精品解析：河北省衡水中学2019届高三年级六调考试理科数学试题(解析版)
10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，
如此类推.设由正 边形“扩展”而来的多边形的边数为 ，则
（）
A. ；
B. ；
C. ；
D.
【答案】A 【解析】
，猜想
,
,
,故选 A.
11.过椭圆
上一点 作圆
的两条切线，点 ， 为切点，过 ， 的直线 与 轴， 轴分别
的直观图
，设
的面积为 ，
的面积为 ，记
，其中
轴，
轴.若
，执行如图②的框图，则输出 的值
A. 12 【答案】A
B. 10
C. 9
D. 6
【解析】 【分析】 由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出 S 及 k 值，模拟程序的运行过程，分析变量 T 的值与 S 值的关 系，可得答案． 【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3， ∴S′ A′B′•B′C′•sin45° 由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC 中，AB＝6．BC＝3，且 AB⊥BC ∴S AB•BC＝9
8.双曲线 的左右焦点分别为 ， ，且 恰为抛物线
的焦点，设双曲线 与该抛物线的一个交点为 ，
若
是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
试题分析：∵
，∴焦点为 ，即 ，∵
，∴
，
即
，∴
，则
，即
，∴
．
考点：抛物线的标准方程及几何性质．
9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的
，∴
，∴
，故选 C
考点：本题考查了复数的运算 点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题
2.已知集合 A. 【答案】C 【解析】
， B.
试题分析：由
得
考点：集合间的关系. 【此处有视频，请去附件查看】
，则下列结论中正确的是（ ）
C.
D.
，故 ，选项为 C.
3.已知 的面积为 2，在 为（ ）
则由 S＝kS′得 k＝2 ，则 T＝T
（m﹣1）＝T 2（m﹣1）
故执行循环前，S＝9，k＝2 ，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2 当 T＝0，m＝2 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3 当 T＝2，m＝3 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4 当 T＝6，m＝4 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5 当 T＝12，m＝5 时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12， 故输出的结果为 12 故选：A． 【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分 析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如 果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结 果，选择恰当的数学模型③解模．
【详解】
，
，
，
∵6π＞0，
∴a，b，c 的大小比较可以转化为
的大小比较．
设 f（x） ，
则 f′（x）
，
当 x＝e 时，f′（x）＝0，当 x＞e 时，f′（x）＞0，当 0＜x＜e 时，f′（x）＜0 ∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减， ∵e＜3＜π＜4
∴
，
∴b＞c＞a， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和， 求解出面积再根据几何概型公式求得结果.
【详解】设正方形的边长为
则①处面积和右下角黑色区域面积相同 故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形 等腰直角三角形面积为： 直角梯形面积为：
所以 S△APQ
．
故选：B．
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．
4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，一个内角为 60°的菱形，俯视图为正方形，那 么这个几何体的表面积为（ ）
A.
B.
【答案】D
【解析】
C. 8
D. 4
试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，且一个内角为 的菱形，所以菱形的边
黑色部分面积为：
则所求概率为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.
6.定义运算：
，将函数
应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）
A.
B.
【答案】C 【解析】
试题分析：
，将函数
的图像向左平移
个单位，所得图像对
C.
D.
化为
再向左平移
（ ）个单位即为:
又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即 时函数值
2018～2019 学年度第二学期高三年级六调考试
理科数学试卷
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案
的序号填涂在答题卡上）
1.已知 ， ， 为虚数单位，且
，则
的值为（ ）
A. 4
B.
C. -4
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据复数相等的概念可知，
长为 ，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为 ，侧棱长为 ，所
以几何体的表面积为：
，故选 D．
考点：1、三视图；2、多面体的表面积． 【此处有视频，请去附件查看】
5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方 形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一 点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）
A.
B.
所在的平面内有两点 、 ，满足 C.
，
，则 的面积
D. 1
【答案】C 【解析】
【分析】
画出△ABC，通过 【详解】由题意
， 2 ，标出满足题意的 P、Q 位置，利用三角形的面积公式求解即可． 可知，P 为 AC 的中点， 2 ，可知 Q 为 AB 的一个三等分点，如图：
因为 S△ABC
2．
为最大或最小值,即
或
,所以
,义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.
7.已知
，
，
A.
B.
【答案】D
【解析】
【分析】
，则下列选项正确的是（ ） C.
