简单的三角恒等变换练习题
课时作业14：§4.3简单的三角恒等变换
§4.3简单的三角恒等变换第Ⅰ卷一、选择题1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．452．化简π11πcos(π+)cos()cos()229πcos(π)sin(π)sin()2αααααα+----+的结果是( )A ．－1B ．1C ．tan αD ．－tan α3． 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π3)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)4．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x5．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(弧度)( ) A ．1 B ．4 C ．πD ．1或46．已知α、β为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A ．13B ．3C ．913D ．1397．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为36a ，则c b ＋b c的最大值是( )A ．8B ．6C ．32D ．48． 在△ABC 中，若三个角A 、B 、C 成等差数列，对应三条边成等比数列，则△ABC 一定是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9．已知△ABC 中三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若B ＝30°，b ＝1，c ＝3，则△ABC 的面积为( )A ．32B ．34 C ．32或34D ．32或3 10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B＋cos(A ＋C )＝－45，则cos A ＝( )A ．－45B ．45C ．35D ．－3511．若f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (t ＋π4)＝f (－t )，且f (π8)＝－1则实数m的值等于( )A ．±1B ．－3或1C ．±3D ．－1或312．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2013B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝201312C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2014D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝201412第Ⅱ卷二、填空题13．在△ABC 中，sin C ＝513，cos B ＝－45，则角cos A ＝________.14．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左至少平移________个单位后，得到的图象解析式为y ＝A cos ωx .15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(其中φ为实数)，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且sin φ<0，则f (x )的单调递增区间是________．16．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________.三、解答题(17．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； (2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．18．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的π3倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y ＝3sin x 的图象．(1)求y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最小值和最大值．19．在△ABC 中，已知角A 为锐角，且f (A )＝22π[cos(π-2)1]sin(π+)sin()222πsin ()sin (π)222A AA A A -----＋cos 2A ．(1)求f (A )的最大值；(2)若A ＋B ＝7π12，f (A )＝1，BC ＝2，求△ABC 的三个内角与AC 边的长．20．已知A 、B 分别在射线CM 、CN (不含端点C )上运动，∠MCN ＝2π3，在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .(1)若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；(2)若c ＝3，∠ABC ＝θ，试用θ表示△ABC 的周长，并求周长的最大值． 21．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，tan B tan C ＝2a －cc .(1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝cos x ·cos(x ＋B )(x ∈[0，π2])的值域．22．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(λ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数y ＝f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题 1． B【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2， ∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2aa ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.2． C 3． D【解析】把x ＝π3代入解析式，函数应取到最值，经检验D 符合．4． B 5． D【解析】设扇形半径为R ，圆心角为α，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝6 112R 2α＝2 2由(2)得Rα＝4R ，代入(1)得2R ＋4R ＝6，解之得R ＝1或2，当R ＝1时，α＝4，当R ＝2时，α＝1.∴选D ． 6． B 7． D【解析】b c ＋c b ＝c 2＋b 2bc ，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ，①而条件中的“高”容易联想到面积，12a ·36a ＝12bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，②将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c ＋c b ＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋π6)，当A ＝π3时取得最大值4，故选D ． 8． D【解析】∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，又b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sin C ，即sin A sin C ＝34，∴sin A sin(2π3－A )＝34，∴sin(2A －π6)＝1，∵0<A <π，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形． 9． C【解析】∵3sin30°＝32<1<3，∴△ABC 有两解．由1sin30°＝3sin C 得，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°， 当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝32； 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34，故选C ．10． A 【解析】2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C ) ＝[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(π－B ) ＝cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＋cos B －cos B ＝cos(A －B ＋B )＝cos A ＝－45，故选A ．