层次分析法(20210228082427)
层次分析法步骤及案例分析
层次分析法步骤及案例分析层次分析法（AHP）是一种通过对比判断不同因素的重要性来进行决策的方法。
它由匹兹堡大学的数学家托马斯·萨蒙在20世纪70年代初提出，并逐渐应用于各个领域。
本文将介绍层次分析法的步骤，并通过一个实际案例来进行分析。
一、层次分析法的步骤层次分析法主要包括以下几个步骤：1. 确定层次结构：首先，需要明确决策问题的层次结构。
将问题划分为若干个层次，从总目标到具体的子目标，形成一棵树状结构。
例如，在一个购车的决策问题中，总目标可以是“选择一辆适合自己的车”，下面的子目标可以包括“价格”、“外观”、“安全性”等因素。
2. 构造判断矩阵：在每个层次中，需要对不同因素之间的两两比较进行判断。
判断可以基于专家经验、问卷调查或实际数据。
对于两两比较，通常采用一个1到9的比较尺度，其中1表示相等，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
如果因素A相对于因素B的重要性大于1，则B相对于A的重要性是1/A。
3. 计算权重向量：根据判断矩阵中的比较结果，可以计算出每个层次中各个因素的权重向量。
通过对判断矩阵的特征值和特征向量进行计算，可以得到各个因素的权重。
4. 一致性检验：在进行层次分析时，需要检验判断矩阵的一致性。
一致性是指在两两比较中的逻辑关系的一致性。
通常使用一致性指数和一致性比率来判断判断矩阵的一致性程度。
5. 综合评价：通过将各层次中因素的权重向量进行乘积运算，并将结果汇总得到最后的评价结果。
在这一步骤中，可以对不同的决策方案进行排序或进行多目标决策。
二、案例分析为了更好地了解层次分析法的应用，我们来看一个实际案例。
假设某公司需要选择新的供应商，供应商选择的主要考虑因素包括产品质量、交货周期和价格。
我们可以按照以下步骤进行决策：1. 确定层次结构：总目标是选择合适的供应商，下面的子目标是产品质量、交货周期和价格。
2. 构造判断矩阵：对于每个子目标，可以进行两两比较。
层次分析法概述
层次分析法一、层次分析法概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是美国运筹学家T. L. Saaty教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多方案或多目标的决策方法，它是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。
其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。
在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
层次分析法特别适用于无结构问题的建模。
自1982年被介绍到我国以来，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境保护、冲突求解及决策预报等领域得到了广泛的重视和应用。
二、层次分析法的基本思想基本思想层次分析法的采用先分解后综合的系统思想，整理、综合人们的主观判断，将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）、中间层（准则层）、最高层（总目标）。
把实际问题转化为分析同层因素间相对重要程度的权重值或相对优劣次序的问题，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。
三、确定权重值的基本原理人们在进行社会、经济以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法
•
招揽球队的选择
•
市民
议会
市长
层次2
•
人气
实力
母公司
层次3
•
A球队
B球队
C球队
层次4
• 首先进行有关选择球队的层次2各要因的一对比较，结果如表
• 神户市招揽棒球队对绿色体育馆，千叶县也招揽棒球队对千叶体 育馆，两市均获得成功。反映此种棒球界的情势，有一段时间， 某市的市长前来与我商讨招揽棒球队的问题。该市的企划室制定 A,B,C3个球队作为候选球队。但市长无法独断要招揽哪一个球队 ，需要取得议会与市民的同意。在此种条件下要招揽哪一个球队 好呢？
• 类似地可用特征向量法去求3个干部相对于上述6个标准中每一个
的权系数。用A,B,C表示3个干部，假设成对比较的结果为：
•
健康状况
业务知识
写作能力
•
ABC
•
A 1 1/4 1/2
•
B4 1 3
•
C 2 1/3 1
ABC A 1 1/4 1/5 B 4 1 1/2 C5 2 1