由
，
，
，则 a，b，c 的大小比较可以转化为
D. 的大小比较．设 （f x） ，
则 f′（x）
，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．
河北省衡水中学2019届高三下学期六调数学(理)试题(含解析)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．4+4i C．﹣4D．2i2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A⊊B D．∁R A＝B3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）A．B．C．1D．24．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．85．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．29．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）A．12B．10C．9D．610．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1D．12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；③f（x）＝cos x；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤•≤1，0≤•≤1，则W＝•的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为．16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则．（写出所有正确结论的编号）①四面体ABCD每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sin A sin C＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），当•取最小值时，判断△ABC的形状．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且•＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]22．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．4+4i C．﹣4D．2i【分析】利用复数相等的性质求出x，y，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．【解答】解：∵x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，∴，解得x＝3，y＝1，∴（1+i）x+y＝（1+i）4＝（2i）2＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A⊊B D．∁R A＝B【分析】由x2﹣5x+6≥0，解得x≥3，x≤2，【解答】解：由x2﹣5x+6≥0，化为（x﹣2）（x﹣3）≥0，解得x≥3，x≤2，∴B ＝{x|x≥3，x≤2}，∴A⊊B，故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）A．B．C．1D．2【分析】画出△ABC，通过足，＝2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意可知，P为AC的中点，＝2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC＝＝2．所以S△APQ＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．8【分析】由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．【解答】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：，所以几何体的表面积为：＝4．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．5．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可．【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成，则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形，则对应概率P＝，故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键．6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】由题表达函数f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）；向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；利用新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．【解答】解：定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝化为：f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）再向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；又因为新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x＝0时函数值为最大或最小值，即：sin（﹣）＝1；或sin（﹣）＝﹣1；所以：﹣＝kπ+，k∈Z；即m＝2kπ+，k∈Z；又m＞0，所以m的最小值是：故选：C．【点评】本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象及性质．7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】由，，＝，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【解答】解：，，＝，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．2【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a 的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c＝1，又由已知得|AF2|＝|F1F2|＝2，而抛物线准线为x＝﹣1，根据抛物线的定义A点到准线的距离＝|AF2|＝2，因此A点坐标为（1，2），由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝＝+1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）A．12B．10C．9D．6【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【解答】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′＝A′B′•B′C′•sin45°＝由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S＝AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T＝（m﹣1）＝2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）A．B．C．D．【分析】先观察图形再结合归纳推理可得解．【解答】解：a3＝12，a4＝20，a5＝30，猜想a n＝n（n+1）（n≥3，n∈N+），所以＝＝，所以+…＝（））+（）+…+（）＝＝，故选：A．【点评】本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1D．【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B 为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S＝＝×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ＝1时，△POQ面积取最小值．【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；③f（x）＝cos x；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B （x2，y2由），使得、共线，即存在点A、B与点O共线，判断满足条件即可．【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1＝kx2，y1＝ky2取等号），又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线；设AB的方程为y＝kx，对于①，由于y＝kx（x＞0）与f（x）＝x+只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y＝kx与f（x）＝lnx（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A（﹣1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B．【点评】本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n}的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝••，令3﹣＝0，求得r＝2，故展开式的常数项为•＝．等比数列{a n}的第5项a5＝，可得a3a7＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤•≤1，0≤•≤1，则W＝•的最大值为4．【分析】利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P的坐标满足的不等式，将的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．【解答】解：由题得：，＝（x，y），＝（0，1），＝（2，3）．∵0≤≤1，0≤≤1．∴⇒∵＝2x+3y＝（2x+y）+2y；∴∈[0，4]．∴所求最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为4．【分析】利用及等比数列的通项公式即可得出a n，利用等比数列的前n项和公式即可得出，再化简即可得出答案．【解答】解：当n＝1时，a1+1＝2a1，解得a1＝1．当n≥2时，∵S n+1＝2a n，S n﹣1+1＝2a n﹣1，∴a n＝2（a n﹣a n﹣1），∴．∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴，∴．∴＝1+4+42+…+4n﹣1＝＝．∴．∴2n（2n﹣30）＜1，可知使得此不等式成立的n的最大值为4．【点评】熟练掌握及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则①③④．（写出所有正确结论的编号）①四面体ABCD每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【解答】解：由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确；由AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC，可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD的三边长，则④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，是基础题．三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sin A sin C＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），当•取最小值时，判断△ABC的形状．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b2＝ac．由正弦定理得sin2B＝sin A sin C．又sin A sin C＝，所以sin2B＝．因为sin B＞0，则sin B＝．因为B∈（0，π），所以B＝或．又b2＝ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B＝．（Ⅱ）因为向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），所以•＝﹣cos A+cos2A＝﹣cos A+2cos2A﹣1＝2（cos A﹣）2﹣，所以当cos A＝时，•取的最小值﹣．因为cos A＝，所以．因为B＝，所以A+B．从而△ABC为锐角三角形．【点评】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，求出AD＝CD，即可求AF的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG∥平面PAD，∵直线EF∥平面PAD，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG∥平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD＝CD．∵∠ADC＝120°，AB＝4，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，AD＝CD＝，∵∠DGF＝60°，DG＝，∴AF＝1（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C（2，2，0），D（0，，0），P（0，0，4）．