九年级上册数学《二次函数》全章复习与巩固提高典型练习题及答案解析
人教版数学九年级上学期课时练习-《二次函数》全章复习与巩固(巩固篇)(人教版)
专题22.37 《二次函数》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知函数：①y ＝2x ﹣1；①y ＝﹣2x 2﹣1；①y ＝3x 3﹣2x 2；①y=2（x+3）2-2x 2；①y ＝ax 2+bx +c ，其中二次函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，点A ，点B 的坐标分别为()1,4-，()4,4-，抛物线()2y a x h k =-+的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．若点D 的横坐标的最大值为6，则点C 的横坐标的最小值为（ ）A ．52B ．1C ．1-D ．2-3．二次函数y ＝﹣12（x ﹣4）2+3图象的顶点坐标是（ ）A ．（﹣4，3）B ．（﹣2，﹣3）C ．（4，3）D ．（2，3）4．已知点A （－3，y 1），B （0，y 2），C （3，y 3）都在二次函数y ＝－（x ＋2）2＋4的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＝y 3＜y 2C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 25．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：当12x =-时，与其对应的函数值0y >，给出下列四个结论：①0b <；①关于x 的方程2ax bx c n ++=的两个根是1-和2；①210m n +<；①()4at at b +≥-（t 为任意实数．）其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知抛物线2y x bx c =++与直线y ＝x 交于()1,1和()3,3两点，有以下结论：①240b c ->；①3b ＋c ＋6＝0；①当13x <<时，()210x b x c +-+<；①当2x >时，22x bx c x++>，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为3,0．给出下列结论：①240b ac -<；①420a b c ++>；①图象与x 轴的另一个交点为1,0；①当0x >时，y 随x 的增大而减小；①不等式20ax bx c ++<的解集是13x ．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx h =+交于A 、B 两点，下列是关于x 的不等式或方程，结论正确的是（ ）A ．2()ax b k x c h +-+>的解集是24x <<B ．2()ax b k x c h +-+>的解集是4x >C ．2()ax b k x c h +-+>的解集是2x <D ．2()ax b k x c h +-+=的解是2x =或4x = 9．已知，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠B ＝60°，矩形PQNM 的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ 的最大面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线()214y a x =-+的图象的顶点，点A ，C 的坐标分别为()0,3，()1,0，将ABC 沿y 轴向下平移使点A 平移到点O ，再绕点O 逆时针旋转90︒，若此时点B ，C 的对应点B '，C '恰好落在抛物线上，则a 的值为（ ）A ．34-B ．－1C ．43-D ．－2二、填空题11．当m ＝____________时，函数2m1y (m 1)x +=-是二次函数．12．在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．13．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，抛物线y ＝a （x ﹣2）2＋1（a ＞0）的顶点为A ，过点A 作y 轴的平行线交抛物线2124y x =--于点B ，连接AO 、BO ，则①AOB 的面积为________．14．抛物线21122y x x =+的图象如图所示，点A 1，A 2，A 3，A 4…，A 2022在抛物线第一象限的图象上，点B 1，B 2，B 3，B 4.．．，B 2022在y 轴的正半轴上，11OA B 、122B A B 、…、202120222022B A B 都是等腰直角三角形，则20212022B A =________．15．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()20y ax a =>的图象上两点A ，B 的横坐标分别为1-，2．若AOB 为直角三角形，则a 的值为______．16．如图，正方形OABC 的顶点B 在抛物线2y x 的第一象限的图象上，若点B 的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC 的长为______．17．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．18．平面直角坐标系中，将抛物线2y x =-平移得到抛物线C ，如图所示，且抛物线C 经过点()1,0A -和()0,3B ，点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则OQ PQ +的最大值为______．19．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论中：03a >①；②是方程20ax bc c ++=的一个根；0a b c ++>③；④当1x <时，y 随x 的增大而减小；240b ac ->⑤；正确的是______(．把所有正确结论的序号都写在横线上)20．如图，抛物线221y x x =-+与图象l 关于直线y x =对称，则图象l 所对应的关于x 与y 的关系式为______．21．已知直线y 13-＝x ＋b 经过点A （﹣1，2）和B （m ，1），则m ＝____，若抛物线y 12-＝x 2﹣x ＋a 与线段AB 有交点，则a 的取值范围是____．22．如图，在ABC ∆中，30ABC ACB ∠=∠=︒，4AB AC ==，D 为边AB 上一动点（B 点除外），连接CD ，作ED CD ⊥，且ED CD =，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 _________．三、解答题23．已知二次函数y ＝－x 2＋4x.(1)用配方法把该函数化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式； (2)求该函数图象的对称轴和顶点坐标．24．如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m，求m 的值．25．受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A 、B 两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A 型，B 型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：根据市场行情，该销售商对A 手写板降价销售，同时对B 手写板提高售价，此时发现A 手写板每降低5就可多卖1，B 手写板每提高5就少卖1，要保持每天销售总量不变，设其中A 手写板每天多销售x ，每天总获利的利润为y（1）求y 、x 间的函数关系式并写出x 取值范围；（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x 的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B 手写板，就捐a 元给)000(1a <≤因“新冠疫情”影响的困难家庭，当3040x ≤≤时，每天的最大利润为229200元，求a 的值．26．综合与探究如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为y =﹣421x 2+1621x +4．抛物线W 与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点D ，直线l经过C、D两点．(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当①ACF 为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．(3)如图2，连接AC，CB，将①ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到①A′C′D′．设A′C 交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．参考答案1．A【分析】根据二次函数的定义判断即可；解：y ＝2x ﹣1是一次函数；y ＝﹣2x 2﹣1是二次函数； y ＝3x 3﹣2x 2不是二次函数；①y=2（x+3）2-2x 2222121821218x x x x =++-=+，不是二次函数； y ＝ax 2+bx +c ，没告诉a 不为0，故不是二次函数； 故二次函数有1个； 故答案选A ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键． 2．C 【分析】当D 点横坐标最大值时，抛物线顶点必为(4,4)B -，可得此时抛物线的对称轴为直线4x =，求出CD 间的距离；当C 点横坐标最小时，抛物线顶点为(1,4)A -，再根据此时抛物线的对称轴及CD 的长，可判断C 点横坐标的最小值．解：当点D 横坐标为6时，抛物线顶点为(4,4)B -，①对称轴为直线4x =，4CD =；当抛物线顶点为(1,4)A -时，抛物线对称轴为直线1x =， ①11212CD-=-=-， ①(1,0)C -，①点C 的横坐标最小值为1-， 故选C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质和图象．明确CD 的长度是定长是解题的关键． 3．C 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 解：①y ＝﹣12（x ﹣4）2+3，①此函数的顶点坐标为（4，3）， 故选：C ．【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y =a （x -h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是直线x =h ．4．A 【分析】先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小．解：二次函数y ＝﹣（x +2）2+4图象的对称轴为直线x ＝﹣2， 又①a =-1，二次函数开口向下， ①点到对称轴越近，函数值越大；①点A （﹣3，y 1）到直线x ＝﹣2的距离最小，点C （3，y 3）到直线x ＝﹣2的距离最大， ①y 3＜y 2＜y 1． 故选：A ．【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；理解开口向上的函数，点到对称轴距离越远，其函数值越大，反之，开口向下，点到对称轴越近，函数值越大是解题的关键．5．C 【分析】利用抛物线的图象与性质逐一判断即可．解：由表格可知，该抛物线图象经过点()()()()12021,2m n ---，，，，，，， ①该抛物线的对称轴为122b x a =-=，2c =-； ①当12x =-时，与其对应的函数值0y >， ①抛物线开口向上， ①0a ＞，①0b a =-＜，故①正确；由图象经过的点和抛物线对称性可知，m n =，故①正确； 由当12x =-时，与其对应的函数值0y >， 得到112042a b --＞①83a ＞，当1x =-时，222m a b a =--=-，①()2332210m n m a +==-＞，故①错误；由对称轴为12x =，图象开口向上可得： 2112242at bt a b +-≥+-， ①()4a t atb +≥-，故①正确；故选：C ．【点拨】本题考查了抛物线的图象与性质，解题十五关键是掌握抛物线的对称轴公式以及利用抛物线的对称性进行解决问题，并能正确利用点的坐标判断代数式的取值情况．6．B【分析】由函数2y x bx c =++与x 轴无交点，可得240b c -<来判断①；当3x =时，933y b c =++=来判断①；当13x <<时，二次函数值小于一次函数值，可得2x bx c x ++<来求解①；把()11，和()3,3两点代入2y x bx c =++求出抛物线解析式进行得用抛物线与双曲线的交点坐标，分第一象限内和第三象限内来求解①．解：①函数2y x bx c =++与x 轴无交点，①240b c -<，故①不正确；当x=3时，933y b c =++=，即360b c ++=，故①正确；①当13x <<时，二次函数值小于一次函数值，①2x bx c x ++<，①()210x b x c +-+<，故①正确；把()11，和()3,3两点代入2y x bx c =++得抛物线的解析式为233y x x =-+ ， 当2x =时，2331y x x =-+=，21y x==， 抛物线和双曲线的交点坐标为21（，）， 第一象限内，当2x >时，22x bx c x++>； 或第三象限内，当0x <时，22x bx c x ++>，故①错误． 综上所述，正确的有①①共2个．故选：B ．【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，注意掌握数形结合思想的应用． 7．C【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．解：①由图象可知：抛物线与x 轴有两个交点，①240b ac ∆=->，故①错误；①当2x =时，42y a b c =++，由图象可知当2x =时，0y >，①420a b c ++>，故①正确；①3,0关于直线x =1的对称点为1,0，故①正确；①当0x >时，由图象可知y 先随x 的增大而增大，再随x 的增大而减小，故①错误； ①由图象及①可知，抛物线与x 轴的交点为3,0，1,0，①当20ax bx c ++<时，1x <-可3x >，故①错误；综上，有①，①是正确的，故有2个正确的，故选：C ．【点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a ，b ，c 的关系是正确判断的关键．8．D【分析】根据函数图象可知，不等式ax 2+bx +c >kx +h ，即2()ax b k x c h +-+>的解集为：x <2或>4；方程ax 2+bx +c =x +h ，即2()ax b k x c h +-+=的解为2x =或4x =．据此即可求解．解：由函数图象可得，不等式ax 2+bx +c >kx +h ，即2()ax b k x c h +-+>的解集为：x <2或>4；故A 、B 、C 不符合题意；方程ax 2+bx +c =x +h ，即2()ax b k x c h +-+=的解为2x =或4x =，故D 符合题意； 故选：D ．【点拨】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．9．D【分析】连接AC，BD，得到ΔABC为等边三角形，设AP＝a，AE＝CF12=a，从而求出EF=6-a，求出PQ,即可得出S与a的函数关系式,即可得到答案.解：如图：连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．①菱形ABCD中，AB＝6，①B＝60°，①①ABC是等边三角形，①ABD＝30°，①AC＝AB＝6．①矩形MNQP，①PQ①BD，PM＝EF，PQ①AC．①①APE＝①ABD＝30°，设AP＝a，AE＝CF12=a，①EF＝PM＝6﹣a．由勾股定理得：PE=①PQ＝2PE．①S矩形PMNQ＝PM•PQ=×（6﹣a）=a2+6a）=a﹣3）2①0，①当a＝3时，矩形面积有最大值故选：D．【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的性质以及二次函数的性质，正确利用a表示出矩形PMNQ的面积是关键．10．A【分析】先根据题意确定抛物线顶点B 的坐标，过A 作AD BC ⊥于D ，得到AD ，BD 的长，再根据题意，ABC 与OB C ''△重合，进而得到B D ''和OD '的长，于是得到B '的坐标，由于B '在抛物线()214y a x =-+上，进而求解．解：过A 作AD BC ⊥于D ，如图①抛物线的解析式：()214y a x =-+，①其顶点是()1,4B ，对称轴1x =①()0,3A①1AD =，1BD BC CD =-=根据题意，ABC 与OB C ''△重合，①AD BC ⊥①OD B C '''⊥①1OD AD '==，1B D BD ''==①()1,1B '-①B '，C '在抛物线()214y a x =-+上①()21114a =--+ ①34a =- 故选：A【点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，几何图形的平移与旋转的性质，掌握数形结合的思想方法和灵活运用所学知识是解本题的关键．11．－1解：试题分析：根据二次函数的定义列出方程及不等式，解之即可.解：①函数()211m y m x +=-是二次函数①212m +=且10m -≠①1m =-故答案为－1.12．321a a a >>．【分析】抛物线的开口方向由a 的符号决定，开口大小由a 的绝对值决定，绝对值越大，开口越小． 解：①二次函数y 1=a 1x 2的开口最大，二次函数y 3=a 3x 2的开口最小，而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数，①321a a a >>，故答案为：321a a a >>．【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a 的值决定是解题的关键．13．4【分析】先求得顶点A 的坐标，然后根据题意得出B 的横坐标，把横坐标代入抛物线2124y x =--，得出B 点坐标，从而求得A 、B 间的距离，最后计算面积即可．解：设AB 交x 轴于C①抛物线线y ＝a （x ﹣2）2＋1（a ＞0）的顶点为A ，①A （2，1），①过点A 作y 轴的平行线交抛物线2124y x =--于点B ， ①B 的横坐标为2，OC =2把x =2代入2124y x =--得y =-3， ①B （2，-3），①AB =1+3=4，11==24=422AOB OC A S B ⋅⨯⨯． 故答案为：4．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A 、B 的坐标是解题的关键． 14．【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x ，表示出点A 1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x ；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m ，表示出A 2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m ，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边．解：设A 1B 1=x ，①①OA 1B 1 是等腰直角三角形，①OB 1=x ，则A 1的坐标为（x ，x ），代入二次函数y =12x 2+12x ，得x =12x 2+12x ，解得x =1或x =0（舍），设A 2B 2=m ，①①B 1A 2B 2腰是等腰直角三角形，①B 1B 2=m ，①A 2的坐标为（m ，1+m ），代入二次函数y =12x 2+12x ， 得12m 2+12m ＝1+m ，解得m =2或m =-1（舍），同理可求出A 3B 3=3，A 4B 4=4，①B 2022A 2022=2022，根据勾股定理，得B 2021A 2022=，故答案为：【点拨】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键．15．1a =或a =【分析】分两种情况讨论，如图，当90OAB ∠=︒时，利用2222,OB OA AQ BQ -=+ 建立方程求解即可；当90,AOB ∠=︒ 利用2222,OA OB AQ BQ +=+建立方程求解即可；从而可得答案.解：如图，当90OAB ∠=︒时，222,OA AB OB ∴+=A ，B 的横坐标分别为1-，2,()()1,,2,4A a B a ∴-，2222224161153,AB OB OA a a a ∴=-=+--=+过A 作AQ BM ⊥于,M 则,3,AE QM a AQ EM ====43,BQ a a a ∴=-=222299,AB AQ BQ a ∴=+=+2215399,a a ∴+=+解得：1a = （负根舍去）当90,AOB ∠=︒同理可得：()()1,,2,4A a B a -222141699,a a a ∴+++=+解得：2a =（负根舍去）综上：1a =或a =【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握“利用勾股定理求解两点之间的距离”是解题的关键.16．【分析】根据点B 在抛物线y =x 2的第一象限部分，可设B 点坐标为（x ，x 2），则x ＞0．根据B 点的横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x +x 2=6，解方程求出x 的值，再求出OB 的长即可得到结论．解：连接OB ，如图，①正方形OABC 的顶点B 在抛物线y =x 2的第一象限部分，①可设B 点坐标为（x ，x 2），且x ＞0．①B 点的横坐标与纵坐标之和等于6，①x +x 2=6，解得x 1=2，x 2=-3（不合题意舍去），①B （2，4），①OB 2=22+42=20，①OB =①四边形OABC 是正方形，①AC OB ==故答案为【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B 点坐标是解题的关键．