，BE 与平面ABC 所成的角为60o，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值.20. （本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C .（1）若点A ，求点B 的横坐标; （2）求AOC ∆面积S 的最大值.21. （本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>C 方程为222()()()a x a y b b -+-=.（1）求椭圆及圆C 的方程；（2）过原点O 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=-uu r uu r，求直线l 的方程.22. （本小题12分）已知函数1()f x x =，23(),()x f x e f x lnx ==.（1）设函数13()()(),h x mf x f x =-若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围；（2）求证：231()()2()f x f x f x '>+.数学（理）答案 一、BABCD ADCDA BB 二、 13．1ba b++ 14．164π 15．7． 16三、 17.解（1）2101340xx x x +⎧≥⎪-⎨⎪-+>⎩11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=-..................................................6分（2）22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-令12[,2)2x t =∈221()4(2)4,[,2)2g t t t t t ∴=+=+-∈min min 1259()()4244f xg t g∴===-=.....................................................................................12分18. 解：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=.....................................................................6分（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒=................................................................8分又2222cos a b ab C c +-=Q 2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=.............................................................................10分 ABC∴∆的周长为5........................................................................................................12分19. 解：（1）由题意知ABC ∆、ACD ∆为边长2的等边∆ 取AC 的中点O ，连接BO ，BO ， 则BO AC ⊥，DO AC ⊥. 又平面ACD ⊥平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，BE Q 和平面ABC 所成的角为60o ，60EBF ∴∠=o ， 2BE =Q，EF DO ∴==，∴四边形DEFO 是平行四边形，//DE OF ∴.DE ⊄Q 平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC ............................................6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则B ，(1,0,0)C -，E -，(1,BC ∴=-uu u r(0,BE ∴=-uu u r平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =...................................................................................8分设平面BCE 的法向量2(,,)n x y z =u u v 则220,0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u u v uuu r u u v0x y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 取1z =，2(n ∴=-u u v....................................................................................................10分121212cos(,)||||n n n n n n ⋅∴==⋅u v u u vu v u u v u v u u v E BC A --的余弦值为. ..........................................................................................................12分20. 解：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B的横坐标为21cos()cos.332ππα+==-.............................................5分（2）因为||1OA =，||sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅- 11(sin )cos 22ααα= 211(sin cos )22ααα=111cos 2(sin 2)242αα+=11(sin 22)42αα=++1sin(2)43πα=+分又因为[,)42ππα∈，所以542(,)363πππα+∈，当5236ππα+=，即4πα=时，sin(2)3πα+取得最大值为12，所以以S 的最大值为分21. 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -可得c a =，即22234a b a -=，所以2,a b b ==...............................................................3分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为122b c ⋅=，即122c ⨯=，,2,1c a b ∴===所以椭圆的方程2214x y +=，圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=.............................................5分（2）①当直线l 的斜率不存时，直线方程为0x =，与圆C 相切，不符合题意..................6分②当直线l 的斜率存在时，设直线方程y kx =，由22(2)(1)4y kx x y =⎧⎨-+-=⎩可得22(1)(24)10k x k x +-++=， 由条件可得22(24)4(1)0k k ∆=+-+>，即34k >-................................................................8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122241k x x k ++=+，12211x x k =+222121212122224(),11k k k y y k x x y y k x x k k ++=+===++而圆心C 的坐标为（2，1）则11(2,1),CA x y =--uu r 22(2,1)CB x y =--uu r，所以1212(2)(2)(1)(1)2CA CB x x y y ⋅=--+--=-uu r uu r，即121212122()()52x x x x y y y y -++-++=- 所以222222124242521111k k k kk k k k ++-⨯+-+=-++++解得k =或43k =...............................10分. :0l y ∴=或430x y -=...........................................................................................................12分22. 解：（1）由题意得()ln h x mx x =-，所以1()h x m x '=-，因为122x <≤，所以1122x≤<....................................................................................................................2分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增，则()0h x '≥在1(,2]2上恒成立，即1m x ≥在1(,2]2上恒成立，所以2m ≥..........................................................................................................4分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减，则()0h x '≤在1(,2]2上恒成立， 即1m x≤在1(,2]2上恒成立，所以12m ≤.............................................................................5分 综上，实数m的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U ...................................................................6分（2）设231()()()2()ln 2x g x f x f x f x e x '=--=--则1(),x g x e x '=-设1()x x e x ϕ=-，则21()0x x e x ϕ'=+>，所以1()x x e xϕ'=-在(0,)+∞上单调递增， 由1()02ϕ<，(1)0ϕ>得，存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=，所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=，在0(,)x +∞上有0()()0x x ϕϕ>= 所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞递增...................................................................10分11 0min 000000111()()121220x x g x g x e nx n x x e x ==--=--=+-> 所以()0g x >，故231(0,),()()2()x f x f x f x '∀∈+∞>+..........................................................12分。
广东省四校联考2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题及参考答案
2023~2024学年度第一学期四校联考（一）
数学试卷
说明：本试卷共4页，22道题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得0 分.