＝（4，﹣，0）为平面PAC的法向量．设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则∵＝（2，2，﹣4），＝（4，0，﹣4），∴，令z＝3，得x＝3，y＝，则平面PBC的一个法向量为＝（3，，3），设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则cosθ＝＝．∴二面角A﹣PC﹣B余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．（3）分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．【解答】解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332．将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，所以中位数为×（647+687）＝667；（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，即S10＝10×8+＝4130；（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意可知x i＝8×7＝56，＝8×4＝32，y i＝16，＝2×1＝2，故样本平均数为＝×（x i+y i）＝×（56+16）＝7.2；样本方差为s2＝×[+]＝×{+}＝×[﹣0.4（x i﹣7）+8×0.22++1.6（y i﹣8）+2×0.82]＝×（32﹣0+0.32+2+0+1.28）＝3.56；所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【点评】本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且•＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的标准方程为+＝1．（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，则原点O到直线AB的距离为d＝，联立方程，化简得，（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，由△＞0得4k2﹣n2+3＞0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+n）（kx2+n）＝（k2+1）x1x2+kn（x1+x2）+n2＝t即（7d2﹣12﹣4t）k2+7d2﹣12﹣3t＝0对任意的k∈R恒成立，则，解得t＝0，d＝，当直线AB斜率不存在时，也成立．故当t＝0时，O点到直线AB的距离为定值d＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．【分析】（1）当a＝2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）先求得g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a的范围；（3）h′（αx1+βx2）＜0．理由：由题意可得，f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，化简可得m＝﹣（x1+x2），可得h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），由条件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）＝2lnx﹣x2，可得，函数f（x）在[，1]是增函数，在[1，2]是减函数，所以f（1）取得最大值，且为﹣1；（2）因为g（x）＝alnx﹣x2+ax，所以g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，即有a≥在（0，3）的最大值，由y＝的导数为y′＝＞0，则函数y＝在（0，3）递增，可得y＜，则a≥；（3）由题意可得，h′（x）＝﹣2x﹣m，又f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，∴2lnx1﹣x12﹣mx1＝0，2lnx2﹣x22﹣mx2＝0，两式相减，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）＝m（x1﹣x2），∴m＝﹣（x1+x2），于是h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣m＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．可得h′（αx1+βx2）＜0．要证：h′（αx1+βx2）＜0，只需证：﹣＜0，只需证：﹣ln＞0．（*）令＝t∈（0，1），∴（*）化为+lnt＜0，只证u（t）＝+lnt即可．∵u′（t）＝+＝﹣＝，又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，故有u（t）＜u（1）＝0，∴+lnt＜0，即﹣ln＞0．∴h′（αx1+βx2）＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]22．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．【分析】（1）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，【解答】解（1）∵P点的极坐标为，∴＝3，＝．∴点P的直角坐标把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x ﹣2y﹣7＝0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）化简f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≤x+10的解集．（Ⅱ）由题意可得f（x）在x∈[﹣1，5]上的最小值大于或等于g（x）的最大值．。
精品解析：河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试题(解析版)
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选 D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】 C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选 C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选 B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】 A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，从而将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选 A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】 D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选 D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】 C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选 C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】 D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选 D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，椎体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选 C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选 B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，x）=f′（x）﹣x，∵F′（且当x0时，f′（x）＜x，x）＜0对x＜0恒成立，∴F′（∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），x，∴x≤1﹣x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．x）=e x-，∵h′（∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试题(解析版)
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学〔理〕试题一、单项选择题 1．已知全集，集合和的关系的韦恩〔Venn 〕图如下列图，则阴影部分所示的集合的元素共有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个 【答案】C【解析】由题意首先求得集合M ，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可. 【详解】求解二次不等式可得，集合表示所有的偶数组成的集合，由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合，由于区间中含有的偶数为，故，即阴影部分所示的集合的元素共有3个. 此题选择C 选项. 【点睛】此题主要考查集合的表示方法，韦恩图与集合的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．设,,a b c R ∈，则“1abc =”是a b c a b c≤+=”的 A ．充分条件但不是必要条件， B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件 【答案】A【解析】当1abc =时，111abc abc abc ab bc ca a b c a b c++=++=++， 而()()()()2222a b c a b b c c a ab bc ca ++=+++++≥++〔当且仅当a b c ==，且1abc =，即a b c ==时等号成立〕，故111ab bc ca a b c a b c ++=++≤++；但当取2a b c ===,显然有111a b c a b c ++≤++,但1abc ≠,即由111a b c a b c++≤++不可以推得1abc =；综上， 1abc =是111a b c a b c++≤++的充分不必要条件.应选A. 【点评】此题考查充要条件的判断，不等式的证明.判断充要条件，其常规方法是首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件；来年需注意充要条件与其他知识〔如向量，函数〕等的结合考查3．如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，以下对统计图理解错误的选项是〔 〕A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 【答案】D【解析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B：2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.此题选择D选项.【点睛】此题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．设，满足约束条件，则的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解其取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如下列图，目标函数，其中表示可行域内的点与点连线的斜率，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点和点处取得临界值，在点处，目标函数，在点处，目标函数，即的取值范围是.此题选择A选项.【点睛】(1)此题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．5．某几何体的三视图如下列图，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：，故选B.【点睛】〔1〕求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；〔2〕假设所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、分割法、补形法等方法进行求解.6．已知为等比数列,,,则〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：，由等比数列性质可知【考点】等比数列性质7．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的周长是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】设外接圆的圆心为，则由抛物线的定义可知在抛物线上，由可知在的垂直平分线上，故可得的坐标，从而得到外接圆的半径后可得外接圆的周长.【详解】设外接圆的圆心为，则到准线的距离与到的距离相等，故在抛物线上，又，故，所以，，所以周长为.故选B.【点睛】坐标平面上的圆的周长、面积计算等问题，关键是确定圆心坐标和半径，特别地，当圆与圆锥曲线相关时，应注意利用圆锥曲线的定义去找寻所求圆的圆心坐标和半径. 8．函数的图象大致为〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图像.