11． B【解析】由f (t ＋π4)＝f (－t )得，f (π8＋t )＝f (π8－t )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，又f (π8)＝－1，∴m ±2＝－1，∴m ＝1或－3. 12． D【解析】由图象知A ＝0.5，T ＝4＝2πω，∴ω＝π2，b ＝1，∴f (x )＝0.5sin(π2x ＋φ)＋1，由f (x )的图象过点(1，1.5)得，0.5sin(π2＋φ)＋1＝1.5，∴cos φ＝1，∴φ＝2k π，k ∈Z ，取k ＝0得φ＝0，∴f (x )＝0.5sin(π2x )＋1，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝(0.5sin0＋1)＋(0.5sin π2＋1)＋(0.5sinπ＋1)＋(0.5sin 3π2＋1)＝4,2013＝4×503＋1，∴S ＝4×503＋f (2012)＋f (2013)＝2012＋f (0)＋f (1)＝2014.5.第Ⅱ卷二、填空题 13．6365【解析】∵cos B ＝－45，0<B <π，∴sin B ＝35，且B 为钝角，∴C 为锐角，∵sin C ＝513，∴cos C ＝1213，∴cos A ＝cos[π－(B ＋C )]＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ＝35×513－(－45)×1213＝6365.14． π6【解析】由函数的图象可得A ＝1，34T ＝34·2πω＝1112π－π6＝3π4，∴ω＝2.再根据五点法作图可得2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴函数f (x )＝sin(2x ＋π6)．把函数f (x )＝sin(2x ＋π6)的图象向左平移π6个单位，可得y ＝sin[2(x ＋π6)＋π6]＝cos2x 的图象．15． [k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )【解析】由条件知|f (π6)|＝|sin(π3＋φ)|＝1，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π6，∵sin φ<0，∴取k ＝1，φ＝7π6，∴f (x )＝sin(2x ＋7π6)．由2k π－π2≤2x ＋7π6≤2k π＋π2得，k π－5π6≤x ≤k π－π3.16． 23【解析】∵2x ＝(x ＋y )＋(x －y )，2y ＝(x ＋y )－(x －y )，sin2x ＋sin2y ＝23，∴sin(x ＋y )cos(x －y )＝13，又由cos x cos y ＋sin x sin y ＝12得cos(x －y )＝12，∴sin(x ＋y )＝23.三、解答题17．解 (1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12， 所以f (α)＝3sin2α－2sin 2α＝23sin αcos α－2sin 2α ＝23×(－32)×12－2×(－32)2＝－3. (2)f (x )＝3sin2x －2sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin(2x ＋π6)－1，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，所以f (x )的值域是[－2,1]．18．解 (1)函数y ＝3sin x 的图象向下平移1个单位得y ＝3sin x －1， 再将各点的横坐标缩短到原来的3π倍得到y ＝3sin π3x －1，然后向右移1个单位得y ＝3sin(π3x －π3)－1.所以函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2⇒6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，∴y ＝f (x )的递增区间是[6k －12，6k ＋52]，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最值即为当x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最值． ∵x ∈[3,4]时，π3x －π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x －π3)∈[0，32]，∴f (x )∈[－1，12]，∴y ＝g (x )的最小值是－1，最大值为12.19．解 (1)f (A )＝cos2A ＋1sin A 2cosA2cos 2A 2－sin 2A 2＋cos 2A＝2cos 2A sin A 2cosA2cos A ＋cos 2A ＝12sin2A ＋cos 2A＝12(sin2A ＋cos2A ＋1)＝22sin(2A ＋π4)＋12. ∵角A 为锐角，∴0<A <π2，π4<2A ＋π4<5π4，∴当2A ＋π4＝π2时，f (A )取值最大值，其最大值为2＋12.(2)由f (A )＝1得22sin(2A ＋π4)＋12＝1， ∴sin(2A ＋π4)＝22，∴2A ＋π4＝3π4，A ＝π4.又∵A ＋B ＝7π12，∴B ＝π3，∴C ＝5π12.在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin A ＝ACsin B ，∴AC ＝BC sin Bsin A＝ 6.20．解 (1)∵a 、b 、c 成等差数列，且公差为2，∴a ＝c －4，b ＝c －2， 又∠MCN ＝2π3，∴cos C ＝－12.由余弦定理得：242(2)(2)2(2)(4)c c c c c -+----＝－12，∴c 2－9c ＋14＝0，∴c ＝7或2， ∵c >4，∴c ＝7.(2)在△ABC 中，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB ，∴AC sin θ＝πsin()3BC θ-＝3sin 2π3＝2，∴AC ＝2sin θ，BC ＝2sin(π3－θ)．∴△ABC 的周长L ＝|AC |＋|BC |＋|AB | ＝2sin θ＋2sin(π3－θ)＋3＝2[12sin θ＋32cos θ]＋3＝2sin(θ＋π3)＋3，又∵θ∈(0，π3)，∴π3<θ＋π3<2π3.∴当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，L 取得最大值2＋ 3.21．解 (1)∵sin B cos C sin C cos B ＝2sin A －sin Csin C ，而sin C >0，∴sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴cos B ＝12，∴B ＝π3. (2)f (x )＝12cos 2x －32sin x cos x ＝1＋cos2x 4－34sin2x ＝12cos(2x ＋π3)＋14， ∵2x ＋π3∈[π3，43π]，∴－1≤cos(2x ＋π3)≤12， ∴f (x )的值域为[－14，12]． 22．解 (1)∵f (x )＝a ·b ＋λ＝(cos ωx －sin ωx )·(－cos ωx －sin ωx )＋sin ωx ·23cos ωx ＋λ ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝3sin(2ωx )－cos(2ωx )＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )， 又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，ω＝56. ∴f (x )＝2sin(53x －π6)＋λ， ∴f (x )的最小正周期为65π. (2)∵函数y ＝f (x )的图象过点(π4，0)， ∴f (π4)＝2sin(53×π4－π6)＋λ＝0，故λ＝－2sin π4＝－ 2. 故f (x )＝2sin(53x －π6)－2， ∵0≤x ≤3π5，∴－π6≤53x －π6≤5π6， ∴－12≤sin(53x －π6)≤1， ∴－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2， 故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．。
三角恒等变形-练习题