12. 已知函数())1(>=a a x f x ，()()()x f x f x g −−=，若21x x ≠，则（ ）
质，也了解到在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具。
（本小题满分分）
2023~2024学年第一学期四校联考（一）参考答案
【详解】。
2020-2021学年广东省清远市清城中学高三数学理模拟试题含解析
2020-2021学年广东省清远市清城中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C. D．(1,2)参考答案：C2. 已知关于x的方程的两根分别为，则的取值范围是A． B． C．D．参考答案：B3. 设,若,则的最大值为（）（A）（B）2 （C）（D）3参考答案：B 4. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由题意：第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第四次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,故选A.考点：合情推理.【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点,属于中档题. 本题易错的地方:没有读懂题意,题目中“第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值”的等于，那第二次第三次第四次都是用这个公式计算的.在2016年高考考纲中增加了“数学文化”.考查了学生的读题和计算能力,属于基础题.5. 若定义在上的函数满足对任意，都有，则下列说法一定正确的是（）A．是奇函数 B．是偶函数C．是奇函数 D．是偶函数参考答案：B∵，∴∴6. 复数（）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：，故选D.考点：复数的运算7. 已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.参考答案：B9. 集合，则=A. B. C. D.参考答案：10. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为()A．4+ 。
广东省清远市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 文(含解析).doc
广东省清远市2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知集合{}|6M x x =<，{}1,2,3,4,5,6,,7,8,9N =，则RM N ⋂=( )A. {}6,7,8,9B. {}7,8,9C. {}1,2,3,4,5D. {}1,2,3,4,5,6【答案】A 【解析】 【分析】 先求得RM ，然后再求其与集合N 的交集.【详解】依题意{}R|6M x x =≥，所以R M N ⋂={}6,7,8,9.故选：A【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 2.设复数z =i 11i--，则|z |=( )A. 0D. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，再求z .【详解】依题意()()111111222i i z i i i i i ++=-=-=-+-+，所以2z ==.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数模的计算，属于基础题.3.清远市教育教学研究院想了解清远市某所中学的学生是否赞成该学校的某个新政策，由于条件限制，教学研究院不能询问每位学生的意见，所以需要选择一个合适的样本.最好的方法是询问( )A. 由该学校推选的学生B. 在课间遇见的学生C. 在图书馆学习的学生D. 从学校名单中随机选取的学生 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样的原则，确定正确选项.【详解】按照随机的原则，即保证总体中每一个对象都有已知的、非零的概率被选入作为研究的对象，保证样本的代表性。
随机抽样法就是调查对象总体中每个部分都有同等被抽中的可能，是一种完全依照机会均等的原则进行的抽样调查，被称为是一种“等概率”。
ABC 三个抽样方法，不能保证等可能，D 选项可以保证等可能，所以最好的方法是D. 故选：D【点睛】本小题主要考查随机抽样的等可能性，属于基础题.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为0y +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 3 C. D. 9【答案】A 【解析】 【分析】由渐近线方程可知,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可得离心率.【详解】因为渐近线方程为0y +=故22222883b cb ac a a a a=⇒=⇒-=⇒=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的,,a b c 之间的关系，本题涉及由渐近线斜率求解离心率的转换.5.已知0.60.60.5log 0.5,0.5,log 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】将每个数据与0或者1进行比较，从而区分大小关系.【详解】函数0.6log y x =单调递减，故0,60.6log 0.5log 0.61a =>=. 又0.60.500.51,log 60b c <=<=<，所以c b a <<. 故选：B.【点睛】本题考查指数和对数比较大小，其方法是选择1或者0为基准进行比较.6.函数f （x ）322x x cosxx=+在[﹣π，π]上的图象大致为( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()32cos 2xx xf x f x x-=-=-+， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC 选项.由于()3322cos 022f ππππππππ⨯==-<++，故D 选项错误.正确的为A.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象的的识别，属于基础题. 7.sin195°sin465°=( )A.4B.14C.4D. 14-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简求得表达式的值. 【详解】原式()()sin 18015sin 360105=+⋅+()sin15sin105sin15sin 9015=-⋅=-⋅+1111sin15cos15sin 302224=-⋅=-=-⨯=-.故选：D【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简求值，属于基础题.8.已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线1y =+与抛物线C 交于点,A B ，则||AB =（ ）A. B. 16C. 12D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用焦点弦计算公式代入求解即可.【详解】由题意得(0,1)F ，所以1y =+过焦点F .设()()1122,,,A x y B x y ， 则12||2AB y y =++.联立24,21, x yy x⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24240x x--=，所以1242x x+=.又112221,21y x y x=+=+，所以()1212||22412AB y y x x=++=++=.故选：C.【点睛】本题考查抛物线中的弦长求解，本题涉及抛物线焦点弦的求解，属抛物线基础题.9.