【详解】当时，，则，由于恒成立，故，函数在区间上单调递增，据此排除选项D；当时，，则，由于恒成立，故，函数在区间上单调递减，据此排除选项AB；此题选择C选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．用0与1两个数字随机填入如下列图的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可.【详解】由题意可知，填写的可能结果共有如下32种：00000，00001，00010，00011，00100，00101，00110，00111，01000，01001，01010，01011，01100，01101，01110，01111，10000，10001，10010，10011，10100，10101，10110，10111，11000，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，其中满足题意的有10种：10101，10110，10111，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.此题选择B选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本领件总数和所求事件包含的基本领件数．(1)基本领件总数较少时，用列举法把所有基本领件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10．设，，在，，，中，正数的个数是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：∵∴全是正数.【考点】三角函数的周期.11．已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得到满足的关系式，然后结合题意分类讨论确定ω的最大值即可.【详解】由题意知，则，其中，又f(x)在〔，〕上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间〔，〕包含的周期应最多，所以，得0<≤30，即，所以k≤19.5.分类讨论：①.当k=19时，，此时可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；②.当k=18时，，此时可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；③.当k=17时，，此时可使成立，当时，，当且仅当时，都成立，综上可得：ω的最大值为.此题选择C选项.【点睛】此题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于难题.12．已知函数，数列满足，，假设要使数列成等差数列，则的取值集合为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由绝对值的意义可知的分段函数式，再对范围内按照区间进行分情况讨论，即可得到的取值范围.【详解】因为，所以假设数列成等差数列，则当为直线与直线交点横坐标时，即.此时数列以为首项，为公差的等差数列；当，即或即或，数列以为公差的等差数列，因此的取值集合为.【点睛】分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要弄清楚自变量的范围是否在发生变化，即“分段函数分段处理”.二、填空题13．已知单位向量的夹角为，则__________．【答案】1【解析】根据条件可以求出、、，将平方，再算出正平方根即可得到答案.【详解】由条件可知，，，，所以【点睛】此题考查向量模的运算，平面向量数量积的性质：设和都是非零向量，则〔1〕；〔2〕当与同向时，，或，〔3〕.14．在的展开式中，含的项的系数是__________．【答案】12【解析】由题意结合评论中知识确定含的项的系数即可.【详解】由题意可知，展开式中含有的项为：，则含的项的系数是12.【点睛】此题主要考查二项式系数的计算，排列组合知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知三棱锥满足底面，是边长为的等边三角形，是线段上一点，且.球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，假设所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的外表为__________．【答案】【解析】将三棱锥P—ABC补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为，设球的半径为R，PA=2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即O=x，连接C，则C=4，，在三角形ABC中，取AB的中点为E，连接D，E，则在直角三角形O D中，由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r,则最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，，如图三，球的外表积为故答案为：100 .睛：此题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线〔这两个多边形需有公共点〕，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16．已知双曲线，圆.假设双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最大值时，的实轴长为__________．【答案】【解析】首先利用直线与圆相切确定a,b的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可.【详解】双曲线的一条渐近线方程为：，圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：，据此可知：，则，故，令，则，由导函数与原函数的单调性的关于可知：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值时，此时的实轴长为.【点睛】此题主要考查双曲线的性质，导函数研究函数的单调性与最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．如下列图，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.〔1〕当时，求防护网的总长度；〔2〕为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？【答案】(1)；〔2〕当时，最小值为.【解析】〔1〕证明为正三角形，可得的周长为9，即防护网的总长度为9km；〔2〕设，在和中使用正弦定理求出，，得出的面积关于的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值.【详解】〔1〕在中，，，，，在中，，，，由余弦定理，得，，即，，为正三角形，所以的周长为9，即防护网的总长度为.〔2〕设，,,又在中，由，得，在中，由，得，，当且仅当，即时，的面积取最小值为.【点睛】解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题的一般步骤是：〔1〕分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；〔2〕根据题意画出示意图；〔3〕将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解，演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答；〔4〕检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.〔1〕根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；〔2〕假设每天再微信超过4个小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？【答案】〔1〕4.76；〔2〕有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关【解析】试题分析：〔1〕由频率直方图中各概率乘以各方块中点频率相加后即得；〔2〕从频率直方图中可计算出“微信控”和“非微信控”的男女生人数，再计算出可得．试题解析：(1)女性平均使用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76.(2)2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.由题设条件得列联表：性别微信控非微信控总计男性381250女性302050总计6832100所以K2＝＝≈2.941＞2.706.所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，，.〔1〕假设为棱的中点，求证：平面；〔2〕当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；〔3〕在第〔2〕问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕；〔3〕当最大时，点N在线段CD上，且．【解析】〔1〕取线段SC的中点E，根据中位线定理即可证明，因而得到AMED为平行四边形，即可证明平面SCD．〔2〕建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，因而可以求得平面AMC和平面SAB 的法向量，利用法向量的数量积求得平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值即可。
2018-2019学年度衡水中学高三第六次诊断考试数学(理)试题含答案
2018-2019学年度衡水中学高三第六次诊断考试数学（理科）试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．设全集Q ＝{x|2x 2－5x≤0，x ∈N}，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是( )A ．3B ．4C ．7D ．82．已知复数()为虚数单位i R a aii i a z ,52122∈-+-=,若z 是纯虚数，则a 的值是 （ ）A.+lB.0或1C.-1D.03．已知等差数列{a n }满足a 1+a 3 +a 5=12，a 10 +a 11+a 12= 24，则{a n }的前13项的和为 ( ) A ．12 B ．36 C ．78 D ．156 4．有下述命题①若0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f 在),(b a 内必有零点；②当1>a 时，总存在R x ∈0，当0x x >时，总有x x a a n x log >>； ③函数)(1R x y ∈=是幂函数；其中真命题的个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、35．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x≥0时,f(x ）=x 2+ 2x+ mcosx ，记a= -3f(-3)，b=- 2f(-2)， c= 4f(4)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A.b <a <c B.a<c<b C ．c<b<a D ．a<b<c6．函数f （x ）=的图象大致为（ ）A. B ． C ． D ．7. 已知公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，000<⋅+m n n S S 恒成立，则下列结论不一定成立的是（ ）A. 01<d aB. ||n S 有最小值C. 0100>⋅+n n a aD. 02100>⋅++n n a a 8．已知函数(x)= sin2x -2cos 2x ，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x 1)·g(x 2)=-4，则|x 1-x 2|的值可能为 ( )A ．B ．C ． D. π9．已知、为非零向量，则“⊥”是“函数)()()(a b x b a x x f -∙+=为一次函数”的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10.矩形ABCD 中， 2AB =， 1BC =， E 在线段BC 上运动，点F 为线段AB 的中点，则·DE EF 的取值范围是（ ）A. 7,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,4⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦C. 72,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. [)2,+∞11. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤->=1,451,ln 2x x x x x f ，存在x 1,x 2,……,x n , 满足()()()m x x f x x f x x f nn ==== 2211，则当n 最大时，实数m 的取值范围是 （ ）A ．（ ， ）B ．（， ）C ．[， ）D ．[， ）12.已知数列{a n }的首项a 1=1，函数()()122cos 14+-+=+n n a x a x x f 有唯一零点，则通项a n = （ ）A 、13-n B 、12-n C 、12-n D 、23-n第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置， 13.若()()dx x f x x f ⎰+=012，则()dx x f ⎰01= 。
河北省衡水中学2019届高三年级六调考试理科数学试题(解析版)
2018～2019学年度第二学期高三年级六调考试
理科数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案
的序号填涂在答题卡上）
1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）
A. 4
B.