三角恒等变形-练习题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--3-1-1两角差的余弦公式一、选择题1．cos39°cos9°＋sin39°sin9°等于( )C ．－12D ．－32 2．cos555°的值为( ) B ．－6＋243．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( )2C ．－210D ．－254．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1 D ．－1 5．cos75°＋cos15°的值是( )6．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( )A ．sin2xB ．cos2yC ．－cos2xD ．－cos2y7．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－558．cos π12＋3sin π12的值为( ) A ．－ 29．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( )10．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( ) D ．－12 二、填空题11．cos α＝35，cos β＝513，sin α＝－45，sin β＝1213，则cos(α－β)＝________.12．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝________.13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________.14．化简2cos10°－sin20°cos20°＝________. 三、解答题 15．求值：(1)sin285°；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)． 16．已知sin α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos β＝27，β是第四象限角，求cos(α－β)的值．17．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.18．若α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦一、选择题1．下列等式成立的是( )A ．cos80°cos20°－sin80°sin20°＝12 B ．sin13°cos17°－cos13°sin17°＝12 C ．sin70°cos25°＋sin25°sin20°＝22 D ．sin140°cos20°＋sin50°sin20°＝32 2．cos 5π12的值等于( )3．在△ABC 中，已知sin(A －B )·cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的化简结果是( ) A ．22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x B ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12C ．22sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋xD ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12 5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a6．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( )A ．0 C ．0或45 D ．0或±457．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或2525 D ．－2525 8．若α、β为两个锐角，则( )A ．cos(α＋β)>cos α＋cos βB ．cos(α＋β)<cos α＋cos βC ．cos(α＋β)>sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<sin α＋sin β9．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12，则cos(α－β)的值是( )D ．110．(2012·重庆)sin47°－sin17°cos30°cos17°( ) A ．－32 B ．－12 二、填空题11．化简：cos(35°－x )cos(25°＋x )－sin(35°－x )sin(25°＋x )＝________.12．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.13．已知α、β为锐角，且tan α＝23，tan β＝34，则sin(α＋β)＝________. 的值是________． 三、解答题15．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．16．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． 17．求证：sin?2α＋β?sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.18．（暂时不做）已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．3-1-2-2两角和与差的正切一、选择题1．若α、β∈(0，π2)且tan α＝12，tan β＝13，则tan(α－β)( )A ．－17 B ．1 C ．17 D ．152．tan(α＋β)＝25，tan(α－β)＝14，则tan2α＝( )3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)的值等于( )A ．－7B ．7C ．－174．在△ABC 中，若0<tan B tan C <1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不能确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan10°D ．3tan20°6．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )B ．－2π3 或－2π3 D ．－π3或2π37．(2011～2012·长春高一检测)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)的值是( )C ．2 3 的值为( )A ．2＋ 3 C ．2－ 39．已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )10．在△ABC 中，若tan B ＝cos?C －B ?sin A ＋sin?C －B ?，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 二、填空题11．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为____．12．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________.13．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________.14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______. 三、解答题15．(2011～2012·学军高一检测)已知△ABC 中，3tan A tan B －tan A －tan B ＝ 3.求C 的大小．16．已知tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．17．首先定义向量的乘法：设向量m ＝()11,x y ，n ＝()22,x y ，则m·n ＝1212x x y y ⋅+⋅已知A ，B ，C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.(1)求角A ；(2)若tan ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝－3，求tan C .18．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．12－sin 215°的值是( )2．若sin α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值为( )C ．－60119D ．－1201193．若x ＝π12，则cos 2x －sin 2x 的值等于( )4．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( )A ．－2425B ．－1225C ．－455．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )6．定义向量的模：设向量a ＝(),x y ，则a 的模为22x y +.现已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，12的模为22，则cos2θ等于( )－32 B ．－14C ．－127．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )C ．