已知函数()sin()0,0,0||2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下述四个结论：①2ω=；②3πϕ=-；③12f xπ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数；④12f xπ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数中，所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①③④C. ②④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】根据图像的最值，周期，以及五点作图法，求得函数解析式，再对选项进行逐一分析即可. 【详解】由图可知，1A=，又函数周期2Tππω==，求得2ω=根据五点作图法：206πϕ⨯+=，解得3πϕ=-故()sin23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以①②正确；sin2sin2sin212123636f x x x xππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，此时函数不是奇函数，所以③错误；sin 2sin 2sin 2cos212123632f x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以④正确.综上所述，正确的有①②④. 故选：D.【点睛】本题考查由函数图像求三角函数解析式，以及三角函数的奇偶性；注意本题中求初相的方法.10.已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （x ）=﹣f （x +2），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ﹣x 2，则f （﹣1），f （2π），f （π）的大小关系是( ) A. f （2π）<f （﹣1）<f （π） B. f （2π）<f （π）<f （﹣1） C. f （﹣1）<f （π）<f （2π）D. f （﹣1）<f （2π）<f （π）【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断出函数()f x 的周期性、奇偶性，由此化简()()1,,2f f f ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，并比较出三者的大小关系.【详解】由于()f x 是R 上的奇函数，且()()2=-+f x f x ，所以()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数.当()0,2x ∈时，()2222f x x x x x =-=-+.()()()111210f f -=-=--+=-<.()224402244f πππππππ--⎛⎫⎛⎫=-+==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()()()244424f f f πππππ⎡⎤=-=--=---+-⎣⎦()()268240.98041ππππ=-+=--≈->-.所以()()12f f f ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查运算求解能力，属于中档题. 11.我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式……依此类推，交替使用纵横两式.例如：27可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”的两位数，现有7根小木棍，能表示多少个不同的两位数( )A. 54B. 57C. 65D. 69【答案】B 【解析】 【分析】按十位数为1,2,3,4,5,6,7,8,9进行分类讨论，求得所有符合题意的两位数的数量. 【详解】当十位为1时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为2时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为3时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7种； 当十位为4时，个位可以是1,2,3,6,7，共5种； 当十位为5时，个位可以是1,2,6，共3种；当十位为6时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为7时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7种； 当十位为8时，个位可以是1,2,3,6,7，共5种；当十位为9时，个位可以是1,2,6，共3种； 所以总的有()99753257++++⨯=种. 故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查列举法与分类加法计数原理，属于基础题. 12.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC .若PA =AB =BC =2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，则三棱锥P ﹣AEF 的外接球的表面积为( )A. 3πB. 5πC. 6π3【答案】B 【解析】 【分析】证得,,EP EA EF 两两垂直，由此将三棱锥P AEF -补形成长方体，利用长方体的对角线求得三棱锥P AEF -外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，由于,AB BC AB PA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，所以,BC PB BC AE ⊥⊥，由于,E F 分别是,PB PC 的中点，所以//EF BC ，所以,EF PB EF AE ⊥⊥.而AB PA =，所以AE PB ⊥，所以,,EP EA EF 两两垂直.故可将三棱锥P AEF -补形成长方体，且111,222EF BC AE PE PB =====，所以长方体的对角线长为()()2221225++=，设三棱锥P AEF -外接球的半径为R ，则25R =245R ππ=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积有关计算，考查空间想象，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量a =（m ，3），b =（m 43-，m ﹣1）.若a //b .则m =_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由于a //b ，所以()4133m m m ⎛⎫⨯-=⨯-⎪⎝⎭，即2440m m -+=，()220,2m m -==.故答案为：2【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题.14.已知实数x ，y 满足141x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z =x +2y 的最大值是_____.【答案】132【解析】 【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得2z x y =+的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界位置点35,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，由此求得2z x y =+的最大值为35132222+⨯=.故答案为：132【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n ⋅a n +1=2n ，则S 15=_____. 【答案】509 【解析】 【分析】根据递推关系式求得23451415,,,,,,a a a a a a ，然后求得15S .【详解】由于111,15n n a a a +=⋅=，12nn na a +=，所以23413142277234514152672222222,2,2,2,,2,2122222a a a a a a ============，所以()()72715212122221212S ⨯-=+⨯+++=+⨯-509=.