平方根第1课时
第1课时 算术平方根
第六章实数6.1 平方根第1课时算术平方根1.理解并掌握算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性，会求一个非负数的算术平方根.2.能用夹值法求一个数的算术平方根.3.会用计算器求一个数的算术平方根.自学指导：阅读教材第40至44页，独立完成下列问题.知识探究一般地，如果一个非负数的平方等于a，那么这个非负数叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.自学反馈(1)25的算术平方根是5，3是9的算术平方根，16的算术平方根是2.(2)切一块面积为16 cm2的正方形钢板，它的边长是多少？解：4 cm.(3)3表示3的算术平方根；如果-x2有平方根，那么x的值为0.(4)一个数的算术平方根是a，则比这个数大8的数是(D)A.a＋8B.a-4C.a2-8D.a2＋8(5)若81=9，那么0.0081=0.09，810000=900.(6)用计算器求下列各数的算术平方根.①625; ②101.203 6; ③5(精确到0.01).对于实际问题可以转化成数学问题来解决，如题(2)，就是求平方等于16的正数.若被开方数的小数点向左或向右移2n位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动n位.活动1 学生独立完成例1求下列各式的值：(1)3·25; (2)81+36; (3)0.04-124; (4)0.36·4121.解：(1)原式=3×5=15;(2)原式=9+6=15;(3)原式=0.2-1.5=-1.3;(4)原式=35×211=655.1.求一个数a(a>0)的算术平方根就是确定一个正数x，使得x2=a.2.求一个代分数的算术平方根，应先将代分数化成假分数，再求其算术平方根.例2试比较下列各对数的大小：(1)123与112; (2)412与25.解:(1)∵112=94，而213=73>94，∴123>112.(2)∵412=814，25=20，而814>20，∴814>20，即412>25.要比较两个数的大小，可以由算术平方根的意义，去比较它们的被开方数的大小.本题就是用“转化”的数学思想，将其“转化”成比较根号下被开方数的大小.例3试估算7的取值范围是2＜7＜3.活动2 跟踪训练1.一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是(D)A.a+1B.a2+1C.a+1D.21a 注意审题，先确定这个自然数，再确定下一个自然数的算术平方根.2.估算31-2的值(C)A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间31.3.9a b，则a+b=900.000 009.活动3 课堂小结1.算术平方根的意义是求一个正数的算术平方根的基本方法.2.运用“转化”的数学思想方法，并通过恒等变形达到求解目的是对能力的一种考察.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
人教版七年级下数学第6章平方根第1课时算术平方根
再见
合作探究
完成表1：
正方形的边长
/dm
1
2
0.5
2 3
正方形的面积 /dm²
1
4
0.25
4 9
你能从表1发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究
完成表2：
正方形的面积 /dm²
1
4
0.36
49
正方形的边长
/dm
1
2
0.6
7
你能从表2发现什么共同点吗？ 已知一个正数的平方，求这个正数. 表1与表2中两种运算有什么关系？
互为逆运算
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²a，那么这个正 数x叫做a的算术平方根. 规定：0的算术平方根是0.
1.因为2²4，所以4的算术平方根是__2___; 2.下列说法正确的是___①___.
①5是25的算术平方根. ②0.01是0.1的算术平方根.
算术平方根是它本身的数只有0和1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 怎么用符号来表示一个正数的算术平方根呢？
互为
x²=a
x= a
(x≥0) 逆运算
a的算术平方根
平方根号
读作：根号a
被开方数 (a≥0)
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
求下列各数的算术平方根：
(1)100;
(2)
49 64
;
解:(1)∵10²100， ∴100的算术平方根是10， 即 100 =10
人教版七年级数学下册教学课件《平方根》(第1课时)
求下列各式的值：
（1）
1
；
（2）
9 25
；
（3） 42 ；
（4） 0
．
解：（1） 1 1 ；
（2）
9 25
3 5
；
（3） 42 4 ；
（4） 0 0 ．
探究新知 知识点 2 算术平方根的双重非负性
6.1 平方根
1. 负数有算术平方根吗？ 2. a 是什么数？ 3. a 中的a可以取任何数吗？
探究新知
6.1 平方根
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这
个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a ,读作
“ 根号 a” .