ABC A 1 3 1/3 B 1/3 1 1 C3 1 1
• 第三步 求同一层次上的权系数（从高层到低层）。假设当前层 次上的因素为A1，....,An，相关的上一层因素为C（可以不止一个） ，则可针对因素C，对所有因素A1，....,An进行两两比较，得到数值 aij，其定义和解释见表。记A=（aij）n x n，则A为因素A1，....,An相应 于上一层因素C的判断矩阵。记A的最大特征值为λmax，属于λmax的 标准化的特征向量为W=（w1，....wn)T,则w1，....wn给出了因素A1，....An 相应于因素C的按重要（或偏好）程度的一个排序。
层次分析法简单介绍
层次分析法层次分析法（AHP）又称多层次权重分析法，是一种用于定性分析的多目标分析方法。
它能有效地分析指标体系各层次之间排序关系，有效地综合衡量和判断评价者的意图。
适用于多目标、多准则、多因素、难以量化的大型复杂系统，已广泛应用于资源系统分析、建设管理、交通、评标、经济评价等各个社会领域。
层次分析法解决复杂问题的基本思想是：首先，将总目标进行分层，并根据各个指标之间隶属关系和相关影响，将各个指标按不同层次进行分类。
形成指标层、准则层和目标层，然后利用层次分析法，求本各层次的指标对上一层次指标的权重，然后利用最大特征值方法依次归并，最终求出总目标权重系数。
指标越重要，其指标权重系数越大。
因此，层次分析方法的计算需要以下步骤：（1）建立层次结构模型首先，将问题分解为不同的组成部分，并根据各个指标之间的相互影响和隶属关系，对各指标进行分组和组合，形成多层次结构，相对于确定最高层的综合相对重要性系数，即相对优序，系统分析被简化到最底层。
（2）调查问卷设计，对同一层次的指标将进行重要性等级进行两两访问对比，确定其重要性，然后利用比例标度法，。
构成比较判断矩阵。
表1-1 比例标度法Table4-1 Proportional scaling method两指标影响比较相等稍微重要明显重要非常重要极其重要δ1113579（3）调查对象的构成在选择范围上，主要选择具有绿色施工、绿色建筑、节能环保等研究领域的高校专家和学者、建设单位项目管理人员、工程项目施工单位工作人员和涉及环保监督政府人员。
（4）整理分析问卷并构建判断矩阵整理出问卷中的信息，并将问卷中信息进行汇总分析，计算出各因素的要性程度，建立判断矩阵。
见表1-2。
表1-2 各因素相对重要性判断矩阵Table4-2 Relative importance judgment matrixB k B 1 B 2 B n B 1 δ11 δ12 ... δ1n B 2 δ21 δ22 ... δ2n ... ... ... ... ... B nδn1δn2...δnn其中，δij 是对于A k 而言，B i 对B j 的相对重要性的数值表示，δij 是δi 与δj 的比值。
层次分析法
1. 层次分析法（The analytic hierarchy process, 简称AHP）用于解决评价类问题,例如：选择那种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀。
评价类问题可以用打分解决。
层次分析法 (The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T. L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法, 是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的, 它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构, 把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上, 从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。
在许多情况下, 决策者可以直接使用AHP进行决策, 极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性, 但其本质是一种思维方式, 它把复杂问题分解成多个组成因素, 又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构, 通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。
整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。