故答案为：509【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项，考查数列求和的方法，考查合情推理，属于基础题.16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a b2+c2=a2bc，BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为_____.【答案】95【解析】【分析】利用余弦定理求得cos A，进而求得A的大小.利用正弦定理求得b=，结合余弦定理求得,b c的值，再由三角形的面积公式求得三角形ABC的面积.【详解】∵b2+c2=a2bc，∴可得cosA2222b c abc+-===∴由A∈（0，π），可得A34π=，∵a＝，BD=2DC，∴CD=BD=，∵边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，∴∠CAD4π=，在△ADC中，4DC bsin ADCsinπ=∠2bsin ADC=∠，可得b=2sin∠ADC，…①在△ADB中，sin∠ADB=②由①②可得b2=c.在△ABC中，BC2=AB2+AC2﹣2AB⋅AC⋅cos∠BAC，可得18=c2+b22bc=c21 2 +c222c c+⨯⨯，解得c65=，b310=，∴△ABC的面积为S12=bc sin316531029425525π=⨯⨯⨯=.故答案为：95【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1>0，a8﹣a4﹣a3=1，a4是a1和a13的等比中项. （1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对一切正整数n.有1211134nS S S+++<.【答案】（1）a n=2n+1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d，由此求得数列{}na的通项公式.（2）先求得n S，然后利用裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意，()12111121(3)12d aa d a a da-=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132ad=⎧⎨=⎩，∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+. ∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++ 12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.18.广东省的生产总值已经连续30年位居全国第一位，如表是广东省从2012年至2021年7年的生产总值以人民币（单位：万亿元）计算的数据：（1）从表中数据可认为x 和y 的线性相关性较强，求出以x 为解释变量、y 为预报变量的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）广东省2021年人口约为1.13亿，德国2021年人口约为0.83亿.从人口数量比较看，广东省比德国人口多，但德国2021年的生产总值为4.00万亿美元，以（1）的结论为依据，预测广东省在哪年的生产总值能超过德国在2021年的生产总值？参考数据：71 i =∑y i =52.81，71i =∑ x i y i =230.05，71i =∑ y i 2=411.2153，71i =∑ x i 2=140. 货币兑换：1美元≈7.03元人民币参考公式：回归方程y b =x a +中斜率b 和截距a 的最小二乘估计公式分别为：()()1122211 ()? n n i i iii i n n iii i x x y y x y nx y b x x x nx ====---⋅==--∑∑∑∑，a y b x =-.【答案】（1） 2.83 3.78y x=-；（2）2023年.【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）求得4万亿美元对应的人民币，然后根据回归直线方程列不等式，由此求得所求的年份. 【详解】（1）123456747x++++++==，7117iy==∑y i=52.81=7.544，12221230.05547.5442.8314074ni iiniix y nx ybx nx==-⋅-⨯⨯==≈-⨯-∑∑，a y b x=-=7.544﹣2.83×4≈﹣3.78.∴线性回归方程为 2.83 3.78y x=-；（2）由题意，德国2021年的生产总值为4.00万亿美元≈4.00×7.03=28.12万亿元.由2.83x﹣3.78>28.12，解得x≈11.27.∴预测广东省在2023年的生产总值能超过德国在2021年的生产总值.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD.（1）证明：BC⊥平面PDB，（2）若AB2=PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离.【答案】（1）证明见解析；（26.【解析】【分析】（1）通过证明BD ⊥平面APD 证得BD AD ⊥，即有BC BD ⊥，结合BC PD ⊥，证得BC ⊥平面PBD .（2）利用等体积法，由P ABC B PAC V V --=列方程，解方程求得点B 到平面APC 的距离.【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC 在平面ABCD 内，BD 在平面ABCD 内，∴PD ⊥BC ，PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，且AP ，PD 均在平面APD 内，∴BD ⊥平面APD ，又AD 在平面APD 内，∴BD ⊥AD ，又底面ABCD 为平行四边形，∴BC ⊥BD ，又PD ∩BD =D ，且都在平面PBD 内，∴BC ⊥平面PDB ；（2）由（1）知，PB 与平面APD 所成角即为∠BPD ，故∠BPD =45°，又AB =DAB =45°，∴1AD BD PD AP PC =======，AC == ∴AP 2+PC 2=AC 2，即AP ⊥CP ，∴122APC S ==，11122ABC S =⨯=， 又V P ﹣ABC =V B ﹣PAC ，∴1133ABC PAC S PD S h ⋅=⋅，即1122⨯=，解得6h =，即点B 到平面APC 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点(2,0)N 椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点(0,2)H 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，直线NA 与直线NB 的斜率和为13-，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）22y x =+【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得,,a b c 方程，求解即可；（2）设出直线，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用已知条件求解即可.【详解】（1）因为点(2,0)N 是椭圆的右项点，所以2a =.又c a =，所以c =又222b c a +=，所以22b = 所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）若直线l 与x轴垂直，则(0,A B，则413NA NB N NB k k k k ==+≠-，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+， 联立222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2221840k x kx +++= 则有12122284,2121kx x x x k k -+==++()2221(8)421402k k k =-⨯+⨯>⇒>△直线NA 的斜率为112y x -，直线NB 的斜率为）222y x -，所以()()()()122112121222122223y x y x y y x x x x -+-+==-----. 