17．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．解：抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点拨】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．18．214【分析】求得抛物线C 的解析式，设Q （x ，0），则P （x ，-x 2+2x +3），即可得出OQ +PQ ，根据二次函数的性质即可求得．解：设平移后的解析式为y =-x 2+bx +c ，①抛物线C 经过点A （-1，0）和B （0，3），①103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ①抛物线C 的解析式为y =-x 2+2x +3，设Q （x ，0），则P （x ，-x 2+2x +3），①点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，①OQ +PQ =x +（-x 2+2x +3）=-x 2+3x +32321()24x =--+ ①OQ +PQ 的最大值为214故答案为：214 【点拨】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ +PQ =-x 2+3x +3是解题的关键．19．②③⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①抛物线开口向下，故0a >错误，不符合题意；②方程的一个根是1-，函数对称轴为：1x =，则3是方程20ax bc c ++=的一个根，符合题意；③当1x =时，0y a b c =++>，正确，符合题意；④当1x <时，y 随x 的增大而减小错误，不符合题意；⑤抛物线和x 轴有两个交点，故240b ac ->，符合题意；故答案为：②③⑤．【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用函数图象确定字母系数的取值范围，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．20．221x y y =-+【分析】设（x ，y ）是图象l 上的任意点，则它关于直线y x =的对称点一定在抛物线221y x x =-+上，因此将对称点（y ，x ）代入抛物线即可．解：设（x ，y ）是图象l 上的任意点，则关于直线y x =的对称点是（y ，x ），∴把（y ，x ）代入221y x x =-+得221x y y =-+，故答案为：221x y y =-+．【点拨】本题主要考查了二次函数图像与几何变换的知识，明确关于y x =的对称的点的坐标特征是解题的关键．21． 2139≤a ≤5##1359a ≥≥ 【分析】将点A 坐标代入直线解析式求出b ，再将点B 坐标代入解析式求m 的值．根据抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，顶点坐标，再根据点A ，B 坐标求解即可．解：将（﹣1，2）代入y 13=-x +b 得213=+b ， 解得b 53=， ①y 13=-x 53+， 把（m ，1）代入y 13=-x 53+得113=-m 53+， 解得m ＝2，①点B 坐标为（2，1），①y 12=-x 2﹣x +a 12=-（x +1）212++a ， ①抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，12+a ）， 当抛物线经过点A 时，12+a ＝2， 解得a 32=， 令12-x 2﹣x +a 13=-x 53+，整理得3x 2+4x +10﹣6a ＝0， 当Δ＝42﹣4×3（10﹣6a ）≥0时，139a ≥， 把（2，1）代入y 12=-x 2﹣x +a 得1＝﹣2﹣2+a ， 解得a ＝5，当139≤a ≤5时，满足题意． 故答案为：2；139≤a ≤5． 【点拨】本题考查一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．22．4.5【分析】过点C 作CG ①BA 于点G ，作EH ①AB 于点H ，作AM ①BC 于点M ．由30ABC ACB ∠=∠=︒，AB ＝AC ＝4，可得BC ＝BM ＝CM ＝GB ＝6，设BD ＝x ，则DG ＝6−x ，证①EDH ①①DCG ，EH ＝DG ＝6−x ，求得S △BDE ，根据二次函数的性质求得最大值即可．解：过点C 作CG ①BA 于点G ，作EH ①AB 于点H ，作AM ①BC 于点M ．①30ABC ACB ∠=∠=︒，4AB AC ==，①BM ＝CM ＝①GB ＝12AB AG AB AC +=+=6， 设BD ＝x ，则DG ＝6−x ，①ED ＝DC ，①EDC =90°，①EDH +①GDC =90°，①EDH +①HED ＝90°，①①EHD ＝①DGC ，①HED ＝①GDC ，①①EDH ①①DCG （AAS ），①EH ＝DG ＝6−x ，①S △BDE ＝12BD •EH ＝12x (6−x )＝12- (x −3)2＋4.5， 当x ＝3时，①BDE 面积的最大值为4.5．故答案为4.5．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，二次函数的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练运用以上知识是解题的关键．23．(1)y=－(x －2)2＋4;(2) 对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，4)【分析】（1）利用配方法时注意要先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式；（2）根据y ＝a(x －h)2＋k 的形式直接得出其对称轴和顶点坐标．解：(1)y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.(2)由(1)得，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，4)．【点拨】二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x -h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x -x 1）（x -x 2）．24．（1）()21233y x =--+；（2）1222,,3k k ==；（3）9.4m = 【分析】（1）把50,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线的解析式，解方程求解即可； （2）联立两个函数的解析式，消去,y 得：()21223,33x kx --+=+再利用根与系数的关系与()222121212210,x x x x x x +=+-=可得关于k 的方程，解方程可得答案； （3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当2,m ≤ 2＜m ＜8, 8,m ≥ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.解：（1）把50,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()223y a x =-+中， 543,3a ∴+= 1,3a ∴=- ∴ 抛物线的解析式为：()212 3.3y x =--+ （2）联立一次函数与抛物线的解析式得：()2231233y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩()21223,33x kx ∴--+=+整理得：()24330,x k x ---=121243,3,x x k x x ∴+=-=-()222121212210,x x x x x x +=+-= ()()()22432343120,k k ∴--⨯-=-+> ①x 1+x 2=4-3k ，x 1•x 2=-3，①x 12+x 22=（4-3k ）2+6=10， 解得：1222,,3k k == ①1222,,3k k == （3）①函数的对称轴为直线x=2，当m ＜2时，当x=m 时，y 有最大值，43m =-13（m -2）2+3，解得①m=当m≥2时，当x=2时，y 有最大值， ①43m =3， ①m=94，综上所述，m 的值为94． 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x 轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.25．（1）210900220000y x x =-++（060x ≤≤），且x 为整数；（2）2060x ≤≤，且x 为整数；（3）a =30【分析】（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．解：（1）由题意得，2(9006005)(200)(12008005)(400)10900220000y x x x x x x =--++-+-=-++，0,30050,4000,x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得060x ，故x 的取值范围为060x 且x 为整数；（2）x 的取值范围为2060x ．理由如下：221090022000010(45)240250y x x x =-++=--+，当234000y =时，210(45)240250234000x --+=，2(45)625x -=，4525x -=±，解得：20x 或70x =．要使234000y ，得2070x ；060x ，2060x ∴；（3）设捐款后每天的利润为w 元，则2210900220000(400)10(900)220000400w x x x a x a x a =-++--=-+++-， 对称轴为900452020a a x +==+， 0100a <， ∴454520a +>， 抛物线开口向下，当3040x 时，w 随x 的增大而增大，当40x =时，w 最大，1600040(900)220000*********a a ∴-+++-=，解得30a =．【点拨】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，列函数关系式等等，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．26．（1）点A 坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（7，0），y =﹣2x +4；(2) 点F 的坐标为（5，﹣6），y =﹣421x 2+4021x ；(3) 四边形CMNC ′的面积为45m 2． 【分析】根据抛物线的解析式，令y ＝0即可求出两点的坐标．根据抛物线的解析式可分别求出C ，D 两点的坐标，再用待定系数法即可求出直线的表达式．根据题意，利用角的等量关系可以得到①1＝①3，进而得到tan①1＝tan①3，根据三角函数的计算方法列出等式，根据一次函数的解析式设点的坐标为（xF ，﹣2xF ＋4），将各线段的长度代入等式即可求出点F 的坐标，再根据平移的法则即可求出w ′的表达式．根据平移，可以得到点C ′，A ′，D ′的坐标，再根据待定系数法可以得到直线A ′C ′，BC ，C ′D ′的解析式，根据交点的计算方法列方程组可以求得点M ，N 的坐标，根据平移的定义和平行四边形的定义可知四边形CMNC ′是平行四边形，再根据平行四边形面积的计算方法可以得到平行四边形CMNC ′的面积．解：（1）当y ＝0时，﹣421x 2＋1621＋4＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝7， ①点A 坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（7，0）．①﹣2b a ＝162142()21-⨯- ①抛物线w 的对称轴为直线x ＝2，①点D 坐标为（2，0）．当x ＝0时，y ＝4，①点C 的坐标为（0，4）．设直线l 的表达式为y ＝kx ＋b ，420b k b =⎧⎨+=⎩解得k=-2b=4⎧⎨⎩①直线l 的解析式为y ＝﹣2x ＋4；(2)①抛物线w 向右平移，只有一种情况符合要求，即①F AC ＝90°，如图．此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，①①1＋①2＝90°①2＋①3＝90°，①①1＝①3，①tan①1＝tan①3，①FGAG=AOCO．设点F的坐标为（xF，﹣2xF＋4），①(24)(3)FFxx---＋＝34，解得xF＝5，﹣2xF＋4＝﹣6，①点F的坐标为（5，﹣6），此时抛物线w′的函数表达式为y＝﹣421x2＋4021x；(3)由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′①x轴，C′D′①CD，可用待定系数法求得直线A′C′的表达式为y＝43x＋4﹣43m，直线BC的表达式为y＝﹣47x＋4，直线C′D′的表达式为y＝﹣2x＋2m＋4，分别解方程组4443324y x my x⎧=+-⎪⎨⎪=-+⎩和224447y x my x=-++⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得25445x my m⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩和75445x my m⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①点M的坐标为（25m，﹣45m＋4），点N的坐标为（75m，﹣45m＋4），①yM＝yN①MN①x轴，①CC′①x轴，①CC′①MN．①C′D′①CD，①四边形CMNC′是平行四边形，①S＝m[4﹣（﹣45m＋4）]＝45m2【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质、一次函数的解析式以及二次函数的应用，数形结合思想是关键．。
2024年九年级数学上册《二次函数》单元测试及答案解析
第二十二章二次函数(单元重点综合测试)班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x=3时，y=18，那么当成本为3.2×105元时，边长为()A.1.6×103厘米B.4×102厘米C.0.4×103厘米D.2×103厘米2.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是()x....-1034....y....0-5-8-5....A.图象的开口向下B.有最小值-8C.图象与x轴的一个交点是5,0D.图象的对称轴是x=3 23.一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.4.坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图像相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=12，BC=4，CD=6，则MN的长度是()A.8B.9C.10D.115.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1,n，且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间．则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a c-n；④一元二次方程ax2+bx+c =n -1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=2．其中正确结论的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个6.如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，则b 的值是()A.23B.13C.73D.437.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，球从点O 正上方2m 的A 处发出，其运行的高度y (m )与水平距离x (m )满足关系式y =-160x -6 2+2.6．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是()A.球运行的最大高度是2.43mB.球不会过球网C.球会过球网且不会出界D.球会过球网且会出界8.如图，抛物线G :y 1=a (x +1)2+2与抛物线H :y 2=-(x -2)2-1交于点B (1,-2)，且分别与y 轴交于点D ，E ．过点B 作x 轴的平行线，交抛物线于点A ，C ．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，y2总是负数；③当-3<x<1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.49.设二次函数y=a x+mx+m-k(a<0，m，k是实数)，则()A.当k=2时，函数y的最大值为-4aB.当k=2时，函数y的最大值为-2aC.当k=4时，函数y的最大值为-4aD.当k=4时，函数y的最大值为-2a10.如图，已知点A-1,0，点B2,3．若抛物线y=ax2-x+2(a为常数，a≠0)与线段AB有两个不同的公共点，则a的取值范围是()A.a≥3B.a≤-3或34≤a<1C.-3<a<1或a≥3D.34≤a<1二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.标准大气压下，质量一定的水的体积V cm3与温度t°C之间的关系满足二次函数V=18t2+104t>0，则当温度为4°C时，水的体积为cm3．12.已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P2,y1，Q3,y2在抛物线C 上，则y1y2(填“>”或“<”)；13.在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系：，求出y2与直线y=32x+7的交点坐标为．14.如图，将抛物线y =x 2-2x -3在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像C 1,当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是．15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．16.如图，二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ．现有一长为3的线段DE 在直线y =32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的橫坐标为t ，则t 的取值范围是．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知二次函数的图像以A-1,4．为顶点，且过点B2,-5(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．18.飞机降落后滑行的距离S(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是S=at²+bt，当t=5时，S=262.5；当t=10时，S=450．(1)求该函数的解析式；(2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出飞机降落后滑行到停下来前进了多远？19.已知一次函数y=ax+b的图像上有两点A、B，它们的横坐标分别是2、-1，若二次函数y=x 2的图像经过A、B两点．(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像；(2)若P m,y1两点都在二次函数y=x 2的图像上，试比较y1与y2的大小． ，Q m+1,y220.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A-1,0两点，交y轴于点C，点P m,n，B3,0在抛物线上．(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)若此抛物线点P右侧的部分(不含点P)上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的解析式是y1=x2，直线l的解析式是y2=-14，点F0,1 4，点P是在该抛物线上的动点，连接PF，过P作PN⊥l．(1)求证：PF=PN；(2)设点E-2,6，求PE+PF的最小值及此时点P的坐标．22.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；在两公司租出的汽车数量相等且都为x(单位：辆，0<x≤50)的条件下，甲的利润用y1表示(单位：元)，乙的利润用y2(单位：元)表示，根据上述信息，解决下列问题：(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．23.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．(1)(Ⅰ)列表：①②③④⑤⑥x023456y01 2.254 6.259(Ⅱ)描点：请将表格中的x,y描在图2中；(Ⅲ)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x-h2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m，CD=n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数y=a x-h2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2．