1.1模型介绍1.1.1引例高考结束了，小明该选择华科还是五武大？小明最关心四个方面：学习氛围0.4、就业前景0.3、男女比例0.2、校园景色0.19（权重和为1）（1）学习氛围：经查阅资料查到“学在华工，玩在武大，爱在华师”一句话，因此在学习氛围方面给华科0.7，给武汉大学0.3.（2）就业前景：搜索两所学校就业率差不多，因此在就业前景方面对两所学校均赋予0.5的权重。
（3）男女比例：经查询，华科男女比例2：1，武大1.35：1，因此武大0.7分，华科0.3分（4）校园景色：华科0.25分，武大0.75分整理权重表格：指标权重华科武大学习氛围0.40.70.3就业前景0.30.50.5男女比例0.20.30.7校园景色0.10.250.75华科最终的得分：0.7*0.4+0.5*0.3+0.3*0.2+0.25+*0.1=0.515分武大最终得分：0.3*0.4+0.5*0.3+0.7*0.2+0.75*0.1=0.485分1.1.2 模型1、关键词：打分法、确定评价指标、形成评价体系2、解决评价类问题，首先确定以下三个问题：（1）评价的目标是什么（2）为了达到这个目标有哪几种可选的方案（3）评价的准则或者说指标是什么（我们根据什么东西来评价好坏）。
层次分析法介绍
2 层次分析法2.1层次分析法的简单介绍层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP），是20世纪80年代由美国运筹学教授T. L. Satty 提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，它根据问题的性质和要达到的目标分解出问题的组成因素，并按因素间的相互关系将因素层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最低层因素对于最高层（总目标）的重要性权值。
在经营决策中经常会遇到多指标、多方案的综合比较问题, 由于经常出现多个方案互有好坏的情况。
因此要从成百上千个指标、方案中选择最佳的组合方案就成了一个较为麻烦的问题。
在实际应用中,尽管人们还不能解决多个方案的综合比较问题, 但是如果就2个方案之间进行比较还是可以判断出相对好坏的。
于是, 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案比较过渡到两两之间的比较,从而解决多方案比较的问题, 这就是AHP法的基本思想。
2.2层次分析法的基本层次结构第一类：最高层，又称顶层、目标层。
第二类：中间层，又称准则层。
第三类：最底层，又称措施层、方案层。
层次结构图（一）层次之间的支配关系是完全的结构模型层(二) 层次之间的支配关系是不完全的结构模型2.3 判断矩阵设要比较n 个因素)...,,(21n y y y y =对目标z 的影响，从而确定它们在z 中所占的比重，每次取两个因素i y 和j y 用ij a 表示i y 与j y 对z 的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量ij a ，n 个被比较的元素构成一个两两比较（成对比较）的判断矩阵.)(n n ij a ⨯=A 显然，判断矩阵具有性质：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A nn n n n n a a aa a a a a a212222111211 ,0>ij a ,1ijji a a =1=ii a )...,2,1,(n j i =所以又称判断矩阵为正互反矩阵（简称正互阵，又称成对比较阵）。
层次分析方法
注:
一般说来，各层次之间的各因素，有的相关联，有 的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同。 实际中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来
确定。
二、构造比较矩阵
构造比较矩阵主要是通过比较同一层次上的各因素
对上一层相关因素的影响作用，而不是把所有因素放在 一起比较，即将同一层的各因素进行两两对比。比较时 采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素 之间相互比较的困难。同时，要尽量依据实际问题本身，
利用层次分析方法解决问题的基本步骤如下：
• • 分析系统中各种因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。 一般层次结构分为三层：目标层、准则层、方案层； 构造两两比较矩阵（判断矩阵）。对于同一层次的各因素关 于上一层中某一准则（目标）的重要性进行两两比较，构造 出两两比较的判断矩阵； 由比较矩阵计算被比较因素对上一层每一准则的相对权重， 并进行判断矩阵的一致性检验； 计算方案层对目标层的组合权重和组合一致性检验，并进行 排序。