又11222,2y kx y kx =+=+()()()()()()122112121222222222kx x kx x y y x x x x +-++-+=----()()121212122(22)81243kx x k x x x x x x +-+-==--++， 化简得()1212(61)(46)200k x x k x x ++-+-=. 又12122284,2121k x x x x k k -+==++， 所以2248(61)(46)2002121k k k k k -+⨯+-⨯-=++， 化简得220--=k k ，解得12k =或21k =-，又21k =-时，过点N ，故舍去，所以直线l 的方程为22y x =+.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆相交，利用韦达定理及其他条件求直线方程；本题中需要注意分类讨论直线的斜率是否存在.21.设函数()ln a f x x x=+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a ，证明1()x f x e >恒成立. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论，进而求得函数的单调区间；（2）将恒成立问题，转化两个函数最值之间的问题，进而求解.【详解】（1）由题意得0x >，221()a x a f x x x x'-=-+=. ①当0a ≤时，()0f x '，故函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；优质资料\word 可编辑②当0a >时，在区间(0,)a 上，()0f x '<，在区间(,)a +∞上，()0f x >，故函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增.（2）证明： 要证1()x f x e >，只需证1ln xa x x e +>. 又0x >，故只需证ln x x a x x e +>即可. 设()ln g x a x x =+，则()1ln g x x '=+， 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '>， 故函数()g x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以11()g x g a e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设()x x h x e =，则1()xx h x e '-=， 在区间(0,1)上，()0h x '>，在区间(1,)+∞上，()0h x '<，故函数()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以1()(1)h x h e =. 又1a ≥，所以111a e e --. 又因为2e >，所以21e>， 所以111e e ->， 故在(0,)+∞上，()()g x h x >，综上，1()x f x e>恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及证明不等式恒成立的问题，属导数经典题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2212,22x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐极方程为4πθ=，直线l 与曲线1C 和2C 分别交于不同于原点的,A B 两点，求||AB 的值.【答案】（1）24cos 20ρρθ-+=；（2）【解析】【分析】（1）将参数方程化简为普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可；（2）根据题意，利用,A B 在极坐标中对应的θ相同，将方程转化为极坐标进而求解. 【详解】（1）由2,,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩得2,,x y αα=-=两式平方相加，得22(2)2x y -+=，又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 20ρρθ-+=. （2）由2212,22,x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222221142,2,4y t x t x t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 消去t ，得24,4y x x =，曲线1C 的极坐标方程为22(sin )4cos sin 4cos ,42ρθρθρθθρ=⇒=.设12,,,44A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以124cos4sin 4πρπ==(2222220ρρ-+==解得2ρ=12||||AB ρρ=-==故AB =【点睛】本题考查将参数方程转换为极坐标方程，以及在极坐标方程中求解两点之间的距离. 选修4-5：不等式选讲23.已知0a b >>，函数24()()f x x a x b a b =-++-. （1）若1,2b a ==，求函数()f x 的最小值；（2）证明：()8f x .【答案】（1）8；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式，即可求得；（2）利用绝对值三角不等式，巧妙构造，进行证明.【详解】（1）当1,2b a ==时， ()44f x x x =-++()()448x x ≥--+=当且仅当[]4,4x ∈-时取得故()f x 的最小值为8.（2）证明： ()222444()()()()f x x a x x a x a b a b b a b b a b ⎡⎤=-++--+=+⎢⎥---⎣⎦，优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 故24()()f x a b a b +-. 又()2(a b a b b a b =+--故2416()b a b a -，22222416168()a a a b a b a a ++⨯=-， 当且仅当2,1a b ==时等号成立，故()8f x .【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，构造利用的条件，是解决问题的关键.。
广东省清远市第三中学高三数学上学期第四次周考试题 理
广东省清远市清城区三中高三第一学期第四次周考数学（理）试题(本卷满分150分，时间120分钟)一、选择题（60分，每题5分）1．已知集合，，则A． B． C． D．2．复数的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知、都是实数，那么“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i＝A.6B.7C.8D.95．若，则的大小关系A．B． C． D．6．已知，则的值是A．B．－C．－2 D．27．函数是偶函数，是奇函数，则A．1 B．C． D．8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图2所示，则此几何体的表面积是A． B.C． D.9.已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是A.（－1，＋）B.（－2,0）C.（－2，＋）D.（0,1］10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为A． B．C．D．11. 已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.设函数是（）的导函数，，且，则的解集是A.B.C.D.二、填空题（20分，每题5分）13．已知14log 7,145,ba == 用,ab 表示35log 70= .14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，090ABC ∠=1688AB C AA ===，B ，, 则三棱柱ABC —A 1B 1C 1外接球的表面积是 ；15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3a =，8b =，C=3π，则边c = ．16．