①此时点B 的坐标为；②将点B 坐标代入y=ax2中，解得a=；(用含m，n的式子表示)方案二：设C点坐标为h,k①此时点B的坐标为；②将点B坐标代入y=a x-h2+k中解得a=；(用含m，n的式子表示)(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+h2+k和C2:y2=a x+h2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.中新社上海3月21日电(记者缪璐)21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C(向后翻腾三周半抱膝)．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A3,10起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)近似满足函数关系式y=a x-h．2+k a<0(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m03 3.54 4.5竖直高度y/m1010k10 6.25根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；(2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-5x2+40x-68，记她训练的入水点的水平距离为d1，比赛当天入水点的水平距离为d2，请通过计算比较d1与d2的大小；(3)在(2)的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=-5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？25.综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD上一点，且AF=2AE．点M从点E出发，沿正方形ABCD的边顺时针运动；点N同时从点F出发，沿正方形ABCD的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时M,N两点都停止运动，设点M运动的时间为t秒，△AMN的面积为S，探究S与t的关系．初步感知根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出．(1)AE的长为，AB的长为．(2)a的值为，S的最大值为．延伸探究(3)请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．(4)求b的值，并求出当S>3时，t的取值范围．第二十二章二次函数(单元重点综合测试)班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x=3时，y=18，那么当成本为3.2×105元时，边长为()A.1.6×103厘米B.4×102厘米C.0.4×103厘米D.2×103厘米【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，把y=3.2×105代入函数解析式就可以求出结论．【详解】解：设y=kx2，∵当x=3时，y=18，∴9k=18，k=2，∴y=2x2，当成本为3.2×105元时，有2x2=3.2×105，x2=1.6×105，x=4×102．故选：B．2.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是()x....-1034....y....0-5-8-5....A.图象的开口向下B.有最小值-8C.图象与x轴的一个交点是5,0D.图象的对称轴是x=3 2【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，由题意可知a-b+c=0c=-59a+3b+c=-8 ，解得a=1b=-4 c=-5 ，∴二次函数的解析式为y=x2-4x-5 =x-5x+1=x -2 2-9，∴函数的图象开口向上，顶点为2,-9 ，图象与x 轴的交点分别为-1,0 和5,0 ，∴图象的对称轴是x =2，函数有最小值-9，∴选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意．故选：C ．3.一次函数y =ax +b 和二次函数y =ax 2+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A. B.C. D.【答案】B 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数y =ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y =ax 2+bx 的图象相比是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a <0，x =-b 2a<0，得b <0，由直线可知，a >0，b >0，故本选项不符合题意；B 、由抛物线可知，a >0，x =-b 2a <0，得b >0，由直线可知，a >0，b >0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a <0，x =-b 2a <0，得b <0，由直线可知，a <0，b >0，故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，a >0，x =-b 2a>0，得b <0，由直线可知，a <0，b >0，故本选项不符合题意．故选：B4.坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M 、N 皆在x 轴上，且有一水平线与两图像相交于A 、B 、C 、D 四点，各点位置如图所示，若AB =12，BC =4，CD =6，则MN 的长度是()A.8B.9C.10D.11【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由AB ，BC ，CD 的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，M 和C ，N 和B ，C 和B 横坐标的差，从而推出M 和N 的横坐标之差，得到MN 的长度．【详解】由A、B、C、D四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同∵AB=12，BC=4，CD=6，∴AC=AB+BC=16,BD=4+6=10∴x C-x M=AC2=8，x N-x B=BD2=5又∵x C-x B=BC=4∴MN=x N-x M=(x N-x B)+(x C-x M)-(x C-x B)=5+8-4=9．故选：B．5.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为1,n，且与x轴的一个交点在点3,0和4,0之间．则下列结论：①a-b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a c-n；④一元二次方程ax2+bx+ c=n-1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=2．其中正确结论的个数有()A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口向下得到a<0，再根据顶点坐标结合对称轴公式得到b=-2a>0，即b+2a=0，则可判断②；由对称性可得当x=-1时，y=a-b+c>0，则可判断②；根据函数图象可知抛物线与直线y=n-1有两个交点，则可判断④；根据二次函数与一元二次方程之间的关系可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵顶点坐标为1,n，∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，∴b=-2a>0，即b+2a=0，∴3a+b=2a+b+a=a<0，②错误；∵当x=3时y>0，抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=-1时，y=a-b+c>0，①正确；∵抛物线顶点纵坐标为n，∴4ac-b24a=n，∴b2=4ac-4an=4a c-n，③正确；由图象可得抛物线与直线y=n-1有两个交点，∴ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，④正确；∵抛物线对称轴为直线x=1，方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2，，∴x1+x22=1，∴x1+x2=2，⑤正确．故选：B ．6.如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，则b 的值是()A.23B.13C.73D.43【答案】B【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，证明△BEC ≌△CFD ，进而求出D 点坐标，代入解析式进行求解即可．【详解】解：如图所示，作BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，则：∠BEO =∠CFD =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠BCE =∠CDF =90°-∠DCF ，∴△BEC ≌△CFD ，∴CF =BE ,DF =CE ，∵点B ，C 的坐标分别是(-2,1)，(2,0)，∴BE =CF =1,OC =2,DF =CE =2+2=4，∴OF =3，∴D 3,4 ，∵点D 在抛物线y =13x 2+bx 的图像上，∴4=13×32+3b ，∴b =13；故选B ．7.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，球从点O 正上方2m 的A 处发出，其运行的高度y (m )与水平距离x (m )满足关系式y =-160x -6 2+2.6．已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．下列判断正确的是()A.球运行的最大高度是2.43mB.球不会过球网C.球会过球网且不会出界D.球会过球网且会出界【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为2.6m，由此即可判断A；求出当x=9时，y的值，再与2.43m进行比较即可判断B；求出当x=18时，y的值，再与0比较即可判断C、D．【详解】解：∵抛物线解析式为y=-160x-62+2.6，∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意；在y=-160x-62+2.6中，当x=9时，y=-1609-62+2.6=2.45>2.43，∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；在y=-160x-62+2.6中，当x=18时，则y=-16018-62+2.6=0.2>0，∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；故选D．8.如图，抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于点B(1,-2)，且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，y2总是负数；③当-3<x<1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】①先求抛物线G的解析式，再根据抛物线G,H的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出-3<x<1时，观察图像可知y1 >y2，然后计算y1-y2，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出A,E,C,D的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】①∵抛物线G:y1=a(x+1)2+2与抛物线H:y2=-(x-2)2-1交于点B1,-2，∴x=1,y=-2，即-2=a(1+1)2+2，解得a=-1，∴抛物线G:y1=-x+12+2，∴抛物线G的顶点(-1,2)，抛物线H的顶点为(2,-1)，将(-1,2)向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为(2,-1)，即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故①正确；②∵(x-2)2≥0，∴-(x-2)2≤0，∴y2=-x-22-1≤-1，∴无论x取何值，y2总是负数，故②正确；③∵B1,-2，∵将y=-2代入抛物线G:y1=-x+12+2，解得x1=-3,x2=1，∴A(-3,-2)，将y=-2代入抛物线H:y2=-x-22-1，解得x1=3,x2=1，∴C(3,-2)，∵-3<x<1，从图像可知抛物线G的图像在抛物线H图像的上方，∴y1>y2∵y1-y2=-(x+1)2+2-[-(x-2)2-1]=-6x+6∴当-3<x<1，随着x的增大，y1-y2的值减小，故③不正确；④设AC与y轴交于点F，∵B1,-2，∴F(0,-2)，由③可知∴A(-3,-2)，C(3,-2)，∴AF=CF，AC=6，当x=0时，y1=1,y2=-5，即D(0,1),E(0,-5)，∴DE=6，DF=EF=3，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC=DE,AC⊥DE，∴四边形AECD是正方形，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．9.设二次函数y =a x +m x +m -k (a <0，m ，k 是实数)，则()A.当k =2时，函数y 的最大值为-4aB.当k =2时，函数y 的最大值为-2aC.当k =4时，函数y 的最大值为-4aD.当k =4时，函数y 的最大值为-2a【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数y =a x +m (x +m -k )与x 轴的交点坐标是-m ，0 ,-m +k ，0 ．得到二次函数的对称轴是直线x =-m -m +k 2=-2m +k 2．根据开口方向进一步求出最值即可．【详解】解：由题意，令y =0，∴a x +m (x +m -k )=0，∴x 1=-m ，x 2=-m +k ．∴二次函数y =a x +m (x +m -k )与x 轴的交点坐标是-m ，0 ,-m +k ，0 ．∴二次函数的对称轴是：直线x =-m -m +k 2=-2m +k 2．∵a <0，∴y 有最大值．当x =-2m +k 2，y 最大，即y =a -2m +k 2+m -2m +k 2+m -k =-k 24a 当k =4时，函数y 的最大值为-4a ；当k =2时，函数y 的最大值为-a ．综上，C 选项正确．故选：C ．10.如图，已知点A -1,0 ，点B 2,3 ．若抛物线y =ax 2-x +2(a 为常数，a ≠0)与线段AB 有两个不同的公共点，则a 的取值范围是()A.a ≥3B.a ≤-3或34≤a <1C.-3<a <1或a ≥3D.34≤a <1【答案】B【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线AB 的解析式，令x +1=ax 2-x +2，根据有两个交点求出a 的取值范围，再分a >0和a <0两种情况讨论即可得到答案；【详解】解：设AB 所在直线为y =kx +b ，∵A -1,0 ，B 2,3 ，∴-k +b =02k +b =3，解得：k =1b =1 ，∴y =x +1，当x +1=ax 2-x +2时，∵二次函数与线段AB 有两个不同的公共点，∴(-2)2-4a ×1>0，解得：a <1，①当0<a <1时，此时函数的开口向上，∴a ×(-1)2-(-1)+2≥0，a ×22-2+2≥3，解得：34≤a <1，②当a <0时此时函数的开口向下，∴a ×(-1)2-(-1)+2≤0，a ×22-2+2≤3，解得：a ≤-3，综上所述得：34≤a <1，a ≤-3，故选：B ．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.标准大气压下，质量一定的水的体积V cm 3 与温度t °C 之间的关系满足二次函数V =18t 2+104t >0 ，则当温度为4°C 时，水的体积为cm 3．【答案】106【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．将t =4代入解析式求值即可．【详解】解：∵V =18t 2+104t >0 ，当t =4°C 时，V =18×42+104=106cm 3 ，∴水的体积为106cm 3．故答案为：106．12.已知二次函数y =x 2-2x +1的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点P 2,y 1 ，Q 3,y 2 在抛物线C 上，则y 1y 2(填“>”或“<”)；【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为y =x +1 2，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】解：y =x 2-2x +1=x -1 2，∵二次函数y =x 2-2x +1的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，∴抛物线C 的解析式为y =x +1 2，∴抛物线开口向上，对称轴为x =-1，∴当x >-1时，y 随x 的增大而增大，∵2<3，∴y 1<y 2，故答案为：<．13.在单位为1的正方形网格中，存在一平面直角坐标系．二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1，y 2=a 2x 2+b 2x +c 2的图象位于如图位置上，若它们的图象位置关系具有对称性，请描述它们的对称关系：，求出y 2与直线y =32x +7的交点坐标为．【答案】关于点-32,0 成中心对称-1,112 ，8,19 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与一次函数的交点等知识．(1)根据抛物线图像可求出y 1顶点坐标为-5,-1 ，开口向下；抛物线y 2顶点坐标为2，1 ，开口向上，根据点坐标与二次函数的图像可得出答案．(2)用待定系数法求出抛物线y 2的函数解析式，再令32x +7=12x -2 2+1，进一步求解即可求出y 2与直线y =32x +7的交点坐标．【详解】解：由图象可得抛物线y 1顶点坐标为-5,-1 ，开口向下；抛物线y 2顶点坐标为2，1 ，开口向上，∵点-5,-1 与点2，1 关于点-32，0对称，∴抛物线y 1与抛物线y 2关于点-32，0成中心对称．设抛物线y 2解析式为y 2=a x -2 2+1，由图象可得抛物线经过(4，3)，将(4，3)代入y 2=a x -2 2+1得3=4a +1，解得a =12，∴y 2=12x -2 2+1，令32x +7=12x -2 2+1，解得x 1=-1，x 2=8，将x 1=-1代入y =32x +7得y =112，把x 2=8代入y =32x +7得y =19，∴y 2与直线y =32x +7的交点坐标为-1,112 ，8，19 ，故答案为：-1,112 ，8，19 ．14.如图，将抛物线y =x 2-2x -3在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图像C 1,当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是．【答案】b >134或-3<b <1【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程x 2-2x -3=0得到A 、B 的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象y =x -1 2-4-1<x <3 沿x 轴翻折所得图象的解析式为y =-x -1 2+4=-x 2+2x +3-1<x <3 ，然后求出直线y =x +b 与y =-x 2+2x +3-1<x <3 相切b 的值，直线y =x +b 过A 和过B 点所对应的b 的值，再利用图象可判断直线y =x +b 与此图象有且只有两个公共点时b 的取值范围．【详解】解：当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，则A -1,0 ，B 3,0 ，y =x 2-2x -3=x -1 2-4，则顶点坐标为1,-4 ，把图象y =x -1 2-4-1<x <3 沿x 轴翻折所得图象的解析式为y =-x -1 2+4=-x 2+2x +3-1<x <3 ，如图，当直线y =x +b 与y =-x 2+2x +3-1<x <3 相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时x +b =-x 2+2x +3有两个相等的实数解，方程整理得x 2-x +b -3=0，Δ=(-1)2-4(b -3)=0，解得b =134，∴当b >134时，直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点，当直线y =x +b 过A -1,0 时，-1+b =0，解得b =1，当直线y =x +b 过B 3,0 时，3+b =0，解得b =-3，所以，当-3<b <1时，直线y =x +b 与此图象有且只有两个公共点．综上可知，当直线y =x +b 与图像C 1恰有两个公共点时，b 的取值范围是b >134或-3<b <1．故答案为：b >134或-3<b <1．15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB ⊥CD 于点O (如图)，其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得AE =6.6m ，OE =1.4m ，OB =6m ，OC =5m ，OD =3m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是cm 2．