。
(i ,j =1,2,…,n )
ij n n
于是，可得到两两成对比较矩阵
判断矩阵。
A = a
，又称为
a ij
0 ， a ji
1 a ij
，a ii 1 (i ,j =1,2,…,n )
由上述矩阵元素特征，故又称比较矩阵为
正互反矩阵。
a 而 比例标度的确定： ij 取1—9 的 9 个等级，
ij n n
征向量为 W ( w1 , w 2 , , w n ) T
则
a ij
wi wj
（i ,j =1,2,…,n ）
由于通常情况下由实际得到的判断矩阵 A 0，
层次分析法
层次分析法层次分析法是一种应用广泛的决策分析方法，它通过构建层次结构和比较矩阵，来对不同因素进行排序和权重分配，帮助决策者做出合理的决策。
本文将介绍层次分析法的基本原理、应用领域以及一些实际案例。
一、层次分析法的基本原理层次分析法由美国运筹学家托马斯·L·塞蒂提出，它是一种定性和定量相结合的分析方法，能够综合考虑多个因素的重要性和相互关系。
它的基本原理如下：1. 层次结构：将决策问题分解成多个层次，从上至下逐级细化。
顶层是目标层，中间层是准则层，最底层是方案层。
2. 比较矩阵：在每个层次内，通过构建比较矩阵来判断各因素之间的重要性。
比较矩阵是一个n×n的正互反矩阵，其中n是该层次因素的个数。
通过对各因素进行两两比较，得出相对重要性的判断。
3. 加权优先向量：通过对比较矩阵进行特征向量的计算，可以得到各个因素的权重。
特征向量是对比较矩阵的主特征值对应的特征向量，也称为特征向量法。
4. 一致性检验：通过一致性指标和一致性比率的计算，判断构建的比较矩阵是否合理。
一致性指标表示了矩阵的内部一致性程度，一致性比率则是对一致性指标进行归一化，判断是否满足一致性。
5. 综合评价：通过计算得出的权重，进行乘积运算和累加运算，得到方案的综合评价值。
综合评价值越高，方案越优。
二、层次分析法的应用领域层次分析法在许多领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、环境科学、社会科学等。
下面是一些常见的应用领域：1. 投资决策：在投资决策中，可以将不同的投资方案作为方案层，通过比较各个方案的风险性、收益性等因素，来确定投资方向。
2. 供应链管理：在供应链管理中，可以将供应商的价格、质量、交货周期等因素作为准则层，通过比较不同供应商的重要性，来选择合适的供应商。
3. 项目评估：在项目评估中，可以将项目的成本、时限、风险等因素作为准则层，通过比较各个因素的重要性，来评估项目的可行性和优先级。
4. 人才选拔：在人才选拔中，可以将候选人的学历、工作经验、专业技能等因素作为准则层，通过比较各个因素的重要性，来确定最佳人选。
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湖南科技学院实验报告
实验内容：
问题描述：某企业由于生产效益好，年底取得一笔利润，领导决定拿出一部分资金分别用于：
（1）为企业员工发年终奖金。
（2）扩建集体福利设施；（3）引进高薪技术人才和设备；为了促进企业的进一步发展，在制定分配方案时，主要考虑的因素有：调动员工的积极性，提高企业质量，改善企业员工的生活条件。
当然上述三个方面都要考虑到，但困难在于，年终奖发多少？扩建集体福利设施支出多
少？拿多少资金用于引进高薪技术人才和设备。
试建立层次分析法模型，提出一个较好的资金分配方案。
层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）简称AHP法，是美国著名的运筹学家
T. L. Satty于1973年提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法。
AHP 吸收利用行为科学的特点，将决策者的经验判断给予量化，在目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是系统科学中常用的一种系统分析方法。
从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等。
AHP g求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：
* 目标层（最高层）：指问题的预定目标；
* 准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；
* 方案层（最低层）：指促使目标实现的措施；
合理分配
模型的假设：
(1) 假设这笔资金不会因为发生紧急情况 而被调用。