－459D ．－2598．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是( ) A ．－79 B ．－139．(2009·广东)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数10．(2011·宁夏、海南)3－sin70°2－cos 210°＝( )C ．2 二、填空题11．3tan π81－tan 2π8＝________. 12．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin2A ＝________.13．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是________．14．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________． 三、解答题15．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求sin2α，cos2α，tan2α的值．16．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sin x 的值． (2)求sin(2x ＋π3)的值．17．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x的值． 18．设函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ，当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值和最小值．3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos?α－π?2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α22．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105 C ．－155 ·2cos 2αcos2α等于( )A ．tan αB ．tan2αC ．14．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )5．化简cos2αtan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin2α D ．1－sin2α6．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )－32sin2x ＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( )A ．28．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C ．12 D ．729．(山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2,sin2θ＝378,则sin θ＝( )10．已知－3π2＜α＜－π，则12＋12·12＋12cos2α的值为( )A ．－sin α2B ．cos α2 C ．sin α2 D ．－cos α2 二、填空题11．已知tan α2＝13，则cos α＝________. 12．若tan α＝2，则tan α2＝________.13．若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x ＝________.14．若cos2θ＝－34，那么sin 4θ＋cos 4θ＝________. 三、解答题15．若已知tan θ2＝2，求cos θ、sin θ的值．16．化简12sin 2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan x 2－tan x 2＋32cos2x 为A sin(ωx ＋φ)的形式．17．已知sin(2α＋β)＝5sin β.求证：2tan(α＋β)＝3tan α. 18．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ,x ∈.(1)求函数f (x )的最大值及此时自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调递增区间．3-2-2三角恒等式的应用一、选择题1．函数f (x )＝－12sin x cos x 的最大值是( )B ．－12 D ．－142．函数y ＝cos 2x 2－sin 2x2的最小值等于( )A ．－1B ．1 D ．23．函数y ＝sin x1＋cos x的周期等于( )B ．πC ．2πD ．3π4．函数y ＝cos 4x －sin 4x ＋2的最小正周期是( )A ．πB ．2π5．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )6．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )7．化简1＋cos80°－1－cos80°等于( )A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．－2sin5°D ．2sin5°8．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．[－π2，π2]B ．[5π4，9π4]C ．[－π4，3π4]D ．[π4，5π4] 9．(2011·重庆) 首先定义向量的乘法：设向量m ＝()11,x y ，n ＝()22,x y ，则m·n ＝1212x x y y ⋅+⋅．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )10．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A ．π2B ．π4C ．πD ．2π 二、填空题11．函数y ＝2sin x ＋2cos x 的值域是________．12．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2，则ω＝________.13．函数f (x )＝3sin x －cos x 的单调递增区间是______．14．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题：①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象．其中真命题的序号是________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值及f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值． 16．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域． 17．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f (x )的值域． 18．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．。
简单的三角恒等变换练习题.doc
简单的三角恒等变换练习题.doc 1. sin14°cos16°+cos14³in16"地值是( )A.√32B、12C.√32D.−122.已知cos(π+θ)=√32,则cos2θ=( )A.12B.−12C.14D.−143. cos75⁰cos15⁰-sin 255⁰sin165°地值是( )A.12B.−12C.√32D.04.已知sinα=√22,cosβ=45,且αβ∈(0]π2),则sin(α+β)地值等于( )A.7√210B.√210C.150D.49505.函数f(x)=sin x2cos x2地最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π6.函数y=√3sinxcosx+cos2x−12地最小正周期是( )A.π4B.π2C. πD. 2πA.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形8.计算sin105°. cos75°地值等于.9.已知α,β为锐角, 且sinα=√55,sinβ=√1010,求α+β地值.11.已知向量a⃗=(cosβ,sinα),b⃗=(cosβ,sinβ),|a⃗−b⃗|=2√55,求cos(α-β)地值.10.设tan2θ=2√2,θ∈(π2,π)求2cos2θ2−sinθ−1sinθ+cosθ地值12.已知点P(cos2x+1,1), 点Q(1,√3sin2x+1)(x∈R).且函数(O为坐标原点)，(Ⅰ)求函数f(x)地解析式：(Ⅱ)求函数f(x)地最小正周期及最值.13.求函数y=12cos2x+√32sinxcosx+1地最大值，最小值，周期.14.设函数f(x)=cos2x+2√3sinxcosx(x∈R)地最大值为M，最小正周期为T.求M、 T地值.15.已知函数f(x)=√32sinx−12cosx,x∈R。