【答案】46.4【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO 和OC 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO 和OC 构成矩形，设矩形在射线OA 上的一段长为xm ，矩形菜地面积为S ，当x ≤8时，如图，则在射线OC 上的长为16-x -1.4+52=19.6-x 2则S =x ⋅19.6-x 2=-12x 2+9.8x =-12x -9.8 2+48.02，∵-12<0，∴当x ≤9.8时，S 随x 的增大而增大，∴当x =8时，S 的最大值为46.4；当x >8时，如图，则矩形菜园的总长为16+6.6+5 =27.6m ，则在射线OC 上的长为27.6-2x 2则S =x ⋅13.8-x =-x 2+13.8x =-x -6.9 2+47.61，∵-1<0，∴当x <6.9时，S 随x 的增大而减少，∴当x >8时，S 的值均小于46.4；综上，矩形菜地的最大面积是46.4cm 2；故答案为：46.4．16.如图，二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ．现有一长为3的线段DE 在直线y =32上移动，且在移动过程中，线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE 左端点D 的橫坐标为t ，则t 的取值范围是．【答案】-32≤t ≤2【分析】本题考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，先求出点A ，点B ，点C 坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解．【详解】解：∵二次函数y =33x 2-433x +3的图象交x 轴于点A ,B (点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C 当x =0时，y =3，当y =0时，33x 2-433x +3=0，解得：x 1=1,x 2=3∴A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，对称轴为直线x =2如图所示，∵线段DE 上始终存在点P ，使得三条线段P A ,PB ,PC 能与某个等腰三角形的三条边对应相等∴P A =PB 或PB =PC 或PC =P A ，∵段DE 在直线y =32上移动，∴点P 的纵坐标为32,设P x ,32①若PC =P A ，∴x 2+3-322=x -1 2+32 2解得：x =12∴P 12,32∴P A =PC =1,PC =7∵P A +PB =2<7∴不能构成三角形，舍去；②若PB =PC ，∴x 2+3-322=x -3 2+32 2解得：x =32∴P 32,32∵PB =PC =3,P A =1∴能构成三角形，③若P A =PB∴x-12+322=x-32+322解得：x=2∴P A=PB=72,PC=194∵P A+PB>PC，∴P A，PB，PC能组成三角形；∵点P在长为3的线段DE上，∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为32-3≤t≤2，即-32≤t≤2故答案为：-32≤t≤2．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知二次函数的图像以A-1,4为顶点，且过点B2,-5．(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．【答案】(1)与y轴的交点坐标为(0,3)；与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(1)设顶点式y=a(x+1)2+4，然后把(2,-5)代入求出a的值即可得出二次函数解析式；通过解方程-(x+1)2+4=0可得抛物线与x轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标；(2)由于抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)，把点(1,0)向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式y=-(x+1)2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4，把(2,-5)代入得9a+4=-5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-(x+1)2+4；当x=0时，y=-(x+1)2+4=-1+4=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)；当y=0时，-(x+1)2+4=0，解得x1=1,x2=-3，则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)；(2)解：因为抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0)，所以把抛物线解析式y=-(x+1)2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．18.飞机降落后滑行的距离S(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是S=at²+bt，当t=5时，S=262.5；当t=10时，S=450．。
二次函数全章复习与巩固—巩固练习提高-精品
《二次函数》【巩固练习】一、选择题1.已知抛物线。
：丁=/+31-10,将抛物线C平移得到抛物线若两条抛物线C、C关于直线x=l对称.则下列平移方法中，正确的是（）.A.将抛物线C向右平移2个单位B.将抛物线C向右平移3个单位2C.将抛的线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位2.已知二次函数y=4X2+bx+c的图象如图所示，则下列5个代数式：ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中，其值大于0的个数为（）.A.2B.3C.4D.53.二次函数）=以2+区+。
的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）.C.a+b+c>0D. b1 -4ac > 0第2题4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=/+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180。
，所得抛物线的解析式是（）A.j=-(x+l)2+2B.y=-(x-l)2+4C.y=-(x-l)2+2D.y=-(x+l)2+45.二次函数y=ax2+bx+c（a^0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A.函数有最小值B.对称轴是直线x二-2 C.当xV,，y随x的增大而减小2D.当-1V X V2时，y>06.如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3,0)；小彬说：过点(4,3)和(0,3)；小明说：a=l,c=3；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有().A.1个B.2个C.3个D.4个已知抛物线产Q Y+B X+C与x轴交于(1,0),试添加一个条件，使它的对称轴为直线x=2.7.己知一次函数y= +的图象过点(-2,1),则关于抛物线y=一版+3的三条叙述:①过定点(2,1)；②对称轴可以是直线x=L③当aVO时，其顶点的纵坐标的最小值为3・其中所有正确叙述的有().A.0个B.1个C.2个D.3个8.已知二次函数)=/—4冗+。
，下列说法错误的是().A.当xVI时，y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点，则aW4C.当a=3时，不等式冗2一4了+々>0的解集是1V X V3D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1,-2),则a=-3二、填空题9.由抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为r4 、10.已知一元二次方程笈一3=0的一根为-3.在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点一一，州、i5 j,yi、y?、丫3、的大小关系是11.如图，一段抛物线y=-x(x-1)(OWxWl)记为1山，它与x轴交点为0、Ai,顶点为1\；,顶点为P2；将叱绕点A2旋转180°得m3,交将n绕点A1旋转180°得叱，交x轴于点A2x轴于点A：,,顶点为P3,…，如此进行下去，直至得m>,顶点为Pm则Pi。
部编数学九年级上册 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)最值(巩固篇)(专项练习)(人教版)含答案
专题22.25 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠最值（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知实数x ，y 满足12x y +=，则2xy -的最大值为（ ）A ．10B ．22C ．34D ．1422．已知二次函数()220y ax ax c a =-+≠，当12x -££时，y 有最小值7，最大值11，则a c +的值为（ ）A ．3B ．9C ．293D ．2533．二次函数()212y x =--+，当05x ££时，y 的取值范围为（ ）A ．83y -££-B ．30y -££C ．81y -££D ．80y -££4．已知：二次函数2y -x +x 6=+，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y m =与新图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．254m <-B ．254m £-或0m =C ．254m <-或0m =D ．2504m -<<5．当13x ££时，二次函数223y x ax =++的最小值为－1，则a 的值为（ ）A ．-2B ．±2C ．2或52D ．2或1366x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >B ．2m ³C ．4m £且0m ≠D ．4m >7．已知二次函数2243(0)=++<y mx mx m ，当时32x -££，y 的最大值与最小值的差为6，则m 的值为（ ）A ．13-B ．13C ．34-D ．348．已知二次函数2()1y x h =-+（h 为常数），在自变量x 的值满足13x ££的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ）A ．5或1-B ．3或1-C ．5或3D ．3或19．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，下列结论不正确的是（ ）A ．抛物线的对称轴为直线2x =-B ．若120x x <<，则12y y <C ．y 的最大值为1 D ．若CD x ∥轴交抛物线于点D ，则4CD =10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数的最大值为4B ．函数图象关于直线1x =-对称C ．当1x <-时，y 随x 的增大而减小D ．x ＝1或3x =-是方程20ax bx c ++=的两个根11．二次函数y =ax 2+2ax +3（a 为常数，a ≠0），当a -1≤x ≤2时二次函数的函数值y 恒小于4，则a 的取值范围为（ ）A ．18a <B ．1a >-C ．108a <<或0a <D ．108a <<或10a -<<12．已知二次函数22y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ≠）的图象经过点(2,1)和(4,2)-，且当0x m ££时，函数22y ax bx =+-的最小值为2-，最大值为1，则m 的取值范围是（ ）A ．10m -££B ．23m £<C ．24m ££D ．2m ³二、填空题13．如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -．（1）a 的值为______，图象的顶点坐标为______；（2）若点(),Q m n 在该二次函数图象上，且点Q 到y 轴的距离小于2，则n 的取值范围为______．14．如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则四边形OAPB 周长的最大值为______．15．如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 互相垂直，且8AC BD +=，则四边形ABCD 面积的最大值为_____．16．一个斜抛物体的水平运动距离记为x （m ），对应的高度记为y （m ），y 是关于x 的二次函数．已知当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x =4时，y ＝0．该斜抛物体的所能达到的最大高度是_______m ．17．如图，点O 是正方形ABCD 的对称中心，射线OM ，ON 分别交正方形的边AD ，CD 于E ，F 两点，连接EF ，已知2AD =，90EOF Ð=°．（1）以点E ，O ，F ，D 为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF 的最小值是_________．18．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，P 为对角线BD 上一动点，F 为射线AD 上一点，若AP ＝PF ，则△APF 的面积最大值为_______19．平面直角坐标系xOy 中，已知点2(,26)P m n -，且实数m ，n 满足240m n -+=，则点P 到原点O 的距离的最小值为______．20．已知二次函数224my x mx -=-++（m 是常数），当02x ££时，函数的最大值是2，则m 的值为________．21．如图，已知抛物线2246y x x =-++与x 轴相交于于点A ，B ，与y 轴的交于点C ．点()P m n ，在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBCD 的面积为S ．下列结论：①4AB =；②6OC =；③274S =最大值，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）22．已知抛物线2(1)23y x m x m =-+++．（1）当m ＝0时，点（2，4） _____（填“在”或“不在”）该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为____．23．若x ＋y ＝5，则xy ＋1的最大值为______．24．已知抛物线()2210y ax ax a a =-++≠过点(),2A m ，(),2B n 两点，若线段AB 的长不大于2，则代数式23a a --的最小值是________．三、解答题25．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点(3,0)A -，抛物线的对称轴是直线1x =-，连接BC 、AC ．(1)用含a 的代数式求ABC S V ；(2)若6ABC S =V ，求抛物线的函数表达式：(3)在（2）的条件下，当11m x -££时，y 的最小值是-2，求m 的值．26．已知关于x 的一元二次方程222240x tx t t -+-+=，有两个不相等的实数根m ，n ．(1)求t 的取值范围；(2)当3t =时，解这个方程；(3)若m ，n 是方程的两个实数根，设()()22Q m n =--，试求Q 的最小值．参考答案1．C 【分析】利用二次函数的性质求解即可．解：∵x +y =12，∴y =12-x ，∴xy -2=x (12-x )-2=-x 2+12x -2=-(x -6)2+34，∵-1＜0，∴当x =6时，xy -2有最大值，最大值为34，故选：C ．【点拨】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．2．B 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线1x =，再分①0a >和②0a <两种情况，然后利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出,a c 的值，由此即可得．解：二次函数222(1)y ax ax c a x a c =-+=--+的对称轴为直线1x =，①当0a >时，则当11x -££时，y 随x 的增大而减小；当12x <£时，y 随x 的增大而增大，所以当1x =时，y 取得最小值；当1x =-时，y 取得最大值，所以27211a a c a a c -+=ìí++=î，解得18a c =ìí=î，符合题设，则此时189a c +=+=；②当0a <时，则当11x -££时，y 随x 的增大而增大；当12x <£时，y 随x 的增大而减小，所以当1x =时，y 取得最大值；当1x =-时，y 取得最小值，所以21127a a c a a c -+=ìí++=î，解得110a c =-ìí=î，符合题设，则此时1109a c +=-+=；综上，a c +的值为9，故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．3．C 【分析】根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当0x =时，3,y =- 当5x =时，8,y =- 从而可得答案．解：二次函数()212y x =--+，10,a =-<Q 所以函数有最大值，而05x ££，当2x =时，=1,y 最大值 当0x =时，3,y =- 当5x =时，8,y =-\ y 的取值范围为8 1.y -££故选C【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．4．C 【分析】画出翻折前后的图象，求出原图象的顶点坐标，利用翻折的性质求出原顶点翻折后对应点的坐标，上下移动y m =，观察y m =与新图象的交点情况，即可得出答案解：二次函数2y -x +x 6=+的图象及翻折后的图象如下图如所示，221256(24y x x x =-++=--+Q ，\二次函数2y -x +x 6=+图象的顶点C 的坐标为125(,)24，\翻折后顶点C 对应点C ¢的坐标为125(,24-，观察图象可知，当254m <-或0m =时，y m =与新图象有2个交点，故答案为：C ．【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质以及翻折的性质，解题的关键是求出原抛物线顶点翻折后对应点的坐标．5．A 【分析】将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可．解：y =x 2+2ax +3=（x +a ）2+3-a 2．抛物线开口向上，对称轴为直线x =-a ．∴当-a ≤1时，即a ≥-1，当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，当x =1时，y 有最小值=1+2a +3=4+2a ，∴4+2a =-1，∴a =-52，不合题意，舍去．当1<-a <3时，x =-a ，y 有最小值3-a 2．∴3-a 2=-1．∴a 2=4，∵1<-a <3，∴a =-2．当-a ≥3时，即a ≤-3，当1≤x ≤3，y 随x 的增大而减少．∴当x =3时，y 有最小值=9+6a +3=12+6a ．∴12+6a =-1．∴a =-136．∵a ≤-3．∴不合题意，舍去．综上：a =-2．故选：A ．【点拨】本题考查二次函数的最值，对a 的范围进行分类讨论是求解本题的关键．6．D 【分析】利用根号下的非负性，以及分母不为0进行求解，只需240x x m -+>恒成立，即只需函数24y x x m =-+的最小值大于0．x 总有意义，则240x x m -+>恒成立，Q 224(2)4y x x m x m =-+=-+-的最小值为4m -，\40m ->，即4m >．故选：D ．【点拨】本题考查了二次函数的最值，根号下的非负性，分母不能为0，解决本题的关键是求出二次函数的最小值．7．A 【分析】将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求解．解：由2243y mx mx =++，可得22(1)32y m x m =++-，∵m ＜0，∴当x =-1时，函数有最大值，且max 32y m =-，在32x -££范围内，函数先递增再递减，则：当x =-3时，y=3+6m ，当x =2时，y =3+16m ，∵m ＜0，∴函数的最小值为：min 316y m =+，∵max min 6y y -=，∴32(316)6m m --+=，∴解得13m =-，故选：A ．【点拨】本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数的解析式配成顶点式是解答本题的关键．8．A 【分析】由解析式可知该函数在x h =时取得最小值1、x h >时，y 随x 的增大而增大、当x h <时，y 随x 的增大而减小，根据13x ……时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若13h x <……，1x =时，y 取得最小值5；②若13x h <……，当3x =时，y 取得最小值5，分别列出关于h 的方程求解即可．