湘教版高中数学必修四知识点总结
解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222 A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C ===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：，，； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 8、余弦定理：在C ?AB 中，有 2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 9、余弦定理的推论：，，． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC= 10，则AB AC ?= ( ) A ．23 - B ．32- C ．32 D ． 23 【答案】D 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知 66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理， 即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222?-+=， x x 6 636223852??++=，解得1=x ，（舍去） 故BC =2，从而3 28cos 2222=?-+=B BC AB BC AB AC ，即又， 故， 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。 答案：000018030B A A A ><<=∴，且，∴ 题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005年北京春季高考题)在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)． 解法2：由题意，得cos B ＝，再由余弦定理，得cos B ＝． ∴ ＝2c a ，即a 2＝b 2 ，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角， 再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 3.在△ABC 中，若a b A B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。 答案：故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。 答案：△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 题型之三：解决及面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 1. (2005年全国高考上海卷) 在ABC ?中，若120A ∠=，5AB =，7BC =， 则ABC ?的面积S ＝_________ 2．在?ABC 中，sin cos A A +=2 2，AC =2，AB =3，求A tan 的值和?ABC 的面积。 答案：S AC AB A ABC ?=?=???+=+12122326434 26sin () 3. （07浙江理18）已知 ABC △的周长为 1，且 sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得 1AB BC AC ++= ，BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()2122 AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =． 题型之四：三角形中求值问题 1. (2005年全国高考天津卷) 在ABC ?中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和，求A ∠和B tan 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 解：由余弦定理2 12cos 222=-+=bc a c b A ，因此，?=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理B B B C b c sin )120sin(sin sin 32 1-?===+ ,2 1cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=?-?=B B B B 解得,2cot =B 从而 2．ABC ?的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。 解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A 2 。 cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32 ； 当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32 。 3．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知，（1）求的值；（2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值。 解析：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝ ，，所以cosA ＝13 ， 则 22222B C sin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 2 1cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－ （2）ABC ABC 1122S 2S bcsin A bc 22因为＝，又＝＝bc ＝3。 将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b 代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中， 得42b 6b 90－＋＝解得b 3 点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。 4．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，． （Ⅰ）若ABC △3，求a b ，； （Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △ 4ab =． ····· 4分 联立方程组解得2a =，2b =． ············· 6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =， ··············· 8分 当cos 0A =时，，，，， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =， 联立方程组解得，． 所以ABC △的面积． ················ 12分 题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 1. 如图1所示，为了测河的宽 度，在一岸边选定A 、B 两点， 望对岸标记物C ，测得 ∠CAB=30°，∠CBA=75°， AB=120cm ，求河的宽度。 分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的 图1 A B C D