求f(x)地最大值，并求使f(x)取得最大值时x地集合.16.已知函数f(x)=sin2x−cos(2x−π6),其中x∈R.(1)求函数f(x)地最小正周期; (2)求f(x)地递增区间.17.已知:tanα=−13,cosβ=√55,α,β∈(0|π).(1) 求tan(α+β)地值; (2)求函数.f(x)=√2sin(x−α)+cos(x+β)原创为文档解三角形练习题A.1B.2C.3D.42.在△ABC中, 已知a=4,b=6,C=120°,则sinA地值是( )A.√5719B.√217C.√338D.−√57193.边长为5，7，8地三角形地最大角与最小角地和是()A. 90ºB. 120ºC. 135°D. 150°4.在△ABC中,若((a+b+c)(b+c-a)=3bc, 则A= ( )A. 90°B. 60°C. 135°D. 150°5.在△ABC中,若a=7,b=8,cosC=1314,则最大角地余弦是()A.−15B.−16C.−17D.−186.在△ABC中, 若b=2,B=30°,C=135°,则a=7.在△ABC中, b=3,c=5,A=120°, 则a=8.在△ABC中,已知a=3,b=4,C=π3,则c=9.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则∠A等于10.在△ABC中,内角A、B、C、地对边分别为a,b,c,若(a=1,b=√3,A=30∘,则c=版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有1.在△ABC中, 已知a=√3, c=2, B=30⁰, 则b= ( )This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本。
高考数学一轮复习练习 简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换基础巩固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( ) A.15B.√55C.-√55D.2√553.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P (x ,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2α+√2+2cos2α的值等于( ) A.95 B.75 C.65D.35.已知cos 2π3-2θ=-79,则sin π6+θ的值等于( ) A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tan α+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(多选)下列各式中,值为12的是( ) A.cos 2π12-sin 2π12B.tan22.5°1-tan 222.5°C.2sin 195°cos 195°D.√1+cos π628.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f (x )=sin x sin (x +π3)−14的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[-12,14],则n-m 的值可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan α2=√52,则sin π2+α= . 10.(2020山东济南一模,13)已知cos 2α-π3=23,则12-sin 2α-π6的值为 .11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sin α-π4=√55,则tan α= .12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sin α+π4,则sin 2α的值为 .综合提升组13.已知f (x )=sin 2x+sin x cos x ,则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π [0,π] B.2π -π4,3π4 C.π-π8,3π8D.2π-π4,π414.已知m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A.-1B.34 C.32D.215.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin β-π4=1213,则cos α+π4= .创新应用组17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12的图像的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是( ) A.f (x )是最小正周期为π的奇函数 B.(-7π12,0)是f (x )图像的一个对称中心 C.f (x )在区间[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图像再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f (x )的图像18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R 的函数f (x )满足f 12=12,f'(x )+4x>0,其中f'(x )为f (x )的导函数,则不等式f (sin x )-cos 2x ≥0的解集为 ( )A.-π3+2k π,π3+2k π,k ∈Z B.-π6+2k π,π6+2k π,k ∈Z C.π3+2k π,2π3+2k π,k ∈Z D.π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z参考答案课时规范练21 简单的三角恒等变换1.B f (x )=2sin x+π6×2cos x+π6=2sin 2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B .2.D ∵α∈(0,π),∴sin α>0,∵2sin 2α=cos 2α-1,即4sin αcos α=(1-2sin 2α)-1,整理得cos α=-12sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=2√55.故选D .3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.若cos α=0,则α=k π+π2,k ∈Z ,2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0.若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.综上所述,故选C .4.A 已知α终边与单位圆的交点P x ,-35,且sin αcos α>0,∴x<0,故x=-45,∴sin α=-35,cos α=x=-45.则√1-sin2α+√2+2cos2α=|cos α-sin α|+√4cos 2α=15+85=95.故选A . 5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cos π-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos 2π6+θ =-1-2sin 2π6+θ=-79,解得sin 2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B .6.C ∵sin α-cos α=√55,则(sin α-cos α)2=15,即1-sin 2α=15,得sin 2α=45,∴(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1+45=95,则sin α+cos α=3√55,又sin α-cos α=√55,∴sin α=2√55,cos α=√55,∴tan α=2,∴tan α+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.7.BC cos 2π12-sin 2π12=cos 2×π12=cos π6=√32,故A 错误;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故B 正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故C 正确; √1+cos π62=√2+√34=√2+√32≠12,故D 错误.故选BC .8.AB f (x )=sin x sin x+π3-14=sin x 12sin x+√32cos x -14 =14(1-cos 2x )+√34sin 2x-14 =12√32sin 2x-12cos 2x =12sin 2x-π6.