解：Q 当x h >时，y 随x 的增大而增大，当x h <时，y 随x 的增大而减小，\①若13h x <……，1x =时，y 取得最小值5，可得：2(151)-+=h ，解得：1h =-或3h =（舍)；②若13x h <……，当3x =时，y 取得最小值5，可得：2(153)-+=h ，解得：5h =或1h =（舍)．综上，h 的值为1-或5，故选：A ．【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．9．B 【分析】从图象得到()30A -,、()1,0B -、()0,3C - ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可．解：A 、根据抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()30A -,、()1,0B -，可得出对称轴3122x --==-，该选项不符合题意；B 、根据抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =-，开口向下可知：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当20x -<<时，y 随x 增大而减小，所以当120x x <<，无法判断1y 与2y 的大小，该选项符合题意；C 、根据抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()30A -,、()1,0B -，可设交点式()()13y a x x =++，再根据抛物线与y 轴交于点()0,3C -，代值求解得1a =-，即抛物线表达式为()()13y x x =-++，当2x =-时，y 的最大值为1，该选项不符合题意；D 、若CD x ∥轴交抛物线于点D ，则()0,3C -、D 关于对称轴2x =-对称，从而得到()4,3D --，则4CD =，该选项不符合题意；故选：B ．【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．10．C 【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出0a <、二次函数对称轴为1x =-以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．解：观察二次函数图象，发现：开口向下，0a <，抛物线的顶点坐标为(1,4)-，对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点为(1,0)．A 、0a <Q ，\二次函数y 的最大值为顶点的纵坐标，即函数y 的最大值是4，选项正确，不符合题意；B 、Q 二次函数的对称轴为1x =-，\函数的图象关于直线1x =-对称，选项正确，不符合题意；C 、当1x <-时，y 随x 的增大而增大，选项错误，符合题意；D 、Q 二次函数的图象关于直线1x =-对称，且函数图象与x 轴有一个交点(1,0)，\二次函数与x 轴的另一个交点为(3,0)-．\ x ＝1或3x =-是方程20ax bx c ++=的两个根，选项正确，不符合题意．故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质求解．11．D 【分析】先求得对称轴为x =-1，再分a >0和a <0两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．解：对于二次函数y =ax 2+2ax +3，其函数图象的对称轴为x =-22aa=-1，当a >0时，a -1>-1，开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减少，当a -1≤x ≤2时，函数y 的值在x =2时，取得最大值，∴a ×22+2a ×2+3<4，解得：a <18，∴a 的取值范围为108a <<；当a <0时，a -1<-1，开口向下，当a -1≤x ≤2时，函数y 的值在顶点时，取得最大值，∴a ×(-1)2+2a ×(-1)+3<4，解得：a >-1，∴a 的取值范围为10a -<<；综上，a 的取值范围为108a <<或10a -<<，故选：D ．【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用已知条件画出函数的大致图象，结合图象利用数形结合的方法解答是解题的关键．12．C 【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．解：Q 二次函数22y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ≠）的图象经过点()2,1和()4,2-，∴422116422a b a b +-=ìí+-=-î，解得：343a b ì=-ïíï=î，∴223332(2)144y x x x =-+-=--+，∴二次函数的顶点坐标为()2,1，最大值为1，∵当0x m ££时，函数22y ax bx =+-的最小值为2-，最大值为1，∴令2y =-，则233224x x -+-=-，解得：10x =，24x =，∴24m ££，故选：C ．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．13． 2a = ()1,2- 211n £<【分析】（1）把P （−2，3）代入23y x ax =++中，即可求解；（2）由|m |＜2，结合二次函数的图像和性质，即可求n 的范围．解：（1）把P （−2，3）代入23y x ax =++中，得：()23223a =--+，∴a ＝2，∴223y x x =++＝（x ＋1）2＋2；∴图象的顶点坐标为（−1，2）； （2）点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m |＜2，∴−2＜m ＜2，∴当m =-1时，y 的最小值= 2，当m =2时，y 的最大值= 11，∴2≤n ＜11．【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，找到二次函数图像的对称轴，是解题的关键．14．212．【分析】设P （x ，x 2−2x −3）（0<x<3），根据矩形的周长公式得到C ＝−2232()x -＋212．根据二次函数的性质来求最值即可．解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，∴当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3=0即（x +1）（x -3）＝0，解得 x ＝-1或x ＝3故设P （x ，y ），设P （x ，x 2﹣2x-3）（0<x <3），∵过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，∴四边形OAPB 为矩形，∴四边形OAPB 周长C ＝2PA +2OA ＝﹣2（x 2﹣2x ﹣3）+2x ＝﹣2x 2+6x +6＝﹣2（x 2﹣3x ）+6，＝﹣2232(x -+212．∴当x ＝32时，四边形OAPB 周长有最大值，最大值为212．故答案为：212．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．8【分析】设BD =x ，则AC =8－x ，而四边形的面积为S =11(8)22AC BD x x =-g ，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值．解：如图，设AC 、BD 交于点O设BD =x ，则AC =8－x ，其中0<x <8∵1111+()2222ABD CBD S S S BD OA BD OC BD OA OC BD AC ==+=+=g g g △△∴211(8)(4)822S x x x =-=--+∵102->∴当x =4时，S 有最大值8故答案为：8【点拨】本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关键．16．4【分析】设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，根据x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x ﹣4时，y ＝0列方程组，可求出a 、b 、c 的值，可得二次函数解析式，转化为顶点式即可得答案．解：设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，∵x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x ﹣4时，y ＝0，∴031640c a b c a b c =ìï++=íï++=î，解得：140a b c =-ìï=íï=î，∴二次函数的解析式为224(2)4y x x x =-+=--+，∴该斜抛物体的所能达到的最大高度是4m ，故答案为：4【点拨】本题考查二次函数的最值，利用待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数各种形式解析式的转化是解题关键．17． 1 【分析】（1）连接AO ，DO ，证明()AEO DFO ASA ≌△△，可得EOFD S 四边形ADO S △=，求出Δ1414ADO S =´=即可求解；（2）设AE x =，则2ED x =-，由勾股定理可得()22212EF x =-+，即可求EF 的最小值．解：（1）连接AO ，DO ，∵90EOF Ð=°，∴90EOD FOD Ð+Ð=°，∵四边形ABCD 是正方形，O 是中心，∴90AOD Ð=°，AO DO =，45EAO FDO Ð=Ð=°，∴90EOD AOE Ð+Ð=°，∴FOD AOE Ð=Ð，∴()AEO DFO ASA ≌△△，∴EOFD S 四边形ADO S △=，∵2AD =，∴Δ1414ADO S =´=，∴ 1.EOFD S =四边形故答案为：1；（2）设AE x =，则2ED x =-，Q AEO DFO ≌△△，,DF AE x \==在Rt EDF V 中，()()222222244212EF x x x x x =+-=-+=-+，∴当1x =时，EF ，．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．18．4【分析】作PM ⊥AD 与M ，根据正方形的性质易得PM ＝DM ，设PM ＝DM ＝x ，则AM ＝4−x ，根据等腰三角形的性质即可得出AF ＝2（4−x ），由三角形面积公式得出S △APF ，进而根据二次函数的性质即可求得结果．解：作PM ⊥AD 与M ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝45°，∴△PDM 是等腰直角三角形，∴PM ＝DM ，设PM ＝DM ＝x ，则AM ＝4−x ，∵AP ＝PF ，∴AM ＝FM ＝4−x ，∴AF ＝2（4−x ），∵S △APF ＝12AF •PM ，∴S △APF ＝12×2（4−x ）•x ＝−x 2＋4x ＝−（x −2）2＋4，∴当x ＝2时，S △APF 有最大值4，故答案为：4【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19【分析】根据240m n -+=，可得24n m =+，进而可知22622n m -=+，由2(,26)P m n -，进而根据两点间距离公式进行求解即可．解：∵240m n -+=，∴24n m =+，∴22622n m -=+，∵2(,26)P m n -，∴点P 到原点距离为：=∴点P 到原点O =，．【点拨】本题考查二次函数的最值问题，点到原点的距离，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键．20．3或-6【分析】根据题目中的函数解析式和当0≤x ≤2时，y 的最大值是2，利用分类讨论的方法可以求得m 的值，本题得以解决．解：二次函数y =-x 2+mx +24m -=-（x -2m ）2+242m m -+，当22m＞时，即m ＞4，在0≤x ≤2时，x =2时取得最大值，则2=-22+2m +24m -，得2247m =＜（舍去）；当2m＜0时，即m ＜0，在0≤x ≤2时，x =0时取得最大值，则224m-=，得60m =-＜；当0≤2m≤2时，即0≤m ≤4，在0≤x ≤2时，x =2m 时取得最大值，则2422m m -+=，得13m =，22m =-（舍去），由上可得，m 的值是3或6-．故答案为：3或6-．【点拨】本题主要考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．21．①②③【分析】2246y x x =-++中令y =0得：22460x x -++=，得A （-1，0），B （3，0），从而判断①；2246y x x =-++中令x =0得：y =6，得C （0，6），从而判断②；过点P 作//PF y 轴，交BC 于点F ，求出BC 的函数关系式，得出点P 的坐标为2(,246)m m m -++，点F 的坐标为(,26)m m -+，再列出S 关于m 的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．解：∵抛物线2246y x x =-++与x 轴相交于于点A ，B ，∴令y =0得：22460x x -++=，解得：121,3x x =-=，∴A （-1，0），B （3，0），∴AB =4故①正确；∵抛物线2246y x x =-++与y 轴相交于于点C ，∴令x =0得：y =6，∴C （0，6），∴OC =6，故②正确；过点P 作//PF y 轴，交BC 于点F ，如图1所示．设直线BC 的解析式为y kx c =+，将(3,0)B 、(0,6)C 代入y kx c =+，得306k c c +=ìí=î，解得26k c =-ìí=î，\直线BC 的解析式为26y x =-+．Q 点(,)P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，\点P 的坐标为2(,246)m m m -++，则点F 的坐标为(,26)m m -+，22246(26)26PF m m m m m \=-++--+=-+，221327393(224S PF OB m m m \=×=-+=--+，\当32m =时，PBC D 面积取最大值，最大值为274．故③正确，故答案为：①②③．【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．22． 不在 （2，5）【分析】（1）将2x =代入()2123y x m x m =-+++计算即可；（2）先用m 表示出顶点坐标，然后确定顶点坐标纵坐标的最大时m 的值，进而确定顶点坐标即可．解：（1）∵m ＝0，∴抛物线解析式为23y x x =-+将2x =代入23y x x =-+可得：22235y =-+=．∴当m ＝0时，点（2，4）不在抛物线上，故答案为：不在．（2）()2123y x m x m =-+++即22161124m m m y x +-++æö=-+ç÷èø∴抛物线的顶点坐标为：（12+m ,26114m m -++）∵当顶点移动到最高处时，即纵坐标取最大值而()2261113544m m m -++=--+．∴当m =3时，纵坐标最大，即顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为（2,5）．故答案为：（2，5）【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，确定二次函数的顶点坐标成为解答本题的关键．23．294【分析】由x ＋y ＝5得x ＝5-y ，代入xy ＋1得（5-y ）y ＋1=-y 2+5y +1，进而求出最值．解：由x ＋y ＝5得x ＝5-y ，∴xy ＋1=（5-y ）y ＋1=-y 2+5y +1=-（y -52）2+294，∵-1<0，∴当y =52时，xy ＋1有最大值，且最大值为294．故答案为：294．【点拨】本题考查一元二次方程的最值问题，用一个未知数表示另一个未知数进而求最值解决问题的关键．24．3-【分析】根据二次函数的性质求出对称轴，然后结合线段AB 的长不大于2，求出a 的取值范围，再根据23a a --的增减性，求出最小值．解：∵抛物线()2210y ax ax a a =-++≠过点(),2A m ，(),2B n 两点，∴对称轴为：2122m n aa+-=-= ，∴顶点为()1,1 ，∴由题意可知0a > ，∵线段AB 的长不大于2，∴12a +³ ，∴1a ³ ，∵当1a ³时，23a a --随着a 的增大而增大．∴当1a =时，23a a --有最小值，最小值为3-；故答案为：3-.【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出12a +³，求出a 的取值范围是解题的关键．25．(1)6ABC S a =△(2)y =x 2+2x -3(3)m 【分析】（1）将点A 的坐标代入抛物线表达式列等式，再根据对称轴列等式，依此分别把b 、c 用含a 的代数式表示，即可解答；（2）利用（1）的结果，根据面积为6，建立方程求解即可；（3）分两种情况讨论，即①当m -1≥-1时，②当m -1＜-1时，分别根据二次函数的性质，结合最小值为-2，建立关于m 的方程求解，即可解答．(1)解：将点A 的坐标代入抛物线表达式得：9a -3b +c =0①，∵函数的对称轴为：12b x a=-=-，∴b =2a ②，将②代入①得c =-3a ，∴抛物线的表达式为：y =ax 2+2ax -3a ，设y =ax 2+2ax -3a =0，解得x =1或-3，∴B 的坐标为（1,0），∴AB =1-(-3)=4，∵图象的开口向上，∴a >0，当x =0时，y =-3a ，∴C （0,-3a ），∴OC =3a ，∴11·43622ABC S AB OC a a ==´´=V ；(2)解：∵66ABC S a ==△，∴a =1，∴抛物线的表达式为：y =x 2+2x -3；(3)解：①当m -1≥-1时，即m >0，函数在x = m -1 时，取得最小值，即()()212132m m -+--=- ，解得m =（负值舍去），∴m ②当m -1＜-1时，即m ＜0，当x =-1时，函数取得最小值，而顶点的纵坐标()()2121342y =-+´--=-≠-，故此时，不存在m 的值，使得y 的最小值是-2；综上所述，m =【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与面积问题，二次函数的最小值问题，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质．26．(1)2t >(2)1233x x =+=(3)1-【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ=（-2t ）2-4（t 2-2t +4）＞0，然后解不等式即可；（2）当t =3时，方程化为x 2-6x +7=0，然后利用配方法解方程即可；（3）根据根与系数的关系得m +n =2t ，mn =t 2-2t +4，则Q =t 2-6t +8，配方得到Q =（t -3）2-1，利用非负数的性质得到当t =3时，Q 有最小值，最小值为-1．解：(1)根据题意得Δ=（-2t ）2-4（t 2-2t +4）＞0，解得t ＞2，即t 的取值范围为t ＞2；(2)当t =3时，方程化为x 2-6x +7=0，x 2-6x +9=2，（x -3）2=2，x\1233x x ==(3)根据根与系数的关系得m +n =2t ，mn =t 2-2t +4，Q =mn -2（m +n ）+4=t 2-2t +4-4t +4=t 2-6t +8=（t -3）2-1，∵t ＞2，∴当t =3时，Q 有最小值，最小值为-1．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
九年级数学 二次函数(巩固篇)(专项练习)Word版含解析