dx x ])1(11[22⎰---=_________三、解答题（70分）17.（本小题10分） 已知函数21lg(34)1xy x x x+=+-+-的定义域为M （1）求M（2）当x M ∈时，求2()42x x f x +=+的最小值.18. （本小题12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C（2）若7c =，332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.19. （本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ∆与ACB V都是边长为2的等边三角形，2BE =，BE 与平面ABC 所成的角为60o，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. （1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值.20. （本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，[,]42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于C .（1）若点A 纵坐标为32，求点B 的横坐标; （2）求AOC ∆面积S 的最大值.21. （本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点构成的三角形的面积为3，圆C 方程为222()()()a x a y b b -+-=.（1）求椭圆及圆C 的方程；（2）过原点O 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=-uu r uu r，求直线l 的方程.22. （本小题12分）已知函数1()f x x =，23(),()x f x e f x lnx ==.（1）设函数13()()(),h x mf x f x =-若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围；（2）求证：231()()2()f x f x f x '>+.数学（理）答案 一、BABCD ADCDA BB 二、 13．1b a b++ 14．164π 15．7． 16．22π-三、 17.解（1）2101340xx x x +⎧≥⎪-⎨⎪-+>⎩11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=-..................................................6分（2）22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-令12[,2)2x t =∈221()4(2)4,[,2)2g t t t t t ∴=+=+-∈min min 1259()()4244f xg t g∴===-=.....................................................................................12分18. 解：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=.....................................................................6分（2）1313sin 362222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒=................................................................8分又2222cos a b ab C c +-=Q 2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=.............................................................................10分 ABC∴∆的周长为57+........................................................................................................12分19. 解：（1）由题意知ABC ∆、ACD ∆为边长2的等边∆ 取AC 的中点O ，连接BO ，BO ， 则BO AC ⊥，DO AC ⊥. 又平面ACD ⊥平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，BE Q 和平面ABC 所成的角为60o ，60EBF ∴∠=o ， 2BE =Q ，3EF DO ∴==，∴四边形DEFO 是平行四边形，//DE OF ∴. DE ⊄Q 平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， //DE ∴平面ABC ............................................6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则3,0)B ，(1,0,0)C -，33)E -， (1,3,0)BC ∴=--uu u r (0,3)BE ∴=-uu u r平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =...................................................................................8分设平面BCE 的法向量2(,,)n x y z =u u v 则220,0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u u v uuu r u u v 3030x y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 取1z =，2(3,1)n ∴=-u u v....................................................................................................10分12121213cos(,)||||n n n n n n ⋅∴==⋅u v u u vu v u u v u v u u v E BC A --的余弦值为13. ..........................................................................................................12分20. 解：（1）定义得A (cos ,sin ),(cos(),sin())33B ππαααα++,依题意可知3sin (,)42ππαα=∈，所以3πα=，所以B的横坐标为21cos()cos.332ππα+==-.............................................5分（2）因为||1OA =，||sin(),,32OC AOC ππαα=+∠=-所以1||||sin 2S OA OC AOC =⋅⋅∠1sin()sin()232ππαα=+⋅- 113(sin )cos 22ααα= 2113(sin cos )22ααα= 1131cos 2(sin 2)242αα+=1133(sin 22)42αα=++13sin(2)43πα=+分又因为[,)42ππα∈，所以542(,)363πππα+∈，当5236ππα+=，即4πα=时，sin(2)3πα+取得最大值为12，所以以S 的最大值为13+分21. 