C. -4
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选 C
考点：本题考查了复数的运算
点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题
2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由得，故，选项为 C.
考点：集合间的关系.
【此处有视频，请去附件查看】
3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
画出△ABC，通过，2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：
因为S△ABC2．
所以S△APQ．
故选：B．
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．
4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）
A. B. C. 8 D. 4
【答案】D
【解析】
试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边。
2018-2019学年河北省衡水中学高三(下)六调数学试卷(理科)(5月份)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x −2)i −y =−1+i ，则(1+i)x+y 的值为( )A. 4B. 4+4iC. −4D. 2i2. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−5x +6≥0}，则下列结论中正确的是( )A. A ∩B =BB. A ∪B =AC. A ⊊BD. ∁R A =B3. 已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P 、Q ，满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△APQ 的面积为( ) A. 12B. 23C. 1D. 24. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A. 2√3B. 4√3C. 4D. 85. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )A. 316B. 38 C. 516D. 7166. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x21sin x 2∣∣∣∣∣的图象向左平移m(m >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A. π3B. 2π3 C. 4π3 D. 7π37. 已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3lnπ2，则下列选项正确的是( )A. a >b >cB. c >a >bC. c >b >aD. b >c >a8. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. √2 B. 1+√2 C. 1+√3 D. 2+√39. 如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′，其中A′B′//y′轴，B′C′//x′轴．若A′B′=B′C′=3，设△ABC 的面积为S ，△A′B′C 的面积为S′，记S =kS′，执行如图②的框图，则输出T 的值( )A. 12B. 10C. 9D. 610. 如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来，第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为a n ，则1a 3+1a 4+1a 5+⋯+1a 99=( )A. 97300B. 97100C. 3100D. 110011. 过椭圆x 29+y 24=1上一点H 作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分布交于点P ，Q 两点，则△POQ 面积的最小值为( )A. 12B. 43C. 1D. 2312. 若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0，则称f(x)为“柯西函数”，则下列函数：①f(x)=x +1x (x >0)； ②f(x)=lnx(0<x <e)； ③f(x)=cosx ； ④f(x)=x 2−1.其中为“柯西函数”的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等比数列{a n }的第5项是二项式(√x −13x )6展开式的常数项，则a 3a 7=______． 14. 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,12)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x,y)满足不等式0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，则W =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______． 15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +1=2a n ，则使不等式a 12+a 22+⋯+a n 2<5×2n+1成立的n 的最大值为______．16. 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB =CD ，AC =BD ，AD =BC ，则______.(写出所有正确结论的编号)①四面体ABCD 每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，．且sinAsinC=34(Ⅰ)求角B的大小；,1)，当m⃗⃗ ⋅n⃗取最小值时，判断△ABC的(Ⅱ)设向量m⃗⃗ =(cosA,cos2A)，n⃗=(−125形状．18.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°．(1)求证：BD⊥PC；(2)设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF//平面PAD，求AF的长；(3)求二面角A−PC−B的余弦值．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．(1)若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05269370602235851513920351597759567806835291057074079710882309984299646171629915065129169358 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43(2)若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和： (3)若采用分层轴样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层，且样本中A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B 题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，∠F 1MF 2=60°，P 为椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的面积的最大值为√3．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点A ，B 为椭圆C 上的两个不同的动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(O 为坐标原点)，则是否存在常数t ，使得O 点到直线AB 的距离为定值？若存在，求出常数t 和这个定值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2．(1)当a =2时，求函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)令g(x)=f(x)+ax ，若y =g(x))在区间(0,3)上为单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当a =2时，函数ℎ(x)=f(x)−mx 的图象与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，且0<x 1<x 2，又ℎ′(x)是ℎ(x)的导函数．若正常数α，β满足条件α+β=1，β≥α.试比较与0的关系，并给出理由．22. 选修4−4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2√3,π6)，曲线C 的极坐标方程为ρ2+2√3ρsinθ=1． (Ⅰ)写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；(Ⅱ)若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：{x =3+2ty =−2+t (t 为参数)距离的最小值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −5|，x ∈R ．(Ⅰ)求不等式f(x)≤x +10的解集；(Ⅱ)如果关于x 的不等式f(x)≥a −(x −2)2在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x −2)i −y =−1+i ， ∴{x −2=1−y =−1，解得x =3，y =1， ∴(1+i)x+y =(1+i)4=(2i)2=−4． 故选：C ．利用复数相等的性质求出x ，y ，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果． 本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：由x 2−5x +6≥0，化为(x −2)(x −3)≥0，解得x ≥3，x ≤2，∴B ={x|x ≥3,x ≤2}， ∴A ⊊B ， 故选：C ．