(2) 假设这笔资金都以供选择方案的形式用于企业的发展。
目标层为乙准则层为C,调动职工积极性、提高企业技术水平、改善职工生活条件分别用
C1、C2、C3来表示，措施层为P ,发奖金、扩建福利事业、引进新设备分别用
P1、P2、P3来
表示。
运用层次分析法建立数学模型，目标层，准则层，方案层分别如下:
合理分配利润
求解过程:
1.构造判断矩阵Z-C
判断矩阵表示在层次结构模型中，针对上一层次某元素来说，本层次有关元素之间相对重要 性的比较。
如果A 层因素中Ak 与下一层次C 中的G ，C 2厂，C n 相关，则判断矩阵可用表示为:
缶
C 12 Gn
C 21
C 22
C 2n
C n2
Gn J
q >0,q "/C jjg
i,j “,2…n )； C j 表示对Ak 而言,C i 对C
j 相对重要性的数值表
示。
此时称A 为正互反矩阵。
当判断矩阵中元素满足 C ij
=
Ck
C kj
(i,j,k 二1,2, ,, ,n )时,
则称判断具有一致性
由于指标的确定和分值的给定带有主观臆断性，为减小主观因素的影响，我们采用
T ・L • Satty 提出的“ 1~9比率标度法”表进行定量评价，其标度含义如表 2所示:
目标层z :
准则层C ： 调动积极性cl 提高企业质量C2 改善生活条件c3
方案层p :
发奖金pl 扩建福利设施p2 引进人才和设备p3
其中,
表2重要性标度含义表
求解的特征值:
运用matlab程序：
>> A=[1 1/5 1/3; 5 1 3; 3 1/3 1];
>> C=eig(A)
C =
3.0385
-0.0193 + 0.3415i
-0.0193 - 0.3415i
由matlab可解出入max =3.038，从而W=(0.105 , 0.637 , 0.258) T 由公式得CI=0.019 CR=0.033
用解出特征值入均为
用管理运筹学软件中的层次分析法计算各判断矩阵的权向量:
322,2 1,0.2,0.3333 5,1,3 3,0.3333,1 1,0.2 5,1 1,0.2, 5,1 1,0.3333 3,1
******* 结士果如下*******
准则层权重：(0.1062,0.6334,0.2605);CI=0.0193,CR=0.0333
1 : (0.75,0.25);CI=0,CR=0
2 : (0.1667,0.8333);CI=0,CR=0
3 : (0.6667,0.3333);CI=0,CR=0
总排序权重：(0.0796,0.0265,0.1056,0.5278,0.1737,0.0868);CR=0.03333 对应的特征向量分别为：(0.75 0.25) T
(0.167 0.833) T
(0.667 0.333) T
它们的CI都为零，CR也为零.
根据公式算出各层次方案P对促进企业发展的总排序权值，写于下表右侧
3:
层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某元素而言，本层次与之有联系的元素相对重
要性次序的权值。
层次单排序要计算判断矩阵的特征值及其特征向量，记判断矩阵的最大特征值为
'max，与最大特征值相对应的特征向量记为W （向量W要作归一化处理），那么向量W
的分量W
（i）则为相应元素排序的权值。
为检验上面构造的判断矩阵是否合理，还需要对判断矩阵进行一致性检验。
根据层次分析法，判断矩阵的一致性指标CI为：
CI = （' max 一n）（n一1）
其中：’max为判断矩阵的最大特征值。
n为判断矩阵的阶数。
当CI=O时，判断矩阵具有完全一致性，’max - n越大，ci.就越大，那么，判断矩阵的一致性就差。
为判断判断矩阵是否具有满意的一致性，还需要利用判断矩阵的平均随机一致性指标RI。
RI的取值见如下
表7平均随机一致性指标RI值
总排序一致性检验：
CI = a1*cI1+ a2*CI2+a3*CI3 =0.105 x 0+0.637 x 0 +0.258 x 0=0
从而CR= 0v 0.1
4:结论
由上可知，层次总排序结果具有满意的一致性•所以合理利用利润，所考虑的三种方案相对优先排序为：
P3 优于P2，P2优于P1.
利润分配比例为
P3 占53.1%，P2 占27.1 % ，P1 占19.8 % .
本文通过构建利润分配方案的递阶层次结构模型，利用层次分析法来进行利润分配方案
的优选决策。
层次分析法通过定量与定性的有机结合，使得评价结果相对客观、公
平、公正，具有较高的准确性和可操作性。
层次分析法应用的关键在于构造判断矩阵，
由于判断矩阵构造主观性强和一致性不易通过检验等缺点，该过程应当由经验和知识丰
富、判断力强的专家给出，必要时还可以采用群体判断的方式，即采用群体层次分析法
（GAHP来解决实际问题。