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，由椭圆的离心率为32可得32c a =，即22234a b a -=，所以32,3a b b c==...............................................................3分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为1232b c ⋅=，即132323c c ⋅⨯=，3,2,1c a b ∴===所以椭圆的方程2214x y +=，圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=.............................................5分（2）①当直线l 的斜率不存时，直线方程为0x =，与圆C 相切，不符合题意..................6分②当直线l 的斜率存在时，设直线方程y kx =，由22(2)(1)4y kx x y =⎧⎨-+-=⎩可得22(1)(24)10k x k x +-++=， 由条件可得22(24)4(1)0k k ∆=+-+>，即34k >-................................................................8分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122241k x x k ++=+，12211x x k =+222121212122224(),11k k k y y k x x y y k x x k k ++=+===++而圆心C 的坐标为（2，1）则11(2,1),CA x y =--uu r 22(2,1)CB x y =--uu r，所以1212(2)(2)(1)(1)2CA CB x x y y ⋅=--+--=-uu r uu r，即121212122()()52x x x x y y y y -++-++=- 所以222222124242521111k k k kk k k k ++-⨯+-+=-++++解得k =或43k =...............................10分. :0l y ∴=或430x y -=...........................................................................................................12分22. 解：（1）由题意得()ln h x mx x =-，所以1()h x m x '=-，因为122x <≤，所以1122x≤<....................................................................................................................2分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增，则()0h x '≥在1(,2]2上恒成立，即1m x ≥在1(,2]2上恒成立，所以2m ≥..........................................................................................................4分若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减，则()0h x '≤在1(,2]2上恒成立， 即1m x≤在1(,2]2上恒成立，所以12m ≤.............................................................................5分 综上，实数m的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U ...................................................................6分（2）设231()()()2()ln 2x g x f x f x f x e x '=--=--则1(),x g x e x '=-设1()x x e x ϕ=-，则21()0x x e x ϕ'=+>，所以1()x x e xϕ'=-在(0,)+∞上单调递增， 由1()02ϕ<，(1)0ϕ>得，存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=，所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=，在0(,)x +∞上有0()()0x x ϕϕ>= 所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞递增...................................................................10分0min 000000111()()121220x x g x g x e nx n x x e x ==--=--=+-> 所以()0g x >，故231(0,),()()2()x f x f x f x '∀∈+∞>+..........................................................12分。
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广东省清远市第一中学实验学校2020届高三数学上学期第四次月考试题 理考试时间：120分钟,满分150分第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}{}12345,246A B ==，，，，，，， P A B =⋂，则集合P 的子集有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 2、不等式1121x x -≤+的解集为（ ） A. (]1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ B. 12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. ][1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ D. 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知b a >，0<c ，那么下列不等式成立的是（ ）A ．22b a > B. ba 11> C. cbc a -<- D. c bc a <4．已知ABC ∆中，3263π===B ,c ,b ，那么角A 大小为（ ）A ．6π B. 12π C. 3π D. 4π 5．已知正方形ABCD ，点E 为BC 中点，若μλ+=，那么μλ等于（ ）A ．2B ．32C ．21D ．316．已知直线c ,b ,a ，平面βα,，那么下列所给命题正确的是（ ） A ．如果,b c ,b a ⊥⊥那么c //a B. 如果α⊥a ,b //a ，那么α⊥b C. 如果αβα⊥⊥a ,，那么β//a D. 如果ab ,//a ⊥α，那么α⊥b7.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ） A. 15 B.14 C. 13 D. 128．已知偶函数f (x )满足：当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立． 设a ＝f (－4)，b ＝f (1)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a9．已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝log a(x＋b)的图象可能是( ) 10.已知数列{}na满足nnaa31=+，且9642=⋅⋅aaa，则=++937353logloglog aaa（） A．5 B．6 C．8 D．1111.若θ∈,且cos 2θ=sin,则sin 2θ=()A. B.- C. D.-12.若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a，x≤0，ln x，x＞0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A．()1,0 B．(]1,0C．[)0,1- D．[]1,1-第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知3>x，那么函数331-+-=xxy的最小值是；14．向量a，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b；15.为得到函数的图象,要将函数的图象向右平移至少ab个单位。