由x 2−5x +6≥0，解得x ≥3，x ≤2，本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知，P 为AC 的中点，QA⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图： 因为S △ABC =12AB ⋅ACsinA =2．所以S △APQ =12AP ⋅AQsinA =12×12AB ⋅23ACsinA =23．故选：B ．画出△ABC ，通过足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，标出满足题意的P 、Q 位置，利用三角形的面积公式求解即可．本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力． 4.【答案】C【解析】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成， 底面边长为1，侧棱长为：√52，所以几何体的表面积为：8×12×1×1=4．故选：C ．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键． 根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可． 【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成， 则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形， 则对应概率P =716， 故选D ．6.【答案】C【解析】解：定义运算：∣∣∣a 1a 2a3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x21sin x 2∣∣∣∣∣化为： f(x)=√3sin x 2−cos x 2=2sin(x −π6)再向左平移m(m >0)个单位即为：g(x)=f(x +m)=2sin(x+m 2−π6)；又因为新函数g(x)为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x =0时函数值为最大或最小值，即：sin (m2−π6)=1；或sin (m2−π6)=−1； 所以：m2−π6=kπ+π2，k ∈Z ；即m =2kπ+4π3，k ∈Z ；又m >0，所以m 的最小值是：4π3 故选：C ．由题表达函数f(x)=√3sin x2−cos x2=2sin(x −π6)；向左平移m(m >0)个单位即为：g(x)=f(x +m)=2sin(x+m 2−π6)；利用新函数g(x)为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象及性质． 7.【答案】D【解析】【分析】 由a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，则a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．设f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题． 【解答】 解：a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π>0，∴a，b，c的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．设f(x)=lnxx，则，当x=e时，，当x>e时，，当0<x<e时，0'/> ∴f(x)在(e,+∞)上，f(x)单调递减，∵e<3<π<4，∴ln33>lnππ>ln44=ln22，∴b>c>a，故选：D．8.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标(1,0)，所以双曲线中，c=1，又由已知得|AF2|=|F1F2|=2，而抛物线准线为x=−1，根据抛物线的定义A点到准线的距离=|AF2|=2，因此A点坐标为(1,2)，由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e=ca =2c2a=|F1F2||AF1−AF2|=2√2−2=√2+1．故选：B．求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′=B′C′=3，∴S′=12A′B′⋅B′C′⋅sin45°=9√24由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB=6.BC=3，且AB⊥BC∴S=12AB⋅BC=9则由S=kS′得k=2√2，则T=T=√22k(m−1)=2(m−1)故执行循环前，S=9，k=2√2，T=0，m=1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=0，m=2当T=0，m=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=2，m=3当T=2，m=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=6，m=4当T=6，m=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=12，m=5当T=12，m=5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T=12，故输出的结果为12故选：A．由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 10.【答案】A【解析】解：a 3=12，a 4=20，a 5=30，猜想a n =n(n +1)(n ≥3,n ∈N +)， 所以1a n=1n(n+1)=1n −1n+1，所以1a 3+1a 4+1a 5+⋯+1a 99=(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯+(199−1100)=13−1100=97300，故选：A ．先观察图形再结合归纳推理可得解．本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题． 11.【答案】D【解析】解：∵点H 在椭圆x 29+y 24=1上，∴H(3cosθ,2sinθ)，∵过椭圆x 29+y 24=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，∴直线AB 的方程为：(3cosθ)x +(2sinθ)y =2，∵过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分布交于点P ，Q 两点， ∴P(23cosθ,0)，Q(0,1sin θ)，∴△POQ 面积S =12×23cosθ×1sin θ=23×1sin2θ，∵−1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ 面积取最小值23． 由点H 在椭圆x 29+y 24=1上，知H(3cosθ,2sinθ)，由过椭圆x 29+y 24=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，知直线AB 的方程为：(3cosθ)x +(2sinθ)y =2，由此能求出△POQ 面积最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 12.【答案】B【解析】解：由柯西不等式得：对任意实数x 1，y 1，x 2，y 2：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≤0恒成立(当且仅当存在实数k ，使得x 1=kx 2，y 1=ky 2取等号)，又函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0， 则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即存在点A 、B 与点O 共线；设AB 的方程为y =kx ，对于①，由于y =kx(x >0)与f(x)=x +1x 只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y =kx 与f(x)=lnx(0<x <e)最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A(0,0)，点B 任意，均满足定义，所以③是柯西函数； 对于④，取A(−1,0)，B(1,0)，均满足定义，所以④是柯西函数． 故选：B ．由“柯西函数”得函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2由)，使得OA⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即存在点A 、B 与点O 共线，判断满足条件即可． 本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．13.【答案】259【解析】解：二项式(√x −13x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−13)r ⋅x 3−3r2，令3−3r 2=0，求得r =2，故展开式的常数项为C 62⋅19=53．等比数列{a n }的第5项a 5=53，可得a 3a 7=(a 5)2=259，故答案为：259．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n }的第5项，再利用等比数列的性质求得a 3a 7的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题． 14.【答案】4【解析】解：由题得：OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)． ∵0≤OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1． ∴{0≤ x +12y ≤ 10≤y ≤1⇒{0≤2x +y ≤20≤y ≤1 ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +3y =(2x +y)+2y ； ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,4]． ∴所求最大值为4． 故答案为：4．利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P 的坐标满足的不等式，将 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质． 15.【答案】4【解析】解：当n =1时，a 1+1=2a 1，解得a 1=1．当n ≥2时，∵S n +1=2a n ，S n−1+1=2a n−1，∴a n =2(a n −a n−1)，∴ana n−1=2．∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴a n =2n−1，∴a n 2=4n−1．∴a 12+a 22+⋯+a n 2=1+4+42+⋯+4n−1=4n −14−1=13(4n −1).∴13(4n −1)<5×2n+1．∴2n (2n −30)<1，可知使得此不等式成立的n 的最大值为4．利用a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2及等比数列的通项公式即可得出a n ，利用等比数列的前n 项和公式即可得出a 12+a 22+⋯+a n2，再化简即可得出答案． 熟练掌握a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．16.【答案】①③④【解析】解：由题意可知四面体ABCD 为长方体的面对角线组成 的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确； 当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直， 则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线 必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确； 由AC =BD ，AB =CD ，AD =BC ，可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD 的三边长，则④正确． 故答案为：①③④．由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为a 、b 、c 成等比数列，则b 2=ac.由正弦定理得sin 2B =sinAsinC ． 又sinAsinC =34， 所以sin 2B =34． 因为sinB >0， 则sinB =√32．因为B ∈(0,π)， 所以B =π3或2π3．又b 2=ac ，则b ≤a 或b ≤c ，即b 不是△ABC 的最大边， 故B =π3．(Ⅱ)因为向量m ⃗⃗ =(cosA,cos2A)，n ⃗ =(−125,1)，所以m⃗⃗ ⋅n ⃗ =−125cosA +cos2A =−125cosA +2cos 2A −1=2(cosA −35)2−4325，所以当cosA=35时，m⃗⃗ ⋅n⃗取的最小值−4325．因为12<cosA=35<√32，所以π6<A<π3．因为B=π3，所以A+B>π2．从而△ABC为锐角三角形．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；(Ⅱ)根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.【答案】(1)证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．(2)解：取DC中点G，连接FG，则EG//平面PAD，∵直线EF//平面PAD，EF∩EG=E，∴平面EFG//平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG//平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120°，AB=4，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=4√33，∵∠DGF=60°，DG=2√33，∴AF=1(3)解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B(4,0，0)，C(2,2√3,0)，D(0,4√33,0)，P(0,0，4)． DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−4√33,0)为平面PAC 的法向量． 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则 ∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,−4)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，−4)， ∴{2x +2√3y −4z =04x −4z =0， 令z =3，得x =3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(3,√3,3)， 设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cosθ=n⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√77． ∴二面角A −PC −B 余弦值为√77．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理，证明BD ⊥平面PAC ，可得BD ⊥PC ；(2)设取DC 中点G ，连接FG ，证明平面EFG//平面PAD ，可得FG//平面PAD ，求出AD =CD ，即可求AF 的长；(3)建立空间直角坐标系，求出平面PAC 、平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A −PC −B 的余弦值．本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.【答案】解：(1)根据题意，读出的编号依次是： 512，916(超界)，935(超界)，805，770，951(超界)， 512(重复)，687，858，554，876，647，547，332． 将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876， 所以中位数为12×(647+687)=667；(2)由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和， 即S 10=10×8+10×9×902=4130；(3)记样本中8个A 题目成绩分别为x 1，x 2，…x 8，2个B 题目成绩分别为y 1，y 2，由题意可知∑x i 8i=1=8×7=56，∑(8i=1x i −7)2=8×4=32，∑y i 2i=1=16，∑(2i=1y i −8)2=2×1=2，故样本平均数为x −=18+2×(∑x i 8i=1+∑y i 2i=1)=110×(56+16)=7.2；样本方差为s 2=18+2×[∑(8i=1x i −7.2)2+∑(2i=1y i −7.2)2]=110×{∑[8i=1(x i −7)−0.2]2+∑[2i=1(y i −8)+0.8]2} =110×[∑(8i=1x i −7)2−0.4∑(8i=1x i −7)+8×0.22+∑(2i=1y i −8)2+1.6∑(2i=1y i −8)+2×0.82]=110×(32−0+0.32+2+0+1.28) =3.56；所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【解析】(1)由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数(2)按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．(3)分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题． 20.【答案】解：(Ⅰ)由题得，{ca=1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时， 设其直线方程为：y =kx +n ， 则原点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2，联立方程{x 24+y 23=1y =kx +n， 化简得，(4k 2+3)x 2+8knx +4n 2−12=0， 由△>0得4k 2−n 2+3>0， 则x 1+x 2=−8kn4k 2+3，x 1x 2=4n 2−124k 2+3，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+n)(kx 2+n)=(k 2+1)x 1x 2+kn(x 1+x 2)+n 2=t即(7d 2−12−4t)k2+7d 2−12−3t =0对任意的k ∈R 恒成立，则{7d 2−12−4t =07d 2−12−3t =0，解得t =0，d =2√217，当直线AB 斜率不存在时，也成立．故当t =0时，O 点到直线AB 的距离为定值d =2√217．【解析】(Ⅰ)由题得，{ca=1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，即可求出椭圆方程， (Ⅱ)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：y =kx +n ，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=2lnx −x 2， 可得f′(x)=2x−2x =2−2x 2x，函数f(x)在[12,1]是增函数，在[1,2]是减函数， 所以f(1)取得最大值，且为−1； (2)因为g(x)=alnx −x 2+ax ， 所以g′(x)=ax −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上单调递增， 所以在(0,3)上恒成立， 即有a ≥2x 2x+1在(0,3)的最大值，由y =2x 2x+1的导数为y′=2x 2+4x (x+1)2>0，则函数y =2x 2x+1在(0,3)递增，可得y <92，则a ≥92；(3)由题意可得，ℎ′(x)=2x −2x −m ，又f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，∴2lnx 1−x 12−mx 1=0，2lnx 2−x 22−mx 2=0，两式相减，得2(lnx 1−lnx 2)−(x 12−x 22)=m(x 1−x 2)， ∴m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2)，于是=2αx 1+βx 2−2(αx 1+βx 2)−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(x 1+x 2)=2αx1+βx 2--2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，∵β≥α，∴2α≤1，∴(2α−1)(x 2−x 1)≤0．可得ℎ′(αx 1+βx 2)<0． 