规定：0的算术平方根是0，即 0 0 .
探究新知
6.1 平方根
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？ 平方根号
x2 a 互为 x a (x≥0) 逆运算
6.1 平方根
求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；
（2）49 ； 64
（3）0.0001．
解：（1）因为 102=100 ， 所以100的算术平方根是10 ． 即 100=10 ．
探究新知
6.1 平方根
（2） 49 ； 64
解：（2）因为 （7）2 49 ， 8 64
所以 49 的算术平方根是 7 ．
3
66
x
3
y
4z
7 3
3
7 6
4
35 6
175 6
.
课堂小结
算术平方根的概念
6.1 平方根
算术平 方根
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
课后作业
作业 内容
6.1平方根(第1课时) 教学设计
6.1平方根(第1课时）教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根，能化简某些带根号的数，掌握计算根式范围的方法;3.通过学习算术平方根，提升学生的数感和符号感，发展抽象思维;4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.教学重点表示正数的算数平方根教学难点√2多大探究教学过程一、情景引入讲述数学史第一次数学危机：的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
二、新知探究活动一：算数平方根探究：问题1：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?说一说，你是怎样算出来的？因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm.问题2：完成表1：正方形的边长/dm 1 3 9 2 3正方形的面积/dm²1 9 81 49思考：你能从表1发现什么共同点吗？已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算问题3：完成表2：正方形的面积/dm² 4 49 0.36964正方形的边长/dm 2 7 0.6 3 8思考：你能从表2发现什么共同点吗？表1与表2中两种运算有什么关系？已知一个正数的平方，求这个正数；互为逆运算归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。
人教版七年级数学下册实数《平方根(第1课时)》示范教学设计
平方根（第1课时）教学目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根．2．了解求一个非负数的平方运算与求一个非负数的算术平方根互为逆运算的关系，会通过平方运算求某些非负数的算术平方根．教学重点通过平方运算求某些非负数的算术平方根．教学难点通过平方运算求某些非负数的算术平方根．教学过程新课导入【问题】学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？【师生活动】学生思考，教师追问：你一定会算出边长应取5 dm，说一说，你是怎样算出来的？【答案】因为52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm．【设计意图】从学生已知的正方形面积入手，让学生能根据面积求边长，为下文探究算术平方根做准备．新知探究一、探究学习【问题】填表：你能指出它们的共同特点吗？【师生活动】学生独立回答，教师引导补充．【答案】填表如下：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题．【新知】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a=，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0．=（x≥0），则x所以，若2x a【设计意图】由正方形的边长与面积的关系引出算术平方根和被开方数的概念，让学生更容易理解和记忆．【思考】由2x a=和x=（1）a的取值范围是什么？（2）算术平方根x的取值范围是什么？【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．【答案】（1）a是非负数，即a≥0．（20，x≥0．【新知】非负数的算术平方根是非负数．负数不存在算术平方根，即当a＜0【设计意图】通过回顾平方数和算术平方根的概念，得出被开方数和算术平方根的非负性，巩固学生对新知的理解．二、典例精讲【例1】求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）4964；（3）0.000 1．【答案】解：（1）因为210100=，所以100的算术平方根是10．（2）因为2749864⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以4964的算术平方根是7878．（3）因为20.010.0001=，所以0.000 1的算术平方根是0.01． 【归纳】被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立． 【思考】通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？【答案】平方运算【新知】求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为求一个非负数的平方的运算．【设计意图】检验学生对算术平方根的掌握情况，让学生知道求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算． 【例2】求下列各式的值：（1（2（3．【答案】解：（1；（235；（3． 【新知】（1）在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，则a 的算术平方根就不带根号：若a 不是有理数的平方，则a（2）求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算．熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．【设计意图】进一步检验学生对算术平方根的掌握情况，总结求算术平方根的规律和技巧．【例3】计算：(－1)2 023－|－5|×(－6) 【答案】解：原式＝－1－5×(－6)＋7＝－1＋30＋7 ＝36．【新知】综合计算题的运算顺序：解决综合计算题要从高级运算到低级运算，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 【设计意图】通过该例，让学生清楚综合计算的运算顺序．【例4】已知21(2)02x y -++，求x ＋y ＋z 的值．【答案】解：21(2)02x y -++， 由绝对值、平方及算术平方根的非负性知 102x -=，y ＋2＝0，302z +=， 得x ＝12，y ＝－2，z ＝32-， 所以x ＋y ＋z ＝12－2－32＝－3． 【新知】“几个非负数的和为0”问题的解决方法：目前学过的典型的非负数有a 2，|b |和为0，则每一个非负数均为0，即若a 2＋|b |0，则a 2＝0，|b |＝00． 【设计意图】检验学生对算术平方根非负性的掌握情况，总结“几个非负数的和为0”问题的解决方法．课堂小结板书设计一、算术平方根的相关概念二、算术平方根的非负性三、算术平方根的应用课后任务完成教材第41页练习1题．。
第1课时 算术平方根
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100
（2）4694
（3）0.0001
解：（1）因为102=100， 所以100的算术平方根是10， 即 100 =10.