16.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 作的直线交椭圆于A B 、两点，若2212F A F B +=，则AB = 。
三．解答题：（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
） 17．（12分）在△ABC 中，∠A=60°，c=a ． （1）求sinC 的值；（2）若a=7，求△ABC 的面积．18.（12分）已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2340a a ⋅=，426S =,数列{}n b 的前n 项和()122n n T n N +*=-∈。
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n M ．19. （12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE=3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值．20.（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为34，离心率为23（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若MB AM 2=，求直线L 的方程．21.（12分）设函数()xf x e =， ()lng x x =．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有，求实数a 的取值范围．22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点极坐标为(3,)4π，曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-（θ为参数）．（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2cos 4sin ρθρθ+=的距离的最小值．最新学年度高三12月数学（理）试卷答案 一．选择题（每小题5分，共60分）1—5 B A D B A 6—10 B C C C D 11—12 D B二．填空题（每小题5分，共20分）13. 2 ； 14. 2 ； 15. 8π； 16 . 8 . 三．解答题（共70分）17.【解答】解：（ 1）∠A=60°，c=a ， 由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3， ∴C ＜A ， 由（1）可得cosC=，∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S △ABC =acsinB=×7×3×=6．18.【解析】（1）由题意知142344)(40262a a a a S +⋅===，， ∴23234013a a a a ⋅=+=，，1分又公差为正数，故25a =，38a =,3d =公差， 2分∴31n a n =-，3分由1*22n n T n N +=-∈（）得当111,2n b T ===，4分当2,n n N *≥∈时，()1122222n n n n n n b T T +-=-=---=5分综上得*2n n b n N =∈（）．6分（2）由（1）知()312nn n a b n ⋅=-⋅ ∴()22252312nn M n =⋅+⋅++-⋅7分〖解法〗（错位相减法）()23122252312n n M n +=⋅+⋅++-⋅8分得()()12331243222n nn M n +=-⋅--+++10分 ()13428n n +=-⋅+．1219. （12分） (1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．…………………………..2分 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE …………………………..5分（Ⅱ）解：因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D ﹣xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE=60°，所以3=DBDE． 由AD=3，可知DE=36，AF=6．则A （3，0，0），B （3，3，0），F （3，0，6），E （0，0，36）， C （0，3，0） ………………………………7分所以=（0，﹣3，6），=（3，0，﹣26）．设平面BEF 的法向量为=（x ，y ，z ），则即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0623063z x z y ．令z=6，则=（4，2，6）．因为AC ⊥平面BDE ，所以为平面BDE 的法向量，=（3，﹣3，0）． (10)分所以cos<,>===．因为二面角为锐角，所以二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值为．……………………12分20. （12分）（1） 设椭圆方程为()222210,0x y a b a b +=>>，因为23,32===a c e c ，所以2,4==b a ， …………………… 3分所求椭圆方程为141622=+y x . ……………………… 5分（2）由题得直线L 的斜率存在，设直线L 方程为y=kx+1，..…………………… 5分则由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416122y x kx y 得()01284122=-++kx x k ，且0>∆． …………………… 6分 设()()1122,,,A x y B x y ，则由2AM MB =得122x x =﹣，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+2212214112418k x x k k x x ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-+-=2222241122418-k x k k x 消去2x 得，解得2032=k ，1015±=k ， …………………… 10分 所以直线l 的方程为11015+±=x y .……………………… 12分21.（12分）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2a ≤. 【解析】试题分析：（Ⅰ）令，求导得单调性，进而得，从而得证；（Ⅱ）记求两次导得()h x '在[)0,+∞递增， 又，进而讨论2a -的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析： （Ⅰ）令，由∴()F x 在(0,e]递减，在[)e,+∞递增，∴ ∴()0F x ≥ 即成立．（Ⅱ） 记， ∴()0h x ≥在[)0,+∞恒成立，， ∵，∴()h x '在[)0,+∞递增， 又，∴ ① 当 2a ≤时， ()0h x '≥成立，即()h x 在[)0,+∞递增， 则，即成立；② 当2a >时，∵()h x '在[)0,+∞递增，且，∴ 必存在()0,t ∈+∞使得()0h t '=．则()0,x t ∈时， ()0h t '<， 即 ()0,x t ∈时，与()0h x ≥在[)0,+∞恒成立矛盾，故2a >舍去．综上，实数a 的取值范围是2a ≤．点睛：导数恒成立的问题，根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；22.（本小题10分）解：（1）点P 的直角坐标为3232(．由2cos()4πρθ=-，得2cos sin ρθθ=，①将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，可得曲线C的直角坐标方程为22((122x y -+-=． （2）直线l：2cos 4sin ρθρθ+=的直角坐标方程为240x y +-=，设点Q的直角坐标为(cos ,sin )22θθ++，则cos sin )22M θθ+， 那么M 到直线l 的距离cos sin |))d θθ+-===，∴d ≥=（当且仅当sin()1θϕ+=-时取等号）， 所以M 到直线l：2cos 4sin ρθρθ+=．。