作出函数f (x )的图像如图所示,在一个周期内考虑问题.易得{m =π2,5π6≤n ≤7π6或{π2≤m ≤5π6,n =7π6满足题意,所以n-m 的值可能为区间[π3,2π3]上的任意实数.故选AB . 9.-19 sin π2+α=cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12−1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.11.3∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=√55,得cosα-π4=2√55.∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010,cos α=√1-sin2α=√1010,∴tan α=3.12.78由2cos 2α=sinα+π4,得2cos 2α=√22sin α+√22cos α,两边平方得4cos22α=12(1+sin 2α),即8(1-sin22α)=1+sin 2α,整理得(7-8sin 2α)(1+sin 2α)=0,又α∈0,π2,所以sin 2α=78或sin 2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x2+12sin 2x=1 2+√22√22sin 2x-√22cos 2x=1 2+√22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C . 14.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β), 故m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=2,故选D . 15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29. ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√23,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+4√29×2√23=2327.16.-5665∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=45. 又β-π4∈π2,3π4,sin β-π4=1213,∴cos β-π4=-√1-sin 2(β-π4) =-513.∴cos α+π4=cos (α+β)-β-π4=cos(α+β)cos β-π4+sin(α+β)sin β-π4=45×-513+-35×1213=-5665. 17.BD 函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12=a sin x cos x+cos 2x-12=12a sin 2x+12cos 2x ,因为f (x )图像的一条对称轴为x=π6,所以f (0)=f (π3),即12=12a ×√32+12×(-12),解得a=√3,所以f (x )=√32sin 2x+12cos2x=sin (2x +π6).所以f (x )的最小正周期为π,但不是奇函数,故A 错误;f (-7π12)=sin (-7π6+π6)=f (-π)=0,所以(-7π6,0)是f (x )图像的一个对称中心,故B 正确;x ∈[-π3,π3]时,2x+π6∈[-π2,5π6],所以f (x )在区间[-π3,π3]上不是单调函数,故C 错误;将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin 2x 的图像,再把所得函数图像向左平移π12个单位长度,得y=sin 2(x +π12)=sin 2x+π6的图像,即函数f (x )的图像,故D 正确.故选BD .18.D 令g (x )=f (x )+2x 2-1,g'(x )=f'(x )+4x>0,故g (x )在R 上单调递增,且g 12=f 12+2×122-1=0,所以f (sin x )-cos 2x=f (sin x )+2sin 2x-1≥0,即g (sin x )≥g 12,则sin x ≥12,解得π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z .故选D .。
三角恒等变换练习题一
三角恒等变换练习题一三角恒等变换练题一一、选择题1.已知sin(π/2+θ)=3/5，则cos(π-2θ)=()A。
-12/25B。
-5/25C。
-5/12D。
25/252.若cosα=-4/5,且α在第二象限内，则cos(2α+π/4)为() A。
-31/50B。
31/50C。
-172/50D。
50/503.已知α∈R,sinα+2cosα=10/2，则tan2α=() A。
4/3B。
3/4C。
-4/3D。
-3/44.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π)，则sin2α=() A。
-1B。
-2/2C。
2/2D。
15.已知sin(x-π/4)=3/5，则sin2x的值为()A。
-7/25B。
79/16C。
25D。
26.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于() A。
13√2/2B。
3C。
2D。
2√3/27.函数f(x)=sinx(cosx-sinx)的最小正周期是()A。
π/4B。
π/2C。
πD。
2π8.函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-3cos^2x(π/4≤x≤2)的最大值为() A。
2B。
3C。
2+3D。
2-39.为了得到函数y=sin(2x-π/3)的图像，只需把函数y=sin(2x+π/6)的图像()A.向左平移π/4个长度单位B.向右平移π/4个长度单位C.向左平移π/2个长度单位D.向右平移π/2个长度单位10.函数y=sinxsin(x+π/3)+cosxcos2x的最大值和最小正周期分别为()A.1,πB.2,2πC.1+3√3/2,πD.2+2√3/3,2π11.函数y=sin2x+3cos2x-的最小正周期等于()A.πB.2πC.π/4D.π/212.若cos(3π-x)-3cos(x+π/4)=,则tan(x+π/4)等于()A.-B.-2C.D.213.将函数y=3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.5π/2B.3π/5C.2π/5D.π/514.若sin(-α) = 1/3，则cos(2α)的值为 -43/3.15.若f(x) = 2tan(x/2) - 1，则f(π/4)的值为 4/3.16.已知α∈(π/2,π)，sinα + cosα = -1，则tan(α+π/4)等于 -7.17.若cosθ = 2/5，sinθ = -2/5，则角θ的终边所在的直线为24x + 7y = 0.18.已知锐角α的终边上一点P(sin40°,1+cos40°)，则锐角α的度数为 50°。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换精品练习(含解析)新
5.5.2 简单的三角恒等变换知识点三 三角恒等变换的应用7.函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π48．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.9．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？关键能力综合练 一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2 C ．－21＋a2D ．－21－a22．若2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2的值等于( )A.12B.12或不存在学科素养升级练1．(多选题)对于函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，给出下列选项其中不正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (α)＝1C ．存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，使函数f (x ＋α)的图象关于y 轴对称D ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立 2．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．5．5.2 简单的三角恒等变换必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∵3π<θ<7π2，∴3π2<θ2<7π4.则tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1＋451－45＝－3. 