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100
（2）4694
（3）0.0001
2解：（2）因为7 8 =第六章 实数
6.1 平方根 第1课时 算术平方根
R·七年级下册
• 学习目标： 知道什么是算术平方根及其符号表示方法，会
求一个数的算术平方根.
情景导入
学校要举行美术 作品比赛，小鸥想裁出一 块面积为25 dm2的正方形 画布，画上自己的得意之 作参加比赛，这块正方形 画布的边长应取多少？
探究新知
课堂小结
a = x a的算术平方根
被开方数 0的算术平方根是0.
5.计算： 32 =__3__， 0.72 =_0_._7_， 02 =__0__，
(6)2
=__6__，
(
3 )2 4
=__43__.
（1）根据计算结果，回答 a2 一定等于a吗？你 发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来.
除此以外，将本文件任何内容用于其他用途时，应获 得授权，如发现未经授权用于商业或盈利用途将追加侵权 者的法律责任。
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练习
1.求下列各数的算术平方根：
（1）0.0025 （2）81 （3）32
解：（1） 0.0025 =0.05 （2） 81 =9 （3） 32 =3
2.求下列各式的值：
（1） 1
（2）
9 25
=1
=3
5
1.1 平方根 第1课时
=4， 的算术平方根是2 ⑤∵ 16 =4，22 =4 ∴ 16的算术平方根是2，即
1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？ 1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？ 下列各式中哪些有意义
5;− 3; −3;
答：有意义的是
(−3)
(−3)2
2
;
5
无意义的是
− 3
−3
∴2x − 3y + z = 4 − 9 + 4 = −1
3.（2010·宁波中考）实数4 3.（2010·宁波中考）实数4的算术平方根是0·成都中考） x,y为实数， 4.(2010·成都中考）若x,y为实数，且 x + 2 + y −3 = 0 成都中考 为实数 则
(x + y)
5dm
0.25 0.5
一般地，如果一个正数x的平方等于a,即 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即 a,
=a,那 x=a,那
2
么这个正数x叫做a的算术平方根。 么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记 为 读作“根号a”， 叫做被开方数。 a” a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
x x ）， 即： 2 = a（ > 0 x a的算术平方根， 叫做 的算术平方根， x 记作： = a 记作：
2010
1 的值为_____． 的值为_____． _____
看谁能很快记住1 看谁能很快记住11到20的平方？ 20的平方？ 的平方
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
x
2
= a（ > 0） x ，
叫 a的 术 方 ， x 做 算 平 根 作 x= 记 ： a
平方根第1课时课件人教版七年级数学下册
因为1.412=1.9981,1.422=2.0164，所以1.41< 2 <1.42
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以1.414< 2 <1.415．
······
如此进行下去，可以得到 2 的更精确的近似值.
三、概念剖析
思考：你能计算出 2 的值吗？
按键顺序：
正方形的面积/dm2 1 正方形的边长/dm 1
9
16 36
4
25
2
3
46
5
思考：你能从表格中发现什么共同点吗？
上面的问题，实际上是已知一个数的平方，求这个正数的问题.