专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列函数：①2y x =-，①3y x=，①2y x ，①234y x x =++，y 是x 的反比例函数的个数有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y ＝﹣4x +5B ．y ＝x （2x ﹣3）C ．y ＝ax 2+bx +cD ．21y x =3．设y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数D ．以上均不正确4．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a ）、（b ）、（c ）、（d ）对应的图象排序（ ）（1） （2） （3） （4） （a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A 地的距离与时间的关系）A ．（3）（4）（1）（2）B ．（3）（2）（1）（4）C ．（4）（3）（1）（2）D ．（3）（4）（2）（1）知识点二、根据二次函数定义求参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（ ） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．已知函数y =ax 2+bx +c ，其中a ，b ，c 可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ） A ．125个B ．100个C ．48个D ．10个7．如果函数22(2)27m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m =±B ．2m =C ．m ＝﹣2D ．m 为全体实数8．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对知识点三、列二次函数解析式9．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（ ） A ．230(030)y x x x =-<< B ．230(030)y x x x =-+< C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<11．二次函数2y ax c =+的图象与22y x =的图象形状相同,开口方向相反,且经过点()1,1,则该二次函数的解析式为( ) A ．221y x =-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．223y x =-+12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（ ）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-+-C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-二、填空题知识点一、二次函数的判断 13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）15．下列函数中属于一次函数的是_____，属于反比例函数的是______，属于二次函数的是______A. y ＝x(x ＋1)B. xy ＝1C. y ＝2x 2－2(x ＋1)2D. y =16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____． 知识点二、根据二次函数定义求参数17．已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__． 18．若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数，则m 满足_____． 19．函数()21m y m x =++是关于x 的二次函数，则m=___ 20．若函数()2262mm y m x --=+是二次函数，则m =________．知识点三、列二次函数解析式21．矩形周长等于40，设矩形的一边长为x ，那么矩形面积S 与边长x 之间的函数关系式为____.22．在①ABC 中，已知BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y 与x 之间的关系为__________．23．正方形边长为2，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是______． 24．用一根长为10m 的木条，做一个长方形的窗框，若长为xm ，则该窗户的面积y （m 2）与x （m ）之间的函数表达式为_____． 三、解答题25．已知函数y=-(m+2)2-2m x (m 为常数),求当m 为何值时：(1)y 是x 的一次函数?(2)y 是x 的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标．26．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym2 ， 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．27．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?28．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件．()1如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利多少元？()2如果商场每天要赢利1200元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？()3用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？参考答案：1．A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x =-是一次函数，故选项①不符合题意；3y x=是反比例函数，故选项①符合题意； 2y x 是二次函数，故选项①不符合题意；234y x x =++是二次函数，故选项①不符合题意；①y 是x 的反比例函数的个数有：1个 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解． 2．B【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】A 、y ＝﹣4x+5是一次函数，故选项A 不合题意； B 、y ＝x （2x ﹣3）是二次函数，故选项B 符合题意；C 、当a ＝0时，y ＝ax 2+bx+c 不是二次函数，故选项C 不合题意；D 、21y x =不是二次函数，故选项D 不合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 3．C【分析】设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2，根据y ＝y 1﹣y 2得到y ＝k 1x ﹣k 2x 2，由此得到答案． 【详解】解：设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2， 则y ＝k 1x ﹣k 2x 2，所以y 是关于x 的二次函数， 故选：C ．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 4．A【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论．【详解】解：根据题意分析可得：（a ）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）； （b ）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）； （c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）；（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）． 故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了反比例函数图象，抛物线，一次函数图象，分析得到各小题中的函数关系是解题的关键． 5．A【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：a ﹣1≠0， 解得：a ≠1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．B【分析】根据二次函数的定义得到0a ≠，依据a 、b 、c 的选法通过计算即可得到答案 【详解】由题意0a ≠， ①a 有四种选法：1、2、3、4，①b 和c 都有五种选法：0、1、2、3、4， ①共有455⨯⨯=100种， 故选：B【点睛】此题考查二次函数的定义2(0)y ax bx c a =++≠，有理数的乘法运算，根据题意得到a 、b 、c 的选法是解题的关键． 7．C【分析】根据二次函数定义可得m -2≠0，222m -=，再解即可． 【详解】解：由题意得：m -2≠0，222m -=， 解得：m=-2， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．8．B【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，①m=7，故选：B．【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．9．C【详解】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．10．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．故选：C．【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．11．D【分析】根据二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同,开口方向相反,得到a=−2,然后把点(1,1)代入y=−2x2+c求出对应的c的值，从而可得到抛物线解析式.【详解】①二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，①a=−2，①二次函数是y=−2x2+c，①二次函数y=ax2+c经过点(1,1)，①1=−2+c，①c=3，①抛该二次函数的解析式为y=−2x 2+3； 故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解. 12．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：每件的利润为（x -21）， ①y =（x -21）（350-10x ） =-10x 2+560x -7350． 故选B ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润． 13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．①①①【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【详解】解：y 是x 的二次函数的有①，①，①． 故答案是：①，①，①．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）． 15． C B A【详解】根据题意可知y=x （x+1）=x 2+x ，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1是反比例关系，所以是反比例函数；而y ＝2x 2－2(x ＋1)2= y ＝2x 2－2(x 2+2x+1)=-4x -2，是一次函数；函数y . 故答案为C 、B 、A. 16． 3 0【分析】根据二次函数的定义解答即可．【详解】二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0． 故答案是：3；0．【点睛】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0． 17．k ≠2【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0， 解得：k ≠2， 故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 18．m ≠﹣1【分析】利用二次函数定义可知m+1≠0，再解不等式即可； 【详解】解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠﹣1， 故答案为：m≠﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题的关键； 19．2【分析】根据二次函数的定义可得220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，求解即可．【详解】解：①函数()21my m x =++是关于x 的二次函数，①220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，解得2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的定义，注意二次项系数不能为0． 20．4【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案． 【详解】由题意得：2262m m --=，且20m +≠， 解得：4m =． 故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解决问题的关键是明确最高次项的次数为2，且最高次项系数不为0． 21．220S x x =-+【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：设矩形的一边长为x 米，另一边长为（20-x ）米， ①由矩形的面积公式，得 2(20)20S x x x x =-=-+【点睛】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式． 22．y=x 2+12x【分析】根据已知得出三角形的高，进而利用三角形面积公式求出即可． 【详解】①BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1， ①这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：y=12x （2x+1）=x 2+12x ． 故答案为y=x 2+12x ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据三角形面积公式得出是解题关键． 23．y=x 2+4x【分析】增加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】新正方形的边长为2x +，原正方形的边长为2． ∴新正方形的面积为2(2)x +，原正方形的面积为4， 22(2)44y x x x ∴=+-=+，故答案为24y x x =+．【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．24．y ＝﹣x 2+5x【分析】直接利用根据实际问题列二次函数解析式关系式，正确表示出长方形的宽是解题关键．【详解】设长为xm ，则宽为（5﹣x ）m ，根据题意可得：y ＝x （5﹣x ）＝﹣x 2+5x ．故答案是：y ＝﹣x 2+5x ．【点睛】考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出长方形的宽是解题关键．25．(1)(2) m =2，纵坐标为-8的点的坐标是，-8)，（，-8）【分析】（1）根据一次函数的定义求m 的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m 的值，从而求得二次函数的解析式，把y =-8代入解析式，求得x 的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标．【详解】(1)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的一次函数，得221,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得 ①当y 是x 的一次函数；(2)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的二次函数，得222,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得m=2，m=-2(不符合题意的要舍去)，当m=2时，y 是x 的二次函数，当y=-8时，-8=-4x 2，解得故纵坐标为-8的点的坐标是-8)和（，-8）．【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．26．y=﹣12x2+20x ，自变量x 的取值范围是0＜x≤25．【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC 的长度可得出AB 的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y 与x 之间的函数关系式.试题解析：①四边形ABCD 为矩形，BC=x①AB=40-2x ． 根据题意得：24012022x y BC AB x x x -⎛⎫=⨯==-+ ⎪⎝⎭，因为墙长25米，所以025x <≤． 27．(1) y ＝x2－9x ＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x ＜4.【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；（2）通过二次函数的定义可判断；（3）根据x 取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x)·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20．(2)上述函数是二次函数．(3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4．点睛：此题主要考查了根据题意列函数的解析式，熟悉掌握根据题意列函数关系式是解决此题的关键.28．（1）如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；()2每件衬衫应降价20元．()3每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w 元，每件衬衫应降价x 元，据题意可得利润表达式，（1）把x ＝5代入求得相应的w 的值即可；（2）再求当w ＝1200时x 的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．【详解】（1）设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得w ＝（40−x ）（20＋2x ）＝−2x 2＋60x ＋800＝−2（x−15）2＋1250当x ＝5时，w ＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元）答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；；()2当w 1200=时，22x 60x 8001200-++=，解之得1x 10=，2x 20=．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．()3商场每天盈利()()40x 202x -+22(x 15)1250=--+．所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键．。
部编数学九年级上册22.35《二次函数》全章复习与巩固(知识讲解)(人教版)含答案
专题22.35 《二次函数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.特别说明：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④， 其中；⑤.（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)当时开口向上当时开口向下()2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.) (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).特别说明：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等20()y ax bx c a =++≠,,a bc 2y ax bx c =++实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解特别说明：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.特别说明：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D．(1)求该二次函数的表达式，以及与x 轴的交点坐标．(2)若点Q （m ，n ）在该二次函数图象上，①求n 的最小值；②若点Q 到x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m 的取值范围．【答案】(1)223y x x =--，与x 轴的交点坐标为(3,0)和(1,0)-(2)①-4；②1m ＜0或2＜m ＜【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令0y =，解2230x x --=即可求得交点坐标．（2）①把函数解析式变形为顶点式即可求得答案；②根据平面直角坐标系内点到x 轴的距离的特点即可求解．(1)解：将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得，51643b c c =++ìí=-î，解得23b c =-ìí=-î，故抛物线的表达式为223y x x =--，令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得3x =或1x =-，故抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)和(1,0)-．(2)①2223(1)44y x x x =--=--³，故n 的最小值为﹣4；②令223|3|y x x ＝﹣﹣＝，解得0x ＝或2或1故m 的取值范围为：10m <<或21m <<．【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质、利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质和待定系数法是解题的关键．举一反三：【变式1】已知x 与y 之间的函数关系式为21y ax bx =++（其中a 、b 是常数），且有下列对应关系：x 1－2y－117(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若点(3,)n ，点(,10)m n +均在抛物线21y ax bx =++上，求m 的值．【答案】(1)2241=-+y x x (2)14m =，22m =-．【分析】（1）利用待定系数法，将对应的x ，y 代入21y ax bx =++，解二元一次方程组即可；（2）先将3x =代入y 与x 之间的函数关系式求出n 的值，再将10y n =+代入y 与x 之间的函数关系式求出m 的值．(1)解：由题意得，1142117a b a b ++=-ìí-+=î解得，24a b =ìí=-î∴y 与x 之间的函数关系式为2241=-+y x x ．(2)解：∵点(3,)n 在抛物线2241=-+y x x 上，∴2234317n =´-´+=．∴1017n +=，∵点(,10)m n +在抛物线2241=-+y x x 上，∴217241m m =-+，整理得2280m m --=，解得14m =，22m =-．