答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<θ2<3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 答案：A3．解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x ，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. 答案：B5．解析：∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2]． 答案：[－2,2]6．解析：(1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.7．解析：y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4.答案：B8．证明：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，从而有A ＋C 2＝π2－B2.左边＝tan B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1＝右边， ∴等式成立．9.解析：设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－21－a2. 答案：D2．解析：由已知得sin x 1＋cos x ＝12，tan x2＝sinx2cosx2＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝sin x 1＋cos x ＝12.当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，tan x2不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C 4．解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4. 答案：C7．解析：1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1 ＝sin 1＋cos 12＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 1>0，cos 1>0，则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos θ2得cos2θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.答案：±359．解析：y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．答案：π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z10．证明：左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x2＝右边． 所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，对于A ：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝2，不能得到函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．∴A 不对．对于B ：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，可得α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，f (α)∈(3，2]，不存在f (α)＝1.∴B 不对．对于C ：函数f (x ＋α)的对称轴方程为：x ＋α＋π3＝π2＋k π，可得x ＝k π＋π6－α(k ∈Z )，当k ＝0，α＝π6时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f (x ＋α)＝f (x ＋3α)说明2α是函数的周期，函数f (x )的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D.答案：ABD2．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32123.word - 11 - / 11解析：如图所示， 设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt△ONC 中，＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换一、公式体系1、和差公式及其变形：（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±⇔)sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±⇔)cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±⇔ 去分母得)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-2、倍角公式的推导及其变形：（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=⇔ααα2sin 21cos sin =⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±（2）ααααααααα22sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔1cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααααα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα2cos 22cos 1=+ 【因为α是2α的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2c o s 2c o s 12αα=+因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12=+】αααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=⇔⇔把1移项得αα2sin 22cos 1=- 或αα2sin 22cos 1=- 【因为α是2α的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12=- 或 αα2s i n 24c o s 12=-】二、基本题型1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：注意角的关系，如)4()4(,)(,)(πβαπβααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 （1）已知βα,都是锐角，135)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值（2）已知,40,1312)45sin(,434,53)4cos(πββππαπαπ<<-=+<<=-求)sin(βα+的值2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数（1）已知βα,都是锐角，10103cos ,55sin ==βα，求角βα+的弧度3、)(βα+T 公式的应用（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0000+++的值（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2cos 等 （1）已知2tan =α，求αααααααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值5、切化弦，再通分，再弦合一（1）、化简：①)10tan 31(50sin 0+②035sin 10cos )110(tan ⋅-（2）、证明：x xx x x tan )2tan tan 1(cos 22sin =+6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合 化简4cos 2sin 22+-7、 a,b 型化简8、降幂公式1. 已知函数1cos sin 2cos 2)(2++-=x x x x f ，(R x ∈)．（1）求函数 ()f x 的最小正周期；（2）求函数 ()f x 的最大值，并求此时自变量x 的集合．2. 已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.3.