三、概念剖析
新知
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就
叫做 a 的算术平方根，a 的算术平方根记作“ a ”，读作“根号 a ”，a
【当堂检测】
3.在计算器上按键
正确的是 （ B ）
A. 3
B. －3
C. －1
，下列计算结果 D. 1
【当堂检测】
4.某地新建一个以环保为主题的公园,开辟了一块长方形的荒地,已知这 块荒地的长是宽的3倍,它的面积为600000m2,那么公园的宽约为B( )
A．320m B．447m C．685m D．320m或447m 解析：设长方形的宽为x，长则为3x， 建立方程式：x·3x＝600000，
五、课堂总结
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就
叫做 a 的算术平方根，a 的算术平方根记作“ a ”，读作“根号 a ”，a
叫做被开方数．
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即 0 0 ．
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解:设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm. 由题意,得 3x· 2x=300 已知正方形纸片的边长 6x2=300 只有20cm,这样长方形 2=50 x 纸片的长将大于正方形 x= 50 因此长方形纸片的长为 3 50cm 纸片的边长. 答:不能同意小明的说法. ∵50>49, ∴ 50 >7 小丽不能用这块正方形 ∴3 50 >21 纸片裁出符合要求的 即长方形纸片的长应该大于21cm. 长方形纸片
25
0.81
0
例2：求下列各数的算术平方根， 1 81 (2）（ 25） （3） (1) 2 4
2
练习：求下列各数的算术平方根， （ ） 0.0001 1 1 （2）（ 2.6） （3） 6 4
2
例3：求下列各式的值。 9 （ ） 1 （2） （3） 2 2 1 25 1 2 （4） 6 8 （5） 6 （6） 个相同的小正方形，
剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？ 如果小正方形的边长是1， 那大正方形的边长是多少呢？ 解:设大正方形的边长为x, 则 x2=2 由算术平方根的意义可知 x= 2
答:大正方形的边长为 2 .
小正方形的对角线 的长是多少呢?
你知道 2有多大吗?
问题：学校要举行美术作品
比赛，小鸥很高兴，他想裁出 一块面积为25dm2的正方形画布， 画上自己的得意之作参加比赛， 这块正方形画布的边长应取多 少？
正方形 的面积 1 9 16 36 0.25
边长
1
3
4
6
0.5
一般地，如果一个正数x的平方等于 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
2
即：x a（x 0 ），
2
x叫做a的算术平方根， 记作：x a
特殊：0的算术平方根是0。记作：0 0
学以致用
例1 求下列各数的算术平方根：
49 （1）100 （2）64 （3）0.0001 解：（1）因为 10 =100，所以100的算术平方根为10， 即 100 =10。
2
补充练习：
1.81的算术平方根是 ； 的算术平方根是 81 。
2.算术平方根是 的数是 9 。
3. 36的算术平方根是 。
4. （ 3 的算术平方根等于 ） 。
2
思考：
1.下列各式哪些有意义，哪些没 有意义？ （1）- 4 （2） 4 （3） 3 （4） 3 2
1 2 2
2
2
2 1.41421356
无限不循环小数
逼 1.42 2 1.52 近 法 1.4 2 1.5
1.41 2 1.42
2 2
1
22
1.41 2 1.42
1.4142 2 1.4152
1.414 2 1.415
49 49 7 （2）因为 = ，所以 的算术平方根是 8 64 64 7 7 49 8 ，即 64 = 8
2
2
（3）因为 0.01 =0.0001,所以0.0001的算术平方 根为0.01,即 0.0001 =0.01。
练习：求下列各数的算术平方根. （ ） （2） （3）.00025 1 121 3 0
2
判断： （1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根； （5）-5是-25的算术平方根。
12 你能根据等式： =144说出 144的算术平方根是多少吗？ 并用等式表示出来。
2
下列式子表示什么意思？你 能求出它们的值吗？
感言发表
这是一节非常重要的课。
1、你获得了哪些新的知识？
2、你存在哪些问题？
课后作业:
（1）习题1３.１
１．
（2）试用“逼近法”确定
3
的大小？
（3）在 a 中的字母 a 的取值有何限制条件？
谢 谢