【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标的特征，难度较小，牢记二次函数图象上的点均满足函数解析式是解题的关键．【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．(1)求m的值以及二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．【答案】(1)m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；(2)△POA的面积为3．【分析】（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．(1)解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：m=3，∴A（3，3），把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：3=-9+3b，解得：b=4，∴y=-x2+4x，答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；(2)解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴顶点P（2，4），把x=2代入y=x中得：y=2，∴D（2，2），∴PD=4-2=2，∵△POA 的面积=△OPD 的面积+△APD 的面积，∴△POA 的面积=12PD •OC +12PD •AE =12PD （OC +AE ）=12×2×3=3，答：△POA 的面积为3．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA 的面积分成△OPD 的面积与△APD 的面积之和是解题的关键．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，它与x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)-，对于下列结论：①20b a -=；②0abc <；③420a b c ++<；④80a c +>．其中结论正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】B【分析】根据开口方向确定a 的符号后再根据抛物线与x 轴的交点坐标得到对称轴，确定b 的符号，即可判断①，利用抛物线与y 轴交点位置确定c 的符号，即可判断②，令2x =即可判断③，利用根与系数的关系即可判断④．解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且与x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)-，∴0a ＞，且该图象的对称轴为12bx a=-=，∴2b a =-，∴240b a a -=-＜，故①错误；由图可知，抛物线交y 轴负半轴，∴0c ＜，又∵0a ＞，20b a =-＜，∴0abc ＞，故②错误；由图可知，当2x =时，420y a b c =++＜，故③正确；∵()133ca=-´=-，∴3c a =-，∴850a c a +=＞，故④正确；故选：B ．【点拨】本题考查了抛物线的解析式以及它的图象与性质，解题关键是理解并掌握对称轴公式、一元二次方程根与系数的关系以及会根据点的坐标判断代数式的取值情况．举一反三：【变式1】如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0，且对称轴为直线1x =-，其部分图像如图所示．下列说法正确的个数是（ ）．①0ac >；②240b ac -<；③930a b c -+>；④2am bm a b +<-（其中1m ¹-）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据抛物线的性质，对称性，抛物线与x 轴的交点，与y 轴的交点，最值去分析判断即可．解：∵ 抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0，开口向下，与y 轴交点位于y 轴的正半轴，且对称轴为直线1x =-，∴ a ＜0，c ＞0，a +b +c =0，1112x +=-，102ba-=-＜，∴ac ＜0，13x =-，240b ac -＞，930a b c -+=，故①②③都是错误的；∵a ＜0，∴抛物线有最大值，且当x =-1时，取得最值，且最大值为a -b +c ，∴当m ≠-1时，2am bm c a b c ++<-+，故2am bm a b +<-，故④正确，故选B ．【点拨】本题考查了抛物线的性质，对称性，最值，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线的性质和最值、对称性是解题的关键．【变式2】如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于()3,0-，对称轴为1x =-．则下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③30a c +=；④若13,2y æö-ç÷èø，21,2y æöç÷èø是图象上的两点，则12y y >；⑤若y c £，则20x -££．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由图象可知当x =0时，c <0，再根据开口向上及对称轴<02ba-，即可得a 、b 的取值范围，据此即可判定①；根据题意可求得函数图象与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数的性质，即可判定②；根据对称轴所在的直线为12ba-=-，可得b =2a ，由当x =1时，a +b +c =0，即可判定③；首先可求得点13,2y æö-ç÷èø关于对称轴对称的点的坐标为11,2y æö-ç÷èø，再根据二次函数的性质，即可判定④；首先可求得点(0,c )关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c )，再根据函数图象即可判定⑤，据此即可解答．解：由图象可知，当x =0时，y <0，∴c <0，Q 该二次函数的图象开口向上，>0a \，<02ba-Q ，>0b \ <0abc \，∴①不正确；∵对称轴为直线x =−1，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于()3,0-，∴二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的另一个交点为()1,0，Q 该二次函数的图象开口向上，\当x =2时，420a b c ++>∴②正确；12ba-=-Q ，2b a \=，Q 二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的另一个交点为()1,0，\当x =1时，a +b +c =0，∴a +2a +c =0，即3a +c =0，∴③正确；∵函数图象的对称轴为直线x =-1，∴点13,2y æö-ç÷èø关于对称轴对称的点的坐标为11,2y æö-ç÷èø，Q 该二次函数的图象开口向上，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴12<y y ，∴④不正确；Q 该函数图象与y 轴的交点坐标为(0,c )，\点(0,c )关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c )，y c \£时，20x -££，∴⑤正确；故正确的有3个，故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取相关信息，采用数形结合的思想是解题的关键．类型三、二次函数与一次函数、不等式3．抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A （﹣3，0）和点C （0，3）．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）若过顶点D 的直线将△ACD 的面积分为1：2两部分，并与x 轴交于点Q ，则点Q 的坐标为 ．注：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标（24,24b ac b a a--）【答案】（1）y=-x2-2x+3，顶点D（-1，4）；（2）（-1，0）或7 (,0)3-【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题；（2）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的函数表达式，设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），结合已知可得AE=2CE或CE=2AE，从而得出方程2(x+3)2=2或2(x+3)2=8，得出点E的坐标，再求出直线DE的解析式即可得出点Q的坐标．解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），∴9303b cc--+=ìí=î，解得：23bc=-ìí=î；∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点D（-1，4）．（2）设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将A（-3，0），C（0，3）代入y=kx+a，得：303k bb-+=ìí=î；解得：13kb=ìí=î，∴直线AC的函数表达式为y=x+3．设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），∵直线AC将△ADC的面积分成1：2的两部分，且△ADE和△CDE等高，∴AE=2CE或CE=2AE，∵AC=∴AE=AE=∴2(x+3)2=2或2(x+3)2=8∴x=-2或-4或-1或-5∵-3＜x＜0∴x=-2或-1∴点E的坐标为（-2，1）或（-1，2）当点E的坐标为（-2，1）时设直线DE的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将E（-2，1），D（-1，4）代入y=mx+n，得：2m n1m n4-+=ìí-+=î；解得：m3n7=ìí=î，∴直线AC的函数表达式为y=3x+7．当y=0时，x=7 3 -∴点Q的坐标为（73-，0）当点E的坐标为（-1，2）时，∵D（-1，4），∴直线DE//y轴，点Q的坐标为（-1，0）∴点Q的坐标为（-1，0）或7 (,0)3-【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由直线AC将△ADE的面积分成1：2的两部分，找出关于x的一元二次方程．举一反三：【变式1】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示：(1)根据图象解答问题：方程 20ax bx c ++=的两个根为 ；不等式20ax bx c ++<的解集为 ；(2)试根据图象信息，求二次函数的解析式．【答案】(1)13x =-，21x =；31x -<<(2)224233y x x =+-【分析】（1）根据函数图象与x 轴交点的横坐标就是方程20ax bx c ++=的两个根即可解出；根据不等式与函数图象的关系可知不等式20ax bx c ++<对应着x 轴下方的图象，写出图象对应的x 范围即可；（2）根据题中二次函数图象可知其与x 轴交于两点()3,0-、()1,0，可设二次函数交点式，再将与y 轴的交点()0,2-代入交点式方程求解a ，即可得出解析式．(1)解：由图象可知，2y ax bx c =++图象与x 轴交于两点()3,0-、()1,0，即当3x =-时，0y =；当1x =时，0y =，\当0y =时，得到方程20ax bx c ++=的两个根为13x =-，21x =；Q 不等式20ax bx c ++<对应着0y <，从不等式与函数图象的关系看来，不等式20ax bx c ++<的解集意味着x 轴下方图象对应着的x 的取值范围，\不等式20ax bx c ++<的解集为31x -<<；(2)解：由图象可知，2y ax bx c =++图象与x 轴交于两点()3,0-、()1,0，与y 轴交于点()0,2-，设二次函数交点式为()()31y a x x =+-，将()0,2-代入()()31y a x x =+-，得到()()203013a a -=+-=-，23a \=，即()()()222224312323333y x x x x x x =+-=+-=+-，\二次函数的解析式为224233y x x =+-．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质．准确掌握二次函数图象与一元二次方程的根、二次不等式解集之间的关系是解决此类问题的关键．【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题．例题：解一元二次不等式x 2﹣3x +2＞0．解：令y ＝x 2﹣3x +2，画出y ＝x 2﹣3x +2如图所示，由图象可知：当x ＜1或x ＞2时，y ＞0．所以一元二次不等式x 2﹣3x +2＞0的解集为x ＜1或x ＞2．填空：(1)x 2﹣3x +2＜0的解集为 ；(2)﹣x 2+2＜0的解集为 ；(3)用类似的方法解一元二次不等式﹣（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+6＞0．【答案】(1)12x <<(2)x <x >；(3)52x -<<．【分析】（1）求出2320x x -+=的解，然后根据函数图像取中间值即可；（2）求出220x -+=的解，然后根据函数图像取两边的值即可；（3）求出2(1)5(1)60x x ----+=的解，然后根据函数图像取中间值即可．(1)解：解2320x x -+=得11x =，22x =，由图象可知：当12x <<时，y ＜0．所以，不等式2320x x -+<的解集为12x <<；(2)令22y x =-+，画出22y x =-+如图所示，解220x -+=得，1x =2x =所以，由图象可知：不等式220x -+<的解集为x <x >；(3)令2(1)5(1)6y x x =----+，画出函数图像如图，解2(1)5(1)60x x ----+=得，12x =，25x =-，所以，由图象可知：一元二次不等式2(1)5(1)60x x ----+>的解集为52x -<<．【点拨】本题考查了二次函数与不等式，读懂题目信息得到一元二次不等式的解集的求解方法是解题的关键．类型四、二次函数与一元二次方程4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线25y ax bx =++经过点M（1，3）和N （3，5）(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A （﹣2，0），且与y 轴交于点B ，同时满足以A 、O 、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．【答案】(1)抛物线与x 轴没有交点；(2)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位．【分析】（1）把M 、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得a 、b 的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x 轴的交点情况；（2）利用A 点坐标和等腰三角形的性质可求得B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A 、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．(1)解：把点M （1，3）和N （3，5）代入抛物线解析式，得：539355a b a b ++=ìí++=î，解得：13a b =ìí=-î，∴抛物线解析式为235y x x =-+，令y =0，得2350x x -+=，∵△=（-3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴抛物线与x 轴没有交点；(2)解：∵△AOB 是等腰直角三角形，A （﹣2，0），点B 在y 轴上，∴OA =OB ，∴B 点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为2y x mx n =++，①当抛物线过点A （﹣2，0），B （0，2）时，代入，得：2420n m n =ìí-+=î，解得：32m n =ìí=î，∴平移后的抛物线为232y x x =++，∴该抛物线的顶点坐标为（32-，14-），∵原抛物线顶点坐标为（32，114），∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过A （﹣2，0），B （0，﹣2）时，代入，得：2420n m n =-ìí-+=î，解得：12m n =ìí=-î，∴平移后的抛物线为22y x x =+-，∴该抛物线的顶点坐标为（12-，94-），∵原抛物线顶点坐标为（32，114），∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的平移的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点.(1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标.【答案】(1)k =-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【分析】(1)根据抛物线的对称轴是y 轴以及对称轴公式可得关于k 的方程，解方程后再根据抛物线与x 轴的交点个数即可确定答案；(2)由点P 到y 轴的距离即可确定出点P 的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P 的纵坐标即可得答案.解：(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k －6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k 2+k －6=0，解得k=－3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=－3时，二次函数解析式为y=x 2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意，∴k=－3；(2)∵P 到y 轴的距离为2，∴点P 的横坐标为－2或2，当x=2时，y=－5；当x=－2时，y=－5，∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【点拨】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x 轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键.【变式2】如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点D 作DE x ^轴于点E ，交直线BC 于点M ．当2DM ME =时，求点D 的坐标．【答案】(1)2y x 2x 3=-++；(2)()2,3D ．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）令0x =时，2233y x x =-++=，求出()0,3C ，进一步求出直线BC 的解析式为3y x =-+，设()2,23D m m m -++，则223DE m m =-++，表示出(),3M m m -+，(),0E m ，利用2DM ME =，可得2m =，所以()2,3D ．(1)解：∵抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，∴10930b c b c --+=ìí-++=î，解得：23b c =ìí=î，∴抛物线解析式为．2y x 2x 3=-++(2)解：∵当0x =时，2233y x x =-++=，∴()0,3C ，设直线BC 的解析式为y kx n =+，∴303k n n +=ìí=î，解得：13k n =-ìí=î，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，设()2,23D m m m -++，则223DE m m =-++，∵DE x ^轴于点E ，∴(),3M m m -+，(),0E m ，∴3ME m =-+，∴()222333DM DE ME m m m m m =-=-++--+=-+，∵2DM ME =，∴()2323m m m -+=-+，解得12m =，23m =（此时B ，D 重合，不合题意舍去），∴2m =，∴()2,3D ．【点拨】本题考查一次函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，表示出3ME m =-+，2=3-+DM m m ，解一元二次方程．类型五、二次函数与实际问题5．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的正整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560元；(3)求出宾馆每天获得的最大利润．【答案】(1)y 与x 的函数关系式为y =50-10x ；(2)当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元(3)宾馆每天获得的最大利润是11520元【分析】（1）根据当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可以写出y 与x 的函数关系式；（2）根据题意，可以得到（200+x -20）（50-10x ）=10560，然后求解即可；（3）根据题意，可以写出利润与x 的函数关系式，然后将函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x 的取值范围，即可得到利润的最大值．