已知函数2()1cos 2cos f x x x x =-++（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调减区间.4.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．5.设函数.cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=（1）写出函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若]3,6[ππ-∈x 时，函数()f x 的最小值为72，求此时()f x 的最大值，并指出x 为何值时，()f x 取得最大值.6.已知函数).,(2cos )62sin()62sin()(为常数a R a a x x x x f ∈++-++=ππ（1）求函数的最小正周期；（2）若.,2)(,]2,0[的值求的最小值为时a x f x -∈π7．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,245)(ππx x f 在的值域.（3）对称轴和对称点巩固练习1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） A .3-B .3C .13-D .133、cos5πcos52π的值等于（ ）A ．41 B ．21 C ．2 D ．44、已知02A π<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ） A .425B .725C .1225D .24255、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于 （ ）A ．1813 B.223 C.2213 D.1836、sin165º=（） A ．21B ．23C ．426+ D ．426-7、sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（）A ．23B ．21C ．23D ．21- 8、已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （） A ．247B ．247-C ．724D ．724- 9、化简2sin （4π－x ）·sin （4π+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 10、sin12π—3cos 12π的值是（） A ．0 B ． —2 C ．2D ． 2 sin125π11、)( 75tan 75tan 12的值为︒︒-A ．32B ．332C ．32-D ．332-。
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3.2 简单的三角恒等变换
一、填空题
1．若
25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________
2．已知sin θ=－
53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．
4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=
54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．
5． 设5π＜θ＜6π，cos
2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________
二、解答题
6．化简
θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．
7．求证：2sin （
4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．
8．求证：
α
ααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．
9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A
-+=2tan 2tan 2
2
．
10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．
11． 设－3π＜α＜－
2π5，化简2)πcos(1--α．
12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．
13．
求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．
14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos
2x 的值．
15． 已知sin α=
1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2
β．
参考答案
一、填空题
1． 2
15+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题
6．解：原式=θ
θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)
-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ
θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)
cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．
7．证明：左边=2sin （
4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （
4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2
π－2x ） =cos2x
=右边，原题得证．
8．证明：左边=α
ααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)
sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)
sin )(cos sin (cos )sin (cos 2
αααααα+-- =
ααααsin cos sin cos +- =α
αtan 1tan 1+- =右边，原题得证．
9．证明：∵cos A =
B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)
cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2
tan 2
cos 22sin 2cos 1cos 1222A B A
A A ==+-， 2
tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 2
2
．
10．解：因为15°是第一象限的角，所以
sin15°=4264)26(434823222312
30cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=
4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒
+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2
α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·2
2cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·
2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．
14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，
所以sin x =25
24或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =
2524，cos x =－257． 又2
x 是第一或第三象限角， 从而cos
2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜
2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2
π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜
2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2
π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－
53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜
2π， ∴0＜2β＜4
π． 故cos
656572cos 1=+=2ββ
．。