要证：ℎ′(αx 1+βx 2)<0， 只需证：2αx1+βx 2−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2<0，只需证：x 1−x 2αx 1+βx 2−ln x 1x 2>0.(∗)令x 1x 2=t ∈(0,1)， ∴(∗)化为1−tαt+β+lnt <0， 只证u(t)=1−t αt+β+lnt 即可． ∵u′(t)=1t +−(αt+β)−(1−t)α(αt+β)2=1t−1(αt+β)2=α2(t−1)(t−β2α2)t(αt+β)2，又∵β2α2≥1，0<t <1，∴t −1<0，∴u′(t)>0，∴u(t)在(0,1)上单调递增，故有u(t)<u(1)=0，∴1−tαt+β+lnt <0，即x 1−x 2αx 1+βx 2−ln x1x 2>0．∴ℎ′(αx 1+βx 2)<0．【解析】(1)当a =2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)先求得g′(x)=a x −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上单调递增，所以在(0,3)上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a 的范围； (3)ℎ′(αx 1+βx 2)<0.理由：由题意可得，f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，化简可得m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2)，可得--2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，由条件知(2α−1)(x 2−x 1)≤0，再用分析法证明ℎ′(αx 1+βx 2)<0．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．22.【答案】解 (1)∵P 点的极坐标为(2√3,π6)，∴x P =2√3cos π6=2√3×√32=3，y P =2√3sin π6=2√3×12=√3．∴点P 的直角坐标(3,√3)把ρ2=x 2+y 2，y =ρsinθ代入ρ2+2√3ρsinθ=1可得x 2+y 2+2√3y =1，即x 2+(y +√3)2=4∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y +√3)2=4．(2)曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =−√3+2sinθ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x −2y −7=设Q(2cosθ,−√3+2sinθ)，则线段PQ 的中点M(32+cosθ,sinθ)． 那么点M 到直线l 的距离d =|32+cosθ−2sinθ−7|√12+22=|cosθ−2sinθ−112|√5=√5sin (θ−φ)+112√5．≥−√5+112√5=11√510−1，∴点M 到直线l 的最小距离为11√510−1．【解析】(1)利用x =ρcosθ，y =ρsinθ即可得出；(2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)={−2x +4(x ≤−1)6(−1<x ≤5)2x −4(x >5)，当x ≤−1时，应有−2x +4≤x +10，解不等式得−2≤x ≤−1， 当−1<x ≤5时，应有6≤x +10，解不等式得−1<x ≤5， 当x >5时，应有2x −4≤x +10，解不等式得5<x ≤14， 综上可得，不等式f(x)≤x +10的解集为[−2,14]．(Ⅱ)设g(x)=a −(x −2)2，由函数f(x)与g(x)的解析式，可得f(x)在x ∈[−1,5]上取最小值为6，g(x)在x =2时取最大值为a ， 若f(x)≥g(x)恒成立，则a ≤6．【解析】本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题． (Ⅰ)化简f(x)的解析式，分类讨论求得不等式f(x)≤x +10的解集． (Ⅱ)由题意可得f(x)在x ∈[−1,5]上的最小值大于或等于g(x)的最大值．。
2019届河北省衡水中学高三下学期六调数学(理)试题(解析版)
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【详解】 ∵在直观图△ A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，
∴S′ 1 A′B′•B′C′•sin45° 9 2
2
4
由斜二侧画法的画图法则，可得在△ ABC 中，AB＝6．BC＝3，且 AB⊥BC
∴S 1 AB•BC＝9 2
则由 S＝kS′得 k＝2 2 ，则 T＝T 2 k （m﹣1）＝T 2（m﹣1） 2
的直线 l 与 x 轴, y 轴分布交于点 P , Q 两点,则 POQ 面积的最小值为（ ）
A． 1 2
【答案】D
B． 4 3
C．1
D． 2 3
【解析】由点 H 在椭園 x2 y2 1上,知 H (3cos , 2sin ) ,由点 H (3cos , 2sin ) 94
作圆 x2 y2 2 的两条切点,点 A , B 为切点,知直线 AB 的方程为：
x
其中为“柯西函数”的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由柯西不等式得：对任意实数 x1, y1, x2 , y2 ,
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 0 恒成立（当且仅当存在实数 k ,使得
x1 kx2, y1 ky2 取等号）,若函数 f x 在其图象上存在不同的两点 A x1, y1, B x2, y2 ,
8．双曲线 的左右焦点分别为 ， ，且 恰为抛物线
的焦点，设双曲线 与该
抛物线的一个交点为 ，若 为（ ） A．
是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率 B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：∵
，∴焦点为 ，即 ，
∵
，∴
衡水市衡水中学2019年高考下学期六调考试理科数学试题卷含答案详析
文科数学试卷
第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案 的序号涂在答题卡上）
1.设全集U x N | 1 x 5，集合 A 1，3，则集合 CU A 的子集的个数是（ ）
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N，f（n）∉N 且 f（n）≤n”的否定形式是： ∃n0∈N，f（n0）∈N 或 f（n0）＞n0，故选 C． 点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含 义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对 集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合 M 中的一个特殊 值 x0，使 p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个 x＝x0，使 p(x0)成 立即可，否则就是假命题.
1 4.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 4 ，则该椭圆的离心
率为 ( )
1
1
A. 3
B. 2
2
3
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
l
试题分析：不妨设直线
:
x c
y b
1 ，即 bx
cy
bc
0
椭圆中心到 l
的距离
| bc | 2b b2 c2 4
∴ ab 40 ．
由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cos C ， 即 49 a2 b2 ab (a b)2 3ab (a b)2 120 ， 解得 a b 13 ． ∴ a b c 20 ．
河北省衡水中学2019届高三数学六调考试试题理(含解析)
2018～2019学年度第二学期高三年级六调考试理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C 考点：本题考查了复数的运算点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.【此处有视频，请去附件查看】3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】画出△ABC，通过，2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．考点：1、三视图；2、多面体的表面积．【此处有视频，请去附件查看】5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考点：对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【详解】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m ＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】试题分析：：∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴考点：线性规划.15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.考点：1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且. （I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.【答案】（I）；（Ⅱ）为锐角三角形.【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．【详解】（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故. （Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.【点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【详解】（1）∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.【答案】（1）667（2）4130（3）平均数为7.2，方差为3.56 【解析】 【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和。