(1)解：由题意可得，y =50-10x ，即y 与x 的函数关系式为y =50-10x ；(2)解：由题意可得，（200+x -20）（50-10x ）=10560，解得x 1=60，x 2=260，∵每个房间每天的房价不得高于340元，∴200+x ≤340，∴x ≤140，∴0≤x ≤140（x 为10的整数倍），∴x =60，∴200+x =260，答：当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元；(3)解：设利润为w 元，由题意可得：w =（200+x -20）（50-10x ）=-0.1（x -160）2+11560，∴当x ＜160时，w 随x 的增大而增大，∵每个房间每天的房价不得高于340元，∴200+x ≤340，∴x ≤140，∴0≤x ≤140（x 为10的整数倍），∴当x =140时，w 取得最大值，此时w =11520，答：宾馆每天获得的最大利润是11520元．【点拨】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．举一反三：【变式1】“一脉温泉韵，满城桂花香”，咸安因加大对桂花产业的宣传力度，年初，我区某工厂接到一批桂花制品的生产任务，要求必须在20天内完成．已知该产品的出厂价为65元/件，工人小王第x 天（x 为整数）生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y ＝5x ＋10，第x 天生产该产品成本为P 元/件，P 与x 的函数关系图象如下：(1)求P 与x 之间的函数关系式；(2)设小王第x 天创造的利润为w 元．①求w 与x 的函数关系式；②为响应国家的“乡村振兴”政策，小王决定，将这20天中单日所创造的最大利润捐给自己所在的村委会，试问，该村委会本次可获得多少元的捐款？【答案】(1)45(010)35(1020)x P x x <£ì=í+<£î（且x 为整数）(2)①2100200(010)5140300(1020)x x w x x x +<£ì=í-++<£î（且x 为整数）；②1280元【分析】（1）根据函数图象，结合x 的取值范围，利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）①根据利润=售价-成本价，结合（1）中P 与x 的函数解析式，列出w 与x 的解析式即可；②根据一次函数的性质和二次函数的性质，求出w 的最大值，然后进行比较，得出答案即可．(1)解：由图象可知，当010x <£时，45P =；当1020x <£时，设P 与x 的函数解析式为P kx b =+，将（10，45）和（20，55）分别代入，10452055k b k b +=ìí+=î，解得：135k b =ìí=î，∴P 与x 的函数解析式为35P x =+，∴P 与x 的函数解析式为：()()45010351020x x P x x x ì£ï=í+£ïî＜，为整数＜，为整数．(2)①当010x <£时，()()6545510100200w x x =-+=+，当1020x <£时，()()265355105140300w x x x x =--+=-++，∴w 与x 的函数解析式为2100200(010)5140300(1020)x x x w x x x x +<£ì=í-++<£î，且为整数，且为整数；②当010x <£时，100200w x =+，∵1000>，∴w 随x 的增大而增大，∴当10x =时，100102001200w =´+=最大值，当1020x <£时，()2251403005141280w x x x =-++=--+，∴当14x =时，1280w =最大值，∵12801200>，∴村委会本次可获得1280元捐款．【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，根据函数图象获得信息，利用待定系数法求出P 与x 的函数解析式，是解题的关键．【变式2】科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度1y （米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度2y （米）与它的运动时间x （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出1y 与x 之间的函数关系式；（2）求出2y 与x 之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）1530y x =+；（2）22540y x x =-+；（3）70米【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）用待定系数法求函数解析式即可；（3）当1＜x ≤6时小钢球在无人机上方，因此求y 2-y 1，当6＜x ≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y 1-y 2，然后进行比较判断即可．解：（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1=kx +b'，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则'35'30k b b +=ìí=î，解得5'30k b =ìí=î，∴y 1与x 之间的函数关系式为1530y x =+．（2）∵6x =时，1563060y =´+=，∵2y 的图象是过原点的抛物线，∴设22y ax bx =+，∴点()1,35，()6,60在抛物线22y ax bx =+上．∴3536660a b a b +=ìí+=î，即35610a b a b +=ìí+=î，解得540a b =-ìí=î，∴22540y x x =-+．答：2y 与x 的函数关系式为22540y x x =-+．（3）设小钢球和无人机的高度差为y 米，由25400x x -+=得10x =或28x =.①16x <£时，21y y y =-2540530x x x =-+--253530x x =-+-27125524x æö=--+ç÷èø，∵50a =-<，∴抛物线开口向下，又∵16x <£，∴当72x =时，y 的最大值为1254；②68x <£时，12y y y =-2530540x x x=++-253530x x =-+27125524x æö=--ç÷èø，∵50a =>，∴拋物线开口向上，又∵对称轴是直线72x =，∴当72x >时，y 随x 的增大而增大，∵68x <£，∴当8x =时，y 的最大值为70．∵125704<，∴高度差的最大值为70米．答：高度差的最大值为70米．【点拨】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．类型六、二次函数与几何综合6．如图，一次函数y =A 、B ，二次函数2y bx c =++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：2y x =（2）Q 点坐标为（1，(3，0)或（-1，0）．【分析】（1）由直线y x =A ，B ，代入抛物线解析式，求出b ，c 坐标即可；（2）分BC 为对角线和边两种情况讨论，其中当BC 为边时注意点Q 的位置有两种：在点P 右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．解：（1）对于y =x =0时，y =；当y =00x =，妥得，x =3∴A （3，0），B （0，把A （3，0），B （0，2y bx c ++得：=0c c ìïí=ïî解得，b c ì=ïíï=î∴抛物线的解析式为：2y =（2）抛物线的对称轴为直线2b x a =- 故设P （1，p ），Q （m ，n ）①当BC 为菱形对角线时，如图，∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ。
人教版九年级数学上册二次函数知识点巩固练习(含答案)
人教版九年级数学上册二次函数知识点巩固练习一、单选题1.二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是( )A. y1≤y2B. y1＜y2C. y1≥y2D. y1＞y22.如果二次函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数，a≠0)的部分图象如图所示，它的对称轴过点(－1，0)，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个正根可能是（）A. 0.5B. 1.5C. 2.5D. 3.53.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A. y=3x﹣1B. y=ax2+bx+cC. s=2t2﹣2t+1D. y=x2+4.运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+ x+ ，则该运动员的成绩是（）A. 6mB. 12mC. 8mD. 10m5.若抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与抛物线y＝x2－2关于x轴对称，则抛物线C的解析式为A. y＝x²－2B. y＝－x²－2C. y＝－x²＋2D. y＝x²＋26.如果将抛物线y=x2向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为（）A. y=x2+2B. y=x2-2C. y=(x+2)2D. y=(x-2)27.设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y2＞y1＞y3B. y1＞y3＞y2C. y3＞y2＞y1D. y3＞y1＞y28.如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1，3，则：①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x 均有ax2+bx≥a+b，其中结论正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 49.已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）．A. y=2(x-2)2+2B. y=2(x+2)2-2C. y=2(x-2)2-2D. y=2(x+2)2+2二、填空题10.一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________ 米．11.将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为________．12.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植________ 株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植________ 株．13.校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，小明这次投掷的成绩是________ 米．14.抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是________．15.已知二次函数y=x2+bx+4顶点在x轴上，则b=________．16.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=________．三、综合题17.根据下列条件，分别求二次函数的表达式（1）已知函数的顶点坐标（-1，-8），且过点（0，-6）（2）已知图象经过点（3,0），（2，-3），并以直线x=0为对称轴18.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？19.某商店销售面向中考生的计数跳绳，每根成本为20元，销售的前40天内的日销售量m （根）与时间t（天）的关系如表．时间t（天）1381026…日销售量m（件）5149444226…前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y1= t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y2=﹣ t+40（21≤t≤40且t为整数）．（1）认真分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数的知识确定一个满足这些数据m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请计算40天中娜一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜3）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．答案一、单选题1.【答案】B【解析】【分析】∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大。
人教版初三数学：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习(提高)
二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 定义[,,]a b c 为函数2y ax bx c =++的特征数，下面给出特征数为[2,1,1]m m m ---的函数的一些结 论：①当3m =-时，函数图象的顶点坐标是18,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m >时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于32；③当0m <时，函数在14x >时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）．A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④2．（2015•南昌）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.A ．只能是x=﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x=2的左侧D ．在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 3．（2016•毕节市）一次函数y=ax +b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的 是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 25．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h第5题 第6题6．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值-1，有最大值0 C ．有最小值-1，有最大值3 D ．有最小值-1，无最大值 二、填空题 7．（2016•金山区二模）如果抛物线y=ax 2+2a 2x ﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a= ． 8．如图所示，是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c ＞0；②a+b+c ＜0；③2a-b ＜0；④284b a ac +>中正确的是________（填写序号）．9．已知点(1，4)、(3，4)在二次函数232y x kx k =+-的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标是_________．10．抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值是_____.11．抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.12．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x 2﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ．三、解答题 13．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x ﹣1交于点A ，点A 关于直线x=1的对称点为B ，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C 2：y=ax 2（a ≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．14．已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围；（3）当12≤x ≤2时，求y 的最大值．15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.(1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】理解题意是前提，当3m =-时，6a =-，4b =，2c =．所以2218642633y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以函数图象的顶点坐标是18,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，①正确排除选项D ；因为当0m <时，对称轴11244b m x a m -=-=->，所以③错误．排除选项A 、C ．所以正确选项为B ．2.【答案】D ；【解析】∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x 2满足：﹣2＜x 2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D ．3.【答案】C ．【解析】A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．故选C ．4.【答案】B ；【解析】由表可知1＜x 1＜2，∴ 0＜y 1＜1，3＜x 2＜4，∴ 1＜y 2＜4，故y 1＜y 2. 5.【答案】A ；【解析】由顶点(n ，k)在(m ，h)的上方，且对称轴相同，∴ m ＝n ，k ＞h. 6.【答案】C ；【解析】观察图象在0≤x ≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3. 二、填空题 7.【答案】1.【解析】∵抛物线y=ax 2+2a 2x ﹣1的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣1=﹣解得：a=1．8．【答案】②④；【解析】观察图象知抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，故①是错误的；当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，则02ba->， ∵ 0a >，∴ 0b <，故20a b ->，故③是错误的；∵ 0a >，240b ac ->， ∴ 284b a ac +>，故④是正确的．9．【答案】(2，12)；【解析】由点(1，4)、(3，4)的纵坐标相同，可知它们是抛物线上的两个对称点，如果设抛物线的顶点坐标为(x ，y)，则1322x +==，2322212y k k =⨯+-=． 故二次函数图象的顶点坐标为(2，12)． 10．【答案】-3；【解析】设抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交点的坐标是x 1、x 2，则x 2- x 1=1，△ABC 的面积为1得c=2,由根与系数关系化为123x x +=±， 即=3b a -±，由20b a -＞得=3ba-，3b =-. 11．【答案】(2，4)；【解析】若抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，则与k 值无关，即整理y=x 2+kx-2k 得y=x 2+k （x-2），x-2=0，解得x=2,代入y=x 2+k （x-2），y=4,所以过点(2，4). 12．【答案】1；【解析】∵y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．三、解答题13.【答案与解析】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴14.【答案与解析】（1）将（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c得103b c c --+⎧⎨⎩＝＝，， 解得23.b c ⎧⎨⎩＝＝， 所以二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3；（2）把y=0代入y=-x 2+2x+3得-x 2+2x+3=0， 解得x 1=-1，x 2=3，所以当-1＜x ＜3，y ＞0；（3）y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4， 抛物线的对称轴为直线x=1， ∵12≤x ≤2， ∴当x=1时，y 的最大值为4． 15.【答案与解析】 (1)直线与坐标轴的交点，.则 解得此抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.设，则.化简得.当，得或.或当时，即，此方程无解. 综上所述，满足条件的点的坐标为或.附录资料：《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．（2015•乐山）如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A．B．C．D．2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。